2015年中学教师解题能力测评普通高中数学试卷

2015年中学教师解题能力测评普通高中数学试卷
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}{[]}
{12,2,0,2x A x x B y y x =-<==∈，则A B = A ．[]0,2 B ．()1,3 C ．[)1,3 D ．()1,4
2．设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+。

当0x π≤<时，()0f x =，则23()6
f π= A ．12 B
．2
C ．0
D ．12- 3．平面向量(1,2),(4,2),()a b c ma b m R ===+∈ ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
4．已知}{2log sin 2θθθϕ∈=-，则tan log ()y x θ=-的单调性为
A ．减区间为(,0)-∞
B ．增区间为(,0)-∞
C ．无单调性
D ．以上都不对
5．若{}n a 为无穷等比数列，其公比1q ≠，则下列数列中，一定不是等差数列的是
A ．{}1n n a a ++
B ．{}1n n a a +-
C ．{}1n n a a +
D ．1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
6．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2）,（2,2,0），（1,2,1）, （2,2,2）,给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为
A ．①和②
B ．③和①
C ．④和③
D ．④和②
7．如右图，已知12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆
222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，
则下列关系式正确的为
A ．23a b =
B 3b =
C ．2a b =
D ．2a =
8．已知函数()()f x x R ∈是以4为周期的奇函数，当(0,2)x ∈时，2()ln()f x x x b =-+。

若函数()f x 在区间[]2,2-上有5个零点，则实数b 的取值范围是
A ．11b -<≤
B ．1
544b ≤≤ C ．11b -<<或54b = D ．114b <≤或54
b =
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效。

一、填空题：（本大题共7小题，第9-12题，每题6分，第13-15题每题4分，共36分。

）
9．若函数2log ,0(),(3),0
x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则(4)f = ；1(())4f f = 。

10．若函数()tan(2)6f x x π=-，则()f x 的最小正周期为 ；()8f π
= 。

11．已知222log ()log log x y x y +=+，则11x y
+= ，2x y +的最小值为 。

12．若函数()f x =，则函数的定义域为 ；值域为 。

13．已知数列{}n a 满足l o g (7)(8,(2)6(8)a n n n a a n n - ≥⎧=⎨-- <⎩
若对于*n N ∈，都有1n n a a +<，则实数a 取值为 。

14．如右图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中
点。

设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则
sin α的取值范围是 。

15．已知函数(),y f x x R =∈，对函数(),y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的对称函数为函数(),y h x x I =∈，()y h x =满足：对于任意x I ∈，两个点(,()),(,())x h x x g x 关于点(,())x f x 对称，若()h x
是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”
，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共5小题。

共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题15分）已知向量(,cos2),(sin 2,)a m x b x n == ，设函数()f x a b =⋅ ，且()y f x =的
图象过点(12
π和点2(,2)3
π-。

（Ⅰ）求,m n 的值； （Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图象。

若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间。

17．（本题15分）已等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1的等比数列{}n b 的公比为q ，233S a b ==，且134,,a a b 成等比数列。

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设*3log ()n n n c k a b k N =++∈，若
12111,,(3)t
t c c c ≥成等差数列，求k 和t 的值。

18．（本题15分）已知椭圆
22
122
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的离心率
为
2
，右焦点为
圆22
2
:(7
C x y
+=的圆心。

（Ⅰ）求椭圆
1
C的方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线
12
,
C C都只有一个公共点，记直线l与圆
2
C的公共点为A，求点A的坐标。

19．（本题15分）如图，等边ABC
∆的边长为2，D，E分别为边AB，AC的中点，点M在AC上，且
1
3
AM AC
=，将点A沿中位线DE翻折到'A，构成四棱锥'A BCED
-
，使得'A B=。

（Ⅰ）求证：'//
A B MCD
面；
（Ⅱ）求异面直线'A B和CD所成角的余弦值。

20．（本题14分）已知函数()
f x x x a bx
=-+
（Ⅰ）当2
a=，且()
f x是R上的增函数，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当2
b=-，且对任意(2,4)
a∈-，关于x的方程()()
f x tf a
=总有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围。