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高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件1.3.4 三角函数的应用

问题导学
当堂检测
一、三角函数在物理学中的应用
活动与探究
表示电流 I 与时间 t 的关系式 I=Asin(ωt+φ) A>0,ω>0,0<φ<
π 2
的部分图象,如图所示.
问题导学
当堂检测
(1)根据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)I=Asin(ωt+φ)中的 t 在任意一段
1 秒的时间内都能使 100
3.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4 s 小球往复振动一次.
问题导学
当堂检测
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流随时间变化规律等问题中,此类问题中要弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法.
问题导学
当堂检测
二、三角函数在日常生活中的应用
活动与探究
如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 m,圆上最低点与地面的距离为 0.8 m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面的距离是 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数解析式,并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少? 思路分析:由题意得 h 与 θ 的三角函数关系,再由此函数关系得 h 与 t 的解析式.最后由三角函数的性质求 t 的值.
2π ��
1 − 60
-
1 300
=
1 . 50
故 ω= =100π,此时所求函数的解析式为 I=300sin(100πt+φ). ∵ 图象过点
2π 3 1 ,0 150 1 ,∴ 100π× +φ=kπ,k∈Z, 150

高中数学必修四三角函数PPT课件

01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为负。
02 三角函数诱导公式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数，即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数，即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利用同角关系式、诱导公式等求解
02
三角函数的图像与性质应用：判断单调性、周期性等
03
三角恒等变换的应用：证明等式、化简表达式等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直角或钝角）。

1.3.4三角函数的应用 ppt课件(29张) 高中数学必修四苏教版

2．三角函数模型的应用应用三角函数模型解决实际问题，首先把实际问题抽象为数学问题，通过收集数据，画散点图，并分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．
试一试：结合例题归纳三角函数模型应用的步骤．提示步骤可记为：审读题意―→建立三角函数式―→用三角函数知识解答―→转化为实际问题．想一想：三角函数模型主要作为描述现实世界中怎样现象的模型？提示数学模型．三角函数模型主要作用为描述现实世界中周期现象的
2．三角函数模型应用流程 (1)审题：选用什么样的函数模型解题． (2)建模：根据题意，列出数量关系，建立三角函数模型． (3)解模：运用三角函数的相关公式进行化简． (4)还原：解模后还要根据实际问题的背景，进行检验，并作答.
题型一求函数解析式【例 1】如图所示，某地一天从 8～14 时的用电量变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b (0≤φ<2π) 代入上式，结合 φ 的取值范围解得 φ＝6. 所以所求解析式为
π π y＝10sin6x＋6＋40，x∈[8,14]．
规律方法
确定函数关系式 y＝A sin(ωx＋φ)＋b 就是确定其中
的参数 A，ω，φ 等，从图象的特征上寻找答案，A 主要由最值确定，ω 由周期确定，周期通过特殊点求得，如相邻两个最大、最小值点相差半个周期， φ 可由函数图象上的点的坐标及其取值范围求得．
名师点睛 1．用三角函数模型解决实际问题 (1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式．例如 y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要注意结合函数性质． (2)由图象研究函数性质：观察分析函数图象，先求单调性、奇偶性、对称性、周期性，然后再求最值、周期等． (3)利用三角函数研究实际问题：首先分析，归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解答出实际问题．

最新【苏教版】数学必修四：1.3.4《三角函数的应用》ppt课件

∴21cos
π 6 t＋1＞1.∴cos
π 6 t＞0.
∴2kπ－π2 ＜π6 t＜2kπ＋π2 ，k∈Z. 即 12k－3＜t＜12k＋3.③ ∵0≤t≤24，故可令③中 k 分别为 0，1，2，得 0≤t＜3 或 9＜t＜15 或 21＜t≤24. ∴在规定时间上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有 6 个小时可供冲浪者运动．
分析：根据图象求函数解析式，关键要把握图象与函数性质的关系，从而确定出相关的数值．
解析：(1)由图知，A＝300，12·T＝1180－－1900＝1510，
∴T＝715.∴ω＝2Tπ＝150π.
又∵sin150π·1810＋φ＝0，
而|φ|<π2 ，∴φ＝π6 .
∴I＝300sin150πt＋π6 . (2)∵t 在任一段1150秒内 I 能取到最大值和最小值，
分析：把数学问题与实际相结合，弄清条件，推导所求．
解析：(1)由表中数据，知周期 T＝12，
∴ω＝2Tπ＝21π2 ＝π6 .
由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5.①
由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.0.②
由①，②⇒A＝0.5，b＝1，∴振幅为12.∴y＝12cos
π 6 t＋1.
(2)由题知，当 y＞1 时才可对冲浪者开放，
变式训练
2．一个单摆如图所示，角(弧度)从竖直开始移动作为时间(秒)
的函数满足
f(t)＝12sin2t＋π2

.

(1)最初时角(弧度)是多少？
(2)频率是多少？
(3)多长时间单摆完成 5 次完整摆动？
π 解析：(1)当 t＝0 时，最初时角为 2 rad.
(2)f＝T1＝2ωπ＝2π2 ＝π1 .

三角函数的应用 ppt课件(40张) 高中数学必修四苏教版

三角函数在日常生活中的应用下表是某地1981～2013年月平均气温(单位：华氏)．月份 1 2 26.0 8 71.9 3 36.0 9 64.7 4 48.8 10 53.5 5 59.1 11 39.8 6 68.6 12 27.7
平均气温 2为 x 轴，x＝月份－1，以平均气温为 y 轴． (1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据． (2)这个函数的周期是多少？ (3)估计这个正弦曲线的振幅 A. (4)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据． y－ 46 y πx πx ① ＝ cos( )； ② ＝ cos( )； 6 6 A A y－ 46 y－ 26 πx πx ③ ＝ cos( )； ④ ＝ sin( )． 6 6 A －A (链接教材 P44 练习 T1)
解答与三角函数有关的应用题的程序 (1)审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过
阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型．有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．
1 1 π 5 解析：t＝ s 时，I＝5sin(100π× ＋ )＝ (A)． 200 200 3 2
3. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距 π 离 s cm 和时间 t s 的函数关系式为： s＝6sin2πt＋6 ，那
1s ．么单摆来回摆动一次所需的时间为 ________
[解 ]
(1)如图所示．
(2)1 月份的气温最低为 21.4，7 月份的气温最高为 73.0，根 T 据图知，＝ 7－ 1＝ 6，∴ T＝ 12. 2

高中数学第一章三角函数 1.3.4 三角函数的应用课件苏教版必修4.ppt

答案
返回
题型探究
重点难点个个击破
类型一三角函数图象的应用例1 (1)作出函数y＝|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间. 解 y＝|cos x|图象如图所示. 由图象可知：T＝π；y＝|cos x|是偶函数；单调增区间为－2π＋kπ，kπ，k∈Z，单调减区间为kπ，π2＋kπ，k∈Z.
答案
类型二三角函数模型在物理中的应用
例2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx ＋φ)＋b. (1)求这一天6～14时的最大温差；
解由图可知：这段时间的最大温差是20℃；
解析答案
(2)写出这段曲线的函数解析式.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 如图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)|φ|<π2
解问题等价于 T≤1100，即2ωπ≤1100，也即 ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.
解析答案
类型三三角函数模型在航海中的应用例3 某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数模型y＝Asin ωt＋B 的图象.
gl t＋π3，其中 g
g
是重力加速度，cm.
解析 T＝ 2πg＝1，∴ l
gl ＝2π，∴l＝4gπ2.
解析答案
4.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地
1 23 4
面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，

高中数学第一章三角函数1.3.4三角函数的应用(1)课件苏教版必修4

) A>0， 0 例1 已知函数 y A sin( x （）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式．
3
O

3
5 6

3
0 ）的例2 已知函数 y A cos( x )（ A>0 ， 0，最小值是 5 , 图象上相邻两个最高点与最低 5 点的横坐标相差 4 ,且图象经过点（0， 2 ），求这个函数的解析式．
高中数学必修4
复习提问
1．由函数 y sin x 的图象到图象 y A sin(x ) 的变换方法：方法一：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；方法二：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换． 2．如何用五点法作 y A sin(x ) 的图象？
3. A、、对函数 y A sin(x ) 图象的影响.
例3．函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平
1 移 2 个单位所得的曲线是 y sin x 的图象，试求
2
f(x)的解析式．
例4 求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x的集合． (1) y 1 cos(3x )
2 4
(2) y 4 sin 1 x
3 2
(3)
y sin x 2
内部文件，请勿外传
归纳小结
1．学生总结：请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有哪些？在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出． 2．师总结：由 y A sin(x ) 的图象求其函数式：一般来说，在这类由图不加限制(如A、ω 象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式 (这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中．常见的问题形式有：（1）由已知函数图象求解析式；（2）由已知条件求解析式．内部文ຫໍສະໝຸດ ，请勿外传内部文件，请勿外传

高中数学第一章三角函数 1.3.4 三角函数的应用课件

(3)经过多长时间小球往返振动一次？解 T＝22π＝π≈3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次.
(4)每秒内小球能往返振动多少次？解 f＝T1≈0.318，即每秒内小球往返振动约 0.318 次.
要点三构建函数模型解题例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
(2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)
都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？解依题意，周期 T≤1150，即2ωπ≤1510(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943.
规律方法例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式.此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.
跟踪演练 2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间 t(s)内离开平
衡位置(静止时的位置)的距离 h(cm)由下面的函数关系式表示：
h＝3sin2t＋π4.
(1)求小球开始振动的位置；
解令 t＝0，得 h＝3sinπ4＝322，
所以开始振动的位置为0，3

2
2 .

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；解由题意知，当 h＝3 时，t＝8π，即最高点为π8，3；当 h ＝－3 时，t＝58π，即最低点为58π，－3.
要点二应用函数模型解题例 2 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

高中数学 1.3.4 三角函数的应用配套课件苏教版必修4

课前自主导学
课堂互动探究
菜单
SJ·数学必修4
易错易误辨析
当堂双基达标
课时作业
教师备课资源
教学教法分析
教学方案设计
课前自主导学
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课时作业
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教学教法分析
教学方案设计
课前自主导学
课堂互动探究
达标
课一个周期内的图象．
图 1－3－13
前
课
自主
(1)试根据图象写出 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
时作
导
业
学课
(2)为了使 I＝Asin(ωt＋φ)中 t 在任意一段1100秒的时间内教
堂
师
互动
电流强度 I 能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么，正整
备课
探
资
究数 ω 的最小值是多少？
SJ·数学必修4
教
易
学
错
教
易
法分
●教学建议
误辨
析
析
在本课的教学中，建议教师
教
当
学
堂

苏教版必修4高中数学1.3.4《三角函数的应用》ppt课件2

第一章三角函数
§1.3.4 三角函数的应用
高中数学必修4·同步课件
引入课题
三角函数可以作为描述现实世界周期现象的数学模型.
1.气象学—— ①气温变化规律 ②月圆与月缺涨潮与退潮
2.航海—— 水深与船舶航行
引入课题
某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
潮汐对轮船进出港口产生什么影响？
m的安全间隙，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
7.若某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船
在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，
那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水
域？
9
8
7
6
5
P
4
3
2
1
2
4
6
8
10
12
课堂小结
现实问题
是否符合实际修改
现实模型的解
想一想
深入探索 5.选用一个适当的函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时间的水深近似值。
6.货船的吃水深度为4m，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
7.若某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:
00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那
还原说明
改
三角函数
造
模型的解数学方法
抽象现实模型概括
三角函数模型
解析式图形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。

高中苏教版数学必修4 第1章 1.3 1.3.4 三角函数的应用课件PPT

[答案]
2π (1)|ω|
2π (2)|ω|
π (3)|ω|
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3．某人的血压满足函数关系式 80
f(t)＝24sin 160πt＋110，其中 f(t)为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的 80.]
[∵T＝126π0π＝810，∴f＝T1＝
次数为________．
栏目导航
合作探究提素养
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(1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式； (2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时，用了多长时间？思路点拨：审清题意 → 建立函数模型 → 解答函数模型 → 得出结论
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[解] (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设 y＝ 40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为 12 分钟可知，当 t＝6 时，摩天轮第 1 次到达最高点，即此函数第 1 次取得最大值，所以 6ω＝π，即 ω＝π6.所以 y＝40.5－40cosπ6t(t≥0)．
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[解] (1)由图知，A＝300. T2＝1180－－9100＝1150， ∴T＝715，∴ω＝2Tπ＝150π. I＝300sin(150πt＋φ)．由－9100，0为第一个关键点，
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∴150π·－9100＋φ＝0，∴φ＝π6， ∴所求解析式为 I＝300sin150πt＋π6，t∈[0，＋∞)． (2)由题意 T≤1150，即2ωπ≤1150， ∴ω≥300π≈942.5， ∴所求 ω 的最小正整数值是 943.
提示：A，b 与函数的最大值 ymax，最小值 ymin 关系如下： (1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b； (2)A＝ymax－2 ymin，b＝ymax＋2 ymin.

高中数学苏教版必修四课件1.3.4 三角函数的应用

最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解依题意知，周期 T≤1150，即2ωπ≤1150(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，故所求最小正类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.
跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋π6 ). (1)画出它的图象；
1234
解析答案
3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小
球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数，
近似满足关系式α＝Asin(ωt＋ π2)，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，
α＝π3，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝
解答
(2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置多少？解小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？解小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要多少时间？解小球来回摆动一次需要1 s(即周期).

衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝ 3cos
gl t＋π3 ，其中g
g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝ 4π2 cm.
解析 ∵T＝ 2πg＝1， l
∴ gl ＝2π，∴l＝4gπ2.
1234
解析答案
2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝
跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面 2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；解设在t s时，摩天轮上某人在高h m处. 这时此人所转过的角为320πt＝1π5t，故在 t s 时，此人相对于地面的高度为 h＝10sin 1π5t＋12(t≥0).

高中数学三角函数的应用(第1课时)课件3 苏教版必修4

θ
太阳光
解：如图，A、B、 C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线 h0 时楼顶在地面上的投影点。要使楼房一层正午 B M A - 23°26′ 0° 23°26′ 的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为 - 23°26′。依题意两楼的间距应不小于MC。根据太阳高度角的定义，有
{
C
C 90 | 40 (23 26) | 26 34, h0 h0 所以，MC 2.000 h0 . tan C tan 26 23
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距。
变式题如果前面的楼房距你家要买的楼房 15m，两幢楼的高都是21m，每层楼高3m，为了使正午的太阳全年不被遮挡，你应该挑选哪几层的房子？（缙云的纬度是23° 28' ）解：设A、B为两幢楼所在的位置，楼顶C与点D的距离为h。
30 20 10
解:(1)由图可知,这段时间的最大温度差是20°C;
6
10
14
(2)从图中可看出,从6~14时的图象是函数 y A sin(x ) b 的半个周期的图象,故 A=(30-10)/2=10,b=(30+10)/2=20
x t/ h
1 2 14 6, . 2 8 3 将x=6,y=10代入上式,解得 4 3 ) 20, x [6,14]. 综上,所求解析式为 y 10 sin( x 8 4

90 | | .
δ 3. 如图 , 如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为 h0 设的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前地面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 球表分析：太阳高度角θ，楼高 h 与此时楼房在地面的投 0 面影长h之间有如下关系： h0 ＝h tan θ. 某根据地理知识，在北京地区，太阳直射北回归线时物地体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．因此，正为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳午直射南回归线时的情况．太

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1.3.4三角函数的应用 ppt课件(29张) 高中数学 必修四 苏教版

最新【苏教版】数学必修四：1.3.4《三角函数的应用》ppt课件

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高中数学 第一章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用课件 苏教版必修4.ppt