2015-2016年湖北省襄阳市枣阳二中高二(上)期中数学试卷及参考答案
湖北省枣阳市高中2015-2016学年高二下学期期中考试化学试卷.pdf
湖北省枣阳市高级中学高二年级2015-2016学年度下学期期中 考试化学试题 时间：90分钟 分值100分 第I卷（选择题共60分） 一、单选题（本大题30小题，每小题2分，共60分） 1．T°C时，在一固定容积的密闭容器中发生反应：A（g）+B（g）C（s）△H＜0，按照不同配比充入A、B，达到平衡时容器中A、B浓度变化如图中曲线（实线）所示，下列判断正确的是（ ） A．T°C时，该反应的平衡常数值为4 B．c点没有达到平衡，此时反应向逆向进行 C．若c点为平衡点，则此时容器内的温度高于T°C D．T°C时，直线cd上的点均为平衡状态 氨的催化氧化4NH3(g)＋5O2(g) 4NO(g)＋6H2O(g) ΔH＝－1 025 kJ·mol－1是工业制备硝酸的重要反应。
一定条件下将4 mol NH3和5 mol O2混合于固定容积为2 L的密闭容器中，经10 s该反应达平衡，并测得NO的浓度为0.8 mol·L－1。
下列判断正确的是( )。
A．以O2浓度变化表示的反应速率为0.064 mol·(L·s)－1 B．反应达到平衡状态时NH3的转化率为20% C．升高温度能使减小 D．将容器的体积变为4 L，平衡时NO的浓度小于0.4 mol·L－1 下列说法或表示方法正确的是（ ） A．等物质的量的硫蒸气和硫固体分别完全燃烧，后者放出热量多 B．由H+（aq）+OH-（aq）=H2O（l） △H=-57.3kJ·mol-1可知，若将含1 mol CH3COOH的稀溶液与含1 mol NaOH的稀溶液混合，放出的热量小于57.3 kJ C．300、30MPa下，将0.5molN2（g）和1.5mol H2（g）置于密闭容器中充分反应生成NH3（g），放热19.3kJ，其热化学方程式为：N2（g）+3H2（g）2NH3（g） △H=-38.6kJ·mol-1 D. 由C（石墨）=C（金刚石） △H=+1.90 kJ·mol-1可知，金刚石比石墨稳定 4．钢铁发生吸氧腐蚀时，正极上发生的电极反应是 A．2H+＋2e－＝H2 B. Fe2+＋2e－＝Fe C．2H2O＋O2＋4e－＝4OH－ D. Fe3+＋e－＝Fe2+ 5．下列反应中，属于吸热反应的是A. 乙醇燃烧B. 氧化钙溶于水C. 碳酸钙受热分解D. 盐酸和氢氧化钠反应 下列关于晶体的叙述中，不正确的是……（ A、金刚石网状结构中，由共价键形成的碳原子环其中最小环有6个碳原子 B、在氯化钠的晶体中，每个Na+Cl-的周围都紧邻6个Cl-Na+ C、在氯化铯晶体中，每个Cs+8个Cl-Cl-周围也紧邻8个Cs+ D、在干冰的晶体中，每个CO24个CO2 7．在福岛核泄漏事故中，检测到的放射性物质包括碘—131、铯—137和钚—239等。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
湖北省襄阳市枣阳市第二中学2016届高三数学上学期期中试题 理
枣阳市第二中学高三年级2015-2016学年度上学期期中考试数学（理科）试题满分150分，考试时间120分钟★ 祝考试顺利 ★ 第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分）1．已知()23012331nnn x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），设()31nx -展开式的二项式系数和为n S ，123n n a a a a T =+++⋅⋅⋅+（n *∈N ），n S 与n T 的大小关系是（ ） A ．n n S >T B ．n n S <TC ．n 为奇数时，n n S <T ，n 为偶数时，n n S >TD ．n n S =T2．已知函数()cos f xx x =，()f x '是()f x 的导数，同一坐标系中，()f x 和()f x '的大致图象是（ ）3．八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（ ）A ．770种B ．1260种C ．4620种D ．2940种4．已知()32692f x x x x =-++，()f x '是()f x 的导数，()f x 和()f x '单调性相同的区间是（ ）A ．[][)1,23,+∞B ．[]1,2和[)3,+∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞5．“A ，B ，C ，D 四点不在同一平面内”是“A ，B ，C ，D 四点中任意三点不在同一直线上”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某电视台娱乐节目中，需要在编号分别为1、2、3、4、5的五个礼品盒中，装四个不同礼品，只有一个礼品盒是空盒．不同的装法有（ ）A ．5种B ．20种C ．24种D ．120种7．已知命题:p 若6πα=，则1si n 2α=；命题:q 若1sin 2α=，则6πα=．下面四个结论中正确的是（ ）A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是真命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是假命题8．已知函数()xxf x e e -=-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），()f x 的导数是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．增函数D ．减函数 9．已知随机变量()10,0.04ξB ，随机变量ξ的数学期望()ξE =（ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．2 D ．4 10．已知函数2221y x x =-+的导数为y '，y '=（ ）A ．22x -B ．41x +C ．42x -D ．21x +第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分．）11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则21V V 的值是 ．12．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆056:22=+-+x y x C ，点B A ,在圆C 上，且32=AB ，则OA OB +的最大值是 ．13．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC ，若木A 1块的棱长为a ，则截面面积为 ．14．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A ，B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC ．其中正确的命题是 （填上所有正确命题的序号）15．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ． 16．直线y=kx+3与圆（x-1）2+（y+2）2=4相交于M,N 两点,若32≥MN ,则实数k 的取值范围是 ．17．直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，恒过定点 ．三、解答题（本大题共5小题，共65分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）18．（本小题满分13分） 如图，已知点A （1C ：22221,(0)y x a b a b+=>>上的BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．19．（本小题满分12分）已知三棱柱ABC －C B A '''中，平面B C BC ''⊥底面ABC ，BB′⊥AC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，A A '＝3，E 、F 分别在棱A A '，C C '上，且AE ＝F C '＝2．（Ⅰ）求证：B B '⊥底面ABC ；（Ⅱ）在棱B A ''上找一点M ，使得M C '∥平面BEF ，并给出证明． 20．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为,,,,A B C D E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成 绩为A 的人数；（Ⅱ）若等级,,,,AB CD E 分别对应5分,4分,3 分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A ．在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率．21．（本小题满分14分）已知函数27()sin 22sin 1()6f x x x x π⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭R ， （Ⅰ）求函数()f x 的周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知函数()f x 的图象经过点1,,,,2A b a c⎛⎫⎪⎝⎭成等差数列，且9AB AC ⋅=，求a 的值．22．（本小题满分l4分）已知函数1()(1)ln ,()f x ax a x a R x=+-+∈．（Ⅰ）当a=0时，求 ()f x 的极值； （Ⅱ）当a<0时，求 ()f x 的单调区间；（Ⅲ）方程()0f x =的根的个数能否达到3，若能请求出此时a 的范围，若不能，请说明理由，参考答案选择：1-5．CCCBA 6-10DBABC 填空：11．9112．813．42a14．②④15．()()22211x y -+-=16．⎥⎦⎤⎝⎛-∞-512, 17．()2-1-， 解答题：18．（Ⅰ）221,42y x +=（Ⅱ）详见解析试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，只需列出两个独立条件即可：一是离心率，二是点在椭圆上，（Ⅱ）证明直线AB 、AD 的斜率之和为定值，先从点的坐标出发，将斜率用坐标表示，利用直线与椭圆联立方程组得到坐标之间等量关系：设D （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1＋x 2m ，x 1x 2＝244m -，而k AD ＋k AB＝121212121111y y m m x x x x -+++=+----12121221x x m x x x x +-=--+，最后代入化简即可．试题解析：（Ⅰ）解 由题意，可得e，将（122221y x a b+=，得22211a b +=，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，bc所以椭圆C 的方程为221,42y x +=（Ⅱ）证明 设直线BD 的方程为y＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m≠0．设D （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由2224y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得，4x 2＋＋m 2－4＝0， 所以Δ＝－8m 2＋64＞0，∴－m ＜x 1＋x 2m ①，x 1x 2＝244m -②．设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ， 则k AD ＋k AB＝121212121111y y m m x x x x -+++=+----12121221x x m x x x x +-=--+（*）．… 11分将①②式代入（*），得20-== 所以k AD ＋k AB ＝0，即直线AB 、AD 的斜率之和为定值0．考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系19．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）M为A′B′的中点．试题分析：（Ⅰ）先将面面垂直转化为线面垂直：取BC中点O，则AO⊥BC，即由平面BCC′B′⊥底面ABC 得AO⊥平面BCC′B′，从而AO⊥BB′，又BB′⊥AC，因此由线面垂直判定定理得BB′⊥底面ABC．（Ⅱ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，关键在于找出线线平行．这时一般利用平几知识进行转化，如利用平行四边形．试题解析：（Ⅰ）证明取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，又因为平面BCC′B′⊥底面ABC，AO⊂平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC＝BC，所以AO⊥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B，所以AO⊥BB′．又BB′⊥AC，AO∩AC＝A，AO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC．所以BB′⊥底面ABC．（Ⅱ）显然M不是A′，B′，棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥CF，即C′M和FN共面，所以C′M∥FN，所以四边形C′MNF为平行四边形，所以MN＝2，所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．考点：线面垂直判定定理，线面平行判定定理20．（Ⅰ）3（Ⅱ）2．9（Ⅲ）1 6试题分析：（Ⅰ）先根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数确定参加考试所有人数：100.2540÷=人，再根据“阅读与表达”科目中成绩为A的频率0．075，因此人数为3人（Ⅱ）根据频率可求平均分：10.220.130.37540.2550.075 2.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）先确定至少一科成绩为A的考生的人数：恰有两人的两科成绩等级均为A，2人只有一个科目得分为A，然后利用枚举法列举所有基本事件，共6个，其中两人的两科成绩均为A的只有一种，最后根据古典概型概率公式求得16试题解析：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有100.2540÷=人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40(10.3750.3750.15⨯----=⨯=（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为10.220.130.37540.2550.075 2.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则1()6P B=．21．（Ⅰ）[,]()36k k k Zππππ-+∈（Ⅱ）a=试题分析：（Ⅰ）研究三角函数性质，首先将三角函数解析式化为基本三角函数，这时要用到两角差正弦公式、二倍角公式及配角公式：()f xsin(2)6xπ=+，再从基本三角函数性质出发求周期及单调区间（Ⅱ）先根据条件确定角A的值,3π，再利用数量积确定18bc=，最后利用余弦定理求边．试题解析：解：2711()sin(2)2sin1cos22cos2cos22622f x x x x x x x xπ=--+=-++=sin(2)6xπ=+（Ⅰ）最小正周期22Tππ==,由222()262k x k k Zπππππ-≤+≤+∈得()36k x k k Zππππ-≤≤+∈，所以()f x的单调递增区间为[,]()36k k k Zππππ-+∈（Ⅱ）由1()sin(2)62f A A π=+=可得2266A k πππ+=+或52()6k k Z ππ+∈所以,3A π= 又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+，而1cos 9,182AB AC bc A bc bc ⋅==== ，因此222221()4cos 111,223612b c a a a a A a bc +--==-=-=-= 22．（Ⅰ）)(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值；（Ⅱ）当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，单调递增区间是)1,1(a-； 当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(a-，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a-（Ⅲ）不能，理由见解析．试题分析：第一问将函数解析式确定，利用倒数求得函数的单调区间，从而确定出函数的极值，第二问应用函数的倒数，确定出倒数等于零的点，注意对两个零点的大小进行讨论，从而确定出函数的单调区间，第三问结合函数的单调性，确定出函数的根的个数，从而得出结果，零点不可能有3个． 试题解析：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞．当0=a 时，x x x f 1ln )(+= ，22111)(xx x x x f -=-='．令0)(='x f ，解得1=x ，当10<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f ． 所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞； 所以1=x 时， )(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值（Ⅱ）222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x----+-'=--==> 令0)(='x f ，得1=x 或ax 1-= 当01<<-a 时，a11-<，令0)(<'x f ，得10<<x 或a x 1->，令0)(>'x f ，得a x 11-<<；当1-=a 时，0)1()(22≤--='xx x f ． 当1-<a 时，110<-<a ，令0)(<'x f ，得a x 10-<<或1>x ，令0)(>'x f ，得11<<-x a； 综上所述：当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，单调递增区间是)1,1(a-； 当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(a -，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a-（Ⅲ）0≥a 时)0()1)(1()(2>-+='x xx ax x f )0(0)(>='∴x x f 仅有1解，方程0)(=x f 至多有两个不同的解．（注：也可用01)1()(min >+==a f x f 说明．）由（Ⅱ）知01-<<a 时，极小值01)1(>+=a f ，方程0)(=x f 至多在区间),1(+∞-a上有1个解．-1a =时)(x f 单调，方程0)(=x f 至多有1个解．1-<a 时，01)1()1(<+=<-a f af ，方程0)(=x f 仅在区间)1,0(a -内有1个解；故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3．考点：函数的极值，函数的单调区间，函数的零点，分类讨论思想．。
2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．“a＞0，b＞0”是“≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．函数f（x）=的图象是（）A．B．C．D．3．设双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0），则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．D．4．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f （x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点5．若函数，若a=f（3），b=f（4），c=f（5）则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠57．下列命题中的说法正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=λB．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的不充分也不必要条件8．设a∈R，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A．（，e）B．（﹣e，﹣）C．（﹣∞，）∪（e，+∞）D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣，+∞）9．已知f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x）与g（x）满足f′（x）=g′（x），则（）A．f（x）=g（x）B．f（x）﹣g（x）为常数函数C．f（x）=g（x）=0 D．f（x）+g（x）为常数函数10．设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，并且满足OA⊥OB．则y1y2等于（）A．﹣4p2B．4p2C．﹣2p2D．2p211．已知椭圆C的方程为+=1（m＞0），如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为（）A．2 B．2C．8 D．212．已知函数f（x）=﹣x2+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是（）A．（0，1）∪（2，3）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，1]∪[2，3）二、填空题13．已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0．若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m的取值范围是．14．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则P=．15．已知曲线C：|x|+|y|=m（m＞0）．（1）若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是；（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是．16．两个命题P：“对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立”；Q：“关于x的方程x2﹣x+a=0有两个不等的实数根”，如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，则实数a的取值范围是．三、解答题17．设命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知f（x）=e x+2ax（a为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x﹣y﹣3=0垂直．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当x＞0时，e x＞x2；（Ⅲ）设F（x）=f（x）﹣e x++1，若F（x）在（1，3）上单调递减，求实数m的取值范围．[选修4--5：不等式选讲]19．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+bx+c．（1）若f（x）在（﹣∞，+∞）是增函数，求b的取值范围；（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[﹣1，2]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．21．已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．22．己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（Ⅲ）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．“a＞0，b＞0”是“≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a＞0，b＞0，则≥2，故充分性成立，若a＜0，b＜0，满足，，满足≥2，但a＞0，b＞0不成立，故“a＞0，b＞0”是“≥2”的充分不必要条件，故选：A2．函数f（x）=的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由函数知f（0）=﹣3，且当x→+∞时，f（x）=→0，从而利用排除法求得．【解答】解：∵f（0）==﹣3，∴排除A，B；当x→+∞时，由指数爆炸知，f（x）=→0，故排除C，故选D．3．设双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0），则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，y=x与x2+y2=c2联立，可得A（a，b），求出AF的斜率，利用=，B为线段FA的中点，可得斜率之间的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，y=x与x2+y2=c2联立，可得A（a，b），∴AF的斜率为，∵=，∴B为线段FA的中点，∴OB⊥AF，∴•（﹣）=﹣1，∴e2﹣e﹣2=0，∵e＞1，∴e=2．故选：A．4．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f （x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数F（x）进行求导，可确定F'（x0）=0即x0有可能是函数的极值点，然后再判断函数f（x）的增长快慢从而确定F（x）的单调性，得到结论．【解答】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）∴F'（x0）=0，又由a＜x0＜b，得出当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，当x0＜x＜b时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0，∴x=x0是F（x）的极小值点故选B．5．若函数，若a=f（3），b=f（4），c=f（5）则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数，得f（3）=ln，f（4）=ln，c=f（5）=ln．通过根式的性质比较大小，得＜＜，再结合y=lnx是定义在（0，+∞）上的增函数，可得ln＜ln＜ln，即c＜b＜a．【解答】解：∵，∴a=f（3）==ln，同理可得b=f（4）=ln，c=f（5）=ln∵==，==∴＜又∵==，==∴＜由此可得，＜＜∵y=lnx是定义在（0，+∞）上的增函数∴ln＜ln＜ln，即c＜b＜a故选B6．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠5【考点】全称命题；命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，故选：D．7．下列命题中的说法正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=λB．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的不充分也不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据向量关系的等价条件进行判断，B．根据否命题的定义进行判断．C．根据含有量词的命题的否定进行判断．D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=λ，当≠时成立，否则不成立，故A错误，B．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故B错误，C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误，D．当a=0，b=0时，满足a≠5且b≠﹣5，但a+b=0，即充分性不成立，当a=5，b=0时，满足a+b≠0，但a≠5不成立，即必要性不成立，即“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的不充分也不必要条件，故D正确故选：D8．设a∈R，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A．（，e）B．（﹣e，﹣）C．（﹣∞，）∪（e，+∞）D．（﹣∞，﹣e）∪（﹣，+∞）【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】函数y=f（x）=x+alnx在区间（，e）有极值点⇔y′=0在区间（，e）有零点．由f′（x）=1+=．（x＞0）．可得，解出即可．【解答】解：函数y=f（x）=x+alnx在区间（，e）有极值点⇔y′=0在区间（，e）有零点．f′（x）=1+=．（x＞0）．∴，∴，解得．∴a取值范围为．故选：B．9．已知f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x）与g（x）满足f′（x）=g′（x），则（）A．f（x）=g（x）B．f（x）﹣g（x）为常数函数C．f（x）=g（x）=0 D．f（x）+g（x）为常数函数【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则构造函数即可得到结论．【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则h′（x）=f′（x）﹣g′（x）=0，即h（x）=f（x）﹣g（x）是常数，故选：B10．设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，并且满足OA⊥OB．则y1y2等于（）A．﹣4p2B．4p2C．﹣2p2D．2p2【考点】抛物线的应用．【分析】根据OA⊥OB，可知OA，OB所在直线的斜率乘积为﹣1，把两点的坐标代入可知x1x2+y1y2=0，利用抛物线方程可知x1x2=进而求得y1y2的值．【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，并且满足OA⊥OB．∴k O A•k OB=﹣1，∴x1x2+y1y2=0，∴则y1y2=﹣4p2故选A11．已知椭圆C的方程为+=1（m＞0），如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为（）A．2 B．2C．8 D．2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】椭圆方程右焦点坐标（，0），M（，），把M点代入椭圆方程能求出m．【解答】解：由椭圆方程得到右焦点的坐标为（，0），∵直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F得到MF⊥x轴，∴M的横坐标为，代入到直线方程得到M的纵坐标为，则M（，）把M的坐标代入椭圆方程得：+=1，化简得：（m2）2+8m2﹣128=0，即（m2﹣8）（m2+16）=0解得m2=8，m2=﹣16（舍去），∵m＞0，∴m=2．故选：B．12．已知函数f（x）=﹣x2+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是（）A．（0，1）∪（2，3）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，1]∪[2，3）【考点】二次函数的性质．【分析】由函数f（x）在[t，t+1]不单调，得出f′（x）在[t，t+1]有解，从而x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，进而求出t的范围．【解答】解：∵f′（x）=﹣x+4﹣且函数f（x）在[t，t+1]不单调，∴f′（x）在[t，t+1]有解，∴=0在[t，t+1]有解，∴x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，令g（x）=x2﹣4x+3，∴g（t）g（t+1）≤0或，∴0＜t＜1，或2＜t＜3，故选：A．二、填空题13．已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0．若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m的取值范围是（﹣3，1）．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】利用函数f（x）在x=﹣1处取得极值，先求出a．要使直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则说明m小于极大值，大于极小值．【解答】解：函数的导数为f'（x）=3x2﹣3a，因为f（x）在x=﹣1处取得极值，所以f'（﹣1）=0，即3﹣3a=0，解得a=1．所以f（x）=x3﹣3x﹣1，f'（x）=3x2﹣3=3（x2﹣1）=3（x﹣1）（x+1），当f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1．当f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1．即函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=1，在x=1处取得极小值f（1）=﹣3，要使直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m小于极大值，大于极小值，即﹣3＜m＜1，所以m的取值范围是（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．14．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则P=2．【考点】抛物线的标准方程；直线的一般式方程；抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p．【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0由，消去y得x2﹣2px﹣p2=0，由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=﹣p2所以梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2﹣x1）=（x1+x2+p）（x2﹣x1）=•3p=3p2所以3p2=12，又p＞0，所以p=2故答案为2．15．已知曲线C：|x|+|y|=m（m＞0）．（1）若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是2；（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是2＜m＜3或．【考点】曲线与方程．【分析】（1）若m=1，曲线C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，可得曲线C围成的图形的面积是2；（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m＜3时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；再考虑相切时的情形，即可得出结论．【解答】解：（1）若m=1，曲线C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，则由曲线C围成的图形的面积是2；（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m＜3时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；x＞0，y＞0，x+y﹣m=0与椭圆方程联立，可得13x2﹣18mx+9m2﹣36=0，∴△=（﹣18m）2﹣52（9m2﹣36）=0，∵m＞0，∴m=．此时曲线C与椭圆有四个不同的交点故答案为：2，2＜m＜3或．16．两个命题P：“对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立”；Q：“关于x的方程x2﹣x+a=0有两个不等的实数根”，如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪[，4）．【考点】复合命题的真假．【分析】根据二次函数恒成立，求出命题p为真时a的取值范围，根据二次方程有实根求出命题q为真时a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q 为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a 的取值范围．【解答】解；∵对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立”①a=0时，1＞0恒成立②a≠0时，由二次函数的性质可得，解可得0＜a＜4综上可得P：0≤a＜4∵关于x的方程x2﹣x+a=0有不等实数根∴△=1﹣4a＞0∴Q：a＜∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真如果p真q假，，∴如果p假q真，，∴a＜0所以实数a的取值范围为a＜0或，故答案为：（﹣∞，0）∪[，4）三、解答题17．设命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1，解得，由a=2，可得；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0，解得x范围．利用p∧q为真即可得出．（2）p是q的必要不充分条件，可得q⇒p，且p推不出q，设A=，B=[1，3]，则B⊊A，即可得出．【解答】解：（1）命题p：实数x满足x2﹣（a+）x+1＜0，其中a＞1，化为＜0，解得，∵a=2，∴；命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3．∵p∧q为真，∴，解得1≤x＜2．∴实数x的取值范围是1≤x＜2．（2）p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p推不出q，设A=，B=[1，3]，则B⊊A，∴，解得3＜a．∴实数a的取值范围是3＜a．18．已知f（x）=e x+2ax（a为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x﹣y﹣3=0垂直．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当x＞0时，e x＞x2；（Ⅲ）设F（x）=f（x）﹣e x++1，若F（x）在（1，3）上单调递减，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】本题（Ⅰ）根据导函数求出切线的斜率，再利用垂直关系得到斜率间的关系，从而求出参数a的值，由导函数值的正负判断出函数的单调区间；（Ⅱ）将原不等式转化成一个函数值为正的问题，通过导函数研究出函数的单调性，得到函数的最小值为正，得到本题结论；（Ⅲ）根据函数单调递减的特征，得到导函数满足的条件，从而求出实数m的取值范围，得到本题结论．【解答】解（Ⅰ）由题意知，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为﹣1．由f（x）=e x+2ax，得f'（x）=e x+2a，∴f'（0）=1+2a=﹣1，得a=﹣1∴f（x）=e x﹣2x，f'（x）=e x﹣2令f'（x）=0，得x=ln2当x＜ln2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；∴f（x）的单调递增区间为（ln2，+∞），单调递减区间为（﹣∞，ln2）．（Ⅱ）令g（x）=e x﹣x2，则g'（x）=e x﹣2x由（Ⅰ）知，f（x）的极小值即最小值[f（x）]mi n=f（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴g'（x）=f（x）＞0，故g（x）在R上单调递增，因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）=1＞0，即e x ＞x2．（Ⅲ）由题意知，，∵F（x）在（1，3）上单调递减，∴F'（x）=x2+2mx﹣2≤0在（1，3）恒成立，∴F′（x）图象过点（0，﹣2），∴，，所以满足实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）．[选修4--5：不等式选讲]19．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f （x ）≥8恒成立，求a 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）若a=1，不等式：f （x ）≥2|x+5|⇒|x ﹣1|≥|x+5|，等价于（x ﹣1）与（x+5）的和与差同号，转化为一元一次不等式得答案；（Ⅱ）利用绝对值的不等式放缩，把f （x ）≥8恒成立转化为|a+5|≥8，求解绝对值的不等式得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f （x ）≥2|x+5|⇒|x ﹣1|≥|x+5|⇔（2x+4）（x ﹣1﹣x ﹣5）≥0，解得：x ≤﹣2，∴原不等式解集为{x|x ≤﹣2}；（Ⅱ）f （x ）=|x ﹣a|+|x+5|≥|x ﹣a ﹣（x+5）|=|a+5|，若f （x ）≥8恒成立，只需：|a+5|≥8，解得：a ≥3或a ≤﹣13．20．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+bx+c ．（1）若f （x ）在（﹣∞，+∞）是增函数，求b 的取值范围；（2）若f （x ）在x=1时取得极值，且x ∈[﹣1，2]时，f （x ）＜c 2恒成立，求c 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）由已知中函数f （x ）=x 3﹣x 2+bx+c ，我们可以求出函数的导函数，进而根据f （x ）在（﹣∞，+∞）是增函数，则f ′（x ）≥0恒成立，构造关于b 的不等式，解不等式即可得到答案．（2）当f （x ）在x=1时取得极值时，则x=1是方程3x 2﹣x+b=0的一个根，由韦达定理可以求出方程3x 2﹣x+b=0的另一个根，进而分析出区间[﹣1，2]的单调性，进而确定出函数f （x ）在区间[﹣1，2]的最大值，进而构造关于c 的不等式，根据二次不等式恒成立问题，即可得到答案．【解答】解：（1）f ′（x ）=3x 2﹣x+b ，∵f （x ）在（﹣∞，+∞）是增函数， ∴f ′（x ）≥0恒成立，∴△=1﹣12b ≤0，解得b ≥． ∵x ∈（﹣∞，+∞）时，只有b=时，f ′（）=0，∴b 的取值范围为[，+∞]． （2）由题意，x=1是方程3x 2﹣x+b=0的一个根，设另一根为x 0，则∴∴f ′（x ）=3x 2﹣x ﹣2，），∵对x∈[﹣1，2]时，f（x）＜c2恒成立，∴c2＞2+c，解得c＜﹣1或c＞2，故c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）21．已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得 又，所以a=2 ，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q （x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…22．己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（Ⅲ）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）利用椭圆右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，求出几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l的方程为：y=x﹣1，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，可求线段MN的长；（Ⅲ）分类讨论，设直线MN的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x=0，得，利用基本不等式，即可求y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意：c=1，a=2，b2=a2﹣c2=3，所求椭圆方程为．（Ⅱ）由题意，直线l的方程为：y=x﹣1．由得7x2﹣8x﹣8=0，，所以．（Ⅲ）当MN⊥x轴时，显然y0=0．当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则．所以，线段MN的垂直平分线方程为在上述方程中令x=0，得．当k＜0时，；当k＞0时，．所以，或．综上，y0的取值范围是．2016年7月6日。
湖北省部分重点中学2015-2016上学期高二期中考试数学试题(理科)(含详细答案)
湖北省部分重点中学2015-2016上学期高二期中考试数学试题(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.下列命题正确的是（）A.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数3. 一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣4.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是（）A．B．C．D．与P点位置有关5.在同一坐标系下，直线ax+by=ab和圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（ab≠0，r＞0）的图象可能是（）A． B．C．D．6. 在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A． B. C. D.27. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．38.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A．11.8万元B．11.4万元C．12.0万元D．12.2万元9. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．1410. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%11. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是（）A．{t|} B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}12. 已知△ABC的三边分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上一点，P是平面ABC外一点，下列四个命题正确的是（）①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，M是AB边上中点，则有PA=PB=PC；③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC是的距离为．其中正确命题的序号是A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为．14. 若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．15. 在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为．16. 点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②DP⊥BC1；③A1P∥面ACD1；④面PDB1⊥面ACD1．其中正确的命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题满分10分）某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数段的人和成绩位于[]90,100分数段的人均被抽到的概率。
湖北省枣阳市第二中学2015-2016学年高二下学期期中考试 数学(理) 含答案
湖北省枣阳市第二中学高二年级2015—2016学年度下学期期中考试数学（理科）试题★ 祝考试顺利 ★时间：120分钟 分值150分_第I 卷（选择题共60分）一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．给出下列命题:①若给定命题:∃∈p x R ，使得210xx +-<,则:⌝∀∈p x R 均有012≥-+x x ; ②若q p ∧为假命题,则q p ,均为假命题； ③命题“若0232=+-x x ,则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ， 其中正确的命题序号是( )A ．①B 。
①② C. ①③D. ②③2．下列方程所表示的曲线中，关于x 轴和y 轴都对称的是（ ）A ．122=-y xB ．2y =xC ．22)1(y x +- = 1D ．x － y + 1 = 03．已知向量)0,1,1(=a ，(1,0,1)b =-，且b a k +与a 互相垂直，则k ＝( ) A 。
13 B 。
12 C 。
13- D 。
12- 4．设)(x f 是可导函数，且3)2()(lim000=∆∆+-∆-→∆x x x f x x f x ，则=')(0x f （ ) A ．21 B ．1- C ．0 D ．2-5．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=,根据上述规律,得到333333123456+++++=( ）A ．219 B ．220 C ．221 D ．2226．复数Z 与点Z 对应，21,Z Z 为两个给定的复数，21Z Z ≠，则21Z Z Z Z -=-决定的Z 的轨迹是（ ）A 过21,Z Z 的直线B 。
线段21Z Z 的中垂线 C 。
双曲线的一支 D 。
以Z 21,Z 为端点的圆7．已知12F F 为椭圆2212516x y +=的左、右焦点,若M 为椭圆上一点，且12MF F ∆的内切圆的周长等于3π,则满足条件的点M 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个8．若(),P a b 在函数23ln y xx =-+的图象上，点(),Q c d 在函数2y x =+的图象上，则()()22a c b d -+-的最小值为( ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．89．阴影部分面积s 不可用[()()]b n s f x g x dx =-⎰求出的是 （ )10．设x ，y ，z>0,则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于211．若椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=交于,A B 两点,过原点与线段AB 的中22,则n m 的值为（ ） A ． 2 B ． 22 C ．32 D ．2912．如图,线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2,P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x △CPD 的面积为()f x .则()f x 的最大值为( ）．A B ． 2 C ．3 D ．二．填空题（本题4个小题，每题5分）13．若复数z ＝(m ＋1)－(m －3i )在复平面内对应的点在第一或第三象限，则实数m 的取值范围是 ．14．已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．15．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
湖北省枣阳市第二中学2015-2016学年高二下学期期中考
湖北省枣阳市第二中学高二年级2015-2016学年度下学期期中考试数学（理科）试题★ 祝考试顺利 ★时间：120分钟 分值150分_第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．给出下列命题：①若给定命题:∃∈p x R ，使得210x x +-<，则:⌝∀∈p x R 均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ， 其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③ 2．下列方程所表示的曲线中，关于x 轴和y 轴都对称的是（ ） A ．122=-y x B ．2y =xC ．22)1(y x +- = 1 D ．x － y + 1 = 03．已知向量)0,1,1(=a ，(1,0,1)b =-，且b a k +与a 互相垂直，则k ＝（ ）A.13 B.12 C.13- D.12- 4．设)(x f 是可导函数，且3)2()(lim 000=∆∆+-∆-→∆xx x f x x f x ，则=')(0x f （ ）A ．21B ．1-C ．0D ．2-5．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根据上述规律，得到333333123456+++++=（ ）A ．219B ．220C ．221D ．2226．复数Z 与点Z 对应，21,Z Z 为两个给定的复数，21Z Z ≠，则21Z Z Z Z -=-决定的Z 的轨迹是（ ）A 过21,Z Z 的直线 B.线段21Z Z 的中垂线 C.双曲线的一支 D.以Z 21,Z 为端点的圆7．已知12F F 为椭圆2212516x y +=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F ∆的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个8．若(),P a b 在函数23ln y x x =-+的图象上，点(),Q c d 在函数2y x =+的图象上，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ）AB ．2 C．．89．阴影部分面积s 不可用[()()]bns f x g x dx=-⎰求出的是 （ ）10．设x ，y ，z>0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于211．若椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=交于,A B 两点，过原点与线段AB 的中点的直，则nm的值为（ ） A ．B ．CD12．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x △CPD 的面积为()f x .则()f x 的最大值为（ ）．A B ． 2 C ．3 D ．二．填空题（本题4个小题，每题5分）13．若复数z ＝(m ＋1)－(m －3i )在复平面内对应的点在第一或第三象限，则实数m 的取值范围是 ．C B D14．已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．15．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
高二数学-2015年高二上学期期中考试数学试卷
2014-2015学年高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．只填结果，不要过程！）1．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为．2．过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为．3．已知△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则BC边上的高AD的长为．4．已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8．若直线l1与直线l2平行，则实数m= ．5．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若l∥m，m⊂α，则l∥α；④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．其中真命题是（写出所有真命题的序号）．6．若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m= ．7．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是．8．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为．9．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．10．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心11．已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（2，3），若PA+PF的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n= ．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，若直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．13．已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是．14．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：（1）AE∥平面PBC；（2）PD⊥平面ACE．（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．18．已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2，求直线l的方程．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为，求实数a的取值范围；（3）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．2014-2015学年高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．只填结果，不要过程！）1．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为2x+y+1=0 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（﹣2，3）代入，即可求出c值，得到所求方程．解答：解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+1=0垂直，∴设方程为2x+y+c=0∵直线过点（﹣2，3），∴﹣4+3+c=0，∴c=1∴所求直线方程为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．点评：本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．2．过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5 ．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由条件利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，可得圆的半径，从而求得圆的标准方程．解答：解：由于所求的圆经过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0），故圆心在直线x=﹣2上，又在y=1上，故圆心的坐标为M（﹣2，1），半径为MO=，故要求的圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，故答案：（x+2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题主要考查求圆的标准方程，关键在于利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，属于基础题．3．已知△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则BC边上的高AD的长为 5 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知条件分别求出直线BC和直线AD所在的方程，联立方程组，求出点D，由此能求出高AD的长．解答：解：∵△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），∴BC边的斜率k BC==﹣，∴BC边上的高AD的斜率k AD=，∴直线AD：y﹣4=，整理，得3x﹣4y+10=0，直线BC：，整理，得4x+3y+5=0，联立，得D（﹣2，1），∴|AD|==5．故答案为：5．点评：本题考查三角形的高的求法，是基础题，解题时要注意直线方程和两点间距离公式的合理运用．4．已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8．若直线l1与直线l2平行，则实数m= ﹣7 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．解答：解：当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故答案为：﹣7．点评：本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．5．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若l∥m，m⊂α，则l∥α；④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．其中真命题是②④（写出所有真命题的序号）．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①若l∥α，m⊂α，则l与m平行或异面，故①错误；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则由直线与平面平行的性质得l∥m，故②正确；③若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故③错误；④若l⊥α，m∥α，则由直线与平面垂直的性质得l⊥m，故④正确．故答案为：②④．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m= ±3 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：先求出圆的圆心和半径，根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，求得m的值．解答：解：圆x2+y2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆．根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案为：±3．点评：本题主要考查圆的标准方程，两个圆相外切的性质，属于基础题．7．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是﹣3 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，设z=x﹣y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x﹣y，过可行域内的点A（0，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=x﹣y整理得到y=x﹣z，要求z=x﹣y的最小值即是求直线y=x﹣z的纵截距的最大值，当平移直线x﹣y=0经过点A（0，3）时，x﹣y最小，且最小值为：﹣3，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为（﹣4，﹣2）．考点：简单线性规划；直线与圆的位置关系．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定α最小时点P的位置即可．解答：解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，当P离圆O最远时，α最小，此时点P坐标为：（﹣4，﹣2），故答案为：：（﹣4，﹣2）．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．9．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．解答：解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故答案为：2．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．10．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：点评：本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．11．已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（2，3），若PA+PF的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n= 5 ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PN|=M，由此可得．解答：解：抛物线标准方程 x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．设p到准线的距离为PN，（即PN垂直于准线，N为垂足），则M=|PA|+|PF|=|PA|+|PN|=4，此时P（2，1），∴n=1，则M+n═5点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，是解题的关键．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，若直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C的方程表示以C（4，0）为圆心，半径等于1的圆．由题意可得，直线y=kx﹣3和圆C′：即（x﹣4）2+y2=9有公共点，由点C′到直线y=kx﹣3的距离为d≤3，求得实数k的最大值．解答：解：圆C的方程为：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=9与直线y=kx﹣3有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣3的距离为d，则d=≤3，即7k2﹣24k≤0，∴0≤k≤，∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．13．已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：建系，设C（m，0），B（﹣m，0），A（0，n），可得D（，），进而由题意可得BD2=（）2+（）2=4，故三角形的面积S=mn=••≤•=，注意等号成立的条件即可．解答：解：以等腰三角形底边BC的中点为原点，建立如图所示的坐标系，设C（m，0），则B（﹣m，0），A（0，n），由中点坐标公式可得D（，），由题意可得BD2=（）2+（）2=4，∴三角形的面积S=mn=••≤•=当且仅当=即n=3m时取等号，∴三角形的面积的最大值为故答案为：点评：本题考查基本不等式求最值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．14．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a﹣c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．解答：解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，而|PF1|∈（a﹣c，a+c]，即2d=，所以得到，由①得：++2≥0，为任意实数；由②得：+3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明AD⊥BC，AD⊥CC1，利用线面垂直的判定定理，可得AD⊥平面BCC1B1，即可证明AD⊥DC1；（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点，证明OD∥A1B，可得A1B∥平面ADC1．解答：证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．…（2分）因为AA1⊥AD，AA1∥CC1，所以AD⊥CC1，…（4分）因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面BCC1B1，…（6分）因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1…（7分）（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B …（9分）因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，…（12分）所以A1B∥平面ADC1…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的判定、考查线面垂直的判定定理与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：（1）AE∥平面PBC；（2）PD⊥平面ACE．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）要证明线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件﹣﹣在面PBC内找到与AE平行的直线，取PC的中点F利用题目中的平行关系，可证得AE∥BF，即得AE∥BF．（2）由PB⊥AC，BD⊥AC可得AC⊥平面PBD，利用线面垂直的定义得AC⊥PD，然后由AP=AD，E 为PD的中点得到PD⊥AE，由线面垂直的判定定理可得PD⊥平面ACE．解答：证明：（1）取PC中点F，连接EF，BF，∵E为PD中点，∴EF∥DC且EF=．∵AB∥DC且，∴EF∥AB且EF=AB．∴四边形ABFE为平行四边形．∴AE∥BF．∵AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，∴AE∥平面PBC．（2）∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD．∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD．∵AP=AD，E为PD的中点，∴PD⊥AE．∵AE∩AC=A，∴PD⊥平面ACE．点评：本题考查了线面平行和线面垂直的判断，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，是个中档题．17．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得a=2，c=1，⇒b2=3，∴所求椭圆的标准方程为．（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b＞0）．∴，，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为．点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．18．已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）确定△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，即可求△ABC 外接圆⊙M的方程；（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知，求出k，即可求直线l的方程；（3）分类讨论，利用勾股定理，可得直线l的方程．解答：解：（1）∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），∴=（﹣2，﹣2），=（﹣2，2），∴，则△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，∴⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知，解得k=0或，…（8分）故直线l的方程为y=4或4x﹣3y+12=0．…（10分）（3）当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它截⊙M得弦长恰为；…（12分）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，∵圆心到直线y=kx+4的距离，由勾股定理得，解得，…（14分）故直线l的方程为x=0或3x+4y﹣16=0．…（16分）点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线、圆的方程，考查点到直线的距离公式，属于中档题．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为，求实数a的取值范围；（3）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）圆的方程化为标准方程，可得实数a的取值范围，利用垂径定理，可求直线l的方程；（2）确定与直线l平行且距离为的直线，即可求实数a的取值范围；（3）利用PM=PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围．解答：解：（1）圆…（1分）据题意：…（2分）因为CM⊥AB，⇒k CM•k AB=﹣1，k CM=﹣1，⇒k AB=1所以直线l的方程为x﹣y+1=0…（4分）（2）与直线l平行且距离为的直线为：l1：x﹣y+3=0过圆心，有两个交点，…（6分）l2：x﹣y﹣1=0与圆相交，；…（8分）（3）设…（12分）据题意：两个圆相交：…（14分）且，所以：…（16分）点评：本题考查圆的方程，考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的离心率得到a2=3b2，设出椭圆上点P的坐标，写出点到直线的距离，然后对b分类求出|PQ|的最大值，由最大值等于3求解b的值，进一步得到a的值，则椭圆方程可求；（2）求出圆心到直线l的距离，由勾股定理得到弦长，代入三角形的面积公式，把面积用含有d 的代数式表示，配方后求出面积的最大值并求得使面积最大时的d值，从而得到m，n的值，则点M的坐标可求．解答：解：（1）∵，∴，于是a2=3b2．设椭圆C上任一点P（x，y），则（﹣b≤y≤b）．当0＜b＜1时，|PQ|2在y=﹣b时取到最大值，且最大值为b2+4b+4，由b2+4b+4=9解得b=1，与假设0＜b＜1不符合，舍去．当b≥1时，|PQ|2在y=﹣1时取到最大值，且最大值为3b2+6，由3b2+6=9解得b2=1．于是a2=3，椭圆C的方程是．（2）圆心到直线l的距离为，弦长，∴△OAB的面积为，于是．而M（m，n）是椭圆上的点，∴，即m2=3﹣3n2，于是，而﹣1≤n≤1，∴0≤n2≤1，1≤3﹣2n2≤3，∴，于是当时，S2取到最大值，此时S取到最大值，此时，．综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，且最大值为．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了函数取得最值的条件，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用配方法求函数的最值，是压轴题．。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省枣阳市第二中学高二数学上学期期中试题
枣阳二中高二年级2015-2016学年度上学期期中考试数学试题本试卷两大题22个小题，满分150分，考试时间120分钟★ 祝考试顺利 ★第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．840和1764的最大公约数是（ ） A ．84 B ． 12 C ． 168 D ． 2522．过点（1，0）且与直线022=--y x 平行的直线方程是 A. 012=--y x B. 012=+-y xC. 022=-+y xD. 012=-+y x3．某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取的高一学生数量是抽取的高二学生数、高三学生数的等差中项，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是 ( )A ．480B ．640C ．800D ．9604．若直线x y =在第一象限上有一点Q 到)20(，P 的距离为2，则点Q 的坐标为（ ）A. )00(，B. )11(，C. )22(，D. )22(，5．已知△ABC 三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2),M 为AB 中点,N 为AC 中点,则直线MN 的方程为( )(A)2x+y-8=0 (B)2x-y+8=0 (C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=06．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x (cm)和体重y (kg)的回归方程为ˆ0.84985.712yx =-，则身高172cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重 （ ） A.为60.316kg B. 约为60.316kg C.大于60.316kg D.小于60.316kg 7．甲、乙两人随意入住两间空房，则每人各住一间的概率是 （ ）A ．31B ．41 C ．21D ．无法确定8．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24xy+取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为 ( )A ．62B ．32C ．12D ．329．在某次选拔比赛中，六位评委为B A ,两位选手打出分数的茎叶图如图所示（其中x 为数字0～9中的一个），分别去掉一个最高分和一个最低分，B A ,两位选手得分的平均数分别为b a ,，则一定有（ ）A ．b a >B ．b a <C ．b a =D ．b a ,的大小关系不能确定10．一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为 （ ）A ．112B ．118C ．136 D ．710811．已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-+-L ，则=8a （ ） A ．-180 B ．180 C ．45 D ．-4512．已知随机变量X 服从二项分布)31,6(~B X ，则)2(=X P =（ ） A ．163 B ．2434 C ．24313 D ．24380第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）13．3261(31)()x x x --的展开式中常数项为 14．设随机变量X 的分布列为()()1cP X k k k ==+（c 为常数），1,2,3,4k =，则()1.5 3.5___.P k<<=15．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则22ba+=________．16．将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种（用数字作答）。
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2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）840和1764的最大公约数是（）A．84 B．12 C．168 D．2522．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=03．（5分）某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三学生数的等差中项，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是（）A．480 B．640 C．800 D．9604．（5分）若直线y=x在第一象限上有一点Q到的距离为，则点Q的坐标为（）A．（0，0） B．（1，1） C．D．（2，2）5．（5分）已知△ABC三顶点坐标A（1，2），B（3，6），C（5，2），M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣8=0 B．2x﹣y+8=0 C．2x+y﹣12=0 D．2x﹣y﹣12=06．（5分）从某大学随机选取8名女大学生，其身高x（cm）和体重y（kg）的回归方程为，则身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重（）A．为60.316kg B．约为60.316kg C．大于60.316kg D．小于60.316kg 7．（5分）甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（）A．B．C．D．无法确定8．（5分）已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过点P （x，y）引圆C：（x﹣）2+（y+）2=的切线，则此切线长等于（）A．1 B．C．D．9．（5分）在某次选拔比赛中，六位评委为A，B两位选手打出分数的茎叶图如图所示（其中x为数字0～9中的一个），分别去掉一个最高分和一个最低分，A，B两位选手得分的平均数分别为a，b，则一定有（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a，b的大小关系不能确定10．（5分）一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣4512．（5分）已知随机变量x服从二项分布x～B（6，），则P（x=2）=（）A．B． C． D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）的展开式中常数项为．14．（5分）设随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，则P（1.5＜k＜3.5）=．15．（5分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=．16．（5分）将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使所有字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种（用数字作答）三、解答题（共70分）17．（10分）若x，y 满足，求：（1）z=2x+y的最小值；（2）z=x2+y2的范围．（3）z=的最大值．18．（12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10．规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表评估的平均（0，6）（6，8）（8，10）得分不合格合格优秀全市的总体交通状况等级（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（2）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5的概率．19．（12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（1）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（2）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．20．（12分）求二项式（﹣）15的展开式中：（1）常数项；（2）有几个有理项；（3）有几个整式项．21．（12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：日销售量1 1.52频数102515频率0.2a b（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．22．（12分）某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．（Ⅰ）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P1，P2；（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队得分为X，求X的分布列及期望．2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）840和1764的最大公约数是（）A．84 B．12 C．168 D．252【解答】解：1764=840×2+84840=84×10故840和1764的最大公约数是84故选：A．2．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选：A．3．（5分）某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三学生数的等差中项，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是（）A．480 B．640 C．800 D．960【解答】解：设抽取高一学生x人，抽取高三学生y人，高三学生总人数为z人，则由题意得：解得又由，得z=960．故选：D．4．（5分）若直线y=x在第一象限上有一点Q到的距离为，则点Q的坐标为（）A．（0，0） B．（1，1） C．D．（2，2）【解答】解：∵直线y=x在第一象限上有一点Q到的距离为，∴设Q（x，x），x＞0，则=，解得x=或x=0（舍），∴点Q的坐标为Q（）．故选：C．5．（5分）已知△ABC三顶点坐标A（1，2），B（3，6），C（5，2），M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣8=0 B．2x﹣y+8=0 C．2x+y﹣12=0 D．2x﹣y﹣12=0【解答】解：由题意结合中点坐标公式可得M（2，4），N（3，2），由两点式可得方程为，化为一般式可得2x+y﹣8=0故选：A．6．（5分）从某大学随机选取8名女大学生，其身高x（cm）和体重y（kg）的回归方程为，则身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重（）A．为60.316kg B．约为60.316kg C．大于60.316kg D．小于60.316kg【解答】解：根据身高和体重的回归方程，则身高x=172时，=0.849×172﹣85.712=60.312，可以预报该同学的体重约为60.312kg．故选：B．7．（5分）甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（）A．B．C．D．无法确定【解答】解：由题意符合古典概型，其概率为P=故选：C．8．（5分）已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过点P （x，y）引圆C：（x﹣）2+（y+）2=的切线，则此切线长等于（）A．1 B．C．D．【解答】解：利用基本不等式及x+2y=3得：2x+4y≥2=2=4，当且仅当2x=4y=2取得最小值，即x=，y=，所以P（，），根据两点间的距离公式求出P到圆心的距离d==．且圆的半径r2=，则根据勾股定理得到此切线段的长度l==．故选：D．9．（5分）在某次选拔比赛中，六位评委为A，B两位选手打出分数的茎叶图如图所示（其中x为数字0～9中的一个），分别去掉一个最高分和一个最低分，A，B两位选手得分的平均数分别为a，b，则一定有（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a，b的大小关系不能确定【解答】解：由题意a==84．b==85.25．∴b＞a．故选：B．10．（5分）一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将这颗骰子连续抛掷三次，三次向上的点数一共有63种情况，其中三次点数依次构成等差数列的情况有18种，穷举如下：1，2，3；3，2，1；1，3，5；5，3，1；2，3，4；4，3，2；2，4，6；6，4，2；3，4，5；5，4，3；4，5，6；6，5，4；111；222；333；444；555；666．∴三次点数依次构成等差数列的概率p==．故选：A．11．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣45【解答】解：∵（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10=（﹣1）r210﹣r C10r（1﹣x）r∴其展开式的通项为T r+1令r=8得a8=4C108=180故选：B．12．（5分）已知随机变量x服从二项分布x～B（6，），则P（x=2）=（）A．B． C． D．【解答】解：P（x=2）==故选：D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）的展开式中常数项为﹣33．【解答】解：∵=又∵的展开式的通项为=（﹣1）r C6r x12﹣3r令12﹣3r=﹣3得r=5∴展开式中含x﹣3的项的系数为﹣6令12﹣3r=0得r=4∴展开式中的常数项为15故的展开式中常数项为3×（﹣6）﹣15=﹣33故答案为﹣33．14．（5分）设随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，则P（1.5＜k＜3.5）=．【解答】解：由随机变量X的分布列为P（X=k）=（c为常数），k=1，2，3，4，得，解c=．∴P（1.5＜k＜3.5）=P（X=2）+P（X=3）=．故答案为：．15．（5分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=2．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．16．（5分）将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使所有字母既不同行也不同列，则不同的填法共有144种（用数字作答）【解答】解：假设先填第一个a，有种，此时有一行一列不能填任何字母了，那么填第二个A有种，两个a填好后有重复情况，故要除以2；同理，经过以上步骤后有两行两列不能填任何字母了，那么填第一个b则有，填第二个B时只有一行一列可以填了，有，由于两个B有重复情况，故除以2；．故答案为：144．三、解答题（共70分）17．（10分）若x，y满足，求：（1）z=2x+y的最小值；（2）z=x2+y2的范围．（3）z=的最大值．【解答】解：作出满足已知条件的可行域为△ABC内（及边界）区域，如图其中A（1，2），B（2，1），C（3，4）．（1）目标函数z=2x+y，表示直线l：y=﹣2x+z，z表示该直线纵截距，当l过点A （1，2）时纵截距有最小值，故z min=4．（2）目标函数z=x2+y2表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O到AB的距离d=且垂足是D （，）在线段AB上，故OD2≤z≤OC2，即z∈[，25]；（3）目标函数z==1+，则表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即=2，即z max=3．18．（12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10．规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表（0，6）（6，8）（8，10）评估的平均得分不合格合格优秀全市的总体交通状况等级（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（2）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5的概率．【解答】解：（1）6条道路的平均得分为=7.5∴该市的总体交通状况等级为合格．（2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10）（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8）（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本事件．事件A包括（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9）共7个基本事件，∴P（A）=答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为．19．（12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（1）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（2）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4，∴中位数在第四组，设中位数为70+x，则0.4+0.030x=0.5，解得x=，∴该组数据的中位数为70+=；（2）第1组的频数为：60×0.1=6人（设为1，2，3，4，5，6），第6组的频数为：60×0.05=3人（设为A，B，C）；从这9人中任取2人，共有=36个基本事件，满足抽取2人成绩之差的绝对值大于10的基本事件有×=18个，所以，所求的概率为P==．20．（12分）求二项式（﹣）15的展开式中：（1）常数项；（2）有几个有理项；（3）有几个整式项．【解答】解：展开式的通项为：T r+1==，项为常数项，则=0，解得r=6，即常数项为T7 =26．（1）设T r+1项为有理项，则=5﹣r为整数，∴r为6的倍数，（2）设T r+1又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个数，故共有3个有理项．（3）5﹣r为非负整数，得r=0或6，∴有两个整式项．21．（12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：日销售量1 1.52频数102515频率0.2a b（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．【解答】解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5）P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125②X的可能取值为4，5，6，7，8，则p（X=4）=0.22=0.04p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3p（X=8）=0.32=0.09所有X的分布列为：X45678P0.040.20.370.30.09EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．22．（12分）某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．（Ⅰ）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P1，P2；（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队得分为X，求X的分布列及期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，∴甲队获得第一名的概率为；①同理：乙队获得第一名的概率为．②由①②得：．所以甲队战胜乙队的概率为，甲队战胜丙队的概率．（Ⅱ）；；．X的分布列为：X036P．。