九年级数学下册 3.3 垂径定理教案 (新版)北师大版

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北师大版垂径定理

1.按图填空：在⊙O中，（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；（4）若 = ，MN为直径，则________，________，________．
圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
O.
E
AC
DB
求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
师友总结
通过本节课的学习: 你知道了什么？最感兴趣的是什么？学会了哪些方法？还有哪些疑惑？还想知道什么？大家一起分享！
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3 垂径定理
学习目标: 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理，并能合理利用垂径定理及其逆定理解决实际问题. 学习重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理. 学习难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线.
1.什么是弦？什么是弧？什么是直径？
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
B
2.已知：AB是⊙O直径，CD
O.
是弦DF
A
EC
DF
3.1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．
1.判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( × )

3-3 垂径定理 -2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)

∴AC=AE﹣CE=8﹣2 7．
随堂测试
7.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC的长为（
A．2 5cm
）
B．4 5 cm
C．2 5cm或4 5cm
D．2 3cm或4 3cm
【解析】
连接AC，AO，
1
1
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=2AB=2×8=4cm,OD=OC=5cm,
O
⌒
⌒
BC =BD.
E
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ AE=BE，AC=BC，AD=BD.
O
E
B
A
D
概念理解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
不一定
情况二：弦不是直径
C
A
C
·
O
D
O
B
E
A
B
课堂基础练
⌒
ＡＣ＝ AD
⌒
⌒
， BC＝ＢＤ
A
已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，
垂足为E。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：CE=DE, AC = AD, BC =BD.
C
证明：连接OC、OD,在△OCD中，
∵OC=OD，且OE⊥CD,
∴CE=DE，∠COB=∠BOD,
⌒ =AD,
⌒
∴ ∠AOC=∠AOD, ∴AC
则OE=
3
，AB=
8
?
.

北师大版九年级下册第三章垂径定理课件

O.
求证：EC＝DF
A EC
DF
例：如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
C
E
A
G B
O
F
D
船能过拱桥吗
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
挑战自我做一做
4.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD 于E， ∠ CEB=45°，DE=6㎝，CE=2 ㎝，求弦AB的长。
A
F
D
OEC
B
5、已知⊙O的半径为5，弦AB=8，
点P为弦AB上的一动点，则OP的
取值范围是
。
6、已知⊙O的半径为6，OP=4，过
点P作⊙O的弦中，最长为
，
最短为
。
7、已知⊙O的半径为5，弦 AB∥CD， AB=6，CD=8，则 AB和CD之间的距离为。
劣弧中点的距离为
。
3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、HG=6
A
H
G
D
EF=10,
N
AH=4， B E M ·
F
C
0
求BE的长.
解：过O作OM⊥BC于M，交AD于N， ∵矩形ABCD ， ∴AD∥BC， ∴ OM⊥ AD ∴ EM=1/2EF=5，HN=1/2HG=3 ∴AN=AH+HN=4+3=7， ∴ BM=7 ∴BE= BM- EM =7-5=2
。
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .

3.3 垂径定理课件 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其本质是“过圆心”；特别提醒（2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是（）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12，在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.

《垂径定理》优秀教案

第2题图九年数学导学案课题3．3 垂径定理课型新授课课时第1课时学习目标1．经历探索垂径定理的过程，发展合情推理和演绎推理的能力。

2．能够利用垂径定理解决计算及证明问题。

3．培养学生的合作交流意识，探究意识。

学习重点垂径定理学习难点利用垂径定理的计算导学流程教学过程教学内容预习交流问题导学交流展示一、问题引入：对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．．几何语言：（如右图）∵∴（不是直径）的直径________于弦，并且平分________________________________．二、基础训练：1圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．2如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．3如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．三、例题展示：例1 2021 浙江省湖州市已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．第3题图评价点拨巩固延伸达标测试例2如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB＝36mm，求点O到AB的距离及co∠OAB的值．四、课堂检测：1 2021 广东省中山市如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_________ ．22021 浙江省嘉兴市如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（）A 2B 4C 6 D83如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．84如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5教学反思OA B第4题图第5题图第3题图E BDOCA第2题第1题图。

北师大九年级下册数学：垂径定理

北京师范大学出版社九年级 | 下册
【启发思考】
问题3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分别是什么？
结论： ⑴圆是轴对称图形； ⑵经过圆心的每条直线都是它的对称轴； ⑶圆的对称轴有无数条．
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【启发思考】
问题4 如图，对折⊙O使圆的两半部分重合得到一条折痕CD，在OC上取一点M，过点M再次对折⊙O，使CM与MD重合，新的折痕与⊙O交于A、B两点．
R2 18.52 R 7232，解得 R 27.3 （m）．
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【巩固提高】
学生练习1 课本76页随堂练习第2题．学生练习2 如图，已知弦AB ，请你利用尺规作图的方法作出弦AB的中点，
说出你的作法．
A
B
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【巩固提高】
课堂小结：本节课你学到了哪些数学知识？在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？ 1、本节课我们探索了圆的轴对称性； 2、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理； 3、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、
弦心距等问题．
【巩固提高】
布置作业： 1、教科书习题3.3第1题、第2题．（必做题） 2、教科书习题3.3第3题、第4题．（选做题）
【巩固提高】
弦CD
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弦CD
弦CD
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【巩固提高】
追问：现在能解决课前提出的赵州桥问题了吗？解：如图，由题意可知，AB=37m，CD=7.23m，所以AD= 1 AB＝18.5m，
2
OD OC CD R 7.23 ．在Rt△OAD中，由勾股定理，得 AO2 OD2 AD2 ，即

3.3垂径定理(课件)九年级数学下册(北师大版)

C
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.

六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的直线 .对称中心为圆心。
2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB

北师大九年级数学下32垂径定理

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

垂径定理逆定理:平分弦(不就是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

一、如何运用垂径定理:垂径定理及其逆定理反映了圆的重要性质,就是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系的重要依据。

在解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线,以构成垂径定理的基本图形(而实际中,往往只需要从圆心作一条与弦垂直的线段即弦心距就可以)。

在运用垂径定理时,涉及弦长a、弦心距d、半径r及弓形高(弦所对的弧的中点到弦的距离)h这四者之间的关系,如图所示,它们的关系就是:222)2(adr+=,hdr+=,根据这两个公式,在a,d,r,h四个量中,知道任意两个量便可求出其她两个量。

典型中考题讲解:1、(2014•盘锦三模)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为E,,(1)求AB的长;(2)求⊙O的半径.2、(2014•浦东新区二模)已知:如图,∠PAQ=30°,在边AP上顺次截取AB=3cm,BC=10cm,以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点,求:(1)圆心O到AQ的距离;(2)线段EF的长.3、(2014•金山区一模)如图,已知AB就是⊙O的弦,点C在线段AB上,OC=AC=4,CB=8.求⊙O的半径.4、(2014•槐荫区一模)如图,在⊙O中,点C就是的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2.求⊙O半径的长.5、.(2014•天河区二模)如图,AB就是⊙O的弦,半径OA=20cm,∠AOB=120°,求线段AB的长.二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及其推论:(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。

(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

北师大版九年级下册数学3.3垂径定理(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，学生们对于垂径定理在实际生活中的应用提出了很多有趣的见解。这让我感到很高兴，因为他们能够将所学知识应用到实际问题中。但同时，我也发现部分学生在讨论中较为拘谨，不敢大胆地表达自己的观点。为了鼓励学生们更加积极地参与讨论，我将在今后的教学中多给予他们肯定和鼓励，营造一个轻松、自由的学习氛围。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指的是直径垂直于弦且平分弦的定理。它在解决与圆相关的几何问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个体的案例。这个案例展示了如何运用垂径定理来求解一个圆的半径，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的证明和运用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中辅助线的构造，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
-理解垂径定理与圆的其他性质（如圆心角、弧、弦的关系）之间的联系。
举例解释：
-证明过程：解释为何需要通过构造辅助线，如何利用全等三角形或相似三角形的性质来完成证明。
-灵活运用：通过设置不同难度的练习题，引导学生掌握垂径定理在不同情境下的应用，如非直径垂直弦、圆内接四边形等。
-性质联系：强调垂径定理与圆的其他基本性质（如圆心角定理、弧弦定理等）之间的关系，通过对比和联系加深理解。

3.3垂径定理教学设计2023--2024学年北师大版九年级数学下册

3.3 垂径定理教学设计 2023--2024学年北师大版九年级数学下册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容分析
1. 本节课的主要教学内容为“垂径定理”。教学内容选自2023--2024学年北师大版九年级数学下册第3章第3节，主要包括垂径定理的定义、性质及其应用。
2. 教学内容与学生已有知识的联系：学生在八年级已经学习了圆的性质、圆的方程以及圆的切线，对圆的基本概念有了较为深入的理解。在此基础上，本节课将引导学生探索垂径定理，使学生进一步掌握圆的性质，并为后续学习圆的弦、弧等相关知识奠定基础。通过本节课的学习，学生将能更好地理解圆的相关性质，提高解决问题的能力。
3. 学生在学习垂径定理过程中可能遇到的困难和挑战有：理解并掌握垂径定理的证明过程，将定理应用于解决具体问题，特别是在涉及多步骤、综合性的几何问题时，可能会感到困惑。此外，对定理的灵活运用和拓展也可能会给学生带来挑战。
四、教学方法与手段
教学方法：
1. 讲授法：通过讲解垂径定理的定义、性质和证明过程，帮助学生建立清晰的知识体系。
2. 讨论法：组织学生分组讨论垂径定理的应用实例，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3. 实验法：引导学生通过画图、实际测量等实验方式，直观感受垂径定理的成立和运用。
教学手段：
1. 多媒体设备：运用PPT、动画等展示垂径定理的证明过程和应用实例，提高学生的学习兴趣。
2. 教学软件：利用几何画板等教学软件，让学生动手操作，加深对垂径定理的理解。
3. 垂径定理的性质：
a. 圆的直径平分弦，并且垂直于弦。
b. 圆的直径平分弦所对的两条弧。
c. 圆的半径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计

1.概念讲解：明确垂径定理的定义，即圆的直径垂直于弦，并且平分弦。
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。

3.3 垂径定理北师大版数学九年级下册导学课件

感悟新知
2. 示例：如图3-3-1，CD ⊥ AB 于点E，CD是⊙ O 的直径，那么可用几何语言表述为
感悟新知
例 1 如图3-3-2，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 2，BD= 3，则AB 的长为( B ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
感悟新知
解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键. 解：连接OD，如图3-3-2. ∵ CD ⊥ AB，CD=2 2， ∴ CH=DH= 2 .
感悟新知
︵例 5 如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，
︵点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求这段弯路所在圆的半径. 解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用 “平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.
感悟新知
在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙O的半径为r，
在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，
即(r－1)2+( 2)2=r2，
解得r=
3 2
∴ AB=3.
.
利用勾股定理列方程
感悟新知
1-1.［中考·泸州］如图，AB 是⊙ O 的直径，OD垂直于
弦AC于点D，DO 的延长线交⊙ O 于点E. 若AC=4 2，
感悟新知
证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图3-3-3. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD， ∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角

北师大版初三(下)数学第11讲：垂径定理教案

垂径定理教学目标：1.掌握垂径定理中相关的概念；2.掌握垂径定理的推理、应用.知识梳理：1．弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做______。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

2.圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是____________，____________________是它的对称轴．3.垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且____________________．(2)平分弦(__________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)_________夹的弧相等．参考答案：1.（1）弦心距2.(2)轴对称图形,经过圆心的任一直线3.(1) 平分弦所对的两条弧(2) 不是直径(5) 平行弦经典例题解析：1.垂径定理的基本概念【例1】（2018浙江绍兴中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A.AE=OEB.CE=DEC.OE=CED. ∠AOC=60°【解析】考查垂径定理的内容，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对应的弧。

【答案】B练习1.(2017四川梅州一模）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A.是正方形B.是长方形C.是菱形D.以上答案都不对【答案】C练习2.（2018甘肃天水一中期末）下面四个判断中正确的是（）A.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦B.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦C.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦D.过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦【答案】C2.垂径定理的简单计算【例2】（2019江苏徐州一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A.10B.8C.5D.3【解析】根据垂径定理，可求CP的长度，根据勾股定理可求半径。

垂径定理 (教学设计) 九年级数学下册(北师大版)

3.3垂径定理教学设计1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到0.1m）.1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD。

证明：连接OA,OB,则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,⌒AC和⌒BC重合,⌒AD和⌒BD重合.∴⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD.练一练：下列图形，符合垂径定理的条件吗？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。

通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识。

垂径定理推论的探索如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。

（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由。

条件：①CD是直径；②AM=BM结论（等量关系）：③CD⊥AB；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD.让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.例题：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD,点0是⌒CD让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容。

学生认真读题、让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径。

3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册

弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径折叠可以是哪些位置关系呢？斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.

《垂径定理》(北师大)参考教案

《垂径定理》教学设计圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

该节内容分为2课时。

本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。

其对称轴是任一条过圆心的直线。

【知识与能力目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。

【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

【情感态度价值观目标】1．培养学生独立探索，相互合作交流的精神。

2．通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。

【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。

（提前一天布置）1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸）2. 预习课本P 74~P 76内容第一环节复习提问1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。

2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

第二环节讲授新课活动内容：（一）探索垂径定理。

做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合。

2．得到一条折痕CD。

3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。