江苏省专转本高数真题及答案

江苏省2012年普通高校“专转本”选拔考试

高等数学试题卷（二年级）

注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授

1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚．

2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效．

3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟．

一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、极限=+

∞

→)3sin 1sin 2(lim x

x

x

x x () A.0B.2C.3D.5 2、设)

4(sin )2()(2--=

x x x

x x f ,则函数)(x f 的第一类间断点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

3、设2

32

1

52)(x x x f -=，则函数)(x f () A.只有一个最大值B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值 4、设y

x z 3)2ln(+=在点)1,1(处的全微分为() A.dy dx 3- B.dy dx 3+ C.dy dx 321+ D.dy dx 32

1- 5、二次积分dx y x f dy y

),(1

01⎰⎰ 在极坐标系下可化为()

A.ρθρθρθπ

θ

d f d )sin ,cos (40

sec 0⎰⎰ B.ρρθρθρθπ

θ

d f d )sin ,cos (40

sec 0

⎰⎰

C.ρθρθρθπ

πθ

d f d )sin ,cos (2

4sec 0

⎰⎰ D.ρρθρθρθπ

πθ

d f d )sin ,cos (2

4

sec 0

⎰⎰

6、下列级数中条件收敛的是()

A.12)1(1+-∑∞

=n n n n

B.∑∞

=-1

)23()1(n n

n C.∑∞=-12)1(n n n D.∑∞=-1)1(n n n

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7要使函数x

x x f 1)21()(-=在点0=x 处连续，则需补充定义

=)0(f _________．

8、设函数x e x x x y 22

212(+++=）

，则=)0()7(y ____________． 9、设)0(>=x x y x ，则函数y 的微分=dy ___________．

10、设向量→

→b a ,互相垂直，且，，23==→

→

b a ，则=+→

→

b a 2___________．

11、设反常积分2

1=⎰+∞

-dx e a x ，则常数=a __________．

12、幂级数n n n n

x n )3(3

)1(1--∑∞

=的收敛域为____________．

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

13、求极限)

1ln(2

cos 2lim 320x x x x x +-+→． 14、设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩

⎪

⎨⎧

+=-=t

t y t

t x ln 212所确定，求22,dx y d dx dy ． 15、求不定积分⎰

+dx x

x 2

cos 1

2． 16、计算定积分dx x x ⎰-2

1

1

21

．

17、已知平面∏通过)3,2,1(M 与x 轴，求通过)1,1,1(N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．

18、设函数)(),(22y x xy x f z ++=ϕ，其中函数f 具有二阶连续偏导数，

函数ϕ具有二阶连续导数，求y

x z

∂∂∂2．

19、已知函数)(x f 的一个原函数为x xe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解．

20、计算二重积分⎰⎰D

ydxdy ，其中D 是由曲线1-x y =，直线x y 2

1

=及x

轴所围成的平面闭区域．

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 21、在抛物线)0(2>=x x y 上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为3

2，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．

22、已知定义在),(+∞-∞上的可导函数)(x f 满足方程

3)(4)(31-=-⎰x dt t f x xf x

，试求：

（1）函数)(x f 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点．

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23、证明：当10<

1arcsin x x x +>．

24、设⎪⎩

⎪⎨⎧≠=⎰0)0(0)()(20＝ x g x x

dt t g x f x ，其中函数)(x g 在),(+∞-∞上连续，且

3cos 1)(lim

0=-→x x g x 证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且2

1

)0(='f ． 一．选择题 1-5BCCABD 二．填空题

7-122-e 128dx x x n )ln 1(+52ln ]6,0( 三．计算题

13、求极限)

1ln(2

cos 2lim 320x x x x x +-+→． 原式=30304202sin lim 4sin 22lim 2cos 2lim x

x

x x x x x x x x x x -=-=-+→→→ 14、设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩

⎪

⎨⎧

+=-=t

t y t

t x ln 212所确定，求22,dx y d dx dy ． 原式=t t t t dt dx dt dy dx dy 211222=++==1

2112)()(2

2222+=+===t t t

dt dx dt dx dy

d dx dx dy d dx y d 15、求不定积分⎰+dx x

x 2

cos 1

2． 原式=⎰⎰⎰

+-+=+=+)12(tan tan )12(tan )12(cos 1

22x xd x x x d x dx x

x 16、计算定积分dx x x ⎰-2

1

1

21

．

原式=令t x =-12，则原式=613arctan 21122

13123

1

2π==+=+⎰⎰t dt t dt t t t