2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练48直线的倾斜角与斜率直线的方程理北师大版

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2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分48直线的倾斜角与斜率、直线的方程

开卷速查(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程2021年高考数学理新课标A 版一轮总复习开卷速查必修部分48直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选C.答案：C2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：直线l1的斜率角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.答案：D3．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，－2) B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)解析：因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b ＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A4．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.答案：A5．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B . ∵1B ＝－1，∴B ＝－1，故排除A 、D. 又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3， ∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3， ∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－ 3. 答案：B6．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，由图可知：－a >－52且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案：B7．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝08．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是__________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.答案：39．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为__________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 答案：1610．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B 2＝3，y ＋y B2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎨⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.B 级能力提升练11．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33 C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1 D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析：|AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33.答案：B12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( )A ．36B ．45C ．50D ．55 解析：由a n ＝1n (n ＋1)，可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，即n ＝9.∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)， ∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45. 答案：B13．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解析：由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ，设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)．即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 14．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解析：(1)证明：方法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．方法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎨⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2kk (1＋2k ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.20511 501F 借23105 5A41 婁29803746B 瑫32928 80A0 肠40157 9CDD 鳝%Z25060 61E4 懤23552 5C00 尀+{22743 58D7 壗v39179 990B 餋s。

2020高考数学理科大一轮复习课时作业：第八章平面解析几何课时作业48

课时作业48 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线x ＝π4的倾斜角等于( C ) A ．0 B.π4 C.π2D ．π解析：由直线x ＝π4，知倾斜角为π2.2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则( B ) A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ＝92D ．x ＝1解析：三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线⇒P A →∥PB →，P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，得1×(－10)＝－5(x －1)⇒x ＝3.故选B.4．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( B )解析：因为l 1：y ＝ax ＋b ，l 2：y ＝－bx ＋a ，由图B 可知，对于直线l 1，a >0且b <0，对于直线l 2，－b >0且a >0，即b <0且a >0，满足题意．故选B.5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( B )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( A )A ．8B ．2 2 C. 2D ．16解析：∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.7．(2019·郑州一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( A )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.二、填空题8．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为x ＋13y ＋5＝0.解析：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上的中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.9．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.10．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是[－2,2]．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．11．曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.12．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为( A )A ．3B ．2C ．2 3D ．9解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0,4)，B (3,0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P (x ，y )(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2x 3·y 4，当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy的最大值为3.故选A.13．已知过点P (4,1)的直线分别交x ，y 坐标轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△ABO 的面积为8，则这样的直线有( B )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：由题意可设直线的方程为x a ＋yb ＝1，因为直线过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1，①所以△ABO 的面积S ＝12|a ||b |＝8，②联立①②消去b 可得a 2＝±16(a －4)，整理可得a 2－16a ＋64＝0或a 2＋16a －64＝0.可判上面的方程分别有1解和2解，故这样的直线有3条．故选B.14．直线l 1与直线l 2交于一点P ，且l 1的斜率为1k ，l 2的斜率为2k ，直线l 1，l 2与x 轴围成一个等腰三角形，则正实数k 的所有可能的取值为24或 2.解析：设直线l 1与直线l 2的倾斜角分别为α，β，因为k >0，所以α，β均为锐角．由于直线l 1，l 2与x 轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：(1)当α＝2β时，tan α＝tan2β，有1k ＝4k1－4k 2，因为k >0，所以k ＝24；(2)当β＝2α时，tan β＝tan2α，有2k ＝2k1－1k 2，因为k >0，所以k ＝ 2.故k 的所有可能的取值为24或 2.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．直线y ＝m (m >0)与y ＝|log a x |(a >0且a ≠1)的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作垂直于x 轴的直线交y ＝kx (k >0)的图象于C ，D 两点，则直线CD 的斜率( C )A ．与m 有关B ．与a 有关C ．与k 有关D ．等于－1解析：由|log a x |＝m ，得x A ＝a m ，x B ＝a －m ，所以y C ＝ka －m ，y D ＝ka m ，则直线CD 的斜率为y D －y C x D －x C ＝ka m －ka －ma －m －a m ＝－k ，所以直线CD 的斜率与m 无关，与k 有关，故选C.16．(2019·襄阳五中一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是( D ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x 1＋3y 1－2＝0，x 2＋3y 2＋6＝0，x 1＋x22＝x 0，y 1＋y 22＝y 0，得x 0＋3y 0＋2＝0，即M (x 0，y 0)在直线x ＋3y ＋2＝0上．又因为y 0<x 0＋2，所以M (x 0，y 0)位于直线x ＋3y ＋2＝0与直线x －y ＋2＝0交点的右下部分的直线上．设两直线的交点为F ，易得F (－2,0)，而y 0x 0可看作点M 与原点O 连线的斜率，数形结合可得y 0x 0的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．故选D.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

高考数学一轮复习人教版解析几何第八单元作业答案

课时作业(四十八)1.C[解析]直线y=x的斜率k=1,故tan α=1,所以α=45°,故选C.2.B[解析]由斜率公式可得,直线l的斜率k=--=,故选B.3.D[解析]因为直线在x轴、y轴上的截距分别为<0,->0,所以直线Ax-By-C=0不经过的象限是第四象限,故选D.4.3x-y-5=0[解析]由点斜式方程,得y+2=3(x-1),即3x-y-5=0.5.1或-1[解析]令x=0,得y=k;令y=0,得x=-2k.∴所围成的三角形的面积S=-=k2=1,∴k=1或-1.6.A[解析]由题意得直线ax+by+c=0的斜率存在,且为k=-,又直线的倾斜角为45°,∴k=-=tan 45°=1,∴a=-b,∴a+b=0,故选A.7.B[解析]∵点P的横坐标为2,且点P在直线x-y+1=0上,∴点P的纵坐标为3,∴P(2,3).又∵=,∴直线PA,PB的斜率互为相反数,∴直线PB的斜率为-1,则直线PB的方程是y-3=-(x-2),即x+y-5=0,故选B.8.B[解析]由题意得易得点Q的坐标满足+b=1,即点Q在直线l上.由方程组得--两式相加,得c+=1,即点P在直线l上.故选B.9.B[解析]联立两直线方程得--解得-所以两直线的交点坐标为-.因为两直线的交点在第一象限,所以-解得k>,则tan θ>,所以θ∈.故选B.10.A[解析]∵丙车最先到达终点,丁车最后到达终点,∴丙车速度最大,丁车速度最小,∴由s-t图像的几何意义可知丙车s-t图像(直线)的倾斜角最大,丁车s-t图像(直线)的倾斜角最小,故选A.11.B[解析]由题意可得A(1,0),B(2,3),且两直线斜率之积等于-1,∴直线x+my-1=0和直线mx-y-2m+3=0垂直,则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥,即|PA|+|PB|≤2,当且仅当|PA|=|PB|=时等号成立,∴|PA|+|PB|的最大值为2,故选B.12.x+2y-3=0[解析]设A(a,0),B(0,b),由=-2,可得a-1=-2×(0-1),0-1=-2(b-1),则a=3,b=,由截距式可得直线l的方程为+=1,即x+2y-3=0.13.或[解析]设直线l1,直线l2的倾斜角分别为α,β,因为k>0,所以α,β均为锐角.直线l1,l2与x轴围成一个等腰三角形,有以下两种情况:当α=2β时,tan α=tan 2β,即=-,又因为k>0,所以k=;当β=2α时,tan β=tan 2α,即2k=-,又因为k>0,所以k=.14.4[解析]∵直线l过点(a,0)和(0,b),a∈N*,b∈N*,∴可设直线l的方程为+=1.∵直线l过点(1,6),∴+=1,即6a=(a-1)b,∴a≠1,当a≥2时,b=-=6+-.当a=2时,b=12;当a=3时,b=9;当a=4时,b=8;当a=7时,b=7;当a>7时,满足条件的正整数b不存在.综上,满足条件的直线有4条.15.C[解析]如图所示,可知A(,0),B(1,1),C(0,),D(-1,1),所以直线AB,BC,CD的方程分别为y=-(x-),y=(1-)x+,y=(-1)x+,整理为一般式即为x+(-1)y-=0,(1-)x-y+=0,(-1)x-y+=0,分别对应题中的A,B,D选项.故选C.16.A[解析]设C(m,n),由重心坐标公式得,△ABC的重心为,代入欧拉线方程得-+2=0,整理得m-n+4=0①.AB的中点为(1,2),k AB=--=-2,则AB的中垂线方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.由--得-∴△ABC的外心为(-1,1).则(m+1)2+(n-1)2=32+(-1)2=10,整理得m2+n2+2m-2n=8②,由①②得m=-4,n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时,B,C重合,舍去,∴顶点C的坐标是(-4,0).故选A.课时作业(四十九)1.C[解析]由两条平行线之间的距离公式得所求距离d=-=2,故选C.2.C[解析]由题意及点到直线的距离公式得--=,a=-或-,故选C.3.A[解析]由两直线l1:2x-y+3=0,l2:mx+2y+1=0平行可得,-=2且3≠-,解得m=-4,故选A.4.0<k<[解析]由方程组解得交点坐标为---,由题意得---解得0<k<.5.-2[解析]如图所示,A点关于x轴的对称点为A',则点A'在直线MB上.由对称性可知A'(3,-2),则光线MB所在直线的斜率k=----=-2.6.A[解析]由直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直,可得2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A.7.B[解析]由题意得-·tan θ=-1,∴tan θ=2,∴cos 2θ=-=-=-,故选B.8.B[解析]因为直线l与直线3x-4y+5=0关于x轴对称,所以直线l的斜率与直线3x-4y+5=0的斜率相反,所以可设直线l的方程为3x+4y+b=0,又因为两直线在x轴上的截距相等,所以b=5,所以直线l的方程为3x+4y+5=0,故选B.9.C[解析]如图所示,点A(3,-1)关于直线l:x+y=0的对称点为C(1,-3),直线BC的方程为-=,即x-4y-13=0,与x+y=0联立可得直线BC与直线l的交点坐标为-.|PA|+|PB|=|PC|+|PB|,由图可知,当点P的坐标为-时,|PB|+|PC|取得最小值,即|PA|+|PB|取得最小值,故选C.10.C[解析]由题意知点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称,两点连线的中点坐标为,即(2,1).点(0,2)与点(4,0)确定的直线的斜率为--=-,则折痕所在直线的斜率为2,所以折痕所在直线的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.由题意知点(7,3)与点(m,n)也关于直线y=2x-3对称,则有----解得所以m+n=.故选C.11.(3,0)[解析]∵直线l1:y=kx+2-k与直线l2关于直线y=x-1对称,∴直线l2的方程为x-1=k(y+1)+2-k,即x-ky-3=0,显然直线l2经过定点(3,0).12.3[解析]由直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),可得l2的斜率为--=-.因为直线l1平行于l2,所以直线l1的斜率也是-,即-=-,解得m=3.13.3[解析]设点A关于直线l的对称点为B(m,n),则-----解得即B(3,1).因为点B到y轴的距离就是这条光线经过的最短路程,所以最短路程是3.-解得x=1,y=-2,即直线l过定点14.[解析](2k-1)x+ky+1=0可化为(1-x)+k(2x+y)=0,由P(1,-2).由于直线(2k-1)x+ky+1=0经过定点P(1,-2),又|OP|=-=,所以原点到直线l的距离的最大值为.15.②③[解析]根据题意,可通过求各直线上的点到点M的最小距离,即点M到直线的距离d来分析.对于①,d==3>4,故直线上不存在点到点M的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”;对-于②,d=2<4,所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点M的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”;对于③,d==4,所以直线上存在一点,使之到点M的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”;-对于④,d==>4,故直线上不存在点到点M的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”.-16.[解析]设直线OP的斜率为k,点O关于BC的对称点为N,则点N的坐标为(4,0),则直线NP的斜率为-k,故直线NP的方程为y=-k(x-4),故点E的坐标为-.易知直线EQ的斜率为k,则直线EQ 的方程为y-2=k x--+4,故点Q的坐标为(-1,4-5k).若OP的斜率为,即k=,则点Q的纵坐标为.若点Q恰为线段AD的中点,则4-5k=1,即k=,即OP的斜率为.课时作业(五十)1.D[解析]圆x2+y2+ax=0的圆心坐标为-,∴-=1,解得a=-2.故选D.2.B[解析]∵线段AB:x-y-2=0(0≤x≤2)的两个端点为(0,-2),(2,0),∴圆心为(1,-1),半径为-=,∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选B.3.C[解析]配方得[x-(2m+1)]2+(y-m)2=m2(m≠0),所以圆心坐标为(2m+1,m),令消去m,得x-2y-1=0(x≠1),故选C.4.-1[解析]圆的方程配方得(x-1)2+y2=1,则圆心为(1,0),半径为1,则由题意知圆心(1,0)在直线x+y+a=0上,所以1+a=0,所以a=-1.5.2[解析]点P到直线l的距离的最小值是-1=2.6.D[解析]由题意得-=,所以(x-3)2+(y+4)2-4=x2+y2,即6x-8y-21=0,故选D.7.D[解析]-=-+1,其中-表示半圆上的动点P(x,y)与点Q(0,1)所在直线的斜率.过点Q(0,1)作QB 与半圆相切,B为切点,则在Rt△CBQ中,=,所以∠CQB=30°,则k QB=tan∠CQB=,所以-的最大值为+1.8.D[解析]直线AB:-+=1,即4x-3y+12=0.若△ABC的面积最小,则点C到直线AB的距离d最短,易知d min=-1.又|AB|=5,△ABC的面积的最小值为,∴×5×-=,即|4m+12|=10,∴m=-或-,故选D.9.A[解析]将x2+y2-2x-6y+9=0化成标准形式为(x-1)2+(y-3)2=1,则圆心为(1,3),半径r=1.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,则圆心为(a,b).∵所求圆与圆x2+y2-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称,∴所求圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称,∴--·∴a=-7,b=-1,∴与圆x2+y2-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是(x+7)2+(y+1)2=1,故选A.10.(x-1)2+(y-1)2=2[解析]因为|CA|=|CB|=R,△ABC为直角三角形,所以∠C=90°,又C在第一象限,所以C(1,1)且R=,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.11.1[解析]圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1的圆心为C(2,-m+4),半径r=1,可得=-,∴当m=4时,最小,且最小值为2,又|OC|min-r=2-1=1,故当m变化时,圆C上的点与原点的最短距离是1. 12.2[解析]因为M(m,n)为圆C:x2+y2=4上任意一点,所以可设则m+2n=2cosθ+4sin θ=2sin(θ+φ)≤2,其中tan φ=,所以m+2n的最大值为2.数形结合可得,表示圆C:x2+y2=4上的点M(m,n)与点P(-2,-3)连线的斜率,显然当直线PM与圆相切时,斜率最小.设此时切线的斜率为k,则切线方程为y+3=k(x+2),即kx-y+2k-3=0.由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=,所以的最小值为.13.解:(1)当弦AB为圆的直径时,圆的周长最小.弦AB的中点为(0,1),|AB|=-=2,所以r=,则圆的方程为x2+(y-1)2=10.(2)k AB=-=-3,弦AB的中点为(0,1),所以AB的中垂线方程为y-1=(x-0),即x-3y+3=0.由---解得所以圆心为(3,2),所以圆的半径r=-=2所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.14.解:(1)设动点P的坐标为(x,y),则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).∵·=k||2,∴x2+y2-1=k[(x-1)2+y2],即(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0①.若k=1,则①为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线;若k≠1,则①为-+y2=-,表示以--为圆心,-为半径的圆.(2)当k=2时,①化为(x-2)2+y2=1.+=(x,y-1)+(x,y+1)=(2x,2y),∴|+|=2又∵(x-2)2+y2=1,∴令x=2+cos θ,y=sin θ,则|+|=2,∴当cos θ=1时,|+|取得最大值,且最大值为6;当cos θ=-1时,|+|取得最小值,且最小值为2.15.D[解析]|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5-+--表示圆x2+y2=1上的任意一点P(x,y)到直线l1:3x-4y+a=0和直线l2:3x-4y-9=0的距离之和的5倍,若距离之和与点P(x,y)无关,则直线l1:3x-4y+a=0与圆相离或相切,且与直线l2:3x-4y-9=0位于圆的异侧,所以圆心(0,0)到直线l1的距离d=≥1,得a≥5或a≤-5,又直线l1:3x-4y+a=0与直线l2:3x-4y-9=0位于圆的异侧,所以a≥5.故选D.16.A[解析]依题意得,函数f(x)的图像与两坐标轴的交点分别是A(2018,0),B(-2019,0),C(0,-2018×2019).设经过点A,B,C的圆与y轴的另一个交点是D(0,y0),其中y0>0,结合图像易知原点O位于经过点A,B,C的圆的内部,因此由相交弦定理得|OA|·|OB|=|OC|·|OD|,即2018×2019=2018×2019y0,所以y0=1.故选A.课时作业(五十一)1.A[解析]将圆的方程配方,得(x-2)2+(y+1)2=25,圆心为(2,-1),半径r=5,将(2,-1)代入y=x-中,得×2-=-1,故直线过圆心,与圆相交,故选A.2.A[解析]圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,圆(x-3)2+(y-4)2=49的圆心为(3,4),半径为7,圆心距为=5=7-2(等于两圆半径的差),∴圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=49的位置关系是内切,故选A.3.D[解析]由题意得直线方程为y=x,即x-y=0.圆心(0,2)到直线x-y=0的距离d==,∴弦长为2-=2,故选D.4.y=4或3x+4y-13=0[解析]易知切线l的斜率存在.设l的方程为y-4=k(x+1),即kx-y+k+4=0,∴=1,即4k2+3k=0,解得k=0或k=-,故切线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.5.2x+y-3=0[解析]由题意知,已知圆的圆心坐标为(2,-1).∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直,且直线x-2y+3=0的斜率为,∴该直径所在直线的斜率为-2,∴所求直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.6.B[解析]∵直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,∴点O到直线AB的距离为1,∴由点到直线的距离公式可得=1,∴a=±,故选B.7.C[解析]由圆C:(x-1)2+(y+5)2=80,可得圆心C(1,-5),半径R=4.圆心C(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离d===3,R-d=,所以圆C上到l的距离为的点一共有3个,故选C.-8.C[解析]圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上.圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,所以所求圆的半径为.设所求圆的圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则--=,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选C.9.A[解析]易知两圆为内含关系,作圆C1关于x轴对称的圆,记为圆C'1,则C'1(2,-3),连接C'1C2,分别交圆C'1,C2于M',N,交x轴于P,连接C1P交圆C1于M,此时+最小,且最小值为,-1-3=5-4.故选A.10.3[解析]圆心(4,-2)到直线x-y+2=0的距离d==4,结合几何关系可得线段MN的长为-=3.=-1,得m=5,所以线段AB的中点为(3,1), 11.3[解析]由题意,直线x-y+c=0垂直平分线段AB,则k AB=---所以3-1+c=0,则c=-2,所以m+c=3.12.4x+3y-36=0[解析]整理可得圆C:(x-2)2+(y-1)2=49,圆心为(2,1),半径为7,则根据题意易知点P必在圆内,且CP必垂直于直线l.由弦长为4知,圆心C到直线l的距离d=-=-=5,则--=5,解得t=6或-2,又t>2,所以t=6,则点P的坐标为(6,4),于是直线PC的斜率k PC=-=,-而l⊥PC,故直线l的方程为y-4=-(x-6),即4x+3y-36=0.13.解:(1)连接C1A,C1B,∵|C1A|=|C1B|=,|AB|=2,∴△C1AB为等腰直角三角形.∵△PAB为等腰直角三角形,点P在圆外,∴四边形PAC1B为正方形,∴|PC1|=2,∴点P的轨迹是以C1为圆心,2为半径的圆,则轨迹C2的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)如图,C1N⊥OF于点N,连接C1E,C1F,C1O.在Rt△OC1N中,∵|OC1|=2,|C1N|=,∴|ON|=,sin∠C1ON=,∴∠C1ON=30°,∴△OEH与△OFG为正三角形.∵△C1EN≌△C1FN,且|C1E|=|C1F|=2,∴|NE|=|NF|=,∴四边形EFGH的面积S=S△OFG-S△OEH=×(+)2-×(-)2=6.14.解:(1)设M点坐标为(x0,y0),P点坐标为(x,y),则N点坐标为(x0,0),由=,可得(x-x0,y)=(0,y0),则因为点M在圆C:x2+y2=4上运动,所以点P的轨迹E的方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时|AB|=2,|ST|=4,所以|AB|·|ST|=8.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,整理得(4k2+3)x2+8kx-8=0,因为点Q(0,1)在椭圆内部,所以直线l与椭圆恒交于两点,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=-,所以|AB|=--=-=·--·-=.圆心(0,0)到直线l的距离d=,所以|ST|=2-=2,所以|AB|·|ST|=8·=8·-∈[88.综上,|AB|·|ST|的取值范围是[8,8].15.B[解析]因为直线ax+ay-1=0与圆a2x2+a2y2-2a+1=0有公共点(x0,y0),所以圆心到直线的距离d=不大于半径,显然d>0,∴≤-,∴a≥.由-得-∴2a2x0y0+2a-1=1,∴x0y0=-=-.设=t,则0<t≤,则x0y0=t2-t=--,0<t≤,由二次函数的性质可得当t=时,x0y0取得最大值,且最大值为,故选B.16.4[解析]圆(x+3sin α)2+(y+3cos α)2=1的圆心(-3sin α,-3cos α)在圆x2+y2=9上运动,集合A表示的区域为如图所示的环形区域(阴影部分),直线3x+4y+10=0恰好与环形的小圆相切,所以点集P 所表示的轨迹的长度是直线3x+4y+10=0截圆x2+y2=16所得弦的弦长,又原点(0,0)到直线3x+4y+10=0的距离d=2,所以弦长为2-=4.课时作业(五十二)1.D[解析]由2x2+y2=4,可得+=1,则c=-=,所以该椭圆的焦点坐标为(0,±),故选D.2.B[解析]∵e==,2a=6,∴a=3,c=1,∴b2=8,∴椭圆方程为+=1,故选B.3.A[解析]若-+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m2-1>3,所以m2>4,所以“m2>5”是“-+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件,故选A.4.(0,±b)[解析]由椭圆的性质得M=a+c,m=a-c,所以=a,椭圆上与点F的距离等于a的点为短轴的端点,其坐标为(0,±b).5.1[解析]将点P的坐标代入椭圆方程,得+=1,解得a2=2,所以△PAB的面积S=×2a×=1.6.C[解析]设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF2|,所以四边形AFBF2是平行四边形,所以|BF|=|AF2|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4.7.B[解析]由题得当BF⊥AB时,若△ABF为等腰直角三角形,则|FB|=|AB|,∴=2c,∴b2=2ac,∴a2-c2=2ac,∴1-e2=2e,∴e2+2e-1=0,∴e=±-1,由于椭圆的离心率e∈(0,1),所以e=-1.故选B.8.D[解析]设△ABF1的内切圆的半径为r.由+=1,得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1的面积为|F1F2|×|y A-y B|=×2×3=3=×8×r,解得r=,故选D.9.B[解析]∵O是线段F1F2的中点(O为坐标原点),∴+=2,∴|+|=2||.设P(x,y),则+y2=4,则y2=4-,∴||2=x2+y2=4+x2≥4,∴||≥2,∴2||≥4,∴|+|的最小值为4,故选B.10.C[解析]设F'(-1,0),则+=2a,即=2a-,又椭圆E上存在一点P,使得+=9,∴+=+2a-=9,即-=9-2a.∵-≤-≤,∴-1≤-≤1,即-1≤9-2a≤1,解得4≤a≤5.∵c=1,e=,∴≤e≤.故选C.11.+=1[解析]由椭圆定义可知2a+2a=12,即a=3.又∵e==-=,∴解得b2=5,∴椭圆C的方程为+=1.12.-[解析]不妨设F(c,0),把x=c代入椭圆方程可得y=±,故|FA|=,由题意得=c,即b2=ac=a2-c2,所以e2+e-1=0,所以e=-.13.[1,4][解析]由已知得2b=2,故b=1,∵△F1AB的面积为-,∴(a-c)b=-,∴a-c=2-,又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,∴a=2,c=,∴+==-=-,又2-≤|PF1|≤2+∴1≤-|PF1|2+4|PF1|≤4,∴1≤+≤4,即+的取值范围为[1,4].14.解:(1)由题意可得-所以故W的标准方程为+=1.(2)联立得∴=,∴k OA=.易知B(0,1),∴l的方程为y=-3x+1.联立-得37x2-24x=0,∴x=0或,∴|BC|=-×-=.联立-得31x2-18x-9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,∴|MN|=-·|x1-x2|=,故=.15.解:(1)由点到直线距离公式有=,整理可得2a-b=3,由|MN|=1,有=1,整理可得a=2b2,故4b2-b=3,∴b=1,∴a=2,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)易知直线PQ的斜率存在.设直线PQ的方程为y=kx-,与椭圆C的方程联立消去y,得(1+4k2)x2-4kx-2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,由∠PAQ=90°,得(x1-)(x2-)+--=0,即(x1-)(x2-)+(kx1-)(kx2-)=0,即(1+k2)x1x2-(1+k)(x1+x2)+4=0,∴(1+k2)·--(1+k)·+4=0,即3k2-4k+1=0,解得k=1或k=.当k=1时,直线PQ经过A点,不满足题意,舍去,故k=,故直线PQ的方程为y=x-.16.解:(1)因为|A1B2|=2,所以=2.①由四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍,可得×2a×2b=2××2c×2b⇒a=2c.②由①②可得a2+b2=a2+a2-c2=8c2-c2=7c2=28⇒c2=4,所以a2=4c2=16,所以b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由(1)易知点P,Q的坐标分別为(2,3),(2,-3).因为∠APQ=∠BPQ,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k.设A(x1,y1),B(x2,y2),--直线PA的方程为y-3=k(x-2),由可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,∴x1+2=-,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=---=,∴x1+x2=-,x1-x2=-,∴k AB=--=----=--=,∴直线AB的方程为y+1=(x-1),即x-2y-3=0.课时作业(五十三)1.D[解析]由双曲线方程知c2=9+4=13,∴c=,∴焦距为2,故选D.2.D[解析]由题意可得a=5,b=2,所以渐近线方程为y=±x,故选D.3.D[解析]由题意,得2=,解得m=2,∴双曲线的标准方程为-=1,故选D.4.8[解析]因为双曲线x2-=1的一个焦点为(-3,0),所以m+1=(-3)2=9⇒m=8.5.-x2=1[解析]不妨设双曲线的方程为-x2=λ(λ≠0),因为双曲线过点(,4),所以-()2=λ,解得λ=1,故双曲线的方程为-x2=1.6.D[解析]设双曲线的右焦点为F2,连接PF2,由题得|OB|=|PF2|,OB∥PF2,∴b=×,∴b=2a,∴b2=4a2,∴c2-a2=4a2,∴c2=5a2,∴e2=5,∴e=.7.D[解析]因为N为线段F1M的中点,O为线段F1F2的中点,所以|F2M|=2|ON|=2.因为P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,所以||PF1|-|PF2||=|F2M|=2|ON|=2<|F1F2|,所以点P的轨迹是双曲线,故选D.8.B[解析]设双曲线的左焦点为F'.双曲线的右焦点为F(,0),△APF的周长l=++=++2a+,要使△APF周长最小,只需+最小,如图,当A,P,F'三点共线时|AP|+|PF'|取得最小值,此时l=2|AF|+2a=4(1+),故选B.9.A[解析]双曲线的右焦点为(c,0),所以直线l的方程为y=2(x-c),代入双曲线方程,得b2x2-4a2(x-c)2=a2b2,即(b2-4a2)x2+8a2cx-(4a2c2+a2b2)=0,因为直线与双曲线左、右两支分别相交,所以交点的横坐标的乘积小于0,则由根与系数的关系可得--<0,因为4a2c2+a2b2>0,所以b2-4a2>0,即c2-5a2>0,可得e=>故选A.10.或[解析]双曲线的两条渐近线的方程为x±2y=0,即y=±x,根据双曲线焦点位置的不同从而得到=或=,再由c2=a2+b2可得离心率e==或.11.3[解析]由题意得双曲线的一个焦点坐标为(5,0),一条渐近线的方程为3x-4y=0,由点到直线的距离公式得-=3,即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3.12.4[解析]由题得双曲线渐近线的斜率为±,设点P(x0,y0),不妨取l1,l2的方程分别为y-y0=(x-x0),y-y0=-(x-x0),所以M(x0-2y0,0),N(x0+2y0,0),所以|OM|·|ON|=|x0-2y0|×|x0+2y0|=|-4|,又点P在双曲线上,所以-=1,所以|OM|·|ON|=4.13.解:(1)由题意,得A1(-a,0),A2(a,0),由-=1,得-=.∵M(x0,y0)是双曲线上一点,∴·=·-=-==,∴e2===1+=,∴e=.(2)易知双曲线的一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0,焦点(c,0)到渐近线y=x的距离d==b=12,由(1)得,==,∴a2=25,因此双曲线的方程为-=1.14.解:(1)由题意得=①,△=×2c·b=6②,a2+b2=c2③,由①②③求得a2=5,b2=4,∴双曲线C的标准方程是-=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为D(x0,y0).将y=kx+m与-=1联立,消去y,整理得(4-5k2)x2-10kmx-5m2-20=0,由4-5k2≠0及Δ>0,得--④∴x1+x2=-,x1·x2=--,∴x0==-,y0=kx0+m=-.由|AP|=|AQ|知,AD⊥PQ,∴k AD=-=---=-,化简得10k2=8-9m,⑤将⑤代入④,得m<-或m>0.由10k2=8-9m>0,得m<.综上,实数m的取值范围是m<-或0<m<.15.D[解析]双曲线的渐近线方程为y=±x,设F(c,0)关于直线bx-ay=0的对称点为A(m,n),m<0,则=c,且-=-,解得m=-,n=,将A点坐标代入双曲线方程得--=1,化简可得e2=5,解得e=.故选D.16.[解析]设椭圆的短半轴长和双曲线的虚半轴长分别为b1,b2,椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为a1,a2,则b1=3b2⇒ +9=10c2,令a1=c sin θ,a2=c cos θ,则+=(3sin θ+cos θ)=sin(θ+φ)≤,∴+的最大值为.课时作业(五十四)1.C[解析]由题意知抛物线开口向左,且p=2,所以抛物线的标准方程为y2=-4x,故选C.2.C[解析]抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即动点到准线的距离的最小值,显然满足条件的点为抛物线的顶点,∴=1,∴p=2,故选C.3.D[解析]抛物线x2=y过点(1,3),则1=,所以m=3,所以x2=y,所以焦点到准线的距离是,故选D.4.10[解析]由已知条件结合抛物线的定义知y P=12-=12-2=10,即点P到x轴的距离为10.5.[解析]设P(x0,y0),则x0+1=4,故x0=3,所以y0=±2.又F(1,0),所以S△PFO=×2×1=.6.B[解析]由题意得抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).故选B.7.C[解析]∵∠A1AF=,∴∠AA1F=∠AFA1=.设准线l与x轴的交点为B,则|BF|=p,|A1B|=|BF|tan=p,∴===4+,∴p=24,故选C.8.B[解析]∵F是抛物线y=2x2的焦点,∴F,准线方程为y=-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=y1++y2+=,解得y1+y2=4,∴线段MN的中点的纵坐标为=2.故选B.9.A[解析]设抛物线的焦点为F,则F(0,2),准线方程为y=-2.过点P(x0,y0)向准线作垂线,垂足为N,则y0=-2.由抛物线的定义可得=,则y0+=+-2=+-2,当P,F,M三点共线且x0>0时,y0+最小,最小值为-2=---2=3-2=1,故选A.10.B[解析]将点P(4,4)的坐标代入抛物线C的方程y2=2px,得42=2p·4,解得p=2,∴点F(1,0).据题设分析知,sin∠MPF=,|MF|==2又=2R(R为△MPF的外接圆的半径),∴2R=,∴R=,∴△MPF的外接圆的面积S=πR2=π·=,故选B.11.[解析]过P点作准线的垂线,垂足为H,则=,由=3有=,所以===,解得=,所以==.12.-1[解析]如图所示,过A作AH⊥l于点H,AN垂直于抛物线的准线于点N,则|AH|+|AN|=m+n+1.连接AF,则|AH|+|AN|=|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,得当A,F,H三点共线(即HF⊥l)时,|AF|+|AH|取得最小值|FH|==,则m+n的最小值为-1.13.解:(1)因为点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点,且|AF|=2,所以+1=2,所以p=2.(2)由(1)得抛物线方程为y2=4x.因为点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点,所以a=2.设直线AM方程为x-1=m(y-2)(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由--消去x,得y2-4my+8m-4=0,即(y-2)(y-4m+2)=0,所以y1=4m-2.因为AM⊥AN,所以直线AN的方程为x-1=-(y-2),同理可得y2=--2,所以d1d2=|(y1+2)(y2+2)|=-=16.14.解:(1)设N(m,n),则----解得即N(2,1),代入x2=2py(p>0)得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)显然直线NA的斜率是存在的,设直线NA的方程为y-1=k(x-2),则直线NB的方程为y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2),联立--消元,得x2-4kx+8k-4=0,所以2+x1=4k,所以x1=4k-2,所以y1=4k(k-1)+1,故A(4k-2,4k(k-1)+1).同理,B(-4k-2,4k(k+1)+1),所以k AB=------=-1,若<1,则由cos 45°=-,得=-=3-2若>1,同理可求得=-=3+2.15.2[解析]直线OM的方程为y=-x,将其代入x2=2py,解方程可得-故A-.直线ON的方程为y=x,将其代入x2=2py,解方程可得故B.又F,所以k AB=,k BF=-.因为A,B,F三点共线,所以k AB=k BF,即=-,解得p=2.16.(4,+∞)[解析]因为倾斜角α∈,所以直线l的斜率k=tan α∈.设过焦点F(1,0)的直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立-整理得y2-y-4=0,所以y1+y2=,则=,即点M 的坐标为-,所以|MF|=--=,又因为k∈,所以>12,所以|MF|=>=4,即|MF|的取值范围是(4,+∞).课时作业(五十五)1.B[解析]设动点P(x,y),由题意可知·-=-2(x≠0),化简得+x2=1(x≠0),故选B.2.A[解析]由题意知,动圆圆心到点F(0,3)的距离等于动圆圆心到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以F为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,其方程为x2=12y,故选A.3.A[解析]设M(x,y),由M为线段OP的中点,得P(2x,2y),代入双曲线方程,得-(2y)2=1,即x2-4y2=1,故选A.4.C[解析]设P(x,y),则x=λ-3μ,y=λ+3μ,得λ=,μ=-,因此+-=1,化简得x+2y-3=0,故选C.5.x2-=1[解析]根据双曲线的定义可得,实轴长2a=2,即a=1,半焦距c=2,由c2=a2+b2,解得b2=3,故动点P的轨迹方程为x2-=1.6.B[解析]设M(x,y),P(x0,y0),因为P与点Q(0,-1)连线的中点为M,所以x0=2x,y0=2y+1,又因为点P在抛物线y=2x2+1上移动,所以2y+1=2(2x)2+1,即y=4x2,故选B.7.D[解析]由题意知,所求轨迹为与已知直线平行的两条直线,设所求轨迹方程为3x-4y+C=0,则==2,则C=-11或C=9,故所求轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.8.C[解析]由两点间的距离公式可得=13,=15,=14,因为A,B都在椭圆上,所以+=+,得-=-=2<14,故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,由c=7,a=1,得b2=48,所以F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1),故选C.9.C[解析]设A(a,0),B(0,b),P(x,y),由=+得所以a=3x,b=y,又=3,所以a2+b2=9,即(3x)2+=9,所以动点P的轨迹方程为x2+=1,故选C.10.A[解析]①△ABC的周长为10,则|AB|+|AC|=6,根据椭圆的定义知,点A的轨迹方程为C3:+=1(y ≠0);②△ABC的面积为10,则点A到直线BC的距离为定值5,所以点A的轨迹方程为C1:y2=25;③△ABC 中,∠A=90°,则点A在以线段BC为直径的圆上,所以点A的轨迹方程是C2:x2+y2=4(y≠0).11.+y2=1[解析]设Q(x,y),P,y1,则=,-·-=-1,∴···-=-1,∴4y2=4-x2,∴点Q的轨迹方程为+y2=1.12.2x-3y+25=0[解析]圆C:x2+y2=25的圆心C为(0,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),因为AQ与圆C相切,所以AQ⊥CA,所以(x1-x0)(x1-0)+(y1-y0)(y1-0)=0,即-x0x1+-y0y1=0,因为+=25,所以x0x1+y0y1=25,同理x0x2+y0y2=25,所以过点A,B的直线方程为xx0+yy0=25.因为直线AB过点M(-2,3),所以得-2x0+3y0=25,所以点Q的轨迹方程为2x-3y+25=0.13.解:(1)设M(x0,y0),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x0-2,2y0).∵P点在圆x2+y2=4上,∴(2x0-2)2+(2y0)2=4.故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,∴=+=+,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.14.D[解析]设抛物线的焦点为F(x,y),准线为l,过点A,B,O分别作AA'⊥l,BB'⊥l,OP⊥l,其中A',B',P 分别为垂足,则l为圆的切线,P为切点,且+=2|OP|=6,因为抛物线过点A,B,所以=,=,所以+=+=6>=2,所以点F的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且点F不在x轴上,所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为+=1(y≠0).15.+y2=1(y≠0)[解析]易知AC,BD的斜率存在且不为0,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,则直线AC,BD的方程分别为y=k1(x+2),y=k2(x-2),据此可得C(2,4k1),D(-2,-4k2),则k CD==k1+k2,直线CD的方--程为y-4k1=(k1+k2)(x-2),整理可得(k1+k2)x-y+2(k1-k2)=0,直线CD与圆相切,则=2,据此可得k1k2=-,将y=k1(x+2),y=k2(x-2)两式相乘可得y2=k1k2(x2-4)=-x2+1,即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为+y2=1(y≠0).课时作业(五十六)1.C[解析]易知点P在抛物线上,过点P可以作出抛物线的一条切线,该切线与抛物线只有一个公共点,还可以作出一条与x轴平行的直线,该直线与抛物线也只有一个公共点,所以满足题意的直线有2条,故选C.2.C[解析]由可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.3.D[解析]由题意及双曲线的几何性质可得,双曲线的渐近线的斜率>∴e==>=.故选D.4.-[解析]联立得3x2+4x-2=0,则弦的中点的横坐标为-,纵坐标为-+1=,即弦的中点坐标是-.5.[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2).不妨设直线l过椭圆的右焦点(,0),则l:y=x-,代入椭圆方程得5x2-8x+8=0,∴-=-=-=,∴=-=×=.6.A[解析]直线的方程为y=k(x+2),代入y2=4x,得到k2x2+4(k2-1)x+4k2=0.当k=0时,不合题意;当k≠0时,Δ=16(k2-1)2-4k2·4k2>0,得k2<,∴k∈-∪.综上,k的取值范围是-∪,故选A.7.B[解析]设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),则k AM·k BM=--·=--=---=-.8.D[解析]画出抛物线y2=4x的图像(图略).由抛物线方程y2=4x,得焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,N.易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-),由-消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+5k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=5.由条件知==x2+1=3,∴x2=2,∴x1=,∴=x1+1=.∵在△AEC中,BN∥AE,∴△△===.故选D. 9.B[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),易知x0≠0,则两式作差得-+-=0.∵--=-1,x0=,y0=,∴-=0,即=.设直线OM的倾斜角为α,则θ=α+或θ=-α,∴tan θ=±-,又tan α==,∴-=3,∴b2=2,即b=故选B.10.C[解析]∵M,N分别是PQ,PF的中点,∴MN∥FQ,又PQ∥x轴,∠NRF=60°,∴∠FQP=60°,由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,∴△FQP为正三角形,则FM⊥PQ⇒|QM|=p=2,∴正三角形FQP的边长为4,∴|PQ|=4,|FN|=|PF|=2,又△FRN为正三角形,∴|FR|=2,故选C.11.[解析]不妨取双曲线的一条渐近线为y=x,将y=x代入抛物线方程,整理得ax2-bx+a=0,则由题意,得b2-4a2=0,则c2=5a2,则e=.12.6[解析]根据题意可知直线的斜率是存在的,抛物线的焦点F(1,0).设直线AB:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).将直线方程与抛物线方程联立-消元可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,从而可得x1+x2=,从而求得M.易求得E(-1,0),根据|ME|=,可得+=11,求得k2=2(负值舍去),所以|AB|=x1+x2+p=2++2=6.13.2[解析]∵直线过左焦点F(-c,0),倾斜角为30°,∴直线方程为y=(x+c).由得y B=-.由-得y A=.由=2,得y B=2y A,即-=⇒b=a,∴c2=a2+b2=4a2,∴=4,∴e==2.14.解:(1)依题意知,点M(x,y)到点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为6,且6>|F1F2|=2,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为6的椭圆,其方程为+=1.(2)易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+1,代入+=1,得(9k2+8)x2+18kx-63=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.因为=+,所以四边形OAPB为平行四边形.若平行四边形OAPB为矩形,则OA⊥OB,所以·=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,即(k2+1)·--+1=0,即-72k2=55,此方程无解,所以满足条件的直线l不存在.15.解:(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0),∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由消去y,整理得x2-4kx-24=0,显然,Δ=16k2+96>0.设P,Q,则·-抛物线在点P处的切线方程为y-=(x-x1),令y=-1,得x=-,可得点R--,由Q,F,R三点共线得k QF=k FR,F(0,1),∴-=---,即(-4)(-4)+16x1x2=0,即(x1x2)2-4[(x1+x2)2-2x1x2]+16+16x1x2=0,∴(-24)2-4[(4k)2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k2=,即k=±,∴所求直线m的方程为y=x+6或y=-x+6.16.±[解析]由题意,得F,由x2-px+y2-p2=0,配方为-+y2=p2,∴直线l过圆心,∴=2p.直线l的方程为y=k-,A(x1,y1),B(x2,y2),联立-得x2-x+=0,∴x1+x2=p+,∴=x1+x2+p=2p+.∵=3,∴2p+=6p,可得k2=⇒k±.17.[解析]①当直线l的斜率不存在时,不妨取A c,,B c,-,∵·=0,∴c2-=0,∴e=;②当直线l的斜率存在时,焦点为F(c,0),设直线l:y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程和双曲线的方程,可得(b2-a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,则Δ=4c2a4k4+4(b2-a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0,x1+x2=--,x1x2=---,则y1y2=k2[x1x2+c2-c(x1+x2)]=k2·--,∵·=0,∴x1x2+y1y2=0,即a2b2+a2k2c2+k2(a2b2-b2c2)=0,即k2=--,又直线l过点F交双曲线C的右支于A,B两点,∴-->(b>a),∴----∴>e>.综上,双曲线的离心率的取值范围是.专题突破训练(三)1.解:(1)依题意得∴+=.∵p>,∴p=1,故C的方程为x2=2y.(2)证明:由(1)知y0=,联立得4x2-16x-9=0,解得x1=-,x2=,∴|EF|=×--=5.设P m≠-,且m≠,则M的横坐标为m,易知A在l上,则|AM|=×.由题可知PN:y-=-(x-m),与y=2x+联立可得x N=-,∴|AN|=×-+=×,则=5,故=|EF|.2.解:(1)∵2a=6,∴a=3.又点M(,)在椭圆上,∴+=1,解得b2=3,∴所求椭圆方程为+=1.(2)∵k MO=,∴k AB=-,故可设直线AB的方程为y=-x+m.消去y,得11x2-6mx+6m2-18=0,联立-Δ=(6m)2-4×11×(6m2-18)>0,∴m2<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.则·=x1x2+y1y2=x1x2-(x1+x2)+m2=-.∵0≤m2<,∴·的取值范围为-.3.解:(1)∵e=,∴=.∵F2(c,0)在线段PF1的中垂线上,∴|F1F2|=|RF2|,即(2c)2=()2+(2-c)2,得c=,∴a=,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)可知A1(-,0),A2(,0),M(x M,y M),设PA1的方程为y=k(x+)(k≠0),则P的坐标为(-2,-k),∴=,∴PA2的方程为y=(x-).由-消去y,整理得(3+k2)x2-2k2x+3k2-9=0,∴x M=-,∴x M=-,y M=(x M-)=-,∴==-,∴MA1⊥NA1,则△MNA1为直角三角形,又Q为斜边MN的中点,∴2|A1Q|=|MN|.4.解:(1)∵F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,∴F.又∵当l与x轴垂直时,|DE|=4,∴D.又∵点D在抛物线上,∴4=2p×=p2,∴p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)点R(x0,2)在抛物线C上,∴x0=1,即R(1,2).设直线AB:x=m(y-1)+1(m≠0),A,B.由-得y2-4my+4m-4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=4m-4.直线AR:y-2=--(x-1)=(x-1).由--得x M=-.同理可得x N=-,∴|MN|=|x M-x N|=2-=2·--,令m-1=t,t≠0,则m=t+1,∴|MN|=2·≥,即当t=-2,m=-1时|MN|取得最小值,此时直线AB的方程为x+y-2=0.5.解:(1)由+=4,得2a=4,所以a=2,又椭圆过点,所以+=1,解得b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.设点P(x0,y0),则由△GPH∽△APB,得=-,即=-,则=2-,由0<y0≤1,得2-≥4,所以线段GH的长度的最小值为4.(2)由(1)可知,当GH的长度取得最小值时,y0=1,将点(x0,1)代入+y2=1,得x0=0,故此时点P(0,1),则直线AP的方程为y=x+1,=2.当平行于AP的直线l与椭圆在x轴下方的部分相切于点T时,△TPA的面积取得最大值.设直线l:y=x+m,则由得7x2+8mx+12m2-12=0,则Δ=(8m)2-4×7×(12m2-12)=0,所以m=-或m=(舍去).由平行线间的距离公式,得此时点T到直线AP的距离d=---=.故(S△TPA)max=d=×2×=,即△TPA的面积的最大值为.6.解:(1)依题意得=,所以+=+==4(为定值),=2,4>2,所以点P的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,其中2a=4,2c=2,所以P点的轨迹C的方程是+y2=1.(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时,易得S=8.②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率均存在且不为0,设直线AB的方程为y=k1x+m,直线BC的方程为y=k2x+n,则直线CD的方程为y=k1x-m,AD的方程为y=k2x-n,其中k1·k2=-1.直线AB与CD间的距离d1=--=,直线BC与AD间的距离d2==,所以S=d1·d2=·.联立得x2+2k1mx+m2-1=0,因为直线AB与椭圆相切,所以Δ=4+1-m2=0,所以=,同理=,所以S====4·=4·.因为+≥2(当且仅当k1=±1时取等号),所以4<S≤4·,即8<S≤10.由①②可知,8≤S≤10.专题突破训练(四)1.解:(1)由曲线Γ:12x2-4y2=3,化为标准方程可得-=1,。

2021高考数学一轮复习考点规范练48线与圆、圆与圆的位置关系(含解析)

则圆心为 P(1,3),半径 r= 10.
因为点 E(0,1),所以|PE|= 12 + (3 - 1)2 = 5.
过圆 x2+y2-2x-6y=0 内点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,所以|AC|=2r=2 10,|BD|=2
1
1
r2 - |PE|2=2 10 - 5=2 5,且 AC⊥BD,所以四边形 ABCD 的面积为 S=2 × |AC|×|BD|=2 × 2
12.已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有|OA + OB|
3
≥ 3 |AB|,则 k 的取值范围是( )
A.( 3,+∞)
B.[ 2,+∞) C.[ 2,2 2) D.[ 3,2 2)
答案:C
解析:设 AB 中点为 D,则 OD⊥AB,
3
答案:4
|k - 2|
|k - 2|
3
解析:设点 C(1,4)到直线 l 的距离为 d,则 d= 10 - 32=1.因为 d= k2 + 1,所以 k2 + 1=1,解得 k=4.
8.(2019 云南昆明调研)若过点(1,1)的直线与圆 x2+y2-6x-4y+4=0 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为 .
2
≥
1.
∵k>0, ∴ 2 ≤ k<2 2,故选 C.
13.已知点 P(x,y)是直线 y=-kx-4(k>0)上的一个动点,PA,PB 是圆 C:x2+y2-2y=0 的两条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的面积的最小值为 2,则实数 k 的值为 .

高考数学统考一轮复习课后限时集训48直线的倾斜角与斜率直线的方程理含解析新人教版

课后限时集训(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程建议用时：40分钟一、选择题1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A ．33 B ． 3 C ．－ 3 D ．－33A 〖设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.〗2.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2D 〖直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.〗3. 若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点在同一条直线上，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．12D 〖因为A ，B ，C 三点在同一条直线上，所以k AB ＝k AC ，所以－2－33－(－2)＝m －312－(－2)，解得m ＝12.故选D ．〗4．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( )A ．－13B ．－3C ．13 D ．3〖答案〗 A5．过点A (4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )A ．x ＋y ＝5B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0C 〖若直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点，则直线方程为x －4y ＝0；若直线在两坐标轴上的截距不为0，设为a (a ≠0)，则直线的方程为x a ＋ya ＝1.又直线过点A (4,1)，则a ＝5，故直线的方程为x ＋y ＝5.综上所述，故选C ．〗6．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)D 〖因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1). 〗二、填空题7．直线kx ＋y ＋2＝－k ，当k 变化时，所有的直线都过定点．(－1，－2) 〖kx ＋y ＋2＝－k 可化为y ＋2＝－k (x ＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2)．〗8．已知A (3,4)，B (－1,0)，则过AB 的中点且倾斜角为120°的直线方程是． 3x ＋y －2－3＝0 〖设AB 的中点为M ，则M (1,2)，又斜率k ＝－3，直线的方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －2－3＝0.〗9．若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是．⎣⎡⎦⎤－5，－13 〖因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k P A ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤－5，－13.〗三、解答题10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.〖解〗 (1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b |·|b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.11．过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．〖解〗设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b ＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4ba≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.1．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3 C ．⎣⎡⎦⎤π4，π2D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3B 〖由题意知，直线的斜率k ＝2cos α，又π6≤α≤π3，所以12≤cos α≤32，即1≤k ≤3，设直线的倾斜角为θ，则1≤tan θ≤3，故θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3.〗2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为．4x －3y －4＝0 〖由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.〗3．(1)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，求点P 的横坐标的取值范围． (2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，求|P A |·|PB |的最大值．〖解〗 (1)由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1. 所以－1≤x 0≤－12.(2)由动直线x ＋my ＝0求得定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0，即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1,3)．当m ＝0时，两条动直线垂直，当m ≠0时，因为⎝⎛⎭⎫－1m ·m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|P A |·|PB |的最大值是5.。

数学高考专题复习课时分层提升练四十九直线的倾斜角与斜率、直线的方程

课时分层提升练四十九直线的倾斜角与斜率、直线的方程……………………25分钟50分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020·南充模拟)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是( )【解析】选B.当a>0,b>0时,-a<0,-b<0.选项B符合.2.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y等于( )A.-3B.-1C.0D.2【解析】选A.由k==tan=-1.得-4-2y=2,所以y=-3.3.若直线l:+=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是 ( )A.3+2B.3-2C.2-3D.2+3【解析】选A.由直线l:+=1(a>0,b>0)可知直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值,即求a+b的最小值.由直线经过点(1,2)得+=1.于是a+b=(a+b)·+=3++,因为+≥2=2,当且仅当=时取等号,所以a+b≥3+2,故直线l在x轴和y 轴上的截距之和的最小值为3+2.4.(2020·遵义模拟)若k,-1,b三个数成等差数列,则直线y=kx+b必经过定点( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)【解析】选A.因为k,-1,b三个数成等差数列,所以k+b=-2,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).5.倾斜角为60°,在y轴上的截距为-1的直线方程是( )A.x-y-1=0B.x-y+1=0C.x-3y-1=0D.x+3y-1=0【解析】选A.因为倾斜角为60°,所以斜率为k=tan 60°=,又因为在y轴上的截距为-1,所以所求直线的方程为y=x-1,即x-y-1=0.6.已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x 和y的方程组的解的情况是( )A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解【解析】选B.因为P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+1的斜率存在,所以k=,即a1≠a2,并且b1=ka1+1,b2=ka2+1,所以a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1,所以由方程组消元得(a1-a2)x=b2-b1.所以方程组有唯一解.7.(2020·曲靖模拟)若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y 轴上的截距之和的最小值为( )A.1B.2C.4D.8【解析】选C.因为直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),所以a+b=ab,即+=1, 所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时上式等号成立. 所以直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若直线l的斜率k的取值范围是,则该直线的倾斜角α的取值范围是________.【解析】当0≤k<时,因为tan 0=0,tan =,所以0≤α<.答案:9.已知A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2),点D在x轴上,则当点D坐标为________时,AB ⊥CD.【解析】设点D(x,0),因为k AB==4≠0,所以直线CD的斜率存在.则由AB⊥CD知,k AB·k CD=-1,所以4·=-1,解得x=-9.答案:(-9,0)10.已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,则直线BC的方程为________.【解析】依题意知:k AC=-2,A(5,1),所以l AC为2x+y-11=0,联立l AC,l CM得所以C(4,3).设B(x0,y0),AB的中点M为,代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,所以所以B(-1,-3),所以k BC=,所以直线BC的方程为y-3=(x-4),即6x-5y-9=0.答案:6x-5y-9=0……………………15分钟30分1.(5分)若直线+=1通过点M(cos α,sinα),则( )A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.+≤1D.+≥1【解析】选D.由已知得+=1,所以(cos2α+sin2α)-=≥0,所以+≥1.2.(5分)(2020·柳州模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是 ( )A. B.C.∪D.∪【解析】选B.因为直线的斜率k=-,所以-1≤k<0,则倾斜角的范围是.3.(5分)若直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-2,0)∪(0,2]C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,+∞)【解析】选B.令x=0,得y=,令y=0,得x=-b,所以所求三角形面积为|-b|=b2,且b≠0,因为b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2].4.(5分)(2020·红河模拟)若直线y=kx+1与以A(3,2),B(-2,3)为端点的线段有公共点,则k的取值范围是________.【解析】如图所示,由直线l:y=kx+1,可知直线l过定点P(0,1).所以k PA==,k PB==-1.因为直线y=kx+1与以A(3,2),B(-2,3)为端点的线段有公共点,所以k≥k PA或k ≤k PB,即k≥或k≤-1.所以实数k的取值范围是(-∞,-1]∪.答案:(-∞,-1]∪5.(10分)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB的面积S的最小值.【解析】因为由坐标原点O到直线l的距离为,所以=,所以m2+n2=,令x=0,可得y=,令y=0,可得x=,所以△AOB的面积S==≥=3,当且仅当|m|=|n|=时,取等号. 所以△AOB的面积S的最小值为3.练考题预测·全过关1.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( )A.x-2y+7=0B.2x+y-1=0C.x-2y-5=0D.2x+y-5=0【解析】选A.设所求直线方程为x-2y+c=0,把点(-1,3)代入,解得c=7,所以所求的直线方程为x-2y+7=0.2.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为________. 【解析】根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为+=1,又C(-2,-2)在该直线上,故+=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式得ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.答案:163.直线l过点(-2,2)且与x轴,y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则直线l 的方程为________.【解析】若a=b=0,则l过点(0,0)与(-2,2),l斜率k=-1,l方程为y=-x,即x+y=0. 若a≠0,b≠0,则直线l的方程为+=1,由已知得解得此时,直线l的方程为x-y+4=0.答案:x+y=0或x-y+4=04.已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2).求:(1)BC边上的高AD所在直线方程.(2)AB边的中垂线方程.【解析】(1)因为k BC=5,所以k AD=-=-,所以AD:y+1=-(x-2),即x+5y+3=0.(2)因为AB的中点为(3,1),k AB=2,所以AB边的中垂线方程为x+2y-5=0.5.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(-1,4),B(-2,-1),C(2,3).(1)在△ABC中,求AC边中线所在直线方程.(2)求△ABC的面积.【解析】(1)设AC边的中点为M,则M点坐标为, 所以k BM==.所以直线BM的方程为:y-(-1)=(x+2),即9x-5y+13=0,所以AC边中线所在直线的方程为9x-5y+13=0.(2)因为A(-1,4),B(-2,-1),C(2,3),所以|BC|==4,由B(-2,-1),C(2,3)得直线BC的方程为:x-y+1=0.所以A到直线BC的距离d==2,所以S△ABC=×4×2=8.。

高考数学一轮复习课后限时集训48两条直线的位置关系课件

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4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离
为 10，则m＝( )
A．7
B．127
C．14
D．17
B [直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为 10，所以|24m＋＋336|＝ 10，求得m＝127.]
课后限时集训(四十八) 两条直线的位置关系
01 A组基础巩固练
一、选择题
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行
B．垂直的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2
＝－12，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.]
2x＋y－11＝0，
11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得2x－y－5＝0
所以
C(4,3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为x0＋2 5，y0＋2 1，代入2x－y－5＝ 0，得2x0－y0－1＝0，所以2x0x－0－2yy00－－15＝＝00，，所以B(－1，－3)，所以
kBC＝65，所以直线BC的方程为y－3＝65(x－4)，即6x－5y－9＝0.
得xy＝＝1－，1，故直线l2恒过定点(1，－1)，故选项B不正确；因为直线 l1：mx＋(m－3)y＋1＝0与直线l2：(m＋1)x＋my－1＝0垂直，所以m(m ＋1)＋m(m－3)＝0，即m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝1，所以选项C正确，选项D错误．]
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三、解答题 10．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．

2020年高考数学一轮复习课时分层训练48直线的倾斜角与斜率直线的方程理北师大版_4196.doc

课时分层训练(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程A 组基础达标一、选择题1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.] 2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－a b ，所以－a b＝－1，则a ＝b .]3．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3A [结合图形(图略)可知选A.]4．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )【导学号：79140264】A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2D [∵sin θ＋cos θ＝55① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0，∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.]5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)C [令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，所以14b 2≤1，所以b 2≤4，又由题意知b ≠0，所以b ∈[－2,0)∪(0,2]．]二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．－23 [设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2， ∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.]7．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．x －y ＋3＝0 [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.] 8．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________.【导学号：79140265】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [设直线l 的斜率为k ，则k ≠0，直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.]三、解答题9．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．[解] (1)直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 边的中点D 的坐标为(m ，n )，则m ＝2－22＝0，n ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 所在直线过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x－3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 边的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0) 即2x －y ＋2＝0.10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.【导学号：79140266】[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.B 组能力提升11．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．x ＋y －5＝0 C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|PA |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.] 12．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.【导学号：79140267】3 [直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[]－(y －2)2＋4≤3，即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.] 13．(2017·四川德阳中学期中)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线l 必经过定点(－2,1)． (2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，要使直线不经过第四象限，则必有⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，1＋2k ≥0，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意．综上，k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )，且⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∴S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是4k ＝1k ，此时k ＝12，∴S min ＝4，此时l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

2020版高考数学一轮复习课时作业48直线的倾斜角与斜率、直线方程课件理新人教版

x1＋3y1－2＝0， x2＋3y2＋6＝0，
解析：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋2 x2＝x0，
得
y1＋2 y2＝y0，
x0＋3y0＋2＝0，即 M(x0，y0)在直线 x＋3y＋2＝0 上．又因为 y0<x0 ＋2，所以 M(x0，y0)位于直线 x＋3y＋2＝0 与直线 x－y＋2＝0 交点的右下部分的直线上．设两直线的交点为 F，易得 F(－2,0)，而yx00可看作点 M 与原点 O 连线的斜率，数形结合可得yx00的取值范围为－∞，－13∪(0，＋∞)．故选 D.
4．直线 l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象只可能是( B )
解析：因为 l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，由图 B 可知，对于直线 l1，a>0 且 b<0，对于直线 l2，－b>0 且 a>0，即 b<0 且 a&gx＝7 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线 l 的斜率为( B )
A．3
B．2
C．2 3
D．9
解析：以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则 A(0,4)，B(3,0)，直线 AB 的方程为3x＋4y＝1.
设 P(x，y)(0≤x≤3)，所以 P 到 AC，BC 的距离的乘积为 xy，因为3x＋4y≥2 3x·4y，当且仅当3x＝4y＝12时取等号，所以 xy≤3，所以 xy 的最大值为 3.故选 A.
A．y＝ 3x＋2 B．y＝ 3x－2 C．y＝ 3x＋12 D．y＝－ 3x＋2
解析：∵直线 x－2y－4＝0 的斜率为12，∴直线 l 在 y 轴上的截距为 2，∴直线 l 的方程为 y＝ 3x＋2，故选 A.

2020版高考数学一轮复习课后限时集训47直线与圆锥曲线(含解析)理

课后限时集训(四十七)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32 D.55C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，故选C.]3．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .] 4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝t a n 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.]5．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16A [由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，易知当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝6，故选A.]二、填空题6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．553[由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，x 25＋y24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.] 7．(2019·沧州百校联盟)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1①， x 22a 2＋y 22b2＝1②，①②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.] 8．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则PA →·PB→的取值范围是________．[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以PA →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]三、解答题9. 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[解] 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23， ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.B 组能力提升1．(2019·黑龙江松原模拟)已知P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，P 在x 轴上的射影为P ′，点M 满足PM →＝MP ′→，当点P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点A (0,2)的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且AC →＝35AD →，求直线l 的方程．图①[解] (1)如图①，设M (x ，y )，则P (x,2y )在圆C ：x 2＋y 2＝4上．所以x 2＋4y 2＝4，即曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)经检验，当直线l ⊥x 轴时，题目条件不成立，所以直线l 的斜率存在(如图②)．设直线l ：y ＝kx ＋2，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)·12＞0，得k 2＞34.图②x 1＋x 2＝－16k1＋4k2，① x 1x 2＝121＋4k2.② 又由AC →＝35AD →，得x 1＝35x 2，将它代入①②得k 2＝1，k ＝±1⎝ ⎛⎭⎪⎫满足k 2＞34，所以直线l 的斜率为k ＝±1，所以直线l的方程为y ＝±x ＋2.2．(2019·河南濮阳期末)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1消去y ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋4kx ＋3＝0，∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1·x 2＝3k 2＋14，由Δ＝(4k )2－4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14×3＝4k 2－3＞0得，k ＞32或k ＜－32.①又∠AOB 为锐角，∴cos∠AOB ＞0，∴OA →·OB →＞0， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＞0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14＞0，即k 2＜4，∴－2＜k ＜2.②由①②得，－2＜k ＜－32或32＜k ＜2. 故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.。

2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十六)直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含解析)新人教A版

课时跟踪检测（四十六）直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、题点全面练1．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．2．(2019·惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：选D 设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.3．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4解析：选D 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.6．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2.∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]7．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝08.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．解析：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 答案：(3＋3)x －2y －3－3＝09．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，4 解析：选A 如图所示，∵k PN ＝1－－1－－＝34，k PM ＝1－－1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.2．直线l 过点(－2,2)且与x 轴、y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为________________．解析：若a ＝b ＝0，则直线l 过(0,0)与(－2,2)两点，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.若a ≠0，b ≠0，设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0. 答案：x ＋y ＝0或x －y ＋4＝03．过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为________________．解析：当直线经过原点时，此时直线的方程为x ＋y ＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x 4a ＋y a ＝1，把点(－10,10)代入可得a ＝152，故直线方程为x 30＋2y15＝1，即x ＋4y－30＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0.答案：x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0 (二)交汇专练——融会巧迁移4．[与不等式交汇]已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

高考数学一轮复习人教版解析几何第八单元课时作业第48讲直线的倾斜角与斜率

课时作业第48讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程时间/30分钟分值/80分基础热身1.直线y=x的倾斜角α为()A.135°B.60°C.45°D.30°2.已知直线l过点(0,0)和(3,1),则直线l的斜率为()A.3B.C.-D.-33.如果A·B>0,B·C<0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.若直线l的斜率是3,且过点A(1,-2),则直线l的方程是.5.[2018·河南中原名校联考]已知直线y=x+k与两坐标轴所围成的三角形的面积为1,则实数k的值为.能力提升6.若直线ax+by+c=0的倾斜角为45°,则实数a,b满足的关系是()A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=17.[2018·衡水武邑中学调研]已知A,B是x轴上的不同两点,点P的横坐标为2,且=,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是()A.2x+y-7=0B.x+y-5=0C.2y-x-4=0D.2x-y-1=08.已知点M和N都在直线l:x+y=1上,对于点P和点Q,下列判断正确的是()A.点P和Q都不在直线l上B.点P和Q都在直线l上C.点P在直线l上且Q不在直线l上D.点P不在直线l上且Q在直线l上9.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围是()A.0<θ<B.<θ<C.0<θ<D.<θ<10.[2018·广西玉林、柳州联考]甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点,丁车最后到达终点.若甲、乙两车的s-t图像如图K48-1所示,图K48-1则对于丙、丁两车的图像所在区域,判断正确的是()A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域B.丙在Ⅰ区域,丁在Ⅲ区域C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域11.[2018·石家庄质检]已知m≠0,动直线l1:x+my-1=0过定点A,动直线l2:mx-y-2m+3=0过定点B,若l1与l2交于点P(异于点A,B),则|PA|+|PB|的最大值为()A.B.2C.D.212.[2018·中山期末]在平面直角坐标系xOy中,经过点P(1,1)的直线l与x轴交于点A,与y 轴交于点B.若=-2,则直线l的方程是.13.[2018·淮南一模]直线l1与直线l2交于一点P,且l1的斜率为,l2的斜率为2k,直线l1,l2与x轴围成一个等腰三角形,则正实数k的所有可能的取值为.14.[2018·襄阳一模]过点(1,6)作直线l,若直线l经过点(a,0),(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作直线l的条数为.难点突破15.(5分)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,也就是用内接正多边形去逐步逼近圆,即圆内接正多边形边数无限增加时,其周长就越逼近圆周长,这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x2+y2=2的一个内接正八边形,使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上,则下列方程表示的直线中,不是该正八边形的一条边所在直线的为()A.x+(-1)y-=0B.(1-)x-y+=0C.x-(+1)y+=0D.(-1)x-y+=016.(5分)[2019·成都石室中学月考]数学家欧拉发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标为()A.(-4,0)B.(-3,-1)C.(-5,0)D.(-4,-2)。

2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十八10.1直线的倾斜角与斜率直线的方程文含解析北师大版

核心素养测评四十八直线的倾斜角与斜率、直线的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cosα=0,则a,b满足( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.因为sin α+cosα=0,所以tan α=-1.又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.2.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是( )A.B. (-∞,-2]∪C.D.∪[2,+∞)【解析】选D.l:mx+y+1=0可写成y=-mx-1,即l过定点R(0,-1),直线PR的斜率k1==-2,直线QR的斜率k2==.因为直线l与线段PQ有交点,所以斜率k≥或k≤-2.又因为k=-m,所以m≤-或m≥2.3.若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线x-y=3的倾斜角的2倍,则( )A.m=-,n=1B.m=-,n=-3C.m=,n=-3D.m=,n=1【解析】选D.对于直线mx+ny+3=0,令x=0得y=-,即-=-3,n=1.因为x-y=3的倾斜角为60°,直线mx+ny+3=0的倾斜角是直线x-y=3的2倍,所以直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°,即-=-,m=.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )A.-1<k<B.k>1或k<C.k>1或k<D.k>或k<-1【解析】选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.5.如果AC<0,且BC<0,那么直线 Ax+By+C=0不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-<0,在y轴上的截距为->0,所以,直线不通过第三象限.6.经过点A(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )A.x+y+1=0B.4x+3y=0C.x-y-7=0或4x+3y=0D.x+y+1=0或4x+3y=0【解析】选D.设直线在x轴上的截距为a,则直线在y轴上的截距为a.(1)当a=0时,直线过(0,0),此时方程为4x+3y=0.(2)当a≠0时,直线方程为+=1.又因A(3,-4)在直线上,所以+=1,解得a=-1,故直线方程为x+y+1=0.综上选D.7.直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( )世纪金榜导学号A.[0,π)B.0,∪,πC.0,D.0,∪,π【解析】选B.由题意知,直线的斜率存在.因为直线xsin α+y+2=0的斜率k=-sin α,又-1≤sin α≤1,所以-1≤k≤1.设直线xsin α+y+2=0的倾斜角为θ,所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故倾斜角的取值范围是0,∪,π.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若直线2x+By+1=0与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则B= .【解析】由已知C≠0,所以直线不过原点,且斜率应为±1,所以B=±2.答案:±29.已知点A(-1,t),B(t,4),若直线AB的斜率为2,则实数t的值为.【解析】由题意知,k AB=2,即=2,解得t=.答案:10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为. 世纪金榜导学号【解析】由题意,线段AB的中点为M(1,2),k AB=-2,所以线段AB的垂直平分线为y-2=(x-1),即x-2y+3=0,因为AC=BC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,因此△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0.答案:x-2y+3=0(15分钟35分)1.(5分)设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.[0,π)B.C. D.∪【解析】选C.当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;当cos θ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.因为cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),所以α∈∪,综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是.2.(5分)(2020·西安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是 ( )A.0B.2C.D.1【解析】选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y 轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.3.(5分)若直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点.【解析】直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,由解得所以直线l恒过定点(2,-2).答案:(2,-2)4.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 世纪金榜导学号【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以a=2,方程即为3x+y=0. 当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.所以=a-2,即a+1=1.所以a=0,方程即为x+y+2=0.综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,所以或所以a≤-1.综上可知a的取值范围是(-∞,-1].5.(10分)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0. 世纪金榜导学号(1)求证:不论m为何实数,直线l过一定点M.(2)过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程. 【解析】(1)直线l的方程整理得(2x+y+4)+m(x-2y-3)=0,由解得所以不论m为何实数,直线l过定点M(-1,-2).(2)过定点M(-1,-2)作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,则直线l1过点(-2,0),(0,-4),设直线l1的方程为y=kx+b,把两点坐标代入得解得则直线l1的方程为y=-2x-4,即2x+y+4=0.。

山东专用2021新高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时作业48直线的交点与距离公式含解析

课时作业48 直线的交点与距离公式一、选择题1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( C ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.2．已知两直线l 1：2x －y ＋3＝0，l 2：mx ＋2y ＋1＝0平行，则m 的值是( A ) A ．－4 B ．－1 C ．1D ．4解析：由两直线l 1：2x －y ＋3＝0，l 2：mx ＋2y ＋1＝0平行可得，m －2＝2且3≠－12，解得m ＝－4，故选A.3．如果直线l 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称，那么直线l 的方程为( B ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：因为直线l 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称，所以直线l 的斜率与直线3x －4y ＋5＝0的斜率相反，所以可设直线l 的方程为3x ＋4y ＋b ＝0，又因为两直线在x 轴上的截距相等，所以b ＝5，所以直线l 的方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选B.4．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( D ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0 D ．3x ＋19y ＝0解析：法1：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法2：设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0,0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.5．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( B ) A ．7 B.172 C ．14D ．17解析：直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m >0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.6．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( A )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．7．一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1,1)，则虫子爬行的最短路程是( B )A. 2 B ．2 C ．3 D ．4解析：点(0,0)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为(－1,1)，则最短路程为(－1－1)2＋(1－1)2＝2.8．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线l ：x ＋y ＝0上，若使|P A |＋|PB |取最小值，则点P 的坐标是( C )A ．(1，－1)B ．(－1,1) C.⎝⎛⎭⎫135，－135 D ．(－2,2) 解析：如图所示，点A (3，－1)关于直线l ：x ＋y ＝0的对称点为C (1，－3)，直线BC 的方程为x －14＝y ＋31，即x －4y －13＝0，与x ＋y ＝0联立可得直线BC 与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫135，－135.|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |，由图可知，当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫135，－135时，|PB |＋|PC |取得最小值，即|P A |＋|PB |取得最小值，故选C.二、填空题9．若直线l 1：y ＝kx ＋2－k 与直线l 2关于直线y ＝x －1对称，则直线l 2恒过定点(3,0)．解析：∵直线l 1：y ＝kx ＋2－k 与直线l 2关于直线y ＝x －1对称，∴直线l 2的方程为x －1＝k (y ＋1)＋2－k ，即x －ky －3＝0，显然直线l 2经过定点(3,0)．10．已知直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当直线l 1平行于l 2时，m ＝3.解析：由直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，可得l 2的斜率为m －m －11＋1＝－12.因为直线l 1平行于l 2，所以直线l 1的斜率也是－12，即1－4m ＋3＝－12，解得m ＝3.11．(多填题)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：(2k －1)x ＋ky ＋1＝0，则直线l 过定点(1，－2)，当实数k 变化时，原点O 到直线l 的距离的最大值为 5.解析：(2k －1)x ＋ky ＋1＝0可化为(1－x )＋k (2x ＋y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝0，2x ＋y ＝0，解得x ＝1，y＝－2，即直线l 过定点P (1，－2)．由于直线(2k －1)x ＋ky ＋1＝0经过定点P (1，－2)，又|OP |＝12＋(－2)2＝5，所以原点到直线l 的距离的最大值为 5. 三、解答题12．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，∴b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1. ①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. ② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab ＝1－a . ③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b . ④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.13．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42， ∴|PQ |<42，故所证成立．14．已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是②③.(填上所有正确答案的序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：根据题意，可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析．对于①，d ＝|5＋1|12＋(－1)2＝32>4，故直线上不存在点到点M 的距离等于4，所以该直线不是“切割型直线”；对于②，d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 的距离等于4，所以该直线是“切割型直线”；对于③，d ＝|4×5－0|(－3)2＋42＝4，所以直线上存在一点，使之到点M 的距离等于4，所以该直线是“切割型直线”；对于④，d ＝|2×5＋1|22＋(－1)2＝1155>4，故直线上不存在点到点M 的距离等于4，所以该直线不是“切割型直线”．15．在平面直角坐标系xOy 中，定义两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的折线距离为d (A ，B )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|.已知点O (0,0)，C (x ，y )，d (O ，C )＝1，则x 2＋y 2的取值范围是[22，1]．解析：根据定义有：d (O ，C )＝|0－x |＋|0－y |＝1，即|x |＋|y |＝1，该方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y <0，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y <0，－x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y ≥0，－x ＋y ＝1，画出图形如图所示，x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2表示点(x ，y )与点(0,0)的距离，所以x 2＋y 2∈[22，1]．。