高考数学(全国文理通用)一轮复习：考点16 正弦定理和余弦定理
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考点16 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1. (2015·广东高考文科·T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=,
且b B.2 C.2 D.3 【解题指南】直接利用a 2=b 2+c 2-2bccosA 即可求得b 的值. 【解析】选B 由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以 () 2 22 3 223 2232 b b =+-⨯⨯⨯ ，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <， 所以2b =． 二、填空题 2. (2015·广东高考理科·T11)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a =,sinB=,C=, 则b = . 【解题指南】可先求出角B 的大小,再利用正弦定理求解. 【解析】因为1sin 2B = 且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6 B π=，23A B C ππ=--= ，又3a =sin sin a b A B =3sin sin 36 b π=解得1b =. 答案:1 3. (2015·北京高考理科·T12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 sin 2sin A C = . 【解题指南】利用二倍角公式展开sin2A,再利用正、余弦定理角化边. 【解析】222 22222sin 22sin cos ()2sinC sin b c a a A A A a b c a bc C c bc +-⨯ +-=== = 2222 4(564) 156⨯+-=⨯. 答案:1 4 .(2015·天津高考理科·T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a 的值为 . 【解析】因为0 A A =-= ， 又115 sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆= ==∴=，解方程组224 b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫ =+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ 所以a=8. 答案:8 5.(2015·福建高考理科·T12)若锐角△ABC 的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC 等于 . 【解题指南】利用三角形面积公式及余弦定理求解. 【解析】S=×5×8sinA=10 ⇒sinA=,因为A 为锐角,所以A=60°,所以 492 1 852642560cos 2222=⨯ ⨯⨯-+=⋅⋅-+= AC AB AC AB BC ,所以BC=7. 答案:7 6.(2015·福建高考文科·T14)若△ABC 中,AC=,A=45°,C=75°,则BC= . 【解题指南】利用正弦定理解答此题. 【解析】因为A=45°,C=75°,所以B=60°,由正弦定理可知 245 sin 60sin 3sin sin =⇒=⇒=BC BC A BC B AC 答案: 7. (2015·北京高考文科·T11)在△ABC 中,a=3,b=6,∠A=23 π ,则∠B= . 【解题指南】利用正弦定理求解,注意角B 的范围. 【解析】由正弦定理得 362sin sin 3 B π=,所以2sin 2B =.因为B ∈(0,3π ),所以B=4π . 答案: 4 π 8．（2015·安徽高考文科·T12）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则 =AC 。 【解题指南】根据正弦定理解三角形。 【解析】由正弦定理可知：0 0000 62sin[180(7545)]sin 45sin 45AB AC AC AC =⇒=⇒=-+ 答案：2 三、解答题 9.(2015·浙江高考文科·T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan(+A)=2. (1)求的值. (2)若B=,a=3,求△ABC 的面积. 【解题指南】(1)利用两角和与差的正切公式,得到tan A 的值,利用同角三角函数基本关系式得到结论;(2)利用正弦定理得到边b 的值,根据三角形,两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积. 【解析】(1)由tan(+A)=2得tan A=, 所以 22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15 A A A A A A A A A A ===+++. (2) 由1 tan 3 A = 可得，10310sin A A == 3,4 a B π == ，由正弦定理知，35b = 又25 sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= ， 所以1125sin 3359225 ABC S ab C = =⨯⨯⨯=. 10.(2015·浙江高考理科·T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知A=,b 2-a 2=c 2. (1)求tan C 的值. (2)若△ABC 的面积为3,求b 的值. 【解题指南】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sin B 的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解. 【解析】（1）由22 b a -= 122c 及正弦定理得2221 sin sin sin 2 B A C -=，即22 11sin sin 22B C - =，所以2cos 2sin B C -= 又因为4A π=，所以34B C π+=， 3222B C π=-， 所以cos2sin 22sin cos B C C C -== 即2 2sin cos sin C C C =，所以tan 2C = （2）由tan 2C =，()0,C π∈得55 sin 55 C C = =又因为()sin sin sin( )4 B A C C π =+=+310 sin cos cos sin 4 4 C C π π =+= 由正弦定理得22 c = 因为4 A π = ， 1 sin 32 bc A =，所以62bc =3b =.