2016高中数学人教B版必修四131《正弦函数的图象与性质》双基达标练
高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.3.1 正弦函数的图象与性质(二) Word版含答案
1.3.1正弦函数的图象与性质(二)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？思考2所有的函数都具有周期性吗？思考3周期函数都有最小正周期吗？梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得定义域内的__________值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期.(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.知识点二正弦函数的周期性思考1证明函数y＝sin x是周期函数.思考2证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝________(k ∈Z )知，y ＝sin x 是________函数，____________________是它的周期，且它的最小正周期是________.知识点三正弦函数的奇偶性正弦曲线：思考1观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是______函数，正弦曲线关于______对称.类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R ).反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|sin2x |.类型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1－sin x ＋2sin 2x 1＋sin x.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值.类型四函数周期性的综合应用例4已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值.反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＝________.1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为()A.π2B.πC .2πD .4π 2.下列函数中，周期为π的偶函数是()A.y ＝sin xB.y ＝sin2xC.y ＝|sin2x |D.y ＝1－cos 2x3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是() A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数 4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.答案精析问题导学知识点一思考1不一定．必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期．思考2不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性．思考3周期函数不一定存在最小正周期．例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期． 梳理(1)非零常数T 每一个xf (x ＋T )＝f (x )非零常数T (2)最小的正数知识点二思考1∵sin(x ＋2π)＝sin x ，∴y ＝sin x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．思考2由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期． 梳理sin x 周期2k π (k ∈Z 且k ≠0)2π知识点三思考1正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称．思考2正弦函数是R 上的奇函数．根据诱导公式，得sin(－x )＝－sin x ，对一切x ∈R 恒成立． 梳理奇原点题型探究例1解(1)令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得．而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )． 其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.跟踪训练1解(1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 例2解(1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }． ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．跟踪训练2(1)奇函数(2)非奇非偶函数例3解∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.跟踪训练3解因为f (x )是以π2为周期的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π2＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1. 例4解∵f (1)＝cos π3＝12， f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cosπ＝－1， f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12， f (6)＝cos2π＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0. 同理，可得每连续六项的和均为0. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＋f (2020)＝cos 2017π3＋cos 2018π3＋cos 2019π3＋cos 2020π3 ＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12) ＝－32. 跟踪训练40当堂训练1．D2.D3.B4.±π5.22。
高中数学人教B版必修4作业：1.3.1-第1课时 正弦函数的图象与性质 Word版含解析
一、选择题1．函数y ＝sin(－x )，x ∈[0,2π]的简图是( )【解析】 ∵y ＝sin(－x )＝－sin x ，由五点法知应选B.【答案】 B2．函数y ＝2sin x －3的定义域是( ) A ．[π6，5π6] B ．[π6＋2k π，5π6＋2k π](k ∈Z ) C ．[π3，2π3] D ．[π3＋2k π，2π3＋2k π](k ∈Z )【解析】 由2sin x －3≥0得32≤sin x ≤1.∴π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )，故选D.【答案】 D3．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象的一条对称轴是( )A ．y 轴B ．x 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π【解析】 当x ＝π2时，y 取最大值，∴x ＝π2是一条对称轴．【答案】 C4．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A ．0B.π4C.π2 D ．π【解析】 当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x ，而y ＝cos 2x 是偶函数，故选C.【答案】 C5．函数f (x )＝3sin(x ＋π6)在下列区间内递减的是( )A ．[－π2，π2]B ．[－π，0]C ．[－23π，2π3]D ．[π2，2π3]【解析】 令2k π＋π2≤x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z 可得2k π＋π3≤x ≤2k π＋4π3，k ∈Z ，∴函数f (x )的递减区间为[2k π＋π3，2k π＋4π3]，k ∈Z .【答案】 D二、填空题6．y ＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的周期是23π，则ω＝________.【解析】 T ＝2π|ω|＝23π，且ω＞0，∴ω＝3.【答案】 37．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．【解析】 y ＝(sin x ＋12)2－54，∵－1≤sin x ≤1，∴0≤(sin x ＋12)2≤94.－54≤y ≤1.【答案】 [－54，1]8．如果直线y ＝m 与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象只有一个交点，则m ＝________；有且只有两个交点，则m 的取值范围是________．【解析】 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]及y ＝m 的图象如下：由图可知，当m ＝1或m ＝－1时二图象只有一个交点；当－1<m <1且m ≠0时，二图象有且只有两个交点．【答案】 1或－1 (－1,0)∪(0,1)三、解答题9．求函数y ＝3sin(π3－x 2)的单调递增区间．【解】 y ＝3sin(π3－x 2)＝－3sin(x 2－π3)． 由π2＋2k π≤x 2－π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：5π3＋4k π≤x ≤11π3＋4k π，k ∈Z ，∴函数y ＝3sin(π3－x 2)的单调增区间为[5π3＋4k π，11π3＋4k π](k ∈Z )．10．已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．【解】 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1，易知a ≠0.当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5， 解得⎩⎨⎧ a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 11．已知直线y ＝a ，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]，试探求以下问题．(1)当a 为何值时，直线y ＝a 与函数y ＝sin x 的图象只有一个交点？(2)当a 为何值时，直线与函数图象有两个交点？(3)当a 为何值时，直线与函数图象有三个交点？(4)当a 为何值时，直线与函数图象无交点？【解】 作出直线y ＝a ，与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知．(1)当a ＝1或－1时，直线与函数图象有一个交点．(2)当－1＜a ＜0或0＜a ＜1时，直线与函数图象有两个交点．(3)当a ＝0时，直线与函数图象有三个交点．(4)当a ＜－1或a ＞1时，直线与函数图象无交点．。
高中数学必修四北师大版 正弦函数的性质与图像 双基限时练 含答案
双基限时练(七) 正弦函数的性质与图像一、选择题1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图像描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z )上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析 由正弦函数的图像知A 、B 、D 正确． 答案 C2．M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23 B ．－23C ．－43D ．－2解析 ∵M ＝y max ＝13－1＝－23，m ＝y min ＝－13－1＝－43，∴M ＋m ＝－23－43＝－2.答案 D3．函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π解析 y ＝sin x 的增区间就是y ＝4sin x ＋3的增区间． 答案 B4．在[0,2π]内，使sin x ≥12成立的x 的取值范围是( )A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56πC. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π解析 由y ＝sin x 的图像可知答案为B. 答案 B5．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与y ＝32交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 如右图，y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与y ＝32的图像有两个交点．答案 C6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称 C.直线x ＝－π3对称D ．直线x ＝π6对称解析 当x ＝π6时，y ＝1，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像关于直线x ＝π6对称．答案 D7．满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4≥12的α的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋5π12≤α≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π12≤α≤2k π＋7π12，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π6≤α≤2k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π≤α≤2k π＋π6，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋5π6≤α≤2k π＋π，k ∈Z解析 设t ＝α－π4，则sin t ≥12，如图，设直线y ＝12与单位圆交于A 、B 两点，由三角函数线的定义知阴影部分即为t 的取值范围，所以2k π＋π6≤t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即2k π＋π6≤α－π4≤2k π＋5π6(k ∈Z )，所以2k π＋5π12≤α≤2k π＋13π12(k ∈Z )．答案 A 二、填空题 8．用不等号填空sin 45π________sin 25π；sin137°________cos312°；sin π________cos3. 解析 sin 45π＝sin π5，又sin π5<sin 25π，∴sin 45π<sin 25π.∵sin137°＝sin43°，cos312°＝sin42° 又sin43°>sin42°，∴sin137°>cos312°.由sin π＝0，cos3<0.故sin π>cos3. 答案 < > >9．下列说法正确的是________(只填序号)． ①y ＝|sin x |的定义域为R ； ②y ＝3sin x ＋1的最小值为1； ③y ＝－sin x 为奇函数；④y ＝sin x －1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈R )． 解析 对于②，y ＝3sin x ＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于④，y ＝sin x －1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .故②④错，选①③.答案 ①③10．函数y ＝74＋sin x －sin 2x 的最大值为________，此时x 的值为________．解析 设sin x ＝t ，t ∈[－1,1]， ∴y ＝－t 2＋t ＋74＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋2，∴当t ＝12，即sin x ＝12，x ＝2k π＋π6，或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )时，y max ＝2.答案 2 2k π＋π6，或2k π＋56π(k ∈Z )三、解答题 11．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．解 为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，sin x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数或单位圆，如图(1)、(2)所示．。
数学人教B版必修4优化训练：1.3.1正弦函数的图象与性
1.3.1 正弦函数的图象与性质（2）5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.要得到y=sin （2x-3π）的图象，只要将y=sin2x 的图象（ ） A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位解析：∵y=sin （2x-3π）=sin ［2（x 6π-）］，∴把y=sin2x 的图象向右平移6π，就能得到y=sin（2x-3π）的图象.答案：D2.把函数y=sin （2x+4π）的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的21，则所得图象的函数解析式是（ ） A.y=sin （4x+83π） B.y=sin （4x+8π）C.y=sin4xD.y=sinx解析：将y=sin （2x+4π）的图象向右平移8π个单位，得y=sin ［2（x-8π）+4π］，即y=sin2x 的图象；再将y=sin2x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的21，就得到函数y=sin2（2x ），即y=sin4x 的图象. 答案：C 3.函数y=2sin （3x+6π）的振幅为_____________,周期为_____________,相位为_____________,初期为_____________.解析：由定义可知，振幅是2，周期为32π，相位3x+6π，初期6π. 答案：232π 3x+6π 6π4.函数y=2sin （3x+4π）的对称轴为_____________；对称中心为_____________. 解：观察y=sinx 的图象，x=kπ+2π（k ∈Z ）是其对称轴，（kπ，0）是其对称中心.由3x+4π=kπ+2π（k ∈Z ）得x=123ππ+k （k ∈Z ）为对称轴；由3x+4π=kπ（k ∈Z ）得（123ππ-k ，0）（k ∈Z ）为对称中心. 答案：x=123ππ+k （k ∈Z ） （123ππ-k ，0）（k ∈Z ） 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.为了得到函数y=3sin （2x+3π）的图象，只需将函数y=sin （2x+3π）的图象上每一点的（ ） A.横坐标变为原来的3倍，纵坐标保持不变 B.纵坐标变为原来的3倍，横坐标保持不变C.纵坐标变为原来的31，横坐标保持不变 D.以上都不对 解析：观察两函数式的关系，相位相同，仅仅是纵坐标为3倍关系，即B 项正确. 答案：B2.(2006高考江苏卷,4)为了得到函数y=2sin(3x +6π)，x ∈R 的图象，只需把函数y=2sinx ，x ∈R 的图象上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的31（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的31（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）解析：把函数y=2sinx ，x ∈R 的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，可得到y=2sin（x+6π），x ∈R ，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得y=2sin(3x +6π),x ∈R . 答案：C3.函数y=2sin （2x+3π）的图象是（ ） A.关于原点成中心对称的图形 B.关于y 轴成轴对称的图形 C.关于直线x=6π-成轴对称的图形 D.关于直线x=12π成轴对称的图形 解析：当x=12π时，y=2sin 2π=2为最大值.所以直线x=12π是该函数的一条对称轴;该函数为非奇非偶函数,所以不关于原点或y 轴对称.答案：D4.(2005高考福建卷,理6)函数y=sin(ωx+φ)(x ∈R ,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图1-3-2,则（ ）图1-3-2A.ω=2π,φ=4π B.ω=3π,φ=6πC.ω=4π,φ=4π D.ω=4π,φ=45π解析：由题图易知4T=2⇒T=8.而T=ωπ2=8,∴ω=4π.排除A 、B.∴函数y=sin(4πx+φ).显然φ=4π满足sin(4π×1+4π)=1.而φ=45π,则sin(4π×1+45π)=-1.∴排除D.答案：C5.函数y=sinx 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位，所得图象的函数解析式为___________________. 解析：y=sinx→y=3sin 31x→y =3sin 31（x-3）=3sin （31x-1）. 答案：y=3sin （31x-1） 6.已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）,（1）若A=3，ω=21，φ=-3π，作出该函数在一个周期内的草图； （2）若y 表示一个振动量，其振动频率是π2，当x=24π时，相位是3π，求ω与φ.解：（1）y=3sin （2x -3π），列出下表：32π-x 0 2π π 23π 2π x32π 35π 38π 311π 314π y 0 3 0-3描出对应五点（x ，y ），用光滑曲线连结各点即得所应作的函数图象（见下图）.（2）依题意，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∙==,324,22πϕπωππωf ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.6,4πϕω30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知函数y=Asin （ωx +φ）在同一周期内，当x=12π时，y 最大=2；当x=127π时，y 最小=-2，那么函数的解析式为（ ）A.y=2sin （2x+3π）B.y=2sin （2x-6π） C.y=2sin （2x+6π） D.y=2sin （2x-3π）解析：由x=12π时，y 最大=2，知A=2，同一周期内，y 取最大与最小值时x 相差127π-12π=2π.∴2T =2π,T=π. ∴ω=πππ22=T =2. ∴y=2sin （2x+φ），代入最大值坐标，得φ=3π.答案：A 2.函数y=sin （2x+25π）的图象的一条对称轴方程为（ ） A.x=8π B.x=-4π C.x=-2π D.x=45π解析：依题意，令sin （2x+25π）=±1，则2x+25π=kπ+2π，从而x=21kπ-π，k ∈Z .显然k=1时，x=2π-，符合题意.答案：C3.已知正弦函数在一个周期内的图象如图1-3-3所示，则它的表达式应为 …（ ）图1-3-3A.y=21sin （2x+2π）+21B.y=21sin （2x-2π）+21C.y=21sin （2x+4π）+21D.y=21sin （2x-4π）+21解析：从图形中可以看出，曲线的振幅A=21，周期T=43π-（-4π）=π，ω=Tπ2=2，再将（0，1）代入，有21sin （2x+φ）+21=1，∴sinφ=1，φ=2kπ+2π，k ∈Z .答案：A 4.函数y=2sin （6π-2x ）（x ∈［0，π］）为增函数的区间是（ ）A.［0，3π］B.［12π，127π］C.［3π，65π］ D.［65π，π］解析：y=2sin （6π-2x ）=-2sin （2x 6π-），当2kπ+2π≤2x 6π-≤2kπ+23π（k ∈Z ），即kπ+3π≤x≤kπ+65π（k ∈Z ），当k=0时，得在［0，π］内所求函数的单调增区间［3π，65π］.答案：C5.已知f （x ）=sin （πx -2π）-1，则下列命题正确的是（ ） A.f （x ）是周期为1的奇函数 B.f （x ）是周期为2的偶函数C.f （x ）是周期为1的非奇非偶函数D.f （x ）是周期为2的非奇非偶函数 解析：f （x ）=sin （πx -2π）-1=-sin （2π-πx ）-1=-cosπx -1， ∴T=ππ2=2,且f(x)是偶函数，故选B 项. 答案：B6.已知函数y=f （x ），f （x ）图象上所有点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，得到的曲线与y=21sinx 图象相同，则y=f （x ）的图象表达式为（ ）A.y=21sin （21x-2π）B.y=21sin （x+2π） C.y=21sin （21x+2π） D.y=21sin （2x-2π）解析：采用逆向思维方式，由题意，y=21sinx 的图象沿x 轴向右平移2π个单位后得到y=21sin（x-2π），再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到y=21sin（2x-2π），此即y=f （x ）的解析式. 答案：D7.下列命题中，真命题的个数为（ ）①若α、β为第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ ②函数y=x 2sin 的定义域为［2kπ-2π，2kπ+2π］（k ∈Z ） ③函数y=Asin （π21532+x ）（A 为常数且A≠0）是偶函数 ④将函数y=sin2x 的图象向右平移4π个单位，得到函数y=sin （2x+4π）的图象A.0B.1C.2D.3解析：对于①可举反例：49π＞3π，但sin 49π＜sin 3π；对于②，sin2x ＞0，2x ∈［2kπ，2kπ+π］，x ∈［kπ，kπ+2π］，k ∈Z ；对于③，y=Asin （21532π+x ）=Asin （x 32-2π）=-Acos 32x ，故为偶函数；对于④，y=sin2x→y=sin2（x+4π）而不是y=sin （2x+4π）. 答案：B8.已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象中最高点（距原点最近）的坐标是（2，2），由这个最高点到相邻最低点的曲线与x 轴交于点（6，0），则此函数的解析式应为________________________. 解析：依题意，A=2，T=4×（6-2）=16，ω=162π=8π， ∴y=2sin （8πx+φ），再将（2，2）代入前式，有2sin （8π×2+φ）=2， 故sin （4π+φ）=1，4π+φ=2kπ+2π，φ=2kπ+4π，k ∈Z .又∵0＜φ＜π，∴φ=4π.∴所求解析式为y=2sin （8πx+4π）.答案：y=2sin （8πx+4π）9.若f （x ）=2sinωx （0＜ω＜1）在区间［0，3π］上的最大值是2，则ω=________________.解析：∵0＜ω＜1，则T=ωπ2＞2π,∴f （x ）在区间［0，3π］上为增函数.故f （x ）max =f （3π），即2sin 3ωπ=2.又0＜ω＜1，则ω=43.答案：4310.已知f （x ）=-2asin （2x+6π）+2a+b ，x ∈［4π，43π］.是否存在常数a 、b ∈Q ，使得f（x ）的值域为{y|-3≤y≤3-1}?若存在，求出a 、b 的值；若不存在，说明理由.解：因为4π≤x≤43π，所以32π≤2x+6π≤35π，所以-1≤sin （2x+6π）≤23.若存在这样的有理数a 、b,则（1）当a ＞0时，⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-,1322,323b a a b a a 所以a=1,b=3-5(舍去）.（2）当a ＜0时，⎩⎨⎧-=++--=++,1323,322b a b a a所以a=-1，b=1，即a 、b 存在，且a=-1，b=1.11.如图1-3-4所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足y=Asin （ωx +φ）+b.图1-3-4(1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式.解：(1)由图可知，这段时间的最大温差为30-10=20（℃）. (2)由图可知，半周期为21·ωπ2=14-6=8，∴ω=8π.A=21（30-10）=10，b=21（30+10）=20. ∴y=10sin （8πx+φ）+20, 将x=6，y=10代入上式可得φ=43π. 综上，所求的解析式为y=10sin （8πx+43π）+20，x ∈［6，14］.。
高中数学(人教B版必修4)同步练习：1.3.1正弦函数的图象与性质(3)(含答案解析)
1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)一、基础过关1． 若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定 2． 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 3． 函数y ＝|sin x|的一个单调增区间 是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π4． 下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°5． 函数y ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋5π6(k∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k∈Z)6． 函数y ＝sin(π＋x)，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的单调增区间是________．7． 函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x≤π6)的值域是________．8． 求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.二、能力提升9． 已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C ．2D ．310．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． 11．设|x|≤π4，求函数f(x)＝cos 2x ＋sin x 的最小值．12．已知函数f(x)＝2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．三、探究与拓展13．欲使函数y ＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是_____．答案1．D 2.C 3.C 4.C 5.A6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 7.[0,2] 8． (1)[4k π＋π，4k π＋3π] (k∈Z) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k∈Z9．B 10.sin 3<sin 1<sin 2 11．解 f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. ∵|x|≤π4，∴－22≤sin x≤22.∴当sin x ＝－22时，f(x)min ＝1－22. 12．解 ∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a≠0.当a>0时，f(x)max ＝2a ＋b ＝1， f(x)min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123.当a<0时，f(x)max ＝－3a ＋b ＝1， f(x)min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.13．1992π解析 要使y 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值， 则y 在[0,1]上至少含49 34个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧49 34T≤1T ＝2πω，解得ω≥1992π.。
2016高中数学人教B版必修四131《正弦函数的图象与性质》双基达标练
双基达标(限时20分钟)1、函数y＝－sin x，x∈错误!的简图就是（）、解析由y＝sin x与y＝－sin x的图象关于x轴对称可知选D、答案 D2、在［0,2π]内，不等式sin x<－错误!的解集就是(）、A、(0，π)B、错误!C、错误!D、错误!解析画出y＝sin x,x∈[0，2π］的草图如下：因为sin 错误!＝错误!,所以sin 错误!＝－错误!，sin 错误!＝－错误!、即在[0，2π］内，满足sin x＝－错误!的x＝错误!或x＝错误!、可知不等式sin x〈－错误!的解集就是错误!、故选C、答案 C3、函数f（x)＝x cos错误!就是（）、A、奇函数B、非奇非偶函数C、偶函数D、既就是奇函数又就是偶函数解析∵f（x）＝x sin x,定义域为R，f（－x)＝－x sin(－x）＝x sin x＝f(x）,∴f(x)就是偶函数、答案 C4、若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围就是________、解析由正弦图象得－1≤sin x≤1,∴－1≤2m＋1≤1、∴m∈[－1，0]、答案［－1,0]5、函数y＝sin错误!(ω>0)的最小正周期就是错误!，则ω＝________、解析2πω＝错误!，∴ω＝3、答案 36、求函数y＝sin错误!的单调递减区间、解由已知函数为y＝－sin错误!,则欲求函数的单调递减区间,只需求y＝sin(2x－π3)的单调递增区间、由－错误!＋2kπ≤2x－错误!≤错误!＋2kπ(k∈Z)，解得－错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ(k∈Z)、∴函数的单调递减区间为错误!（k∈Z)、错误!7、y＝1＋sin x，x∈［0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数就是(）、A、0B、1C、2D、3解析作出y＝1＋sin x在[0，2π］上的图象,可知只有一个交点、答案 B8、如图所示,函数y＝cos x|tan x|（0≤x<错误!且x≠错误!)的图象就是(）、解析当0≤x<错误!时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；当错误!<x≤π时,y＝cos x·|tan x|＝－sin x;当π〈x<错误!时,y＝cos x·｜tan x|＝sin x,故其图象为C、答案 C9、函数y＝sin x，x∈R的图象向右平移错误!个单位后所得图象对应的函数解析式就是________、∵sin错误!＝－sin错误!＝－cos x，∴y＝－cos x、答案y＝－cos x10、函数y＝sin ｜x｜＋sin x的值域就是________、解析y＝sin |x｜＋sin x＝错误!∴－2≤y≤2、答案[－2,2]11、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合,并分别写出最大值、最小值:（1）y ＝3－2sin x ;（2）y ＝sin x 3、解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1,即x ＝2k π＋错误!,k ∈Z 时,y 有最大值5,相应x 的集合为错误!、 当sin x ＝1,即x ＝2k π＋错误!,k ∈Z 时,y 有最小值1,相应x 的集合为错误!、(2）令z ＝错误!，∵－1≤sin z ≤1，∴y ＝sin 错误!的最大值为1，最小值为－1、又使y ＝sin z 取得最大值的z 的集合为{z ｜z ＝2k π＋π2,k ∈Z ｝,由错误!＝2k π＋π2,得x ＝6k π＋错误!π，∴使函数y ＝sin 错误!取得最大值的x 的集合为{x ｜x ＝6k π＋错误!π，k ∈Z ｝、同理可得使函数y ＝sin x 3取得最小值的x 的集合为{x ｜x ＝6k π－错误!π,k ∈Z }、12、（创新拓展)若函数y ＝2sin x 错误!的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积、解 观察图可知：图形S 1与S 2,S 3与S 4就是两个对称图形:有S 1＝S 2,S 3＝S 4，因此函数y ＝2sin x 错误!的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形ABCD 的面积，∴｜AB ｜＝2,｜CB |＝2π∴S 矩形ABCD ＝2×2π＝4π,∴所求封闭图形的面积为4π、。
2016高中数学人教B版必修四131《正弦函数的图象与性质二》双基达标练
错误!1、函数y＝3sin错误!的图象的一条对称轴方程就是()、A、x＝0B、x＝错误!C、x＝－错误!D、x＝错误!解析令sin错误!＝±1,得2x＋错误!＝kπ＋错误!（k∈Z）,即x＝错误!π＋错误! (k∈Z）,取k＝1时，x＝错误!、答案 B2、已知简谐运动f（x)＝2sin错误!错误!的图象经过点（0，1)，则该简谐运动的最小正周期T与初相φ分别为(）、A、T＝6，φ＝错误!B、T＝6，φ＝错误!C、T＝6π，φ＝错误!D、T＝6π，φ＝错误!解析将（0，1）点代入f(x)可得sin φ＝错误!、∵｜φ|〈错误!，∴φ＝错误!,T＝错误!＝6、答案 A3、下列四个函数中同时具有（1)最小正周期就是π;(2）图象关于x＝错误!对称的就是()、A、y＝sin错误!B、y＝sin错误!C、y＝sin错误!D、y＝sin错误!解析∵T＝π,∴排除A;又因为图象关于x＝错误!对称、∴当x＝错误!时，y 取得最大值（最小值）、代入B、C、D三项验证知D正确、答案 D4、先作函数y＝sin x的图象关于y轴的对称图象，再将所得图象向左平移π4个单位，所得图象的函数解析式就是________、解析作函数y＝sin x的图象关于y轴的对称图象,其函数解析式为y＝sin （－x),再将函数y＝sin （－x）的图象向左平移错误!个单位，得到函数图象的函数解析式为：y ＝sin 错误!＝sin 错误!、答案 y ＝sin 错误!5、先将y ＝sin x 的图象向右平移错误!个单位，再变化各点的横坐标（纵坐标不变)，得到最小正周期为 错误!的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω〉0）的图象,则ω＝________,φ＝________、解析 由已知得到函数解析式为y ＝sin 错误!且错误!＝错误!,∴ω＝3,φ＝－错误!、答案 3 －错误!6、已知f (x )＝2sin 错误!＋a ＋1（其中a 为常数)、（1)求f （x ）的单调区间;（2）若x ∈错误!时，f (x )的最大值为4,求a 的值;(3)求出使f (x )取得最大值时x 的集合、解 (1）由2k π－错误!≤2x ＋错误!≤2k π＋错误!（k ∈Z ）得，x ∈错误!(k ∈Z ）、 即f (x )的单调增区间就是错误!(k ∈Z ）;由2k π＋错误!≤2x ＋错误!≤2k π＋错误!(k ∈Z ）得，x ∈错误!（k ∈Z )， 即f (x ）的单调减区间就是错误!(k ∈Z ）、(2）因为x ∈错误!时,所以错误!≤2x ＋错误!≤错误!，－错误!≤sin 错误!≤1,可见f (x ）的最大值为2＋a ＋1＝4，故a ＝1、(3)f （x ）取得最大值时，2x ＋错误!＝2k π＋错误!(k ∈Z ）,即x ＝k π＋错误!（k ∈Z ）,所以,当f （x )取得最大值时x 的集合就是｛｝x ｜x ＝k π＋π6，k ∈Z 、错误! 7、已知函数f （x )＝sin 错误!（ω>0）的最小正周期为π,则该函数的图象( )、A 、关于点错误!对称B 、关于直线x ＝错误!对称C 、关于点错误!对称D 、关于直线x ＝错误!对称 解析 ∵f （x ）图象周期为π,∴ω＝2、∴f(x)＝sin错误!,∴f（x)图象关于点错误!（k∈Z)对称，关于x＝错误!＋错误!（k∈Z)对称、答案 A8、已知函数y＝sin错误!错误!的部分图象如图，则(）、A、ω＝1，φ＝错误!B、ω＝1,φ＝－错误!C、ω＝2，φ＝错误!D、ω＝2,φ＝－错误!解析由图象知错误!＝错误!－错误!＝错误!，∴T＝π，ω＝2、且2×错误!＋φ＝kπ＋π（k∈Z）,φ＝kπ－错误!（k∈Z)、又|φ｜<错误!，∴φ＝－错误!、答案 D9、已知函数y＝2sin(ωx＋φ）(ω〉0)在一个周期内当x＝错误!时,有最大值2,当x＝错误!时有最小值－2，则ω＝________、解析由题意知T＝2×错误!＝π、∴ω＝错误!＝2、答案 210、关于f（x）＝4sin错误!（x∈R)，有下列命题:①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2就是π的整数倍;②y＝f（x)的表达式可改写成y＝4cos错误!;③y＝f（x)图象关于点错误!对称;④y＝f(x)图象关于直线＝－错误!对称、其中正确命题的序号为________(将您认为正确的都填上）、解析对于①,由f(x）＝0,可得2x＋错误!＝kπ(k∈Z）、∴x＝错误!π－错误!（k∈Z），∴x1－x2就是错误!的整数倍,∴①错误；对于②，由f（x)＝4sin错误!可得f（x)＝4cos错误!＝4cos错误!、∴②正确;对于③，f（x)＝4sin错误!的对称中心满足2x＋错误!＝kπ（k∈Z），∴x＝错误!π－错误!(k∈Z),∴错误!就是函数y＝f(x）的一个对称中心、∴③正确;对于④,函数y＝f（x）的对称轴满足2x＋错误!＝错误!＋kπ（k∈Z)，∴x＝错误!＋错误!(k∈Z)、∴④错误、答案②③11、已知函数f(x)＝A sin（ωx＋φ）(A〉0，ω〉0,－错误!<φ<错误!）的部分图象如图所示、（1)求f（x)的解析式;（2）写出f(x)的递增区间、解(1)由图可以得出A＝错误!，ω＝错误!＝错误!,由错误!·(－2）＋φ＝0得φ＝错误!，∴f(x)＝错误!sin错误!、（2）令2kπ－错误!≤错误!x＋错误!≤2kπ＋错误!,k∈Z，得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z,即f(x）的单调递增区间为[16k－6,16k＋2］，k∈Z、12、（创新拓展）已知曲线y＝A sin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为错误!，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点错误!，若φ∈错误!、(1)试求这条曲线的函数表达式;（2）用“五点法"画出(1）中函数在[0，π]上的图象、解(1)依题意,A＝错误!，T＝4×错误!＝π、∵T＝错误!＝π,ω〉0,∴ω＝2,∴y＝错误!sin(2x＋φ）, 又曲线上的最高点为错误!,∴sin错误!＝1、∵－错误!〈φ<错误!，∴φ＝错误!、∴y＝2sin错误!、（2）列出x、y的对应值表:x 0错误!错误!π错误!π错误!ππ2x＋错误!错误!错误!π错误!π2π错误!y 1错误!0－错误!0 1。
高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.3.1正弦函数的图象与性质.2含解析
第 2 课时正弦型函数y=A sin(ωx+φ)课时过关 ·能力提高1.已知函数f(x)= sin(ω> 0)的最小正周期为π,则该函数的图象()A .对于点对称B .对于直线x= 对称C.对于点对称 D .对于直线x= 对称分析 :由已知得= π,因此ω=2,即 f(x) =sin.又 f= 0,因此 f(x) 的图象对于点对称.答案 :A2.为了获得函数y= sin的图象,只要把函数y= sin的图象()A .向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度分析 :y= sin y= sin= sin.答案 :B3.函数 y= 2sin的单一递加区间是()A .(k∈ Z)B.(k∈ Z)C.(k∈ Z)D.(k∈ Z )答案 :B4.已知正弦函数在一个周期内的图象如下图,则它的表达式应为()A. y= sinB.y= sinC.y= sinD.y= sin答案 :A5.先将函数y=f (x)图象上全部点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到本来的 2 倍 ,再将整个图象沿 x 轴向左平移个单位长度,获得的曲线与y= sin x 的图象同样 ,则 y=f ( x)的表达式为 ()A. y= sinB.y= sinC.y= sinD.y= sin分析 :依据题意 ,将 y= sin x 的图象沿x 轴向右平移个单位长度后获得y= sin的图象,再将此函数图象上各点的横坐标缩短为本来的,纵坐标不变 ,获得y= sin的图象,即得y=f (x)的分析式 .答案 :D6.对于函数f(x)= sin,有以下命题 :①函数的图象对于直线x=-对称;②函数的图象对于点对称;③函数的图象可看作是把y=sin 2 x 的图象向左平移个单位长度而获得;④函数的图象可看作是把y= sin的图象上全部点的横坐标缩短到本来的(纵坐标不变 )而获得 .此中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 :C★7.已知函数 f(x) =sin,此中 k≠ 0,当自变量 x 在任何两个整数间(包含整数自己)变化时 ,起码含有 1 个周期 ,则最小的正整数k 是()A.60B.61C.62D.63分析 :∵k≠0,∴函数 f(x)= sin的周期T=.又 T≤1,∴|k| ≥20π>62.8.∴最小的正整数k= 63.答案 :D8.已知函数y=A sin(ωx+ φ)(A> 0,ω>0,0< φ< π)的图象中最高点(距原点近来 )的坐标是 (2, ),由这个最高点到相邻最低点的曲线与x 轴交于点 (6,0), 则此函数的分析式应为.答案 :y=sin★9.设ω> 0,且函数 f(x)= sin ωx 在上单一递加,则ω的取值范围是.分析 :由于 x∈,ω> 0,ωx∈∴∴0<ω≤. ,答案 :10.对于函数f(x)= 4sin(x∈R )有以下命题 :①由 f( x1)=f (x2)=0,可得 x1-x2必是π的整数倍 ;②y=f (x)的表达式可改写为y=4cos;③y=f (x)的图象对于点对称;④y=f (x)的图象对于直线x=-对称.此中真命题的序号是(注 :把你以为正确的命题的序号都填上).分析 :如下图为y=4sin的图象.函数图象与x 轴的交点平均散布,相邻的两个交点的距离为,故命题①不是真命题 ;函数f(x)的图象与x 轴的每一个交点,都是函数图象的一个对称中心,因此③是真命题 ;函数图象的对称轴都一定经过图象的最高点或最低点,因此直线x=-不是对称轴,故④不是真命题;由诱导公式可知4cos= 4sin= 4sin,因此命题②是真命题 .因此应填②③ .答案 :②③11.已知函数f(x)= 2sin.(1)求 f(x)的最大值 M、最小值 N 和最小正周期 T;(2)写出函数 f(x)图象的对称轴和对称中心 .解 :(1)M= 2,N=- 2,T== π.(2)令 2x+ =k π+ (k∈ Z),得 x=(k∈ Z),即对称轴是直线x=(k∈ Z).令 2x+ =k π(k∈ Z),得 x=(k∈ Z),即对称中心是(k∈ Z).★12.已知f(x)=- 2asin+ 2a+b ,x∈,能否存在常数a,b ∈ Q,使得f(x) 的值域为{ y|- 3≤y≤ -1}? 若存在 ,求出 a,b 的值 ;若不存在 ,请说明原因 .解 : 由于≤x≤ ,因此≤2x+,因此 -1≤sin.若存在这样的有理数a,b,则当 a> 0 时 ,因此当 a< 0 时 ,因此综上 ,a,b 存在 ,且 a=- 1,b= 1.。
2016高中数学人教B版必修四131《第1课时 正弦函数的图象与性质》课后作业题
一、选择题1、函数y＝sin（－x）,x∈[0，2π］的简图就是（)【解析】∵y＝sin（－x)＝－sin x,由五点法知应选B、【答案】 B2、函数y＝错误!的定义域就是(）A、［错误!,错误!］B、[错误!＋2kπ，错误!＋2kπ］（k∈Z)C、［π3，错误!］D、[错误!＋2kπ,错误!＋2kπ］（k∈Z）【解析】由2sin x－错误!≥0得错误!≤sin x≤1、∴错误!＋2kπ≤x≤错误!＋2kπ(k∈Z），故选D、【答案】 D3、正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴就是（)A、y轴B、x轴C、直线x＝π2D、直线x＝π【解析】当x＝π2时，y取最大值，∴x＝错误!就是一条对称轴、【答案】 C4、函数y＝sin（2x＋φ)（0≤φ≤π)就是R上的偶函数,则φ的值就是（）A、0B、错误!C、错误!D、π【解析】当φ＝错误!时，y＝sin（2x＋错误!）＝cos 2x，而y＝cos 2x就是偶函数,故选C、【答案】 C5、函数f(x)＝3sin（x＋错误!）在下列区间内递减的就是（)A、[－错误!,错误!]B、[－π,0］C、［－错误!π,错误!］D、［错误!，错误!］【解析】令2kπ＋错误!≤x＋错误!≤2kπ＋错误!，k∈Z可得2kπ＋π3≤x≤2kπ＋4π3，k∈Z，∴函数f（x）的递减区间为［2kπ＋错误!，2kπ＋错误!]，k∈Z、【答案】 D二、填空题6、y＝sin(ωx＋错误!)(ω＞0）的周期就是错误!π，则ω＝________、【解析】T＝错误!＝错误!π,且ω＞0,∴ω＝3、【答案】 37、函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为________、【解析】y＝（sin x＋12)2－错误!，∵－1≤sin x≤1，∴0≤（sin x＋错误!)2≤错误!、－错误!≤y≤1、【答案】[－错误!，1］8、如果直线y＝m与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象只有一个交点,则m＝________；有且只有两个交点，则m的取值范围就是________、【解析】画出y＝sin x,x∈[0,2π］及y＝m的图象如下：由图可知，当m＝1或m＝－1时二图象只有一个交点；当－1〈m<1且m≠0时,二图象有且只有两个交点、【答案】1或－1(－1,0)∪(0,1)三、解答题9、求函数y＝3sin（错误!－错误!）的单调递增区间、【解】y＝3sin（错误!－错误!）＝－3sin（错误!－错误!)、由错误!＋2kπ≤错误!－错误!≤错误!＋2kπ,k∈Z，解得:错误!＋4kπ≤x≤错误!＋4kπ,k∈Z,∴函数y＝3sin(错误!－错误!)的单调增区间为[错误!＋4kπ,错误!＋4kπ]（k∈Z）、10、已知函数f（x)＝2a sin(2x－错误!）＋b的定义域为[0，错误!],最大值为1，最小值为－5，求a与b的值、【解】∵0≤x≤错误!,∴－错误!≤2x－错误!≤错误!π，∴－错误!≤sin(2x－错误!)≤1,易知a≠0、当a〉0时，f(x）max＝2a＋b＝1,f（x）min＝－3a＋b＝－5、由｛2a＋b＝1－3a＋b＝－5,解得错误!、当a<0时，f（x）max＝－错误!a＋b＝1，f(x)min＝2a＋b＝－5、由错误!，解得错误!、11、已知直线y＝a,函数y＝sin x，x∈[0，2π],试探求以下问题、（1）当a为何值时，直线y＝a与函数y＝sin x的图象只有一个交点?（2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？(3)当a为何值时，直线与函数图象有三个交点？(4)当a为何值时，直线与函数图象无交点？【解】作出直线y＝a，与函数y＝sin x，x∈［0,2π]的图象（如图所示）,由图象可知、(1)当a＝1或－1时,直线与函数图象有一个交点、(2)当－1＜a＜0或0＜a＜1时，直线与函数图象有两个交点、（3)当a＝0时,直线与函数图象有三个交点、（4）当a＜－1或a＞1时,直线与函数图象无交点、。
人教版高中数学B版必修4练习1.3.1正弦函数的图象与性质(二)
1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)一、基础过关1． 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π2． 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20 3． 下列函数中，周期为2π的是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x2|D ．y ＝|sin x | 4． 下列函数中，不是周期函数的是( )A ．y ＝sin x －1B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin |x |5． 已知f (x )＝sin(πx －π)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数6． 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4的最小正周期是_____． 7． 若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，求f (x )的解析式．8． 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ； (3)f (x )＝e sin x ＋e －sin xe sin x －e －sin x .二、能力提升9． 定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( )A ．－12B.12C ．－32D.3210．已知函数f (x )＝8sin ⎝⎛⎭⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________． 11．已知周期函数f (x )是奇函数，6是f (x )的一个周期，且f (－1)＝1，则f (－5)＝________. 12．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝|2sin x ＋k |，x ∈R .(1)当k ＝0时，求f (x )的最小正周期；(2)当k ＝1时，作出函数f (x )的简图，借助图象判断f (x )的最小正周期．答案1．D 2.B 3.C 4.D 5.D 6.17．f(x)＝sin|x|，x∈R8．(1)奇函数(2)偶函数(3)奇函数9．D10.711.－112．解∵sin x＋1＋sin2x≥sin x＋1≥0，若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，∴对x∈R都有sin x＋1＋sin2x>0.∵f(－x)＝ln(－sin x＋1＋sin2x)＝ln(1＋sin2x－sin x)＝ln(1＋sin2x＋sin x)－1＝－ln(sin x＋1＋sin2x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．13．解(1)当k＝0时，f(x)＝2|sin x|，函数图象如图所示：观察图象可知，当k＝0时，函数f(x)＝2|sin x|的周期为π.(2)当k＝1时，f(x)＝|2sin x＋1|，函数图象如图所示：观察图象可知，当k＝1时，函数f(x)＝|2sin x＋1|的周期仍为2π.。
2016高中数学人教B版必修四1.3.2余弦函数、正切函数的
双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2(x ∈R )是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法确信解析 ∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，∴此函数为奇函数．答案 A2．函数y ＝5tan(2x ＋1)的最小正周期为 ( )．C ．πD ．2π解析 T ＝π|ω|＝π2. 答案 B3．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( )．A ．x ＝π2 B ．y ＝π2 C ．x ＝π8D ．y ＝π8解析 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )得：x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，令k ＝0，那么x ＝π8. 答案 C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．解析 ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，∴0≤tan x ≤1，即y ∈[0,1]． 答案 [0,1]5．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，那么a 的取值范围是________．解析 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，又在[－π，a ]上递增，∴[－π，a ]⊆[－π，0]，∴a ≤0. 又∵a >－π，∴－π<a ≤0. 答案 (－π，0]6．假设函数y ＝tan x 是增函数，且y ＝sin x 是减函数，求x 的取值范围． 解 y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )，y ＝sin x 的减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 从而知足要求的x 的范围是⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．综合提高限时25分钟7．函数y ＝tan(sin x )的值域为 ( )．C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对 解析 ∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.又∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴tan (－1)≤y ≤tan 1，即y ∈[－tan 1，tan 1]． 答案 C8．以下函数同时知足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )．A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x解析 关于A ，其周期为π；关于B ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，关于D ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2亦递减，不符合条件，只有C 符合条件．答案 C9．函数y ＝2cos x ＋1的概念域是________． 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z .答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z10．关于三角函数的图象，有以下命题： ①y ＝sin |x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos |x |的图象相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称；④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称．其中正确命题的序号是________．解析 对②，y ＝cos (－x )＝cos x ，y ＝cos |x |＝cos x ，故其图象相同；对④，y ＝cos (－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知①、③均不正确．答案 ②④11．有两个函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3，g (x )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kx －π3(k >0)，它们的周期之和为3π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1，求k ，a ，b .解 由题意知，2πk＋2π2k ＝3π2， ∴k ＝2，∴f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3.由已知得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3，a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－3b cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧－32a ＝12b ，12a ＝32b ＋1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴k ＝2，a ＝12，b ＝－32.12．(创新拓展)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的概念域、周期、单调区间和对称中心．解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z .∴函数的概念域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈R 且x ≠2k π＋5π3，k ∈Z .②T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π. ③由k π－π 2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ， 解得2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
人教版高中数学B版必修4练习1.3.1正弦函数的图象与性质(三)
1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)一、基础过关1． 若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定2． 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A.[]－1，1 B.⎣⎡⎦⎤－54，－1C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，543． 函数y ＝|sin x |的一个单调增区间 是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π4． 下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°5． 函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )6． 函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是________．7． 函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．8． 求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.二、能力提升9． 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．310．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．11．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．三、探究与拓展13．欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是_____．答案1．D 2.C 3.C 4.C 5.A6.⎣⎡⎦⎤π2，π7.[0,2]8． (1)[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )(2)⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z 9．B 10.sin 3<sin 1<sin 211．解 f (x )＝cos 2x ＋sin x＝1－sin 2x ＋sin x＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 12．解 ∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．1992π 解析 要使y 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y 在[0,1]上至少含49 34个周期， 即⎩⎨⎧ 49 34T ≤1T ＝2πω，解得ω≥1992π.。
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双基达标(限时20分钟) 1、函数y＝－sin x,x∈
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
－
π
2
3π
2
的简图就是()、
解析由y＝sin x与y＝－sin x的图象关于x轴对称可知选D、
答案 D
2、在[0,2π]内,不等式sin x<－
3
2的解集就是()、
A、(0,π)
B、
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫π
3
4π
3
C、
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫4π
3
5π
3
D、
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
5π
3
2π
解析画出y＝sin x,x∈[0,2π]的草图如下:
因为sin π
3
＝3
2,所以sin ⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π＋
π
3
＝－3
2,sin ⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2π－
π
3
＝－3
2
、即在[0,2π]内,
满足sin x＝－3
2
的x＝4π
3
或x＝5π
3
、可知不等式sin x<－3
2
的解集就是
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫4π
3
5π
3
、故
选C 、
答案 C
3、函数f (x )＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－x 就是
( )、
A 、奇函数
B 、非奇非偶函数
C 、偶函数
D 、既就是奇函数又就是偶函数
解析 ∵f (x )＝x sin x ,定义域为R , f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x ), ∴f (x )就是偶函数、 答案 C
4、若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ,则m 的取值范围就是________、 解析 由正弦图象得－1≤sin x ≤1, ∴－1≤2m ＋1≤1、∴m ∈[－1,0]、 答案 [－1,0]
5、函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期就是2π3,则ω＝________、 解析 2πω＝2π
3,∴ω＝3、 答案 3
6、求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3－2x 的单调递减区间、
解 由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3,则欲求函数的单调递减区间,只需求y ＝
sin(2x －π
3)的单调递增区间、
由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π(k ∈Z ), 解得－π12＋k π≤x ≤5π
12＋k π(k ∈Z )、
∴函数的单调递减区间为
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－π
12＋k π5π12＋k π(k ∈Z )、
综合提高 (限时25分钟)
7、y ＝1＋sin x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2交点的个数就是 ( )、
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
解析 作出y ＝1＋sin x 在[0,2π]上的图象,可知只有一个交点、
答案 B
8、如图所示,函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π
2)的图象就是
( )、
解析 当0≤x <π
2时,y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ; 当π
2<x ≤π时,
y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ; 当π<x <3π2时,
y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ,故其图象为C 、
答案 C
9、函数y ＝sin x ,x ∈R 的图象向右平移π
2个单位后所得图象对应的函数解析式就是________、
∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x , ∴y ＝－cos x 、 答案 y ＝－cos x
10、函数y ＝sin |x |＋sin x 的值域就是________、
解析
y ＝sin |x |＋sin x ＝⎩⎨
⎧
2sin x x ≥00
x <0
∴－2≤y ≤2、 答案 [－2,2]
11、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合,并分别写出最大值、最小值:
(1)y ＝3－2sin x ; (2)y ＝sin x
3、
解 (1)∵－1≤sin x ≤1,
∴当sin x ＝－1,即x ＝2k π＋3π
2,k ∈Z 时,y 有最大值5,相应x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π＋3π2k ∈Z 、
当sin x ＝1,即x ＝2k π＋π
2,k ∈Z 时,y 有最小值1,相应x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π＋π2k ∈Z 、
(2)令z ＝x
3,∵－1≤sin z ≤1,
∴y ＝sin x
3的最大值为1,最小值为－1、
又使y ＝sin z 取得最大值的z 的集合为{z |z ＝2k π＋π2,k ∈Z },由x 3＝2k π＋π
2,得x ＝6k π＋3
2π,
∴使函数y ＝sin x 3取得最大值的x 的集合为{x |x ＝6k π＋3
2π,k ∈Z }、 同理可得使函数y ＝sin x 3取得最小值的x 的集合为{x |x ＝6k π－3
2π,k ∈Z }、 12、
(创新拓展)若函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2≤x ≤52π的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平
面图形,求这个封闭图形的面积、
解 观察图可知:图形S 1与S 2,S 3与S 4就是两个对称图形:有S 1＝S 2,S 3＝S 4,因此函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2≤x ≤52π的图象与直线y ＝2所围成的图形面积,可以等价转化为求矩形ABCD 的面积,
∴|AB |＝2,|CB |＝2π ∴S 矩形ABCD ＝2×2π＝4π, ∴所求封闭图形的面积为4π、。