山东省菏泽市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

2015年山东省菏泽市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知复数z1=1﹣i，z2=1+i，则等于（）A． 2i B．﹣2i C． 2+i D．﹣2+i2．设集合M={0，1}，N={x∈Z|y=），则（）A． M∩N=∅ B． M∩N={0} C． M∩N{1} D． M∩N=M3．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．在△ABC中，若 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A． m e=m0= B． m e=m0＜ C． m e＜m0＜ D． m0＜m e＜6．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A． 192种 B． 216种 C． 240种 D． 288种7．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，2）8．设双曲线+=1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1 C． y2﹣=1 D．﹣=19．已知函数f（x）=（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0） D． [﹣1，0）10．若函数f（x）=，并且＜a＜b＜，则下列各结论中正确的是（）A． f（a）＜f（）＜f（） B． f（）＜f（）＜f（b） C． f（）＜f（）＜f（a） D． f（b）＜f（）＜f（）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1﹣BFE的体积为．12．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值比为．13．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（4﹣x）=f（x）．现有以下三种叙述：①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）是偶函数其中正确的序号是．14．执行如图中的程序框，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的S属于区间．15．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义在一个称“序”的关系，记为“＞＞”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）2=（x2，y2），“1＞＞2”当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，按上述定义的关系“＞＞”给出如下四个命题：①若1=（1，0），2=（0，1），=（0，0），则1＞＞2＞＞②若1＞＞2，2＞＞3，则1＞＞3③若1＞＞2，则对于任意∈D，1+＞＞2+④对于任意向量＞＞，=（0，0），若1＞＞2，则•1=•2其中真命题的序号为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．17．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；（2）求平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值．18．已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个．现从中随机取球，每次只取一球．（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=（其中k∈R，e=2.71828…是自然数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x∈（0，1]时，f′（x）=0都有解，求k的取值范围；（3）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．21．已知焦点在x轴上的土元D：+=1，的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，过点P（3，0）作直线交椭圆D于A，B（B在P，A两点之间）两点，且F1A∥F2B，A关于原点O的对称点C．（1）求椭圆D的方程；（2）求直线PA的方程；（3）过F2任作一直线交过A，F1，C三点的圆于E，F两点，求△OEF面积的取值范围．2015年山东省菏泽市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知复数z1=1﹣i，z2=1+i，则等于（）A． 2i B．﹣2i C． 2+i D．﹣2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：代入复数，利用复数的代数形式的乘除运算，求解即可．解答：解：∵复数z1=1﹣i，z2=1+i，则====﹣2i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，基本知识的考查．2．设集合M={0，1}，N={x∈Z|y=），则（）A． M∩N=∅ B． M∩N={0} C． M∩N{1} D． M∩N=M考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求解函数定义域化简集合N，然后直接由交集运算得答案．解答：解：由1﹣x≥0，得x≤1，∴N={x∈Z|y=}={x∈Z|x≤1}，又M={0，1}，∴M∩N={0，1}=M．故选：D．点评：本题考查了函数定义域的求法，考查了交集及其运算，是基础题．3．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．解答：解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．4．在△ABC中，若 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，结合两角和的正弦公式即可得A，B的关系，从而可判断解答：解：∵sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，∴sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB∴A=B（A+B=π舍去），是等腰三角形故选B点评：本题主要考查了两角和的正弦公式的简单应用，属于基础试题5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A． m e=m0= B． m e=m0＜ C． m e＜m0＜ D． m0＜m e＜考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图的知识，结合中位数、众数和平均数的概念，求出结果即可．解答：解：由频率分布直方图知，30名学生的得分情况依次为：2个人得（3分），3个人得（4分），10个人得（5分），6个人得（6分），3个人得（7分），2个人得（8分），2个人得（9分），2个人得（10分）；∴中位数为第15，16个数（分别为5，6）的平均数，即m e=5.5；5出现的次数最多，故众数为m0=5；平均数为≈5.97；∴m0＜m e＜．故选：D．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数、众数以及平均数的计算问题，是基础题．6．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A． 192种 B． 216种 C． 240种 D． 288种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：分类讨论，最前排甲；最前只排乙，最后不能排甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最前排甲，共有=120种，最前只排乙，最后不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，2）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）的图象判断导函数f'（x）的正负进而得到m的关系得到答案．解答：解：f′（x）==由图知m﹣2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，又＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2，故选C点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．8．设双曲线+=1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1 C． y2﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点，可得双曲线的c=2，且焦点在y轴上，由双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得m，n，进而得到双曲线方程．解答：解：抛物线x2=8y的焦点为（0，2），则双曲线的焦点在y轴上，方程为﹣=1，则c=2=，双曲线+=1的离心率为2，则=2，解得m=﹣3，n=1．即有双曲线的方程为y2﹣=1．故选C．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率和a，b，c的关系，属于基础题．9．已知函数f（x）=（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0） D． [﹣1，0）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式作出函数的图象，分析可得结果．解答：解：由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，而红线与y轴的焦点坐标为a+1，且只需0≤a+1＜1，即﹣1≤a＜0即可故选D点评：本题考查根的存在性以及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．10．若函数f（x）=，并且＜a＜b＜，则下列各结论中正确的是（）A． f（a）＜f（）＜f（） B． f（）＜f（）＜f（b） C． f（）＜f（）＜f（a） D． f（b）＜f（）＜f（）考点：利用导数研究函数的单调性；基本不等式．专题：计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由导数可判断f（x）=在（，）上是减函数，再由基本不等式可判断出＜，从而由函数的单调性比较函数值的大小即可．解答：解：∵f（x）=，∴f′（x）=，当x∈（，]时，可判断xcosx﹣sinx是减函数，故xcosx﹣sinx＜•﹣＜0，当x∈（，）时，xcosx﹣sinx＜0；故f（x）=在（，）上是减函数，而由＜a＜b＜知a＜＜＜b，故f（a）＞f（）＞f（），f（b）＜f（）＜f（）；故选D．点评：本题考查了基本不等式及导数的综合应用，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1﹣BFE的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由，利用等积法能求出三棱锥B 1﹣BFE的体积．解答：解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，∴三棱锥B1﹣BFE的体积：===．故答案为：．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．12．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值比为2：1 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（2，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=2+1=3．即目标函数z=2x+y的最小值为3．则z=2x+y的最大值与最小值比为6：3=2：1故答案为：2：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．13．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（4﹣x）=f（x）．现有以下三种叙述：①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）是偶函数其中正确的序号是①②③．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，将x换成x+2，即可得到f（x+4）=f（x），即可判断①；由f（x）满足f（4﹣x）=f（x），即有f（2+x）=f（2﹣x），由对称性，即可判断②；由周期性和对称性，即可得到f（﹣x）=f（x），即可判断③．解答：解：对于①，由于定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，则f（x+2）=﹣f（x），即有f（x+4）=﹣f（x+2），则f（x+4）=f（x），即4是函数的最小正周期，故①对；对于②，由于f（x）满足f（4﹣x）=f（x），即有f（2+x）=f（2﹣x），即f（x）的图象关于直线x=2对称，故②对；对于③，由于f（4﹣x）=f（x），即有f（﹣x）=f（x+4），又f（x+4）=f（x），则f（﹣x）=f（x），则f（x）为偶函数，故③对．故答案为：①②③．点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和对称性、周期性及运用，属于中档题．14．执行如图中的程序框，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的S属于区间[﹣3，4] ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式，从而确定S的区间．解答：解：执行程序框图，有输入的t∈[﹣1，3]，S=输出S的值，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故答案为：[﹣3，4]点评：本题主要考察程序框图及数形结合能力，属于基础题．15．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义在一个称“序”的关系，记为“＞＞”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）2=（x2，y2），“1＞＞2”当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，按上述定义的关系“＞＞”给出如下四个命题：①若1=（1，0），2=（0，1），=（0，0），则1＞＞2＞＞②若1＞＞2，2＞＞3，则1＞＞3③若1＞＞2，则对于任意∈D，1+＞＞2+④对于任意向量＞＞，=（0，0），若1＞＞2，则•1=•2其中真命题的序号为①②③．考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：①由=（1，0），=（0，1），横坐标1＞0，可得，而=（0，0），横坐标0=0，纵坐标1＞0，即可判断＞＞；②若＞＞，则“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，若，则“x2＞x3”或“x2=x3”且“y2＞y3”，利用不等式的性质即可判断出正误；③若＞＞，则“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，对于任意=（x，y）∈D，利用不等式的性质可得x1+x＞x2+x，或x1+x=x2+x且y1+y＞y2+y，即可判断出正误；④对于任意向量＞＞，=（0，0），若＞＞，取=（4，3），=（2，1），=（1，1），利用数量积运算可得：=7，=3，，即可判断出正误．解答：解：①∵=（1，0），=（0，1），横坐标1＞0，∴，而=（0，0），横坐标0=0，纵坐标1＞0，则＞＞；②若＞＞，则“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，若，则“x2＞x3”或“x2=x3”且“y2＞y3”，可得“x1＞x3”或“x1=x3，y1＞y3”，则．因此正确．③若＞＞，则“x1＞x2”或“x1=x2”且“y1＞y2”，对于任意=（x，y）∈D，则x1+x ＞x2+x，或x1+x=x2+x且y1+y＞y2+y，因此＞＞．因此正确；④对于任意向量＞＞，=（0，0），若＞＞，取=（4，3），=（2，1），=（1，1），则=7，=3，因此，不正确．其中真命题的序号为①②③．故答案为：①②③．点评：本题考查了新定义、向量的运算、实数的性质、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a 值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．解答：解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，∴f（x）=2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，解得x=+或x=+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．点评：本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．17．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；（2）求平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连结AC、BE，交点为G，由已知得AC⊥BE，且AG=CG=，AG⊥GC，从而AG ⊥平面BCDE，由此能证明平面ABEF⊥平面BCDE．（2）以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量和平面DEF的一个法向量，利用向量法能求出平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值．解答：解：（1）证明：正六边形ABCDEF中，连结AC、BE，交点为G，∵ABCDEF是边长为2的正六边形，∴AC⊥BE，且AG=CG=，在多面体中，由AC=，得AG2+CG2=AC2，∴AG⊥GC，又GC∩BE=G，GC，BE⊂平面BCDE，∴AG⊥平面BCDE，又AG⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．（2）解：以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得AG=CG=，BG=1，GE=3，则A（0，0，），B（0，﹣1，0），C（），D（），E（0，3，0），F（0，2，），=（0，﹣1，﹣），=（），=（），==（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得，，=（﹣，0，），设平面DEF的一个法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），设平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）为θcosθ=|cos＜＞|==，∴平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值为．点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．18．已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个．现从中随机取球，每次只取一球．（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）记事件A i表示“第i次取到白球”（i∈N*），事件B表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：=++++，由此利用对立事件概率计算公式能求出事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率．（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列与期望．解答：解：（1）记事件A i表示“第i次取到白球”（i∈N*），事件B表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：=++++．…（2分）∴P（）=P（）+P（）+P（）+P（）+P（）==，…（4分）∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=．…（5分）（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5 …（6分）P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）=×=，P（X=5）=1﹣=，…（10分）∴随机变量X的分布列为：X 2 3 4 5P…（11分）∴随机变量X的期望为：EX=．…（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：综合题．分析：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出b n．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，所以T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{c n}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．20．已知函数f（x）=（其中k∈R，e=2.71828…是自然数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x∈（0，1]时，f′（x）=0都有解，求k的取值范围；（3）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出当k=2时，f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）由f′（x）=0可得k=，运用导数求得右边函数的最大值，即可得到k的范围；（3）由f′（1）=0，可得k=1，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1等价为1﹣x﹣xlnx＜（e ﹣2+1），先证1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，可由导数求得，再证＞1．即可证得对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．解答：解：（1）当k=2时，f（x）=的导数为f′（x）=（x＞0），f′（1）=﹣，f（1）=，在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即为y=﹣x+；（2）f′（x）=0，即=0，即有k=，令F（x）=，由0＜x≤1，F′（x）=﹣＜0，F（x）在（0，1）递减，x→0，F（x）→+∞，F（x）≥1，即k≥1；（3）证明：由f′（1）=0，可得k=1，g（x）=（x2+x）f′（x），即g（x）=（1﹣x ﹣xlnx），对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1等价为1﹣x﹣xlnx＜（e﹣2+1），由h（x）=1﹣x﹣xlnx得h′（x）=﹣2﹣lnx，当0＜x＜e﹣2时，h′（x）＞0，h（x）递增，当x＞e﹣2时，h′（x）＜0，h（x）递减，则h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，设φ（x）=e x﹣（x+1），φ′（x）=e x﹣1，x＞0时，φ′（x）＞0，φ（x）＞0，φ（x）＞φ（0）=0，则x＞0时，φ（x）=e x﹣（x+1）＞0即＞1．即1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1＜（e﹣2+1），故有对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，运用分离参数和不等式恒成立问题转化为不等式的传递性是解题的关键．21．已知焦点在x轴上的土元D：+=1，的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，过点P（3，0）作直线交椭圆D于A，B（B在P，A两点之间）两点，且F1A∥F2B，A关于原点O的对称点C．（1）求椭圆D的方程；（2）求直线PA的方程；（3）过F2任作一直线交过A，F1，C三点的圆于E，F两点，求△OEF面积的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．分析：（1）由椭圆方程及离心率列式求得m=2，则椭圆的方程可求；（2）设出A（x1，y1），B（x2，y2）及AB所在直线方程，联立方程组利用一元二次方程根与系数关系求得A，B横坐标的和与积，再由F1A∥F2B，得到，进一步求解得到直线的斜率，则直线PA的方程可求；（3）由（2）及已知求得A，C的坐标设过A，F1，C三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标求得圆的方程，由弦长公式求得．由点到直线的距离公式求得原点O到直线EF的距离为d=．代入三角形的面积公式，换元后利用配方法求得圆面积的最大值，则△OEF面积的取值范围可求．解答：解：（1）∵椭圆D：+=1的离心率为，∴，解得：m=2．∴椭圆的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B的坐标满足方程组，把②代入①得：（2+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0．∴．∵F1A∥F2B，∴，，∴（x1﹣3，y1）=2（x2﹣3，y2），即x1﹣2x2=﹣3．解，得，代入，得，即．∴直线PA的方程为：；（3）由（2）知x1=0，即A（0，）（或A（0，﹣）），∵A与C关于原点对称，∴C（0，﹣）（或C（0，）），设过A，F1，C三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为x2+y2﹣x﹣2=0．设过F2的直线EF为x=ny+1，则．原点O到直线EF的距离为d=．∴．令1+n2=t，则t≥1，0．∴S△OEF=．∴．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解，对于（3）中求圆的面积的最大值，换元配方是关键，属难度较大题目．。