【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例练习 新人教A版选修1-1
高中数学同步学案 生活中的优化问题举例
3．4生活中的优化问题举例[读教材·填要点]1．优化问题投入一定的成本如何获取最大的利润？制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问题都叫作优化问题．2．解决优化问题的基本思路[小问题·大思维]将8分成两个非负数之和,使其立方和最小,应该怎么分？提示：设一个数为x,则另一个数为8－x,则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2,且0≤x≤8,y′＝48x－192.令y′＝0,即48x－192＝0,得x＝4.当0≤x<4时y′<0,当4<x≤8时y′>0,∴当x＝4时,y最小．即分成的这两个数应为4,4.用料最省、费用最低问题如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式,并指出其定义域． (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． [自主解答] (1)设长为x m,则宽为200x m ．据题意⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤16，0<200x ≤16，解得252≤x≤16,y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x≤16, (2)y′＝800－259 200x 2＝0, 解得x ＝18.当x ∈(0,18)时,函数y 为减函数； 当x ∈(18,＋∞)时,函数y 为增函数． 又∵252≤x≤16.∴当x ＝16时,y min ＝45 000.∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时,总造价y 最低为45 000元.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值,此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．1.已知A,B 两地相距200千米,一只船从A 地逆水航行到B 地,水速为8千米/时,船在静水中的航行速度为v 千米/时(8＜v≤v 0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比,当v ＝12(千米/时)时,船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省,船的实际航行速度应为多少？ 解：设船每小时航行所需的燃料费为y 1元,比例系数为k(k ＞0),则y 1＝kv 2. ∵当v ＝12时,y 1＝720,∴720＝k·122,得k ＝5.设全程燃料费为y 元,由题意, 得y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8,∴y′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000vv －82. 令y′＝0,解得v ＝0(舍去)或v ＝16.∴当v 0≥16时,v ∈(8,16),y′＜0,即y 为减函数； v ∈(16,v 0],y′＞0,即y 为增函数,故v ＝16(千米/时)时,y 取得极小值,也是最小值,此时全程燃料费最省； 当v 0＜16时,v ∈(8,v 0],y′＜0,即y 在(8,v 0]上为减函数, 故当v ＝v 0时,y min ＝1 000v 2v 0－8,此时全程燃料费最省．综上可得,若v 0≥16,则当v ＝16(千米/时)时,全程燃料费最省,为32 000元；若v 0＜16,则当v ＝v 0时,全程燃料费最省,为1 000v 2v 0－8元.利润最大、效率最高问题某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2,且生产x 吨的成本为：R ＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？[自主解答] 依题意,每月生产x 吨时的利润为： f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x≥0)．由f′(x)＝－35x 2＋24 000,令f′(x)＝0,解得x 1＝200,x 2＝－200(舍去)．因为f(x)在[0,＋∞)内有意义,则有且只有当x ＝200时f′(x)＝0,且它就是最大值点,最大值为f(200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000.故每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.实际生活中利润最大,效率最高,流量、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值,此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点),函数满足左增右减,此时唯一的极大值就是所求函数的最大值．2.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5 000辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x ＜1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x,写出本年度的年利润p(万元)关于x 的函数关系式；(2)若年销售量关于x 的函数为y ＝3 240×⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53,则当x 为何值时,本年度年利润最大？最大年利润是多少？解：(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x),年销售量为5 000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润p ＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5 000×(1＋0.4x) ＝(3－0.9x)×5 000×(1＋0.4x)＝－1 800x 2＋1 500x ＋15 000(0＜x ＜1)． (2)本年度的年利润为f(x)＝(3－0.9x)×3 240×⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53＝3 240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5), 则f′(x)＝3 240×(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)．令f′(x)＝0,解得x ＝59或x ＝3(舍去)．当0＜x ＜59时,f′(x)＞0,当59＜x ＜1时f′(x)＜0,所以x ＝59时,f(x)有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000. 所以当x ＝59时,本年度的年利润最大,最大年利润为20 000万元.面积、容积的最值问题请你设计一个包装盒．如图所示,ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D 四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E,F 在AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大,试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大,试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [自主解答] 设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm)．由已知得a ＝2x,h ＝60－2x2＝2(30－x),0＜x＜30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800, 所以当x ＝15时,S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2), V′＝62x(20－x).由V′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时,V′＞0；当x ∈(20,30)时,V′＜0. 所以当x ＝20时,V 取得极大值,也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.一般地,通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0,则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较．3.已知圆柱的表面积为定值S,当圆柱的容积V 最大时,圆柱的高h 的值为________． 解析：设圆柱的底面半径为r, 则S 圆柱底＝2πr 2,S 圆柱侧＝2πrh ,∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh.∴h ＝S －2πr 22πr,又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r 2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32,V′(r)＝S －6πr22,令V′(r)＝0得S ＝6πr 2,∴h ＝2r,因为V′(r)只有一个极值点,故当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π,∴h ＝2S 6π＝6πS 3π.即当圆柱的容积V 最大时,圆柱的高h 为6πS3π. 答案：6πS3π4.如图,已知矩形的两个顶点位于x 轴上,另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的长和宽． 解：设AD ＝2x(0＜x ＜2), 则A(x,0),AB ＝y ＝4－x 2,所以矩形面积为S ＝2x(4－x 2)(0＜x ＜2), 即S ＝8x －2x 3,S′＝8－6x 2, 令S′＝0,解得x ＝23或x ＝－23(舍去)． 当0＜x ＜23时,S′＞0；当23＜x ＜2时,S′＜0, 所以,当x ＝23时,S 取得最大值,此时S 最大值＝3239.即矩形的长和宽分别为83,433时,矩形的面积最大.如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2,短半轴长为1,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴,上底CD 的端点在椭圆上,记|CD|＝2x,梯形的面积为S.(1)求面积S 以x 为自变量的函数解析式,并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．[巧思] 可通过建立恰当的直角坐标系,列出面积S 关于x 的函数解析式,然后利用导数的知识,借助函数的单调性,即可求得面积S 的最大值．[妙解] (1)依题意,以AB 的中点O 为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则点C(x,y)满足方程x 2＋y24＝1,且x>0,y>0,∴y ＝21－x 2(0<x<1)．∴S ＝12(2x ＋2)·21－x 2＝2(x ＋1) 1－x 2(0<x<1)．(2)令f(x)＝S 2＝4(x ＋1)2(1－x 2)(0<x<1), 则f′(x)＝8(x ＋1)2(1－2x)．令f′(x)＝0,解得x ＝12或x ＝－1(舍去)．当0<x<12时,f′(x)>0,f(x)为增函数；当12<x<1时,f′(x)<0,f(x)为减函数． ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12是f(x)在区间(0,1)上的极大值,也是最大值, 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝274,此时S ＝332.故当x ＝12时,S 取得最大值332.1．某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R 与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x3900＋400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：由题意可得总利润P(x)＝－x 3900＋300x －20 000,0≤x≤390,则P′(x)＝－x2300＋300,由P′(x)＝0,得x ＝300.当0≤x<300时,P′(x)>0；当300<x≤390时,P′(x)<0,所以当x ＝300时,P(x)最大．答案：D2．设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V解析：设正三棱柱的底面边长为x,高为h,则V ＝34x 2h, ∴S ＝2×34x 2＋3xh ＝32x 2＋43V x.由S′＝3x －43V x 2＝3x 3－4V x2＝0得,x ＝34V. 当0＜x ＜34V 时,S′＜0,当x ＞34V 时,S′＞0, ∴x ＝34V 时,S 最小． 答案：C3．某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R 与年产量x 的关系是R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 20≤x≤400，80 000x>400，则总利润最大时,每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析：由题意,总成本为：C ＝20 000＋100x,所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x≤400，60 000－100x ，x>400，P′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x≤400，－100，x>400，令P′＝0,当0≤x≤400时,得x ＝300；当x>400时,P′<0恒成立,易知当x ＝300时,总利润最大． 答案：D4．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器的底面一边比高长出0.5 m,则当高为________m 时,容器的容积最大．解析：设高为x 米,则V ＝x(x ＋0.5)⎝ ⎛⎭⎪⎫14.84－0.5－2x＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x,x ∈(0,1.6), V′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6,令V′＝0, 解得x ＝1或x ＝－415(舍去)．当0<x<1时,V′>0,当1<x<1.6时,V′<0,所以当x ＝1时,容器的容积取得最大值． 答案：15．做一个无盖的圆柱水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为________． 解析：用料最省,即水桶的表面积最小． 设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为27r 2,所以S ＝πr 2＋2πr×27r 2＝πr 2＋54πr (r>0),求导数,得S′＝2πr－54πr 2,令S′＝0,解得r ＝3.当0<r<3时,S′<0；当r>3时,S′>0, 所以当r ＝3时,圆柱形水桶的表面积最小, 即用料最省． 答案：36．某工厂要围建一个面积为128 m 2的矩形堆料场,一边可以用原有的墙壁,其他三边要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料最省,则堆料场的长、宽应分别是多少？解：设场地宽为x m,则长为128xm, 因此新墙总长度为y ＝2x ＋128x(x ＞0), y′＝2－128x 2,令y′＝0,∵x>0,∴x ＝8.因为当0＜x ＜8时,y′＜0；当x ＞8时,y′＞0, 所以当x ＝8时,y 取最小值,此时宽为8 m,长为16 m. 即当堆料场的长为16 m,宽为8 m 时,可使砌墙所用材料最省．一、选择题1．已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x－234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：因为y′＝－x 2＋81,所以当x ∈(9,＋∞)时,y′＜0；当x ∈(0,9)时,y′＞0,所以函数y ＝－13x3＋81x －234在(9,＋∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x ＝9是函数的极大值点,又因为函数在(0,＋∞)上只有一个极大值点,所以函数在x ＝9处取得最大值．答案：C2．若一球的半径为r,作内接于球的圆柱,则圆柱侧面积的最大值为( ) A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D.12πr 2解析：设内接圆柱的底面半径为r 1,高为t, 则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r. 此时S ＝4π·22r·r 2－⎝⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r·22r ＝2πr 2. 答案：A3．某商品一件的成本为30元,在某段时间内若以每件x 元出售,可卖出(200－x)件,要使利润最大每件定价为( )A ．110元B ．115元C ．120元D ．125元解析：设每件商品定价x 元,依题意可得利润为S(x)＝(x －30)(200－x)＝－x 2＋230x －6 000(0<x<200), S′(x)＝－2x ＋230,令－2x ＋230＝0,得x ＝115.因为在(0,200)内S(x)只有一个极值,所以以每件115元出售时利润最大． 答案：B4．某商场根据以往规律预计某种商品2018年第x 月的销售量f(x)＝－3x 2＋40x(x ∈N ＋,1≤x≤12),该商品的进价q(x)与月份x 的关系是q(x)＝150＋2x(x ∈N ＋,1≤x≤12),该商品每件的售价为185元,若不考虑其它因素,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是( )A ．3 120元B ．3 125元C ．2 417元D ．2 416元解析：该商场预计销售该商品的月利润为 g(x)＝(－3x 2＋40x)(185－150－2x) ＝6x 3－185x 2＋1 400x(x ∈N ＋,1≤x≤12), g′(x)＝18x 2－370x ＋1 400.令g′(x)＝0,解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x≤5时,g′(x)＞0；当5＜x≤12时,g′(x)＜0, ∴当x ＝5时,g(x)max ＝g(5)＝3 125(元)． 所以5月份的月利润最大是3 125元． 答案：B 二、填空题5．某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x ＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物,则n ＝400x, ∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n ＋4x ＝1 600x ＋4x,令f′(x)＝4－1 600x 2＝0,解得x ＝20,x ＝－20(舍去),x ＝20是函数f(x)的最小值点,故当x ＝20时,f(x)最小．答案：206．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x,其中x 为销售量(单位：辆),若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________万元．解析：设甲地销售x 辆,则乙地销售(15－x)辆．总利润L ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x)＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x≥0)．令L′＝－0.3x ＋3.06＝0,得x ＝10.2.∴当x ＝10时,L 有最大值45.6.答案：45.67．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为______．解析：设圆锥高为h,底面半径为r,则R 2＝(h －R)2＋r 2,∴r 2＝2Rh －h 2,∴V ＝13πr 2h ＝π3h(2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3, V′＝43πRh－πh 2.令V′＝0得h ＝43R. 当0<h<4R 3时,V′>0；当4R 3<h<2R 时,V′<0. 因此当h ＝43R 时,圆锥体积最大． 答案：43R 8．某厂生产某种产品x 件的总成本c(x)＝1 200＋275x 3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为________件时,总利润最大．解析：设产品的单价为p 万元,根据已知,可设p 2＝k x,其中k 为比例系数． 因为当x ＝100时,p ＝50,所以k ＝250 000,所以p 2＝250 000x ,p ＝500x ,x>0. 设总利润为y 万元,则y ＝500x·x－1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200. 求导数得,y′＝250x －225x 2. 令y′＝0得x ＝25.故当0<x<25时,y′>0；当x>25时,y′<0.因此当x ＝25时,函数y 取得极大值,也是最大值．答案：25三、解答题9.如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m 2的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),道路的宽度均为2 m ．怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为x m,则宽为2 400xm,绿化区域的总面积为S(x) m 2. 则S(x)＝(x －6)⎝ ⎛⎭⎪⎫2 400x －4＝2 424－⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋6×2 400x ＝2 424－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3 600x ,x ∈(6,600)． ∴S′(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3 600x 2＝－4x ＋60x －60x 2.令S′(x)＞0,得6＜x ＜60；令S′(x)＜0,得60＜x ＜600.∴S(x)在(6,60)上是增函数,在(60,600)上是减函数,∴当x ＝60时,S(x)取得极大值,也是最大值,∴S(x)max ＝S(60)＝1 944.∴当休闲广场的长为60 m,宽为40 m 时,绿化区域的总面积最大,最大面积为1 944 m 2.10．某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内,预计年销量Q (万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入3万元,每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．如果年广告费投入100万元,企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大？解：(1)由题意,每年产销Q 万件,共计成本为(32Q ＋3)万元． 销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x·50%.∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q ＋3－x)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32×3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x≥0)． ∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x≥0)． 当x ＝100时,y ＜0,即当年广告费投入100万元时,企业亏损．(2)由y ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x≥0)可得 y′＝－2x ＋98x ＋1－－x 2＋98x ＋352x ＋12 ＝－x 2－2x ＋632x ＋12. 令y′＝0,则x 2＋2x －63＝0.∴x ＝－9(舍去)或x ＝7.∵当0＜x ＜7,y′＞0；当x ＞7,y′＜0,∴当x ＝7时,y 有最大值．即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大．。
【成才之路】高中数学 2、1-4生活中的优化问题举例同步检测 新人教版选修2-2
选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例一、选择题1．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43RD.34R [答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(R －h )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R .当0<h <43R 时，V ′>0；当4R3<h <2R 时，V ′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．故应选C.2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，则V ＝34x 2h ，∴h ＝4V3x2 . ∴S 表＝2×34x 2＋3x ·4V 3x2＝32x 2＋43V x ， ∴S ′表＝3x －43V x2，令S ′表＝0得x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′<0；x >34V 时，S ′>0. 因此当底边长为34V 时，其表面积最小．3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系式R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400.则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300[答案] D[解析] 由题意，总成本为C ＝20000＋100x . 所以总利润为P ＝R －C＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400，∴P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′＝0，得x ＝300，当0<x <300时，P ′>0，当300<x <400时，P ′<0，分析可知当x ＝300时，取得最大值，故应选D.4．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，则该长方体的最大体积为( )A ．2m 3B ．3m 3C ．4m 3D ．5m 3[答案] B[解析] 设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x 4＝4.5－3x (m)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x ) 令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去) 当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极值就是V (x )的最大值 从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 2)．5．若球的半径为R ，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( ) A ．2πR 2B ．πR 2C ．4πR 2D.12πR 2 [答案] A[解析] 设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ， 则x ＝R 2－h 24∴S 侧＝2πxh ＝2πhR 2－h 24＝2πR 2h 2－h 44令t ＝R 2h 2－h 44，则t ′＝2R 2h －h 3令t ′＝0，则h ＝2R当0<h <2R 时，t ′>0，当2R <h <2R 时，t ′<0， 所以当h ＝2R 时，圆柱侧面积最大． ∴侧面积最大值为2π2R 4－R 4＝2πR 2，故应选A.6．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算． ∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9，所以x ∈(0,9)时，y ′>0，x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，y 先增后减．∴x ＝9时函数取最大值，选C ，属导数法求最值问题．7．内接于半径为R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75RD ．以上都不对[答案] B[解析] 设矩形一边的长为x ， 则另一边长为2R 2－x 2， 则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0<x <R )，l ′＝2－4xR 2－x 2，令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)．当0<x <55R 时，l ′>0；当55R <x <R 时，l ′<0. 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R ，455R . 8．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33cmB.1033cm C.1633cmD.2033cm [答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0<x <20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033舍去．当0<x <2033时，V ′>0；当2033<x <20时，V ′<0.所以当x ＝2033时，V 取得最大值．9．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为( )A.r2 B.32r C.33rD ．r[答案] D[解析] 如下图所示，为圆及其内接梯形，设∠COB ＝θ，则CD ＝2r cos θ，h ＝r sin θ，∴S ＝2r (1＋cos θ)2·r sin θ＝r 2sin θ(1＋cos θ)∴S ′＝r 2[cos θ(1＋cos θ)－sin 2θ] ＝r 2(2cos 2θ＋cos θ－1)令S ′＝0得cos θ＝－1(舍去)或cos θ＝12.即当cos θ＝12时，梯形面积最大，此时上底CD ＝2r cos θ＝r .故应选D.10．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )A ．25件B ．20件C ．15件D ．30件[答案] A[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250000，则a 2x ＝250000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)，y ′＝250x －225x 2， 由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．二、填空题11．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．[答案] 32m,16m[解析] 设长，宽分别为a ，b ，则ab ＝512，且l ＝a ＋2b ，∴l ＝2b ＋512b，∴l ′＝2－512b2，令l ′＝0得b 2＝256，∴b ＝16，a ＝32. 即当长、宽分别为32m 、16m 时最省材料．12．容积为256L 的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料． [答案] 4[解析] 设水箱高为h ，底面边长为a ，则a 2h ＝256，其面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a2＝a 2＋210a.令S ′＝2a －210a2＝0，得a ＝8.当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0；当a ＝8时，S 最小，此时h ＝2826＝4.13．内接于半径为R 的球，且体积最大的圆柱的高为____________． [答案]233R [解析] 如图，ABCD 为球面内接圆柱的轴截面，BD ＝2R ，设圆柱的高为x ，则圆柱底面半径为r ＝124R 2－x 2，圆柱体积V ＝πr 2x ＝π4(4R 2－x 2)x (0<x <2R )令V ′＝π4(4R 2－3x 2)＝0得x ＝233R .因为V (x )只有一个极值，所以当圆柱的高为233R 时，球内接圆柱体积最大．14．如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．[答案] 23[解析] 设四边形较短边为x ，则较长边为3x ，正六棱柱底面边长为1－2x ，高为3x ，∴V ＝6×12×sin60°×(1－2x )2×3x ＝92x (1－2x )2.V ′＝92(1－2x )(1－6x )，令V ′＝0，得x ＝16或x ＝12(舍去)．当0<x <16时，V ′>0；当16<x <12时，V ′<0.因此当x ＝16时，V 有最大值，此时底面边长为1－2×16＝23.三、解答题15．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？[解析] 设速度为每小时v 千米的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例常数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3. 又设当船的速度为每小时v 千米时，行1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1千米所需用时间为1v小时，所以行1千米的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v . q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v2(v 3－8000)，令q ′＝0，解得v ＝20.因当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0，所以当v ＝20时取得最小值． 即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．16．(2009·湖南理，19)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？[分析] 考查函数的性质和导数的运算及利用导数研究函数性质的能力和解决实际应用问题的能力．[解析] (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎪⎫mx－1＋m x(2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数， 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9，故需新建9个桥墩才能使y 最小．17．(2010·湖北理，17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[解析] (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5， 而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－2400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即2400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．18．(2009·山东理，21)两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与对城B 的影响度之和．记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点对城A 的距离；若不存在，说明理由．[解析] (1)根据题意∠ACB ＝90°，AC ＝x km ，BC ＝400－x 2km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k400－x 2，因此，总影响度y 为y ＝4x2＋k400－x2(0<x <20)．又因为垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065， 所以4(102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065， 解得k ＝9，所以y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(2)因为y ′＝－8x3＋18x(400－x 2)2＝18x 4－8×(400－x 2)2x 3(400－x 2)2＝(x 2＋800)(10x 2－1600)x 3(400－x 2)2.由y ′＝0解得x ＝410或x ＝－410(舍去)． 易知410∈(0,20)．y ，y ′随x 的变化情况如下表：y 最小值＝y |x ＝410＝116，此时x ＝410，故在上存在C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小，该点与城A的距离x＝410km.。
高二数学学案：生活中的优化问题举例含解析
1．4生活中的优化问题举例［目标］1。
学会解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。
2.学会利用导数解决生活中简单实际问题，并体会导数在解决实际问题中的作用.3.提高将实际问题转化为数学问题的能力．［重点] 用导数解决实际生活中的最优化问题．［难点］将实际问题转化为数学问题．知识点生活中的优化问题［填一填］1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的基本思路［答一答］利用导数解决生活中的优化问题时应注意什么问题？提示：（1）在求实际问题的最大(小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去;(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间；（3）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小）值,那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小)值．1．利用导数解决优化问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题．2．利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：(1）当问题中涉及多个变量时,应根据题意分析它们的关系,找出变量间的关系式;(2）确定函数关系式中自变量的取值范围；(3）所得的结果要符合问题的实际意义．3．要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法、导数法．类型一利润最高问题【例1】某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．(1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解】（1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f（x）,则有f(x）＝（30－x－9)（432＋kx2）＝(21－x)(432＋kx2），又由已知条件得24＝k×22，于是有k＝6。
生活中的优化问题举例导学案及练习题
生活中的优化问题举例导学案及练习题本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址【学习要求】1. 了解导数在解决实际问题中的作用.2. 掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.【学法指导】1. 在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想. 2. 感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.. 在经济生活中，人们常常遇到最优化问题. 例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是2. 利用导数解决最优化问题的实质是3. 解决优化问题的基本思路是上述解决优化问题的过程是一个典型的过程.引言数学源于生活，寓于生活，用于生活. 在我们的生活中处处存在数学知识，只要你留意，就会发现经常遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“利润最大”等问题，这些问题通常称为最优化问题，在数学上就是最大值、最小值问题. 导数可以解决这些问题吗？如何解决呢？探究点一面积、体积的最值问题问题如何利用导数解决生活中的最优化问题？例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传. 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？跟踪训练1如图，四边形ABcD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流mD其经过的路线是以AB 的中点m为顶点且开口向右的抛物线.新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQcN问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积.探究点二利润最大问题例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8 n r2分，其中r是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y与销售价格x满足关系式y = ax - 3 + 102 , 其中3<x<6 ，a 为常数. 已知销售价格为5 元/千克时，每日可售出该商品11 千克.求a 的值；若该商品的成本为3 元/ 千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.探究点三费用最省问题例3 已知A、B两地相距200km, —只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h. 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v = 12km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？跟踪训练3 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960 元.把全程运输成本y 表示为速度x 的函数；为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？【达标检测】. 方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为A.4B.6c.4.5D.82. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k. 已知贷款的利率为0.0486 ，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去. 设存款利率为x , x €,若使银行获得最大收益，则x的取值为A.0.0162B.0.0324c.0.0243D.0.04863. 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 关于行驶速度x 的函数解析式可以表示为y = 1128000x3 - 380x+ 8.已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？。
高中数学-生活中的优化问题举例练习
高中数学-生活中的优化问题举例练习一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是 A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末D ．1秒末和2秒末【答案】D2．现做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为 A 203cm B ．100cmC ．20cmD ．203cm 【答案】A【解析】设高为x cm 2400x -cm ，所以圆锥形漏斗的体积3231π(400)π(400c 3)m 3x x x x V -⋅-⋅==，2π(4003)3V x '=-， 令0V '=，得203x =或203x =，则当203x =cm 时，体积最大．故选A ． 3．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为348m ，高为3m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为 A ．900元 B ．840元 C ．818元D ．816元【答案】D【解析】设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元， 根据题意，得48481615122(3)24072()(0)3l x x x x x =⨯+⨯+=++>，21672(1)l x-'=． 令0l '=，解得4x =或4x =-(舍去)．当04x <<时，0l '<；当4x >时，0l '>； 故当4x =时，l 取得最小值，为816．因此，当箱底是边长为4m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D ． 二、填空题：请将答案填在题中横线上．4．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24y x =-在x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为______________．【答案】233和835．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为______________万件． 【答案】9【解析】由31812343y x x =-+-，得281y x '=-+，由2810x -+=，得19x =-（舍去），29x =． 当(0,9)x ∈时，0y '>，函数31812343y x x =-+-为增函数；当(9,x ∈+∞)时，0y '<，函数31812343y x x =-+-为减函数，所以当9x =时，函数有极大值，也就是最大值，为3198192342523-⨯+⨯-=（万元）．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：厘米）满足关系：()(010)35kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值． 【答案】（1）40k =，800()6(010)35f x x x x =+≤≤+；（2）隔热层5cm 厚时，总费用最小为70万元．（2）22400()6(35)f x x '=-+，令()0f x '=，解得5x =或253x =-（舍去）． 当05x <<时，()0f x '<；当510x <<时，()0f x '>， 故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值是800(5)3070155f =+=+． 故当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元．7．请你设计一个包装盒，如图，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．（1）某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【答案】（1）15；（2）当20x =时V 取得最大值，包装盒的高与底面边长的比值为12．（2）23222(30)62(20)V a h x x V x x ==-+=-'，， 由0V '=，得 0x =(舍去)或20x =．当(020)x ∈，时，0V '>；当 (2030)x ∈，时，0V '<． 所以当20x =时，V 取得极大值，也是最大值． 此时1 2ha =，即包装盒的高与底面边长的比值为1 2． 8．如图1，45ACB ∠=︒，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠=︒（如图2所示）．则当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大？图1 图2【答案】当1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．【解析】在如题图1所示的ABC △中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．由AD BC ⊥， 45ACB ∠=︒知，ADC △为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-． 由折起前AD BC ⊥知，折起后（如题图2），AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D =，所以AD ⊥平面BCD ． 因为90BDC ∠=，所以11(3)22BCD S BD CD x x =⋅=-△． 于是321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=⋅=-⋅-=-+△．令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =． 当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<． 所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时，三棱锥A BCD -的体积最大．9．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为0π38立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ．【答案】（1）2160π4π(2),02y c r r r =-+<≤；（2）3202r c =-．（2）由（1）得322160π20()(028π(2)8π))2(2c r r r r c y c r -'=--=-<≤-， 因为3c >，所以20c ->，当32002r c -=-时，3202r c =- 3202m c =-，则0m >．所以222(π(()2))8r m r rm m r c y -++-'=． ①当02m <<，即92c >时，令0y '=，解得r m =．当(0,)r m ∈时，0y '<，函数y 单调递减；当(2)r m ∈，时，0y '>，函数y 单调递增． 所以3202r m c ==-是函数2160π4π(2)y c r r =-+的极小值点，也是最小值点．②当2m ≥，即932c <≤时，当(02]r ∈，时，0y '≤，函数y 单调递减， 所以2r =是函数2160π4π(2)y c r r=-+的最小值点．综上所述，当932c <≤时，该容器的建造费用最小时2r =；当92c >时，该容器的建造费用最小时3202r c =-． 10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 【答案】（1）3300π()54()V r r r -=，053r <<；（2）见解析．（2）因为V (r )＝π5(300r －4r 3)（053r <<，所以2()3001π(52)V r r =-'． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝5-（因为r 2＝5-不在定义域内，舍去）． 当r ∈(0，5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0，5)上为增函数； 当r ∈(5，3时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5，53上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．。
【成才之路】-学年高中数学 3.4生活中的优化问题举例练习 新人教A版选修1-1
3.4生活中的优化问题举例一、选择题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )[答案] A[解析] 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A ．2．若商品的年利润y (万元)与年产x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件[答案] C[解析] 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．3．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·(60－x 2)(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．35[答案] B[解析] V ′(x )＝(30x 2－x 32)′＝60x －32x 2，x ∈(0,60)．令V ′(x )＝0，得x ＝40.∴当x ＝40时，箱子的容积有最大值．4．甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前四年该产品产量增长速度越来越快；②前四年该产品产量增长速度越来越慢； ③第四年后该产品停止生产； ④第四年后该产品年产量保持不变． 其中说法正确的有( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③[答案] B[解析] 由图象可知，②④是正确的．5．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)；生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，则应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台[答案] A[解析] 设利润为y (万元)，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－2x 3＋x 2＝18x 2－2x 3(x >0)， y ′＝36x －6x 2，令y ′>0，得0<x <6， 令y ′<0，得x >6，∴当x ＝6时，y 取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A ．3V B ．32V C ．34V D ．23V[答案] C[解析] 如图，设底面边长为x (x >0)，则底面积S ＝34x 2，∴h ＝V S ＝4V 3x2. S 表＝x ·4V 3x2×3＋34x 2×2＝43V x ＋32x 2，S ′表＝3x －43Vx2，令S ′表＝0得x ＝34V ，因为S 表只有一个极值，故x ＝34V 为最小值点． 二、填空题7．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大． [答案] 15cm 15cm[解析] 设长为x cm ，则宽为(30－x )cm ，此时S ＝x ·(30－x )＝30x －x 2，S ′＝30－2x ＝0，所以x ＝15.所以长为15cm ，宽为15cm 时，矩形的面积最大．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________.[答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋54πR，∴S ′(R )＝2πR －54πR2＝0，令S ′＝0得R ＝3，∴当R ＝3时，S 表最小．9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是________.[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <32)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1，∵0<x <32，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3. 三、解答题10．用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？[解析] 设水箱底边长为x cm ，则水箱高为h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝60x 2－x 32(0<x <120)(cm 3)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0得，x ＝0(舍)或x ＝80.当x 在(0,120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在x ＝80V (x )的最大值． 将x ＝80代入V (x )，得最大容积 V ＝802×60－8032＝128 000(cm 3)．答：水箱底边长取80cm 时，容积最大，最大容积为128 000cm 3.一、选择题1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D ．2．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8C ．43D ．83[答案] C[解析] V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x2－x 3＝3x 2－x33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )．令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.3．某工厂需要建一个面积为512m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为( )A ．16m,16mB ．32m,16mC ．32m,8mD ．16m,8m[答案] B[解析] 如图所示，设场地一边长为x m ， 则另一边长为512xm.因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)． ∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴x ＝16必是最小值点． ∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16m ，长为32m 时，可使砌墙所用的材料最省．4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.0486)，若使银行获得最大效益，则x 的取值为( )A ．0.0162B ．0.0324C ．0.0243D ．0.0486[答案] B[解析] 依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.0486kx 2，其中x ∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y ＝0.0486kx 2－kx 3(0<x <0.0486)，则y ′＝0.0972kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.0324或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.0324时，y ′>0；当0.0324<x <0.0486时，y ′<0. 所以当x ＝0.0324时，y 取得最大值，即 当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益． 二、填空题5．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料． [答案] 4[解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值． 6．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________元．[答案] 85[解析] 设每件商品定价x 元，依题意可得利润为L ＝x (200－x )－30x ＝－x 2＋170x (0＜x ＜200)．L ′＝－2x ＋170，令－2x ＋170＝0，解得x ＝1702＝85. 因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大． 三、解答题7．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C (x )＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？[解析] 设该厂生产x 件这种产品利润为L (x ) 则L (x )＝500x －2 500－C (x ) ＝500x －2 500－⎝ ⎛⎭⎪⎫200x ＋136x 3 ＝300x －136x 3－2 500(x ∈N )令L ′(x )＝300－112x 2＝0，得x ＝60(件)又当0≤x <60时，L ′(x )>0x >60时，L ′(x )<0所以x ＝60是L (x )的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝60时，L (x )＝9 500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．8.已知圆柱的表面积为定值S ，求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h 的值．[分析] 将容积V 表示为高h 或底半径r 的函数，运用导数求最值．由于表面积S ＝2πr 2＋2πrh ，此式较易解出h ，故将V 的表达式中h 消去可得V 是r 的函数．[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′＝S －6πr 22，令V ′＝0得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， 又r ＝S6π，∴h ＝2S6π＝6πS3π. 即当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 为6πS3π.。
高中数学 3.4 生活中的优化问题举例知能演练 文(含解
2013-2014学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例知能演练文（含解析）新人教A 版选修2-11.已知某生产厂家的年利润 y (单位：万元)与年产量 x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.∵y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，则 x ＝9. 当x <9时，y ′>0，当x >9时，y ′<0. ∴当x ＝9时，利润最大．2．把长度为 l 的铁丝围成一个长方形，则围成的最大面积为( )A ．l 2B.l 24 C.l 28D.l 216解析：选D.设长方形一边长为 x ，则另一边长为l2－x ，从而可知面积S ＝x (l 2－x )＝－x 2＋l 2x (0<x <l 2)．令S ′＝－2x ＋l 2＝0知 x ＝l4.又0<x <l 4时，S ′>0，l 4<x <l2时， S ′<0，故S max ＝l 216，故选D. 3．若一球的半径为 r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D.12πr 2解析：选A.如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则 R ＝r cos θ， l ＝2r sin θ. ∴S 侧＝2πR ·l＝2πr cos θ×2r sin θ＝4πr 2sin θcos θ.∴由S ′＝4πr 2(cos 2 θ－sin 2θ)＝0得θ＝π4.∴当θ＝π4，即R ＝22r 时，S 侧 最大，且S 侧 最大值为2πr 2.4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加 100元．已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000x >400.则总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 解析：选 D.由题意知，总成本为 C ＝20 000＋100x ， 所以总利润为 P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 0000≤x ≤400，60 000－100x ，x >400则P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400.令 P ′＝0，当0≤x ≤400时，得 x ＝300；当 x >400时，P ′<0恒成立．易知当 x ＝300时，总利润最大．5．某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长和宽各为( )A ．16 m,16 mB ．32 m,16 mC ．32 m,8 mD ．16 m,8 m 解析：选B.如图所示，设场地一边长为 x m ，则另一边长为512x m.因此新墙总长度 L ＝2x ＋512x(x >0)．L ′＝2－512x2，令L ′＝0，得 x ＝16或x ＝－16(舍去)．∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴它必是最小值点．∵ x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用材料最省．6．函数 y ＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝ ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1.易知 x ＝－2和x ＝1是函数f (x )的极值点，由函数f (x )的图象经过四个象限并结合图形可得f (－2)·f (1)<0，解得－65<a <－316.答案：(－65，－316)7．体积为定值 V 0的正三棱柱，当它的底面边长为________时，正三棱柱的表面积最小． 解析：设底面的边长为 a ，高为 h ，则V 0＝34a 2h ，∴h ＝4V 03a 2，S ＝34a 2×2＋3ah ＝32a 2＋3a ·4V 03a2＝32(a 2＋8V 0a )，∴S ′＝32(2a －8V 0a 2)，由S ′＝0得 a ＝34V 0，所以当底面的边长为a ＝34V 0时，正三棱柱的表面积最小． 答案： 34V 0 8．在半径为 r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大.解析：如图，设∠OBC ＝θ，则 0<θ<π2，OD ＝r sin θ，BD ＝r cos θ . ∴S △ABC ＝r cos θ(r ＋r sin θ) ＝r 2cos θ＋r 2sin θ·cos θ.令S ′＝－r 2sin θ＋r 2(cos 2 θ－sin 2θ)＝0，∴cos 2θ＝sin θ，∴1－2sin 2θ＝sin θ，解之得sin θ＝12，又0<θ<π2，∴θ＝π6.即当θ＝π6时，△ABC 的面积最大，即高为 OA ＋OD ＝3r2时面积最大．答案：3r 29．已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C ＝100＋4q ，价格 p 与产量 q的函数关系式为 p ＝25－18q (0<q <100)．求产量 q 为何值时，利润 L 最大？解：收入R ＝q ·p＝q (25－18q )＝25q －18q 2，利润 L ＝R －C＝(25q －18q 2)－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <100)．求导 L ′(q )＝－14q ＋21，令L ′(q )＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点 q ＝84.因为 L (q )在(0,100)上只有一个极值，所以最大值为 L (84)＝782.所以产量为84时，利润 L 最大，最大值为 L (84)＝782.10．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，问当给存户支付的年利率为多少时才能获得最大利润？解：设支付存户的年利率为 x ，银行获得的利润 y 是贷出后收入的利润与支付存户的利息差，即 y ＝kx 2×0.9×0.1－kx 2·x＝0.09kx 2－kx 3(x >0)，令 y ′＝0.18kx －3kx 2＝0， 得 x ＝0.06或 x ＝0(舍去)． 当 0<x <0.06时， y ′>0；故当 x ＝0.06时，y 取得极大值，并且这个极大值就是函数 y 的最大值，即当给存户支付的年利率为6%时，才能获得最大利润．1．横梁的强度和它的矩形横断面的高的平方与宽的乘积成正比，要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为( )A.3d ，33dB.33d ，63dC.63d ，33d D.63d ，3d 解析：选C.如图所示，设矩形横断面的宽为 x ，高为y ，由题意，知当xy 2取得最大值时，横梁的强度最大． ∵y 2＝d 2－x 2，∴xy 2＝x (d 2－x 2)(0<x <d )．令f (x )＝x (d 2－x 2)(0<x <d )，求导数，得f ′(x )＝d 2－3x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝33d 或 x ＝－33d (舍去)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，当33d <x <d 时，f ′(x )<0， 因此，当x ＝33d 时，f (x )取得极大值，也是最大值． 综上，当矩形横断面的高为63d ，宽为33d 时，横梁的强度最大． 2．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10千米处建仓库，y 1和 y 2分别为 2 万元和 8 万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库与车站相距 x 千米，依题意可设每月土地占用费 y 1＝k 1x，每月库存货物的运费 y 2＝k 2x ，其中 x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数，于是由 2＝k 110得 k 1＝20；由 8＝10k 2得 k 2＝45.∴两项费用之和为 y ＝20x ＋4x5(x >0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去)．当x >5时，y ′>0.∴当 x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．∴当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小． 答案：53．有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 千米的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 千米，两厂要在此岸边合建一个供水站 C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？( 已知(x 2＋b 2)′＝x x 2＋b 2)解：如图，由题意知，只有点 C 位于线段 AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点 C 距点 D 为 x km ，则 BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402，又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50)．∴y ′＝－3a ＋5axx 2＋402，令y ′＝0，解得 x ＝30. 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30 处取得最小值，此时 AC ＝50－x ＝20 (km)．∴供水站建在 A ，D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省． 4.如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S ，水面的高为 h ，问侧面与地面成多大角度时，才能使横断面被水浸湿的长度最小？解：设浸湿的长度为 l ，AB ＝CD ＝x ，则 l ＝BC ＋2x ＝S h－x cos θ＋2x＝S h ＋(2－cos θ)x ＝S h ＋(2－cos θ)·h sin θ， ∴l ′＝h ·sin 2θ－2－cos θcos θsin 2 θ＝h ·1－2cos θsin 2θ. 令l ′＝0, 即 1－2cos θsin 2θ＝0 ，解得 cos θ＝12，∴θ＝60°. ∵l 只有一个极值，∴它是最小值．将θ＝60°代入 l ＝S h ＋(2－cos θ)·hsin θ，解得：l min ＝Sh＋3h .∴当侧面与地面成60°角时，才能使横断面被水浸湿的长度最小．。
高中数学 3.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修11[1]
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设 AD＝2x(0<x<2)，则 A(x,0)， AB＝y＝4－x2， ∴矩形面积为 S＝2x(4－x2)(0<x<2)， 即 S＝8x－2x3， S′＝8－6x2，令 S′＝0， 解得 x1＝ 23，x2＝－ 23(舍去)．
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令 V′(x)＝0，得 12x2－8ax＋a2＝0. 解得 x1＝16a，x2＝12a(舍去)． x1＝16a 在区间0，a2内，x1 可能是极值点．且 当 0<x<x1 时，V′(x)>0； 当 x1<x<a2时，V′(x)<0.
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因此 x1 是极大值点，且在区间0，a2内，x1 是唯一的极值 点，所以 x＝16a 是 V(x)的最大值点．
所以 BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402.
又设总的水管费用为 y 元，则
y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．
所以 y′＝－3a＋
5ax x2＋40 .
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令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)． 当x<30时，y′<0；当x>30时，y′>0. 所 以 当 x ＝ 30 时 ， 取 得 (qǔdé) 最 小 值 ， 此 时 AC ＝ 50 － x ＝ 20(km)， 即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最 省．
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牛刀小试
1．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单
高中数学全程复习方略3.4生活中的优化问题举例
2.设一个容积V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为h，底面 半径为r，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，要使造价最 低，应如何确定h∶r？
【解析】1.设速度为x km/h，甲、乙之间的距离为a km，则
总费用为y=f(x)=(kx3+2a00) =a(kx2 20+0
x
x
∵40=k·203=8 000k，
面积、容积的最值问题 【技法点拨】
解决面积、容积的最值问题的思路 解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积 表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函 数的最值.
【典例训练】 1.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛 物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边 长为___________.
令S′=0，解之得 x12 3 3， x2( 舍去2 3).3 当0<x<2 3 时，S′>0；
3
当 2 <3 x<2时，S′<0.
3
∴当x= 2 时3 ,S取得最大值为 .3 2 3
3
9
即矩形的边长分别是 4 3 时，8 ，矩形的面积最大.
33
答案： 4 3 ，8
33
2.方法一：设箱底边长为x cm，
【典例训练】 1.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1 200＋ 2 x 3 (万元)，
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已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产
品单价为50万元，则产量定为__________件时，总利润最大.
2.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单 位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ a
高中数学-生活中的优化问题举例练习
高中数学-生活中的优化问题举例练习基础达标(水平一)1.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为().A.4 m2B.8 m2C.12 m2D.16 m2【解析】设矩形一边长为x(0<x<8)m,则另一边为(8-x)m.S=x(8-x),易知当x=4时,S有最大值16 m2.【答案】D2.某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+x3,且产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元.当总利润最大时,产量应定为().A.15件B.20件C.25件D.30件【解析】设产品单价为a元,又产品单价的平方与产品件数x成反比,所以a2x=k.由题可知,k=250000,则a2x=250000,所以a=.总利润y=500-x3-1200(x>0),y'=-x2,令y'=0,得x=25,当x∈(0,25)时,y'>0;当x∈(25,+∞)时,y'<0.所以当x=25时,y取得极大值,也是最大值.【答案】C3.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时,t的值为().A.1B.C.D.【解析】令F(x)=f(x)-g(x)=x2-ln x,∴F'(x)=2x-.令F'(x)=0,得x=或x=-(舍去),∴F(x)在x=处最小.【答案】D4.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=-+400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是().A.150B.200C.250D.300【解析】由题意可得总利润P(x)=-+300x-20000,0≤x≤390,则P'(x)=-+300.由P'(x)=0,得x=300.当0≤x<300时,P'(x)>0;当300<x≤390时,P'(x)<0,所以当x=300时,P(x)最大.故选D.【答案】D5.面积为S的所有矩形中,其周长最小时的边长是.【解析】设矩形的长为x,则宽为,周长y=2,y'=2,令y'=0,得x=.当0<x<时,y'<0;当x>时,y'>0.所以当x=时周长最小.【答案】6.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品定价为P元,则销售量Q(单位:件)与定价P(单位:元)有如下关系:Q=8300-170P-P2.则该商品定价为元时,毛利润L最大.【解析】由题意得L=P·Q-20Q=-P3-150P2+11700P-166000(P>0),∴L'=-3P2-300P+11700.令L'=0,得P=30或P=-130(舍去).当P∈(0,30)时,L'>0;当P∈(30,+∞)时,L'<0,∴当P=30时,L取得极大值,也是最大值.故当定价为30元时,毛利润最大为L=23000元.【答案】307.某种新型快艇在某海域匀速行驶中,每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+3(0<x≤120).已知该海域甲、乙两地相距120千米.(1)当快艇以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当快艇以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少?最少约为多少升?(精确到0.1升)【解析】(1)当x=40时,快艇从甲地到乙地行驶了=3 小时,故耗油量为×3=10 升.(2)当速度为x千米/小时时,快艇从甲地到乙地行驶了小时.设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=×=x2+-(0<x≤120),h'(x)=-=.(0<x≤120)令h'(x)=0,得x=60,当x∈(0,60)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(60,120]时,h'(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=60时,h(x)min=≈8.7.故当快艇以60千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少约为8.7升.拓展提升(水平二)8.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30千米/小时,当速度为10千米/小时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)是每小时400元.如果甲、乙两地相距800千米,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为().A.30千米/小时B.25千米/小时C.20千米/小时D.10千米/小时【解析】设航速为v(0≤v≤30),每小时燃料费为m,则m=kv3,∵v=10时,m=25,代入上式得k=,∴总费用y=·m+×400=20v2+,∴y'=40v-.令y'=0,得v=20.经判断知v=20时,y最小,故选C.【答案】C9.某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则银行获得最大收益的存款利率为().A.3.2%B.2.4%C.4%D.3.6%【解析】依题意知,存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,银行应获得的利息是0.048kx2,所以银行的收益y=0.048kx2-kx3,故y'=0.096kx-3kx2.令y'=0,得x=0.032或x=0(舍去).因为k>0,所以当0<x<0.032时,y'>0;当0.032<x<0.048时,y'<0.因此,当x=0.032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大收益.【答案】A10.圆柱形饮料罐的容积一定时,它的高与底面直径之比是时,所用材料最省.【解析】设底面半径为r,高为h,则表面积S=2πrh+2πr2,由V=πr2h,所以h=,则S=+2πr2.令S'=-+4πr=0,得r=,所以h==2=2r,此时,高与底面直径相等,表面积取得极小值,也是最小值,用料最省.【答案】1∶111.请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用).它的上部分是底面圆半径为5 m的圆锥,下部分是底面圆半径为5 m的圆柱,且该仓库的总高度为5 m.经过预算,制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2、1百元/m2,设圆锥母线与底面所成的角为θ,且θ∈,问当θ为多少时,该仓库的侧面总造价(单位:百元)最少?并求出此时圆锥的高度.【解析】设该仓库的侧面总造价为y百元,则y=×1+×4=50π.由y'=50π=0,得sin θ=,θ∈,所以θ=.列表如下:θy'-0 +y↘极小值↗所以当θ=时,侧面总造价y最小,此时圆锥的高度为 m.。
湘教版高中数学选修学生活中的优化问题举例活页训练
2013-2014学年高中数学 3.4生活中的优化问题举例活页训练 湘教版选修1-1基础达标 (限时20分钟)1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量 为( )．A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析 令y ′＝－x 2＋81＝0，得x 1＝－9(舍去)，x 2＝9.注意当x ∈(－9,9)时，y ′>0，函数单调递增，当x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，函数单调递减，所以x ＝9是函数的极大值点，故选C.答案 C2．已知一矩形内接于半径为R 的半圆，则矩形周长最大时的边长 为 ( )．A.R 2和3R 2B.5R 5和45R5C.4R 5和7R 5D.4R 5和45R 5解析 如图，设∠COB ＝α，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则矩形的边长分别为R sin α和2R cos α，则周长l ＝2(R sin α＋2R cos α)＝2R (sin α＋2cos α)．由l ′＝2R (cos α－2sin α)＝0，得cos α＝2sin α， 解得cos α＝25，sin α＝15.又函数l ＝2R (sin α＋2cos α)为单峰函数，故边长分别为5R 5和45R5，故选B. 答案 B3．制作一个母线长为20 cm 的圆锥形漏斗，要使其体积最大，则其高应 为( )．A.2033 cmB ．100 cmC ．20 cmD.203cm 解析 设高为h cm(0<h <20)，圆锥的底面半径为r ，则r 2＝400－h 2，则V ＝13πr 2h ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)，所以V ′＝13π(400－3h 2)＝0，解得h ＝2033，故选A.答案 A4．将正数a 分解为两个正数的和，使这两个正数的立方和为最小，则这两个正数分别为________和________．解析 设所分成的两个整数为x 和a －x (0<x <a )，则它们的立方和为y ＝x 3＋(a －x )3.令y ′＝3x 2－3(a －x )2＝0得x ＝a2.又函数y ＝x 3＋(a －x )3为单峰函数，故两个正数的立方和为最小时，这两个正数都等于a2.答案 a 2 a 25．设气球以每秒36π cm 3的常速注入气体，假设气体压力不变，那么在8秒末气球半径的增加速度为________．解析 设在t 时刻气球的半径为r (t )，体积为V ，则V ＝43πr 3(t )＝36πt ，所以，把t ＝8代入，得r ′(t )＝14.答案 14cm/s6．用总长14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解 设容器底面短边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ， 高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝(3.2－2x )(m)．由3.2－2x >0和x >0，得0<x <1.6. 设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )(0<x <1.6)． 整理，得y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x . ∴y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，有－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，即15x 2－11x －4＝0. 解得x 1＝1或x 2＝－415(不合题意，舍去)．从而在定义域(0,1.6)内，只有在x ＝1处使得y ′＝0.因此，当x ＝1时，y 取得最大值且y max ＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m 3)，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)．综合提高 (限时25分钟)7．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )．A ．150B ．200C ．250D ．300解析 总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，90 090－100x －20 000，x >390，由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D. 答案 D8．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的容积最大时底面边长为 ( )．A.13B.23 C ．1D.43解析 设切去四边形后正六边形的边长为x ，则正六棱柱的高为32(1－x )，体积V ＝94x 2(1－x )，V ′＝94(2x －3x 2)＝94x (2－3x )，当x ＝23时，V max ＝13.故选B.答案 B9．建造一个总体积一定的圆柱形锅炉，若两个底面的材料每单位面积的造价为a 元，侧面的材料每单位面积的造价为b 元，当造价最低时，锅炉的直径与高的比值为________．解析 设锅炉的底面半径为r ，高为h ， 则体积为V ＝πr 2h .总造价P ＝2πr 2·a ＋2πrh ·b ＝2πar 2＋2b Vr (r >0)．令P ′＝4πar －2bV r 2＝0，得r 3＝b V2πa ，又V ＝πr 2h ，所以r 3＝b πr 2h 2πa ＝br 2h2a， 所以2r h ＝b a .故填ba .答案 b a10．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是________．解析 设剪成的小正三角形的边长为x ，则 S (x )＝(3－x )212·32·(1－x 2)＝43·(3－x )21－x 2(0<x <1)．所以S ′(x )＝43·(2x －6)·(1－x 2)－(3－x )2·(－2x )(1－x 2)2＝43·－2(3x －1)(x －3)(1－x 2)2.令S ′(x )＝0(0<x <1)，得x ＝13.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，S ′(x )<0，递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫13，1时，S ′(x )>0，递增，故当x ＝13时，S 的最小值是3233.答案323311．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.则a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， ∴当x ＝15时，S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)， V ′(x )＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′(x )>0，当x ∈(20,30)时，V ′(x )<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长之比为12.12．(创新拓展)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半圆形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解 (1)设容器的容积为V . 则V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝803π，∴l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝⎛⎭⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，∴0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr 43⎝⎛⎭⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c . 即y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，该函数定义域为{r |0＜r ≤2}．(2)由(1)知y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2(r 3－20c －2)，0<r ≤2.由于c >3，所以c －2>0，当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2. 当0 <320c －2<2，即c >92时，时，y ′<0，r ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫ 320c －2，2时，y ′>0. ∴r ＝320c －2时，y 取得极小值，也取得最小值． 当 320c －2≥2，即3<c ≤92时，r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减．∴r ＝2时，y 取得最小值．总之，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.。
高中数学 14生活中的优化问题举例课时作业 A选修22 试题(共11页)
1.4 生活(shēnghuó)中的优化问题举例课时目的 通过用料最、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的____________．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，那么它就是函数的最值． 3．解决优化问题的根本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题优化问题之答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程．一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2 (0<x <60)，那么当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他2．某消费厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x3＋81x －234，那么使该消费厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件C ．9万件D ．7万件3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料(cáiliào)最时堆料场的长和宽分别为( ) A ．32米，16米 B ．30米，15米 C ．40米，20米 D ．36米，18米4．假设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其外表积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，那么高为( ) A.33 cm B.1033 cm C.1633 cm D.2033cm 6．某公司消费某种产品，固定本钱为20 000元，每消费一单位产品，本钱增加100元，总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400)，那么总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300二、填空题7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的间隔 成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的间隔 成正比，假如在间隔 车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 8.如下图，一窗户的上部是半圆，下部(xià bù)是矩形，假如窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．9．做一个无盖的圆柱形水桶，假设需使其体积是27π，且用料最，那么圆柱的底面半径为________．三、解答题10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，间隔为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等间隔分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？11．某商品每件本钱9元，售价30元，每星期卖出432件．假如降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． (1)将一个星期(xīngqī)的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？才能提升12．某单位用2 160万元购得一块空地，方案在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x (x ≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)13．某商品消费(xiāofèi)本钱C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．利用(lìyòng)导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比拟函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案．答案知识梳理1．优化问题 导数 导数 优化问题 作业设计1． B [V ′(x )＝60x －32x 2＝0，x ＝0或者x ＝40.2．x (0,40) 40 (40,60) V ′(x ) ＋－V (x )极大值可见当x ＝2．C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或者x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．]3．A [要求材料最就是(jiùshì)要求新砌的墙壁总长度最短，如下图，设场地宽为x 米，那么长为512x 米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，那么L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．]4．C [设底面边长为a ，直三棱柱高为h . 体积V ＝34a 2h ，所以h ＝4V 3a2， 外表积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a2＝32a 2＋43Va ， S ′＝3a －43V a2，由S ′＝0，得a ＝34V . 经历证，当a ＝34V 时，外表积最小．]5．D [设高为x cm ，那么底面半径为202－x 2cm ， 体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或者x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′<0，所以(suǒyǐ)当x ＝2033时，V 取最大值．]6．D [由题意，总本钱为c ＝20 000＋100x ， 所以总利润为p ＝r －c＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400)，p ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)－100 (x >400)，p ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，p ′<0恒成立， 易知当x ＝300时，总利润最大．] 7．5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的间隔 ．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经历证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．1∶1解析 设窗户面积为S ，周长为L ，那么S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx2.由L ′＝0，得x ＝2Sπ＋4， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2S π＋4时，L ′<0， x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0， 所以(suǒyǐ)当x ＝2Sπ＋4时，L 取最小值， 此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1. 9．3解析 设半径为r ，那么高h ＝27ππr 2＝27r2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r 2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr2，令S ′(r )＝0，得r ＝3. ∴当r ＝3时，S (r )最小．10．解 (1)设需新建n 个桥墩，那么(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝m x－1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎪⎫mx－1＋m x(2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256 (0<x <m )．(2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m＝m2x2(－512)．令f ′(x )＝0，得32x ＝512，所以(suǒyǐ)x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处获得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．11．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，假设记商品在一个星期的销售利润为f (x )，那么依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由条件24＝k ·22，于是有k ＝6， 所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．12．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，那么f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)， f ′(x )＝48－10 800x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝15.当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0.因此(yīncǐ)，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．13．解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)， L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0<q <84时，L ′>0；当84<q <200时，L ′<0，所以当q ＝84时，L 获得最大值．所以产量q 为84时，利润L 最大． 内容总结。
高中数学14生活中的优化问题举例评估训练 A选修22 试题
卜人入州八九几市潮王学校生活中的优化问题举例1．假设圆柱截面的周长l为定值，那么体积的最大值为()．A.3πB.3πC.3πD.3π解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，那么4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.那么V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或者r＝，而r>0，∴r＝是其唯一的极值点．∴当r＝时，V获得最大值，最大值为3π.答案A2．假设一球的半径为r，作内接于球的圆柱，那么其侧面积最大为()．A．2πr2B．πr2C．4πr D.πr2解析设内接圆柱的高为h，底面半径为x，那么由组合体的知识得h2＋(2x)2＝(2r)2，又圆柱的侧面积S ＝2πxh，∴S2＝16π2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π2(2r2x－4x3)，令(S2)′＝0得x＝r(x＝0舍去)，∴S max＝2πr2，应选A.答案A3．某公司消费一种产品，固定本钱为20000元，每消费一单位的产品，本钱增加100元，假设总收入R与年产量x的关系是R(x)＝那么当总利润最大时，每年消费产品的单位数是()．A．150B．200 C．250D．300解析由题意得，总利润P(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，应选D.4．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余局部折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，那么x＝________.解析可列出V＝(6－2x)(4－2x)·x，求导求出x的最大值．答案5．如下列图，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最时，堆料场的长和宽分别为________．解析要求材料最就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，那么长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，那么L′＝2－.令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.当x＝16时，L min＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．答案32；166．如下列图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．解设矩形边长AD＝2x，那么|AB|＝y＝4－x2，那么矩形面积为S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0<x<时，S′>0；当x>时，S′<0，所以当x＝时，S获得最大值，此时，S最大值＝.即矩形的边长分别为，时，矩形的面积最大．7．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其外表积最小时，底面边长为()．A. B.C. D．2解析设底面边长为x，侧棱长为l，那么V＝x2·sin60°·l，∴l＝，∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin60°＋3·x·l＝x2＋，S′表＝x－.令S′表＝0，∴x3＝4V，即x＝.又当x∈时，S′表<0；当x∈，S′表>0，∴当x＝时，外表积最小．8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()．A.cm2B．4 cm2C．3cm2D．2cm2解析设一个正三角形的边长为x cm，那么另一个正三角形的边长为(4－x)cm，那么这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，应选D.答案D9．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．解析如图，设∠OBC＝θ，那么0<θ<，OD＝r sinθ，BD＝r cosθ.∴S△ABC＝r cosθ(r＋r sinθ)＝r2cosθ＋r2sinθcosθ.令S′＝－r2sinθ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0.∴cos2θ＝sinθ.∴1－2sin2θ＝sinθ，解之sinθ＝，0<θ<.∴θ＝，即当θ＝时，△ABC的面积最大，即高为OA＋OD＝r＋＝时面积最大．答案10．做一个无盖的圆柱形水桶，假设要使其体积是27π，且用料最，那么圆柱的底面半径为________．解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，那么V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最，只须使圆柱外表积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，那么当R＝3时，S表最小．答案311．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；间隔为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等间隔分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，那么(n＋1)x＝m，即n＝－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处获得最小值．此时n＝－1＝－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．12．(创新拓展)如下列图，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解设箱子的底边长为x cm，那么箱子高h＝cm.箱子容积V＝V(x)＝x2h＝(0<x<60)．求V(x)的导数，得V′(x)＝60x－x2＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝40.当x在(0,60)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：因此在x＝40将x＝40代入V(x)得最大容积V＝402×＝16000(cm3)．所以箱子底边长取40 cm时，容积最大，最大容积为16000 cm3.。
高中数学《生活中的优化问题举例》测试新人教A版选修1-1
3.4生活中的优化问题测试1．一点沿直线运动 , 假如由始点起经过t秒后的距离为 s 1 t4 5 t32t 2，那么速度为零43的时辰是（）A．1秒末B．0秒C．4 秒末D． 0,1,4 秒末2．某企业在甲、乙两地销售一种品牌车，收益（单位：万元）分别为L1=5.06 x－0.15x2和 L2=2 x，此中x为销售量（单位：辆）. 若该企业在这两地共销售15 辆车，则能获取的最大收益为（）A ． 45.606B ． 45.6C．45.56D． 45.513. 路灯距地平面为8 m, 一个身高为 1.6 m的人以 84 m/minD的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线走开路灯，则人影长度的变化速率为（） m/ sA．7B ．7C ．21D ．21E 220204. 两车在十字路口相遇后，又沿不一样方向持续行进，已知A车C BA向北行驶，速率为30 km/h, B车向东行驶，速率为 40 km/h, 那么A、B两车间直线距离的增加快率为．A. B.60 km/h C.80 km/h D.65 km/h5．已知矩形的两个极点位于x 轴上，另两个极点位于抛物线y ＝ 4－ x2在 x 轴上方的曲线上，则这类矩形中面积最大者的边长为．6．用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 , 先在四角分别截去一个小正方形, 而后把四边翻转90°角 , 再焊接而成 ( 如图 ), 当该容器的高为cm时 ,容器的容积最大，最大容积是(cm)37．当室内的有毒细菌开始增添时 , 就要使用杀菌剂 . 刚开始使用的时候 , 细菌数目还会持续增添, 跟着时间的增添 , 它增添幅度渐渐变小 , 到一准时间 , 细菌数目开始减少 . 假如使用杀菌剂 t 小时后的细菌数目为 b(t)=105+104t-103t2.(1)求细菌在 t=5 与 t=10 时的刹时速度； (2) 细菌在哪段时间增添 , 在哪段时间减少 ?为何 ?8．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价钱p（元/吨）之间的关系式为：p 242001 x2,且生产x吨的成本为R 50000 200x（元）.问该厂每5月生产多少吨产品才能使收益达到最大？最大收益是多少？（收益=收入─成本）19．一书店估计一年内要销售某种书15 万册，欲分几次订货，假如每次订货要付手续费30元，每千册书寄存一年要耗库费40 元，并假定该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？10．甲、乙两个工厂，甲厂位于向来线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的B处，乙厂到河岸的垂足D与 A 相距50 km，两厂要在彼岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管花费分别为每千米 3 a元和 5 a元，问供水站C建在岸边哪处才能使水管花费最省？A C DB2利用导数解决生活中的优化问题60 分钟测试答案1． D ． 2.B. 3.B. 4. 50 km/h．5.23 和 8． 6 ．10， 1960．337．解 (1)b ′ (t)=-2 000t+10 000,b ′ ( t )| t =5=-2 000 × 5+10 000=0, b ′ ( t )| t =10=-2 000 × 10+10 000=-10 000,即细菌在 t =5 与 t =10 时的刹时速度分别为0 和-10 000.(2) 由 -2 000 t +10 000>0, 得 t <5, 由 -2 000 t +10 000<0, 得 t >5,即细菌在 t ∈ (0,5) 时间段数目增添 , 在 t ∈ (5,+ ∞ ) 时间段数目减少 .8．解：每个月生产 x 吨时的收益为f ( x)(24200 1 x 2 ) x ( 50000200x)1 x 324000x 50000(x0)55由 f (x)3 x 2 24000 0 解得： x 200 或 x200 （舍去）．因为 f (x) 在 [0, ) 内只有一5 个点 x200 使得 f (x) 0 ，故它就是最大值点，且最大值为：因 f (x)在 [0,)内只有一个点 x200使f ( x)0 ，故它就是最大值点，且最大值为：f (200)1(200)3 24000 200500003150000 （元）5答：每个月生产 200 吨产品时收益达到最大，最大收益为315 万元 .9．解：设每次进书x 千册 (0x 150) ，手续费与库存费之和为 y 元，因为该书均匀投放市场，则均匀库存量为批量之半，即x，故有215030＋ x4500 20(x 15)(x 15) x(0,15)15(15,150)yx240， yx 220x 2 ，令 y ′＝ 0，得 x ＝ 15，列表如右：因此当 x ＝15 时， y 获得极小值，且极小值独一，故当 x ＝ 15 时， y 获得最小值，此时进货次数为y y极小值15010 （次）．15即该书店分 10 次进货，每次进 15000 册书，所付手续费与库存费之和最少．10．解法一：依据题意知，只有点C 在线段 AD 上某一适合地点，才能使总运费最省，设 C 点距 D 点 x km, 则 ∵ BD =40,AC=50－ x , ∴ BC= BD 2 CD 2x 240 2又设总的水管花费为y 元，依题意有： y =3 a (50 － x )+5 ax 2402 (0 x 50)y ′ =－3 a +5ax, 令 y ′ =0, 解得 x =30x 2 402在 (0,50) 上， y 只有一个极值点，依据实质问题的意义，函数在 x =30(km) 处获得最小值，此时 AC =50－ x =20(km)∴供水站建在 A 、 D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管花费最省 .解法二：设∠ BCD = , 则 BC =40, CD = 40 cot , (0) ,AC50 40cotsin2设总的水管花费为f ( θ ), 依题意，有3f ( θ)=3 a (50 － 40·cot θ )+5a 40 =150 a +40 a · 5 3cossinsin∴ f ( θ )=40 a(5 3cos) sin(5 3cos ) (sin ) 40a35cossin 2sin 2令 f ( θ )=0, 得 cos θ =35依据问题的实质意义，当cos θ=3时，函数获得最小值，此时sin θ = 4, ∴cot θ = 3,55 4∴AC=50－ 40cot θ =20(km), 即供水站建在 A 、 D 之间距甲厂20 km 处，可使水管花费最省 .4。
数学3.4生活中的优化问题举例强化作业成才之路(人教A版选修1-1)
3.4一、选择题1．将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对[答案] B[解析] 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x )3,0≤x ≤8，y ′＝3x 2－3(8－x )2，令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0，所以x ＝4时，y 最小．2．某箱子的容积与底面边长的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．以上都不正确 [答案] B3．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6B ．8C ．10D ．12 [答案] B[解析] 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在(0,24)内有x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值．4．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )A ．RB ．2R C.43R D.34R [答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(R －h )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2，∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3， ∴V ′＝43πRh －πh 2，令V ′＝0得h ＝43R ，当0<h <43R 时，V ′>0；当43R <h <2R 时，V ′<0. 因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大，故应选C. 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( ) A.33cmB.1033cmC.1633cm D.2033cm [答案] D6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为( )A ．h ＝2RB ．h ＝RC ．h ＝2RD ．h ＝2R[答案] A7．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．50 [答案] C[解析] 如图，设∠NOB ＝θ，则矩形面积S ＝5sin θ·2·5cos θ＝50sin θ·cos θ＝25sin2θ，故S max ＝25.8．设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( )A.3VB.3V πC.34VD ．23V 2π [答案] D [解析] 设底面圆半径为x ，高为h ，则V ＝πr 2h ，∴h ＝V πr 2.∴S 表＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2＋2πr ·V πr 2＝2πr 2＋2V r. ∴S 表′＝4πr －2V r 2，∴V ＝3V 2π， 又当x ∈(0，3V 2π)时，S 表′<0；当x ∈(3V 2π，V )时，S 表′>0，∴当r ＝3V 2π时，表面积最小．9．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8B.203 C ．－1D ．－8 [答案] C[解析] 瞬时变化率即为f ′(x )＝x 2－2x 为二次函数，且f ′(x )＝(x －1)2－1，又x ∈[0,5]， 故x ＝1时，f ′(x )min ＝－1.10．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D.12πr 2 [答案] A[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ，则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21.∴S ＝4πr 2r 21－r 41.令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r . 此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝⎛⎭⎫22r 2 ＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 二、填空题11．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．[答案] 15cm 15cm[解析] 设长为x cm ，则宽为(30－x )cm ，此时S ＝x ·(30－x )＝30x －x 2，S ′＝30－2x ＝0，所以x ＝15.所以长为15cm ，宽为15cm 时，矩形的面积最大．12．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为及的矩形，则面积之和的最小值为________．[答案] 3104l 2 [解析] 设前者宽为x ，面积之和为y ，则y ＝2x ·x ＋15(l －6x )·310(l －6x )＝10425x 2－1825lx ＋350l 2， y ′＝20825x －1825l ，令y ′＝0得，x ＝9104l ， ∴y min ＝3104l 2. 13．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．[答案] 4[解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值． 14．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．[答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π27R， ∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，令S ′＝0得R ＝3， ∴当R ＝3时，S 表最小．三、解答题15．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大？[解析] 设x 表示销售的件数，R 表示公司的收益，则R 等于每件的售价x ×销售件数，当x >150时，则R ＝[200－(x －150)]x ＝350x －x 2为公司收益，先求R ′(x )＝350－2x ，令R ′(x )＝0，得x ＝175时，R 有最大值．最大收益为R ＝350×175－(175)2＝30625，而当一份合同订购的件数超过175时，则公司的收益开始减小．16．如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S ，水面的高为h ，问侧面与地面成多大角度时，才能使横断面被水浸湿的长度最小？[解析] 设浸湿的长度为l ，AB ＝CD ＝x ，则l ＝BC ＋2x ＝S h －x cos θ＋2x ＝S h＋(2－cos θ)·x ＝S h ＋(2－cos θ)·h sin θ， ∴l ′＝h ·sin 2θ－(2－cos θ)·cos θsin 2θ＝h ·1－2cos θsin 2θ. 令l ′＝0，即h ·1－2cos θsin 2θ＝0，解得cos θ＝12. ∴θ＝60°.∵l 只有一个极值，∴它是最小值．将θ＝60°代入l ＝S h ＋(2－cos θ)·h sin θ， 解得l min ＝S h ＋3h . ∴当侧面与地面成60°角时，才能使横断面被水浸湿的长度最小．17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C (x )＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？[解析] 设该厂生产x 件这种产品利润为L (x )则L (x )＝500x －2500－C (x )＝500x －2500－⎝⎛⎭⎫200x ＋136x 3 ＝300x －136x 3－2500(x ∈N ) 令L ′(x )＝300－112x 2＝0，得x ＝60(件) 又当0≤x <60时，L ′(x )>0x >60时，L ′(x )<0所以x ＝60是L (x )的极大值点，也是最大值点．所以当x ＝60时，L (x )＝9500元．18．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[解析] 设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝4.5－3x (m)⎝⎛⎭⎫0<x <32，故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3.因为V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )，令V ′(x )＝0，所以x ＝0(舍)或x ＝1.当0<x <1时，V ′(x )>0，当1<x <32时，V ′(x )<0. 故当x ＝1时，V (x )取最大值，并且最大体积为V (1)＝3(m 3)．此时长方体的宽为1m ，长为2m ，高为1.5m.高[考*试я题!库。
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【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例练习新人教A版选修1-1一、选择题1．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A．10 B．15C．25 D．50[答案] C[解析] 如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故S max＝25.2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对[答案] B[解析] 设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当4<x≤8时，y′>0，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产( ) A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台[答案] A[解析] 设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′>0，得0<x<6，令y′<0，得x>6，∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )[答案] A[解析] 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.5．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C ．43R D ．34R [答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ， 则R 2＝(R －h )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3，∴V ′＝43πRh －πh 2，令V ′＝0得h ＝43R ，当0<h <43R 时，V ′>0；当43R <h <2R 时，V ′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大，故应选C.6．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A ．a bB ．a 2bC ．b aD ．b 2a[答案] C[解析] 如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h . 设造价为y ，则y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R， ∴y ′＝4πaR －2bVR2.令y ′＝0并将V ＝πR 2h 代入解得，2R h ＝b a.二、填空题7．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大． [答案] 15cm 15cm[解析] 设长为x cm ，则宽为(30－x )cm ，此时S ＝x ·(30－x )＝30x －x 2，S ′＝30－2x ＝0，所以x ＝15.所以长为15cm ，宽为15cm 时，矩形的面积最大．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．[答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋54πR，∴S ′(R )＝2πR －54πR2＝0，令S ′＝0得R ＝3，∴当R ＝3时，S 表最小．9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <32)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1，∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3. 三、解答题10．用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？[解析] 设水箱底边长为x cm ，则水箱高为h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝60x 2－x 32(0<x <120)(cm 3)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0得，x ＝0(舍)或x ＝80.当x 在(0,120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在x ＝80V (x )的最大值． 将x ＝80代入V (x )，得最大容积 V ＝802×60－8032＝128 000(cm 3)．答：水箱底边长取80cm 时，容积最大，最大容积为128 000cm 3.一、选择题11．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 39 000＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D.12．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8C ．43D ．83[答案] C[解析] V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x2－x 3＝3x 2－x33(0<x <3)， V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )．令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.13．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( ) A ．33cm B ．1033cmC ．1633cmD ．2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2，其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0所以当x ＝2033时，V 取最大值．14．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大值为( ) A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D ．12πr 2[答案] A[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ， 则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41.令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r . 此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 二、填空题15．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料． [答案] 4[解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值． 16．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________元．[答案] 85[解析] 设每件商品定价x 元，依题意可得利润为L ＝x (200－x )－30x ＝－x 2＋170x (0＜x ＜200)．L ′＝－2x ＋170，令－2x ＋170＝0，解得x ＝1702＝85.因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．三、解答题17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C (x )＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？[解析] 设该厂生产x 件这种产品利润为L (x ) 则L (x )＝500x －2 500－C (x ) ＝500x －2 500－⎝ ⎛⎭⎪⎫200x ＋136x 3＝300x －136x 3－2 500(x ∈N)令L ′(x )＝300－112x 2＝0，得x ＝60(件)又当0≤x <60时，L ′(x )>0x >60时，L ′(x )<0所以x ＝60是L (x )的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝60时，L (x )＝9 500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元． 18.已知圆柱的表面积为定值S ，求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h 的值．[分析] 将容积V 表达为高h 或底半径r 的函数，运用导数求最值．由于表面积S ＝2πr 2＋2πrh ，此式较易解出h ，故将V 的表达式中h 消去可得V 是r 的函数．[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′＝S －6πr 22，令V ′＝0得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， 又r ＝S6π，∴h ＝2S6π＝6πS3π. 即当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 为6πS3π.。