宁夏银川一中2014届高三第二次模拟考试 数学(理)

绝密★启用前(银川一中第二次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U=R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=01|A x x x ，{}1|≥=x x B ，则集合{}0|≤x x 等于 A ．A B ⋂B ．A B ⋃C ． U C A B ⋂（）D ．U C A B ⋃（）2．若复数z 满足i iz 42+=，则z = A ．i 42+B ．i 42-C ．i 24-D ．i 24+3．已知等比数列{}n a 的公比大于1，7273=a a ，2782=+a a ，则=12a A ．96B ．64C ．72D ．484．设l ，m ，n 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α； 2014年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学A ．2B ．1C ．3D ．4 5．从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线， 垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F ， 则△MPF 的面积（ ）A ．5B ．10C ．20D ．156．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是 A ．9 B ． 10 C ． 11 D ． 127．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 A ．18 B ．15 C ．12 D ．9 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．π2 B ．π22C ．（212+）πD ．（222+）π9．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb ＜cos A ，则△ABC 为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形10．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①11．过双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ， C ．若BC AB =2，则双曲线的离心率是 A ．2B ．3C ．5D ．1012．设函数)(x f y =在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：⎩⎨⎧>≤=))(()(()()(k x f kk x f x f x f k ,取函数xe x xf ---=2)(，若对任意的),(∞+-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =，则xxA. k 的最大值为2B. k 的最小值为2C. k 的最大值为1D. k 的最小值为1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量)1,(z x a -=，),2(z y b +=，且b a ⊥，若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x xy x ，则z 的最大值为 14．6)1xx -（的二项展开式中含3x 的项的系数为15．若(0,)απ∈，且3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为 ．16．在平面直角坐标系中，记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图像上；数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n na cb =，求证：数列{}n c 的前n 项的和59n T >（n N *∈）．18 （本题满分12分）今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁。

私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应理科数学试卷 第3页(共6页)该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力。

为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查 者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的 4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ 的分布列和数学期望．19．（本小题12分）已知正方形ABCD 的边长为1，ACBD O =．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使1AC =，得到三棱锥A —BCD ，如图所示．（I ）若点M 是棱AB 的中点，求证：OM ∥平面ACD ； （II ）求证：AO BCD ⊥平面； （III ）求二面角A BC D --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. (Ⅰ)若P 是第一象限内该图形上的一点，1254PF PF ∙=-，求点P 的作标； (Ⅱ)设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中DEABP O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.21.（本小题满分12分）设函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． (Ⅰ)当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性； (Ⅲ)当31=a 时，设函数25()212g x x bx =--，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使12()()f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且BC BD 31=,CA CE 31=，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. (I)设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ； (II)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．理科数学试卷 第5页(共6页)已知函数a a x x f +-=2)(．(I)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；(II)在(I)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．银川一中2014届高三第二次模拟数学（理科）试卷参考答案13. 3 14. 15 15. 1或18-16. 3 17．⑴由已知条件得2111822n n n S a a =++， ①当2n ≥时，2111111822n n n S a a ---=++， ②①－②得：221111()()82n n n n n a a a a a --=-+-，即1111()()4n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵数列{}n a 的各项均为正数，∴14n n a a --=（2n ≥）， 又12a =，∴42n a n =-；∵1111,()n n n n b a b a a b ++=-=， ∴1112,4n n b b b +==，∴112()4n n b -=⋅；⑵∵1(21)4n nn na c nb -==-， ∴22113454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅，2214434(25)4(23)4(21)4n n n n T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅，两式相减得21555312(444)(21)4(2)4333n n n n T n n --=++++--=---⋅<-，∴59n T >．18．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分()22642251061545150=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=()21112646442222510510415624102341=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()111224644422225105104246666222=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()124422510461243=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望5E ξ=．19． (I)在正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD 、的交点， ∴O 为BD 的中点， M 为AB 的中点，∴ OM ∥AD. 又AD ⊂平面ACD ，OM ⊄平面ACD ， ∴OM ∥平面ACD.（II ）证明：在AOC ∆中，1AC =，AO CO ==， ∴222AC AO CO =+，∴AO CO ⊥.又 AC BD 、是正方形ABCD 的对角线，∴AO BD ⊥， 又BD CO O =∴AO BCD ⊥平面.（III ）由（II ）知AO BCD ⊥平面，则OC ，OA ，OD 两两互相垂直，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,0,0),(0,O A C B D ，OA =是平面BCD 的一个法向量.2(AC =，2(BC =， 设平面ABC 的法向量(,,)x y z =n ,则0BC ⋅=n ，0AC ⋅=n .即(,,)0(,,)0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 所以,y x =-且,z x =令1,x =则1y =-，1z =，解得(1,1,1)=-n .从而3cos ,||||OA OA OA ⋅〈〉==nn n ，二面角A BC D --20．（Ⅰ）易知2a =，1b =，c=∴1(F ，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=----=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得221134x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614k x x k+=-+由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅> 22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．①又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++ 22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+∴2144k -<<．②综①②可知2344k <<，∴k 的取值范围是3(2,(,2)- 21. 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'211()af x a x x-=-- (Ⅰ)当1a =时，()ln 1f x x x =--，''1(1)2,()1,(1)0f f x f x∴=-=-∴= ∴()f x 在1x =处的切线方程为2y =-(Ⅱ)2222)]1()[1()1(11)(xa ax x x a x ax x a a x x f ----=--+-=---=' ，)(x f 的定义域为),0(+∞ 当0=a时，21)(xx x f -='，)(x f 的增区间为),1(+∞，减区间为)1,0( 当0≠a 时，时，即21011<<>-a a a ，)(x f 的增区间为)1,1(a a -，减区间为)1,0( ，),1(+∞-a a 时，即2111==-a a a ， )(x f 在 ),0(+∞上单调递减时或，即02111<><-a a a a ，21>a 时，),1(),1,0()1,1()(+∞--aaa a x f ，减区间为的增区间为)1,1);,1(),1,0()(0aaa a x f a -+∞-<减区间为（的增区间为时，(Ⅲ)当13a =时，由(Ⅱ)知函数()f x 在区间(1,2)上为增函数，所以函数()f x 在[]1,2上的最小值为2(1)3f =-若对于12[1,2],[0,1]x x ∀∈∃∈使12()()f x g x ≥成立⇔()g x 在[0,1]上的最小值不大于()f x 在[1，2]上的最小值23-（*）又[]22255()2(),0,11212g x x bx x b b x =--=---∈①当0b <时，()g x 在上[]0,1为增函数，min 52()(0)123g x g ==->-与（*）矛盾 ②当01b ≤≤时，2min 5()()12g x g b b ==--，由252123b --≤-及01b ≤≤得，112b ≤≤ ③当1b >时，()g x 在上[]0,1为减函数，min 72()(1)2123g x g b ==-≤-， 此时1b > 综上所述，b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22.证明：（I ）在ABC ∆中，由11,,33BD BC CE CA ==知： ABD ∆≌BCE ∆，………………2分ADB BEC ∴∠=∠即ADC BEC π∠+∠=.所以四点,,,P D C E 共圆；………………5分 （II ）如图，连结DE .在CDE ∆中，2CD CE =,60ACD ∠=, 由正弦定理知90CED ∠=.………………8分 由四点,,,P D C E 共圆知，DPC DEC ∠=∠,1),1C x -的普通方程为.122=+y x⎪⎩=+,122y x 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B , 则1||=AB .（II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是重庆青学园教育咨询有限公司 24.解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =。