泛函分析中的概念和命题

泛函分析中的概念和命题赋范空间，算子，泛函定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间.定理：M 是赋范线性空间()||||,⋅X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈∃>∀y X y ε使得： M x x y ∈∀->-,1||||ε定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则1.*X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=⇔ 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ⇔定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ⇔≠θ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间，可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10，不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若：(1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈∀+≤+(2)()()()为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈∀≥∀=,0,ααα (3) ()()()为对称泛函，则称p X x x p x p ∈∀∈∀=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈∀≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足：1．()()()X x x p x f ∈∀≤02. ()()()00X x x f x f ∈∀=复Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是复线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加对称泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的线性泛函且满足()()()00||X x x p x f ∈∀≤，则必存在一个定义在X 上的线性泛函f ，且满足：1．()()()X x x p x f ∈∀≤||02. ()()()00X x x f x f ∈∀=定理: 设X 是线性空间， 若}{θ≠X ， 则在X 上必存在非零线性泛函。

Hahn-Banach 延拓定理: 设X 是赋范线性空间， 0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的有界线性泛函，则必存在一个定义在X 上的有界线性泛函f ，满足：1．0||||||||0X f f =2. ()()()00X x x f x f ∈∀=定理：设X 是赋范线性空间，M 是X 的线性子空间，(),0,,00>=∈d M x X x ρ则必有 *X f ∈，满足：(1)()()1||||)3()2(,00==∈∀=f d x f M x x f ；；定理：设X 是赋范空间，()1||||||,||,},{00*0==∈∃-∈∀f x x f X f X x 使必θ定理：设X 是赋范空间，1}||||,|)(sup{|||||,*000=∈=∈∀f X f x f x X x ：必有凸集分离定理极大线性子空间：一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间超平面：它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形 承托超平面：的在点凸集0x E 承托超平面0x L L E L 有公共点的一侧，且与在是指 Minkowski 泛函：上作一个点的凸子集，在的含有是是线性空间，设X X M X θ 取值于],0[+∞的函数： ()()X x M xx p ∈∀∈>=},|0inf{λλ与M 对应，称函数p 为M 的Minkowski 泛函定理：L 是赋范空间X 的(闭)超平面⇔存在X 上的非零(连续)线性泛函f 及()}|{,,r x f X x H H L R r r f rf =∈==∈其中使Hahn-Banach 定理的几何形式: 设X 是赋范空间，E 是X 的具有内点的真凸子集，又设00,x E E X x 与离则必存在一个超平面分-∈定理：设X 是赋范空间，；具有内点，且的两个非空凸集，是和φ=⋂F E E X F E 0则 F E H X f s sf 和分离使得超平面及},{R *θ-∈∈∃Ascoli 定理：设X 是赋范空间，E 是X 的真闭凸子集，则R ,,*0∈∈∃-∈∀αX f E X x 适合()()()E x x f x f ∈∀<<，0α Mazur 定理：设X 是赋范空间，E 是X 的一个有内点的凸子集，F 是X 的一个线性流形，又设的一侧在，使的闭超平面则存在一个包含L E L F F E ,0φ=⋂定理：设X 是赋范空间，E 是X 的一个含有内点的闭凸集，则通过E 的每个边界点都可以作出E 的一个承托超平面 基本定理定理：()()()εθθε,1,,0,Banach ,O TB Y X B T Y X ⊃>∃∈使得是满射，则空间，是设 开映射定理：()是开映射是满射，则空间，是设T Y X B T Y X ,Banach ,∈Banach 逆算子定理：()()Y X B T Y X B T Y X ,,Banach ,1∈∈-是双射，则空间，是设 等价范数定理：设X 是线性空间，1||||•和2||||•是X 上的两个范数，若X 关于这两个范数都成为Banach 空间，而且2||||•强于1||||•，则1||||•也强于2||||•，从而1||||•和2||||•等价闭算子：是赋范空间，设Y X ,()的映射，到是Y X T D T ⊂若T 的图像()()}|,{T D x Tx x ∈是赋范线性空间Y X ⨯中的闭集，则称T 是闭映射或闭算子闭算子判别定理：设Y X ,是赋范空间，()⇔⊂是闭映射的映射，则到是T Y X T D T (),}{T D x n ⊂∀若()00000,,Tx y T D x Y y Tx X x x n n =∈∈→∈→，且则闭图像定理：空间，是设Banach ,Y X ()的线性映射到是Y X T D T ⊂，而且是闭算子，若 ()T D 是X 的闭线性子空间，则T 是连续的定理：空间，是设Banach ,Y X 的线性算子到是Y X T ，则T 连续⇔T 是闭算子 共鸣定理：空间，是设Banach X Y 是赋范空间，().,,Λ∈∈λλY X B T 如果X x ∈∀，都有 有界：则}||{||,||||sup Λ∈+∞<Λ∈λλλλT x T自反空间与共轭算子除声明外下面的Y X ,都是一般的赋范线性空间共轭空间：[]()[]()共轭，，q p p b a C l c c l l L L q p q P ,,1b ,a V ,,)(,)(,)(0*1*0***∞<≤===== 伴随算子:()()()()||||||||,,*******T T X Y B T f f T Tx f x f Y X B T =∈==∈，，，， 1.()()||||||||,,,**********T T T T X X T T X B T ==∈的延拓且是则的子空间看成若将记 2.()()1**1*)(,--=⇔∈T T T T Y X B T 有有界逆，且此时有有界逆，则3.()()的保范线性算子到是由映射***,,X Y B Y X B A A4.()()()***,,,,A B AB Z Y B B Y X B A =∈∈则若 定理：若)(11*不自反，可分。

可分，则l L X X ⇒；X 是Banach 空间，自反自反X X ⇔* 自反空间的闭线性子空间是自反空间自然嵌入映射**x x →：τ是赋范空间X 到**X 的保范的有界线性算子，即：||||||||**x x =Riesz 表示定理：设X 是局部紧空间，()()则：时，},|sup{|||||X x x f f X C f c ∈=∈ (1) 若()X C c 是ϕ上的正线性泛函，则存在X 上一个正则Borel 测度u ，使得对任()X C f c ∈都有()⎰=u f f d ϕ(2) 若()*X C c ∈ϕ，则存在X 上一个广义正则Borel 测度u ，使()⎰=u f f d ϕ(3) 若()X C c 是X 上具有紧支集的复连续函数空间，则对()X C c 上任一有界复线性泛函ϕ，存在复正则Borel 测度u ，使()⎰=u f f d ϕ弱收敛和弱列紧基本概念：弱收敛；算子列的一致收敛，强收敛，弱收敛；泛函列的*弱收敛；弱列紧；局部弱列紧；*弱列紧；局部*弱列紧定理：设()()当且仅当：强收敛于某个空间，是Y X T Y X B T Y X n ,B ,}{Banach ,∈⊂1.() ,3,2,1||||0||}{||=≤>n M T M T n n ，使有界，即有2.收敛，，使中的稠集存在}{x T D x D X n ∈∀ 定理：设当且仅当：弱收敛于某个则空间，是***}{,}{Banach X f f X f X n n ∈⊂1.有界；||}{||n f2.()收敛，，使中的稠集存在}{x f D x D X n ∈∀ 定理：设当且仅当：弱收敛于某个是赋范空间，则X x X x X n ∈⊂}{1.有界；||}{||n x2.()()x f x f D f D X n 收敛于，有，使中的稠集存在}{*∈∀定理：设,}{X x X x X n ∈⊂弱收敛于某个是赋范空间，则存在由}{n x 的凸组合构成的点列使其强收敛到x ，且||||lim ||||n n x x ∞→≤ 定理：可分赋范空间的共轭空间是局部*弱列紧的；自反空间是局部弱列紧的Hilbert Space 基本概念：除声明外下面所涉及的空间都是Real or Complex Hilbert Space X内积：一个(数域K 上)线性空间X 上的内积指的是共轭双线性泛函：K →⨯X X ，它满足正定性和共轭对称性。

内积空间：定义了内积的线性空间。

定义了内积的复(实)线性空间称为复(实)内积空间。

内积导出的范数满足平行四边形公式。

内积(按内积导出的范数)是X X ⨯上的连续函数.若由内积导出的范数是完备的，这样的内积空间称为Hilbert 空间定理：设()()⋅⋅,,X 是内积空间，||||⋅是由内积()⋅⋅,导出的范数，则||||⋅与()⋅⋅,满足如下关系：当X 是实线性空间时，()()X y x y x y x y x ∈∀--+=,,||||||||41,22当X 是复线性空间时，()()X y x iy x i iy x i y x y x y x ∈∀--++--+=,,||||||||||||||||41,2222 极化恒等式：()()()()()[]iy x iA iy x iA y x A y x A y Ax --++--+=41,，()()x Ax x A ,= 定理：为了在赋范线性空间()||||,⋅X 中引入内积()⋅⋅,，使得由()⋅⋅,导出的范数就是||||⋅，当且仅当||||⋅满足平行四边形公式：()2222||||||||2||||||||y x y x y x +=-++定理：设()()⋅⋅,,X 是内积空间，M 是X 的非空子集，()X n y y x n ∈= ,2,1,,，则1.222||||||||||||y x y x y x +=+⇒⊥ 2.()y x y y n y x n n ⊥⇒→=⊥,,2,1 3.M x M x span ⊥⇒⊥ 4.()⊥⊥⊥⊥=⊂M M M M , 5.}{θ=⇒⊥M X M 中稠在 6.()⊥⊥⊥=spanM M X M 的闭线性子空间，且是 定理：设X 是希尔伯特空间，M 是X 的非空闭凸子集，则M y X x o ∈∃∈∀唯一的,，使得()}||inf{||,||||0M y y x M x y x ∈-==-：ρ正交分解定理：设M 是希尔伯特空间X 的一个闭线性子空间，X x ∈∀，存在唯一的正交分解：⊥⊥⊕=∈∈+=M M X M x M x x x x 即：),,(,1010定理：设()()⋅⋅,,X 是希尔伯特空间，M 是X 的线性子空间，则：1.()M M =⊥⊥2. }{θ=⇔⊥M X M 中稠在定理：系中必存在完备标准正交空间}){(θ≠H H H ilb ert定理：假定}|{Λ∈=ααe S 是中的标准正交系空间H H ilb ert ，那么.H x ∈∀有Parseval 不等式：∑Λ∈≥αα2||||2||||c x定理：}|{Λ∈=ααe S 是中的完备标准正交系空间H Hilbert ，⇔.H x ∈∀有Fourier 展开式和Parseval 等式：∑Λ∈=∑Λ∈=ααααα2||||2||||,c x e c x ，其中：()()系数的称为Fourier ,x e x c Λ∈=ααα。