4.1.2圆的一般方程课件PPT

答案：B
4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为 ________________．
解析：圆的半径r＝ －3－52＋4－12＝ 73，
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73， 展开整理得， x2＋y2＋6x－8y－48＝0为圆的一般方程． 答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3 )2＝3－2a2.因为表示圆， 所以3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a，3 )，半径为 3－2a2.
求圆的方程 (多解题)求经过A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y －26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
解析：根据题中条件，既可设标准方程，也可设一般 方程，有多种解法．
圆的一般方程的概念
半径：
下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
解析：将其化成标准式再进行判断，并给出答案．
(1)∵方程2x2＋y2－7x＋5＝0中x2与y2的系数不相同，
∴它不能表示圆；
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，
∴它不能表示圆；
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆；
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为
(x－ 5 )2＋y2＝( 5 )2，
4
∴它表示以(
5 4
4
，0)为圆心，
A．D＝E
B．D＝F
C．F＝E
D．D＝E＝F
解析：由题知圆心－D2 ，－E2在直线 y＝x 上，
即－E2＝－D2 ，∴D＝E.
答案：A
3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取
值范围是( )
A．R
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)
解析：由D2＋E2－4F＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k>0 得k<1.
－D2 ，－E2
1 2
D2＋E2－4F
3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则 其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点M在圆外 点M在圆上 点M在圆内
x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0
解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程
条件
图形
x2＋y2＋ Dx＋Ey ＋F＝0
D2＋E2 －4F<0
D2＋E2 －4F＝0
D2＋E2 －4F>0
不表示任何图形
表示一个点____________ 表示以____________为圆心，以
______________为半径的圆
2.－D2 ，－E2
5．指出下列圆的圆心和半径： (1)x2＋y2－x＝0； (2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)； (3)x2＋y2＋2ay－1＝0.
解析：(1)(x－ 1 )2＋y2＝ 1 ，圆心( 1 ，0)，半径r
2
4
2
＝1；
2
(2)(x＋a)2＋y2＝a2，圆心(－a,0)，半径r＝|a|；
(3)x2＋(y＋a)2＝1＋a2，圆心(0，－a)，半径r＝ 1＋a2.
2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的 一般步骤是什么？
解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一 般方程；
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方 程．
自测自评
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
1．正确理解圆的一般方程及其特点． 2．会求圆的一般方程． 3．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．
基础梳理
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 __x_2_＋__y2_＋__D__x＋__E__y_＋__F_＝__0_称为圆的一般方程．
解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2明确了圆心和 半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系 数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心 和半径，需计算得到，当二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋ Ey＋F＝0中的系数A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0时，二元 二次方程就是圆的一般方程．
练习1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，在什 么条件下表示圆的方程.
练习2.圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为：________，
半径为：________. 练习1. A=C≠0，B＝0且D2+E2-4AF＞0
练习2. (1，－5) 5 2
思考应用
1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
跟踪训练 1．求出下列各圆的圆心坐标和半径： (1)x2＋y2－6x＝0； (2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
(3)x2＋y2－2ax－2 3y＋3a2＝0.
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆心为 (3,0)，半径为3.
(2)原方程化为x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该圆的圆心为(0， －b)，半径为|b|.
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为半径的圆．
点评：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的程序是：先看
这个方程是否具备圆的一般方程的特征即：①x2与y2的系数相等，
②不含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示
圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接
配方变形与半径大小，几何特征明显； 圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特 征明显．
A．(4，－6)，r＝16 C．(－2,3)，r＝4
B．(2，－3)，r＝4 D．(2，－3)，r＝16
解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2,3)， 半径 r＝12 42＋－62＋12＝4. 答案：C
2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所 表示的曲线关于y＝x对称，则必有( )