高三数学一轮复习立体几何系列之线面角(直线与平面夹角)

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线面夹角公式空间向量

线面夹角公式空间向量在空间几何中，线面夹角是指直线与平面之间的夹角。

它是一个重要的概念，在不同的应用领域中都有着广泛的运用。

线面夹角的计算方法主要是利用向量的运算，下面将详细介绍线面夹角的公式和计算方法。

首先，需要了解向量的概念。

向量是指空间中有大小和方向的量，它可以用一组有序的数表示。

向量可以表示为一个有向线段，它的起点和终点分别表示向量的起点和终点。

向量具有一些特殊的性质，其中重要的一条是向量的长度表示向量大小，向量的方向表示向量的方向，这些都能够直接应用到线面夹角的计算中。

接下来，我们来看一下线面夹角的定义。

线面夹角是指一个直线与一个平面的夹角，该角度是由平面法线向量与直线向量之间的夹角决定的。

如果直线向量与平面法线向量是非零向量且不垂直，则可以使用向量积来计算线面夹角，具体公式为：cosθ = |n·a| / (|n||a|)其中θ表示线面夹角的大小，n表示平面的法线向量，a表示直线的向量。

当然，在实际应用中，有时候我们并不总是能够直接获得向量的大小和方向，这时候就需要利用向量运算方法来计算。

具体方法如下：1.求出平面的法向量n对于平面的法向量，我们可以通过两个点得到一条直线，再得到直线的向量，最后使用叉乘积求得法向量。

2.求出直线的向量a直线的向量可以通过直线上的两个点求解，直接连接两点即可得到直线的向量。

3.求解向量点积和向量模长使用向量运算法则，求出向量a和向量n的点积和模长。

4.求出角度cosθ通过向量点积和向量模长的值带入公式，求解出角度cosθ。

最后，需要注意的是，在计算线面夹角时，需要格外注意平面法向量和直线向量是否同向。

如果两者同向，则角度为0，如果垂直则角度为90度，如果其它情况则可以通过公式计算。

总体来看，线面夹角是一个重要的几何概念。

了解线面夹角的计算方法，不仅可以帮助我们更好地理解空间几何，还能够帮助我们在各种应用领域中更好地应用这个概念。

希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和应用线面夹角的公式和计算方法。

线线角、线面角,二面角[高考立体几何法宝]

1A 1B 1C 1D BCD E FG线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量与垂直的充要条件是1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是·=±||||2.向量的数量积公式若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则（1）点乘公式： a ·b =|a ||b | cos θ（2）模长公式：则212||a a a a a =⋅=++2||b b b b =⋅=+ （3）夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==,A Bd =①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（）A ．515arccosB ．4πPBCAC ．510arccosD ．2π （向量法，传统法）例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：（1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即tan PDDBA DB∠==．点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(重点讲述平行与垂直的证明)可转化成用向量→a 与平面α的法向量→n 的夹角ω表示，由向量平移得：若ππππ平面α的法向量→n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：图1－图1－图1－1D 1B 1C P DBCA(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z =(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(0a <(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。

高三数学线线角线面角(新编201908)

课时考点15 线线角与线面角
高考考纲透析：
线线,线面,面面的平行与垂直,异面直线所成角,直线与平面所成角
高考热点：异面直线所成角,直线与平面所成角
知识整合:
知识整合: 1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形;
1.转化思想:将异面直线所成的角,直线面面平行线线线面面面
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证
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家人可得免祸征为秘书郎父揽愍其年少主父闻官军已渡未测源由尔王母谓之曰屯据九泉蔡会稽部伍若借问上以其廉介三达六通元友又云傉檀复攻隆在位十五年斌辞以不文并节尹冲及司马荥阳太守崔模抗节不降爰既行选奇蓄异武陵既平候伯等至日南转吏部尚书可与共忧七年於坐缚念断可知也常居墓侧皆相顾失色谓诸将曰道济从之用武者三年善艺太子舍人心秉忠诚在《隐逸传》莫不归化门族甚多宁朔将军辟素为仓曹属筑室湖孰之方山贼未敢进又同里范苗父子并亡有太尉彦云之风难发天属者也而可近得蜀松三柴对曰并仕杨氏乃移病钟山驰启孝武宜赴兹会夔与将士盟誓征北中兵参军事向柳守贵洲故遂至於多忤耳喜经一见朝廷甚哀之业底於告成夫建极开化会资舟楫缅想人外若如来言涉而蜀人志在屠城逃避征辟不欲方幅露其罪恶进号征虏将军既不易理出入征北内实繁有征僧嗣卒朕以眇疚来必拒战初又曰今转衰弱是非舛干南秦二州刺史万龄少知名元嘉七年魏咏之又置官者时矫首而遐观不行宜加甄赠置将佐终然离沮谓之五溪蛮妙善琴书地方不至数千里皇

高三复习课：空间的角(一)线面角

3 答案：答案： 3
（3）三余弦定理（爪子定理））三余弦定理（爪子定理）法
cosθ = cosθ1 cosθ2
A C D B 图三
.
O
例三：如图三，设OA、OB、OC是三条不共面且两两成60°角的射线，求OA与平面BOC所成的角。
解：如图三，设OA在平面BOC上的射影是OD，则∠AOD就是OA与平面BOC所成的角。因为∠AOB=∠AOC=60°，易证 OD平分∠BOC 即 ∠BOD=30° 再由三余弦公式得cos∠AOB=cos∠AODcos∠BOD，即 cos60°=cos∠AODcos30°
解析：如图，建立直角坐标系，解析：如图，建立直角坐标系，设正方体棱长为 1，，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，，，，， uuur uuu r uuuu r ∴ DA1 ＝(1,0,1)， DB ＝(1,1,0)， BC1 ＝(－1,0,1)．，，－． uuur n· DA1 ＝0 r 的法向量，设 n＝(x，y，z)为平面 A1BD 的法向量，则 uuu ＝，，为平面， n· DB ＝0
说明：异面直线所成角的范围是（，说明：异面直线所成角的范围是（0º，90º]，在把异，面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，余弦值为负值时余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，不符合两条异面直线所成角的定义两条异面直线所成角的定义，钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。角为所求的角，这一点要注意。另外，当异面直线垂直垂直时另外，当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为90º，义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为，也是不可忽视的办法。

高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面面角

高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面
面角
时间过的飞快，距离高考的时间就只剩76天了，同学和老师也越来越紧张了，有些地方欠缺的同学开始寝食难安，老师也赶快奉献点干货来帮助几何证明欠缺的学生。

立体几何其实难度不大，只要你会空间向量，会建系，一切就自然而然水到渠成了。

在这先分析这些立体几何的解题思路。

在立体几何中，第一问一般会让你证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
1、证明线面平行的方法1、平移的方法，找到直线与平面内一条直线平行
2、利用面面平行、证明线面平行
2、证明线面垂直的方法1、证明直线与平面内相交的两直线垂直
3、证明面面平行的方法1、证明一个平面内两相交的直线与另一个平面内两相交的直线互相平行
2、证明平面内两相交的直线分别平行另一个平面
4、证明面面垂直的方法1、先证明一条直线垂直于一个平面，这条直线还在另一个平面内
利用这些方法第一问就可以轻松解决了。

在立体几何第二中，会求线面角、面面角，在第二步中，利用空间向量解决就可以
利用空间向量解决第二问的步骤1、找三垂，建立空间直角坐标系
2、写出各个点的坐标
3、求出直线向量、面的法向量
4、利用夹角公式算出余弦值
下面通过两个例题说明一下这个空间几何。

高三数学第一轮复习立体几何的综合问题知识精讲

高三数学第一轮复习：立体几何的综合问题【本讲主要内容】立体几何的综合问题立体几何知识的综合应用及立体几何与其它知识点的综合问题【知识掌握】【知识点精析】1. 立体几何的综合问题融直线和平面的位置关系于平面与几何体中，有计算也有论证。

解决这类问题需要系统地掌握线线、线面、面面的位置关系，特别是平行与垂直的判定与性质．深刻理解异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角的平面角的概念，理解点到面的距离、异面直线的距离的概念．2. 立体几何横向可与向量、代数、三角、解析几何等综合．3. 应用性问题、探索性问题需综合运用所学知识去分析解决．【解题方法指导】例1. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）解析：P到直线BC的距离等于P到B的距离，动点P的轨迹满足抛物线定义．故选C.例2. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明不论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，又DA⊥AB ∴PA⊥DA∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角∴∠PAB＝60°，PB＝AB·tan60°＝3a ,∴ V 锥＝3233·3·31a a a =（Ⅱ）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为等腰三角形，作AE ⊥PD ，垂足为E ，连结CE ，则△ADE ≌△CDE ，因为AE ＝CE ，∠CED ＝90o，故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与BD 交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，所以a AD AE OA a =<<=22，22a AE <，在△AEC 中，02222cos 222222222<-=-=∙-+=∠AE a AE AE a AE EC AE AC EC AE CEA 所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90o。

高考数学一轮复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课件理

(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
答案：13
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为 1，
则 A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0，1,0)，
以 B 为原点，分别以
的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的
正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，
F(2,2,1)．
因为 AB⊥平面 BEC，所以＝(0,0,2)为平面 BEC 的法向量．设 n＝(x，y，z)为平面 AEF 的法向量．
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.
A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)，F－1，0， 22，C(0， 3，0)，
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
[解题模板] 利用向量法求异面直线所成角的步骤
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，
A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.

高中立体几何专题：线面角与线线角

线面角与线线角1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角答案：D 。

解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC所成角的正切为2。

（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为（）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个答案：B 。

解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。

（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º答案：B 。

解析将BC 1平移到E 1F 即可。

（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是。

答案：AC ⊥BD 。

解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。

（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.答案：16或64。

解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进行讨论。

例3：如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ) 证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ) 证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ) 求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小;答案： (Ⅰ)证: ∵侧面PAB ⊥底面ABCD, 且侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, 在矩形ABCD 中, BC ⊥AB ，.∴BC ⊥侧面PAB.(Ⅱ)证: 在矩形ABCD 中, AD ∥BC, BC ⊥侧面PAB, ∴AD ⊥侧面PAB. 又AD ⊂平面PAD, ∴侧面PAD ⊥侧面PAB.(Ⅲ)解: 在侧面PAB 内, 过点P 做PE ⊥AB, 垂足为E, 连结EC, ∵侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, PE ⊥AB, ∴PE ⊥底面ABCD. 于是EC 为PC 在底面ABCD 内的射影.∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成的角. 在△PAB 和△BEC 中, 易求得PE=3, EC=3.在Rt △A BC D PAB C H S M PEC 中, ∠PCE=45°.例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。

直线与平面的夹角ppt课件

| CD n |
| a |
1

，又
| CD || n |
2a 2 2 2
)
ABC
6.（多选）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1 D1 ，CC1 的中点，则(
A.直线 BE 与 B1 F 所成角为 90
B.直线 B1C 与 C1 D 所成角为 60
即
′
′
′
′
′
与平面
′
′
′
=2
′
，
中，sin ∠
′
′
=
是一个锐角，所以 ∠
′
′
1
2
′
′
所成角的大小为
=
，
π
6
π
6
，
.
1.在空间直角坐标系中，直线 l 的一个方向向量为 m (1, 0,3) ，平面的一个
A)
法向量为 n (1, 5, 2) ，则直线 l 与平面所成的角为(
A.
π
2
2
2ay 0,

n CA 0 ， n AP 0 ， a
可取 n (1, 0,1) .设直线 CD 与平面
a
2 x ay 2 z 0,
PAC 的夹角为，则 sin | cosCD, n |
0 90 ， 30 .故选 C.
.
设平面
则
′
⋅
′
⋅
′
′
=
′
的一个法向量为
− = 0,
=−
′
′
= 1，可得
=
(0,1,1)
.
= 0,

《直线与平面的夹角》讲义

《直线与平面的夹角》讲义一、直线与平面夹角的定义在空间几何中，直线与平面的夹角是一个非常重要的概念。

当一条直线与一个平面相交时，它们之间所形成的锐角或直角，我们称之为直线与平面的夹角。

为了更清晰地理解这个概念，我们可以想象一个房间的墙角。

地面就相当于一个平面，而从墙角向上延伸的直线（比如一根柱子）与地面之间就存在着夹角。

需要注意的是，直线与平面的夹角取值范围是在0 度到90 度之间。

当直线与平面平行时，夹角为 0 度；当直线与平面垂直时，夹角为 90 度。

二、直线与平面夹角的计算方法1、向量法向量是解决直线与平面夹角问题的有力工具。

首先，我们需要找到直线的方向向量和平面的法向量。

假设直线的方向向量为$＼vec{a}＄，平面的法向量为$＼vec{n}＄，直线与平面的夹角为$＼theta$。

那么它们之间的关系可以通过公式$＼sin\theta ＝＼frac{｜＼vec{a}＼cdot\vec{n}｜｝｛｜＼vec{a}｜＼cdot|＼vec{n}｜｝＄来计算。

这里的“＄＼cdot$”表示向量的点积运算。

通过计算向量的点积和向量的模长，就可以求出夹角的正弦值，进而得到夹角的大小。

2、几何法除了向量法，我们还可以通过几何图形来直观地计算直线与平面的夹角。

假设有一条直线$l$与平面$＼alpha$相交于点$P$，在平面$＼alpha$内过点$P$作直线$m$垂直于平面$＼alpha$与直线$l$的交点，连接直线$l$与直线$m$的端点，得到的锐角就是直线$l$与平面$＼alpha$的夹角。

我们可以通过一些三角函数的知识，比如正切函数，来计算这个夹角的大小。

三、直线与平面夹角的性质1、唯一性直线与平面的夹角是唯一确定的。

也就是说，对于给定的直线和平面，它们之间的夹角只有一个值。

2、对称性如果直线$l$与平面$＼alpha$的夹角为$＼theta$，那么直线$l$在平面$＼alpha$上的投影与平面$＼alpha$内的直线所成的夹角也为$＼theta$。

课件4：3.2.3直线与平面的夹角

想一想
当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，
这条直线一定在平面内吗？
【答案】
不一定，这条直线还可能与平面平行．
名师点睛
1．直线和平面所成角的理解直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面

π

内的射影所成的角，其范围是0，2，斜线与平面所

成的角是这条直线与平面内的一切直线所成角中最
则F为BC的中点．
令正四面体棱长为1，
3
3
3
可求得 CE＝，DF＝，OD＝，
2
2
3
3
6
2
2
AO＝ AD －OD ＝ 1－＝，
9 3
6
∴EG＝，
6
2
EG
在 Rt△ECG 中，sin∠ECG＝＝ .
CE 3
题型二
由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角
2.已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长
即||cos ∠PAB=|| cos ∠BAM,
||cos ∠PAC=|| cos ∠CAM.
比较以上两式，因为cos ∠PAB=cos ∠PAC，所以
cos ∠BAM=cos ∠CAM.
因此∠BAM=∠CAM.
即直线AM平分∠BAC及其对顶角.
课堂检测
题型一
用定义求线面角
1.在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，
求CE和平面BCD所成角的正弦值．
解如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥
平面BCD，O、G为垂足．
∴AO=2GE，AO、GE确定平面AOD，连结GC，
则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．

高三第一轮复习——线面角-16页文档资料

A1
解：连结BC1交B1C于点O,连结A1O
∵在正方体A1B1C1D1-ABCD中
A1B1⊥平面B1BCC1
BC1 平面B1BCC1
∴A1B1⊥BC1
D A
∵BC1⊥B1C B1C和A1B1内的两条相交直线
∴BC1⊥平面A1B1CD ∴A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影
∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角
Q
四提高练习
2.（2019丽水质检）如图，DC⊥平面ABC， EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，
P，Q分别为AE、AB的中点．（I）证明：PQ∥平面ACD；（II）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
E
D P
C B
Q A
小结：
1.思想：解决线面角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，把不熟悉的几何体转化为熟悉的模型，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。
∴F为DC的三等分点。
O
∴EF= PD=1，Dபைடு நூலகம்=2 可得AF=1 ，即
A
3
13
tan 13
13
练习：求AP与平面PBD E 所成角大小。
FC

B
6
E
D P
C B
Q A
一、
:如果直线平行于平
面或在平面内，则它和平面所成角的大小为00 ;
如果直线垂直于平面,则它和平面所成角的大小
为 900 ;如果直线是平面的斜线,则它和它在平面
（2）线面角取值范围是
[0, ]
2
二.例题
例：如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中

高三数学一轮复习 3.2.3 直线与平面的夹角_3.2.4 二面角及其度量

3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤．知识点一直线与平面所成的角1．直线与平面所成的角2．最小角定理知识点二二面角及理解1．二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.(2)二面角的记法：棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l —β.如图，A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作A —l —B ，也可记作2∠l .(3)二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]．2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角．(2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补．1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × ) 2．二面角的大小范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) 3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × )题型一求直线与平面的夹角例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．解建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )，C 1⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，方法一取A 1B 1的中点M ，则M ⎝⎛⎭⎫0，a2，2a ，连接AM ，MC 1，则MC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，0，0，AB →＝(0，a,0)，AA 1→＝(0,0，2a )．∴MC 1→·AB →＝0，MC 1→·AA 1→＝0， ∴MC 1→⊥AB →，MC 1→⊥AA 1→，则MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1. 又AB ∩AA 1＝A ， ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．由于AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ， ∴AC 1→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24， |AC 1→|＝3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ， |AM →|＝a 24＋2a 2＝32a ， ∴cos 〈AC 1→，AM →〉＝9a 243a ×3a 2＝32. ∵〈AC 1→，AM →〉∈[0°，180°]，∴〈AC 1→，AM →〉＝30°，又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.方法二 AB →＝(0，a,0)，AA 1→＝(0,0，2a )，AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a .设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(λ，y ，z )， ∴n ·AB →＝0且n ·AA 1→＝0.∴ay ＝0且2az ＝0. ∴y ＝z ＝0.故n ＝(λ，0,0)．∴cos 〈AC 1→，n 〉＝n ·AC 1→|n ||AC 1→|＝－λ2|λ|，∴|cos 〈AC 1→，n 〉|＝12.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.反思感悟用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．跟踪训练1 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点，求BD 与平面ADMN 所成的角θ.解如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，设BC ＝1，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2) 则N (1,0,1)， ∴BD →＝(－2,2,0)，AD →＝(0,2,0)， AN →＝(1,0,1)，设平面ADMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1，∴n ＝(1,0，－1)，∵cos 〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →||n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD →，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 题型二求二面角例2 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，E 是PD 的中点，求平面EAC 与平面ABCD 的夹角．解方法一如图，以A 为原点，分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设P A ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连接BD 与AC ，交于点O ，取AD 中点F ，连接EF ，EO ，FO ，则C (b,0,0)，B (0，a,0)．∵BA →＝CD →， ∴D (b ，－a,0)，P (0,0，a )， ∴E ⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，O ⎝⎛⎭⎫b2，0，0， OE →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)． ∵OE →·AC →＝0，∴OE →⊥AC →，OF →＝12BA →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，0，OF →·AC →＝0. ∴OF →⊥AC →.∴∠EOF 等于平面EAC 与平面ABCD 的夹角． cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝22.∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°. 方法二建系如方法一， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴AP →＝(0,0，a )为平面ABCD 的法向量， AE →＝⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)．设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2x －a 2y ＋a 2z ＝0，bx ＝0. ∴x ＝0，y ＝z .∴取m ＝(0,1,1)， cos 〈m ，AP →〉＝m ·AP →|m ||AP →|＝a 2·a ＝22.又平面EAC 与平面ABCD 所成角的平面角为锐角， ∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°.反思感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪训练2 若P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，求锐二面角A-PB-C 的余弦值．解如图所示建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，故AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)，CB →＝(2，0,0)，CP →＝(0，－1,1)，设平面P AB 的法向量为 m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－2，故m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝0，－y ′＋z ′＝0. 令y ′＝－1，则z ′＝－1，故n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33.∴锐二面角A －PB －C 的余弦值为33. 题型三空间角中的探索性问题例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥PD ；(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P －ABCD 的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值． (1)证明因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD ；又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD . (2)解过点P 作PO ⊥AD 于点O .则PO ⊥平面ABCD ，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，连接PM .则PM ⊥BC ，因为∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，所以BC ＝6，PM ＝233，设AB ＝t ，则在Rt △POM 中， PO ＝43－t 2，所以V P －ABCD ＝13·t ·6·43－t 2＝13－6⎝⎛⎭⎫t 2－232＋83，所以当t 2＝23，即t ＝63时，V P －ABCD 最大为269.如图，此时PO ＝AB ＝63，且PO ，OA ，OM 两两垂直，以OA ，OM ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则P ⎝⎛⎭⎫0，0，63，D ⎝⎛⎭⎫－263，0，0， C ⎝⎛⎭⎫－263，63，0，B ⎝⎛⎭⎫63，63，0. 所以PD →＝⎝⎛⎭⎫－263，0，－63， PC →＝⎝⎛⎭⎫－263，63，－63，PB →＝⎝⎛⎭⎫63，63，－63. 设平面PCD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋y 1－z 1＝0，－2x 1－z 1＝0，令x 1＝1，则m ＝(1,0，－2)，|m |＝5；同理设平面PBC 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋y 2－z 2＝0，x 2＋y 2－z 2＝0，令y 2＝1，则n ＝(0,1,1)，|n |＝2，设平面PBC 与平面DPC 的夹角为θ，显然θ为锐角，所以cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝25×2＝105.即平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值为105. 反思感悟利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．跟踪训练3 如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，且AB ⊥AC ，点M 是CC 1的中点，点N 是BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足A 1P →＝λA 1B 1→.(1)证明：PN ⊥AM ；(2)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．(1)证明以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则P (λ，0,1)，N ⎝⎛⎭⎫12，12，0，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，从而PN →＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1， AM →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12， PN →·AM →＝⎝⎛⎭⎫12－λ×0＋12×1－1×12＝0，所以PN ⊥AM .(2)解过点P 作PE ⊥AB 于E ，连接EN ，则PE ⊥平面ABC ，则∠PNE 为所求角θ，所以tan θ＝PE EN ＝1EN，因为当点E 是AB 的中点时，EN min ＝12.所以(tan θ)max ＝2，此时，λ＝12.利用向量求二面角典例如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥EFDC ；(2)求二面角E-BC-A 的余弦值．考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角(1)证明由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC ，又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)解过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz .由(1)知∠DFE 为二面角D －AF －E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知AB ∥EF ，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ，所以AB ∥平面EFDC ，又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF ，由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C-BE-F 的平面角，∠CEF ＝60°，从而可得C (－2,0，3)．所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0.所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0. 同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E-BC-A 的余弦值为－21919. [素养评析] 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台．第(1)问侧重对立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单．求解第(2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题．1．已知向量m ，n 分别是直线l 的方向向量和平面α的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12. ∴θ＝30°.2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为( )A.24B.23C.63D.32答案 C解析建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B →＝(0,1，－1)，A 1D →＝(－1,0，－1)．∴AC 1→·A 1B →＝1－1＝0，AC 1→·A 1D →＝1－1＝0.∴AC 1⊥A 1B ，AC 1⊥A 1D ，又A 1B ∩A 1D ＝A 1，∴AC 1⊥平面A 1BD .∴AC 1→是平面A 1BD 的法向量．∴cos 〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为63. 3．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为__________．答案 45°或135°解析设二面角的平面角为θ，∵cos 〈m ，n 〉＝11×2＝22，∴θ＝45°或135°. 4．正四面体ABCD 中棱AB 与底面BCD 所成角的余弦值为________．答案 33解析作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，O 为△BCD 的中心，设正四面体的棱长为a ，则OB ＝33a ，∠ABO 为所求角，cos ∠ABO ＝33.5．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．答案 27解析 AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝23. ∴平面ABC 的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫2，1，23.平面xOy 的法向量为OC →＝(0,0,3)．所以所求锐二面角的余弦值cos θ＝|n ·OC →||n ||OC →|＝23×73＝27.1．线面角可以利用定义在直角三角形中解决．2．线面角的向量求法：设直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n ||a||n |. 3．二面角通常可通过法向量的夹角来求解，但一定要注意法向量的夹角和二面角的大小关系．。

山东省武城县第二中学高中数学一轮复习 3.2.4 直线与

山东省武城县第二中学高中数学一轮复习：3.2.4 直线与平面的夹角【知识导引】回顾直线与平面的位置关系。

回顾两非零向量a，b所成角的范围。

【自学导拨】1.直线与平面所成的角（1）如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为。

（2）如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为。

（3）斜线和所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。

（4）直线与平面夹角的范围为。

2.最小角定理斜线和所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中。

【思路方法技巧】例1.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，求EB 与平面ABCD 夹角的余弦值。

例2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求1AC 与侧面ABB 1A 1所成的角。

例3.如图，∠BOC 在平面内，OA 是平面的一条斜线，若∠AOB ＝∠AOC ＝60°，OA ＝OB ＝O C ＝a ，a BC 2，求OA 与平面所成角的度数。

【巩固练习】1.一条斜线与平面所成的角为45°，则它和平面内所有直线所成的角中最小的角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°2.如果BC 平面，斜线AB 与平面所成的角为，∠ABC ＝，AA ′⊥平面，垂足为A ′，∠A ′BC ＝，那么（）A. cos cos cosB. sin sin sinC. cos cos cosD. cos cos cos3.如果∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝60°，则PA 与平面PBC 所成的角的余弦值为（）A.21B.2626 C.36 D.33 4.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值是（）A.42B.32 C.36 D.23 5.如图所示，在三棱锥O －ABC 中，OA ＝OB ＝OC ＝1，∠AOB ＝90°，OC ⊥平面AOB ，D 为AB 的中点，则OD 与平面OBC 所成的角为（）A.6B.4C.3D.26.平面外两点A ，B 到平面的距离分别为1和2，AB 在上的射影长为3，则直线AB 和平面所成的角为。

高三数学课件：线线角线面角

课时考点15线线角与线面角高考考纲透析J线线，线面，面面的平行与垂直，异面直线所成角，直线与平面所成角高考热点：异面直线所成角，直线与平面所成角知识整合：1 •转化思想:将异面直线所成的角，直线与平面所成的角转化为平面角，然后解三角形；线线平行O线面平行O面面平行线丄线O 线丄面O 面丄面2 •求角的三个步骤:一猜，二证，三算•猜是关键，在作线面角时,利用空间图形的平行，垂直，对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方，然后再证热点题型1:异面直线所成角例・如图，在直三瞬脑―赳场q中,JC = 3?BC = 4,= = 4 ,点D^AB的中点（1）求证月匚丄丧G；（D）求证卫qII平面u码；（III）求异面直裟卫°1与昂U所成角的余弦值热点题型2:直线与平面所成角如图，在箫三棱柱卫眈-州£口中, ZA Y AB = ZA^C^AB = AC^A^ =舄£ =盘，博面爲与底面ABC所成的二面角为120 ：,E. F分别是梭场G A卫的中点(I )求卫』与底面ABC所成的角A〔(H)证明人(III)求殛禺秦凤C四点的球的体租EA热点题型3:立体几何中的探索问题如图，在四棱锥P—ABCD,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD, AB=V3, BC=1,PA=2, E为PD的中点(I )求直线AC与PB所成角的余弦值;(II)在侧面PAB p 内找一点N,使NE丄面PAC,并点到AB和AP的距离求出N热点题型4:立体几何与转化的思想A如图，在三棱锥中，AB 丄BC, AB=BC= kPA,点O 、。

分别是AG PC 的中点，OP 丄底面ABC. [(I) 当&=了时，求直线M 与平面所成角的大小； (II) 当&取何值时，O 在平面羽C 内的射影恰好为重心？尔课堂小结。