专题03 函数的定义域-《从课本到高考》之集合与函数(原卷版)

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高中数学必修一-函数的定义域

函数的定义域知识集结知识元函数与映射的概念知识讲解1、一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．注意：（1）值域由定义域和对应关系唯一确定；（2）f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x 的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同.2.设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射，记作f:A→B。

其中，b称为元素a在映射f下的象，记作:b=f(a);a称为b关于映射f的原象。

集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作f(A)。

注意:(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的象;(2)B中每个元素都有原象(即满射)，且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象(即单射)，则称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A到B上的一一映射。

例题精讲函数与映射的概念例1.给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（）A．只有①②B．只有①④C．只有①③④D．只有③④例2.A＝{1，2，3}，b＝{a，b}，则从A到B的可以构成映射的个数（）A．4个B．6个C．8个D．9个例3.已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列对应法则中可以是从A至B的函数的有．①f：x→y＝②f：x→y＝③f：x→y＝x④f：x→y＝2x．例4.下列图象中可作为函数y＝f（x）图象的是（）A．B．C．D．函数相等知识讲解判断两个函数是否为同一函数函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．注意：判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．例题精讲函数相等例1.下列四组中的f（x），g（x），表示同一个函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．f（x）＝x﹣1，g（x）＝﹣1C．f（x）＝x2，g（x）＝（）4D．f（x）＝x3，g（x）＝例2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝x和g（x）＝B．f（x）＝|x|和g（x）＝C．f（x）＝x|x|和g（x）＝D．f（x）＝和g（x）＝x＋1，（x≠1）例3.'试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）＝，g（x）＝；（2）f（x）＝，g（x）＝（3）f（x）＝，g（x）＝（）2n﹣1（n∈N*）；（4）f（x）＝，g（x）＝；（5）f（x）＝x2﹣2x﹣1，g（t）＝t2﹣2t﹣1．'例4.下列函数中与函数y＝x是相同函数的是（）A．B．y＝C．D．例5.在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．B．C．D．具体函数的定义域知识讲解函数的定义域及其求法1.定义函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.2.求解函数定义域的常规方法（1）如果f(x)是整式，其定义域是实数集R；（2）如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；（3）如果f(x)是二次根式（或偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；（4）如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（5）如果f(x)=x^0的定义域是{x∈R|x≠0};（6）实际问题要具体分析.例题精讲具体函数的定义域例1.函数f（x）＝＋的定义域是（）A．[﹣1，＋∞）B．[2，＋∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2）例2.'求下列函数的定义域（1）（2）．'例3.'求函数的定义域．'例4.函数的定义域为．复合函数的定义域知识讲解抽象函数的定义域（1）对在同一对应法则f下的量“x”“x＋a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；（2）函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．例题精讲复合函数的定义域例1.'设函数f（x）＝．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．'例2.已知函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，则y＝f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．[﹣1，4]C．D．[﹣5，5]例3.已知函数y＝f（x＋1）的定义域是[﹣2，3]，则y＝f（x2）的定义域是（）A．[﹣1，4]B．[0，16]C．[﹣2，2]D．[1，4]例4.函数f（x2）的定义域为（﹣3，1]，则函数f（x﹣1）的定义域为（）A．[2，10）B．[1，10）C．[1，2]D．[0，2]备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数的定义域”的题目补充.例题精讲备选题库例1.函数f（x）=的定义域为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[0，2）∪（2，+∞）D．[2，+∞）例2.已知函数f（x+3）的定义域为（-1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（-1，1）B．C．（-1，0）D．（）例3.下列函数中，与函数y=的定义域相同的函数为（）C．y=xe x D．A．B．例4.已知函数f（2x+1）的定义域为（0，3），则f（x）的定义域为（）A．（1，3）B．（1，7）C．（1，3）D．（-，1）例5.已知f（x）的定义域为[-1，5]，则f（2x+5）的定义域为（）A．[-1，5]B．[3，15]C．[-3，0]D．[0，3]例6.设函数的定义域A，函数y=ln（1-x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[-3，1）D．（-3，1）例7.函数的定义域是（）A．[-3，1]B．（-3，1）C．（-∞，-3）∪（1，+∞）D．（-∞，-3[∪[1，+∞）当堂练习单选题练习1.已知函数f（x）的定义域为（-1，1），则函数的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（-1，1）练习2.函数的定义域为（）A．（2，3）B．（3，4]C．（2，4]D．（2，3）∪（3，4]练习3.已知函数f（x）=lg的定义域为A，函数g（x）=lg（1+x）-lg（1-x）的定义域为B，则下述关于A、B的关系中，不正确的为（）A．A⊇B B．A∪B=B C．A∩B=B D．B⊊A练习4.函数f（x-4）的定义域为[3，27]，则函数f（x）的定义域为（）A．[-2，7]B．[-1，7]C．[-2，-1]D．[3，27]若函数f（x）的定义域为[2，8]，则函数的定义域为（）A．（2，4]B．（2，3）∪（3，4]C．[1，4]D．[1，3）∪（3，4]练习6.若函数f（x）=ln（x+1），则函数g（x）=f（x）+f（-x）的定义域为（）A．（-1，2]B．（-1，1）C．（-2，2）D．[-2，2]填空题练习1.若函数在区间（-∞，1]内有意义，则实数a的取值范围是______练习2.函数y=arccos（x-1）的定义域为_______．练习3.若函数在区间（-∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．练习4.已知函数y=f（x-1）的定义域为[0，2]，则f（ax）+f（），（a≥1）的定义域是__．练习5.函数y=（a>0，且a≠1）的定义域是（-∞，0]，则实数a的取值范围为_______．练习1.'函数f（x）=，（1）若f（x）的定义域为[-2，1]，求实数a的值．（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．'练习2.'设函数（a>0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并判断它的奇偶性；（Ⅱ）若，求x的取值范围．'练习3.'已知函数（x>0），（1）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由（2）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域是[a，b]时，值域为[ma，mb]，（m≠0），求m的取值范围．'练习4.'设函数．（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求实数a的取值范围．'。

数学必修一集合与函数概念知识点梳理

数学必修一集合与函数概念知识点梳理数学必修一集合与函数是数学中的基础概念。

集合是数学中的一个概念，它可以有若干个元素，这些元素可以是任意东西，如数字、字母、图形等等。

而函数则是描述集合之间的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

首先，我们来了解集合的基本概念。

集合是由若干个不同的元素组成的整体，这些元素可以用大括号{}括起来表示。

在集合中，元素的顺序是没有关系的，而且集合中的元素是唯一的，每个元素只能出现一次。

例如，集合A={1,2,3,4}包含了四个元素1、2、3、4，而集合B={a,b,c}包含了三个元素a、b、c。

接下来，我们来了解集合的一些常见运算。

首先，两个集合的交集是指包含了两个集合公共元素的集合，可以用符号∩表示。

例如，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。

而集合的并集则是指包含了两个集合所有元素的集合，可以用符号∪表示。

例如，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∪B={1,2,3,4,5,6}。

此外，集合的差集是指从一个集合中除去另一个集合中的元素，可以用符号\表示。

例如，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A\B={1,2}。

此外，还有几个特殊的集合。

空集是一个不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

全集则是指一些给定的范围内的所有元素的集合。

例如，当我们讨论自然数时，全集就是自然数的集合。

而子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，可以用符号⊆表示。

例如，集合A={1,2,3,4}，集合B={2,4}，则B是A的子集，可以表示为B⊆A。

在集合的基础上，我们来了解函数的概念。

函数是集合之间的一种特殊关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

函数通常用f(x)的形式表示，其中f是函数的名称，x是输入的元素，f(x)是对应的输出元素。

例如，函数f(x)=2x表示将输入的元素乘以2后得到的输出元素。

高考数学中的集合论与函数知识点

高考数学中的集合论与函数知识点高考是人生中的一道重要关卡，其中数学是不可避免的一部分。

在数学中，集合论和函数是比较基础的知识点，也是需要我们认真掌握的。

本文将从集合论和函数中的常见概念、性质和解题方法等方面进行论述。

一、集合论1. 集合的定义在数学中，集合就是由若干个特定对象组成的一个整体。

例如，一堆苹果组成了苹果的集合，一堆数学题组成了题目的集合。

2. 集合的表示表示集合的方法有两种：枚举法和描述法。

枚举法就是直接把集合中的元素罗列出来，描述法则是用某些属性描述集合中的元素。

例如，集合A由1, 2, 3三个元素组成，可以用枚举法表示为A={1,2,3}，用描述法表示为A={x|x∈自然数，x≤3}。

3. 集合的运算集合的运算有并集、交集、差集和补集四种。

并集：表示两个集合中所有元素的总和。

用符号“∪”表示。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。

交集：表示两个集合中共有的元素。

用符号“∩”表示。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。

差集：表示一个集合中去掉另一个集合中相同的元素后剩下的元素。

用符号“-”表示。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A-B={1}，B-A={4}。

补集：表示全集中去掉某个集合中所有元素后剩下的元素。

用符号“C”表示。

例如，A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则A的补集为A^c={4,5}。

4. 集合的性质（1）自反性：任何集合都是该集合的子集。

（2）传递性：如果集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A也是集合C的子集。

（3）对称性：如果集合A是集合B的子集，那么如果在集合B中存在元素不在集合A中，那么集合B也不是集合A的子集。

5. 集合的应用集合论在高考数学中的应用比较广泛，尤其是在概率与统计中。

例如，众所周知，随机事件的可能性可以用概率来表示，而概率需要用到集合的运算。

3.1.1(第二课时)函数的定义域-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件

x2 3 (4) 5 x2
0 0
x2
x
2
3 5
3x
5或
5x 3
故函数的定义域为：{x | 3 x 5或 5 x 3}
二、抽象函数的定义域
复合函数： y=f[g(x)]
令 u=g(x)
内函数
以x为自变量
则 y=f(u)
外函数
以u为自变量
y=f[g(x)] 原函数
以x为自变量
问题： y f(x) (x A) 与y f(u) (u A) 是否是同一函数？
7 x 1 5
f 2 5 x的定义域是[ 7 ,1)
5
题型(三 ) : 含参数问题讨论定义域
例3、已知函数f(x)的定义域是［a，b］,且 a+b>0, 求g(x)=f(x)-f(-x)的定义域。分析：
当a>0时，g(x)不是函数当a=0时，g(x)的定义域是｛0｝当a<0时，g(x)的定义域是［a, -a］
一、知识回顾
设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，对集合A中的任意一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到B的一个函数。
记作y=f(x), xA 其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数定义域。与x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合{f(x) | xA}叫做函数的值域。
例2、已知f 2x 1的定义域(1,5],求f ( x)的定义域
解：由题意知:
1 x 5 3 2x 1 9
f ( x)的定义域为 3, 9
练习:
已知f (2x 1)的定义域 1, 5,求f (2 5x)的定义域
解：由题意知:

2023年高考真题和模拟题英语分项汇：专题03形容词和副词原卷版) (全国通用)

专题03形容词和副词养成良好的答题习惯，是决定高考英语成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。

在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面对考试。

英语最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难”，遇到容易的则要想“细心审题”。

越到最后，考生越要回归基础，单词最好再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。

另附高考复习方法和考前30天冲刺复习方法。

2023年高考真题1.【2023年全国乙卷】The ____49____ (remark) development of this city, which is consciously designed to protect the past while stepping into the modern world, _____50_____ (mean) there is always something new to discover here, and I could be photographing Beijing for the next 50 years.2.【2023年全国乙卷】However, instead of the brownish red hair she had hoped for, she final got purple hair.3.【2023年全国乙卷】At least one thing proved truth: the color wouldn’t wash out.4.【2023年新高考全国Ⅱ卷】So, what are they learning? ___43___ (basic), how to describe a panda’s life.5.【2023年新高考全国Ⅰ卷】Xiao long bao (soup dumplings), those amazing constructions of delicate dumpling wrappers, encasing hot, ____36____ (taste) soup and sweet, fresh meat, are far and away my favorite Chinese street food.6.【2023年新高考全国Ⅰ卷】No matter where I buy them, one steamer is ____44____ (rare) enough, yet two seems greedy, so I am always left _____45_____ (want) more next time.7.【2023年全国甲卷】___47___ (difference) from traditional fables, Carson’s story ends with an accusation instead of a moral. 8.【2023年全国甲卷】The bees, butterfly and many other insects looked lovely and beautifully on the stamps.2023年名校模拟题1.【2023届湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高三下学期模拟】Baduajin is one of the oldest health and fitness therapies in China, and it was 34 (original) created 800 years ago during the Song Dynasty(960-1279).2.【2023届湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高三下学期模拟】I owe big thanks to Baduajin since it gives me a much 39 (healthy) lifestyle,” a young netizen commented below the video.3【2023届河北省衡水中学高三下学期适应性考试】44 (additional), the pit has yielded a variety of weapons, including long-range attack weapons, shields for defense, as well as drums and drumsticks used for commanding soldiers.4【22023届天一大联考广东省高三年级模拟考试（三）】Produced 13 ( annual) by the China Consumers Association since 2017, the report, 14 measures consumer satisfaction levels based 15 feedback from consumers, takes into account consumer supply, consumer environment, and consumer rights protection.5【2023届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模】29 (astonish), no matter how close one is to the stage, they just can’t tell how the masks change.6【2023届河北省衡水中学高三下学期适应性考试】Through excavations, Chinese researchers have established the types and arrangement of weapons 49 (use) by the Terracotta Warriors as well as the formations and patterns of the 50 (mystery) underground army.7【2023届辽宁省沈阳市第二中学高三下学期模拟考试】Thanks to social media recommendations, Zibo has 53 (wide) spread on Chinese social media platforms.8【2023届山东省济南市山东师范大学附属中学高三模拟】Traditional Chinese medicine usually uses skills like acupuncture (针刺), cupping and specialized massage 65 (know) as Tuina.9【2023届山东省济南市山东师范大学附属中学高三模拟】“We take 68 relationship between the human being and nature, and between the human being and the inside of the body 69 (serious).10【2023届重庆市第八中学校高三下学期高考考前模拟】It’s twice the size of New York City’s Central Park. West Lake’s natural beauty and 72 (history) relics have inspired Chinese poets and artists throughout time.11【2023届江西省师范大学附属中学三模】The game is 85 (typical) played in a group of at least 3 players with a rope about 16 feet 86 length tied into a circle.12【2023届山东省实验中学高三二模】98 (actual), more than 100 countries in the world speak English now.13【2023届山东省实验中学高三二模】This 100 (influence) status has caused the IOC to make English one of the official languages.14【2023年河南省部分名校高三5月底联考】What’s more, many Chinatowns have associations that schedule regular activities for their members and provide 8 (society) services.15【2023年河南省部分名校高三5月底联考】Many Chinatowns provide a 9 (cultural) different experience.16【2023届湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月适应性考试】The fame of Zibo barbecue used to be limited to just Shandong Province. 16 (previous), barbecue in Northeast China was much more popular across the country.17【2023届山东省日照市高三下学期三模】It is 25 (definite) centered on companionship fields.18【2023届四川省成都市石室中学高三高考冲刺卷】Du Bo, head of Tahe county’s bureau (局) of culture, radio, television and tourism in Heilongjiang province, drew the attention of Chinese netizens by a short video, in 43 Du wears a white headwear of deer antlers (鹿角), 44 (dress) like a “white deer fairy” wandering in a snow-covered birch forest.19【2023届四川省成都市石室中学高三高考冲刺卷】Despite (尽管) the fact that the short video was 48 (complete) successful, Du said she would devote herself more to49 (explore)the use of social media platforms in future, which, she thinks, can help harvest more potential tourists 50 traditional means of promotion.20【2023届浙江省重点中学拔尖学生培养联盟高三5月】The exhibition is divided into three galleries 54 showcase the history of the unification of China by Emperor Qin Shi Huang, his tomb, and the 55 (mystery) Terracotta Warriors.21【2023届浙江省重点中学拔尖学生培养联盟高三5月】At the opening ceremony on Tuesday, Carlos Mazon, president of Alicante provincial council, called the exhibition “a 58 (history) moment.”【2022届广东省高三综合能力测试（三）】The Shenzhou-13 crew have 61 (safe) returned to Earth after their six- month orbital trip, 62 nearly doubled the previous record of China’s longest single- flight space mission of 92 days set by the Shenzhou-12.22【2022届广东省高三综合能力测试（三）】The Shenzhou-13 crew exited the return capsule one hour and 10 minutes after their touchdown, 64 (fast) than that for Shenzhou-12 crew which took one hour and 40 minutes.23【2023届江苏省南京市金陵中学高三模拟测试】Tea is commonly considered native to Southern China. However, in a garden in Geling village in Metog county in the Tibet autonomous region, the morning air is filled with the sweet aroma of 71 (fresh) picked tea.24【2023届安徽省合肥市第六中学高三最后一卷】Images of similar instruments can be found in a Southern Song Dynasty (1127-1279) sculpture, and the characters 90 (literal)mean“three strings”, first appeared in a Ming Dynasty(1368-1644)text.25【2023届江西省重点中学盟校高三第二次联考】Zhao Hongwei, chief researcher of the China Academy of Railway Sciences, told China Daily the more 92 (advance) model, which has a top operating speed of 400 kilometers per hour and the potential 93 (reach) speed of up to 450 km/h, will soon be unveiled.对高三学生而言，就是要通过训练转化为学生的答题能力。

高中数学必修一专题三函数的定义域和值域(含详解)

专题三函数的定义域和值域一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为，值域为．14．函数的定义域是．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围．16．函数的值域为．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．20．当x＞0时，求函数的值域．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．专题三（2）函数的概念参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x≥﹣1且x≠1．∴函数的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）【分析】由已知函数的定义域可得1＜x2＜2，求解不等式组得答案．【解答】解：∵数f（x）=的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得﹣＜x＜﹣1或1＜x＜．即函数f（x2）的定义域是（﹣，﹣1）∪（1，）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤【分析】由函数f（x）=的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程ax2+ax﹣3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．【解答】解：由a=0或可得﹣12＜a≤0，故选：B．【点评】求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．【分析】根据函数的定义分别进行判断即可．【解答】解：C的对应法则是f：x→y=x，可得f（4）=∉B，不满足映射的定义，故C的对应法则不能构成映射．故C的对应f中不能构成A到B的映射．故选：C．【点评】本题给出集合A、B，要求我们找出从A到B的映射的个数，着重考查了映射的定义及其判断的知识，属于基础题．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．【分析】利用函数定义，根据x取值的任意性，以及y的唯一性分别进行判断．【解答】解：B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B．【点评】本题主要考查函数的定义的应用，根据函数的定义和性质是解决本题的关键．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．【分析】已知函数的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．C．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断．【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变化x，在有唯一的一个变量y与x对应．则由定义可知①③④，满足函数定义．但②不满足，因为②图象中，当x＞0时，一个x对应着两个y，所以不满足函数取值的唯一性．所以不能表示为函数图象的是②．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的定义以及函数的应用．要求了解，对于一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系．8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）==|x|，与g（x）=x的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）=（x≥2或x≤﹣2），与g（x）==（x≥2）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，∴不是同一对于D，f（x）=|x+1|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R【分析】直接由已知函数解析式求得函数值得答案．【解答】解：f（x）=，x∈{1，2，3}，当x=1时，f（1）=1；当x=2时，f（2）=；当x=3时，f（3）=．∴函数f（x）的值域是．故选：A．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）【分析】由题意：函数y是一个复合函数，值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0．即最小值要小于等于0．【解答】解：由题意：函数y=是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：⇒解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了复合函数的值域的求法，通过值域来求参数的问题．属于基11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]【分析】利用二次函数的单调性即可求解值域．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1，其对称轴x=2，开口向上，∵x∈[3，5]，∴函数f（x）在[3，5]单调递增，当x=3时，f（x）取得最小值为﹣2．当x=5时，f（x）取得最小值为6∴二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为[﹣2，6]．故选：A．【点评】本题考查二次函数的单调性求解最值问题，属于函数函数性质应用题，较容易．12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2【分析】根据二次函数的性质建立关系解得b的值．【解答】解：函数其对称轴x=2，∴函数f（x）在定义域[2，2b]是递增函数，且2b＞2，即b＞1．那么：f（2b）=2b即2b=﹣4b+4解得：b=2故选：A．【点评】本题考查了定义域、值域的关系，利用二次函数的性质，属于基础题．二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为[﹣3，1] ，值域为[0，2] ．【分析】根据函数的定义域和值域的定义进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则3﹣2x﹣x2≥0，即x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，故函数的定义域为[﹣3，1]，设t=3﹣2x﹣x2，则t=3﹣2x﹣x2=﹣（x+1）2+4，则0≤t≤4，即0≤≤2，即函数的值域为[0，2]，故答案为：[﹣3，1]，[0，2]【点评】本题主要考查函数定义域和值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．14．函数的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据使函数的解析式有意义的原则，结合偶次根式的被开方数必须不小于0，我们可以构造关于自变量x的不等式组，解不等式组，可得答案．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足解得﹣3≤x≤1即函数的定义域是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中列出满足条件的不等式组，是解答本题的关键．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围[0，2] ．【分析】把函数y=的定义域为R转化为kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．然后对k分类求解得答案．【解答】解：要使函数y=的定义域为R，则kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．当k=0时，不等式化为6≥0恒成立；当k≠0时，则，解得0＜k≤2．综上，k的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．16．函数的值域为．【分析】令（t≥0），得x=﹣t2+1，把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．【解答】解：令（t≥0），得x=﹣t2+1，∴原函数化为y=．∴数的值域为：．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．【分析】（1）由二次根式的意义可知：（2）由二次根式和分式的意义可知：，分别解不等式组可得答案．【解答】解：（1）由二次根式的意义可知：，∴定义域为[﹣8，3]．（2）由二次根式和分式的意义可知：∴定义域为{﹣1}．故答案为：（1）定义域为[﹣8，3]，（2）定义域为{﹣1}．【点评】本题为函数定义域的求解，使式子有意义，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．【分析】（1）直接根据函数解析式求函数值即可．（2）根据x2的范围可得1+x2的范围，再求其倒数的范围，即为所求．【解答】解：（1）原式=++=．（2）∵1+x2≥1，∴≤1，即f（x）的值域为（0，1]．【点评】本题考查了函数的值与函数的值域的求法，可怜虫推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．【分析】根据题意，一元二次不等式x2+6mx+m+8≥0恒成立；△≤0，求解集即可．【解答】解：函数y=的定义域为R，∴x2+6mx+m+8≥0恒成立；∴△=36m2﹣4（m+8）≤0，整理得9m2﹣m﹣8≤0，解得﹣≤m≤1，∴实数m的取值范围是﹣≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题．20．当x＞0时，求函数的值域．【分析】利用分离常数法，结合基本不等式即可求解值域；【解答】解：∵x＞0，x+1＞0∴函数===2（当且仅当x=时取等号）故得原式函数的值域为[，+∞）．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域（2）直接把x=﹣3，x=代入到函数解析式中可求【解答】解：（1）由题意可得，解不等式可得，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}故函数的定义域，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}（2）f（﹣3）=﹣1，f（）=【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，函数值的求解，属于基础试题22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．【分析】去掉绝对值，得到两段函数，并对每段函数配方即可求出该段的函数f （x）的范围，对两段上求得的f（x）求并集即可求得f（x）的值域．【解答】解：f（x）=；∴当x∈[0，2]时，当x∈（2，4]时，f（x）∈（4，18]综上，即函数f（x）的值域为．【点评】考查求函绝对值函数的值域的求法，以及配方法求二次函数的值域．。

旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课件

B．(－1，1]
C．(－，－1)
D．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析要使函数 f(x)有意义，应有
－x2－3x＋4≥0，
x＋1>0，
解得－1<x<0 或 0<x≤1，故选 A.
x＋1≠1，
3 ． (2021·陕西省高三教学质量检测 ( 四 )) 已知函数 f(x) ＝
□06 唯一确定
A→B
一个元素 x，在集合 B 中都有合 B 中都有□04 唯一确定的
的元素 y 与之对应
数 f(x)与之对应
名称记法
称对应 f：A→B 为从集称 f：A→B 为从集合 A 到集
合 A 到集合 B 的一个合 B 的一个函数
映射
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
2．函数的定义域、值域
x－1 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝(3 x)3 与 y＝x 答案 D
解析 A 中，y＝x－1 与 y＝（x－1）2＝|x－1|的解析式不同，两函数
不相等；B 中，y＝
x－1的定义域为[1，＋∞)，y＝
x－1 x－1的定义域为(1，
＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C 中，y＝4lg x 与 y＝2lg x2＝4lg |x|的
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝ x 答案 C 解析依据函数的概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，故选项 C 不符合．
－x2－3x＋4 2．函数 f(x)＝ lg （x＋1）的定义域为( )
A．(－1，0)∪(0，1]

专题02 函数的概念与基本初等函数-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(通用)(原卷版)

专题02函数的概念与基本初等函数I 考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：已知奇偶性求参数2023年全国Ⅱ卷2023年全国乙卷（理）2024年上海卷2022年全国乙卷（文）2023年全国甲卷（理）从近三年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．考点2：函数图像的识别2022年天津卷2023年天津卷2024年全国甲卷（理）2024年全国Ⅰ卷2022年全国乙卷（文）2022年全国甲卷（理）考点3：函数模型及应用2022年北京卷2024年北京卷2023年全国Ⅰ卷考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性2023年全国乙卷（理）2022年北京卷2023年北京卷2024年全国Ⅰ卷2024年天津卷2023年全国Ⅰ卷考点5：分段函数问题2022年浙江卷2024年上海夏季考点6：函数的定义域、值域、最值问题2022年北京卷2022年北京卷考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用2023年全国Ⅰ卷2022年全国I卷2024年全国Ⅰ卷2022年全国II卷考点8：指对幂运算2022年天津卷2022年浙江卷2024年全国甲卷（理）2023年北京卷考点1：已知奇偶性求参数1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．A ．1-B ．0C ．12D ．12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024年上海夏季高考数学真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b =．5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．考点2：函数图像的识别6．（2022年新高考天津数学高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（）A ．B ．C ．D ．7．（2023年天津高考数学真题）已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．25e 5e 2x xx --+B ．25sin 1x x +C ．25e 5e 2x xx -++D ．25cos 1x x +8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．810．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．考点3：函数的实际应用12．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态13．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =14．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A ．12p p ≥B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p ≤考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是.16．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=17．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞19．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=20．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞考点5：分段函数问题21．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是．22．（2024年上海夏季高考数学真题）已知(),0,1,0x x f x x >=≤⎪⎩则()3f =．考点6：函数的定义域、值域、最值问题23．（2022年新高考北京数学高考真题）函数1()1f x x x=-的定义域是．24．（2022年新高考北京数学高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为；a 的最大值为．考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用25．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=27．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <28．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．129．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-考点8：指对幂运算30．（2022年新高考天津数学高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．631．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．5332．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．33．（2023年北京高考数学真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。

(完整版)人教版高中数学必修选修目录

必修1第一章　集合与函数概念 1.1　集合阅读与思考　集合中元素的个数 1.2　函数及其表示阅读与思考　函数概念的发展历程 1.3　函数的基本性质信息技术应用　用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章　基本初等函数（Ⅰ） 2.1　指数函数信息技术应用　借助信息技术探究指数函数的性质 2.2　对数函数阅读与思考　对数的发明探究也发现　互为反函数的两个函数图象之间的关系 2.3　幂函数小结复习参考题第三章　函数的应用 3.1　函数与方程阅读与思考　中外历史上的方程求解信息技术应用　借助信息技术方程的近似解 3.2　函数模型及其应用信息技术应用　收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修2第一章　空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.2　空间几何体的三视图和直观图阅读与思考　画法几何与蒙日 1.3　空间几何体的表面积与体积探究与发现　祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章　点、直线、平面之间的位置关系 2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2　直线、平面平行的判定及其性质 2.3　直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考　欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章　直线与方程 3.1　直线的倾斜角与斜率探究与发现　魔术师的地毯 3.2　直线的方程 3.3　直线的交点坐标与距离公式阅读与思考　笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章　圆与方程 4.1　圆的方程阅读与思考　坐标法与机器证明 4.2　直线、圆的位置关系 4.3　空间直角坐标系信息技术应用　用《几何画板》探究点的轨迹：圆小结复习参考题必修3第一章　算法初步 1．1　算法与程序框图 1．2　基本算法语句 1．3　算法案例阅读与思考　割圆术小结第二章　统计 2．1　随机抽样阅读与思考　一个著名的案例阅读与思考　广告中数据的可靠性阅读与思考　如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2　用样本估计总体阅读与思考　生产过程中的质量控制图 2．3　变量间的相关关系阅读与思考　相关关系的强与弱实习作业小结第三章　概率 3．1　随机事件的概率阅读与思考　天气变化的认识过程 3．2　古典概型 3．3　几何概型阅读与思考　概率与密码小结复习参考题必修4第一章　三角函数 1 .1　任意角和弧度制 1.2　任意角的三角函数阅读与思考　三角学与天文学 1.3　三角函数的诱导公式 1.4　三角函数的图像与性质探究与发现　函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现　利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用 1.5　函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考　振幅、周期、频率、相位 1.6　三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章　平面向量 2.1　平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考　向量及向量符号的由来 2.2　平面向量的线性运算 2.3　平面向量的基本定理及坐标表示 2.4　平面向量的数量积 2.5　平面向量应用举例阅读与思考　向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章　三角恒等变换 3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用　利用信息技术制作三角函数表 3.2　简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章　解三角形 1.1　正弦定理和余弦定理探究与发现　解三角形的进一步讨论 1.2　应用举例阅读与思考　海伦和秦九韶 1.3　实习作业小结复习参考题第二章　数列 2.1　数列的概念与简单表示法阅读与思考　斐波那契数列信息技术应用 2.2　等差数列 2.3　等差数列的前n项和 2.4　等比数列 2.5　等比数列的前n项和阅读与思考　九连环探究与发现　购房中的数学小结复习参考题第三章　不等式 3.1　不等关系与不等式 3.2　一元二次不等式及其解法 3.3　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考　错在哪儿信息技术应用　用Excel解线性规划问题举例 3.4　基本不等式小结复习参考题数学　选修1-1 （文科）第一章　常用逻辑用语 1.1　命题及其关系 1.2　充分条件与必要条件 1.3　简单的逻辑联结词阅读与思考　“且”“或”“非”与“交”“并”“补” 1.4　全称量词与存在量词小结复习参考题第二章　圆锥曲线与方程 2.1　椭圆探究与发现　为什么截口曲线是椭圆信息技术应用　用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆 2.2　双曲线探究与发现 2.3　抛物线阅读与思考　圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章　导数及其应用 3.1　变化率与导数 3.2　导数的计算探究与发现　牛顿法──用导数方法求方程的近似解 3.3　导数在研究函数中的应用信息技术应用　图形技术与函数性质 3.4　生活中的优化问题举例实习作业　走进微积分小结数学　选修1-2（文科）第一章　统计案例 1.1　回归分析的基本思想及其初步应用 1.2　独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章　推理与证明 2.1　合情推理与演绎推理阅读与思考　科学发现中的推理 2.2　直接证明与间接证明小结复习参考题第三章　数系的扩充与复数的引入 3.1　数系的扩充和复数的概念 3.2　复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章　框图 4.1　流程图 4.2　结构图信息技术应用　用word2002绘制流程图小结数学　选修2-1（理科）第一章　常用逻辑用语 1.1　命题及其关系 1.2　充分条件与必要条件 1.3　简单的逻辑联结词 1.4　全称量词与存在量词小结复习参考题第二章　圆锥曲线与方程 2.1　曲线与方程 2.2　椭圆探究与发现　为什么截口曲线是椭圆信息技术应用　用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆 2.3　双曲线探究与发现 2.4　抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章　空间向量与立体几何 3.1　空间向量及其运算阅读与思考　向量概念的推广与应用 3.2　立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2（理科）第一章　导数及其应用 1.1　变化率与导数 1.2　导数的计算 1.3　导数在研究函数中的应用 1.4　生活中的优化问题举例 1.5　定积分的概念 1.6　微积分基本定理 1.7　定积分的简单应用小结复习参考题第二章　推理与证明 2.1　合情推理与演绎推理 2.2　直接证明与间接证明 2.3　数学归纳法小结复习参考题第三章　数系的扩充与复数的引入 3.1　数系的扩充和复数的概念 3.2　复数代数形式的四则运算小结复习参考题数学　选修2-3（理科）第一章　计数原理 1.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现　子集的个数有多少 1.2　排列与组合探究与发现　组合数的两个性质 1.3　二项式定理探究与发现　“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章　随机变量及其分布 2.1　离散型随机变量及其分布列 2.2　二项分布及其应用探究与发现　服从二项分布的随机变量取何值时概率最大 2.3　离散型随机变量的均值与方差 2.4　正态分布信息技术应用　μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章　统计案例 3.1　回归分析的基本思想及其初步应用 3.2　独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题数学选修4-4（文/理）引言第一讲　坐标系一　平面直角坐标系二　极坐标系三　简单曲线的极坐标方程四　柱坐标系与球坐标系简介第二讲　参数方程一　曲线的参数方程二　圆锥曲线的参数方程三　直线的参数方程四　渐开线与摆线学习总结报告数学选修4-5（文/理）引言第一讲　不等式和绝对值不等式一　不等式 1.不等式的基本性质 2.基本不等式 3.三个正数的算术-几何平均不等式二　绝对值不等式 1.绝对值三角不等式 2.绝对值不等式的解法第二讲　讲明不等式的基本方法一　比较法二　综合法与分析法三　反证法与放缩法第三讲　柯西不等式与排序不等式一　二维形式柯西不等式二　一般形式的柯西不等式三　排序不等式第四讲　数学归纳法证明不等式一　数学归纳法二　用数学归纳法证明不等式学习总结报告。

高中数学函数的定义域(解析版)

1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A 专高中数学函数的定义域（解析版）．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．考点一求给定解析式的函数的定义域【方法总结】常见函数定义域的类型【例题选讲】[例1](1)函数y ＝ln(1－x )x ＋1＋1x的定义域是()A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1)答案D解析－x >0，＋1>0，≠0，解得－1<x <0或0<x <1．所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg(x ＋1)的定义域为()A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3]答案B解析要使函数有意义，xx 2＋2x ＋3≥0，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．(3)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是()A ．(－2，0)∪(1，2)B ．(－2，0]∪(1，2)C ．(－2，0)∪[1，2)D ．[－2，0]∪[1，2]答案C 解析，>0，所以x ∈(－2，0)∪[1，2)．(4)函数f (x )＝2－2x ＋1log 3x的定义域为()A ．{x |x <1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x >1}答案B解析－2x ≥0，>0，3x ≠0，∴0<x <1．(5)函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．答案(0，2]解析－|x －1|≥0，x －1≠0，x ≤2，≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．【对点训练】1．下列函数中，与函数y 的定义域相同的函数为()A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x1．答案D解析函数y 的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}；y ＝ln xx 的定义域为{x |x >0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}．故选D ．2．函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是()A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2，3)∪(3，＋∞)2．答案D解析由题意，x －4>0，－3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为()A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)3．答案C解析x －1≥0，－2≠0，解得x ≥0，且x ≠2．4．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg(x －1)的定义域为()A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10]4．答案D解析要使函数f (x )有意义，则x ＋9x －x 2≥0，－1>0，x －1)≠0，x ＋1)(x －10)≤0，>1，≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1，2)∪(2，10]．5．函数y ＝＋1－x 2的定义域为________．5．答案(0，1]解析＋1x >0，－x 2≥0<－1或x >0，1≤x ≤1⇒0<x ≤1．所以该函数的定义域为(0，1]．考点二求抽象函数的定义域【方法总结】求抽象函数定义域的方法【例题选讲】[例2](1)已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1，1)B 1C ．(－1，0)D 答案B解析令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1，0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12．(2)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f (x －1)的定义域为()A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D －12，答案C解析1<x2<1，1<x －1<1，2<x <2，x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f (x －1)的定义域为(0，2)．(3)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，3]答案A解析x ≤2，－2x ≥0，解得0≤x ≤1．故选A ．(4)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案[－1，2]解析因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．(5)若函数y ＝f (2x)的定义域为12，2，则y ＝f (log 2x )的定义域为________．答案，16]解析由题意可得x ∈12，2，则2x ∈[2，4]，log 2x ∈[2，4]，解得x ∈，16]，即y ＝f (log 2x )的定义域为，16]．【对点训练】6．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为()A ．13，53B ．－1，53C ．[－3，1]D ．13，16．答案A解析由－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3，即f (x )的定义域为[－1，3]．由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53，则函数f (3x －2)的定义域为13，53，故选A ．7．设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为()A ．(－9，＋∞)B ．(－9，1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9，1)7．答案B解析f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]－x >0，－lg(1－x )>0的解集，解得－9<x<1，所以f [f (x )]的定义域为(－9，1)．故选B ．8．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0，1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是()A ．[1，2]B ．(－1，1]C ．－120D ．(－1，0)8．答案D解析由f (2x －1)的定义域是[0，1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1，1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足1≤2x ＋1≤1，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0．9．若函数f (x ＋1)的定义域为[0，1]，则f (2x －2)的定义域为()A ．[0，1]B ．[log 23，2]C ．[1，log 23]D ．[1，2]9．答案B解析∵f (x ＋1)的定义域为[0，1]，即0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2．∵f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对应关系f ，∴2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2．∴函数f (2x －2)的定义域为[log 23，2]．考点三已知函数定义域求参数【方法总结】解决已知定义域求参数问题的思路方法【例题选讲】[例3](1)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为_________．答案[－2，2]解析若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2]．(2)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是()A ．[0，4)B ．(0，4)C ．[4，＋∞)D ．[0，4]答案D解析由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4．综上可得：0≤m ≤4．(3)若函数f (x )2221x ax a+--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案[－1，0]解析因为函数f (x )的定义域为R ，所以22+2-x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即22+2-x ax a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0．(4)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A 0，34B ．0，34C ．0，34D ．0，34答案D 解析∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是0，34【对点训练】10．函数y ＝ln(x 2－x －m )的定义域为R ，则m 的范围是________．10．答案－∞，－14解析由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m <0，∴m <－14．11．若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．11．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92．12．若函数y＝ax＋1的定义域为R，则实数a的取值范围是________．ax2＋2ax＋312．答案[0，3)解析因为函数y＝ax＋1的定义域为R，所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函ax2＋2ax＋3数u＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数u＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a＜0，解得0＜a＜3．综上所述，a的取值范围是[0，3)．。

高三一轮复习：函数的定义域及值域

2.2 函数的定义域及值域【考纲解读】【要点梳理】1.函数的定义域是自变量x 的取值集合，函数的值域是因变量y 的取值集合.2.已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0;(2)偶次根式函数,被开方数非负数;(3)一次函数、二次函数的这定义域为R ；（4）0x 中的底数不等于0；（5）指数函数xy a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >；（7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（9）cot y x =的定义域均为{}|,x x k k z π≠∈.4.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义.5.函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.【例题精析】考点一函数的定义域函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1.(2012年高考山东卷文科3)函数21()4ln(1)f x xx=+-+的定义域为( )(A)[2,0)(0,2]-(B)(1,0)(0,2]-(C)[2,2]-(D)(1,2]-1.(2011年高考江西卷文理科3)若()log()f xx12=2+1，则()f x的定义域为( ) A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须12log(21)0x+>,即0211x<+<,解得x1-<<02,故选A.考点二函数的值域例2.（2010年高考山东卷文科3）函数()()2log 31x f x =+的值域为（） A. ()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣2.（2010年高考重庆卷文科4）函数164xy =-的值域是（）（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 【答案】C 【解析】[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈.【易错专区】问题：对定义域理解不全而导致错误例.已知函数(1)f x +的定义域是[-1,1],求函数(2)xf 的定义域.【课时作业】1.(广东省肇庆市中小学教学质量评估2012届高中毕业班第一次模拟)已知函数()lgfx x=的定义域为M，函数2,231,1x xyx x⎧>=⎨-+<⎩的定义域为N，则M N=( )A. (0,1)B. (2,)+∞ C. (0,)+∞ D. (0,1)(2,)+∞【答案】D【解析】由已知得(0,),(,1)(2,)(0,1)(2,)M N M N=+∞=-∞+∞⇒=+∞.2．(广东省六校2012年2月高三第三次联考文科)函数1lg(1)y x x=--+的定义域为( )A．{|1}x x≥ B．{|11}x x-<< C．{|1}x x>- D．{|11}x x-<≤3.(2011年高考安徽卷文科13)函数216yx x=--的定义域是.【答案】（－3,2）【解析】由260x x-->可得260x x+-<，即()()+320x x-<，所以32x-<<.4. (北京市西城区2012年1月高三期末考试)函数21()logf xx=的定义域是______．【答案】{|011}x x x<<>或【解析】由2,0,1,log0xx xx>⎧∴>≠⎨≠⎩函数21()logf xx=的定义域为{|011}x x x<<>或. 5．(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)已知函数3()1+2+(0)f x x xx=>在x=a时取到最小值，则a=________．6．（辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科）若函数2()(2)xf x x x e=-的最小值是00(),f xx则值为．【答案】2【解析】由题意可知,本小题只能利用导数法求函数的最小值.【考题回放】1.(2011年高考广东卷文科4)函数1()lg(1)1f x xx=++-的定义域是（）A．(,1)-∞-B．(1,)+∞C．(1,1)(1,)-+∞D．(,)-∞+∞2．（2010年高考湖北卷文科5）函数0.51log(43)yx=-的定义域为（）A.(34,1) B(34,∞) C（1，+∞） D. (34,1)∪（1，+∞）【答案】A3．（2010年高考天津卷文科10）设函数2()2()g x x x R=-∈，()4,(),(),().(){g x x x g xg x x x g xf x++<-≥=则()f x的值域是（）（A）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦（B）[0,)+∞（C）9[,)4-+∞（D）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦为(2,)+∞；当(1,2)x ∈-时，()f x 的值域为9[,0)4-，故选D 。

高三数学专题(3)集合与函数

第一讲集合与函数● 高考风向标本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算：含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法：逻辑关联词：四种命题：充要条件．映射的概念：函数的概念：函数的单调性：反函数的概念：分数指数幂的概念和性质：指数函数的图象和性质：对数的定义和运算性质：对数函数的图象与性质：函数的一些应用． ● 典型题选讲例１在ABC ∆中：“B A <”是“B A sin sin <”的什么条件？讲解在ABC ∆中：角A 、B 的对边分别是,a b R 是ABC ∆的外接圆的半径．一方面：因为 A<B ：所以a<b , 即B R A R sin 2sin 2< ：亦即 B A sin sin < ：从而ABC ∆中A<B ⇒B A sin sin <。

另一方面：因为B A sin sin <：所以B R A R sin 2sin 2< ：即 b a < ：得A<B ：从而ABC ∆中：B A sin sin <⇒A<B 。

故ABC ∆中：“B A <”是“B A sin sin <” 的充要条件．点评试问：在ABC ∆中：“B A <”是“22cos cos A B >”的什么条件？例２试构造一个函数(),f x x D ∈：使得对一切x D ∈有|()||()|f x f x -=恒成立：但是()f x 既不是奇函数又不是偶函数：则()f x 可以是 .讲解 ()f x 的图像部分关于原点对称：部分关于y 轴对称：如2 ||1() ||1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．点评本题是一道开放题：你能给出其它的答案吗？请不妨一试．例３某种细胞分裂时：由1个分裂成2个：2个分裂成4个：…：一直分裂下去．（１）用列表表示：1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后：得到的细胞个数：（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n (n ∈N ＋)与得到的细胞个数y 之间的关系：（３）写出得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式：试用计算器算算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．讲解（１）利用正整指数幂的运算法则：可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后：得到的细胞个数：列表如下（２）细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式是y ＝2n ：n ∈N ＋．利用计算器可以算得215＝32768：220＝1048576．故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和1048576个．点评细胞分裂是一种很有趣的数学问题：我们也可以思考下面的类似的问题：一种专门占据内存的计算机病毒：开机时占据内存2KB ：然后每3分钟自身复制一次：复制后所占内存是原来的2倍：那么开机后经过 ______ 分钟：该病毒占据64MB 内存（1MB=102KB ）.例４已知函数13)(-=x x f 的反函数)(1x f y -=：)13(log )(9+=x x g （１）若)()(1x g x f ≤-：求x 的取值范围D ：（２）设函数)(21)()(1x f x g x H --=：当D x ∈时：求)(x H 的值域．讲解 ∵ 13)(-=x x f ： ∴ )1(log )(31+=-x x f ．（１）∵)()(1x g x f ≤- 即)13(log )1(log 93+≤+x x ． ∴)13(log )1(log 929+≤+x x ：∴2(1)31,10.x x x ⎧+≤+⎨+>⎩解之得 10≤≤x ：∴[]1,0=∈D x ．（２） ∵ )(21)()(1x f x g x H --= )1(log 21)13(log 39+-+=x x)1(log )13(log 99+-+=x x113log 9++=x x ． []1,0∈x 令123113+-=++=x x x t ：显然在[0：1]递增：则有 21≤≤t ．∴2log )(09≤≤x H ：即)(x H 的值域为}2log 0{9≤≤y y ．例５某厂生产一种仪器：由于受生产能力和技术水平的限制：会产生一些次品．根据经验知道：该厂生产这种仪器：次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=),(32),1(961N x c x N x c x x P （其中c 为小于96的正常数）注：次品率生产量次品数=P ：如0.1P =表示每生产10件产品：约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元：但每生产一件次品将亏损2A元：故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数：（2）当日产量为多少时：可获得最大利润？讲解（1）当x c >时：23P =：所以：每天的盈利额120332AT xA x =-⋅=;当1x c ≤≤时：196P x =-：所以：每日生产的合格仪器约有1196x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭件：次品约有196x x ⎛⎫⎪-⎝⎭件．故：每天的盈利额()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上：日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 12960, xx A x cT x x c⎧⎡⎤-≤≤⎪⎢⎥=-⎨⎣⎦⎪>⎩ （2）由（1）知：当x c >时：每天的盈利额为0．当1x c ≤≤时：()3296xT x A x ⎛⎫=- ⎪⎪-⎝⎭．令96x t -=：则09695c t <-≤≤．故()3961144114796979702222t T t A t A A A t t ⎛-⎛⎫⎛⎫=--=--≤-=> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝．当且仅当144t t=：即()1288t x ==即时：等号成立．所以（i ）当88c ≥时：max 1472T A =（等号当且仅当88x =时成立）．（ii ）当188c ≤<时：由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤：易证函数()144g t t t=+在(12,)t ∈+∞上单调递增（证明过程略）．所以：()()96g t g c ≥-．所以：()2114411441441892979796022961922c c T t A c A A t c c ⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=--≤---=>⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭：即2max14418921922c c T A c ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭．（等号当且仅当x c =时取得）综上：若8896c ≤<：则当日产量为88件时：可获得最大利润：若188c ≤<：则当日产量为c 时：可获得最大利润．点评分段函数是历年高考的热门话题：常考常新：值得我们在复课时认真对待．例６设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=：已知不论α：β为何实数：恒有.0)cos 2(0)(sin ≤+≥βαf f 和（1）求证：;1-=+c b（2）求证：;3≥c（3）若函数)(sin αf 的最大值为8：求b ：c 的值．讲解（1）由),()(2R c b c bx x x f ∈++=产生b+c ：只要消除差异x ：这可令.1=x.0)1(,0)(sin 1sin 1≥∴≥≤≤-f f 恒成立且αα.0)1(,0)cos 2(3cos 21≤∴≤+≤+≤f f 恒成立且ββ从而知 .1.01.0)1(-=+=++∴=c b c b f 即（2）由.039,0)3(,0)cos 2(≤++∴≤≤+c b f f 知β又因为.3.1≥∴-=+c c b（3）,)21()21(sin sin )1(sin )(sin 222c c c c c f +-++-=+--+=αααα 当.8)](sin [,1sin max =-=ααf 时由⎩⎨⎧=++=+-.01,81c b c b 解得 .3,4=-=c b点评注意：b a ≥且b a b a =⇒≤, 这是用不等式证明等式的有效方法：很是值得重视.例７设f(x)=lg nn a n xx x ⋅+-++)1(21 ,a ∈R, n ∈N 且n ≥2.若f(x)当x ∈(-∞,1)有意义：求a 的取值范围．讲解 f(x)当x ∈(-∞,1)有意义：当且仅当1＋2x＋…＋(n-1)x＋an x>0 对x ∈(-∞,1)恒成立．即函数g(x)=xn)1(＋xn)2(＋…＋xnn )1(-＋a>0 对于任意的x ∈(-∞,1)恒成立．因为g(x)在(-∞,1)上是减函数：其最小值为g(1)= n 1＋n 2＋…＋n n 1-＋a=21(n －1)＋a ：所以g(x) >0对x ∈(-∞,1)恒成立的充要条件是21-n ＋a>0：即a>21n -．故所求实数a 的范围为（21n-：+∞）．点评构造函数是应用函数思想解题的基础：怎么构造：构造怎样的函数完全因题而定．请读者注意：恒成立问题在高考中多次出现：其解题方法：很值得探究．例８函数f x ()是定义在［0：1］上的增函数：满足f x f x()()=22且f ()11=：在每个区间(,]12121ii -（i =1：2……）上：y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分．（１）f ()0及f ()12：f ()14的值：并归纳出f i i()(,,)1212= 的表达式; （２）直线x i =12：x i =-121：x 轴及y f x =()的图象围成的矩形的面积为a i （i =1：2……）：记S k a a a n n ()lim()=+++→∞12 ：求S k ()的表达式：并写出其定义域和最小值．讲解（１）为了求f ()0：只需在条件f x f x()()=22中：令0x =：即有 f f ()()020=：得f ()00=．由f f ()()1212=及f ()11=：得f f ()()1212112==．同理：f f ()()1412124==1．归纳得f i i i ()(,,)121212== ．（２）12121i i x <≤-时,f x k x i i ()()=+---121211a k i i i i i i i =++------121212121212121111[()]()=-1=-()(,,)1421221k i i .故 {}a n 是首项为1214()-k ：公比为14的等比数列,所以 S k a a a k k n n ()lim()()()=+++=--=-→∞1212141142314. S k ()的定义域为0<≤k 1：当k =1时取得最小值12.点评本题是２００４年北京高考数学第１８题：将函数与数列综合在一起：体现了数学知识交汇性：是一道既知识、又考能力的活题．针对性演练１．合{} ,16,9,4,1=P ：若P a ∈：P b ∈：则P b a ∈⊕：则运算⊕可能是（）(A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法２．已知集合{1,2,3}A =：{1,0,1}B =-：则满足条件(3)(1)(2)f f f =+的映射:f A B→的个数是 ( )（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）7３．某天清晨：小鹏同学生病了：体温上升：吃过药后感觉好多了：中午时他的体温基本正常：但是下午他的体温又开始上升：直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 ( )(A ) (B) (C) (D)４．定义两种运算：a b ⊕=a b ⊗=则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数（D ）非奇函数且非偶函数５．偶函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上单调递增：则(1)f a +与(2)f b +的大小关系是 ( )（A ）(1)(2)f a f b +≥+（B ）(1)(2)f a f b +<+（C ）(1)(2)f a f b +≤+ （D ）(1)(2)f a f b +>+６．已知函数,),(D x x f y ∈=+∈R y ：且正数C 为常数．对于任意的D x ∈1：存在一个D x ∈2：使()()C x f x f =21：则称函数)(x f y =在D 上的均值为C. 试依据上述定义：写出一个均值为９的函数的例子：________________.7. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。

高三复习数学集合、函数的定义域、值域

高三数学---集合与函数【教学内容】集合、函数的定义域、值域等【教学目标】1、集合是不定义的概念，在理解集合概念的同时，必须掌握集合元素的确定性、互异性及无序性的性质，并能运用这些性质来解题。

注意元素与集合之间是属于或不属于的关系，而集合与集合间是包含或不包含的关系，两者不解混淆。

要熟练地进行集合的交、并、补的运算，在运算时，应首先将集合化简，如果集合中含字母时，必须对字母的取值进行讨论。

集合作为一种数学工具，它与数学的其他各个分支有着密切的联系，复习时要加深对它的理解。

2、函数是一种特殊的映射，在理解函数的概念时要特别注意函数的定义域为非空数集。

若给出函数的解析式，求函数的定义域时我们通常从以下几个方面来考虑；（1）若有分母则分母不为零；（2）若有偶次根式，则被开方数非负；（3）若有对数式，则真数大于零且底数大于零而不等于1，求一个函数的定义域时实质上就是求由上述的不等式得到的不等式组的解集。

对于反函数，由于反函数的定义域和值域分别是它原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不是由其对应法则本身确定，而应是它的原函数值域。

3、对于常见的一些函数，我们应掌握其值域或最大（小）的求法。

（1）配方法是求二次函数值域的基本方法，当有些化成形如二次函数的复合函数（如y=a[f(x)-b]2+c ），求值域时必须注意f(x)的取值范围。

（2）函数)0( ≠++=c d cx b ax y 的值域是的值域是y ∈R 且ca y ≠.（3）函数22rqx pxc bx ax y ++++=(px 2+qx+r ≠0)可以用判别式法来求其值域。

（4）对于某些元理函数常用换元法求值域，通过变量代替达到化繁为简、化难为易的目的，其中的三角换元可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题来处理。

（5）对于一些特殊的函数可利用函数的单调性来求该函数在某闭区间上的值域。

（6）利用函数图象或几何方法求出函数的值域也是求值域的较常见的方法之一。

高三专题(函数-集合、定义域、值域) 2019年1月辅导课件1

1
x max 2 ，
x max 2 2 4 x 再表达 y f x f 1 x ，发现很难求出反函数，因此只
点评：这是复合函数的定义域求法，属中等难度，本题需注意两点：一是复合函数内部函数的等价代换思想，二是不等式 1
1 1 的简便求法。 x
同步练习： 1.求下列函数的定义域：（1）已知函数 f x 的定义域为 2,2 ，求函数 y f x 1 的定义域。
2

（2）已知函数 y f 2 x 4 的定义域为 0,1 ，求函数 f x 的定义域。（3）已知函数 f x 的定义域为 1,2 ，求函数 y f x 1 f x 1 的定义域。

（2） x 4,6
（3） x

3 ,1

4.D 5.C
1
（2） x 3,5
（3） x
2,3
3.C
函数（值域）专题
知识点：函数值域的求法本知识点是函数的难点内容，题型多变，要根据不同的题型选择不同的解题方法。常见的求值域的方法有：函数图形求值域法；不等式求值域；反函数求值域法....... 例1. 求函数 y
S n 12an 1 成立的 n 的最小值为
解法一：列表法
。
解法二：公式计算法满足条件时，假设 2n 1 共有 s 个， 2
有 t 个，由 S
n
n
12an 1 可得，
S n an 1 12an 1 an 1 , 即是 S n 1 13an 1 ，则有 n 1 s t ，最后一项有可能是
2

2.求下列函数的定义域：

职高高三一轮复习-函数的定义域、值域

函数的定义域、值域一、高考要求：掌握函数的定义域、值域的求解.二、知识要点：函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射,如果A 、B 都是非空数集,那么A 到B 的映射f :A→B 称为A 到B 的函数.其中原象的集合(自变量的取值集合)A 叫做函数的定义域.象的集合(函数值的集合)C(C ⊆B)称为函数的值域.三、典型例题：例1;求下列函数的定义域:(1)y=-2x 2+3x-1; (2)422--=x x y ; (3)22x x y -=; (4)3213113-+---=x x x x y 例2:求下列函数的值域; (1)1+=x y ; (2) y=-2x 2+4x-1; (3)53-+==x x y ; (4)13212+-=x x y . 四、归纳小结：(一)求函数的定义域(自变量的取值范围)常常归结为解不等式或不等式组,常有以下几种情况:1. 一个函数如果是用解析式给出的,那么这个函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值集合,具体来说有以下几种:(1) )(x f 是整式或奇次根式时,定义域为实数集;(2) )(x f 是分式时,定义域为使分母不为零的实数的集合;(3) )(x f 是二次根式(偶次根式)时,定义域为使被开方式非负的实数的集合;(4) )(x f 是对数函数的,要考虑对数的意义.2. 如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集.3. 由实际问题建立的函数,除了考虑解析式本身有意义外,还要考虑是否符合实际问题的要求.(二)求函数的值域的基本方法是分析法,为分析问题方便起见,常常对函数解析式作些恒等变形.求函数值域的常用方法有:(1) 配方法:利用二次函数的配方法求函数的值域要注意自变量的取值范围;(2) 判别式法:利用二次函数的判别式法求函数的值域要避免“误判”和“漏判”;(3) 图象法:根据函数的图象,利用数形结合的方法来求函数的值域.(4) 反函数法:如果函数有反函数,那么求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域.五、基础知识训练：（一）选择题： 1. 函数)12lg(22--=x x x y 的定义域是( ) A.]2,1()1,21(⋃ B.]2,21( C.()(]2,11,0⋃ D.(]2,0 2. 函数x x y -+=的定义域为( )A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.(-∞,+∞)D.{0}3. 函数xy 111+=的定义域为( ) A.x ＞0 B.x ＞0或x≤-1 C. x ＞0或x ＜-1 D.0＜x ＜14. 函数265)(2-+-=x x x x f 的定义域为( ) A.{x|2＜x ＜3} B.{x|x ＞3或x ＜2} C.{x|x≤2或x≥3} D. {x|x ＜2或x≥3}5. 函数)(x f 的定义域为[-2,1],则函数)1(xx f -的定义域为( ) A.(32-,0) B.[31,+∞) C.*31-,+∞) D.(0,+∞) 6. (当[]4,1∈x 时,函数7822+-=x x y 的值域是( )A.[1,7]B.[-1,1]C.[-1,7]D.[)+∞-,17. 函数322+--=x x y (-5≤x≤0)的值域是( )A.(]4,∞-B.[3,12]C.[-12,4]D.[4,12]8. 若36)]([+=x x g f ,且12)(+=x x g ,则)(x f =( )A.3B.3xC.3(2x+1)D.6x+1（二）填空题：9. (函数4)65(log 222-++-=x x x y 的定义域为(用集合表示) .10. 函数34)63lg(-+-=x x y 的定义域为 . 11. 函数4)(1321-++=x x y 的定义域为 . 12. 已知函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)(2x f 的定义域是 .13. y=x 2-5x+6(-3≤x≤2)的值域是 .14. 已知函数32)(+=x x f ,x ∈{0，1，2，3，4，5},则函数)(x f 的值域是 . 函数22--=x x y 的定义域为A,函数x x y -+=12的定义域为B,则A ∩B= ,A ∪B= .。

第3章函数的概念与性质-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(必修第一册)

第3章函数的概念与性质§3.1函数的概念及其表示1. 设A .B 是非空的实数集，使对于集合A 中的任意一个数x ，如果按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有惟一确定的数y 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2. 函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域.3. 区间：闭区间、开区间、半开半闭区间.4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5. 分段函数§3.2.函数的基本性质§3.2.1单调性与最大（小）值1.函数单调性的定义：设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆，如果12,x x D ∀∈、当12x x <时，都有：12()()f x f x <或12()()0()f x f x f x D -<，就称在区间上单调递增；特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数；12()()f x f x >或12()()0()f x f x f x D ->，就称在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数；2. 最大值、最小值：设函数()f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）x I ∀∈，都有()M f x ≤;（2）0,x I ∃∈使得0()M f x =，我们就称M 是函数()y f x =的最大值.如果存在实数N 满足：（1）x I ∀∈，都有()f x N ≥;（2）0,x I ∃∈使得0()f x N =，我们就称N 是函数()y f x =的最小值.§3.2.2奇偶性1.定义：设函数()x f 的定义域为I , 如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()x f x f =-（或()()0f x f x --=），那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.且若()()f x f x -=-（或()()0f x f x -+=），那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.2.奇函数的性质：若奇函数()x f 的定义域为I , 如果0I ∈，则有(0)0f =.3.奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.§3.3幂函数1.幂函数的解析式： y x α=，x 是自变量，α是常数.2.几种幂函数的图象：3.幂函数的性质：（1）定点：()1,1.（2）单调性：当0α>时，y x α=在()0,+∞上单调递增；当0α<时，y x α=在()0,+∞上单调递减；。

专题复习之集合与函数

第一讲集合与函数● 高考风向标本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算，含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法，逻辑关联词，四种命题，充要条件．映射的概念，函数的概念，函数的单调性，反函数的概念，分数指数幂的概念和性质，指数函数的图象和性质，对数的定义和运算性质，对数函数的图象与性质，函数的一些应用． ● 典型题选讲例１在ABC ∆中，“B A <”是“B A sin sin <”的什么条件？讲解在ABC ∆中，角A 、B 的对边分别是,a b R 是ABC ∆的外接圆的半径．一方面，因为 A<B ，所以a<b , 即B R A R sin 2sin 2< ，亦即 B A sin sin < ，从而ABC ∆中A<B ⇒B A sin sin <。

另一方面，因为B A sin sin <，所以B R A R sin 2sin 2< ，即 b a < ，得A<B ，从而ABC ∆中，B A sin sin <⇒A<B 。

故ABC ∆中，“B A <”是“B A sin sin <” 的充要条件．点评试问：在ABC ∆中，“B A <”是“22cos cos A B >”的什么条件？例２试构造一个函数(),f x x D ∈，使得对一切x D ∈有|()||()|f x f x -=恒成立，但是()f x 既不是奇函数又不是偶函数，则()f x 可以是 .讲解 ()f x 的图像部分关于原点对称，部分关于y 轴对称，如2 ||1() ||1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．点评本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试．例３某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．（１）用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n (n N ＋)与得到的细胞个数y 之间的关系；（３）写出得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式，试用计算器算算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．讲解（１）利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下分裂次数 1 2 3 4 5 6 7 8细胞个数248163264128 256（２）细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式是y ＝2n ，nN ＋．利用计算器可以算得215＝32768，220＝1048576．故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和1048576个．点评细胞分裂是一种很有趣的数学问题，我们也可以思考下面的类似的问题：一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 ______ 分钟，该病毒占据64MB 内存（1MB=102KB ）.例４已知函数13)(-=x x f 的反函数)(1x f y -=，)13(log )(9+=x x g （１）若)()(1x g x f ≤-，求x 的取值范围D ；（２）设函数)(21)()(1x f x g x H --=，当D x ∈时，求)(x H 的值域．讲解 ∵ 13)(-=x x f ， ∴ )1(log )(31+=-x x f ．（１）∵)()(1x g x f ≤- 即)13(log )1(log 93+≤+x x ． ∴)13(log )1(log 929+≤+x x ，∴2(1)31,10.x x x ⎧+≤+⎨+>⎩解之得 10≤≤x ，∴[]1,0=∈D x ．（２） ∵ )(21)()(1x f x g x H --= )1(log 21)13(log 39+-+=x x )1(log )13(log 99+-+=x x113log 9++=x x ． []1,0∈x令123113+-=++=x x x t ，显然在[0，1]递增，则有 21≤≤t ．∴2log )(09≤≤x H ，即)(x H 的值域为}2log 0{9≤≤y y ．例５某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=),(32),1(961N x c x N x c x x P （其中c 为小于96的正常数）注：次品率生产量次品数=P ，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解（1）当x c >时，23P =，所以，每天的盈利额120332AT xA x =-⋅=;当1x c ≤≤时，196P x =-，所以，每日生产的合格仪器约有1196x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭件，次品约有196x x ⎛⎫⎪-⎝⎭件．故，每天的盈利额()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 12960, xx A x cT x x c⎧⎡⎤-≤≤⎪⎢⎥=-⎨⎣⎦⎪>⎩ （2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0．当1x c ≤≤时，()3296xT x A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭．令96x t -=，则09695c t <-≤≤．故()3961144114796979702222t T t A t A A A t t ⎛-⎛⎫⎛⎫=--=--≤-=> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝．当且仅当144t t=，即()1288t x ==即时，等号成立．所以（i ）当88c ≥时，max 1472T A =（等号当且仅当88x =时成立）．（ii ）当188c ≤<时，由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤，易证函数()144g t t t=+在(12,)t ∈+∞上单调递增（证明过程略）．所以，()()96g t g c ≥-．所以，()2114411441441892979796022961922c c T t A c A A t c c ⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=--≤---=>⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2max14418921922c c T A c ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭．（等号当且仅当x c =时取得）综上，若8896c ≤<，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若188c ≤<，则当日产量为c 时，可获得最大利润．点评分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．例６设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，已知不论α，β为何实数，恒有.0)cos 2(0)(sin ≤+≥βαf f 和（1）求证：;1-=+c b（2）求证：;3≥c（3）若函数)(sin αf 的最大值为8，求b ，c 的值．讲解（1）由),()(2R c b c bx x x f ∈++=产生b+c ，只要消除差异x ，这可令.1=x.0)1(,0)(sin 1sin 1≥∴≥≤≤-f f 恒成立且ααΘ.0)1(,0)cos 2(3cos 21≤∴≤+≤+≤f f 恒成立且ββΘ从而知 .1.01.0)1(-=+=++∴=c b c b f 即（2）由.039,0)3(,0)cos 2(≤++∴≤≤+c b f f 知β又因为.3.1≥∴-=+c c b（3）,)21()21(sin sin )1(sin )(sin 222c c c c c f +-++-=+--+=ααααΘ当.8)](sin [,1sin max =-=ααf 时由⎩⎨⎧=++=+-.01,81c b c b 解得 .3,4=-=c b点评注意：b a ≥且b a b a =⇒≤, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视.例７设f(x)=lg nn a n xx x ⋅+-++)1(21Λ,a ∈R, n ∈N 且n ≥2.若f(x)当x ∈(-∞,1)有意义，求a 的取值范围．讲解 f(x)当x ∈(-∞,1)有意义，当且仅当1＋2x ＋…＋(n-1)x ＋an x >0 对x ∈(-∞,1)恒成立．即函数g(x)=xn)1(＋xn)2(＋…＋xnn )1(-＋a>0 对于任意的x ∈(-∞,1)恒成立．因为g(x)在(-∞,1)上是减函数，其最小值为g(1)= n 1＋n 2＋…＋n n 1-＋a=21(n －1)＋a ，所以g(x) >0对x ∈(-∞,1)恒成立的充要条件是21-n ＋a>0，即a>21n -．故所求实数a 的范围为（21n-，+∞）．点评构造函数是应用函数思想解题的基础，怎么构造，构造怎样的函数完全因题而定．请读者注意，恒成立问题在高考中多次出现，其解题方法，很值得探究．例８函数f x ()是定义在［0，1］上的增函数，满足f x f x ()()=22且f ()11=，在每个区间(,]12121ii -（i =1，2……）上，y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分．（１）f ()0及f ()12，f ()14的值，并归纳出f i i()(,,)1212=ΛΛ的表达式;（２）直线x i =12，x i =-121，x 轴及y f x =()的图象围成的矩形的面积为a i （i =1，2……），记S k a a a n n ()lim()=+++→∞12Λ，求S k ()的表达式，并写出其定义域和最小值．讲解（１）为了求f ()0，只需在条件f x f x()()=22中，令0x =，即有 f f ()()020=，得f ()00=．由f f ()()1212=及f ()11=，得f f ()()1212112==．同理，f f ()()1412124==1．归纳得f i i i ()(,,)121212==ΛΛ．（２）12121i i x <≤-时,f x k x i i ()()=+---121211a k i i i i i i i =++------121212121212121111[()]()=-1=-()(,,)1421221k i i ΛΛ.故 {}a n 是首项为1214()-k ，公比为14的等比数列,所以 S k a a a k k n n ()lim()()()=+++=--=-→∞1212141142314Λ. S k ()的定义域为0<≤k 1，当k =1时取得最小值12.点评本题是２００４年北京高考数学第１８题，将函数与数列综合在一起，体现了数学知识交汇性，是一道既知识、又考能力的活题．针对性演练１．合{}ΛΛ,16,9,4,1=P ，若P a ∈，P b ∈，则P b a ∈⊕，则运算⊕可能是（） (A)加法(B)减法(C) 除法(D)乘法２．已知集合{1,2,3}A =，{1,0,1}B =-，则满足条件(3)(1)(2)f f f =+的映射:f A B →的个数是 ( )（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）7３．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 ( )(A ) (B) (C) (D)４．定义两种运算：a b ⊕=a b ⊗=，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数（D ）非奇函数且非偶函数５．偶函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上单调递增，则(1)f a +与(2)f b +的大小关系是 ( )（A ）(1)(2)f a f b +≥+（B ）(1)(2)f a f b +<+（C ）(1)(2)f a f b +≤+ （D ）(1)(2)f a f b +>+６．已知函数,),(D x x f y ∈=+∈R y ，且正数C 为常数．对于任意的D x ∈1，存在一个D x ∈2，使()()C x f x f =21，则称函数)(x f y =在D 上的均值为C. 试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：________________.7. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。