高中数学 习题课——函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用 新人教A版必修4
高中数学习题课——函数y=Asin(ωxφ)的性质及其应用课件新人教A版必修4
一
二
思维辨析
解析(1)因为-1≤sin
3������-
π 3
≤1,
所以-5≤sin
3������-
π 3
-4≤-3,
即函数值域为[-5,-3],选 D.
(2)依题意有 φ=kπ,k∈Z,而 0<φ<2π,
所以 φ=π,故选 C.
(3)依题意有2���π��� =4π,
所以 ω=12,即 y=13sin
2
������ 2������
对称性 Z)
对称中心横坐标由 ωx+φ=kπ(k∈Z)求得,即
������ π -������ ������
,0
(kx)=sin
3������-
π 3
-4 的值域为
(
)
A.[-1,1] B.[-4,4]
C.[-5,5] D.[-5,-3]
)
答案(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
规范解答
由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)
【例 1】
如图是函数 y=Asin(ωx+φ)
������
>
0,������
>
0,|������|
<
π 2
的图象的一部分,求此函数的解析式.
探究一
探究二
规范解答
分析可以根据图象逐一确定解析式中的参数值,从而得出解析式;
也可根据图象经过的几个特殊点的坐标,代入解析式利用待定系数
法求解;还可以根据图象变换求得解析式.
解法一(逐一定参法)
由图象知 A=3,T=56π −
-
π 6
高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin(ωxφ)》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2πϕ<)，在同一个周期内，当4x π=时，则y 取最大值1，当712x π=时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴；(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．0km m 被称为火箭的质量比．(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln20.69≈，无理数e 2.71828=）二、单选题8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移12个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移12个单位长度9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（ ）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度三、填空题14．将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）的图象如图，则()f x 的解析式为_____．15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．参考答案与解析1．（1）2a =；（2）3π. 【分析】（1）由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题2．答案见解析．图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3．（1）f (x )＝sin (2)6x π+ ；（2） 答案见解析.【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值，从而可求出函数f (x )的解析式； （2）利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ-＝π，故ω＝2Tπ＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+＝1又|φ|＜2π，∴φ＝6π.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π+.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y ＝sin (2)6x π+的图像． 4．答案见解析【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．5．(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<，∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】（1）求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；（2）求出()2cos 4g x x π=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合分析求解. （1）解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）2ω=，0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.（2）10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8．B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =．故选：B ． 9．A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 11．A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选：A 12．D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D. 13．C【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选：C14．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，进而解得ϕ的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）． 因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=，结合弧长公式，即可求解.第 11 页 共 11 页 【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=． 故答案为：4π9.。
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
高中数学 三角函数 5.6 函数y=Asin(ωx+φ)讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第
5.6 函数y＝A sin(ωx＋φ)最新课程标准：结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.知识点一A，ω，φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响1．φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响2．ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响3．A对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响状元随笔(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系 .(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．(4)由y＝sin x到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sinωx 的图象变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝A sin x的图象变换称为振幅变换．知识点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0的 有关性质1.定义域：R . 2．值域：[－A ，A ]． 3．周期性：T ＝2πω.4．对称性：对称中心⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0，对称轴是直线x ＝k πω＋π－2φ2ω(k ∈Z )．5．奇偶性：当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数． 6．单调性：通过整体代换可求出其单调区间．状元随笔 研究函数y ＝A sin (ωx＋φ)性质的基本策略(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．(2)整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的X 围，再结合y ＝sinθ的图象求值域．[教材解难]1．教材P 231思考筒车转轮的中心O 到水面的距离h ，筒车的半径r ，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P 0以及所经过的时间t .如图，以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立直角坐标系．设t ＝0时，盛水筒M 位于点P 0，以Ox 为始边，OP 0为终边的角为φ，经过t s 后运动到点P (x ，y )．于是，以Ox 为始边，OP 为终边的角为ωt ＋φ，并且有y ＝r sin(ωt ＋φ)①所以，盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 的关系是H ＝r sin(ωt ＋φ)＋h .②2．教材P 232思考(1)能．(2)可以先按φ再按ω，最后按A 的顺序研究．[基础自测]1．利用“五点法”作函数y ＝sin 12x ，x ∈[0,4π]的图象时，所取的五点的横坐标为( )A ．0，π2，π，3π2，2π B．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π2，2π3解析：令12x ＝0，π2，π，3π2，2π得，x ＝0，π，2π，3π，4π.答案：C2．将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin x ＋π3B ．y ＝sin x －π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 解析：y ＝sin x 错误!y ＝sin 错误!. 答案：C3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π4B ．x ＝π4C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，令x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，求得x ＝k π＋π4，k ∈Z ，可得它的图象的一条对称轴为x ＝π4，故选B.答案：B4．将函数y ＝sin 3x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得到函数________的图象．解析：将函数y ＝sin 3x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得，函数y ＝sin(3×3x )＝sin 9x 的图象．答案：y ＝sin 9x题型一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[教材P 237例1] 例1 画出函数y ＝2sin(3x －π6)的简图．【解析】 先画出函数y ＝sin x 的图象；再把正弦曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的13倍，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6的图象，如图1所示．下面用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6在一个周期⎝ ⎛⎭⎪⎫T ＝2π3内的图象．令X ＝3x －π6，则x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＋π6，列表，描点画图(图2)X 0 π2 π 3π2 2π x π18 2π9 7π18 5π9 13π18 y2－2状元随笔 画函数y ＝A sin (ωx＋φ)的图象一般有2个方法． 法一：先画y ＝sin x ，然后按φ，ω，A 的顺序依次画出图象． 法二：五点法作图，按列表，描点，连线的步骤画图． 方法归纳五点法作图五点法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )图象的步骤． (1)列表，令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，依次得出相应的(x ，y )值． (2)描点．(3)连线得函数在一个周期内的图象．(4)左右平移得到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象.跟踪训练1 已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6. 试用“五点法”画出它的图象．解析：令t ＝x 2＋π6，列表如下：x －π3 2π3 5π3 8π3 11π3 t 0 π2 π 3π2 2π y2－2描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：换元→列表求值→描点画图题型二 三角函数的图象变换例2 由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换，可以得到函数y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1的图象．【解析】 方法一 y ＝sin x 的图象 ――――――――→所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y ＝2sin x 的图象y ＝－2sin x 的图象y ＝－2sin 2x 的图象y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1的图象．方法二 y ＝sin x 的图象y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象―――――――→关于x 轴作对称变换y ＝－sin2x －π6的图象――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1的图象.本题考查三角函数的图象变换问题，可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，得到答案．方法归纳解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错．跟踪训练2 由函数y ＝cos x 的图象如何得到函数y ＝－2cos2x ＋π6＋2的图象．解析：y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6＋2＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712π＋2. 方法一 y ＝cos xy ＝cos x ＋76πy ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋76π―――――――――→各点纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋76π――――――→向上平移2个单位, y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋76π＋2.方法二 y ＝cos x y ＝cos2xy ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋76π―――――――→各点纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y ＝2cos2x ＋76π向上平移2个单位,y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋76π＋2.方法一，先平移，后伸缩；方法二，先伸缩，后平移．两种变换方法中向右平移的单位长度是不同的⎝ ⎛⎭⎪⎫即7π6和7π12，但得到的结果是一致的．题型三 三角函数解析式例3 如图所示，它是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的图象，则该函数的解析式为________．【解析】 解法一 (单调性法)由图象可知：A ＝2，T ＝5π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝3π＝2πω，则ω＝23. ∵点(π，0)在递减的那段图象上， ∴2π3＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )，则由sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，得2π3＋φ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )．∵－π<φ<π，∴φ＝π3.∴该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.解法二 (最值点法)由图象可得T ＝3π，A ＝2，则ω＝23，将最高点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2代入y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝2，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． 又－π<φ<π，∴φ＝π3.∴该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.解法三 (起始点法)由题图得T ＝3π，A ＝2，故ω＝23，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 0正是由ωx 0＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x 0，就可以迅速求得角φ.由图象求得ω＝23，x 0＝－π2，φ＝－ωx 0＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π3.∴该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.解法四 (图象平移法)由图象知，将函数y ＝2sin 23x 的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，就得到本题的图象，故所求函数的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.【答案】y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3观察图象，求出A 、ω、φ.解法一单调性法，解法二最值点法，解法三起始点法，解法四图象平移法．方法归纳根据三角函数的图象求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，一般先结合图形求得振幅和周期，从而求得A ，ω；再利用特殊点、零点或最值点列出关于φ的方程求出φ值，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的零点有上升零点和下降零点，一般取最靠近原点的上升零点x 0，令ωx 0＋φ＝2k π；下降零点x 0，使ωx 0＋φ＝π＋2k π，再根据φ的X 围确定φ的值．特别注意，求φ值时最值点法优先．跟踪训练3 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 解析：由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入函数f (x )解析式得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案：B由图可知A ＝1，由周期可求ω，代入最值点可求φ. 题型四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用例4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0B ．f (x )的图象关于直线x ＝－112π对称C ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数D ．f (x )的周期为π2【解析】 根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象．可得A ＝3，T 2＝πω＝5π6－π3，所以ω＝2，再根据五点法作图可得2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，所以y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，显然，它的周期为2π2＝π，故排除D ； 当x ＝4π3时，函数y ＝f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0，故函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，故A 正确．当x ＝－112π时，f (x )＝32，不是最值，故f (x )的图象不关于直线x ＝－112π对称，故排除B ；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，－2π3，y ＝3sin2x ＋π3不是增函数，故排除C.【答案】 A求出函数的解析式，分别利用函数的对称中心、对称轴、单调性，周期的公式判断． 方法归纳1．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间．2．求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x (或cos x )≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域、最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．跟踪训练4 本例中，试求函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解析：因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3.由x 的X 围求出ωx＋φ的X 围，最后求函数的值域．易错警示 φ，ω，A 对图象的影响．例 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象先沿x 轴向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，求与最终的图象对应的函数的解析式．【错解1】 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12，则与其对应的函数的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －7π12.【错解2】 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －5π12，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数的解析式为 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －5π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 【错解3】 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －7π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋5π6. 【错因分析】 以上三种解法都是错误的，错解产生的根本原因是没有抓住变换的对象，错解1在进行平移变换时，错误地把2x 看成了变换对象；错解2在进行伸缩变换时，错误地把2(x －5π12)看成了变换对象；错解3在平移变换和伸缩变换上都犯了错误．【正解】 将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －5π6.【点评】 由y ＝sin x 的图象变换为y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象时，若先由y ＝sinx 的图象变换为y ＝sin ωx 的图象，再由y ＝sin ωx 的图象变换为y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，则左右平移|φ|ω个单位长度，很多人都直接左右平移|φ|个单位长度，从而导致错误．课时作业 41一、选择题1．将函数y ＝sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝f (x )的图象，则( )A ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π8对称B ．f (x )的最小正周期为π2C ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6上单调递增解析：函数y ＝sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y ＝sin x ，即f (x )＝sin x .根据正弦函数的图象及性质，可知：对称轴x ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以A 不对．周期T ＝2π，所以B 不对．对称中心坐标为(k π，0)，k ∈Z ，所以C 不对．单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，π2＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6上单调递增． 答案：D2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析：函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度后，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，周期为2π；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 的图象不关于直线x ＝π2对称；又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，知f (x )＝cos x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称．故选D.答案：D3．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3 C.π2D.3π4解析：由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1. ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.答案：A4．把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π6的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移π3个单位长度，则所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－32xB ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫710π－32xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－6x 解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π6―――――→周期扩大为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋π6――――――――→向右平移π3个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋2π3.答案：A 二、填空题5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，得到的图象的解析式为________．解析：将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位，得到的图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，再向上平移2个单位，得到的图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2.答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋26．在函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x ＝π6时，有最大值2，当x ＝2π3时，有最小值－2，则ω＝________.解析：依题意知T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，又T ＝2πω＝π，得ω＝2.答案：27．如图所示的曲线是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．解析：由函数图象可知A ＝2，T ＝435π6－π12＝π，即2πω＝π，故ω＝2.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2是五点法作图的最大值点，即 2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则φ＝π3＋2k π，k ∈Z .故所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3三、解答题8．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解析：(1)列表.2x ＋π40 π2 π 3π2 2π x －π8π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位， 即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．(2)y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.9.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2 的图象的一段如图所示，试确定A ，ω，φ的值． 解析：有两种方法． 法一：由图象可知振幅A ＝3.又周期T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由于图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，∴－π6×2＋φ＝k π，φ＝π3＋k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，∴φ＝π3.法二：由图象知T ＝π，A ＝3，∴ω＝2πT ＝2π2＝2，且图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，可知图象由y ＝sin 2x 的图象向左平移π6＋k π个单位长度得到，∴y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋k π，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2k π. 又已知|φ|<π2，∴φ＝π3.[尖子生题库]10．已知函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54.(1)求f (x )的振幅、最小正周期及单调增区间； (2)求f (x )的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f (x )的最小值及取得最小值时x 的取值集合． 解析：(1)函数f (x )的振幅为12，最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )；令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，54(k ∈Z )．(3)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1，即2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )， x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值为34，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－π3＋k π，k ∈Z.。
5.6.2函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质的应用第二课时课件人教A版(2019)必修第一册
, 0 对称
B.关于直线 x =
π
, 0 对称
D.关于直线 x =
π
4
3
对称
对称
π
−
6
随堂检测
3. 如图为函数 y = Asin x + ( > 0, > 0, − < < 0)的一部分图象， 求函
数的解析式.
2
【解析】由图可知, A = 3， =
5
6
3
2
− = ，所以最小正周期 =
3
6
2
5
+ , 0 ， ∈ ；由2 − = + ，解得 = + ， ∈ ，故函数
6
2
3
2
2
12
5
的对称轴方程为 =
2
+
12
， ∈ .
π
问题2：函数 = 3sin 2x − 图象的单调递增区间怎样表示?
3
5
【解析】由2 − ≤ 2 − ≤ + 2，解得 − ≤ ≤ +
2
3
2
12
12
�� 5
的单调递增区间为[ −
, + ] ， ∈ .
12
12
，故函数
新知生成
知识点二 函数y = Asin ωx + φ 的性质
1.函数=sin(+)的图象与周期
(1) 相邻的最大值点和最小值点间的距离为半个周期.
(2)函数图象与轴的交点为对称中心，相邻的两对称中心的距离为半个周期.
Asin(ωx+φ)的性质及应用课时作业 新人教A版必修4
【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.5.2函数y=Asin （ωx+φ）的性质及应用课时作业 新人A 教版必修4基础巩固一、选择题1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称[答案] A[解析] 由T ＝2πω＝π，解得ω＝2，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 则该函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称．2．(四川高考理)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3[答案] A[解析] 本题考查正弦型函数的周期与初相． 34T ＝5π12－(－π3)＝3π4， ∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3.3．(2015·山东师大附中期中)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．23C ．－12D ．12[答案] B[解析] 首先由图象可知所求函数的周期为T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－7π12＝2π3，故ω＝2π2π3＝3.将⎝⎛⎭⎪⎫11π12，0代入解析式， 得A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×11π12＋φ＝0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π4＋φ＝0， ∴11π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝－9π4＋2k π(k ∈Z )．令φ＝－π4，代入解析式得f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－A sin π4＝－22A ＝－23，∴A ＝232，∴f (0)＝232cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝232cos π4＝23.4．(2015·安徽合肥一模)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8[答案] A[解析] 函数f (x )的周期T ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π， 则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.5．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( ) A ．3或0 B ．－3或3 C ．0 D ．－3或0[答案] B[解析] 由于函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3或3. 6．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是( ) A.5π6 B ．π2C.π3D ．－π2[答案] A[解析] 由于f (x )是偶函数，则f (x )图象关于y 轴即直线x ＝0对称， 则f (0)＝±2，又当φ＝5π6时，f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋5π6＝2，则φ的值可以是5π6.二、填空题7．简谐振动s ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋π3，在t ＝12时的位移s ＝________.初相φ＝________. [答案] 32，π3[解析] 当t ＝12时，s ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝3×12＝32. 8．(2015·山东济南一中期中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，f (x )＝____________.[答案] 3sin(x 2＋π6)[解析] 由图易知A ＝3，而T 2＝8π3－23π＝2π， 故T ＝4π.ω＝2πT ＝12，∴f (x )＝3sin(x 2＋φ)代入(23π，3)，得sin(π3＋φ)＝1，∴π3＋φ＝π2解得φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(x 2＋π6)．三、解答题9．挂在弹簧下的小球上下振动，它在时间t (s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h (cm)由函数关系式h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4决定． (1)以t 为横坐标，h 为纵坐标作出这个函数的图象(其中0≤t ≤π)； (2)求小球开始振动的位置；(3)求小球上升到最高点和下降到最低点的位置； (4)经过多少时间，小球往返振动一次？ (5)每秒小球能往返振动多少次？[解析] (1)利用五点法可以作出其图象(如图所示)．(2)令t ＝0，则h ＝322，所以小球开始振动时的位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322.(3)最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－3.(4)小球经过π秒往返振动一次． (5)每秒小球能往返振动1π次．10．(2015·黑龙江高一检测)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω>0且|φ|<π)在一个周期内的图象如图，(1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间．[解析] (1)由图得A ＝2，T ＝2[5π12－(－π12)]＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2， 故y ＝2sin(2x ＋φ)．又2sin(－2×π12＋φ)＝2，即sin(－π6＋φ)＝1，∴φ＝2k π＋2π3，k ∈Z ，又|φ|<π，∴φ＝2π3，得函数解析式为y ＝2sin(2x ＋2π3)．(2)令z ＝2x ＋2π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )，由－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π，得－7π12＋k π≤x ≤－π12＋k π(k ∈Z )，所以函数y ＝2sin(2x ＋2π3)的递增区间为[－7π12＋k π，－π12＋k π]，k ∈Z .能力提升一、选择题1．设函数f (x )＝2sin(π2x ＋π5)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．12[答案] B[解析] f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝T2＝2.2．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值为( )A.23 B ．32 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3，∴ω≥32，即ω的最小值为32，故选B. 3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 [答案] A[解析] ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π，∵－π<φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．4．(2015·新课标全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZC ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z[答案] D[解析] 由图象知，函数f (x )的最小正周期T ＝(54－14)×2＝2，所以ω＝π，又(14，0)可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以cos(π4＋φ)＝0，π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，所以f (x )＝cos(πx ＋π4)，所以由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z ，选D.二、填空题5．(2015·长沙模拟)若将函数y ＝sin(ωx ＋5π6)(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin(ωx ＋π4)的图象重合，则ω的最小值为________．[答案] 74[解析] y ＝sin(ωx ＋5π6)的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[ω(x －π3)＋56π]，即y ＝sin(ωx ＋56π－ω3π)，故56π－ω3π＋2k π＝π4(k ∈Z )， 即ω3π＝712π＋2k π， ω＝74＋6k (k ∈Z )，∵ω>0，∴ω的最小值为74.6．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．[答案] ②④[解析] ∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∵φ＝k π＋π3.∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)．由图象及性质可知②④正确． 三、解答题7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求ω和φ的值．[解析] ∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z .又∵0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝cos ωx . ∵图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，∴cos 3π4ω＝0. ∴3π4ω＝π2＋n π，n ∈Z .∴ω＝23＋43n ，n ∈Z . 又∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，∴T 2≥π2－0，即2πω×12≥π2，∴ω≤2. 又∵ω>0，∴ω＝23或ω＝2.8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)，图象最低点的纵坐标是－3，相邻的两个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0. 求：(1)f (x )的解析式； (2)f (x )的值域； (3)f (x )的对称轴．[解析] (1)A ＝3，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π，∴2πω＝π.∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又⎝⎛⎭⎪⎫π3，0在f (x )图象上，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0.∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0.又－π<φ<0，∴φ＝－2π3.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3. (2)值域是[－3，3]． (3)令2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．∴对称轴是直线x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．。
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答 随堂演练
变式训练 1 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则 f
7π 12
=
.
解析:函数的周期为 T=2
间的距离为π3,
3
5π 4
−
π 4
=23π,则图中相邻两个零点之
又π
4
+
π 3
=
71π2,所以
f
7π 12
=0.
答案:0
探究一
探究二
探究三
所以 φ=π,故选 C.
(3)依题意有2���π��� =4π,
所以 ω=12,即 y=13sin
1 2
������
+
π 6
,
而当 x=-43π时,函数取得最小值-13,故 x=-43π是其图象的一条对称
轴.选 A.
答案:(1)D (2)C (3)A
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答 随堂演练
三角函数图象变换的应用
(3)因为1π2≤x≤π2,所以π3≤2x+π6 ≤ 76π,
即-1≤2sin
2������
+
π 6
≤2,
因此-1≤y≤2,故函数 f(x)的值域为[-1,2].
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答 随堂演练
例 且函数
f5(x已)的知图函象数的f(两x)相=2邻sin对���称���������轴+间������的- π6距+离1(0为<π2φ.<π,ω>0)为偶函数,
因为|φ|<π2,所以 φ=π3,故 y=3sin
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 课件
[kπ＋8π，kπ＋58π](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是 [kπ＋58π，kπ＋98π](k∈Z)． 当 2x－34π＝2kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋58π(k∈Z)时函数有最 大值 1； 当 2x－34π＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋8π(k∈Z)时函数有最 小值－1.
故选 D.
A＝2， k＝－1， 解得φ＝(ωx＋φ)性质的运用
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，在历年高考题中 都有所体现和考查．围绕着函数单调性、最值、奇偶性，图象 的对称性等都有所体现和考查．
(2)有关函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意 整体代换思想的运用．
A．y＝2sin(2x＋π6)－1 B．y＝2sin(2x＋3π)－1 C．y＝2sin(2x＋3π)－1 D．y＝2sin(2x＋6π)－1 [分析] 由“五点法”列表的对应关系建立 φ 的方程，求 φ、ω，再根据平衡位置确定 A，k.
[解析]
A＝1－2－3， 由图象知k＝1－2 3，
－1π2ω＋φ＝0， 152πω＋φ＝π，
(2011～2012·临沂高一检测)设函数 f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝8π.
(1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间及最值； [分析] 本题关键是对图象的对称轴为 x＝π8这一条件的利 用，由图象一对称轴为 x＝8π得：当 x＝8π时 2x＋φ＝kπ＋2π(k∈ Z)进而可求 φ 值．
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
命题方向 1 求三角函数的解析式问题
三角函数式中确定φ的方法： 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定常 用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A、ω已 知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区 间还是在下降区间上)
函数y=Asin(ωx φ)的性质及应用
[解析]
T 2π 依题意知：A＝ 2 ， ＝4，故T＝ ＝16，ω＝ 4 ω
π π ，∴y＝ 2sin( x＋φ) 8 8 π π π 又由函数最高点(2， 2)得sin( ×2＋φ)＝1，故 ＋φ＝ ＋ 8 4 2 2kπ，k∈Z， π ∴φ＝2kπ＋ ，k∈Z 4 π π 又由|φ|< 得φ＝ ， 2 4
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
R (1)定义域：____.
－A，A] ． (2)值域：[ _________ π 2kπ＋2－φ 当π x＝___________(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝ ω 2kπ－2－φ __________( k∈Z)时，y取最小值－A. ω
2π (3)周期性：周期函数，周期为 ω .
(4)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) π 是奇函数；当且仅当φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) 是偶函数． (5)单调性：单调递增区间是 π π 2kπ－2－φ 2kπ＋2－φ (k∈Z)； ， ω ω π 3π 2kπ＋2－φ 2kπ＋ 2 －φ 单调递减区间是 (k∈Z)． ， ω ω
3π π 5π 当2xຫໍສະໝຸດ ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)时函数有最 4 2 8 大值1； 3π π π 当2x－ 4 ＝2kπ－ 2 (k∈Z)，即x＝kπ＋ 8 (k∈Z)时函数有最 小值－1.
(2011～2012· 郑州高一检测)已知曲线y＝Asin(ωx＋ π φ)(A>0，ω>0，|φ|<2)上最高点为(2， 2)，该最高点到相邻的 最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数 在x∈[－6,0]上的值域．
函数y=Asin(ωx+φ)+第二课时 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
数学
1
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 第二课时
题型一 函数y＝Asin（ωx＋φ）中参数的物理意义
数学
2
知识梳理
函数 y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）中，A，ω，φ 的物理意义 （1）简谐运动的振幅就是 A. （2）简谐运动的周期 T＝2ωπ. （3）简谐运动的频率 f＝T1＝2ωπ. （4）ωx＋φ 称为相位. （5）x＝0 时的相位 φ 称为初相.
答案 C
14
-A
T 4
T 2
3T 4
T
ωx＋φ＝ 2kπ
π
3π
+2kπ π+2kπ
+2kπ 2kπ
2
4
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 第二课时
题型三 y＝Asin（ωx＋φ）的性质的综合应用
数学
15
知识梳理
函数 y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的有关性质
名称
性质
定义域 值域
R [－A，A]
8
课堂精讲
【例 2】 如图是函数 y＝Asin（ωx＋φ）A>0，ω>0，|φ|<π2
y
A
的图象的一部分，求此函数的解析式.
y＝Asin（ωx＋φ）
解 法一（逐一定参法） 由图象知 A＝3，T＝56π－－π6＝π， ∴ω＝2Tπ＝2，∴y＝3sin（2x＋φ）. ∵点－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin－π6×2＋φ.
所以对称中心为k2π－1π2，54（k∈Z）.
18
课堂精讲
【例 3】 已知函数 f（x）＝21sin2x＋π6＋54. （1）求 f（x）的振幅、最小正周期及单调递增区间；
函数 y=Asin(ωx+φ)(课时2图象与性质的应用)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
1.已知函数 ，其图象最低点的纵坐标是 ，相邻的两个对称中心是 和 ，则 图象的对称轴方程为_ ____________________.
新知生成
已知函数 .
（1）设函数的最大值为 ，最小值为 ，则 ， ，从而 ， .
（2）通过图象与 轴的交点确定 ，与 轴的交点中相邻的两点间距离为半个周期，或根据相邻的最高点与最低点之间的距离为半个周期确定 .
（3）确定 值时，把图象上的一个已知点代入（此时， ， 已知）或代入图象与 轴的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）.
[答案] 根据图象的最高点（或最低点）确定 .因为最大值与最小值互为相反数，所以 .
问题2：.根据函数 的部分图象如何确定 ？
[答案] 因为 ，所以常通过周期来确定 ， ，所以 .
问题3：.根据函数 的部分图象如何确定 ？
[答案] 最大值对应的 值为 ，所以 ， ，所以 ， .
探究2 函数 的性质
观察函数 的图象，探究下面的问题.
情境设置
问题1：.函数 图象的对称中心和对称轴怎样表示？
[答案] 图象与 轴的交点 ， 为对称中心;过图象最高点或最低点且与 轴垂直的直线为对称轴，即 ， .问题2：.ຫໍສະໝຸດ 究函数 的性质的主要思想方法是什么？
[答案] 整体代换的思想方法，把 看成一个整体，把函数 的性质问题转化为 的性质问题.
（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式 ，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.
人教新课标版数学 高一人教A版必修4 函数y=Asin(ωxφ)的性质及应用 作业
[A.基础达标]1．函数y ＝12sin(x －π3)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C.由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.2．已知ω＞0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为(π12，0)，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1解析：选A.由题意知π3－π12≥T 4，故T ＝2πω≤π，ω≥2.3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A.∵T ＝2πω＝2ππ3＝6，又图象过点(0,1)，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内，当x ＝π12时，取得最大值2，当x＝7π12时，取得最小值－2，那么函数的解析式为( ) A ．y ＝2sin(x 2＋π3) B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(x 2＋π6)D ．y ＝2sin(2x ＋π6)解析：选B.由题意知A ＝2，T ＝2(7π12－π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2，又f (π12)＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以y＝2sin(2x＋π3)．5．函数f(x)＝A sin(ωx ＋φ)(其中A＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x 的图象，则只要将f(x)的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度解析：选A.由题图可知，A＝1，T＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，故ω＝2πT＝2，由于(π3，0)为五点作图的第三点，∴2×π3＋φ＝π，解得φ＝π3，所以f(x)＝sin(2x＋π3)，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得y＝sin⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x－π6＋π3＝sin 2x＝g(x)，故选A.6．函数y＝6sin(14x－π6)的振幅是________，周期是________，频率是________，初相是________，图象最高点的坐标是________．解析：由题意，得A＝6，T＝2π14＝8π，f＝1T＝18π，φ＝－π6.当14x－π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝8kπ＋8π3(k∈Z)时，函数取得最大值6.答案：68π18π－π6(8kπ＋8π3，6)(k∈Z)7．函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图象知，T＝0－(－2π3)＝2π3，所以ω＝3.答案：38．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则f(2)＝________.解析：依题意知34×2πω＝2，∴ω＝3π4，又图象过点(1,1)，则令3π4＋φ＝π2，得φ＝－π4.故f (2)＝sin(3π4×2－π4)＝－22.答案：－229．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递减区间．解：(1)函数的一条对称轴是直线x ＝π8，2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，即5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )． 10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值． 解：(1)由函数f (x )图象上一个最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2，由周期T ＝π，得ω＝2πT＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上， 得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又0＜φ＜π2，所以k ＝1，φ＝π6.所以函数解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12， 所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 所以当2x ＋π6＝π6.即x ＝0时，函数f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，函数f (x )取得最大值 3.[B.能力提升]1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.34πB.π4C ．0D ．－π4解析：选B.y ＝sin(2x ＋φ)――――――――――――→向左平移π8个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π8)＋φ＝sin(2x ＋π4＋φ)， 因为y ＝sin(2x ＋π4＋φ)是偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π4＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π4，故选B.2．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，以下说法正确的是( ) A ．函数的周期为π4B ．函数是偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上为减函数解析：选C.该函数的周期T ＝π2；因为f (－x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π6＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 因此它是非奇非偶函数； 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上是减函数，但y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上是增函数，因此只有C 项正确．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．解析：根据题图可知34T ＝5π12－(－π3)＝9π12＝3π4，所以函数的周期为π，可得ω＝2，根据图象过点(5π12，2)，代入解析式，结合－π2＜φ＜π2，可得φ＝－π3.答案：2，－π34．若对任意的实数a ，函数f (x )＝14sin ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3－13(k ＞0)，x ∈⎣⎡⎭⎫a －π3，a ＋π6的图象与直线y ＝－12有且仅有两个不同的交点，则实数k 的值为________．解析：由函数f (x )的图象在x ∈⎣⎡⎭⎫a －π3，a ＋π6时与直线y ＝－12有且仅有两个不同的交点，故⎣⎡⎭⎫a －π3，a ＋π6的区间长度是函数f (x )的最小正周期，即T ＝π2，所以k ＝2πT ＝4. 答案：45．如图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π2)的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求φ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝32.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6. 因为T ＝π，且ω＞0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，且A ⎝⎛⎭⎫π2，0，y 0＝32，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3.因为点P 在函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上，所以cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32. 又因为π2≤x 0≤π，所以7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3或x 0＝3π4.6．(选做题)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn 上的面积为2n(n ∈N *)． (1)求函数y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积； (2)求函数y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎡⎦⎤π3，4π3上的面积．解：(1)y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的图象如图所示．由函数y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，π3上的面积为23，可得函数y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为43. (2)由图可知阴影部分面积即为所求面积，即S ＝S 四边形ABCD ＋23＝π＋23.。
5.6.2函数y=Asin(ωxφ)的性质及其应用课件高一上学期数学人教A版
π
4
x+
3
3
B.y=5sin
π
2
x+ 3
3
C.y=5sin
π
2
x+ 6
3
D.y=5sin
2 π
x3 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
( B )
解析
由题图知,A=5,由2
2π
∴ω=
=
2
,则
3
y=5sin
2
x+φ
3
.
π
,5
4
,
由图象知最高点坐标为
将其代入 y=5sin
3
≤
π
,解出
2
π
x+3
π
π
R 上求,令-2+2kπ≤x+3
在
π
0,3
≤
上的增区间是由
π
+2kπ,解出
2
π
0≤x≤3,得
x,进而得到在限定区间内的增区间.
重难探究·能力素养速提升
问题1一般来说,函数有哪些性质?如何研究函数的性质?
探究点一
三角函数图象变换的应用
问题2函数y=Asin(ωx+φ)何时是奇函数?何时是偶函数?
知识点:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
名称
值域
性质
R
[-A,A]
周期性
2π
定义域
对称中心
对称轴
T=
名称
性质
奇偶性 当φ= kπ(k∈Z) 时是奇函数;当φ=
高中数学 1.5.2函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用课时作
课时作业13 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．最大值为12，周期为π3，初相为π4的函数表达式可表示为( )A ．y ＝12sin(π3x ＋π4)B ．y ＝12sin(π3x －π4)C ．y ＝12sin(6x ＋π4)D ．y ＝12sin(6x －π4)解析：∵A ＝12，2πω＝π3⇒ω＝6，φ＝π4，∴C 项正确．答案：C2．已知f (x )＝sin(3x ＋φ)的图象的一个对称中心是(－7π12，0)，则φ可取( )A.π4 B ．－π4C.7π12D ．－7π12解析：把x ＝－712π代入sin(3x ＋φ)＝0得sin[3×(－712π)＋φ]＝0，∴φ－74π＝k π，令k ＝－2得φ＝－2π＋74π＝－π4，故选B. 答案：B3．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是( )A.5π6 B.π2C.π3D ．－π2解析：令x ＝0得f (0)＝2sin(－π3＋φ)＝±2，∴sin(φ－π3)＝±1，把φ＝56π代入，符合上式．故选A.答案：A 4.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：很明显，A ＝1，T ＝4(712π－π3)＝π， ∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．又f (π3)＝0，∴sin(23π＋φ)＝0.又|φ|<π2，∴π6≤23π＋φ≤76π，∴23π＋φ＝π， ∴φ＝π3，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴g (x )＝sin2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即将f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到g (x )的图象．答案：A5．点P (－π6，2)是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω>0，|φ|<π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则( )A ．f (x )的最小正周期是πB ．f (x )的值域为[0,4]C ．f (x )的初相φ＝π3D ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，2π上单调递增解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧－π6ω＋φ＝k πk ∈Z ①，m ＝2，且函数的最小正周期为T ＝4×π2＝2π，故ω＝2πT ＝1.代入①式得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝sin(x ＋π6)＋2.故函数f (x )的值域为[1,3]，初相为π6，排除A ，B ，C 项，选D 项．答案：D6．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：依题意可得f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x ＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，图象向左平移n (n >0)个单位得f (x ＋n )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n ＋π6，要使平移后的函数为偶函数，则n 的最小值为5π6. 答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图象知32T ＝π，∴T ＝2π3，A ＝2，又∵T ＝2πω，∴ω＝3，将点(π4，0)代入y ＝2sin(3x ＋φ)得：sin(3×π4＋φ)＝0，取φ＝－34π.∴f (x )＝2sin(3x －3π4)，∴f (7π12)＝2sin(3×7π12－3π4)＝2sinπ＝0.答案：08．方程2sin(x ＋π3)＋2a －1＝0在[0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈[0，π]，x ＋π3∈[π3，4π3]，2sin(x ＋π3)∈[－3，2]．画出函数图象可知，当3≤1－2a <2时，原方程有两个不相等的实数根，故－12<a ≤1－32.答案：(－12，1－32]9．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：依题f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，∴f (x )图象关于直线x ＝π6＋π32对称，即关于直线x ＝π4对称，且π3－π6<T ＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2k π，k ∈Z ，且0<ω<12，∴ω＝143. 答案：143三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象离P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)．(1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．解：(1)T 4＝π3－π12＝π4，T ＝π，∴ω＝2πT＝2，A ＝5，又∵ω·π12＋φ＝0，∴φ＝－π6.∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3，k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解：(1)A ＝3，2πω＝43(4π－π4)＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin(25x ＋φ)的图象过点(π4，0)得sin(π10＋φ)＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin(25x －π10)．(2)设把f (x )的图象向左至少平移m (m >0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数，由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x ＋m －π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2.∵m >0，∴m min ＝3π2.故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．12.如图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求φ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝32.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.因为T ＝π，且ω>0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，且A (π2，0)，y 0＝32，所以点P 的坐标为(2x 0－π2，3)．因为点P 在函数y ＝2cos(2x ＋π6)的图象上，所以cos(4x 0－5π6)＝32. 又因为π2≤x 0≤π，所以7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3或x 0＝3π4.。
2021_2022学年高中数学第五章三角函数习题课函数y=Asin(ωxφ)的性质及其应用课件新人教
π
3- 3
(1)函数 f(x)=sin
-4 的值域为(
)
A.[-1,1]
B.[-4,4]
C.[-5,5]
D.[-5,-3]
(2)若函数 f(x)=-2sin(4x+φ)(0<φ<2π)是一个奇函数,则 φ 的值等
于(
)
π
π
π
A.
B.
C.π
D.
2
1
8
π
4
(3)若函数 y=3sin + 6 (ω>0)的最小正周期是 4π,则其图象
4
5π
∴φ=kπ- ,k∈Z,
4
π
2
∵f 2 =-3,
3π
2
5π
Acos
+kπ=,
∴
2
3
4
π
2
Acos
kπ+
=,
即
4
3
π
5π
f(0)=Acos
kπ=-Acos
kπ∴
4
4
π
π
=-Acos 2kπ- kπ+4 =-Acos kπ+4
2
3
= .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
11π
标准解答
7π
π
随堂演练
由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)
π
例 3 如图是函数 y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<2 的图象的一部分,
求此函数的解析式.
分析可以根据图象逐一确定解析式中的参数值,从而得出解析式;
_新教材高中数学高效作业48函数y=Asinωx+φ的图象含解析新人教A版必修第一册
函数y ＝A sin (ωx＋φ)的图象][A 级 新教材落实与巩固]一、选择题1．下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π 上的简图正确的是( A )【解析】 当x ＝π时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝－32 ，排除B ，D ；当x ＝π6时，y ＝sin 0＝0，排除C ，故选A.2．【多选题】 有下列四种变换方式，其中能将正弦函数 y ＝sin x 的图象变为y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 的图象的是( AB )A ．向左平移π4 个单位长度，再将横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)B ．横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)，再向左平移π8 个单位长度C ．横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)，再向左平移π4 个单位长度D ．向左平移π8 个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)【解析】 A 中向左平移π4 个单位长度，再将横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)，则正弦函数y ＝sin x 的图象变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 的图象；B 中横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)，再向左平移π8 个单位长度，正弦函数y ＝sin x 的图象变为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 的图象；C 中横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)，再向左平移π4 个单位长度，正弦函数y ＝sin x 的图象变为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 的图象；D 中向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)，正弦函数y ＝sin x 的图象变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π8 的图象，因此A 和B 符合题意，故选AB. 3．将函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π6 个单位长度，所得图象对应的函数( B )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数【解析】 将函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π6 个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－cos 3x 的图象，所以所得图象对应的函数是偶函数．4．要得到函数y ＝ 2 cos x 的图象，只需将函数y ＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 的图象上的所有点的( C )A ．横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，再向左平移π8 个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，再向右平移π4 个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π4 个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位长度5．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( A )【解析】 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos x ＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝cos (x ＋1)的图象，∵曲线y ＝cos (x ＋1)由余弦曲线y＝cos x 左移一个单位而得，∴曲线y ＝cos (x ＋1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，0 和⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－1，0 ，且在区间⎝⎛⎭⎪⎫π2－1，3π2－1 上函数值小于0，故选A.6．将函数y ＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象向左平移π6 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y ＝sin x ，则( B )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12 ，φ＝π6D ．ω＝12 ，φ＝－π3【解析】 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y ＝sin 2x ，再将此函数的图象向右平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 的图象，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 的图象，所以ω＝2，φ＝－π3 . 二、填空题7．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π8 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标__伸长__(填“伸长”或“缩短”)为原来的__3__倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π8 的图象．【解析】 因为A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π8 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π8 的图象． 8．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4 个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是__y ＝cos__2x ＋1__．【解析】 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝cos 2x ＋1.9．要得到函数y ＝sin 12 x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4 的图象向__右__平移__π2__个单位长度．【解析】 由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ，故要得到y ＝sin 12 x 的图象，只要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4 的图象向右平移π2 个单位长度．10．已知函数f(x)＝sin 2x ＋ 3 cos 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2 个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则φ＝__5π12__．【解析】 f(x)＝sin 2x ＋ 3 cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ，将f(x)图象向右平移φ个单位长度，得到g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3 的图象，若g(x)的图象关于y 轴对称，则－2φ＋π3 ＝π2 ＋k π(k∈Z)，解得φ＝－k π2 －π12 .又0<φ<π2 ，则当k ＝－1时，φ＝5π12.11． 已知方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＋2a －1＝0在[0，π]上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是__⎝ ⎛⎦⎥－12，2 __．【解析】 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＋2a －1＝0可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝－a ＋12 ，又x∈[0，π]，则x ＋π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，43π ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 ，在同一坐标系中作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 与函数y ＝－a ＋12 的图象．由图可知，32 ≤－a ＋12 ＜1，即－12 ＜a≤1－32时，两个函数的图象有两个交点． 三、解答题12．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＋1.(1)用“五点法”画出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)该函数图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？ 解：(1)列表：描点、连线，该函数在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8 上的图象如图所示．(2)将y ＝sin x 的图象先向左平移π4 个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 的图象，然后把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12 ，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 的图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＋1的图象．[B 级 素养养成与评价]13．【多选题】 函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移π2 个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于( ACD )A ．4B ．6C ．8D ．12【解析】 y ＝f(x)的图象向左平移π2 个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π2ω＋φ ，其图象与原图象重合，有π2 ω＝2k π(k∈Z)，即ω＝4k(k∈Z).故ω的值可能为4，8，12.14．函数y ＝cos (2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移π2 个单位长度后，与函数y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的图象重合，则φ＝__5π6 __． 【解析】 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的图象向左平移π2 个单位长度，得到y ＝sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6 的图象．由题意知y ＝cos (2x＋φ)(－π≤φ＜π)与y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6 重合，故φ＝5π6 .15．设函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ，则下列结论正确的是__①④__．(写出所有正确结论的序号)①函数y ＝f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8 (k∈Z)；②函数y ＝f(x)的图象可由y ＝sin 2x 的图象向左平移π8 个单位长度得到；③函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴方程为x ＝π8 ；④若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π24，π2 ，则f(x)的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 .【解析】 令2k π＋π2 ≤2x －π4 ≤2k π＋3π2 (k∈Z)，解得k π＋3π8 ≤x ≤k π＋7π8(k∈Z)，所以函数y ＝f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8 (k∈Z)，故①正确；由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8 ，所以函数y ＝f(x)的图象是由y ＝sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到的，故②错误；令2x －π4 ＝k π＋π2 (k∈Z)，解得x ＝k π2 ＋3π8(k∈Z)，所以函数y ＝f(x)的图象的对称轴方程为x ＝k π2 ＋3π8 (k∈Z)，故③错误；由于x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π24，π2 ，所以2x －π4 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4 ，当2x －π4 ＝3π4 时，f(x)min＝22 ，当2x －π4 ＝π2时，f(x)max ＝1，故④正确．16．已知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 . (1)填写下表并用五点法画出f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8 上的简图；(2)说明该函数图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样平移和伸缩变换得到． 解：(1)列表如下：作f(x)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8， 9π8 上的简图如图所示：(2)方法一：将y ＝sin x 的图象向右平移π4 个单位长度；再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12；再把所得图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍．方法二：将y ＝sin x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12 ；再向右平移π8 个单位长度；再把所得图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍．。