苏教版数学高二 选修2-2学案 直接证明
数学选修2-2苏教版2.2直接证明与间接证明(19张)
3．某个命题与正整数 n 有关，若 n＝k(k∈N*)时该命题成立， 那么可推得 n＝k＋1 时该命题也成立，现在已知当 n＝5 时该命题 不成立，那么可推得( C )
A．当 n＝6 时该命题不成立 B．当 n＝6 时该命题成立 C．当 n＝4 时该命题不成立 D．当 n＝4 时该命题成立
4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)存在有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数．下列
假设中正确的是__②___. ①假设 a，b，c 都是偶数；②假设 a，b，c 都不是偶数； ③假设 a，b，c 至多有一个偶数；④假设 a，b，c 至多有两
个偶数．
5．若 a＞b＞0，则 a＋1b＞__b＋1a(用“＞”、“＜”、“＝”填空)．
考点1 综合法
例1：已知 a，b，c 为正实数，a＋b＋c＝1. 求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6.
解析：(1)证法一：a2＋b2＋c2－13＝13(3a2＋3b2＋3c2－1) ＝13[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] ＝13(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) ＝13[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. ∴a2＋b2＋c2≥13. 证法二：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
图 10－2－1
综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演到B的途径， 但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1， B2能推演出的进一步的中间结论更多，如C1，C2，C3，C4等等， 最终能有一个(或多个)可推演出结论B即可．
2．分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索 因法．它常见的书面表达形式是：“要证…，只需证…”或“… ⇐…”．利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过程可用 如图 10－2－2 的框图表示为：
苏教版高二数学选修22直接证明与间接证明学案
年级课程标题高二选修2-2学第2章第数学2节直接证明与间接证明版本苏教版（理）一、学习目标：认识直接证明的两种基本方法：剖析法和综合法；认识剖析法和综合法的思虑过程、特色。
认识间接证明的一种基本方法──反证法；认识反证法的思虑过程、特色。
二、要点、难点要点：认识剖析法和综合法的思虑过程、特色。
难点：运用剖析法、综合法提升剖析问题和解决问题的能力。
三、考点剖析：对两种直接证明方法的考察在选择题、填空题和解答题中都有出现，纯真的考察其实不常有，作为解决问题的工具，与其余知识综合运用的特色比较突出。
它能够和好多知识，如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不单要用到不等式的有关知识，还要用到其余数学知识、技术和技巧，并且还考察了运算能力，剖析问题和解决问题的能力。
关于反证法极少独自命题，可是运用反证法剖析问题、进行证题思路的判断则常常用到，有独到之处。
三种证明方法的定义与步骤：综合法是由原由推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公义、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论建立的证明方法。
剖析法是从要证明的结论出发，逐渐追求推证过程中，使每一步结论建立的充足条件，直到最后，把要证明的结论归纳为判断一个明显建立的条件（已知条件、定义、公义、定理等）为止的证明方法。
假定原命题的结论不建立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假定错误，从而证了然原命题建立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。
用这类方法证明一个命题的一般步骤：（1）假定数题的结论不建立；（2）依据假定进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假定不建立；（4）一定原命题的结论建立。
知识点一：综合法例1关于定义域为0,1的函数f(x)，假如同时知足以下三个条件：①对随意的x0,1，总有f(x)0；②f(1)1；③若x10,x20,x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)建立，则称函数f(x)为理想函数。
2019-2020学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.2 2.2.1 直接证明
2.2.1 直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥42.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝42.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论． 2．综合法和分析法1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27][例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨] 从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析] ∵a 2＋19≥2a3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通] 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab . 又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc2＝2c ，同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a .∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )，即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ，故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，又因为a π，n ⊥π，所以a·n ＝0， 故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c .∵PO ⊥π，a π， ∴直线PO ⊥a .又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ， ∴a ⊥平面P AO .又c 平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[例2] 已知a >b >0，求证：错误!<错误!－错误!<错误!.[思路点拨] 本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析] 要证明错误!<错误!－错误!<错误!成立， 只需证错误!<a ＋b －2错误!<错误!成立， 即证错误!<(错误!－错误!)2<错误!成立． 只需证a －b2a<a －b <a －b 2b 成立．只需证a ＋b 2a<1<a ＋b2b 成立，即证a ＋b <2a 且a ＋b >2b ，即b <a .∵a >b >0，∴b <a 成立．∴错误!<错误!－错误!<错误!成立．[一点通] 在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，求证：P ＜Q .证明：要证P ＜Q ，主要证P 2＜Q 2， 只要证2a ＋7＋2错误!＜2a ＋7＋2错误!， 即证a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12， 即证0＜12. 因为0＜12成立， 所以P ＜Q 成立．4．已知a 、b 是正实数，求证：a b ＋b a ≥a ＋b .证明：要证ab＋ba≥ a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥ab (a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )，即证a ＋b －ab ≥ab . 也就是要证a ＋b ≥2ab .因为a ，b 为正实数，所以a ＋b ≥2ab 成立，所以a b＋b a≥ a ＋b .[例3] 已知0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1， 求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1.[思路点拨] 因为0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1，所以要证明1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc ≥1成立，可转化为证明1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc 成立．[精解详析] ∵a >0，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ， 即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0.∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )， 又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立， 即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通] (1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证错误!＝1， 即a2＋c2＋ab ＋bcb2＋ab ＋ac ＋bc ＝1. 下面证明：a2＋c2＋ab ＋bcb2＋ab ＋ac ＋bc ＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a2＋c2＋ab ＋bc b2＋ab ＋ac ＋bc ＝a2＋c2＋ab ＋bc a2＋c2－ac ＋ab ＋ac ＋bc ＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数．求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立， 只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题 1．在△ABC 中，A >B 是sinA >sinB 的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC 中，由正弦定理得asin A ＝bsin B .又∵A >B ，∴a >b ，∴sin A >sin B 反之，若sin A >sin B ，则a >b ，∴A >B ∴A >B 是sin A >sin B 的充要条件． 答案：充要 2．设n ∈N ，则n ＋4－n ＋3________n ＋2－n ＋1(判断大小)．解析：要证n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1，只需证n ＋4＋n ＋1<n ＋3＋n ＋2，只需证(n ＋4＋n ＋1)2<(n ＋2＋n ＋3)2，即2n ＋5＋2错误!<2n ＋5＋2错误!. 只需证错误!<错误!，只需证(n ＋1)(n ＋4)<(n ＋2)(n ＋3)， 即n 2＋5n ＋4<n 2＋5n ＋6，即4<6即可． 而4<6成立，故n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1.答案：< 3．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >ab ＋b a⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b 4．若三棱锥S －ABC 中，SA⊥BC ，SB⊥AC ，则S 在底面ABC 上的射影为△ABC 的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心． 答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ， 即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数， 所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ， 即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4， 从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数， 所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2， 即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)． 故f (a )＋f (c )＞2f (b )．7．已知a >0，用分析法证明：a2＋1a2－2>a ＋1a－2.证明：要证a2＋1a2－2≥a ＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a ＋1a＋2.因为a >0，故只需证⎝⎛⎭⎪⎪⎫a2＋1a2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 从而只需证2a2＋1a2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证4⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(江苏高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nSnn2＋c ，n ∈N *，其中 c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝Sn n ＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 2＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .。
2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明 教案【教学重点】：运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题或将两种方法结合使用；分析法证明问题的正确格式【教学过程设计】：cos sin θ=221tan 2(1tan ββ-+，首先应从【练习与测试】：1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的（）A．充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件答案：B解：由分析法的证题思路知：②⇒①，但①不一定推出②，故选B 。
2．2,M N ==则( )A ．M ≥N B. M>N C. M ≤N D. M<N 答案：B解：M>N ⇐222)>⇐88->-⇐<∵15<24显然成立，∴选B3. 若ba b a R b a +≥+∈+22121:,,证明 证明：要证原式成立，只需证ba ab b a +≥+22，因为+∈R b a , 所以只需证ab b ab a ab b a 424)(222≥++≥+即证要证上式成立，只需证0)(,02222≥-≥+-b a b ab a 即显然成立，所以原不等式成立。
4. 若,,a b R +∈11223323求证:(a +b )>(a +b ) 证明： ∵,a b R +∈∴6()⇐⇐11112233226332233322323(a +b )>(a +b )(a +b ))>((a +b )(a +b )>(a +b ) 22223()2a b a b ⇐+⇐+>642246633633a +3a b +3a b +b >a +2a b b a b 223()2a b ⇐+>ab ，显然成立， 所以原式成立。
5．若3,a ≥求证要证此不等式成立，只要证a +成立即 要证上式成立，只要证 22332a a a a -<-+即证 0<2 显然成立，所以不等式成立。
苏教版高中数学选修2-2《直接证明》参考学案
第二章推理与证明 2.2.1直接证明学习目标1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点。
2、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
学习过程：一、预习：1、问题：如图，四边形ABCD是平行四边形求证：AB=CD，BC=DA思考：以上证明方法有什么特点？观察下面问题的证法：设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。
(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
思考：以上证明方法有什么特点？小结：一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．(逆推证法)分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
二、课堂训练：例1．设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+例2、求证：5273<+例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0（用两种方法）例4、设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（用两种方法）三、巩固练习：1、已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc2、设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．3、证明：3422+-=x x y 在),2[+∞是增函数。
数学苏教版选修2-2温故知新2.2.1直接证明含解析
2.2 直接证明与间接证明2。
2.1 直接证明温故知新新知预习1。
综合法和分析法，是直接证明中_________的方法，也是解决数学问题时_______________.2。
一般地，利用__________________________________________,经过一系列的推理、论证,最后推导出______________，这种证明方法叫做综合法。
对于命题“若P则Q"的综合法证明可用框图表示为:3。
一般地,从______________出发，逐步寻找推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后,把________________________________________________________，这种证明的方法叫做分析法。
命题“若P则Q”的分析法证明可用框图表示为:4.在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据______________，得到中间结论Q n；根据__________________________________________，得到中间结论P n.若由P n可以推出Q n成立，就可证明结论成立.知识回顾1.合情推理对一般的数学问题进行推理的过程可以概括为：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们统称为合情推理.2。
演绎推理如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：大前提—-已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。
高中数学 直接证明导学案 苏教版选修2-2
直接证明 NO.14【学习目标】了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考特点和过程，会用分析法和综合法证明具体问题．【知识扫描】一、直接证明⑴直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种证明通常称为直接证明.⑵直接证明的一般格式本题条件已知定义 ⇒A ⇒B ⇒C ⇒………⇒本题结论已知公理已知定理二、1、综合法⑴定义⑵综合法的推理过程:已知条件⇒……⇒……⇒结论2、分析法⑴定义⑵分析法的推理过程:结论⇐……⇐……⇐已知条件【例题选讲】例1.求证:5273<+变题：比较大小：3+10+例2. 分别用分析法和综合法证明:已知0,0a b m >>>，求证：b mba m a +>+变题：已知0,0a b m <<>，比较大小：b ma m ++ ba例3. .已知()+∞∈,0,,c b a ,且1=++c b a ,求证:8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫⎝⎛-c b a课内练习： 1、 已知,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a ++≥++2、已知2a >，求证：(1)(1)log log 1a a a a-+<例4.（强化班做）定义在R 上的函数()f x 满足：（1）当0x <时，()1f x >；（2）(0)0f ≠；（3）对任意实数,x y 有()()()f x y f x f y +=•（1）当0x >时，求证：0()1f x <<；（2）求证：()f x 是R 上的减函数【巩固提高】1.已知b a ,是不相等的正数，2b a x +=，b a y +=，则y x ,的关系是__________2.Ａ，Ｂ是△ABC 的内角，B A >是B A sin sin >的_______________条件3.已知()()12212+-+=x x a x f 是奇函数，则实数=a４.设,0,0,0>>>c b a 若1=++c b a ，则c b a 111++的最小值是５.若0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα，则()=-βαcos6. 设ABC ∆中，3个内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知,,A B C 成等差数列，且,,,a b c 成等比数列，则ABC ∆的形状为7．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：8．设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若函数(1)y f x =+与()f x 的图象关于y 轴对称。
2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明教案【教学重点】：了解反证法的思考过程、特点；运用反证法证明数学问题。
【教学难点】：运用反证法证明数学问题。
【教学过程设计】：β=.b下面用反证法证明直线β=，即点a 与平面α有公共点ba 与b的公共点，这与矛盾．所以a点评：用反证法的基本步骤：分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；作出与所证不等式相反的假定；1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根,则a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）A. 假设a 、b 、c 都是偶数B. 假设a 、b 、c 都不是偶数C. 假设a 、b 、c 至多有两个是偶数D. 假设a 、b 、c 至多有两个是偶数 答案：B解：反证法的假设，恰好与结论相反，“至少有一个”的否定是“一个也没有”。
选B 。
2．用反证法证明命题“若整数n 的立方是偶数，则n 也是偶数”如下：假设n 是奇数，则n=2k+1(k ∈Z)，33(21)n k =+=_____________________________________，这与已知3n 是偶数矛盾，所以n 是偶数。
答案：322(463)1k k k +++解：和的立方公式展开 333232(21)812612(463)1n k k k k k k k =+=+++=+++答案为322(463)1k k k +++。
3．已知平面α和不在这个平面内的直线a 都垂直于平面β，求证：直线a ∥平面α。
证明：假设a 不平行α，则a 与α必有公共点，设为点A ，过点A 在平面α内作直线c ⊥b ，由α⊥β知，c ⊥β，而a ⊥β，则a ∥c 。
这与a 、c 相交于点A 相矛盾，因此，假设错误，即a ∥α。
4. 已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+。
（1）证明：函数()f x ∞在(-1,+)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负根。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 直接证明(2)
第6课时直接证明(2)教学过程一、问题情境复习回顾:1.直接证明的一般形式为:⇒…⇒本题结论2.(1)综合法与分析法要点对照表综合法分析法定义从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止思维过程原因⇒结果,又名“顺推证法”,“由因导果法”由结果追溯原因,又名“追溯证法”,“执果索因法”思维特点从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理实际上是寻找必要条件从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理实际上是寻求充分条件步骤已知条件⇒…⇒…⇒结论结论⇐…⇐…⇐已知条件(2)对分析法证题的说明“若A成立,则B成立”,此命题用分析法证明的一般步骤如下:要证明(或为了证明)B成立,只需证明A1成立(A1是B成立的充分条件),要证A1成立,只需证明A2成立(A2是A1成立的充分条件)……要证明A k成立,只需证明A成立(A是A k成立的充分条件),因为A成立,所以B成立.注:①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件,但绝不能是必要不充分条件;②在寻求充分条件时,要联系已知条件,即在一系列可以证明结论的条件中,与题设条件较为接近的条件,才是我们所需要的;③“只需证明”“为了证明”“因为A成立,所以B成立”类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来.二、数学运用【例1】已知a>b>c,求证:++≥0.[1](见学生用书P43)[处理建议]本题用综合法不容易找到证题思路,因此用分析法探路.[规范板书]要证原不等式成立,由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0,因此移项,只需证+≥.通分,得≥,即证≥.只需证(a-c)2≥4(a-b)(b-c)成立.因为4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)]2=(a-c)2,所以≥,即-≥0,所以++≥0.[题后反思](1)分析法和综合法是两种常用的解题方法,但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好.(2)用分析法寻找思路,用综合法表述过程.分析法解题方向较为明确,有利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表述.因此,在实际解题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程.变式1若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.[规范板书]证法一(分析法)要证lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c,只需证lg>lg(abc),只需证··>abc.又≥>0,≥>0,≥>0.且上述三式中的等号不全成立,所以··>abc.因此lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.注:这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.证法二(综合法)因为a,b,c是不全相等的正数,所以≥>0,≥>0,≥>0.所以··>abc,所以lg>lg(abc),所以lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.变式2设a,b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.[规范板书]证法一(分析法)要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,即需证a2-ab+b2>ab成立,(因为a+b>0)只需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立.而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然成立.所以原不等式成立.证法二(综合法)因为a≠b,所以a-b≠0,所以(a-b)2>0,所以a2-2ab+b2>0,所以a2-ab+b2>ab.因为a+b>0,所以(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),所以a3+b3>a2b+ab2.[题后反思]还有其他证明方法吗?此题可以用作差比较法进行证明.【例2】若实数x≠1,求证:3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.[2](见学生用书P43)[处理建议]在不等式问题的证明方法中,比较法是一种常用的、简单的、主要的方法,有些不等式在用分析法倒推寻找思路时不一定能行,可以用比较法来证明.[规范板书]证明(差值比较法)3(1+x2+x4)-(1+x+x2)2=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3=2(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1)=2(x-1)2.因为x≠1,从而(x-1)2>0,且+>0,所以2(x-1)2>0,所以3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.[题后反思](1)比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.(2)用比较法证明不等式的主要步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号.(3)若题设中去掉x≠1这一限制条件,要求证的结论如何变化?变式已知a,b均为正实数,求证:a a b b≥a b b a.[规范板书]证法一(差值比较法)不妨设a≥b>0.因为a-b≥0,所以a b b b≥0,a a-b-b a-b≥0.所以a a b b-a b b a=a b b b(a a-b-b a-b)≥0,从而原不等式得证.证法二(商值比较法)设a≥b>0,因为≥1,a-b≥0,所以=≥1.故原不等式得证.[题后反思]在证明不等式命题的过程中,“变形”是解题的关键.应用因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.三、课堂练习1.已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明因为b2+c2≥2bc,a>0,所以a(b2+c2)≥2abc,因为c2+a2≥2ac,b>0,所以b(c2+a2)≥2abc.因此,a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.2.已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:a2+b2+c2>(a-b+c)2.证明左边-右边=2(ab+bc-ac),因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.又因为a,b,c都是正数,所以0<b=≤<a+c,所以a+c>b,所以2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0,所以a2+b2+c2>(a-b+c)2.四、课堂小结1.对于那些较为复杂的数学命题,不论是从“已知”推向“未知”,或者是由“未知”靠拢“已知”,都有一个比较长的思考过程,只靠分析法或综合法有时较为困难.为保证探索方向准确及过程快捷,人们常常把分析法与综合法两者结合起来使用,即常采取同时从已知和结论出发,寻找问题的一个中间目标.从已知到中间目标运用综合法思索,而由结论到中间目标运用分析法思索,以中间目标为桥梁沟通已知与结论,构建出证明的有效路径.这种思考模式可以概括如下图所示.(图1)综合法与分析法是逻辑推理的重要方法,它对于培养思维的严谨性极为有用.把分析法与综合法结合并列起来进行思考,寻求问题的解答途径,就是人们通常所说的分析-综合法.2.在不等式的证明中,比较法是一种常用而且有效的方法,也是直接证明不等式的重要方法.。
2019-2020年苏教版高中数学(选修2-2)2.2《直接证明与间接证明》word教案2篇
2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.2《直接证明与间接证明》word 教案2篇分析法和综合法是两种常用的解题方法，但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好．一、用分析法寻找思路，用综合法表述过程例１ 已知a b c >>，求证：1140a b b c c a++---≥． 分析：本题用综合法不容易找到证题思路，因此用分析法探路．要证原不等式成立，由a b c >>，得0a b ->，0b c ->，0c a -<，因此移项，只需证114a b b c a c+---≥． 通分，得()()4()()b c a b a b b c a c-+----≥， 即证4()()a c a b b c a c----≥． 只需证2()4()()a c a b b c ---≥成立．思路找到．证明：∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，0a c ->∴224()()[()()]()a b b c a b b c a c ---+-=-≤． ∴4()()a c a b b c a c----≥， 即()()40()()b c a b a b b c a c -+-----≥， ∴1140a b b c c a++---≥． 点评：分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．二、分析法与综合法联合使用对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的思考过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法并列起来进行思考，寻求问题的解答途径，就是人们通常所说的分析、综合法．例2 若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++． 证明：要证lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++， 只需证lg lg()222a b b c c a a b c +++⎛⎫>⎪⎝⎭， 只需证222a b b c c a abc +++>．又02a b +>，02b c +>，02c a +>． 且上述三式中的等号不全成立，所以222a b b c c a abc +++>c ． 因此lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++． 注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．点拨反证法反证法是一种重要的间接证明方法，下面加以系统归纳，供参考1．宜用反证法证明的题型①易导出与已知矛盾的命题；②否定性命题；③惟一性命题；④至少至多型命题；⑤一些基本定理；⑥必然性命题等2．步骤①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）． 3．典例分析例 求证：a 、b 、c 为正实数的充要条件是0a b c ++>，且0ab bc ca ++>和0abc >． 分析：由a 、b 、c 为正实数，显然易得0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >．即“必要性”的证明用直接证法易于完成，并不需要用反证法．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a 、b 、c 是正实数，有些难度，于是，试试反证法．证明：（1）证必要性．（略）（2）证充分性．假设a 、b 、c 不全为正实数（原结论是a 、b 、c 都是正实数），由于0abc >，则它们只能是二负一正．不妨设0a <且0b <且0c >，又由于0()0ab bc ac a b c bc ++>⇒++>，∵0bc <，∴()0a b c +>．①又∵0a <，∴0b c +<．②而0()0a b c a b c ++>⇒++>，∴0a >，与0a <的假设矛盾．∴假设不成立，原结论成立，即a 、b 、c 均为正实数．说明：如果从①处开始，如下进行推理：∵0a b c ++>，即()0a b c ++>，又0a <，∴0b c +>．则()0a b c +<，与①式矛盾．这样，矛盾的焦点就发生在两部分推理的结论上了，即自相矛盾；还可以让矛盾的焦点发生在已知条件上，从②处开始，于是0a b c ++<，与已知0a b c ++>矛盾，这个途径最简捷．评注：反证法矛盾的焦点，可以是和“已知条件”或“定义”、“公理”、“定理”、“反面假设”矛盾，也可以自相矛盾（即两部分推理的结果矛盾）．其本质是，先利用的和剩余者之间的矛盾．究竟先利用哪些好，应根据题目的具体情况决定．顺其自然，因势利导，不必拘泥于一格．直接证明与间接证明精析在数学中，证明是引用一些真实的命题来确定某命题真实性的思维形式．数学常用的证明方法有直接证明与间接证明．1．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法与分析法．（1）综合法与分析法要点解析表（2）对分析法证题的说明“若Ａ成立，则Ｂ成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：要证明（或为了证明）Ｂ成立，只需证明1A 成立（1A 是Ｂ成立的充分条件），要证1A 成立，只需证明2A 成立（2A 是1A 成立的充分条件），…，要证明k A 成立，只需证明A 成立（A 是k A 成立的充分条件），∵A 成立，∴B 成立．注：①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件，但绝不能是必要不充分条件； ②在寻求充分条件时，起调控方向作用的是本题条件．即在一系列可以证明结论的条件中，与本题条件较为接近的条件，才是我们所需要的；③“只需证明”、“为了证明”、“∵A 成立，∴B 成立”类似这些语言必须有，而且要用它们把每一步连结起来．（3）综合法和分析法的优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错．综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．因此，在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，则原命题得证．2．间接证明不是从正面论证命题的真实性，而是考虑证明它的等价命题，间接地达到目的．常见的间接证明方法是反证法．反证法是一种常用的间接证明方法．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用以下框图表示：应用反证法证明数学命题，一般有下面三个步骤：（1）反设———假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；（2）归谬———从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3）存真———由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．注：①反设要准确，即取结论的否定形式时要准确，有些否定形式需注意全称量词与特称量词的相互转换．②所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与公理、定义、定理、条件矛盾或与临时假定矛盾，以及自相矛盾等各种情况．反证法往往用于解决正面解决较为困难的问题（正难则反）或需分多种情况讨论的问题（如至多、至少等问题）等．反证法中的“特殊化”反证法是一种重要的证明方法．反证法的难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路，以便尽快凸现矛盾．笔者认为，“特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口．一、特殊值巧合的数目，特殊的数字，个性化的特征，看似纯属偶然，但往往蕴含着正确解法的必然．例1 设()f x 、()g x 是定义[01]，上的函数．证明：存在0x 、0[01]y ∈，，使得00001()()4x y y x g y --≥． 分析：要找出具体的0x 、0y ，难以下手，不妨考虑用反证法证明：假设这样的0x 、0y 不存在．取特殊值00x =，00y =，得1(0)(0)4f g +<． 同理，1(0)(1)4f g +<，1(1)(0)4f g +<，11(1)(1)4f g --< 故11111(1(1)(1))((1)(0))((0)(1))((0)(0))14444f g f g f g f g =--++++-+<+++=， 这是不可能的．因此，原命题成立．注：本题反复利用0与1这两个特殊值，并进行凑配，从而推得矛盾“11<”．二、特殊运算某些相对独立的对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，而当通过特殊运算使之形成一个整体时，矛盾便暴露无遗了．1．求和例2 今有有限个砝码，它们的总重量是1kg ，将它们分别编号为12，，．证明：从这有限个砝码中必可找出一个编号为n 的砝码，它的重量大于1kg 2n．证明：假设不存在这样一个编号n ，使得相应的砝码重量1()2n f n >． 设共有m 个砝码，0m >．从而，有1(1)2f ≤，21(2)2f ≤，，1()2m f m ≤ 累加求和，得11(1)(2)()12mf f f m =+++-≤，矛盾 ． 因此，原命题成立2．求积 例3 证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：x y z <-，y z x <-，z x y <-．分析：本题要证明所有的对象都具有同一性质，无法从正面考虑，宜用反证法．证明：假设存在三个实数x y z ，，同时满足题设的三个不等式．将它们的两端都同时平方，然后分别移项、分解因式得()()0x y z x y z -++-<， ①()()y z x y z x -++-<， ② ()()z x y z x y -++-<． ③①⨯②⨯③得222()()()0x y z x y z x y z -++--++<，这显然是不可能的．因此，原命题成立．注：本题所得到的三个不等式，单独看哪一个都看不出有什么毛病，而一旦把它们求积，矛盾便凸现在眼前了。
苏教版数学高二- 选修2-2试题 直接证明
2.2.1 直接证明一、填空题1．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x 求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．【答案】综合法2．欲证2－3＜6－7成立，只需证①(2－3)2＜(6－7)2；②(2－6)2＜(3－7)2；③(2＋7)2＜(3＋6)2；④(2－3－6)2＜(－7)2.则正确的序号是________．【解析】“2－3＜6－7”⇔“2＋7＜3＋6”且2＋7＞0，3＋6＞0，故只需证(2＋7)2＜(3＋6)2.【答案】③3．已知α，β为实数，给出下列三个论断：①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③|α|＞22，|β|＞22，以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．【解析】由①αβ＞0知α，β同号，∴由③知|α|＋|β|＝|α＋β|＞42＞5.【答案】①③⇒②图2－2－24．如图2－2－2，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】只要使BD⊥平面AA1C1C即可．【答案】ABCD为正方形(ABCD为菱形或AC⊥BD等)5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的大小关系是x________y.【解析】 要比较x ，y 的大小．∵x ＞0，y ＞0，只需比较x 2，y 2的大小，即a ＋b ＋2ab 2与a ＋b 的大小． ∵a ，b 为不相等的正数，∴2ab ＜a ＋b. ∴a ＋b ＋2ab 2＜a ＋b ， 则x 2＜y 2.∴x ＜y.【答案】 ＜6．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 ∵1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立． 【答案】 37．已知f(x)＝a （2x ＋1）－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________． 【解析】 法一 函数的定义域为R ，函数为奇函数，当x ＝0时f(0)＝0，即2a －22＝0.∴a ＝1.法二 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)恒成立．即a （2－x ＋1）－22－x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1， 即a （1＋2x ）－21＋x 2x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1恒成立． 即2a ＋a·2x ＋1＝2x ＋1＋2，∴a ＝1.【答案】 18．已知△ABC 的两顶点A 、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，顶点C 在双曲线的右支上，则sin C sin A －sin B＝________． 【解析】 ∵A 、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，C 在双曲线的右支上， ∴|AB|＝29＋16＝10，|CA|－|CB|＝6，由正弦定理，得sin C sin A －sin B ＝|AB||BC|－|AC|＝－53. 【答案】 －53二、解答题 9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求证：△ABC 为正三角形．【证明】 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)， ∴B ＝60°.∵a ，b ，c 等差，∴2b ＝a ＋c ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－（a ＋c 2）22ac ＝12， ∴a ＝c.又∵B ＝60°，∴△ABC 为正三角形．10．已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b. 【证明】 由1b －1a＞1，及a ＞0知b ＞0. 要证明1＋a ＞11－b， 只需证明1＋a·1－b ＞1，即证1＋a －b －ab ＞1，只要证明a －b ＞ab ，即证a －b ab ＞1，也就是1b －1a＞1， ∵1b －1a＞1成立(已知)， 故原不等式1＋a ＞11－b成立．图2－2－311．如图2－2－3所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC.所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，∵AB⊥AD，∴AB⊥PD，又∵AB∩AE＝A，故PD⊥平面ABE.。
苏教版高中数学选修2-2直接证明(2)
直接证明（2）教学目标（1）能熟练地运用综合法、分析法解决问题． 教学重点，难点运用综合法、分析法证题．教学过程一．问题情境复习回顾：直接证明的一般形式为：⎫⎪⎪⇒⇒⎬⎪⎪⎭本题条件已知定义本题结论已知公理已知定理综合法与分析法的推证过程如下：二．数学运用1．例题： 例1．设抛物线2(0)y ax a =≠与直线y bx c =+(0,0)b c ≠≠有两个交点，且横坐标分别为1x ，2x ，又设直线y bx c =+与x 轴交点的横坐标为3x ，试证明：312111x x x =+． 证明：直线y bx c =+与x 轴交点的横坐标为3c x b=-，所以31b x c =-． 2y ax y bx c⎧=⎨=+⎩，消去y ，得20ax bx c --= 则抛物线2(0)y ax a =≠与直线y bx c =+(0,0)b c ≠≠有两个交点的横坐标分别为1x ，2x 是方程20ax bx c --=的两根， 所以12121211//x x b a b x x x x c a c++===--， 所以312111x x x =+． 例2．在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC ∆为为正三角形．证明：因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B A C =+，有A B C π++=，所以3B π=．因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =．又因为222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以22ac a c ac =+-，即2()0a c -=，所以a c =，所以A C =， 所以3A B C π===，ABC ∆为为正三角形．例3．已知1a b c ++=（a ，b ，c 均为非负数），求证：+（用分析法证明）++23≤，只需证3a b c +++≤，又因为1a b c ++=，所以只需证2()a b c ≤++，又因为a b +≥，b c +≥a c +≥所以原不等式成立．例4．在锐角三角形中，求证：sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++． 证明：因为在锐角三角形中，2A B π+>，所以2A B π>-，所以022B A ππ<-<<，又因为在(0,)2π内正弦函数是单调递增函数，所以sin sin()cos 2A B B π>-=， 即sin cos A B >，同理sin cos B C >，sin cos C A >， 所以sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++．三．回顾小结：1．证题过程中综合法与分析法的结合．四．课外作业：补充： 1．ABC ∆的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：90B <．2．已知a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥． 3．若||1a <，||1b <，求证：||11a b ab+<+． 4．已知函数()()f x x R ∈，对于任意1x ，2x R ∈， 等式121212()()2()()22x x x x f x f x f f +-+=恒成立，但()f x 不恒为0，求证：()f x 是偶函数．。
苏教版高中数学选修2-2 直接证明与间接证明 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明教案【教学重点】：了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。
【教学过程设计】：【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法 答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。
2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。
证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。
3. 求证：5321232log 19log 19log 19++<证明：因为1log log a b b a=，所以左边= 23191919191919log 52log 33log 2log 5log 3log 2++=++=23191919log (532)log 360log 3612⨯⨯=<=所以5321232log 19log 19log 19++<成立4．求证：如果lg lg ,0,lg22a b a ba b ++>≥则证明：当,0,2a ba b +>≥有上式两端取对数得：lg 2a b+≥从而lg()lg lg lg 222a b ab a b ++≥=所以，命题得证。
5．设a>b>0且ab=1，求证：22a b a b+≥- 证明：222()22()()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+--- ∵a>b>0， ∴a-b>0因此有2()()a b a b -+≥=-所以，命题得证。
江苏省普通中学2019年高二数学苏教版选修2-2教学案：第2章4直接证明
江苏省泰兴中学高二数学讲义（47）直接证明【教学目标】1.掌握分析法和综合法的逻辑结构特点；2.会分析问题并用直接法证明问题；3.了解推理与证明的联系与区别，体会“大胆推理，小心求证”.【预习导引】1.若，，则下面三个不等式①；②；③,a b R ∈a b >11b b a a ->-22(1)(1)a b +>+，成立的有___________个.22(1)(1)a b ->-2.,其中最合理的为( )+<A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.归纳法的大小关系是______________【典型例题】例1.,a b R +∈2a b +≤练习：,a b R +∈≥例2.设，，求证：①；②0,0a b >>2c a b >+2c ab >c a c -<<例3.若，求证：tan()2tan αβα+=3sin sin(2)βαβ=+例4.已知集合A 是由适合下列性质的函数构成：对任意实数，，都有,a b a b ≠，判断函数是否在集合A 中，并说明理由.|()()|||f a f b a b -<-()f x =【学后反思】1.以已知定义、定理、公理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为____________法；推证过程为: 已知条件…………结论⇒⇒⇒2.从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件,逐步上溯直到使结论成立的条件和已知或事实吻合为止，这种证明方法常称为______________法.推证过程为: 结论…………已知条件⇐⇐⇐3.分析法和综合法都是直接法.综合法是从条件出发，经过推理，导出所需的结论，步骤比较简洁明了，但入手比较难找，而分析法则是从要证的结论出发，寻求它的依据，直至归结到题设条件，运用综合法.分析法需对题目进行分析，找到证明的出发点，两者相辅相成，辩证统一.通常可以用分析法找证明思路，用综合法书写证明过程.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（47）班级: 姓名: 学号：【A 组题】1.已知是奇函数，则实数a= (21)2()21x x a f x +-=+2.已知a.b 是不相等的正数，，则x.y 的大小关系是 x y ==3.已知，则p.q 的大小关系是 2421(2),2(2)2a a p a a q a a -+-=+>=>-4.设a ＝，b ＝，c ＝，则a.b.c 的大小关系是______________. ln 2ln 32ln 435.求证3)a <≥6.的三边的倒数成等差数列，求证：ABC ∆,,a b c 090B <7.用分析法或综合法证明：在ΔABC 中，a.b.c 成等差数列的充要条件是223cos cos 222C A b a c +=【B 组题】1.设，,则A 与B 的大小关系为 0,0x y >>,111x y x y A B x y x y+==+++++2．定义在 R 上的二次函数在区间［0，2］上是增函数，且2()4f x ax ax b =-+，则实数的取值范围()(0)f m f ≥m 3．设实数，且函数有最小值－1，0a ≠21()(1)(2)f x a x x a =+-+（1）求的值；a （2）设数列的前项和，令，证明数列是等差{}n a ()n S f n =242n n a a ab n++⋅⋅⋅+={}n b 数列。
高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修2_2word格式
直接证明学习目标要点难点1．能知道直接证明的两种基本方法——综合法和剖析法．要点：综合法和剖析法的思想方法2．会剖析综合法和剖析法的思虑和步骤．过程、特色，会用综合法和剖析法难点：综合应用两种方法解题.证明数学识题.1．直接证明(1) 直接从原命题的条件逐渐推得命题建立，这类证明往常称为________．此题条件已知定义(2) 直接证明的一般形式为：?? ________.已知公义已知定理2．综合法(1)从已知条件出发，以已知的定义、公义、定理为依照，逐渐下推，直到推出要证明的结论为止．这类证明方法常称为________．(2)综合法的推证过程是： ________? ? ? ______.预习交流 1n做一做：已知数列{ a n} 的通项公式为a n＝2，求证：数列{ a n}为等比数列．(1)从问题的结论出发，追忆致使结论建立的条件，逐渐上溯，直到使结论建立的条件和已知条件或已知事实符合为止．这类证明方法常称为________．(2) 剖析法的推证过程是：______________.预习交流 2做一做：求证：6＋7≥2 2＋ 5.在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在以下表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引1． (1) 直接证明(2) 此题结论2． (1) 综合法(2) 已知条件结论nan ＋ 1 2n ＋ 1 2·2n预习交流 1：提示：∵ a ＝ 2 ，∴an＝2n＝ 2n＝ 2( 常数 ) ．∴由等比数列的n定义可知，数列 { a n } 为公比是 2 的等比数列．3． (1) 剖析法 (2) 结论 已知条件预习交流 2：提示：要证原不等式建立， 只要证 (6＋ 7) 2≥ (2 2＋ 5) 2，即证 2 42＞ 2 40，因为上式明显建立，所以原不等式建立．一、综合法的应用设 a， ， 为不全相等的正数，且abc＝1，求证： 1＋ 1＋1＞a ＋b ＋ c.b ca b c思路剖析： (1) 综合法证明不等式所依靠的主假如不等式的基天性质和已知的重要不等式．(2) 综合法证明不等式时，要注意不等式的性质和已证过的不等式各自建立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．如图，在四棱锥 P － ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AB =AD ，∠ BAD =60°， E ， F 分别是 AP ， AD 的中点．求证： (1) 直线 EF ∥平面 PCD ； (2) 平面 BEF ⊥平面 PAD .1．综合法的证明步骤： (1) 剖析条件，选择方向，确立已知条件和结论间的联系，合理选择有关定义、定理等． (2) 转变条件，组织过程，将条件合理转变，书写出严实的证明过程．2．综合法的合用范围是： (1) 定义明确的问题，如证明函数的单一性，奇偶性；立体几何中的证明，不等式的证明等问题； (2) 已知条件明确，而且简单经过剖析和应用条件能逐渐迫近结论的题型．二、剖析法的应用如图， SA ⊥平面 ABC ，AB ⊥ BC ，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E ，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F .求证： AF ⊥SC .思路剖析：利用线线垂直、线面垂直的互相转变追求AF⊥ SC建立的条件．当 a＋ b＞0时，求证：a2＋ b2≥22 ( a＋b) ．在剖析法证明中，从结论出发的每一个步骤所获得的判断都是结论建立的充分条件，最后一步归纳到已被证了然的事实．所以，从最后一步能够倒推回去，获得结论，但这个倒推过程能够省略．三、综合法和剖析法的综合应用求证：当x≥0时，sin x≤ x.思路剖析：不等式的建立问题，能够转变为函数最值问题来解决．π已知α，β ≠ kπ＋ 2 ( k∈ Z) ，且sin θ＋ cos θ＝ 2sin α ，①sinθ cosθ ＝sin2β，②1－ tan2 α1－ tan2 β求证： 1＋ tan2 α＝2(1 ＋ tan2 β ) .实质解题时，用剖析法思虑问题，找寻解题门路，用综合法书写解题过程，或许结合使用剖析法与综合法，即从“欲知”想“已知” ( 剖析 ) ，从“已知”推“可知” ( 综合 ) ，左右开弓，两面夹攻，找到交流已知条件和结论的门路．1．设a＝ lg 2 ＋ lg 5 ，b＝ e x( x＜ 0) ，则a与b的大小关系为 __________ ．2．已知函数 f ( x)知足：当 x≥4时， f ( x)＝2x，当 x＜4时， f ( x)＝ f ( x＋1)，则 f (2 2＋ log 3) ＝ __________.3．命题“函数f ( x) ＝x－x ln x 在区间(0,1) 上是增函数”的证明过程“对函数f ( x)＝ x－ x ln x 取导得 f ′( x)＝－ln x，当 x∈(0,1) 时， f ′( x)＝－ln x＞0，故函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上是增函数”应用了________的证明方法．2 14．已知实数a≠ 0，且函数f ( x) ＝a( x＋ 1) －2x＋a有最小值－ 1，则a＝ __________.a2＋ b25．增补下边用剖析法证明基本不等式 2 ≥ ab 的步骤：要证明a2＋b2≥ ab，22 2只要证明 a ＋ b ≥2ab，只要证 ________．因为 ________明显建立，所以原不等式建立．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精髓部分和基本技术的要领部分写下来并进行识记 .知识精髓技术要领答案：活动与研究 1：证明：∵ a ＞0，＞0，＞ 0，且＝ 1，b c abc1 1 1∴＋＋＝bc＋ ca＋ ab.a b c又 bc＋ ca≥2 bc·ca＝2 abc2＝ 2 c ，同理 bc＋ ab≥2 b， ca＋ ab≥2 a.∵a， b， c 不全相等，∴上述三个不等式中的“＝”不可以同时建立．∴ 2(bc ＋＋ )＞2( c ＋ a＋ b) ，ca ab即 bc＋ ca＋ ab＞a＋b＋ c.1 1 1a＋b＋ c.故＋＋＞a b c迁徙与应用：证明： (1) 在△PAD中，因为E， F 分别为 AP， AD的中点，所以EF∥ PD.又因为 EF?平面 PCD， PD?平面 PCD，所以直线 EF∥平面 PCD.(2)连接 BD.因为 AB＝ AD，∠ BAD＝60°，所以△ ABD为正三角形．因为 F 是 AD的中点，所以 BF⊥ AD.因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF?平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝ AD，所以 BF⊥平面 PAD.又因为 BF?平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.活动与研究 2：证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC，故只要证SC⊥平面AEF，只要证 AE⊥ SC，而 AE⊥ SB，故只要证 AE⊥平面 SBC，只要证AE⊥ BC，而 AB⊥ BC，故只要证 BC⊥平面 SAB.只要证 BC ⊥ SA ，而由 SA ⊥平面 ABC 可知 SA ⊥ BC ，即上式建立，∴AF ⊥ SC .迁徙与应用：2证明：要证a2＋b2≥ 2 ( a ＋ b ) ，只要证 ( a2＋ b2) 2≥2(a ＋ b) 2，22212222即证 a＋b ≥ 2( a ＋ b ＋ 2ab ) ，即证 a ＋ b ≥ 2ab . 因为 a 2＋b 2≥ 2ab 对一确实数恒建立，所以 a2＋ b2≥ 2 ( a ＋ )建立．2 b综上所述，不等式得证．活动与研究 3：证明：要证 x ≥ 0 时， sin x ≤ x ，只要证 x ≥ 0 时， sin x － x ≤ 0 即可．设 f ( x ) ＝ sin x － x ，则即证 x ≥ 0 时， f ( x ) ≤0，即证 x ≥ 0 时，f ( x ) 的最大值小于或等于 0 即可． ∵ f ( x ) ＝ sin x － x ，∴ f ′ ( x ) ＝ cos x － 1，∴当 x ≥0 时 f ′( x ) ≤ 0，∴ f ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上递减．∴当 x ≥ 0 时， f ( x )＝ f (0) ＝ 0，max∴ f ( x ) max ≤0 建立，∴原不等式建立．迁徙与应用：1－ tan2 α 1－tan2 β证明：要证 1＋ tan2 α＝ 2(1 ＋ tan2 β )，sin2 α sin2 β1－cos2 α1－cos2β即证1＋ sin2 α ＝sin2 β，cos2α 2 1＋βcos22 2 1 2 2即证 cos α － sin α＝ 2(cos β － sin β ) ，21 2 22即证 1－ 2sin α ＝ 2(1 － 2sin β) ，即证 4sin α － 2sin β ＝ 1. ③ 因为 (sin θ ＋ cos θ ) 2－2sin θ cos θ ＝ 1，所以将①②代入上式，可得4sin 2α － 2sin 2β ＝ 1.因为上式与③同样，于是问题得证．当堂检测1． a ＞ b 分析： ∵ a ＝ lg 2 ＋lg 5 ＝ lg 10 ＝ 1，而 b ＝e x ＜ e 0＝ 1，故 a ＞ b . 2．24 分析：∵ 1＝log 22＜ log 23＜ log 24＝2，∴3＜ log 23＋ 2＜ 4. 由已知得 f (2 ＋ log 23)＝ f (3 ＋ log 23) ＝＝8× 3＝24.3．综合法 4．1 分析： () ＝2－2 ＋11 () min ＝ 1 f x ax － 有最小值， 则 ＞ 0，对称轴x ＝ ，则f x f ax aaaa ＝－1，即1＝ ·1 2 1 122－ 2＝0. ∵ ＞0，f a a －2· ＋ － ＝－1，即 － ＝－1，则a ＋aa a aa aaa∴ a＝1.1 12 1 1 2 2即 f a＝a·a －2·a＋a－a＝－ 1，即a－a＝－ 1，则a＋a－ 2＝0. ∵ a＞0，∴ a＝1.2 2即 a－a＝－1，则 a ＋a－2＝0.∵ a＞0，∴ a＝1.222 25．a＋b－2ab≥ 0 ( a－b) ≥0 ( a－b) ≥ 0。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 直接证明(1)
第5课时直接证明(1)教学过程一、问题情境问题1在《数学5(必修)》中,我们是如何证明基本不等式≤(a>0,b>0)的?[3]证法一对于正数a,b,有(-)2≥0⇒a+b-2≥0⇒a+b≥2⇒≥.证法二要证≤,只要证2≤a+b,只要证0≤a-2+b,只要证0≤(-)2.因为最后一个不等式恒成立,所以≤成立.方法3:左边-右边=……(比较法)二、数学建构问题2即时体验题1的证明方法是什么方法?解综合法.问题3问题1的证明方法是什么方法?解证法1是综合法,证法2是分析法.问题4如何用综合法进行证明?解从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.问题5如何用分析法进行证明?解从问题的结论出发,倒推寻找结论成立的条件,逐步倒推,直到找到使结论成立的条件和已知条件或已知事实相符合.通过讨论,回顾综合法和分析法的定义和特点.从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法常称为综合法.从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.综合法与分析法的推证过程如下:综合法已知条件⇒…⇒…⇒结论;分析法结论⇐…⇐…⇐已知条件.上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的,这种证明通常称为直接证明,直接证明的一般形式为:⇒…⇒本题结论综合法和分析法都是直接证法.三、数学运用【例1】(教材第83页例1)已知AB,CD相交于点O,△ACO≌△BDO,AE=BF,求证:CE=DF.[4](见学生用书P41)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用分析法倒推分析,体会分析法思路.[规范板书]证法一(分析法)要证明CE=DF,只需证明△ECO≌FDO,为此只需证明为了证明CO=DO,只需证明△ACO≌△BDO.为了证明EO=FO,只需证明AO=BO,也只需证△ACO≌△BDO.由于△ACO≌△BDO是已知的,又因为∠EOC与∠FOD是对顶角,所以它们相等,从而△ECO≌△FDO成立,因此命题成立.[题后反思]用分析法证明命题,(1)要注意书写的格式,通常“要证明……就要证明……”是必不可少的;(2)要注意条件的关系,后面的条件应该是前面结论成立的充分条件.证法二(综合法)因为△ACO≌△BDO,所以CO=DO,AO=BO.因为AE=BF,所以EO=FO.在△ECO和△FDO中,所以△ECO≌△FDO,所以CE=DF.[题后反思]综合法的书写比较简洁,但不是简单的把分析法的思路倒过来抄一遍,还要求学会合理组织文字进行表达.【例2】已知a,b,c,d∈R,分别用分析法和综合法证明:ac+bd≤.[5](见学生用书P42)[处理建议]先让学生思考,再用分析法倒推寻找证明的思路,然后用综合法书写.[规范板书]证法一(分析法)①当ac+bd≤0时,显然成立.②当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcd≤b2c2+a2d2,即证0≤(bc-ad)2,因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故原不等式成立,综合①②知,命题得证.[题后反思]在上述证明过程中,缺少①式环节,直接两边平方的证明思路是不对的.证法二(分析法)欲证ac+bd≤,由于ac+bd≤|ac+bd|对a,b,c,d∈R恒成立,只需证|ac+bd|≤,又只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcd≤b2c2+a2d2,即证0≤(bc-ad)2,因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故原不等式成立,命题得证.[题后反思]运用性质x≤|x|(即ac+bd≤|ac+bd|)来过渡的方法是很巧妙的.证法三(综合法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2,所以≥|ac+bd|≥ac+bd.[题后反思]从上面例题可以看出,分析法解题方向较为明确,利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表达.因此,在实际解题时,通常先以分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程.四、课堂练习1.在▱ABCD中,AE⊥BD,垂足为E;CF⊥BD,垂足为F.求证:AE=CF.证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD且AB=CD,因为AB∥CD,所以∠ABD=∠CDB,因为AE⊥BD,CF⊥BD,所以∠AEB=∠CFD=90°,所以△ABE≌△CDF,所以AE=CF.2.设a,b是两个相异的正数,求证:关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根.证明因为a,b是两个相异的正数,所以a2+b2>0且Δ=(4ab)2-4(a2+b2)·2ab=8ab(2ab-a2-b2)=-8ab(a-b)2,因为a≠b,所以(a-b)2>0,所以Δ=-8ab(a-b)2<0,所以关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根.3.求证:->-.证明要证明->-,只需证明+>+,只需证明(+)2>(+)2,展开得8+2>8+2,即要证>.而>显然成立,所以->-成立,即原命题得证.4.设a,b为两个不相等的正数,且a+b=1,分别用分析法、综合法证明:+>4.证法一(分析法)因为a>0,b>0,a+b=1,要证+>4成立,只需证>4成立,即需证>4成立.即需证ab<成立.而由已知条件可知a≠b,有1=a+b>2,即2<1,所以ab<成立.由此命题得证.证法二(综合法)因为a≠b,a>0,b>0,a+b=1,所以1=a+b>2,所以2<1,所以ab<.所以>4,所以>4.即+>4,由此命题得证.五、课堂小结1.分析法:解题方向比较明确,利于寻找解题思路;综合法:条理清晰,易于表述.通常以分析法寻求思路,再用综合法有条理地表述解题过程.2.证题过程中注意综合法与分析法结合.在分析法和综合法的思考过程中,“变形”是解题的关键,是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.。
江苏省泰兴中学高二数学苏教版选修2-2教学案：第2章4直接证明
江苏省泰兴中学高二数学讲义（47）直接证明【教课目的】1.掌握剖析法和综合法的逻辑构造特色；2.会剖析问题并用直接法证明问题；3.认识推理与证明的联系与差别，领会“勇敢推理，当心求证”.【预习导引】1. 若a, b R ，a b ，则下面三个不等式①b b 1；② ( a1)2(b 1)2；③a a 1( a 1)2(b1)2，建立的有 ___________个 .2. 要证明372 5 可选择的方法有以下几种, 此中最合理的为 ()A. 综合法B.剖析法C.反证法D.概括法3. 8 6 与7 5 的大小关系是______________【典型例题】例 1. a, b R，证明不等式：a b ab2练习： a,ba bb . R ，求证：ab a例 2.设a0, b 0 ，2c a b ，求证：①c2ab ；②c c2ab a c c2ab例 3. 若tan() 2 tan，求证：3sin sin(2)例 4.已知会合 A 是由合适以下性质的函数组成：对随意实数a,b，a b ，都有，判断函数 f (x) 1 x2能否在会合 A 中，并说明原因.【学后反省】1. 以已知定义、定理、公义为依照，逐渐下推，直到推出要证明的结论为止，这类证明方法称为 ____________法；推证过程为 :已知条件 结论2. 从问题的结论出发，追忆致使结论建立的条件, 逐渐上溯直到使结论建立的条件和已知或事实符合为止，这类证明方法常称为______________法 .推证过程为 : 结论已知条件3. 剖析法和综合法都是直接法 . 综合法是从条件出发，经过推理，导出所需的结论，步骤比较简短了然，但下手比较难找， 而剖析法例是从要证的结论出发， 追求它的依照， 直至归纳到题设条件，运用综合法 . 剖析法需对题目进行剖析，找到证明的出发点，二者相辅相成，辩证一致 . 往常能够用剖析法找证明思路，用综合法书写证明过程.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（ 47）班级 :姓名 : 学号：【A 组题】1. 已知 f ( x)a(2 x 1) 2 是奇函数，则实数 a=2x 12. 已知 a.b 是不相等的正数，xab, ya b ，则 x.y 的大小关系是23. 已知 p a1 (a 2), q2 a 2 4 a 2 ( a 2) ，则 p.q 的大小关系是a 24. 设 a ＝ ln 2 ， b ＝ln 3， c ＝ln4，则 a.b.c 的大小关系是 ______________.235. 求证 : a a 1a 2a 3( a 3)6.ABC 的三边 a,b,c 的倒数成等差数列，求证： B9007.用剖析法或综合法证明：在ABC 中 ，成等差数列的充要条件是a cos 2Cc cos 2A3b 22 2【B 组题】1. 设x 0, y 0，A x y, B x y, 则 A 与 B的大小关系为1x y1x 1 y2．定义在 R 上的二次函数 f ( x)ax 24ax b 在区间［0，2］上是增函数，且 f (m) f (0) ，则实数 m 的取值范围3．设实数a 0，且函数 f ( x)a(x21)(2 x 1) 有最小值－1，a（1）求a的值；（2）设数列{ a n}的前项和S n f ( n) ，令b n a2a4a2n，证明数列 { b n } 是等差数n列。
苏教版数学高二-苏教数学选修2-22.2.1直接证明
§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 直接证明一、基础过关1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________．①若a >b ，则ac 2>bc 2②若a c >b c，则a >b ③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件．3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是________．4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有__________成立．①1≤ab ≤a 2＋b 22 ②ab <1<a 2＋b 22③ab <a 2＋b 22<1 ④a 2＋b 22<ab <1 5．已知a ，b 为非零实数，则下列四个条件中使不等式：a b ＋b a≤－2成立的一个充分不必要条件是________．①ab >0 ②ab <0③a >0，b <0 ④a >0，b >0二、能力提升6．设0<x <1，a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x，则a 、b 、c 的大小关系为________． 7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．8．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 、q 的大小关系为________． 9．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，求实数a ，b 的取值范围．10．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 211．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. 三、探究与拓展12．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c .答案1．③2．充要3．24．②5．③6．a <b <c7．a >c >b8．p >q9．解 a a ＋b b >a b ＋b a⇔a a －a b >b a －b b⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 即a ≥0，b ≥0，且a ≠b .10．证明 方法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b >0， 所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.方法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2， 只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0，只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0.∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立．11．证明 由1b －1a>1及a >0可知0<b <1， 要证1＋a >11－b， 只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0即a －b ab >1，即1b －1a>1， 这是已知条件，所以原不等式得证．12．证明 要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需证log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2)<log x (abc )． 由已知0<x <1，得只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0， a ＋c 2≥ac >0. 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。
苏教版高二数学选修2-2 2.2.1直接证明 学案
2.2.1 直接证明学习目标 1.了解直接证明的特点.2.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 直接证明思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． (2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．知识点二 分析法和综合法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：方法一 ∵(a －b )2≥0， ∴(a )2＋(b )2－2ab ≥0， ∴a ＋b ≥2ab ，∴a ＋b2≥ab . 方法二 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，∵(a －b )2≥0显然成立，∴原不等式成立．答案 方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件． 梳理 综合法和分析法定义比较类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论 ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3. 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)． 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 所以原等式成立．反思与感悟 证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． (2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理． (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式． 跟踪训练2 在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C . 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C .类型二 分析法 例3 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．反思与感悟 分析法的应用范围及方法跟踪训练3 求证：a －a －1<a －2－a －3 (a ≥3)． 证明 方法一 要证a －a －1<a －2－a －3， 只需证a ＋a －3<a －2＋a －1， 只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2， 只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2， 只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2， 只需证0<2，而0<2显然成立， ∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3，∴a －a －1<a －2－a －3.1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为________． 答案 a >b解析 ∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是________．答案 c解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0，∴c >b >a . 3．欲证2－3<6－7成立，只需证下列各式中的________．(填序号) ①(2－3)2<(6－7)2； ②(2－6)2<(3－7)2； ③(2＋7)2<(3＋6)2； ④(2－3－6)2<(－7)2. 答案 ③解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2. 4.3－2________2－1.(填“>”或“<”) 答案 <5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝4＋2(y x ＋xy )＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证． 方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ， 只需证明(1＋1x )(1＋11－x)≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2， 即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．课时作业一、填空题1．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a >b >0解析 由a a >b b ，得a 3>b 3， 则a ，b 需满足a >b >0.2．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 3解析 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立．3．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________. 答案 －b解析 函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为________． 答案 P <Q解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ， Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， ∴P 2<Q 2，即P <Q .5．若A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.6．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1.(判断大小)答案<解析要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.7．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)答案垂心解析如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO⊥平面ABC，连结AO，BO.∵SA⊥BC，SO⊥BC，SA∩SO＝S，∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.同理可证，AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心．8．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．9．已知函数f (x )＝2x ，a ，b ∈(0，＋∞)．A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，且a ≠b ，则A ，B ，C 从小到大排列为______________． 答案 C <B <A解析 ∵a ＋b 2>ab >2aba ＋b ，又∵f (x )＝2x 在R 上为增函数， ∴A >B >C .10．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝2ab －(a ＋b )≤0， ∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， 则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )， 即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________. 答案 1解析 由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，① a b ＋c ＋ba ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2， ②将①式代入②式，得a b ＋c ＋b a ＋c ＝1.二、解答题12．已知a >0，b >0且a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明 要证a ＋12＋ b ＋12≤2， 只需证a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4，又a ＋b ＝1， 即只需证明(a ＋12)(b ＋12)≤1.而(a ＋12)(b ＋12)≤(a ＋12)＋(b ＋12)2＝1＋12＋122＝1成立，所以a ＋12＋ b ＋12≤2成立． 13．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角， 所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ， ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C . ⑤ 由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 三、探究与拓展14.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案 对角线互相垂直(答案不惟一) 解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1， 因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1， 故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a nn＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n (n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。
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2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)[基础·初探]教材整理直接证明阅读教材P82～P84“练习”以上部分，完成下列问题.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.1.综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.(2)推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论.2.分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.(2)推证过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件.1.判断正误：(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)证明不等式“2＋7<3＋6”最合适的方法是分析法.( ) (4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2.命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝1＋cos 2θ2－1－cos 2θ2＝cos 2θ”应用了________(填“综合法”或“分析法”).【解析】 从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.【答案】 综合法3.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件为________.【导学号：01580044】【解析】 要证∠A 为钝角，只需证cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0即可，也就是b2＋c 2<a 2.【答案】 b 2＋c 2<a 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________解惑：____________________________________________[小组合作型]综合法的应用(1)在△ABC中，已知cos A cos B>sin A sin B，则△ABC的形状一定是__________.(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m－n|＝__________.(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)；②a(1－a)≤14；③ba＋ab≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________.【自主解答】(1)∵cos A cos B>sin A sin B，∴cos A cos B－sin A sin B>0，∴cos(A＋B)>0，即cos(π－C)>0，∴cos C<0，又0<C<π，∴π2<C<π，所以△ABC是钝角三角形.(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，x1＝12，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.设公比为q，则x4＝x1q3，∴4＝12·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝92，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝32.(3)①a2＋b2＋3＝a22＋32＋b22＋32＋a22＋b22≥2a22×b22＋2a22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立). ②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立.④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.【答案】 (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1.综合法处理问题的三个步骤2.用综合法证明不等式时常用的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0).[再练一题] 1.综合法是( ) A.执果索因的逆推证法B.由因导果的顺推证法C.因果分别互推的两头凑法D.原命题的证明方法 【答案】 B分析法的应用设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ).【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键. 【自主解答】 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )， 即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.综上所述，不等式成立.1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.[再练一题]2.已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. 【导学号：01580045】【证明】 由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab >1，即1b －1a >1，这是已知条件，所以原不等式得证.[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【精彩点拨】 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决.【自主解答】法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b ＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b ＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，即a2＋c2－b2＝ac成立.∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立. 法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2ac cos 60°.所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.[再练一题]3.设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .【证明】 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ， 只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1). 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy 成立.1.已知x >0，y >0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为______________. 【解析】 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝xy 3.∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立. 【答案】 32.如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是__________. 【解析】 要使a a >b b ， 只需使a >0，b >0，(a a )2>(b b )2， 即a >b >0. 【答案】 a >b >03.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________，即证__________.由于__________显然成立，因此原不等式成立.【解析】 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥04.设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________.【导学号：01580046】【解析】因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以1a ＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2cb·bc＋2ca·ac＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立. 【答案】95.已知a>0，b>0，试用分析法证明不等式ab＋ba≥a＋b.【证明】要证原不等式成立只需证：a a＋b b≥ab(a＋b)，即只需证(a)3＋(b)3≥ab(a＋b)，只需证(a＋b)(a－ab＋b)≥ab(a＋b)，只需证a－ab＋b≥ab，即(a－b)2≥0，而上式显然成立，故原不等式得证.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：打印版本(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________高中数学。