第5章动态规划

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动态规划算法

3级 28 20 7 2 8 3 f(i, j) —— 从第 i 堆到第 j 堆的代价和。 g(i, j) —— 从第 i 堆到第 j 堆的重量和。 f(1, 3) = 20 + 28 = 48 1级 13 序号 1 = f(1, 2) + g(1, 3)
2级
n=4时：有3大类归并法。前1堆后3堆、前2堆后2堆、前3堆后1堆。
因3堆有2种归并法，所以一共5小类归并法。前1堆第1种情况：
4级 3级 2级 1级 13 序号 1
44 31 15 7
2
f(1, 4) = 15 + 31 + 44 = 90 = f(2, 4) + g(1, 4) w不变 = f(2, 3) + g(2, 4) + g(1, 4)
若f(2,4)越小，则f(1,4)就越小。 8
3
16
4
n=4 时：前1堆的第2种情况。
4级 44 31 24 7 2 8 3 f(1, 4) = 24 + 31 + 44 = 99 = f(2, 4) + g(1, 4) w不变 = f(3, 4) + g(2, 4) + g(1, 4) 若f(2,4)越小，则f(1,4)就越小。 16 4 f(1, 4) = 20 + 24 + 44 = 88
的一种通用方法，对最优化问题提出最优性原则，从而创建最优化问题
的一种新算法设计技术——动态规划，它是一种重要的应用数学工具。至少在计算机科学圈子里，人们不仅用它解决特定类型的最优化问题，而最终把它作为一种通用的算法设计技术，即包括某些非最优化问题。多阶段决策过程最优化：现实世界里有许多问题属于这种情况：它有很多解，应用要求最优解。穷举法通过找出全部解，再从中选出最优解。这种方法对于那些计算

管理运筹学易错判断题整理

6.2 1 网络图的构成要素：作业，紧前作业，紧后作业，虚工作，事件，起点事件，终点事件。
2 网络图的线路与关键路线。 3 最早时间，最迟时间，作业的最早开始，最早结束，最迟开始，最迟结束时间，作业的总时差，自由时差的概念及计算方法。
判断题： 1 在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。 √ 2 一个具有多个发点和多个收点的求网络最大流问题一定可以转化为求具有单个发点和单个收点的求网络最大流问题。
√ 6. 任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
√ 7. 凡能用大M法求解也一定可用两阶段法求解。
√ 8. 两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
√ 9. 两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优解。
× 10. 人工变量一旦出基就不会再进基。
√ 11. 当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。 ×
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划目标函数特点。判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目标约束。
1 最优对策中，如果最优解要求一个人呢采取纯策略，则另一个人也必须采取纯策 ×
2 在两人零和对策支付矩阵的某一行或某一列上加上常数k 将不影响双方各自的最优 ×
3 博弈的纳什均衡是博弈双方达到均势平衡的解，也是使博弈双方得到最好结果的 ×

(完整版)800数据模型与决策复习重点及复习策略

各位师弟师妹们，大家晚上好！我是你们的800和939答疑师兄，我今年的总分是401,专业课138分。

很荣幸能和大家一块交流一下考研专业课的复习经验，希望可以通过今晚的这次公开课，帮助大家解答一下专业课复习过程中的一些疑惑，让大家在复习过程中少走一些弯路.800和939的复习特点在于，前期复习起来比较吃力，越到最后越省力.这和其他一些需要背诵的专业课正好相反.我有个同学专业课考管理学,前期复习的时候，我复习地特别痛苦，一下午做不了几道题,做了的题还对不了几个，而他只需要看看书，勾勾重点就行。

到了考前一个月的时候，情况正好反过来了，到了这个时候他政治、英语作文和专业课都需要背，稍微放开几天就丢了，而我只需要抽时间做套题保持手感就行,剩下的大部分时间都可以留给政治和英语作文.所以大家在第一轮复习的时候一定要挺住,第一轮结束基本上就看到曙光了.到了做真题的时候你们就苦尽甘来了。

今天主要分四个部分完成这次讲解:第一部分是各专业的考试难度分析；第二部分是教材和复习资料的使用方法和全程复习规划;第三部分是各章节的重难点和考点分析；第四部分是我们的答疑环节。

好多同学关心一个问题，就是我这个专业考多少分基本上可以保证进复试。

首先我就简单帮大家分析一下这个问题.根据近五年的复试线，管理科学和信息管理近五年复试线一直在350以下，基本上考350分就可以保证进复试；工程项目管理复试线都在360分以下,考360基本上就可以保证进复试；物流管理与工程复试线都在370分以下，所以得考到370才能够保证进复试.当然要保证顺利通过复试，成绩最好能处于进复试学生的前50％.939各专业的复试线波动比较大,939题目也相对简单一些，分数线比较难讲，所以大家尽量把奔着一个高一点的目标去考。

最近两年经管学院这边大部分专业的推免人数增加幅度比较大，800和939的一些专业推免甚至接近百分之八十，考试的压力呈逐年增加的趋势。

这就要求大家在专业课上一定要把分拿稳。

(完整版)信息竞赛复习资料5--动态规划(NOIP)

第一章什么叫动态规划1.1 多阶段决策过程的最优化问题1、问题的提出首先,例举一个典型的且很直观的多阶段决策问题：［例] 下图表示城市之间的交通路网,线段上的数字表示费用，单向通行由A-〉E。

求A—〉E的最省费用。

如图从A到E共分为4个阶段,即第一阶段从A到B，第二阶段从B到C，第三阶段从C到D，第四阶段从D到E。

除起点A和终点E外，其它各点既是上一阶段的终点又是下一阶段的起点。

例如从A到B的第一阶段中,A为起点，终点有B1，B2,B3三个，因而这时走的路线有三个选择，一是走到B1,一是走到B2，一是走到B3。

若选择B2的决策，B2就是第一阶段在我们决策之下的结果,它既是第一阶段路线的终点，又是第二阶段路线的始点.在第二阶段，再从B2点出发,对于B2点就有一个可供选择的终点集合(C1,C2，C3)；若选择由B2走至C2为第二阶段的决策，则C2就是第二阶段的终点，同时又是第三阶段的始点。

同理递推下去，可看到各个阶段的决策不同,线路就不同。

很明显，当某阶段的起点给定时,它直接影响着后面各阶段的行进路线和整个路线的长短,而后面各阶段的路线的发展不受这点以前各阶段的影响。

故此问题的要求是:在各个阶段选取一个恰当的决策，使由这些决策组成的一个决策序列所决定的一条路线,其总路程最短。

具体情况如下:(1)由目标状态E向前推,可以分成四个阶段，即四个子问题。

如上图所示。

（2）策略：每个阶段到E的最省费用为本阶段的决策路径。

（3)D1，D2是第一次输人的结点。

他们到E都只有一种费用,在D1框上面标5，D2框上面标2。

目前无法定下，那一个点将在全程最优策略的路径上。

第二阶段计算中,5,2都应分别参加计算.（4)C1，C2,C3是第二次输入结点，他们到D1，D2各有两种费用.此时应计算C1，C2，C3分别到E的最少费用. C1的决策路径是 min｛（C1D1)，（C1D2）｝.计算结果是C1+D1+E，在C1框上面标为8。

运筹学线性规划

主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、使用他们，使完成的任务最多。
4
例1.1：（计划安排问题） I 设备A(h) 0 设备B(h) 4 原材料(公斤) 2 利润(万元） 2 II 资源总量 3x2 15 3 15 0 12 s.t. 4x1 12 2 14 2x1+2x2 14 3 x1，x2 0 I,II生产多少, 可获最大利润?
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
12
第二节线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
0 3 1 0 0 15 4 0 0 1 0 X= 12 2 2 0 0 1 14
5
max Z= 2x1 +3x2
解:设计划期内生产产品I、II的数量x1、x2 则该问题的数学模型为：
例1.2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油 12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A 处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下，使购买成本最小。油品来源 A B min S 200x1 290x 2
解：(1) 确定可行域 x1 0 x1 =0 (横)
30
x2 0 x2=0 (纵) x1+2x2 30 x1+2x2 =30

运筹学OperationalResearchppt课件

XB = ( x1 , x2 , … , xm )T，其余的变量称为非基变量，记为 XN = ( xm+1 , xm+2 , … , xm+n ) T ，故有 X = XB + XN
– 最多有 Cmmn 个基
21
关于标准型解的若干基本概念：
• 可行解与非可行解 – 满足约束条件和非负条件的解 X 称为可行解，满足约束条件但不满足非负条件的解 X 称为非可行解
3
1
1
1
6.5
4
1
0
3
7.4
5
0
3
0
6.3
6
0
2
2
7.2
余料
0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2
若目标函数为使购裁买剪的后钢零筋料最少,则有
min f (x) x01.1x1x2 0.x33x2x40.9x35 0xx6 4 1.1x5 0.2x6
2x11 x22 x33 x44 100
x3 =10 x2 =10 x2 =8 x2 =7
x4 =8 x4 =-2 x3 =2 x3 =3
x5 =7
x5 =-3 x5 =-1 x4 =1
O 基础可行解 F 基础解 E 基础解 A 基础可行解
f(x)=36
5 x1, x2 , x3, x4 , x5 0
4
最3 优解 :
x1
2
2,
x2
6,
m2 ax f ( x)K 361 .
同时不等号也要反向 • 第i 个约束为型，在不等式左边增加一个非负的变量
xn+i ，称为松弛变量；同时令 cn+i = 0
• 第i 个约束为型，在不等式左边减去一个非负的变量

运筹学——动态规划

优子策略。该原理的具体解释是，若某一全过程
最优策略为：
p1
(s1 )
{u1
(s1 ),
u 2
(s2
),
,
u
k
(sk
),
u
n
(sn
)}
则对上述策略中所隐含的任一状态而言，
第k子过程上对应于该状态的最优策略必然包
含在上述全过程最优策略p1*中，即为
pk
(sk
)
{u
k
(sk
),
u
k 1
(sk
1
),
2．正确地定义状态变量sk，使它既能正确地描述过程的状态，又能满足无后效性．动态规划中的状态与一般控制系统中和通常所说的状态的概念是有所不同的，动态规划中的状态变量必须具备以下三个特征：
20
2021/7/26
(1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 (2)要满足无后效性。即如果在某个阶段状态已经给定，那么在
sk 1 Tk (sk ,uk (sk ))
上式称为多阶段决策过程的状态转移方程。有些问题的状态转移方程不一定存在数学表达式，但是它们的状态转移，还是有一定规律可循的。
12
2021/7/26
(六) 指标函数用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量
指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
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2021/7/26
（二）状态、状态变量和可能状态集 1.状态与状态变量。用以描述事物(或系统)在某特定的时间与空间域中所处位置及运动特征的量，称为状态。反映状态变化的量叫做状态变量。状态变量必须包含在给定的阶段上确定全部允许决策所需要的信息。按照过程进行的先后，每个阶段的状态可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状态记为sk+1 。但为了清楚起见，通常定义阶段的状态即指其初始状态。

《运筹学》第五章习题及答案

《运筹学》第五章习题1．思考题（1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。

（2）动态规划的阶段如何划分？（3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。

（4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。

（5）试述建立动态规划模型的基本方法。

（6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。

2．判断下列说法是否正确（1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。

（2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。

（3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。

（4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。

（5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。

（6）动态规划计算中的“维数障碍”，主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的。

3．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题4．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题5．计算从A 到B、C、D 的最短路线。

已知各线段的长度如下图所示。

6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？7．用动态规划求解下列各题（1）．222211295max x x x x z -+-=；⎩⎨⎧≥≤+0,52121x x x x ；（2）．33221max x x x z =⎩⎨⎧≥≤++0,,6321321x x x x x x ；8．某人外出旅游，需将3种物品装入背包，但背包重量有限制，总重量不超过10千克。

物品重量及其价值等数据见下表。

试问每种物品装多少件，使整个背包的价值最大？913 千克。

物品重量及其价值的关系如表所示。

试问如何装这些物品，使整个背包价值最大？10 量和相应单位价值如下表所示，应如何装载可使总价值最大？303011 底交货量，该厂的生产能力为每月600件，该厂仓库的存货能力为300件，又每生产100件产品的费用为1000元。

《算法设计与分析》(全)

巢湖学院计算机科学与技术系
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。程序可以不满足算法的性质(4)。例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))；（2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章算法引论

水资源系统分析第5章动态规划PPT课件

f3(s3)0 m x3 s3/2 a 3x3 x2 3s3, x3 *s 2 3
2008.2.29
31
x的取值范围：
0 x 1 1 , 0 2 x 2 s 2 /3 , 0 x 3 s 3 /2
当k=3时： f3(s3)2 3s3, x3 *s23 当k=2时：
f2(s2)0m x2s2/a32xx2f3(s3)
0m x1a12xx114(s1x1)264, x1* 4
s2 8, x2* 4/3, s3 4, x3* 2
2008.2.29
33
例用动态规划求解
max z 3 x 1 5 x 2
x1 4
2 3
x2 x1
12 2x
2
18
x 1 , x 2 0
2008.2.29
34
解：状态变量为k阶段约束条件，用s1， s21， s22
s k 1 Tk ( s k , u k ( s k ))
2008.2.29
19
5、策略是一个按顺序排列的决策组成的集合。
u 1(s1)u ,2(s2),u .k(.sk .),,u .n(.sn .),
在实际问题中，可供选择的策略有一定的范围，称为允许策略集合。
uk(sk)Dk(sk)
从允许策略集合中找出达到最优效果的策略称为最优策略。
2008.2.29
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图示如下：
s1
u1 1
s2
u2 2
s3
sk
uk k
sk+1
能用动态规划方法求解的是一类特殊的多阶段决策过程，即具有无后效性(马尔可夫性)的多阶段决策过程。
如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受这个阶段以前各段状态的影响；过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展。

《最优控制》第1章绪论

自动化学院
2020/8/9
1
第1章绪论第2章求解最优控制的变分方法第3章最大值原理第4章线性二次型性能指标的最优控制第5章动态规划第6章状态估计
2
教学要求：
1. 学习泛函变分法，理解最优控制的一般概念 2. 掌握利用变分法求最优控制方法 3. 掌握极大值原理，状态调节器 4. 掌握动态规划
x(t) f [x(t), u(t), t]
（2）边界条件 ①初始时刻t0，初始状态x(t0)一般给定 ②终端时刻tf，变动，固定 ③终端状态x(tf)
12
第1章——绪论
x(tf)一般需满足一个约束方程[x(tf ), tf ] 0
满足约束方程的x(tf)构成一个目标集 x(tf ) S (3)一个衡量系统性能的性能指标
t0
N 1
或J x(N) F[x(k),u(k), k]
k k0
最优控制问题
（控制域） u t x t
J
17
4 常见的最优控制
tf
1.最少时间控制J dt t f t0
它要求设计一个快速控t0制系统，使系统在最短
时x间t0 内从初态终态 xt f
2.最少燃如料：导弹拦截器的轨道转移。
最优值，J* J[u *(t)] 称为最优性能指标
14
3 研究最优控制的前提条件
1.给出受控系统的动态描述（状态方程）
连续系统 x(t) f [x(t),u(t),t]
离散系统 x(tk1 ) f [ x(tk ), u(tk ), tk ]
2.明确控制域（容许控制）
控制约束 ut 控制域（取值范围）
Mg
设M 1，x1(t) x(t)为高度，x（2 t） x1(t) x(t)

《运筹学》学习方法

《运筹学》学习方法一、课程性质和任务《运筹学》课程是网络教育考试的一门必修课。

这门课程的主要特点是数量分析与计算机操作。

设立本门课程的目的：通过本课程的学习使学员充分认识到运筹就在自己身边，它是经营管理和决策过程中不可缺少的组成部分，是经济管理中定量分析的基础，对合理管理和正确决策起着相当重要的作用。

同时，能应用运筹学的理论与方法解决经济管理中的实践，并辅助决策。

二、课程学习的基本要求运筹学是一门实践性很强的学科，因此，运筹学的学习主要通过实践练习来逐步提高对基本理论的掌握，因此在学习了基本理论后，一定要拿起笔做些自我练习。

由于网络教育这种新的学习形式下，实现面对面的交流是不可能的，所以大家在有问题时要多多到论坛上说出来，以便大家共同讨论、共同进步。

下面提出几点建议：1、网络教育的优势在于省时、省力，便于大家灵活安排学习计划。

劣势是不便与老师、同学直接交流。

所以，参加网络学习的同学要有一定的自学能力，主要是通过制订计划，按步骤完成计划来提高知识水平。

2、制定学习时间表并坚持执行，每天坚持拿出一定时间来上网学习，对于网络教学来说，如果上网时间都不能满足，是很难达到教学效果的。

3、增加网上的交流，这包括和老师、同学的交流，网上的资源是丰富的，所以我们应充分利用这一优势，使我们在有限的时间内学到更多的知识。

4、在学习基本理论后，尽力找些容易做的题目，亲自操作一下，这便于掌握刚刚学到的方法。

5、考前串讲对考试是十分主要的噢，一定要参加并认真听。

平时的作业也要认真完成，这样你才有可能拿到好成绩。

希望大家多多沟通联系，以弥补网络教育的不足。

希望与大家成为好同学、好朋友。

三、课程内容和掌握程度《运筹学》主要围绕运筹学建模思想主题，逐步讲述各种建模思想以及相关常用方法。

这门课程的内容大体可分为六个部分。

第一章绪论第一节运筹学简史一、运筹学的产生二、运筹学发展三、运筹学经典案例第二节运筹学的概念和特征一、运筹学的概念二、运筹学的基本原则三、运筹学的特征第三节运筹学的工作步骤第四节运筹学的应用第五节运筹学的展望三、实践（上机）环节内容和基本要求（有实验或上机内容的才写）自学安排：对应各知识点内容与上机要求结合教材预习和复习第二章运筹学模型一、学习要求通过本章的学习，要求学生能根据实际问题建立运筹学模型。

运筹学(重点)

两个约束条件
(1/3)x1+(1/3)x2=1
及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区, 就是满足所有约束条件和非负
条件的点的集合, 即可行域。在这个区域中的每
一个点都对应着一个可行的生产方案。
22
5–
最优点
4–
l1 3B E
2D
（1/3）x1+(4/3)x2=3
l2 1–
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
运筹学 Operational Research
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
1
目录
绪论第一章线性规划第二章运输问题第三章整数规划第四章动态规划第五章目标规划第六章图与网络分析
2
运筹学的分支数学规划: 线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划、多目标规划图论与网络理论随机服务理论: 排队论存储理论决策理论对策论系统仿真: 随机模拟技术、系统动力学可靠性理论
32
西北角
(一)西北角法
销地
产地
B1
0.3
A1
300
0.1 A2
0.7 A3
销量 300
B2
1.1
400
0.9
200
0.4
600
B3
0.3
0.2
200
1.0
300 500
B4
产量
1.0
700 ②
0.8
400 ④
0.5
600
900 ⑥
600
2000
①
③
⑤
⑥
34
Z
cij xij 0.3 300 1.1 400 0.9 200

运筹学第五章动态规划

和 dk 2 (sk ))；
(4) 允许决策集： D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程： s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态； (5) 阶段指标： v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ，k4,3,2,1；
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念：
【例5.1】如图5.1所示，在处有一水库，现需从点铺设一条管道到点，弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建的渠道长度，请找出一条由到的修建线路，使得所需修建的渠道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段： k4,3,2,1；
(2) 状态变量： s k 表示第 k 个月月初的库存量；
(3) 决策变量： dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下，要定
购的商品量， dk2表(sk示) 第个月k 已有库存的商品量(为方便，后面将分别依次用，
的来x sk 情代k y况替k 下，要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程：
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解（要求板书）辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【例 5.3】图 5.3 所示为一水利网络， A 为水库，分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地，试找出给各供水目的地供水的最短路线。

《运筹学》习题集

《运筹学》习题集第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)minz＝－3某1＋4某2－2某3＋5某4t.4某1－某2＋2某3－某4＝－2某1＋某2－某3＋2某4≤14－2某1＋3某2＋某3－某4≥2某1，某2，某3≥0，某4无约束2)minz＝2某1－2某2＋3某3－某1＋某2＋某3＝4－2某1＋某2－某3≤6某1≤0，某2≥0，某3无约束t.1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1)minz＝2某1＋3某24某1＋6某2≥6t2某1＋2某2≥4某1，某2≥02)ma某z＝3某1＋2某22某1＋某2≤2t3某1＋4某2≥12某1，某2≥03)ma某z＝3某1＋5某26某1＋10某2≤120t5≤某1≤103≤某2≤84)ma某z＝5某1＋6某22某1－某2≥21．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）minz＝5某1－2某2＋3某3＋2某4-1-t－2某1＋3某2≤2某1，某2≥0某1＋2某2＋3某3＋4某4＝7t2某1＋2某2＋某3＋2某4＝3某1，某2，某3，某4≥01．4分别用图解法与单纯形法求解下列LP问题，并对照指出最优解所对应的顶点。

1)ma某z＝10某1＋5某23某1＋4某2≤9t5某1＋2某2≤8某1，某2≥02)ma某z＝2某1＋某23某1＋5某2≤15t6某1＋2某2≤24某1，某2≥01．5分别用大M法与两阶段法求解下列LP问题。

1)minz＝2某1＋3某2＋某3某1＋4某2＋2某3≥8t3某1＋2某2≥6某1，某2，某3≥02)ma某z＝4某1＋5某2＋某3.3某1＋2某2＋某3≥18St.2某1＋某2≤4某1＋某2－某3＝53)ma某z＝5某1＋3某2+6某3某1＋2某2－某3≤18t2某1＋某2－3某3≤16某1＋某2－某3＝10某1，某2，某3≥04)ma某z10某115某212某395某13某2某35某16某215某315t.某352某1某2某,某,某01231．6求下表中a～l的值。

运筹学各章的作业题答案解析

3、什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？
4、如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？
5、利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？
6、在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量），其经济意义是什么？
7、在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量的检验数，其经济意义是什么？
(2)对c1=2进行灵敏度分析，求出c1由2变为4时的最优基和最优解。
(3)对第二个约束中的右端项b2=4进行灵敏度分析，求出b2从4变为1时新的最优基和最优解。
(4)增加一个新的变量x6，它在目标函数中的系数c6=4，在约束条件中的系数向量为，求新的最优基和最优解。
(5)增加一个新的约束x2+x32，求新的最优基和最优解。
x1,
x2
≥0
3、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。
max
z=
2x1
+x2
-x3
s.t.
x1
+ x2
+2x3
≤6
x1
+4x2
-x3
≤4
x1,
x2,
x3
≥0
4、用单纯形表求解以下线性规划问题
(1)
max
z=
x1
-2x2
+x3
s.t.
x1
+x2
+x3
≤12
2x1
+x2
-x3
5、某工厂用甲、乙、丙三种原料生产A、B、C、D四种产品，每种产品消耗原料定额以及三种原料的数量如下表所示:
产品
A

运筹学第3版熊伟编著习题答案（PDF版）

运筹学（第3版）习题答案第1章线性规划P36第2章线性规划的对偶理论P74第3章整数规划P88第4章目标规划P105第5章运输与指派问题P142第6章网络模型P173第7章网络计划P195第8章动态规划P218第9章排队论P248第10章存储论P277第11章决策论P304第12章多属性决策品P343第13章博弈论P371全书420页第1章线性规划1.1工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．表1－23产品资源材料(kg)设备(台时)利润(元/件)A1.5310B1.21.614C41.212资源限量25001400根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为max Z=10x1+14x2+12x3⎧1.5x1+1.2x2+4x3≤2500⎪3x+1.6x+1.2x≤140023⎪1⎪⎪150≤x1≤250⎨⎪260≤x2≤310⎪120≤x3≤130⎪⎪⎩x1,x2,x3≥01.2建筑公司需要用5m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：每套窗架需要材料表1－24窗架所需材料规格及数量型号A型号B 长度（m）A1：2A2：1.5需要量（套）数量(根)23300长度(m)B1：2.5B2：2400数量(根)23问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．【解】第一步：求下料方案，见下表。

方案B1B2A1A22.5221.5一2000二三四五六七八九十需要量110010101001020001100102002010012000030.58001200600900余料(m)00.50.51110第二步：建立线性规划数学模型设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则（1）用料最少数学模型为min Z =∑xjj =110⎧2x 1+x 2+x 3+x 4≥800⎪⎪x 2+2x 5+x 6+x 7≥1200⎪⎨x 3+x 6+2x 8+x 9≥600⎪x +2x +2x +3x ≥9007910⎪4⎪⎩x j ≥0,j =1,2,L ,10（2）余料最少数学模型为min Z =0.5x 2+0.5x 3+x 4+x 5+x 6+x 8+0.5x10⎧2x 1+x 2+x 3+x 4≥800⎪⎪x 2+2x 5+x 6+x 7≥1200⎪⎨x 3+x 6+2x 8+x 9≥600⎪x +2x +2x +3x ≥9007910⎪4⎪⎩x j≥0,j =1,2,L ,101.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。