高二数学组合1
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识.doc
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识高中数学排列组合公式大全1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m高中数学排列组合公式记忆口诀加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。
归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合专题课(1)课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
四．组合与组合数 (1)组合：
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 ． (2)组合数： 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的 个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素组的合数 ，记 作 Cmn .
五．排列数、组合数的公式及性质
排列组合专题课（1）
一、两个计数原理 分类加法计数原理
完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种 不同的方法,在第2 类办法中有m2种不同的方法…… 在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事 共有:N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 分步乘法计数原理：
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不 同的方法,做第2 步有m2种不同的方法……做第n步有 mn 种 不 同 的 方 法 , 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.
对于不相邻问题，常用 “插空法”
变式：某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类 店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划， 要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数 为（ ） 解析：先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃 类店铺的5个空位选2个进行排列，
故排出的摊位规划总个数为 A44A25 =480
n，m∈N*且 m≤n
典例探究
合理分类与分步
例1:某学校需从3名男生和2名女生中选出4人,分派到甲、 乙、丙三地参加义工活动,其中甲地需要选派2人且至少有 1名女生,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法的 种数是 ( ) (A)18 (B)24 (C)36 (D)42
解析:由题设可分两类:
高二数学选修一公式知识点总结
高二数学选修一公式知识点总结在高二数学选修一课程中，我们学习了许多重要的数学公式。
这些公式在解决各种问题和计算中起着关键的作用。
下面将对其中一些重要的公式进行总结。
一、函数与图像相关的公式1. 一次函数的一般式：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
该公式描述了一条直线的方程形式，可以用来求解直线的性质以及与其他函数的交点等问题。
2. 二次函数的一般式：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a不等于0。
该公式描述了二次函数的方程形式，可以用来求解二次函数的顶点、判定函数的开口方向和对称轴等性质。
3. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，(a, b)表示圆心的坐标，r为半径。
该公式描述了圆的方程形式，可以用来求解圆的性质，如半径、圆心和与其他函数的交点等。
二、三角函数相关的公式1. 基本三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：sinθ = y / r- 余弦函数（cos）：cosθ = x / r- 正切函数（tan）：tanθ = y / x2. 三角函数的基本关系：- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ- 三角函数的平方和恒等式：sin^2θ + cos^2θ = 13. 和差化积公式：- 正弦函数的和差化积公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ - 余弦函数的和差化积公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ三、导数与微分相关的公式1. 导数定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h导数表示函数在某一点的变化率，可以通过导数求解函数的最值、切线方程等问题。
2. 基本导数公式：- 常数的导数：(k)' = 0- 变量的导数：(x)' = 1- 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)- 三角函数的导数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x- 指数函数的导数：(e^x)' = e^x，(a^x)' = a^xlna（其中a为常数）3. 微分公式：- 微分的定义：df(x) = f'(x)dx- 微分和导数的关系：dy = f'(x)dx通过掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用数学知识。
高中数学组合优秀教案
高中数学组合优秀教案
主题：组合数
主要内容：组合数的概念及性质，组合数的运算法则，组合数在实际问题中的应用
一、学习目标
1. 理解组合数的概念和性质。
2. 掌握组合数的运算法则。
3. 能够灵活运用组合数解决实际问题。
二、教学重点
1. 组合数的定义和性质。
2. 组合数的运算法则。
3. 实际问题中组合数的应用。
三、教学难点
1. 灵活运用组合数解决实际问题。
2. 深入理解组合数的概念和性质。
四、教学过程
1. 导入：通过一个有趣的问题引出组合数的概念，让学生产生兴趣。
2. 授课：讲解组合数的定义和性质，介绍组合数的运算法则。
3. 拓展：通过练习让学生掌握组合数的运算技巧。
4. 应用：通过实际问题让学生灵活运用组合数解决问题。
5. 总结：回顾本节课的内容，强调组合数在数学中的重要性。
五、教学反馈
1. 布置作业：留作业巩固学习成果。
2. 点评作业：对学生的学习情况进行评价，及时纠正错误。
3. 反馈教学：根据学生的反馈对教学方法进行调整，提高教学效果。
六、教学资源
1. 教材：《高中数学》
2. 辅助教材：《高中数学组合数专题讲义》
3. 多媒体教学设备：电脑、投影仪
七、教学评估
1. 学生态度：学生是否主动参与课堂活动。
2. 学生表现：学生是否能够熟练运用组合数解决问题。
3. 教学效果：学生是否能够掌握组合数的相关知识和技能。
人教A版高二数学选修 排列组合应用(1)-1教案
教案知人者智，自知者明。
《老子》关注本店铺，下次再找不迷路师院附中李忠海知识概要二、核心内容复习回顾知识点（1）分类加法计数原理（2）分步乘法计数原理（3）排列、组合的概念（4）排列数和组合数公式例6把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____种.分析：设5件不同产品分别为：A,B,C,D,E 因为要求AB相邻，AC不相邻，所以将AB看成一个元素，第一步先将AB整体和D,E看成三个元素全排列，第二步再将C插空321 32336A A A∴⋅⋅=例7甲、乙、丙、丁等7人排成一排，要求甲在中间，乙、丙相邻，且丁不在两端，则不同的选法共有____种．（用数字作答）分析：这道题目可以看成有2个特殊元素乙丙整体和丁，解法1：从乙丙整体优先入手考虑分为2类，第一类乙丙整体在内部，1213 222348C A C A⋅⋅⋅=第二类乙丙整体在两侧，1213223372C A C A⋅⋅⋅=1213 2223+C A C A∴⋅⋅⋅12132233120C A C A⋅⋅⋅=解法2：从丁优先入手考虑分为2类，第一类丁在C或E位置，1123 232372C C A A⋅⋅⋅=第二类丁在B或F位置，1123222348C C A A⋅⋅⋅=甲【素材积累】1、黄鹂方才唱罢，摘村庄的上空，摘树林子里，摘人家的土场上，一群花喜鹊便穿戴着黑白相间的朴素裙裾而闪亮登场，然后，便一天喜气的叽叽喳喳，叽叽喳喳叫起来。
2、摘湖的周围有些像薄荷的小草，浓郁时，竟发出泥土的气息！仔细看几朵小花衬着绿绿的小草显得格外美丽。
夏天，大大的荷叶保护着那一朵朵娇粉的荷花。
摘整个湖泊中格外显眼。
如果你用手希望对您有帮助，谢谢来捧一捧这里的水，那可真是凉爽它会让你瞬间感到非常凉爽、清新。
【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
他曾尝试吃过蚯蚓、蜥蜴，在墨西哥斗牛场亮过相，闯荡过非洲的原始森林，两次世界大战都上了战场。
高二数学选修一重点知识归纳
高二数学选修一重点知识归纳数学作为一门学科，对于高中生来说是一门必修课程，而在高二阶段，学生们将开始接触更加深入的数学知识。
在高二数学中，选修一是数学课程中的一部分，本文将对高二数学选修一的重点知识进行归纳总结。
一、函数与方程1. 函数的概念和性质函数是自变量和因变量之间的一种关系，可以用函数的定义域、值域和图象来描述。
常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
2. 一次函数一次函数的一般式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线的截距。
学生需要掌握如何通过给定的两个点求直线的方程以及如何绘制直线的图象。
3. 二次函数二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
学生需要了解二次函数的图象特点，包括开口方向、顶点坐标、对称轴以及零点等。
4. 指数函数与对数函数指数函数的一般式为y = a^x，其中a为常数且a > 0，且a ≠ 1。
对数函数是指数函数的反函数，常用的对数底有e、10以及2。
学生需要了解指数函数与对数函数的基本性质和图象特点。
5. 方程与不等式的解法学生需要掌握一元一次方程、一元二次方程以及一元一次不等式和一元二次不等式的解法，包括使用平方根法、配方法、因式分解、根的判别式等。
二、数列与数列求和1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一组数，可以有等差数列、等比数列等。
学生需要了解数列的通项公式、前n项和等重要概念，并能够灵活应用。
2. 等差数列等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
学生需要了解等差数列的概念、性质以及与等差数列相关的常见问题的解法。
3. 等比数列等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
学生需要了解等比数列的概念、性质以及与等比数列相关的常见问题的解法。
4. 数列求和学生需要了解数列求和的方法和公式，包括等差数列的前n项和公式以及等比数列的前n项和公式。
高二数学排列组合专题训练（一）
⾼⼆数学排列组合专题训练（⼀）⾼⼆数学“排列组合”专题训练（⼀）班级姓名学号⼀．选择填空题1．从编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的11个球中，取出5个⼩球，使这5个⼩球的编号之和为奇数，其⽅法总数为（ C ）（A ）200 （B ）230 （C ）236 （D ）2062. 从{1、2、3、4、…、20}中任选3个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有（ B ）（A ）90个（B ）180个（C ）200个（D ）120个3兰州某车队有装有A ，B ，C ，D ，E ，F 六种货物的卡车各⼀辆，把这些货物运到西安，要求装A 种货物，B 种货物与E 种货物的车，到达西安的顺序必须是A ，B ，E （可以不相邻，且先发的车先到），则这六辆车发车的顺序有⼏种不同的⽅案（ B ）（A ）80 （B ）120 （C ）240 （D ）3604. ⽤0，1，2，3，4这五个数字组成⽆重复数字的五位数，其中恰有⼀个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ C ）（A ）48 （B ）36 （C ）28 （D ）125. 某药品研究所研制了5种消炎药,,,,,54321a a a a a 4种退烧药,,,,4321b b b b 现从中取出两种消炎药和⼀种退烧药同时使⽤进⾏疗效实验，但⼜知,,21a a 两种药必须同时使⽤，且43,b a 两种药不能同时使⽤，则不同的实验⽅案有（ D ）（A ）27种（B ）26种（C ）16种（D ）14种6. 某池塘有A ，B ，C 三只⼩船，A 船可乘3⼈，B 船可乘2 ⼈，C 船可乘1 ⼈，今天3个成⼈和2 个⼉童分乘这些船只，为安全起见，⼉童必须由成⼈陪同⽅能乘船，他们分乘这些船只的⽅法共有（ D ）（A ）120种（B ）81种（C ）72种（D ）27种7. 将5枚相同的纪念邮票和8张相同的明信⽚作为礼品送给甲、⼄两名学⽣，全部分完且每⼈⾄少有⼀件礼品，不同的分法是（ A ）（A ）52 （B ）40 （C ）38 （D ）118. ⽤1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（ D ）A.360个B.180个C.120个D.24个解：因为3+4+5+6=18能被9整除，所以共有44A =24个.9. 4名男⽣3名⼥⽣排成⼀排，若3名⼥⽣中有2名站在⼀起，但3名⼥⽣不能全排在⼀起，则不同的排法种数有（ A ）（A ）2880 （B ）3080 （C ）3200 （D ）360010. 在5付不同⼿套中任取4只，4只⼿套中⾄少有2只⼿套原来是同⼀付的可能取法有（ C ）(A) 190 (B) 140 （C ）130 （D ）3011．将某城市分为四个区(如图)，需要绘制⼀幅城市分区地图，现有5种不同颜⾊，图中①②③④，每区只涂⼀⾊，且相邻两区必涂不同的颜⾊(不相邻两区所涂颜⾊不限)，则不同的涂⾊⽅式有( A )A.240种B.180种C.120种D.60种12．圆周上有16个点，过任何两点连结⼀弦，这些弦在圆内的交点个数最多有( C )A.A 164B.A 162A 142C.C 164D.C 162C 14213．20个不同的⼩球平均分装到10个格⼦中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取⾃同⼀格⼦中，则不同的取法⼀共有（ B ）A.C 510B.C 520 C.C 510C 12 D.A 210A 12 14．从6双不同的⼿套中任取4只，其中恰好有两只是⼀双的取法有（ B ）A.120种B.240种C.255种D.300种15．某⼈练习射击，射击8枪命中4枪，这4枪中恰好有3枪连在⼀起的不同种数为（ D ）A.72B.48C.24D.2016．某博物馆要在20天内接待8所学校的学⽣前去参观，其中⼀所学校因⼈数较多要连续参观3天，其余学校只需要1天，在这20天内不同的安排⽅法为（ C ）A.C 320A 717B.A 820C.C 118A 717D.A 1818种⼆．填空题17.商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有__33_种不同的选法；要买上⾐、裤⼦各⼀件，共有_270_种不同的选法．18.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数排成三横三纵的⽅阵，要求每⼀竖列的三个数从前到后都是由从⼩到⼤排列，则不同的排法种数是_1680 _19.过正⽅体的每三个顶点都可确定⼀个平⾯，其中能与这个正⽅体的12条棱所成的⾓都相等的不同平⾯的个数为 8 个 20.3名⽼师带领6名学⽣平均分成三个⼩组到三个⼯⼚进⾏社会调查，每⼩组有1名⽼师和2名学⽣组成，不同的分配⽅法有 540 种。
高二数学难点《排列组合》题型大全
高二数学难点《排列组合》题型大全1.排队问题1.你帅，你帅，你天下最帅，头顶一窝白菜，身披一条麻袋，腰缠一根海带，你以为你是东方不败，其实你是傻瓜二代。
2你的一笑，狼都上吊，你的一叫，鸡飞狗跳，你的一站，臭味弥漫，你一出汗，虱子灾难，你不打扮，比鬼难看，你一打扮，鬼吓瘫痪7人站成一排拍照，共有______种排法.答案：(1)甲必须站在中间的排法_______种. 答案：(2)甲、乙两人必须站在两端的排法_______种. 答案：(3)甲、乙两人必须相邻的排法_______种. 答案：(4)甲、乙不能相邻的排法_______种. 答案：(5)若甲、乙、丙三人必须相邻的排法______种. 答案：(6)其中3人站在前排，4人站在后排的排法_______种. 答案：(7)其中甲、乙、丙站前排，其余4人站后排的排法_______种. 答案：(8)甲、乙不能站两端的排法_______种. 答案：(9)甲、乙均不与丙相邻的排法_______种. 答案：，即分丙站两端和丙不站两端计算(10)最高者站中间，其余6人按从中间到两端依次降低站在两边的排法_______种. 答案：(11)若甲、乙、丙顺序一定，则共有_______种排法. 答案：3377A A (12)若7人站成一圈，有_______种站法. 答案：（固定起点）或777A 2.几何问题 直线、线段、有向线段、射线、弦问题、平面个数、交线条数、交点个数、对角线条数、四面体个数(1)从-11,-7,0,1,2,3,5这七个数中每次选三个作为直线的系数，，C ，且斜率小于0的直线有_______条.答案：70(2)平面内有10个点，可确定_______条线段，_______条有向线段. 答案：(3)空间八个点最多确定_______个平面，_______个四面体. 答案：(4)平面内n 条线段最多有_______个交点. 答案：(5)空间n 个平面最多有_______条交线. 答案：(6)以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有_______个. 答案：(7)以正方形的四个顶点、四边中点、中心共九个点中的三个点可作_______个三角形. 答案：76，即(8)四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同取法有_______个. 答案：33，即(9)正方体有_______对异面的棱;棱与对角线异面的有_______对；_______对异面的面对角线；面对角线与体对角线异面的有_______对. 答案：24；24；30；24（10）如果∠AOB 的两边上分别有3个点和4个点，则过这八个点(含点)可作_______个三角形. 答案：42，即，先算不含的，再算含的，（11）从正方体的六个面中选三个面，其中有两个面不相邻的选法_______个. 答案：12（12）过圆周上的2n 个等分点可作_______个直角三角形. 答案：（13）从正四面体的四个顶点及各棱中点共10个点中，任取4个不共面的点的取法有_______种. 答案：141，即3.概率问题（去序法）（1）5名运动员参加100米跑，如每人到达终点的顺序各不同，则甲比乙先到达终点的可有 ________种. 答案：60，即255A （2） A 、B 、C 、D 、E 五人站在一排，若A 必须站在B 的左边（A 、B 可以不相邻），那么不同的排法有_______种. 答案：60，即255A （3）用1、2、3、4、5可以组成_______个无重复数字的三位数，偶数有_______个. 答案：60；24，即4.人民币币值:（通法1：按最大币值考虑;通法2：按每种币值的的拿法考虑）（1）现有壹元、贰元、伍元、拾元人民币各一张，可组成_______种币值. 答案：15，即（2）有1角硬币3枚，贰元币6张，百元币6张，共组成_______种币值. 答案：195，（3）有壹元、贰元、拾元人民币数张，现要支付20元，有_______种支付方法. 答案：18（4）有壹元硬币6枚，伍元币3张，拾元币3张，伍拾元币3张，可组成_______种不同的币值. 答案：201（5）现有壹元币一张、贰元币两张、伍元和拾元人民币各一张，可组成_______种币值. 答案：205.集合映射个数问题（1）集合有个元素，则集合的子集中含有3个元素的集合有_______个；集合共有_______个子集；_______个真子集. 答案：（2）集合，集合，则从→的映射有_______个，从→的映射有_______个. 答案：（3）若集合，，则从A →B 的映射有_______个. 答案：（4）若集合,，若中不同的元素在中有不同的象，则这样从A →B 的映射有_______个. 答案：60，即（5）集合，，则中的元素在中都有原象的映射有_______个. 答案：（6）,映射:→，则使的映射有_______个. 答案：7（7），，对中任意元素x ，使均为偶数，则从→映射有_______个. 答案：126.多面手问题(1)9名翻译中，6人懂英语，4人懂日语，既懂英语又懂日语的1人，从中选3名英语，2名日语，有多少种不同选法. 答案：90，即按多面手分类：；按英语翻译分类：(2)11名工人，5人只会排版，4人只会印刷，2人都会，选出4人排版，4人印刷，有多少种不同选法. 答案：185，即按排版工人情况：7.约数问题(1)12有______个约数，60有______个约数（含1和其本身）. 答案：6；12(2)一个正整数的最大约数为24，则它有______个约数. 答案：8(3)数2n ×3m ×有____________个约数. 答案：8.分组分配问题（平均分组、部分均匀分组、非均匀分组）6本不同的书分给3个人，按以下要求有多少种不同的分法？（1）平均分给甲、乙、丙三人；答案：（2）分成三份，每份两本；答案：33222426A C C C（3）分给甲一本，乙两本，丙三本；答案：（4）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；答案：（5）分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；答案：（6）分给甲四本，乙、丙各一本；（7）分成三份，一份四本，其余两份各一本; 答案：22111246A C C C 或 （8）分给三个人，一人四本，其余两人各一本；答案：或或2233111246A A C C C （9）分给甲乙丙三人，每人至少一本. 答案：++9.空位连续问题(1)一人射击8枪，4枪命中，其中3枪连在一起的方法有______种. 答案：20，即(2)停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需停放，要求空位连在一起，则停车方法______.答案：9(3)马路上有8盏路灯，为省电，可熄灭其中的3盏，但不能连续熄灭两盏，两头的灯不能熄灭，则熄灭的方法有______种. 答案：4，即(4)在一块并排10垄的田地种，选择两垄分别种植2种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物之间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有______种. 答案：1210.贺卡问题（1） 标号为1、2、3的卡片放入标号为1、2、3的三个盒子里，且每个盒子的标号与卡片标号均不同的放法有______种. 答案：2（2） 室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有______种. 答案：9，即（3） 数字为1、2、3、4、5填到标号为1、2、3、4、5的格子里，且所填数字与其格子的标号均不同的填法有______种. 答案：44，即递推式D （n ）=(n-1)[D(n-1)+D(n-2)](4)某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁中选出三人分别担任班长、书记和宣传委员，规定上届任职的甲、乙、丙不能连任原职，则不同的任职方案______种. 答案：1111.巧插“隔板”问题（特点：要分配的元素是没有差别的）(1)要从6个班选出10个人参加校篮球比赛，每班都要有人参加的选法有______种. 答案：(2)方程的正整数解的个数，自然数解的个数各多少？答案：（）(3)将10个相同的球放入9个不同的盒子，且每盒都不空的放法有_____种，放入6个不同盒子有_____种. 答案：(4)将10个相同的球放入3个不同的盒子，盒子的编号为1、2、3，要使放入的球输不小于编号数的放法有_____种. 答案：12.数字问题常识：最高次位不能为0；奇数、偶数取决于末位是否被2整除；若一个正整数每一位上的数字之和能被3整除，则此数能被3整除；末位数为0和5的整数可被5整除.用0、1、2、3、4、5这六个数，（1）可以组成多少个五位数；答案：（2）可以组成多少个无重复数字的五位数；答案：（3）可以组成多少个无重复数字的五位奇数；答案：（4）可以组成多少个无重复数字的五位偶数；答案： （5）可以组成多少个比32000大的无重复数字的五位数；答案： （6）可以组成多少个比32451大的无重复数字的五位数；答案： （7）可以组成多少个能被5整除的无重复数字的五位数；答案： （8）可以组成多少个能被25整除的无重复数字的五位数；答案： （9）可以组成多少个能被3整除的无重复数字的五位数；答案： （10）可以组成多少个能被6整除的无重复数字的五位数；答案： （11）可以组成多少个能被4整除的无重复数字的五位数；答案： （12）求组成的无重复数字的五位数的个位数字之和；答案： （13）求组成的无重复数字的五位数的和. 13. 鞋子成双、单只问题（技巧：先取“双”，再取“只”） 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任取4只，求满足下列要求的情况数 (1)4只没有成双；答案：，即 (2)4只恰成两双；答案：45，即 (3)4只鞋子2只成双，2只不成双；答案：1440， 14.球队比赛问题 双循环赛（排列）、单循环赛（组合）、淘汰赛、对抗赛 (1)4支队进行淘汰赛以决出冠军共举行______场比赛. 答案：3 (2)现有8支球队，平均分成2个小组，每组4支队分别举行双循环赛决出前两名，再由他们举行淘汰赛决出冠军，共举行______场比赛. 答案：27，即 15.涂色问题（技巧：先涂相邻区域多的，该分类时再分类）(1)将3种颜色涂在如图方格中，相邻不涂相同颜色。
新课标高二数学选修一
新课标高二数学选修一新课标高二数学选修一课程是高中数学教育的重要组成部分，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
以下是本课程的一些主要内容和学习要点：一、课程目标1. 加深对数学概念的理解，掌握数学基础知识和基本技能。
2. 培养学生的抽象思维、逻辑推理和空间想象能力。
3. 通过解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二、课程内容1. 函数与方程：深入学习函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等，以及方程的求解方法。
2. 不等式：掌握不等式的解法，包括线性不等式和非线性不等式的解法。
3. 数列：学习数列的基本概念，包括等差数列、等比数列、数列的极限等。
4. 解析几何：研究平面上的曲线和曲面，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
5. 立体几何：学习空间图形的性质，包括多面体、旋转体等。
6. 概率与统计：了解概率的基本概念，学习统计数据的收集、处理和分析方法。
三、学习方法1. 积极参与课堂讨论，主动思考问题。
2. 完成课后习题，巩固所学知识。
3. 定期复习，避免遗忘。
4. 利用网络资源，拓宽学习视野。
四、课程评估1. 课堂表现：包括课堂参与度和讨论的积极性。
2. 作业完成情况：作业的准确性和及时性。
3. 期中和期末考试：测试学生对课程内容的掌握程度。
五、课程总结通过本课程的学习，学生不仅能够掌握数学的理论知识，而且能够提高解决实际问题的能力。
数学选修一课程为学生提供了一个全面、深入的数学学习平台，有助于学生在未来的学术和职业生涯中取得成功。
希望每位同学都能在本课程中获得宝贵的知识和技能，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
高中数学人教版组合教案
高中数学人教版组合教案
主题：组合
一、教学目标
1.了解组合的概念和性质。
2.学习组合的计算方法。
3.掌握组合问题的应用技巧。
二、教学内容
1.组合的基本概念和性质。
2.组合的计算方法和公式。
3.组合问题的解决方法和应用。
三、教学重点和难点
重点：组合的基本概念和计算方法。
难点：组合问题的应用技巧。
四、教学过程
1.导入：引入组合问题的背景及相关实例，激发学生学习兴趣。
2.讲解：介绍组合的概念、性质和计算方法，并演示相关例题。
3.练习：布置一定数量的练习题，引导学生独立解题，并进行讲解和讨论。
4.应用：引导学生运用组合知识解决实际问题，拓展学生思维。
5.总结：总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
六、作业布置
1.完成课堂练习题。
2.独立解答一定数量的组合问题，并写出解题过程。
七、教学反思
通过本节课的教学，学生对组合的概念和计算方法有了更深入的理解和掌握，同时培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。
需要引导学生关注组合问题的应用，提高其数学思维和实际应用能力。
高二数学(选修人教B版)组合(1)
排列是先选后排， 组合是只选不排.
组合数 从n个不同元素中，任意取出 m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个 元素的组合数，用符号 Cmn 表示.
如“从甲、乙、丙、丁共4名志愿者中任选2人去图书馆参加
志愿服务”的组合数表示为 C24 .
问题 从甲、乙、丙、丁共4名志愿者中任选2人，分别参加
组合数的两个性质
性质1 Cmn =Cnnm.
1.反映了组合数的对称性；
例如
C28 30
=C33002
=C320
2.作用：为了简化计算，当 m n 时，
通常将计算 Cmn 化为 Cnnm.
2
= 30 29 2 1
= 435.
C30 31
=C131
=
31.
典型例题
例4 一个口袋里装有7个不同的白球和一个红球，从口袋
C85
87654 5 4 3 2 1
=
876 3 2 1
=
C83
，
C180
10 9 8 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 2 1
= 10 9 2 1
= C120
，
C96 100
4！1009！6！=
100 99 98 4 3 2 1
97
=
C4 100
.
.
3.计算： C22 +C32 +C42 + +C1200.
5个球即可，不同取法的种数是
C57
=C72
=
7 2
6 1
=21.
典型例题
例4 一个口袋里装有7个不同的白球和一个红球，从口袋
中任取5个球
高二数学选修一北师大版
高二数学选修一北师大版高二数学选修一北师大版一、解析几何1.定义：解析几何又称坐标几何，是以几何图形的研究为基础，使用坐标系定位图形的方法，将几何问题转化到代数的数学领域。
2.单元线段:单元线段是构成坐标系的基本元素，其中包含着两个相互垂直的单元线段，也就是X 和 Y 轴，每个单元的长度都是1。
3.坐标平面：坐标平面上的几何图形可以用一个统一的方法用坐标表示、描绘，因而十分方便，它是由单元线段构成的网格，经过特殊处理后可以对任意点进行坐标定位。
4.坐标函数：用坐标函数将几何图形表示出来，也叫几何函数，或者坐标表示律，它使用的是定义域、值域和函数图像等概念，它是圆、椭圆、抛物线、双曲线等几何图形的坐标表示法。
二、旋转几何1.定义：旋转几何是利用旋转变换来研究多边形、圆形和几何图形的数学分支，同时也涉及到把一个几何图形变换到另一个几何图形上。
2.图形旋转：定义域是一系列点，变换域也是一系列点，这两系列点可以用圆上的点和矩形上的点表示，这种变换称为旋转变换，它可以给定域的元素转化成变换域的元素。
3.旋转中心：旋转的中心是代表旋转的支点，它的坐标可以使用直角坐标系定义，也可以数学公式表示，此外它还可以构造做旋转时变换的角度。
4.旋转定理：旋转定理关注在旋转变换前和变换后，相应图形的关系，它提出了在变换前、变换后，两个相应边的长度不变、相应角的准则，以及当旋转中心不变时，内角不变。
三、不等式1.定义：不等式可以看作对不同大小的数之间的两个结果的一个数学条件，其中一边是等号，另一边是大于等于或小于等于的符号，是研究特定变量范围的一种研究方法。
2.不等式的分类：不等式可以分为一元不等式、二元不等式、中位数不等式等。
3.多项式不等式：多项式不等式是将一元多项式和不等式结合起来，主要是研究多项式的结果，了解多项式上所有根的范围，比如多项式与0的关系、多项式的相反数的关系。
4.不等式的解法：不等式的解法有图解法、解析法、代数法等，这些解法都是可以表示和求解不等式的方法，不同的不等式解法也可以综合起来，给出最终解法。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合(一)a23a高二23数学
12/13/2021
[解析] (1)C34＋C35＋C36＋…＋C32 019＝C44＋C34＋C35＋…＋C32 019－C44 ＝C45＋C35＋…＋C32 019－1＝…＝C42 019＋C32 019－1＝C42 020－1． 选 C． (2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·x－x－73！！4！＝5·xx－ －46！ ！， 则34x－！3＝x－5 6，即为(x－3)(x－6)＝40． ∴x2－9x－22＝0， 解之可得 x＝11 或 x＝－2． 经检验知 x＝11 是原方程的根，x＝－2 是原方程的增根． ∴方程的根为 x＝11．
12/13/2021
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4．方程 C1x4＝C21x4－4的解为 A．4 C．4 或 6
B．14 D．14 或 2
[解析]
由题意知2x＝x－24x－≤41，4，或x2＝x－144－ ≤124x，－4，
x≤14
x≤14，
解得 x＝4 或 6．
12/13/2021
(C )
互动探究·攻重难
12/13/2021
12/13/2021
命题方向 3
组合数性质的应用
典例 3 (1)计算 C34＋C35＋C36＋…＋C32 019的值为
A．C42 020
B．C52 020
C．C42 020－1
D．C52 020－1
(2)解方程：3Cxx－ －73＝5A2x－4．
(C )
[思路分析] 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程 与解不等式．
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名 幸运之星
D．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张
[解析] 只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺 序无关，是组合问题．
排列与组合习题课(1)导学案 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
排列与组合习题课（1）【学习目标】1. 通过结合具体实例，能区别排列与组合，并能利用排列组合知识解决有关排列组合的简单实际问题；2. 能够分析事件如何完成，并从不同角度解决同一个问题；3. 能正确理解“至多”、“至少”、“恰有几个”等关键词，合理利用直接法和排除法解决实际问题.【知识梳理】1、排列与组合的概念 名称定 义 排列从n 个不同元素中取出()m m n ≤个不同元素 组合2、排列数与组合数（1）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.（2）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.3、排列数、组合数的公式及性质 公式 （1）A m n =；（2）C m n =()!!!n m n m =-（*,n m ∈N ，且m n ≤）.特别地0C n =. 性质（1）0!= ；A n n = ；（2）C C m n m n n -=；11C C C m m m n n n -+=+.【学习任务】例1 （1）有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同的方法种数是多少？（结果用数值表示）（2）要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是多少？（结果用数值表示）例2 用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?【变式1】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个三位数?【变式2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位的偶数?【变式3】由0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正奇数?【变式4】用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_______个.(用数字作答)【变式5】用1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有多少个？例3 现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）若每个盒子都不空，有多少种不同的放法？（3）恰有一个盒子没放球，有多少种不同的放法？（4）恰有两个盒子没放球，有多少种不同的放法？（5）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种不同的放法？【小结】1. 如何区分排列问题和组合问题？2. 如何应用计数原理解决实际问题？3. 本节课你获得了哪些解决排列组合问题的方法？4. “至多”、“至少”、“恰有几个”等关键词如何转化？。
高二数学(理)《组合(1)：组合及组合公式》(课件)(1)
2 6
3 8 3 8 2 5
( 3)C C ; (4)3C 2C ;
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制作 17
2012年下学期
②求证：
m 1 m 1 C C n1 n1
m n
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2012年下学期
* 例2. 证明： (m、n N , m n)
《组合(1)：组合及组合公式》
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2012年下学期
探究1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学。 (1)选两名同学参一项活动, 有多少种 不同选法？ (2)若这两名同学分别参加上、下午的 一项活动, 又有多少种选法？
湖南长郡卫星远程学校 制作 17 2012年下学期
探究1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学。 (1)选两名同学参一项活动, 有多少种 不同选法？ (2)若这两名同学分别参加上、下午的 一项活动, 又有多少种选法？ 再请利用列举法, 对比(1)(2), 想一想两 问的方法有何区别与联系。
(1)C C
m n
n m n m n
;
m 1 n
( 2)C
m n1
C C
;
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制作 17
2012年下学期
例3. 甲、乙、丙、丁4个足球队举 行单循环赛，列出：
(1)所有各场比赛的双方；
(2)所有冠亚军的可能情况。
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2012年下学期
例4. 已知平面内A,B,C,D这4个点
2012年下学期
训练3. 学校开设了6门任意选修 课, 要求每个学生从中选学3门, 共有
多少种不同选法？
高中数学新教材苏教版高二课件 组合(1)
1.3 组 合（1）
苏教版2-3 高中数学
学习目标
1.理解组合及组合数的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决 简单的组合问题.
问题导学
知识点一 组合的概念 考察下面的两个问题：
1. 高二（1）班从甲, 乙, 丙这3名学生选2名学生代表，有多少 种不 同的选法？ 2. 从1，2，3这3个数字中选取2个数字，能构成多少个不同的集 合？ 思考：以上两个问题与排列问题有何区别？有何联系？
命题角度2 含组合数的方程 例 4 已知C1m5 －C1m6 ＝107C7m，求 Cm8 ＋C85－m.
解 ∵C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ， m！5－m！ m！6－m！ 7×7－m！m！ ∴ 5！ － 6！ ＝ 10×7！ ， 即m！55－ ！m！－m！6－6×m5！5－m！＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！. ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.
例 3 (1) 10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进
行___4_5__场次． (2)从 8 个人里选 4 个代表去开会，有___7_0__种选法．
(3)有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 3 名男医生、2 名女医生组
成一个医疗小组，则不同的选法共有__2_0_0__种．
A．24种 B．12种
C．10种
D．9种
5．男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同
的选法，其中女生有________人．
6. 不等式 C1n0－3<Cn10－2的解集为__________. 7．求等式C5n－C1＋n3－C3 3n－3＝159中的 n 值．
人教版高中数学必修二 组合与组合数(1)-课件
1
.
对于组合数的概念以及在应用时，需注意：
（1）组合数 Cmn 既表示一个结果，又表示一种运算.
（2）Cmn
A
m n
A
m m
n n 1 n m 1 m m 1 21
n!
n m!m!
（连乘）
（阶乘）
通 使常 用进 连行 乘具形体式计比算较，方或便组，合如数：CC120mn 中1m20较19小时4，5 .
（连乘形式）
n!
（2） Cmn
A
m n
A
m m
n m!
m!
n!
n m!m!
（阶乘形式）
特殊组合数：
（1）当
m
0
时，C0n
n! n!0!
1（注意
0! 1）；
（2）当 m 1 时，C1n
n! n n 1 !1!
；
结合具体问题来直观解 释这3个组合数的含义.
（3）当 m
n
时，Cnn
n! 0!n!
相对于问题（2），问题（1）也可以看作分成两步完成：
第一步，从3所学校中任取2所学校，即完成问题（2），
设有 x 种方法；
第二步，将选出的2所学校全排列，排列数为
A
2 2
.
根据分步乘法计数原理：方法数为 xA22 .
所以
A
2 3
xA22
，即：问题（2）的方法数
x
A32 A 22
.
事实上，问题（2）也是计数问题中的一种重要模型. 问题4：你能否类比排列的知识，从问题（2）中提炼出数学本质吗？
选出剩余（ n–m ）个对象的每一个组合是一一对应的.那
么，从n个不同对象中取出m个对象的组合数 Cmn ，与从n个
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m n
A nn 1n 2 n m 1 因此 C . A m! 这里n,m N,并且m n.这个公式叫做 组合
m n m n m m
数 公 式. m 因为 A n
n! , 所以, 上面的组合数公式 n m! n! m . 还可以写成 Cn m ! n m ! 7 例1 用计算器计算C10 .
例 3 1平面内有 10个点,以其中每2个点为 端点的线段共有多少条 ? 2平面内有10个点,以其中每2 个点为端点 的有向线段共有多少条 ? 解 1以平面内10个点中每 2 个点为端点的线 线的条数 , 就是从 10个不同的元素中取出 2 个元 素的组合数 , 即线段共有 10 9 2 C10 45条. 2
从排列与组合的定义可 以知道,两者都是从n个不同 元素中取出mm n个元素, 这是排列、组合的共同 点;它们的不同点是 , 排列与元素的顺序有关 , 组合与 元素的顺序无关 .只有元素相同且顺序也 相同的两个 排列才是相同的; 只要两个组合的元素相 同 ,不论 元 素的顺序如何 , 都是相同的组合 .例如 ab 与 ba 是两个 不同的排列 , 但它们却是同一个组合 . , 我们引进如下概念 : 类比排列问题 C是英文com bination 组合的 从n个不同元素中取出m m n个 第一个字母 , 组合 元素的所有不同组合的个数 ,叫做 数还可用符号 从n个不同元素中取出m个元素的
分析 对于1 根据题意 ,17名学员没有角色差异 , 地位完全一样 ,因此这是一个从 17个不同元素中 选出 11个元素的组合问题 ; 对于2 ,守门员的位置
是特殊的, 其余上场学员的地位没 有差异 ,因此 这是一个分步完成的组 合问题.
的学员上场方案有 C11 . 17 12 376种 2教练员可以分两步完成 这件事情 :
" 等式的两边是对同一问 题的两个等价解释 " 启发我们 ,如
4 果把C12 解释为 " 从12名学生中选出 4人参加某项活动的选 8 法种数" , 那么C12 可以解释为 " 让12 名学生中留下8人不参 加活动的选法种数 " ,由于留下8 人后其余 4 人就是参加活 8 动的 , 所以不参加活动的人员 选法种数 C12 就等于参加活 4 4 8 动的人员选法种数 C12 ,即有C12 有 98 件合格品 ,2 件次品.从这 100件产品中任意抽出 3 件. 1有多少种不同的抽法 ? 2抽出的3件中恰好有 1件是次品的抽法有多少 种? 3 抽出的3件中至少有 1件是次品的抽法有多少 种? 解 1所求的不同抽法的种数 , 就是从 100件产品中取 出3 件的组合数 , 所以共有 100 99 98 3 C100 161 700种 3 2 1 1 2从2件次品中抽出 1件次品的抽法有 C2, 从98件合格
探究 从甲、乙、丙 3名同学中选出 2名去参加 一项活动 , 有多少种不同的选法 ? 这一问题与上 一节开头提出的问题 1有什么联系与区别 ? 从3名同学中选出 2名的可能选法可以列举 如下 : 甲、乙 ; 甲、丙 ; 乙、丙.
上一节开头的问题 1 :" 从甲、乙、丙 3名同学中 选出 2 名去参加一活动 , 其中1 名参加上午的活 动,1 名参加下午活动 " , 由于 "甲上午,乙下午 " 与 "乙上午,甲下午 " 是 两种不同的选法 ,因此解决 这个问题时 ,不仅要从 3 名同学中选出 2名, 而且 还要将他们按照 " 上午在前 , 下午在后 " 的顺序排 列.这是上一节研究的排列 问题.
性质 2
C
m n 1
C C
m n
m 1 n
.
作业：P27(10--17)
；看图写话 https:/// 看图写话 ；
成/虽然似确定石门/但却丝毫抪与石头相似/"马开也发现/和欧奕对望咯壹眼/都到咯对方心中の震撼/能用道纹交织成实质の如此石门/真无法想象这确定何其人物能做到の/ "难道确定至尊/ 两人心中涌起咯这种可能/心头震咯震/和至尊扯上关系/绝对非凡/ 站到石门脚下/马开和欧奕等人如 同蝼蚁/虽然密密麻麻都满确定修行者到石门之下/但到石门の对比下/壹切都显得那么渺袅/ 很多修行者立到石门之下/它们各自涌动着自身の意和法/都冲向巨大の石门/ 石门到各种意冲击下/居然壹道道涟漪扩散开来/缓缓の融化/水波粼粼/ 这の马开惊讶无比/修行者の意居然能化开石门の 道和法/ 欧奕和马开直直の盯着面前の修行者/这些修行者每壹佫都驱动咯全力/意驱动/法冲击/符文交织/渗透到石门中/石门就如同碰到蜡烛到加热壹般/缓缓の化开/ 只抪过/这些修行者做这些也十分吃力/每壹佫额头都有着汗水涌动而出/甚至有壹些修行者面色扭曲/难过狰狞/ 到马开着这 壹幕准备细细观望时/壹佫声音响起来/让马开の目光吸引过去/马开/来の正好/和我们壹起出手化开这石门/" "金爪雀/马开着出声の青年/正确定引诱无数人前来这里の金爪雀/它此刻带着无数の年少才俊/壹起出手舞动着意境冲击石门/石门被波动出片片涟漪/缓缓化开/ 金爪却那佫方向/有 数抪胜数の年少俊才/很多都十分抪凡/甚至马开到抪少天机榜上の人/ 甚至/欧奕都咦咯壹声/说确定其中有天机榜地榜の存到/ 望着那壹道道滂湃の意境冲击而出/着数抪胜数の年少俊才/马开望着那石门更确定意外咯起来/这些年少才俊/抪少确定古族弟子/都很确定强悍/ "马开/壹起出手/ 化开这石门/"金爪雀见马开未曾有出手の意思/抪由继续催促/它知道马开の强悍/心想要确定有马开帮忙出手/绝对可以尽快化开这壹处石门/进入其中/ 石门很宽阔/现到到石门下抪知道有多少修行者/也抪知道有多少修行者出手到化开石门/ 石门の入口有很多/它们只确定占据到其中壹佫入 口而已/金爪雀想要尽快进入其中/这样才能争の先机/ 有马开帮忙驱动/无疑能让它们の速度加快抪少/ 马开没有回答金爪雀/而确定向杨慧杨宁/她们既然说这处密地和族中有关系/那就按照她们の意思办/ "少爷/要确定我们实力足够の话/可以自己找壹佫入口进入/这石门有很多入口/成千上 万/数抪胜数/谁化开の入口/谁就确定那佫入口の主人/成为主人有什么好处/马开好奇の询问/ 杨慧杨宁摇头/我们只知道这些/抪知道具体/但能成为主人/自然确定好の/" 马开点点头/着金爪雀壹群人/又咯自己和欧奕/有没有把握/ 欧奕着金爪雀那些人/它们汇聚咯抪少年少才俊/实力都很强 大/合力十分恐怖/舞动の意境冲击/浩荡无边/可确定它们显然也很吃力/ "可以尝试/"欧奕没有多说什么/回答马开道/ 金爪雀见马开还没有举动/出声大喊道/马开/壹起出手/我们壹起进入其中/得先机/能夺取好地方/到时候可以完好の隐藏我们の肉身/" 马开抪知道它说の可以完好の隐藏肉 身确定什么意思/但既然欧奕已经做决定/马开也抪会出手和金爪雀联手/ 到杨慧杨宁の找寻到/到石门壹处纹理交织の节点/她们告诉两人这同样确定壹佫入口/ 马开和欧奕没有多说话/都以自身の意境舞动而出/冲击向石门而去/ "开/" 欧奕出口喝道/意境玄妙/诡异非凡/有古魇禁地の气息/ 意境接触到石门/石门壹道道涟漪暴动开来/ 金爪雀原本要两人帮忙/可着马开居然自己找咯壹处开启石门/它微微愣咯愣/没有想到马开自傲到这种地步/居然想凭借着数人之力开启壹佫入口/它难道就真の如此自信? /// 为咯（正文第壹二九三部分两人出手） 第壹二九四部分石封 欧奕和马 开出手/浩荡の意境涌动而出/冲击向石门/石门到意境の冲击下/化开咯壹道道涟漪/如同要融化壹样/波光粼粼/ 而与此同时/马开感觉到石门壹股恐怖の意冲击而出/对抗它の意/这股意很强大/强大の让马开都色变/壹佫瞬间/马开舞动の意直接被轰碎/到马开の意消失间/原本马开化开の涟漪/ 这时候也消失/再次恢复咯石块/ 欧奕同样确定如此遭遇/这让它和马开对望咯壹眼/终于明白为什么看到很多修行者都咬着牙齿/神情苍白/原来这石门会暴动出意与之对抗/ "马开/你们数人妄想开启壹佫入口/那就确定你们数人要对抗这佫入口暴动出来の意/要确定和我们合作/大家都可以分 担/"金爪雀再次大喊道/ 马开没有听金爪雀の话/依旧和欧奕出手/暴动出自身の意/直逼石门而去/ "马开/你当自己确定至尊抪成?你们数人而已/破抪开の/"金爪雀大喊/觉得马开太过自负咯/ 马开什么话都没有说/沉浸到马开の意境中/浩荡の意境舞动/壹道都确定意境冲击而出/化作青莲/青 莲颤动/没入到石门中/石门化开壹道道涟漪/ 欧奕和马开联手/它同样暴动出奇异の《壹〈本读《袅说 /意/抪断配合/涟漪越化越大/浩荡颤动/ 马开感受到强大意冲击而来/这股意极其强大/冲向马开/马开以自身の意抵挡/抪断冲击石门/ 石门涌来の意真の很强大/就确定有欧奕分担/马开都 感觉到承受到它极限咯/要崩裂自身/ 但这并没有让马开惧怕/它反而大喜/意境冲击/和这涌动而来の意境交锋抪断/ 这确定壹种难得の磨练机会/马开抓到这佫机会/以意对抗/ 这种对抗比起真实の打斗还要凶险/但马开却直冲而上/抪断磨练自身/ 金爪雀舞动意境/同样余光看向马开/见马开 气势如同/整佫人如同壹柄利剑站到那/眉头也跳咯跳/马开居真の要凭借着两人之力化开入口/ 其它人见到这壹幕/都疑惑惊讶/心想这两佫人确定谁?居有这样の实力/要知道其它修行者/百佫强者都难以承受壹处借口入点の意境反攻/ 马开抪知道这些/它到感受着壹股股意境/以自身の意境抵 挡/石门重冲来の意境变幻莫测/时而冰寒/时而温热/时而刚猛/时而刁钻/// 这让马开疲于对抗/到最后马开也抪到避让/直接以自身の意冲击而去/青莲绽放/星空璀璨/九星合壹/剑芒迸射/直冲石门/ 这确定让人惊讶の天地异象/每壹佫人都吃惊无比/看着浩荡如同掌握壹处星空の马开/它们都 瞪圆咯眼睛/这意境太过恐怖咯/ 看着两人抪断化开节点/而身体纹丝抪动/众人心中の敬佩更浓/这两人居比起金爪雀这壹批人都抪差几分/ 金爪雀也心中震动/看着马开绽放の璀璨星空/望着青光闪闪の青莲意境/难以自制/这太过浩荡无边咯/强の让它都无法想象/ 金爪雀听闻马开能战宗王境 /之前还疑惑/可看着马开暴动出来の意境/觉得这并抪确定抪可能/这股意境超出咯它对法则境の认知/ 来此の修行者无数/每壹批都找寻入口/想要化开石门/ 但大多数人都失败咯/被逼抪得抪和别人合作/壹起开始化开石门/ 金爪雀等人确实非凡/到意境冲击下/石门缓缓化开/波光粼粼/开始 变の如同壹面水镜/十分晶莹剔透/ "大家再坚持壹把/很快就可以进去咯/"金爪雀见到大喜/声音徒壹涨/ 马开此刻完全沉浸到锻炼自身意境中/这确定壹次难得の机会/抪断の磨练印证之神/自身の法更确定霸道强大/超脱出各种意境の攻击/抪断の到增强/ 这种增强有人能感知到/因为它们发 现马开暴动出来の天地异象越来越汹涌澎湃咯/甚至到最后引得石门の涟漪都颤动起来/ 随着欧奕の配合/马开和欧奕壹起出手の地方/也开始化作壹面水镜/比起金爪雀丝毫抪差/ "这两人太强咯/居能做到这点/" "///" 或冷或热/或刚猛或绵柔の意境抪断の卷向马开/马开以自身の意冲击/到 这种磨练下/水镜越来越晶莹/让人惊叹抪已/ 此刻の马开/星空撑到咯极致/而这星空却又被壹株青莲包裹/闪动着让人心悸の青光/有至尊无敌之威势/浩荡冲向石门/石门波光粼粼/ "开/" 与此同时/金爪雀终于把石门化开/壹面光彩夺人の晶莹水镜出现/随着水镜出现/金爪雀大喜/忍抪住扭头 看向马开/却发现马开也化开咯大半/特别确定看到马开绽放の青光/内心颤动/ "它居能用此磨练自身?难道它到什么地方都可以修行抪成/ 金爪雀大骂/它听说过马开到和三佫准宗王境决斗服用雨雾圣液/借着打斗提升自己の事/现到又见马开以石门暴动の意境冲向自身/它难以想象/ 金爪雀轻 呼咯壹口气/没有多想/身影跃动/瞬加冲入到水镜中/随着它进入水镜/水镜顿时有无数の道纹涌动/把它包裹の牢牢稳稳/随后这些道纹化作石皮/彻底石封咯它/随后它到水镜中壹闪/消失抪见/ 众人没有反应过来/但见金爪雀如此/它们自抪会闲着/都各自暴动自身の速度/冲向水镜/ 欧奕此刻 看着站到旁边の杨慧杨宁/开口大喊道/动用你们意境/快要化开咯/此刻还抪出手/沾染抪上你们の意/你们无法进入其中/" 两囡点头/各自冲击出自�