人教版九年级上册数学试题：22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质习题(无答案)

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22.1.3《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》练习题(含答案)

22.1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质第1课时二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象1．(教材P 33练习变式)函数y ＝13x 2＋1与y ＝13x 2的图象的不同之处是(C )A ．对称轴B ．开口方向C ．顶点D ．形状 2．(自贡期中)二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是(B )3．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是(C )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2＋34．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)． 5．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．6.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y ＝－2x 2，y ＝－2x 2＋3的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线y ＝－2x 2＋3与抛物线y ＝－2x 2有什么关系？解：如图所示：(1)抛物线y ＝－2x 2开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)．抛物线y ＝－2x 2＋3开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，3)． (2)抛物线y ＝－2x 2＋3可由抛物线y ＝－2x 2向上平移3个单位长度得到．知识点2 二次函数y ＝ax 2＋k 的性质7．(河池中考)已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是(D )A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 28．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是(D )A ．抛物线开口向上B ．顶点坐标为(－1，2)C ．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大9．二次函数y ＝3x 2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y 轴，当x >0时，y 随x 的增大而增大；当x <0时，y 随x 的增大而减小．因为a ＝3>0，所以y 有最小值，当x ＝0时，y 的最小值是－3．10．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝13x 2的图象，使得到的新的函数图象经过点(3，－3)，若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．解：设平移后的函数解析式为y ＝13x 2＋k ，把(3，－3)代入，得－3＝13×32＋k ，解得k ＝－6.∴把y ＝13x 2的图象向下平移6个单位长度，得到的新的函数图象经过点(3，－3)．02 中档题11．(山西农业大学附中月考)在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是(C )12．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A (－3，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是(A )A ．a >0B ．a <0C ．a ≥0D ．a ≤013．(山西农业大学附中月考)已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等．当x 取x 1＋x 2时，函数值为(D )A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c14．(泸州中考)已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F (0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是(C )A ．3B ．4C ．5D ．615．已知y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4－3是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m ＝－3．16．将抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移3个单位长度，得到抛物线y ＝－2x 2－1，则a ＝－2，c ＝2．17．若抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)与y ＝－2x 2＋4关于x 轴对称，则a ＝2，k ＝－4．18．把y ＝－12x 2的图象向上平移2个单位长度．(1)求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x 的值．解：(1)新图象的函数解析式为y ＝－12x 2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y 轴．(2)略．(3)当x ＝0时，y 有最大值，为2.03 综合题19．(大连中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋14与y 轴相交于点A ，点B 在y 轴上，且在点A 的上方，AB ＝O A. (1)填空：点B 的坐标是(0，12)；(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b (其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC ，求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由．解：∵B 点坐标为(0，12)，∴设直线的解析式为y ＝kx ＋12.令y ＝0，得kx ＋12＝0，解得x ＝－12k .∴OC ＝－12k.∵PB ＝PC ，∴点P 只能在x 轴上方．过B 作BD ⊥l 于点D ，设PB ＝PC ＝m ，则BD ＝OC ＝－12k ，CD ＝OB ＝12，∴PD ＝PC －CD ＝m －12.在Rt △PBD 中，由勾股定理，得PB 2＝PD 2＋BD 2，即m 2＝(m －12)2＋(－12k )2，解得m ＝14＋14k 2.∴PB ＝14＋14k2.∴P 点坐标为(－12k ，14＋14k2)．当x ＝－12k 时，代入抛物线的解析式可得y ＝14＋14k 2，∴点P 在抛物线上．第2课时二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2的图象1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝12(x －2)2的图象可能是(D )2．抛物线y ＝－4(x ＋3)2与x 轴的交点坐标是(－3，0)，与y 轴的交点坐标是(0，－36)． 3．将抛物线y ＝ax 2向左平移2个单位长度后，经过点(－4，－4)，则a ＝－1．4．(教材P 35练习变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象如图：抛物线y ＝x 2的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为(0，0)．抛物线y ＝(x ＋2)2的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)．抛物线y ＝(x －2)2的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)．知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2的性质5．下列对二次函数y ＝2(x ＋4)2的增减性描述正确的是(D )A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＞－4时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＜－4时，y 随x 的增大而减小6．描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数y ＝(x －2)2，下列说法：①图象经过点(1，1)；②当x ＝2时，y 有最小值0；③y 随x 的增大而增大；④该函数图象关于直线x ＝2对称．其中正确的是(B )A．①②B．①②④C．①②③④D．②③④7．如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，那么a<0，当x＝－3时，函数的最大值是0. 8．完成表格：9.(衡阳中考)已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1＞y2(填“＜”“＞”或“＝”)．10．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过点(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2.解得a＝－3.∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小．易错点1 混淆二次函数图象的平移方向与h 的加减关系11．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是(C )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)2 易错点2 二次函数增减性相关的易错12．已知二次函数y ＝2(x －h )2的图象上，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足h ≤3． 02 中档题13．(玉林中考)对于函数y ＝－2(x －m )2的图象，下列说法不正确的是(D )A ．开口向下B ．对称轴是x ＝mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交14．在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a )2与直线y ＝a ＋ax 的图象可能是(D )15．已知A (－4，y 1)，B (－3，y 2)，C (3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为y 3<y 1<y 2．16．已知二次函数y ＝2(x －1)2的图象如图所示，则△ABO 的面积是1．17．已知某抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)．根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．解：∵所求抛物线与y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，∴所求抛物线解析式的二次项系数是12.又∵顶点坐标是(－5，0)，∴所求抛物线的解析式为y ＝12(x ＋5)2.18．二次函数y ＝a (x －h )2的图象如图，已知a ＝12，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．解：由题意，得C (h ，0)， y ＝12(x －h )2. ∵OA ＝OC ，∴A (0，h )．将点A (0，h )代入抛物线的解析式，得12h 2＝h .∴h 1＝2，h 2＝0(不合题意，舍去)． ∴该抛物线的解析式为y ＝12(x －2)2.03 综合题19．已知点P (m ，a )是抛物线y ＝a (x －1)2上的点，且点P 在第一象限内． (1)求m 的值；(2)过P 点作PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a (x －1)2于点Q .若a 的值为3，试求P 点，Q 点及原点O 围成的三角形的面积．解：(1)∵点P (m ，a )是抛物线y ＝a (x －1)2上的点， ∴a ＝a (m －1)2，解得m ＝2或m ＝0. 又∵点P 在第一象限内，∴m ＝2. (2)∵a 的值为3，∴抛物线的解析式为y ＝3(x －1)2. ∵m ＝2，a ＝3，∴点P 的坐标为(2，3)． ∵PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a (x －1)2于点Q ，∴Q 点纵坐标也为3.令y ＝3，即3＝3(x －1)2，解得x ＝2或x ＝0. ∴点Q 的坐标为(0，3)．∴PQ ＝2. ∴S △OPQ ＝12·PQ ·y P ＝12×2×3＝3.第3课时二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象1．(大同市期中)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是(D )A ．(－1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1，2)2．(呼伦贝尔中考)二次函数y ＝(x ＋2)2－1的图象大致为(D )3．将抛物线y ＝12x 2＋1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为(D )A ．y ＝12(x －2)2＋4B ．y ＝12(x －2)2－2C ．y ＝12(x ＋2)2＋4D ．y ＝12(x ＋2)2－24．如图是二次函数y ＝a (x ＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是(1，0)．5．(教材P 37练习变式)说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：6.画出函数y ＝(x －1)2－1的图象．解：列表：描点并连线：知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质7．(台州中考)设二次函数y ＝(x －3)2－4图象的对称轴为直线l .若点M 在直线l 上，则点M 的坐标可能是(B )A ．(1，0)B ．(3，0)C ．(－3，0)D ．(0，－4)8．(吕梁市文水县期中)对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为(C )A ．1B ．2C ．3D ．49．二次函数y ＝(x ＋4)2＋m 2，当x ＞m ＋1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜m ＋1时，y 随x 的增大而减小，则m 的值是－5．10．(河南中考)已知点A (4，y 1)，B (2，y 2)，C (－2，y 3)都在二次函数y ＝(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 2＜y 1＜y 3．易错点1 对抛物线的顶点理解不清11．抛物线y ＝(2x ＋1)2＋1的顶点坐标是(－12，1)．易错点2 将图象平移与坐标轴平移混淆12．在平面直角坐标系中，若抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为y ＝3(x ＋1)2－1． 02 中档题13．与抛物线y ＝4(x －1)2－7的形状相同的抛物线是(B )A ．y ＝(4x －1)2－7B ．y ＝(2x －3)2C ．y ＝14x 2＋7D ．y ＝14(x －1)2＋914．若二次函数y ＝(x －m )2－1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是(C )A ．m ＝1B ．m ＞1C ．m ≥1D ．m ≤115．如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移2个单位长度后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是(C )A ．y ＝(x ＋1)2－1B ．y ＝(x ＋1)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋1D ．y ＝(x －1)2－116．如果二次函数y ＝(x －h )2＋k 的图象经过点(－2，0)和(4，0)，那么h 的值为1． 17．将抛物线y ＝a (x －h )2＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝－2(x ＋3)2＋1的图象． (1)确定a 、h 、k 的值；(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大(小)值．解：(1)∵将抛物线y ＝a (x －h )2＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到平移后的二次函数解析式为y＝－2(x－h＋2)2＋k＋3，∴a＝－2，－h＋2＝3，k＋3＝1.∴a＝－2，h＝－1，k＝－2.(2)∵二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k＝－2(x＋1)2－2，∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－2)．(3)∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，∴当x＜－1时，y随x的增大而增大；当x>－1时，y随x的增大而减小．且当x＝－1时，y有最大值，y的最大值是－2.18．(教材P36例4变式)如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.(1)求喷出的水流离地面的最大高度；(2)求喷嘴离地面的高度；(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？解：(1)∵水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25，∴喷出的水流离地面的最大高度为2.25 m.(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋2.25＝1.25.∴喷嘴离地面的高度为1.25 m.(3)令y＝0，即0＝－(x－1)2＋2.25，解得x1＝－0.5，x2＝2.5.∴水池半径至少为2.5 m时，才能使喷出的水流不落在水池外．03综合题19．如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝54S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝(x＋m)2＋k的顶点坐标为M(1，－4)，∴y＝(x－1)2－4.令y＝0，即(x－1)2－4＝0.解得x1＝3，x2＝－1.∴A(－1，0)，B(3，0)．(2)∵△P AB与△MAB同底，且S△P AB＝54S△MAB，∴|y P|＝54|y M|＝54×4＝5，即y P＝±5.又∵点P在二次函数y＝(x－1)2－4的图象上，∴y P≥－4.∴y P＝5.∴(x－1)2－4＝5，解得x1＝4，x2＝－2.∴存在这样的点P，其坐标为(4，5)或(－2，5)．。

人教版九年级上册数学试题：22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质(无答案)

22.1.3 二次函数()2y a x h k =-+的图像 1．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．2．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．3．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．4．抛物线9412-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线241x y =向平移个单位得到的． 5．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ．6.函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象沿y 轴向平移个单位得到；顶点坐标是 ______；当x<0时，y 随着x 的增大而_______。

7.将抛物线y=-5x 2沿y 轴向下平移4个单位,所得的抛物线的函数式是___ ___ ___8.抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________，与x 轴的交点坐标为________．9．把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为__________．10. 把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为__________．11．将抛物线y ＝－(x －1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______．12．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的二次函数解析式___________________________．13．抛物线()223y x =+的开口___________；顶点坐标为________________；对称轴是_________；当3x >-时，y ______________；当3x -＝时，y 有_______值是_________．14．若将抛物线()221y x =--向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．15．抛物线()2y m x n =+向左平移2个单位后，得到的函数关系式是()244y x =－－，则m ＝__________，n ＝___________．16．若抛物线()21y m x =+过点()14，－，则m ＝_______________．17．抛物线y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同．18．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝x 2相同的解析式为（）A ．y ＝(x －2)2＋3B ．y ＝(x ＋2)2－3C ．y ＝(x ＋2)2＋3D ．y ＝－(x ＋2)2＋319．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．20．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．21．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为 __________________．22．将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．23．抛物线顶点坐标是3422+-=x x y24．将抛物线23x y =平移到顶点为（2，-3），则此时的解析式为。

22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质

增减性最值
当x=-2时,
y最小值=2
当x=2时,
y最大值=-3
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线
开口方向
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
对称轴
顶点坐标
向上直线x=h （ h ， k）
当x=h时,y最小值=k.
向下直线x=h （h，k）
增减性
当x<h时,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大当x>h时, y随着x的增大而增大而增大. 在对称轴的右侧, y随 . 着x的增大而减小.
x
y=2x2
-3
… 8
-2 2
-1 0
0 2
1 8
2 …
3
y=2(x-1)2
y=2(x-1)2+1
…
…
…
…
8
9
2
3
0
2
3
8
9
y
1
y=2x2
5 4 3 2 1
y=2(x–1)2+1
y=2(x–1)2
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2
x
y 2x
2
y 2x 1
2
2
y 2( x 1)
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)， ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1， ∵其图象过点(0,0)， ∴0= a(0-1)2-1， ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1
（2）根据图象回答：当x x<0或x>2 时，
(0,0)
(2,0)

人教版九年级上册数学 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质同步习题

22.1.3二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质基础达标1．抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是( C ) A ．直线x ＝12 B ．直线x ＝－12C ．y 轴D ．直线x ＝22．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( B ) ①y ＝－x 2；②y ＝－2x 2；③y ＝12x 2－1；④y ＝x 2＋2；⑤y ＝－2x 2＋3. A ．①④ B ．②⑤ C ．②③⑤ D ．①②⑤【解析】 a 决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a 相同，选B.3．如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C ) A ．y ＝(x －1)2＋2 B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝x 2＋1 D ．y ＝x 2＋34．下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而增大的是( B ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋15．抛物线y ＝－2x 2－5的开口向__下__，对称轴是__y 轴__，顶点坐标是__(0，－5)__．【解析】根据抛物线y ＝ax 2＋c 的特征解答即可．6．抛物线y ＝13x 2－4可由抛物线y ＝13x 2沿__y __轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的开口向__上__，顶点坐标是__(0，－4)__，对称轴是__y 轴__，当__x ＝0__时，y 有最__小__值为__－4__，当__x >0__时，y 随x 的增大而增大，当__x <0__时，y 随x 的增大而减小．【解析】抛物线y ＝13x 2－4与y ＝13x 2的形状相同，但位置不同，抛物线y ＝13x 2－4的图象可由抛物线y ＝13x 2的图象沿y 轴向下平移4个单位而得到，画出草图回答问题较方便．7．抛物线y ＝x 2＋1的最小值是__1__．顶点是__(0，1)__． 8．(1)填表：x … －2 －1 0 1 2 … y ＝－2x 2 y ＝－2x 2＋1 y ＝－2x 2－1(2)(3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ (4)由抛物线y ＝－2x 2怎样平移得到抛物线y ＝－2x 2＋1与y ＝－2x 2－1? 解：(1)略 (2)略(3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口方向都向下，对称轴都为y 轴，顶点不同，分别为(0，0)，(0，1)，(0，－1)；(4)抛物线y ＝－2x 2＋1可由抛物线y ＝－2x 2向上平移1个单位得到；抛物线y ＝－2x 2－1可由抛物线y ＝－2x 2向下平移1个单位得到．9．二次函数y ＝－12x 2＋c 的图象经过点⎝⎛⎭⎫－3，92，与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在B 点左侧．(1)求c 的值；(2)求A ，B 两点的坐标．解：(1)∵抛物线经过点⎝⎛⎭⎫－3，92， ∴－12×(－3)2＋c ＝92，∴c ＝6.(2)∵c ＝6，∴抛物线为y ＝－12x 2＋6.令y ＝0，则－12x 2＋6＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23，∵A 点在B 点左侧，∴A (－23，0)，B (23，0)．能力提升10．如图22－1－12，两条抛物线y 1＝－12x 2＋1、y 2＝－12x 2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( A )图22－1－12A ．8B ．6C ．10D ．4【解析】两条抛物线的形状大小、开口方向相同，阴影部分面积等于相邻边长为4和2的长方形面积，即等于8.11．抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝－8x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则其表达式为____y ＝－8x 2－6____，它是由抛物线y ＝－8x 2向__下__平移__6__个单位得到的．【解析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 值，再根据顶点坐标(0，－6)，可确定k 值，从而可判断平移方向．∵抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝－8x 2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－8. 又∵其顶点坐标为(0，－6)，∴k ＝－6，∴y ＝－8x 2－6，它是由抛物线y ＝－8x 2向下平移6个单位得到的． 12．已知函数y ＝ax 2＋c 的图象过点(－2，－7)和点(1，2)． (1)求这个函数的关系式； (2)画这个函数的图象；(3)求这个函数的图象与x 轴交点的坐标．【解析】 (1)将两点坐标代入函数的关系式，可得到关于a ，c 的二元一次方程组． (2)列表、描点、连线． (3)求y ＝0时x 的值．解：(1)∵y ＝ax 2＋c 的图象过(－2，－7)，(1，2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋c ＝－7，a ＋c ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，c ＝5.∴y ＝－3x 2＋5. x－2 －112 －1 －12 0 12 1 112 2 y ＝－3x 2＋5－7－134241454142－134－7描点、连线：(3)当y ＝0时，－3x 2＋5＝0，解得x 1＝153，x 2＝－153，故函数图象与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫153，0和⎝⎛⎭⎫－153，0. 13．如图22－1－13(a)，有一座抛物线拱桥，当水位在AB 时，水面宽20 m ，这时，拱高(O点到AB 的距离)为4 m.图22－1－13(1)你能求出图22－1－13(a)的坐标系中抛物线的解析式吗？ (2)如果将直角坐标系建在图22－1－13(b)所示位置，抛物线的形状、顶点、解析式相同吗？【解析】观察抛物线的对称轴和顶点位置是解本题的关键．解：(1)由图象知，抛物线顶点为(0，0)，且抛物线过A (－10，－4)，B (10，－4)，可设y ＝ax 2，把A 点或B 点坐标代入可得a ＝－125，所以y ＝－125x 2；(2)由图象可知，抛物线顶点为(0，4)，故可设y ＝ax 2＋4.又y ＝ax 2＋4的图象过A (－10，0)，B (10，0)，将A 点或B 点坐标代入可得0＝100a ＋4，解得a ＝－125，所以y ＝－125x 2＋4.因为两抛物线解析式的a 相同，所以两抛物线形状相同，顶点不同，解析式不同．图22－1－1414．如图22－1－14所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m. (1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．【解析】 (1)抛物线关于y 轴对称，顶点为(0，6)，可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋6，又因为抛物线过(4，2)，代入到y ＝ax 2＋6中，则可求出a 的值；(2)将x ＝2.4代入到所求的函数解析式中，得到的y 值与4.2比较大小，y 值比4.2大，则这辆货运卡车能通过该隧道，反之，则不能通过．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋6， ∵抛物线过(4，2)点，∴16a ＋6＝2，∴a ＝－14，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋6.(2)当x ＝2.4时，y ＝－14x 2＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．拓展创新图22－1－1515．某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB (单位：米)，现以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立如图22－1－15所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O .已知AB ＝8米，设抛物线解析式为y ＝ax 2－4. (1)求a 的值；(2)点C (－1，m )是抛物线上一点，点C 关于原点O 的对称点为点D ，连接CD ，BC ，BD ，求△BCD 的面积．解：(1)∵AB ＝8，由抛物线的性质可知OB ＝4， ∴B (4，0)，把B 点坐标代入解析式得：16a －4＝0，解得：a ＝14；(2)过点C 作CE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ， ∵a ＝14，∴y ＝14x 2－4，令x ＝－1，∴m ＝14×(－1)2－4＝－154，∴C (－1，－154)，∵C 关于原点对称点为D ，∴D 的坐标为(1，154)，则CE ＝DF ＝154S △BCD ＝S △BOD ＋S △BOC ＝12OB ·DF ＋12OB ·CE ＝12×4×154＋12×4×154＝15，∴△BCD 的面积为15平方米．。

22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册

− 3
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时二次函数的

= ( − ) +的图像和性质
第1节二次函数 = + 的图像和性质
第2节二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =

−

+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
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x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y

;把抛物线
2 向右平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8

22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
2.(2016广东东莞月考)抛物线y=3x2+1的开口向
标为
.
(上或下),顶点坐
答案上;(0,1) 解析根据抛物线的解析式y=3x2+1可知其开口向上,顶点坐标为(0,1).
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
对应点的坐标为(1,0),所以平移后,所得抛物线相应的函数解析式为y=
-(x-1)2.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
知识点三二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 6.(2017江苏宿迁中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-1 答案 C 根据平移口诀“左加右减自变量,上加下减常数项”可知平移得到的抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
4.(2018江苏盐城阜宁期中)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为
a的符号图象
开口方向对称轴顶点坐标增减性最值
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

人教版九年级上册数学二次函数y=a(x-h)2的图形和性质练习题(含答案)

22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质知识点回顾第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象(1)(2)2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数a>a<2(0)y ax c a=+≠2(0,0)y ax c a c=+>>2(0,0)y ax c a c=+<> j jjj3.二次函数与之间的关系；(上加下减).的图象向上(c ＞0)【或向下(c ＜0)】平移│c │个单位得到的图象.要点诠释：抛物线的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c )，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上(或向下)平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c )．抛物线y =ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x =0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．()20y axa =≠()20y ax c a =+≠()20y ax a =≠()20y ax c a =+≠2(0)y ax c a =+≠2(0)y ax a =≠2(0)y ax c a =+≠2(0)y ax a =≠||c第2课时二次函数y ＝a(x －h)2(a ≠0)的图象和性质一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 2()+(0y a x h k a =-≠）()2y a x h k =-+()h k ，⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：(1)沿轴平移:向上(下)平移个单位，变成(或)(2) 沿x 轴平移：向左(右)平移个单位，变成(或)随堂练习第1课时二次函数y=ax 2+k 的图象和性质◆基础练习1．抛物线共有的性质是（）A ．开口向上B ．对称轴都是轴C ．都有最高点D ．顶点都是原点2．已知＜，点、、都在函数的图象上，则（）2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(22222,2,21y x y x y x ==-=+y a 1-1(1,)a y -2(,)a y 3(1,)a y +2y x =A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜3．抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是 . 4.把抛物线向下平移3个单位得到抛物线 .5.将抛物线的图象绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是．◆能力拓展6.已知正方形的对角线长xcm,面积为.请写出y 与x 之间的函数关系式,并画出其图象.7. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位AB 时,宽20,水位上升3就达到警戒线CD,这时水面宽度为10.(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式;(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到达拱桥顶?1y 2y 3y 1y 3y 2y 3y 2y 1y 2y 1y 3y 2112y x =-+23y x =21y x =+2ycm m m mm◆创新学习8. 如图，直线经过点A （4，0）和点B （0，4），且与二次函数的图象在第一象限内相交于点P ，若△AOP 的面积为，求二次函数的解析式。

人教版九年级数学上册第22章二次函数 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

人教版九年级数学上册第22章二次函数 22.1.3 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质同步测试题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）1. 二次函数y ＝(x ＋2)2－1的图象大致为( )2．对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( ) A ．对称轴是直线x ＝1，最小值是2 B ．对称轴是直线x ＝1，最大值是2 C ．对称轴是直线x ＝－1，最小值是2 D ．对称轴是直线x ＝－1，最大值是23. 如图是抛物线y ＝a(x ＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴的交点坐标是( ) A ．(12，0) B ．(1，0) C ．(2，0) D ．(3，0)4．将抛物线y ＝x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为( ) A ．y ＝(x ＋2)2－5 B ．y ＝(x ＋2)2＋55. 二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( ) A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限6．在函数y＝(x＋1)2＋3中，y随x的增大而减小，则x的取值范围为( ) A．x＞－1 B．x＞3C．x＜－1 D．x＜37．已知点(－1，y1)，(－312，y2)，(－2，y3)都在函数y＝3(x＋1)2－2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y28．抛物线y=-2x2先向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得抛物线的解析式为( ) A.y=-2(x+1)2+2 B.y=-2(x+1)2-2C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2-29. 对于抛物线y=-(x+2)2+3,下列结论中正确的个数为( )①抛物线的开口向下;②对称轴是直线x=-2;③图象不经过第一象限;④当x>2时,y随x的增大而减小.A.4B.3C.2D.110. 已知二次函数y=a(x-1)2+c的图象如图,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是( )二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状__________，位置__________.（用“相同”或“不同”填空）12．抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：①当a＞0时，开口向_____；当a＜0时，开口向_____. 13. 抛物线y＝3(x－1)2＋1的顶点坐标是___________，对称轴是_______________.最小值是______. 14．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是____________________.15．已知抛物线的顶点为M(3，－2)，且经过坐标原点，则抛物线的解析式为______________________16．如图，已知抛物线l1∶y＝12(x－2)2－2与x轴分别交于点O，A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的解析式为_____________________.17．已知正方形ABCD中，A(1，1)，B(1，2)，C(2，2)，D(2，1)，有一抛物线y＝(x＋1)2向下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是_______________．18．将抛物线C1：y＝a(x－h)2＋k先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2：y＝－7x2，则抛物线C1的解析式为_______________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) .已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).(2)若点A(√2,y1)、B(4,y2)、C(0,y3)都在该抛物线上,试比较y1、y2、y3的大小.20. (6分) 已知二次函数y=1(x+1)2+4.2(1)写出其图象的开口方向、顶点坐标和对称轴;x2的图象的关系.(2)画出此函数的图象,并说出此函数图象与y=1221. (6分)如图，抛物线的顶点为A(－3，－3)，此抛物线交x轴于O，B两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)若抛物线上另一点P满足S△POB＝S△AOB，请求出点P的坐标．22. (6分)如图，某次体育测试中，一名男生推铅球的路线是抛物线，最高点为(6，5)，出手处点A 的坐标为(0，2)．(1)求抛物线的解析式；(2)问铅球可推出多远？23．(6分)如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=(x+m)2-m2﹣1与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；24．(8分) 如图，已知抛物线y=﹣(x-m)2+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）,且-1≤m≤1.（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．25．(8分) 如图，点P为抛物线y＝14x2上一动点．(1)若抛物线y＝14x2是由抛物线y＝14(x＋2)2－1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于M.①问题探究：如图①，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图②，若点Q的坐标为(1，5)，求QP＋PF的最小值．参考答案 1-5 DBBAC 6-10 CCCAB 11. 相同，不同 12. 上，下 13. (1，1)，x=1，1 14. y ＝2(x －1)2＋1 15. y ＝29(x －3)2－216. y ＝12(x －2)2＋217. 2≤m≤818. y ＝－7(x ＋4)2－119. 解：(1)∵抛物线y=a(x -3)2+2过点(1,-2), ∴-2=a(1-3)2+2,解得a=-1.(2)易知抛物线y=-(x -3)2+2的对称轴为x=3.∵抛物线开口向下,点B(4,y 2)到对称轴的距离最近,点C(0,y 3)到对称轴的距离最远, ∴y 3<y 1<y 2.20. 解：(1)二次函数y=12(x+1)2+4图象的开口向上,顶点坐标为(-1,4),对称轴为x=-1.(2)此函数的图象如图,将二次函数y=12(x+1)2+4的图象向右平移1个单位,再向下平移4个单位可得到y=12x 2的图象.21. 解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x+3)2-3 ∵抛物线过点（0,0） ∴9a -3=0 ∴y=13(x+3)2-3(2)令y=0，易得B （-6,0） ∴S △AOB =9代入抛物线y=13(x+3)2-3,解得x=-3±32，∴P 点的坐标为（-3+32，3）或（-3-32，3） 22. 解：设y 轴右侧抛物线的解析式为y ＝a(x －4)2＋6，将(0，103)代入得16a ＋6＝103，解得a ＝－16，∴抛物线的解析式为y ＝－16(x －4)2＋6，令y ＝0得－16(x －4)2＋6＝0，x 1＝10，x 2＝－2(舍) ∴AB ＝10－(－10)＝20(m)．答：这个喷水池的直径AB 是20 m23. 解：（1）∵抛物线F 经过点C （﹣1，﹣2）， ∴﹣2=（﹣1+m ）2﹣m 2﹣1，解得，m=1，∴抛物线F 的表达式是：y=x 2+2x ﹣1；（2）当x=﹣2时，y p =4-4-1=﹣1， ∴当m=﹣2时，y p 的值是﹣1， ∴当x≤﹣2时，y 随x 的增大而减小， ∵x 1＜x 2≤﹣2， ∴y 1＞y 2；24. 解：（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣(x -m)2+4得：0=﹣(3-m)2+4，解得：m 1=1，m 2=5 ∵且-1≤m≤1 ∴m=1∴y=﹣（x ﹣1）2+4， ∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ， ∵点C （0，3），点B （3，0），∴⎩⎪⎨⎪⎧3k+b ＝0，b ＝3，，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b3，∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．25. 解：(1)∵抛物线y ＝14(x ＋2)2－1的顶点为(－2，－1)，∴抛物线y ＝14(x ＋2)2－1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y ＝14x 2的图象(2)①存在一定点F ，使得PM ＝PF 恒成立．如图，过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，设点P 坐标为(a ，14a 2)，∴PM ＝PF ＝14a 2＋1，∵PB ＝a ，∴Rt △PBF 中，BF ＝PF 2－PB 2＝（14a 2＋1）2－a 2＝14a 2－1，∴OF ＝1，∴点F 坐标为(0，1);②由①，PM ＝PF ，QP ＋PF 的最小值为QP ＋PM 的最小值，当Q ，P ，M 三点共线时，QP ＋PM 有最小值为点Q 纵坐标的绝对值与M 纵坐标的绝对值之和． ∴QP ＋PM 的最小值为6。

22.1.3 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质

22.1.3 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质1．已知二次函数y ＝(x －1)2，那么它的图象大致为( )2．抛物线y ＝12(x ＋3)2的顶点坐标是________________，对称轴是______________． 3．抛物线y ＝－3(x －1)2可由抛物线y ＝－3x 2向_____平移_____个单位得到．4．抛物线y ＝a (x ＋1)2经过点(－2，1)，则 a ＝____．5．抛物线y ＝－14x 2＋1，y ＝－14(x ＋1)2与抛物线y ＝－14(x 2＋1)的_______________________相同，_______不同． 6．求下列函数图象的顶点坐标、开口方向及对称轴．(1)y ＝2(x ＋1)2；(2)y ＝－4(x －5)2.7．抛物线y ＝(x －1)2与y 轴的交点坐标为( )A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)8．要得到抛物线y ＝13(x －4)2，可将抛物线y ＝13x 2( ) A ．向上平移4个单位 B ．向下平移4个单位C ．向右平移4个单位 D ．向左平移4个单位9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数y ＝－13x 2的图象相同的抛物线是( ) A ．y ＝13(x －5)2 B ．y ＝－13x 2－5C ．y ＝－13(x ＋5)2D ．y ＝13(x ＋5)2 10．抛物线y ＝(x ＋2)2 关于x 轴对称的抛物线的解析式是________________________ .11．请你写出函数y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2＋1 具有的一个共同性质：____________．12．把抛物线y ＝(x －2)2向左平移4个单位所得抛物线的解析式是_____________．13．抛物线y ＝x 2－6x ＋9的顶点坐标是__________，对称轴是__________．14．试分别说明将抛物线：(1)y ＝(x ＋1)2；(2)y ＝(x －1)2；(3)y ＝x 2＋1；(4)y ＝x 2－1的图象通过怎样的平移得到y ＝x 2的图象．15．若抛物线y ＝2(x －m )m 2－4m －3的顶点在x 轴正半轴上，则m 的值为( )A ．m ＝5B ．m ＝－1C ．m ＝5或m ＝－1D ．m ＝－516．求符合下列条件的抛物线y ＝a (x －1)2 的函数关系式．(1)通过点(3，8)；(2)与 y ＝12x 2的开口大小相同，方向相反．17．已知抛物线y ＝a (x －h )2向右平移3个单位后得到的抛物线是y ＝2(x ＋1)2，求a ，h 的值．18．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是二次函数，且函数图象有最高点．(1)求k 的值；(2)求顶点坐标和对称轴．。

人教 22.1.3二次函数_y=a(x-h)2的图象和性质

顶点坐标对称轴
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
直线x=h
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
y 3x 1
2
y 3x 1
2
1.抛物线y=-3(x-
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随着x的增大而增大;在对称轴 (x=1)右侧,当x>1时, y随着x 的增大而减小.当x=1时,函数 y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴 (x=-1)的左侧,当x<-1时, y随着x的增大而增大;在对称轴 (x=-1)右侧,当x>-1时, y随着 x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).
在对称轴左侧在对称轴右侧
a＞ 0
向上向下
y=ax2
a＜0 a＞0
最小值 Y随x的增 Y随x的增（ 0， 0）是 0 大而减小大而增大
Y轴
Y轴
最大值 Y随x的增 Y随x的增（0，0）是0 大而增大大而减小
向上向下
（0，k）最小值
是k 是k
y=ax2+k
a＜0
y=a（x-h）
2
Y随x的增 Y随x的增大而减小大而增大 Y随x的增 Y随x的增大而增大大而减小
结束寄语
•读书要从薄到厚, 再从厚到薄.
观察图象,回答问题
y 3x
2
y 3x 1

22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质重难点专项练习(五大题型)(解析版)

22.1.3《二次函数y=a (x-h )2+k 的图象和性质》分层练习考查题型一二次函数y=a (x-h )2的顶点坐标1．（2021秋·福建宁德·九年级校考期中）()21y x =-的顶点坐标是（）A ．()1,0B ．()0,0C ．()0,1D ．()1,1【答案】A 【分析】直接根据二次函数的性质可得答案．【详解】解：()21y x =-的顶点坐标是()1,0．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数2()y a x h =-(a ，h 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数2()y a x h =-的性质是解答本题的关键．2()y a x h =-是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，0)，对称轴是直线x =h ．2．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）抛物线()21y x =-+的顶点坐标为（）A ．（-1，0）B ．（1，0）C ．（1，1）D ．（-1，-1）【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式即可得出答案．【详解】解：∵抛物线y =-（x +1）2，∴该抛物线的顶点坐标为（-1，0），故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（2022秋·新疆省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）抛物线2(3)y x =+的顶点是（）．A ．(0,3)B ．(0,3)-C ．(3,0)D ．(3,0)-【答案】D【分析】根据二次函数2()y a x h k =-+的顶点坐标是（h ，k ）即可解答．【详解】解：抛物线2(3)y x =+的顶点是（﹣3，0），1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）抛物线22(1)6y x =-+-的顶点坐标为（）A ．()1,6-B ．()1,6-C ．()1,6D ．()1,6--【答案】D【分析】根据抛物线的顶点坐标公式解答即可.【详解】解：抛物线22(1)6y x =-+-的顶点坐标为()1,6--；故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知抛物线()()20=-+¹y a x h k a 的顶点坐标是(),h k 是解题的关键.2．（2020秋·广东韶关·九年级校考期末）抛物线()2213y x =-+的顶点坐标是（）A ．()1,3-B ．()1,3-C ．()3,1D ．()1,3【答案】D 【分析】利用顶点式直接求解即可．【详解】解：抛物线()2213y x =-+的顶点坐标是()1,3．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数()2y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，对称轴为x h =，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）抛物线2(9)10y x =---的顶点坐标是（）A ．(9,10)B ．(9,10)-C ．(9,10)-D ．(9,10)--【答案】B【分析】直接根据二次函数的顶点坐标式进行解答即可．【详解】∵二次函数的解析式为2(9)10y x =---，其顶点坐标为：(9,10)-．故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）抛物线()2251y x =-++的顶点坐标是（）A ．()5,1B ．()5,1--C ．()5,1-D ．()5,1-【答案】C 【分析】根据抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k ，即可求解．【详解】解：抛物线()2251y x =-++的顶点坐标是()5,1-．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k 是解题的关键．考查题型三二次函数y=a (x-h )2+k 的对称轴1．（2023春·广东云浮·九年级校考期中）抛物线()232y x =-+的对称轴是（）A ．3x =-B ．3x =C ．2x =-D ．2x =【答案】B 【分析】根据题干中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴．【详解】∵抛物线()232y x =-+∴对称轴是直线3x =，故选：B【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质进行分析解答．2．（2022秋·北京西城·九年级校考期中）抛物线()212y x =++的对称轴为（）A ．直线=1x -B ．直线5x =C ．直线3x =D ．直线4x =考查题型四二次函数y=a(x-h)1．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）在函数()213y x =-+，y 随x 增大而减小，则x 的取值范围为( )A ．1x >B ．0x >C ．3x <D ．1x <【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向和顶点式判断即可．【详解】解：在()213y x =-+中，∵10a =>，∴函数图像开口向上，当1x <时，y 随x 的增大而减小．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹），当0a >时，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小．2．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）若二次函数2y x m h ++＝（），当1x <时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．1m =B ．1m >C ．1m ³-D ．1m £-【答案】D 【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为x m =-，根据二次函数图像的性质即可求出结论.【详解】由2y x m h ++＝（）得二次函数的对称轴为x m =-，∵该函数图像的开口向上，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小,∴1m -³解得1m £-故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关键.3．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）已知二次函数()231y x =-+，当y 的值随x 的增大而增大时，x 的取值满足（）A ．1x ³B ．1x £C ．3x ³D ．3x £【答案】C 【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：2=(3)+1y x -，10a =>Q ，对称轴3x =，当3x ³时，y 随x 的增大而增大，故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数的增减性．4．（2022秋·山东济宁·九年级统考期中）已知二次函数()2y x k h =--+，当3x >时，y 随x 的增大而减小，则函数中k 的取值范围是（）A ．3k ³B ．3k £C ．3k =D ．3k £-【答案】B【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x k =，则当x k >时，y 的值随x 值的增大而减小，由于3x >时，y 的值随x 值的增大而减小，于是得到3k £．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x k =，因为10a =-<，所以抛物线开口向下，所以当x k >时，y 的值随x 值的增大而减小，而3x >时，y 的值随x 值的增大而减小，所以3k £．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．考查题型五二次函数y=a (x-h )2+k 的最值1．（2023·浙江·一模）关于二次函数22)3(5y x =--+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值2B ．有最小值2C ．有最大值5D ．有最小值5【答案】C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵二次函数22)3(5y x =--+，∴抛物线开口向下，对称轴为x =2，顶点坐标为（2，5），∴当x =2时，y 有最大值为5；∴选项A ，B ，D 错误，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y =a （x -h ）2+k 中，对称轴为x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）抛物线()2345y x =---的最大值为（）A ．4B ．4-C ．5D ．5-【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可解答．【详解】解：∵()2345y x =---，∴抛物线开口方向向下，对应函数有最大值5-．故选D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，二次函数()()20y a x b k a =++¹的对称轴为x b =-，顶点坐标为(),b k -，当a<0，函数有最大值k ．3．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）关于二次函数()223y x =-+，下列叙述正确的是（）A ．当2x =时，y 有最大值3B ．当2x =-时，y 有最大值3C ．当2x =时，y 有最小值3D ．当2x =-时，y 有最小值3【答案】C 【分析】()2y a x h k =-+是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(),h k ，对称轴是x h =．【详解】∵二次函数()223y x =-+，∵10>，∴抛物线开口向上，函数有最小值，∴当2x =时，y 有最小值3．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数()2y a x h k =-+（a ，b ，c 为常数，0a ¹）的性质，熟练掌握二次函数()2y a x h k =-+的性质是解答本题的关键．4．（2021秋·湖南长沙·九年级湖南师大附中校考期末）二次函数()225y x =--的最小值是（）A ．2-B ．2C ．5-D ．5【答案】C 【分析】根据二次函数()2y a x h k =-+的性质，即可求解．【详解】解∶ ∵10>，∴二次函数图象开口向上，∴当2x =时，二次函数有最小值，最小值为5-，即二次函数()225y x =--的最小值是5-．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数()2y a x h k =-+的性质是解题的关键．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是数形结合得出2．（2021秋·山东德州·九年级统考期中）已知抛物线（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．-<【答案】（1）m的取值范围是1m【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（行求解即可；【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题。

人教版九年级数学上册22.1.3二次函数y=a(x-h)2k的图象和性质同步测试及答案【编辑】

二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质第1课时二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质[见B 本P14]1．抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是( C )A ．直线x ＝12B ．直线x ＝－12C ．y 轴D ．直线x ＝22．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( B )①y ＝－x 2；②y ＝－2x 2；③y ＝12x 2－1； ④y ＝x 2＋2；⑤y ＝－2x 2＋3.A ．①④B ．②⑤C ．②③⑤D ．①②⑤【解析】 a 决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a 相同，选B.3．如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2＋34．[2013·德州]下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而增大的是( B )A ．y ＝－x ＋1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋1 5．抛物线y ＝－2x 2－5的开口向__下__，对称轴是__y 轴__，顶点坐标是__(0，－5)__．【解析】根据抛物线y ＝ax 2＋c 的特征解答即可．6．抛物线y ＝13x 2－4可由抛物线y ＝13x 2沿__y __轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的开口向__上__，顶点坐标是__(0，－4)__，对称轴是__y 轴__，当__x ＝0__时，y 有最__小__值为__－4__，当__x >0__时，y 随x 的增大而增大，当__x <0__时，y 随x 的增大而减小．【解析】抛物线y ＝13x 2－4与y ＝13x 2的形状相同，但位置不同，抛物线y ＝13x 2－4的图象可由抛物线y ＝13x 2的图象沿y 轴向下平移4个单位而得到，画出草图回答问题较方便． 7．[2013·湛江]抛物线y ＝x 2＋1的最小值是__1__．顶点是__(0，1)__．8．(1)填表： x … －2 －1 0 1 2 …y ＝－2x 2y ＝－2x 2＋1y ＝－2x 2－1(2)(3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？(4)由抛物线y ＝－2x 2怎样平移得到抛物线y ＝－2x 2＋1与y ＝－2x 2－1?解：(1)略 (2)略(3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口方向都向下，对称轴都为y 轴，顶点不同，分别为(0，0)，(0，1)，(0，－1)；(4)抛物线y ＝－2x 2＋1可由抛物线y ＝－2x 2向上平移1个单位得到；抛物线y ＝－2x 2－1可由抛物线y ＝－2x 2向下平移1个单位得到．9．二次函数y ＝－12x 2＋c 的图象经过点⎝⎛⎭⎫－3，92，与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在B 点左侧． (1)求c 的值；(2)求A ，B 两点的坐标．解：(1)∵抛物线经过点⎝⎛⎭⎫－3，92， ∴－12×(－3)2＋c ＝92，∴c ＝6.(2)∵c ＝6，∴抛物线为y ＝－12x 2＋6. 令y ＝0，则－12x 2＋6＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23，∵A 点在B 点左侧，∴A (－23，0)，B (23，0)．10．如图22－1－12，两条抛物线y 1＝－12x 2＋1、y 2＝－12x 2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( A ) A ．8 B ．6C ．10D ．4【解析】两条抛物线的形状大小、开口方向相同，阴影部分面积等于相邻边长为4和2的长方形面积，即等于8.11．抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝－8x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则其表达式为____y ＝－8x 2－6____，它是由抛物线y ＝－8x 2向__下__平移__6__个单位得到的．【解析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 值，再根据顶点坐标(0，－6)，可确定k 值，从而可判断平移方向．∵抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝－8x 2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－8.又∵其顶点坐标为(0，－6)，∴k ＝－6，∴y ＝－8x 2－6，它是由抛物线y ＝－8x 2向下平移6个单位得到的．12．已知函数y ＝ax 2＋c 的图象过点(－2，－7)和点(1，2)．(1)求这个函数的关系式；(2)画这个函数的图象；(3)求这个函数的图象与x 轴交点的坐标．【解析】 (1)将两点坐标代入函数的关系式，可得到关于a ，c 的二元一次方程组．(2)列表、描点、连线．(3)求y ＝0时x 的值．解：(1)∵y ＝ax 2＋c 的图象过(－2，－7)，(1，2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋c ＝－7，a ＋c ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，c ＝5.∴y ＝－3x 2＋5. (2)列表：x －2 －112 －1 －12 0 12 1 1122 y ＝－3x 2＋5 －7 －134 2 414 5 414 2 －134－7(3)当y ＝0时，－3x 2＋5＝0，解得x 1＝153，x 2＝－153，故函数图象与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫153，0和⎝⎛⎭⎫－153，0. 13．如图22－1－13(a)，有一座抛物线拱桥，当水位在AB 时，水面宽20 m ，这时，拱高(O 点到AB 的距离)为4 m.图22－1－13(1)你能求出图22－1－13(a)的坐标系中抛物线的解析式吗？(2)如果将直角坐标系建在图22－1－13(b)所示位置，抛物线的形状、顶点、解析式相同吗？【解析】观察抛物线的对称轴和顶点位置是解本题的关键．解：(1)由图象知，抛物线顶点为(0，0)，且抛物线过A (－10，－4)，B (10，－4)，可设y ＝ax 2，把A 点或B 点坐标代入可得a ＝－125，所以y ＝－125x 2； (2)由图象可知，抛物线顶点为(0，4)，故可设y ＝ax 2＋4.又y ＝ax 2＋4的图象过A (－10，0)，B (10，0)，将A 点或B 点坐标代入可得0＝100a ＋4，解得a ＝－125，所以y ＝－125x 2＋4. 因为两抛物线解析式的a 相同，所以两抛物线形状相同，顶点不同，解析式不同．图22－1－1414．如图22－1－14所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8 m ，宽AB 为2 m ．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m ，宽2.4 m ，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．【解析】 (1)抛物线关于y 轴对称，顶点为(0，6)，可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋6，又因为抛物线过(4，2)，代入到y ＝ax 2＋6中，则可求出a 的值；(2)将x ＝2.4代入到所求的函数解析式中，得到的y 值与4.2比较大小，y 值比4.2大，则这辆货运卡车能通过该隧道，反之，则不能通过．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋6，∵抛物线过(4，2)点，∴16a ＋6＝2，∴a ＝－14， ∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋6. (2)当x ＝2.4时，y ＝－14x 2＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．图22－1－1515．某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB (单位：米)，现以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立如图22－1－15所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O .已知AB ＝8米，设抛物线解析式为y ＝ax 2－4.(1)求a 的值；(2)点C (－1，m )是抛物线上一点，点C 关于原点O 的对称点为点D ，连接CD ，BC ，BD ，求△BCD 的面积．解：(1)∵AB ＝8，由抛物线的性质可知OB ＝4，∴B (4，0)，把B 点坐标代入解析式得：16a －4＝0，解得：a ＝14； (2)过点C 作CE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ，∵a ＝14， ∴y ＝14x 2－4，令x ＝－1，∴m ＝14×(－1)2－4＝－154， ∴C (－1，－154)， ∵C 关于原点对称点为D ， ∴D 的坐标为(1，154)，则CE ＝DF ＝154 S △BCD ＝S △BOD ＋S △BOC ＝12OB ·DF ＋12OB ·CE ＝12×4×154＋12×4×154＝15， ∴△BCD 的面积为15平方米．第2课时二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质[见A 本P16]1．与函数y ＝2(x －2)2形状相同的抛物线解析式是( D )A ．y ＝1＋12x 2B ．y ＝(2x ＋1)2C ．y ＝(x －2)2D ．y ＝2x 22．关于二次函数y ＝－(x －2)2的图象，下列说法正确的是( D )A ．是中心对称图形B ．开口向上C ．对称轴是x ＝－2D ．最高点是(2，0)3．抛物线y ＝(x －1)2的顶点坐标是( A )A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(－2，1)D ．(2，－1)4．下列关于抛物线y ＝4(x －1)2＋2的说法中，正确的是( B )A ．开口向下B ．对称轴为x ＝1C ．与x 轴有两个交点D ．顶点坐标为(－1，0)5．二次函数y ＝2(x －32)2图象的对称轴是直线__x ＝32__. 6．函数：①y ＝12x －3，②y ＝－2x(x <0)，③y ＝(1－x )2(x >1)，其中y 随x 的增大而增大的有__①②③__(填序号)．解：∵y ＝12x －3中，k ＝12>0， ∴y 随x 的增大而增大；∵函数y ＝－2x中k ＝－2， ∴当x <0时，y 随x 的增大而增大；∵y ＝(1－x )2(x >1)中，开口向上，对称轴为x ＝1，∴当x >1时，y 随x 的增大而增大，故答案为①②③.7．二次函数y ＝(x －2)2，当__x ＜2__时，y 随x 的增大而减小．8．抛物线y ＝－23(x ＋2)2开口__向下__，对称轴为__直线x ＝－2__，顶点坐标为__(－2，0)__，当x ＝__－2__时，函数有最__大__值为__0__．9．抛物线y ＝2(x －2)2与x 轴交点A 的坐标为__(2，0)__，与y 轴交点B 的坐标为__(0，8)__，S △AOB ＝__8__．【解析】画草图帮助理解题意．当x ＝2时，y ＝0；当x ＝0时，y ＝8，S △AOB ＝12×OA ×OB ＝12×2×8＝8. 10．已知：抛物线y ＝－14(x ＋1)2. (1)写出抛物线的对称轴；(2)x … －7 －3 1 3 …y … －9 －1 …(3)图22－1－16解：(1)抛物线的对称轴为x＝－1.(2)填表如下：x …－7－5－3－1135…y …－9－4－10－1－4－9…(3)描点作图如下：11．确定下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标．(1)y＝2(x＋1)2(2)y＝－4(x－5)2.解：(1)由y＝2(x＋1)2可知，二次项系数为2＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，0)．(2)由y＝－4(x－5)2可知，二次项系数为－4＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝5，顶点坐标为(5，0)．12．已知二次函数y＝－3(x－5)2，写出抛物线的顶点坐标、对称轴、x在什么范围内y随x的增大而减小、x取何值时函数有最值，并写出最值．解：根据二次函数的解析式y＝－3(x－5)2，知函数图象的顶点为(5，0)，对称轴为x＝5；函数y＝－3(x－5)2的图象开口向下，对称轴x＝5，故当x≥5时，函数值y随x的增大而减小；∵－3＜0，∴二次函数的开口向下，当x＝5时，二次函数图象在最高点，函数的最大值为0.13．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，与y轴交于点(0，2)．(1)求a和h的值；(2)求其关于y轴对称的抛物线的解析式．解：(1)∵对称轴为x＝－2，∴h＝－2，∵与y轴交于点(0，2)，∴a·22＝2，∴a ＝12； (2)抛物线关于y 轴的对称抛物线的顶点坐标为(2，0)，所以，关于y 轴对称的抛物线的解析式为y ＝12(x －2)2. 14．(1)求抛物线y ＝2(x －h )2关于y 轴对称的抛物线的函数解析式．(2)若将(1)中的抛物线变为y ＝a (x －h )2，请直接写出关于y 轴对称的抛物线的函数解析式，你还能写出它关于x 轴、关于原点对称的新抛物线的函数解析式吗？请尝试研究，并与同伴交流．解：(1)∵抛物线y ＝2(x －h )2的顶点坐标为(h ，0)，∴关于y 轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h ，0)，∴关于y 轴对称的抛物线的函数解析式为y ＝2(x ＋h )2；(2)抛物线y ＝a (x －h )2的顶点坐标为(h ，0)，∵关于y 轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h ，0)，抛物线开口方向不变，∴关于y 轴对称的抛物线解析式为y ＝a (x ＋h )2；∵关于x 轴对称的抛物线的顶点坐标为(h ，0)，抛物线开口方向改变，∴关于x 轴对称的抛物线解析式为y ＝－a (x －h )2；∵关于原点对称的抛物线的顶点坐标为(－h ，0)，抛物线开口方向改变，∴关于原点对称的抛物线解析式为y ＝－a (x ＋h )2.15．在直角坐标平面内，已知抛物线y ＝a (x －1)2(a ＞0)顶点为A ，与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另一点，且横坐标为3，若△ABC 为直角三角形时，求a 的值．图22－1－17解：∵y ＝a (x －1)2(a ＞0)的顶点为A ，所以点A 的坐标为(1，0)．由x ＝0，得y ＝a ，所以点C 的坐标为(0，a )，由x ＝3，得y ＝4a ，所以点B 的坐标为(3，4a )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧AC 2＝1＋a 2AB 2＝4＋16a 2BC 2＝9＋9a 2(1)若BC 2＝AC 2＋AB 2得9＋9a 2＝1＋a 2＋4＋16a 2即a 2＝12，a ＝±22，因为a >0， ∴a ＝22； (2)若AB 2＝AC 2＋BC 2得4＋16a 2＝1＋a 2＋9＋9a 2即a 2＝1，a ＝±1.∴a >0，∴a ＝1；(3)若AC 2＝AB 2＋BC 2得1＋a 2＝4＋16a 2＋9＋9a 2即a 2＝－12，无解．综上所述，当△ABC 为直角三角形时，a 的值为1或22.第3课时二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质 [见B 本P16]1．抛物线y ＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是( A )A ．(3，1)B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1)2．对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x >1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①∵a ＝－12<0， ∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x ＝－1，错误；③顶点坐标为(－1，3)，正确；④∵x >－1时，y 随x 的增大而减小∴x >1时，y 随x 的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C.3．下列二次函数中，图象以x ＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( C )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x ＋2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－3D ．y ＝(x ＋2)2－3【解析】设二次函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋k ，把点(0，1)代入检验． y ＝(x －1)2－2，下列说法错误的是( D )A ．顶点坐标是(1，－2)B ．对称轴是直线x ＝1C ．开口方向向上D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小5．将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( A )A ．y ＝3(x ＋2)2＋3B ．y ＝3(x －2)2＋3C ．y ＝3(x ＋2)2－3D ．y ＝3(x －2)2－36．[2013·雅安]将抛物线 y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( D )A ．y ＝(x －2)2B ．y ＝(x －2)2＋6C ．y ＝x 2＋6D ．y ＝x 2【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．将抛物线y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位所得抛物线解析式为：y ＝(x －1＋1)2＋3，即y ＝x 2＋3；再向下平移3个单位为：y ＝x 2＋3－3，即y ＝x 2.故选D.7．如图22－1－19，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( A )图22－1－19A ．m ＝n ，k >hB ．m ＝n ，k <hC ．m >n ，k ＝hD ．m <n ，k ＝h8．在同一直角坐标系中，画出函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2－1，y ＝－12(x ＋1)2－1的图象，并列表比较这三条抛物线的对称轴、顶点坐标．x y ＝－12x 2 y ＝－12x 2－1 y ＝－12(x ＋1)2－1 －4 －5.5－3 －4.5 －5.5 －3－2 －2 －3 －1.5－1 －0.5 －1.5 －10 0 －1 －1.51 －0.5 －1.5 －32 －2 －3 －5.53 －4.5 －5.5抛物线对称轴顶点坐标y ＝－12x 2，即y ＝－12(x －0)2＋0 x ＝0 (0，0) y ＝－12x 2－1，即y ＝－12(x －0)2＋(－1) x ＝0 (0，－1) y ＝－12(x ＋1)2－1，即y ＝－12[x －(－1)]2＋(－1)x ＝－1 (－1，－1)9(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)当x ____________时，y 随x 的增大而减小，当x ____________时，y 随x 的增大而增大．解：(1)抛物线y ＝(x －1)2－3，∵a ＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－3)；(2)∵对称轴是x ＝1∴当x <1时，y 随x 的增大而减小，当x >1时，y 随x 的增大而增大．10．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式．解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，∴可设为y＝a(x－1)2－1，当x＝0时，y＝0，∴0＝a(0－1)2－1，a＝1，所求函数解析式为y＝(x－1)2－1.11．二次函数y＝x2的图象如图22－1－20所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；x满足什么条件时，函数值大于0?解：(1)画图略．依题意得y＝(x－1)2－2＝x2－2x＋1－2＝x2－2x－1，∴平移后图象的解析式为y＝x2－2x－1；(2)当y＝0时，即x2－2x－1＝0，∴(x－1)2＝2，∴x－1＝±2，∴x1＝1－2，x2＝1＋2，∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为(1－2，0)和(1＋2，0)．由图可知，当x＜1－2或x＞1＋2时，二次函数y＝x2－2x－1的函数值大于0.12．如图22－1－21，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是(A)图22－1－21A．h>0，k>0 B．h<0，k>0C．h<0，k<0 D．h>0，k<0【解析】∵抛物线y＝－2(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，∴h＞0，k＞0.故选A.13．已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图22－1－22所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(A)【解析】根据二次函数开口向上知a ＞0，根据－c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c ＞0，故一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象经过一、二、三象限，故选A.14．把二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为__y ＝－(x ＋1)2－2__．【解析】二次函数y ＝(x －1)2＋2顶点坐标为(1，2)，开口向上，绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，开口向下，所以旋转后的新函数图象的解析式为y ＝－(x ＋1)2－2.15．二次函数y ＝－(x －2)2＋94的图象与x 轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有__7__个(提示：必要时可利用备用图22－1－23画出图象来分析)．图22－1－23 【解析】令－(x －2)2＋94＝0，解得x 1＝12，x 2＝72，抛物线与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，⎝⎛⎭⎫72，0，顶点为⎝⎛⎭⎫2，94，画出图象，图象与x 轴围成的封闭区域内横、纵坐标都是整数的点为(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，1)(2，1)，(3，1)，(2，2)共7个．16．已知抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a 的值；(2)若点A (m ，y 1)，B (n ，y 2)(m <n <3)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小．解：(1)∵抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)∴a (1－3)2＋2＝－2∴a ＝－1.(2)解法一：由(1)得a ＝－1<0，抛物线的开口向下在对称轴x ＝ 3的左侧，y 随x 的增大而增大∵m <n <3∴y 1<y 2解法二：由(1)得y ＝－(x －3)2＋2∴当x ＝m 时，y 1＝－(m －3)2＋2当x ＝n 时，y 2＝－(n －3)2＋2y 1－y 2＝(n －3)2－(m －3)2＝(n －m )(m ＋n －6)∵m <n <3∴n －m >0，m ＋n <6，即m ＋n －6<0∴(n －m )(m ＋n －6)<0∴y 1<y 217．如图22－1－24，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A (1，0)及点B .(1)求二次函数与一次函数的解析式；kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．图22－1－24解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0.解得m ＝－1，∴二次函数的解析式是y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3，∴C (0，3)，∵点B 与C 关于x ＝2对称，∴B (4，3)，于是有⎩⎪⎨⎪⎧0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1， ∴一次函数的解析式是y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.。

人教版九年级上册数学习题：22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(无答案)

22．1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质一、选择题1．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）A B C D2．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12 x 2相同的解析式为（）A ．y ＝12 (x －2)2＋3B ．y ＝12 (x ＋2)2－3C ．y ＝12 (x ＋2)2＋3D ．y ＝－12 (x ＋2)2＋3二、填空题1．填表2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－13 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．5．抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y______________；当x ＝－3时，y 有_______值是_________．6．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则m ＝__________，n ＝___________．7．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．8．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．9．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同．10．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．11．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．12．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值．13．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A’的坐标为__________________．14．抛物线y ＝－3 (x ＋4)2＋1中，当x ＝_______时，y 有最________值是________．15．将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．16．一条抛物线的对称轴是x ＝1，且与x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）三、解答题1．巳知函数y ＝－12x 2、y ＝－12x 2－1和y ＝－12(x ＋1)2－1(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝－12x 2得到抛物线y ＝－12x 2－1和抛物线y ＝12(x ＋1)2－1；。

人教版九年级上册 22.1.3二次函数y=a(x-h)^2 k的图象和性质(1) 同步练习

22.1.3二次函数y=a(x-h)^2 k 的图象和性质（1）一，选择题1.与抛物线2415y x =--顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是( )A ．2415y x =--B ．2415y x =-C ．2415y x =-+D ．2415y x =+ 2.抛物线y =－6x 2可以看作是由抛物线y =－6x 2+5按下列何种变换得到（）A ．向上平移5个单位B ．向下平移5个单位C ．向左平移5个单位D ．向右平移5个单位3.在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图像大致为 ( )A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D二，填空题4．当m =______时，抛物线y =（m ＋1）x ＋9开口向下，对称轴是______，在对称轴左侧， y 随x 的增大而______；在对称轴右侧，y 随x 的增大而______．5．将抛物线y ＝x 2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为．6．抛物线y =x 2－1的顶点坐标是．7．抛物线与y 轴的交点坐标是． 8．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮24y x =+圈中心，则他与篮底的距离l 是．9．若2y ax b =+的图象的形状与二次函数22y x =的图象的形状完全相同，且经过点A （－4，－10），求这个二次函数的解析式为____ _______．10．若二次函数25y x =-+中，当x 取1x ，2x （1x ≠2x ）时，函数值相等，则当x 取1x ＋2x 时，函数值为_____________．11．抛物线向下平移个单位得到的抛物线是_________．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+c （a ＜0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是．三，解答题13．如图所示是一拱桥，已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立坐标系．（1）求此桥拱线所在抛物线的解析式．（2）桥边有一浮在水面部分高4m ，最宽处122m 的渔船河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下？说明理由．22y x =-114．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可用2144y x =-+表示．（1）一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？15.廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为211040y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF ．（精确到1米）参考答案一，选择题1. B．2. B．3.B．二，填空题4．－2, y轴，增大，减小．5．y＝x2＋1．6．（0，－1）．7．（0，4）．8． 4．9． y =2x 2－42，y =－2x 2+20．10． 5．11.y =－2x 2－1．12．－2．三，解答题13．（1）(120)(120)(08)A B C -，，，，，．设抛物线为2y ax bx c =++C 点坐标代入得：c =8 ， A ，B 点坐标代入得：14412801441280a b a b -+=⎧⎨++=⎩ ，解得1180a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所求抛物线为21818y x =-+；（2）当y=4时得2418x =，x ∴=± 高出水面4m 处，拱宽（船宽），所以此船在正常水位时不可以开到桥下． 14．（1）当x =±1时，y =3.75, 3.75＋2>4. 卡车可以通过.（2）当x =±2时，y =3, 3＋2>4. 卡车可以通过.15.由“在该抛物线上距水面AB 高为8米的点”，可知y =8，把y=8代入y=－140x2+10得：x=±∴由两点间距离公式可求出EF=≈18（米）．。

2020年人教版九年级数学上册——22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质提优练习

22.1.3 二次函数y ＝a （x-h ）2+k 的图像和性质提优练习一、选择题1．抛物线y ＝（x +1）2+1上有点A （x 1，y 1）点B （ x 2，y 2）且x 1＜x 2＜﹣1，则y 1与y 2的大小关系是（） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．不能确定2．对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论： ①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线x=1：③顶点坐标为（﹣1，3）； ④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（） A ．(1,3) B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)--4．当函数y=（x-1）2-2的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是（） A ．x 0>B ．x 1<C ．x 1>D ．x 为任意实数5．已知二次函数22(3)1y x =-+，下列说法正确的是（） A ．开口向上，顶点坐标(3,1)B ．开口向下，顶点坐标(3,1)C ．开口向上，顶点坐标(3,1)-D ．开口向下，顶点坐标 (3,1)-6．已知抛物线y ＝－(x －1)2＋4，下列说法错误的是（） A ．开口方向向下 B ．形状与y ＝x 2相同 C ．顶点(－1，4)D ．对称轴是直线x ＝1 7．将二次函数213y x =-+-（）的图象绕顶点旋转180°后，得到的二次函数的表达式为（） A.2(1)3y x =++ B.2(1)3y x =--- C.2(1)3y x =-++D.2(1)3y x =+-8．将261y x x =-+化成2y x h k =-+（）的形式，则h k +的值是( )A ．-5B ．-8C ．-11D ．59．若二次函数21()32y x m =--+，当2x ≤时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为（） A ．2m = B ．2m >C ．2m ≥D ．2m ≤二、填空题10．二次函数()2658y x =--+的图象的顶点是__________．11．抛物线211y x =--+（）的开口向______，对称轴是________，顶点坐标为_____，当x_____时，y 随x 的增大而减小.12．已知二次函数y ＝(x ﹣2)2+3，当x ＜2时，y 随x 的增大而_____．(填“增大”或“减小”)13．将抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移动到点P （﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．14．抛物线2(1)2y x =-++的对称轴为直线__________. 15．函数y ＝（x ﹣2）2+1取得最小值时，x ＝_____．三、解答题 16．已知抛物线y ＝﹣14（x ﹣2）2+3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围． 17．已知：二次函数的表达式223y x x =--（1）用配方法将其化为2()y a x h k =-+的形式；（2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质. 18．已知二次函数y=-213x x 22++．（1）将y=-21x 2+x+32用配方法化为y=a （x-h ）2+k 的形式；（2）求该函数图象与两坐标轴交点的坐标；（3）画出该函数的图象．19．已知抛物线 y=a （x ﹣2）2+1 经过点 P （1，﹣3） (1)求 a 的值；(2)若点 A （m ，y1）、B （n ，y2）（m ＜n ＜2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2442y mx mx m =-+-的的顶点为M .（1）顶点M 的坐标为 .（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若//MN y 轴且2MN = ①点N 的坐标为；②过点N 作y 轴的垂线l ，若直线l 与抛物线交于,P Q 两点，该抛物线在,P Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m的取值范围.答案1．B2．C3．A4．B5．A6．C7．D8．A9．C5,810．()x=（1,1）>111．下直线112．减小13．y＝2（x+3）2+1x=-14．115．216．解（1）y ＝﹣14（x ﹣2）2+3．所以抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为（2，3）；（2）∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大， ∵抛物线的对称轴x ＝2，∴当x ＜2时y 随x 的增大而增大．17．解(1)()2221211314y x x x =-+--=-- (2)画出图象如图：由图知，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）．18．解（1）y=-213x x 22++ =-12（x 2-2x+1-1）+32 =-12（x-1）2+2；（2）当x=0时，y=-213x x 22++=32，则抛物线与y 轴的交点坐标为（0，32），当y=0时，-12（x-1）2+2=0，解得x 1=3，x 2=-1，则抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0），（-1，0），（3）如图，，19．解：（1）∵抛物线过点P（1，﹣3），∴﹣3=a+1，解得a=﹣4．（2）当a=﹣4 时，抛物线的解析式为y=﹣4（x﹣2）2+1．∴抛物线的开口向下，对称轴为x=2，∴当x≤2 时，y 随x 的增大而增大，∵m＜n＜2，∴y1＜y2．20．解：（1）∵y=mx2-4mx+4m-2=m（x-2）2-2，∴抛物线顶点M的坐标（2，-2）．故答案为：（2，-2）；（2）①由题意可知：N（2，0）或（2，-4），故答案为：（2，0）或（2，-4）；②分两种情况：①当N在点M的上方时，此时N在x轴上，即直线l与x轴重合，如图所示，抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，∴当x=1时，y≤-1，当x=0时，y＞0，则4421420m m mm-+-≤-⎧⎨->⎩，解得：12＜m≤1；②当N在点M的下方时，如图所示，抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，∴当x=1时，y≥-3，当x=0时，y＜-4，则4423424m m mm-+-≤-⎧⎨-<-⎩，解得：-1≤m＜-12；综上，m的取值范围是：12＜m≤1或-1≤m＜−12．。

人教版九年级数学上册22.1.3 第3课时二次函数y=a(x-h)2k的图象和性质同步测试题【最新】

第3课时二次函数y=a （x-h ）2+k 的图象和性质◆基础练习1. 抛物线2(8)2y x =--+的顶点坐标是（）A 、（2，8）B 、（8，2）C 、（—8，2）D 、（—8，—2）2. 抛物线的顶点坐标为P(1,3),且开口向下,则函数y 随自变量x 的增大而减小,那么x 的取值范围为( )A. x ＜3B. x ＜3C.x ＞1D.x ＜13.二次函数22(1)3y x =+-的图象向右平移1个单位,再向上平移3个单位,所得到抛物线的解析式为。

4. 写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式。

5.已知抛物线21(4)33y x =--的部分图象如图所示,则图象再次与x 轴相交时的坐标是 .◆能力拓展6.已知点A(1, a )在抛物线2y x =上.(1)求A 点的坐标;(2)在x 轴上是否存在点P,使得△OAP 是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.7. 某农场种植一种蔬菜，销售员张华根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图所示，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份的关系。

观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数解析式。

◆创新学习8．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,生产第一档次(即最低档次)的产品一天生产76件,每件利润10元,每提高一个档次,利润每件增加2元.(1)当每件利润为16元时,此产品质量在第几档次?(2)由于生产工序不同,此产品每提高一个档次,一天产量减少4件.若生产第x 档次产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数,且1≤x ≤10),求出y 关于x 的函数关系式;若生产某挡次产品一天的总利润为1080元,该工厂生产的是第几档次的产品?参考答案1．B 2．C 3．22y x = 4．2y x =-等（答案不唯一） 5．（7，0）6．(1)把A(1,a )代入2y x =得1a = ∴A(1,1)(2)存在.这样的点P 有四个,即1234(2,0),(2,0),(2,0),(1,0)P P P P - 7．此题答案不唯一，以下答案仅供参考：（1）2月份每千克销售价是3.5元；（2）7月份每千克销售价是0.5元；（3）1月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；等．8．(1)当每件利润是16元时,此产品的质量档次是在第四档次.(2) 根据题意可得()()10217641y x x =+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦整理,得28128640y x x =-++. 当利润是1080元时,即281286401080x x -++=解得125,11x x == 因为11x =>10,不符合题意,舍去.因此取5x =,答: 当生产产品的质量档次是在第5档次时,一天的总利润为1080元．。

人教版九年级上册数学《22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质》基础训练

九年级上册数学《22.1.3 二次函数y ＝a （x-h ）2+k 的图像和性质》基础训练一、单选题1．（2019·衢州）二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)-- 2．（2019·四川中考模拟）对于函数y =-2（x -3）2，下列说法不正确的是（） A ．开口向下 B ．对称轴是3x = C ．最大值为0 D ．与y 轴不相交 3．二次函数2(1)3y x =--的最小值是（）．A ．2B ．1C ．2-D ．3- 4．抛物线y=－(x －2)2＋3，下列说法正确的是（）A ．开口向下，顶点坐标（2，3）B ．开口向上，顶点坐标（2，－3）C ．开口向下，顶点坐标（－2，3）D ．开口向上，顶点坐标（－2，－3）5．（2019·广西中考模拟）将261y x x =-+化成2y x h k =-+（）的形式，则h k +的值是( )A ．-5B ．-8C ．-11D ．56．已知抛物线y ＝x 2+2x+4的顶点为P ，与y 轴的交点为Q ，则PQ 的长度为（）A B ． C D 7．抛物线y ＝（x +1）2+1上有点A （x 1，y 1）点B （ x 2，y 2）且x 1＜x 2＜﹣1，则y 1与y 2的大小关系是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．不能确定 8．（2019·广西南宁中考模拟）在下列二次函数中，其图象对称轴为x =2的是 A ．y =2x 2﹣4B ．y =2(x -2)2C ．y =2x 2+2D ．y =2(x +2)29．若二次函数21()32y x m =--+，当2x ≤时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为( ) A ．2m =B ．2m >C ．2m ≥D ．2m ≤二、填空题10．二次函数()2658y x =--+的图象的顶点是__________．11．（2019·黑龙江中考模拟）已知二次函数y ＝(x ﹣2)2+3，当x ＜2时，y 随x 的增大而_____．(填“增大”或“减小”)12．（2019·浙江中考模拟）将二次函数y ＝x 2﹣8x +3化为y ＝a (x ﹣m )2+k 的形式是_____．13．（2019·四川中考模拟）将抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移动到点P （﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．14．若二次函数y ＝(k+1)x 2﹣x+k 的最高点在x 轴上，则k ＝____． 15．（2018·温岭市中考模拟）当﹣4≤x≤2时，函数y=﹣(x+3)2+2的取值范围为_____________.三、解答题16．已知抛物线y ＝﹣14（x ﹣2）2+3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．17．二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3（a ≠0）的图象经过点A ．（1）求二次函数的对称轴；（2）当A （﹣1，0）时，①求此时二次函数的表达式；②把y ＝ax 2﹣2ax ﹣3化为y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式，并写出顶点坐标； ③画出函数的图象．18．先化简，再求值：，其中m是二次函数顶点的纵坐标．19．已知抛物线y=a（x﹣2）2+1 经过点P（1，﹣3）(1)求a 的值；(2)若点A（m，y1）、B（n ，y2）（m＜n＜2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．20．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△AB C．答案1．A 2．D 3．D 4．A 5．A 6．A 7．B 8．B 9．C 5,810．()11．减小12．y＝(x﹣4)2﹣1313．y＝2（x+3）2+114．﹣215．-23≤y≤216．解（1）y＝﹣1（x﹣2）2+3．4所以抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）；（2）∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵抛物线的对称轴x＝2，∴当x＜2时y随x的增大而增大．17．解：（1）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的对称轴是直线x＝﹣，即x＝1；（2）①∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），∴a+2a﹣3＝0，∴a＝1，∴此时二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；②y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标为（1，﹣4）；③∵y＝x2﹣2x﹣3，∴y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴函数与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．函数的图象如图所示：18．解∵二次函数y=（x+2）2﹣3顶点的纵坐标是（﹣2，﹣3），∴m=﹣3．∵=，∴当m=﹣3时，原式=m=﹣3．19．解：（1）∵抛物线过点P（1，﹣3），∴﹣3=a+1，解得a=﹣4．（2）当a=﹣4 时，抛物线的解析式为y=﹣4（x﹣2）2+1．∴抛物线的开口向下，对称轴为x=2，∴当x≤2 时，y 随x 的增大而增大，∵m＜n＜2，∴y1＜y2．20．解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=2（）得C（2，0），x22∴对称轴为直线x=2，设B（m，n），∴CP=m-2，∵AB∥x轴，∴AB=2m-4， ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，∴（m-2）， ∵PB=n=222m -（），（m-2）=222m -（），解得，m=2（不合题意，舍去），∴，BP=32，∴S△ABC =1322=．。