河北省石家庄市2019-2020学年高二12月联考数学(理)试卷Word版含答案

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河北省石家庄市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析

河北省石家庄市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()6,2,3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ ，()0,1a a >≠且的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．（1,2） B ．(]1,2C ．（1,3）D ．（1,4）【答案】B 【解析】【分析】先求出当x ≤2时，f （x ）≥4，则根据条件得到当x ＞2时，f （x ）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当x ≤2时，f （x ）=﹣x +6≥4，要使f （x ）的值域是[4，+∞），则当x ＞2时，f （x ）=3+log a x≥4恒成立，即log a x≥1，若0＜a ＜1，则不等式log a x≥1不成立，当a ＞1时，则由log a x≥1=log a a ，则a ≤x ， ∵x ＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x ≤2时的函数的值域是解决本题的关键． 2．设函数，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 ∵，∴，∴函数为奇函数；又，∴函数为上的单调递增函数．∴恒成立⇔恒成立，∴恒成立⇔恒成立，由知，，，由恒成立知：，∴实数m 的取值范围是，故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题；利用奇函数单调递增的性质，可将不等式恒成立，转化为恒成立，由，可求得实数的取值范围.3．从2018名学生志愿者中选择50名学生参加活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每人入选的概率（） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等，且为140D ．都相等，且为251009【答案】D 【解析】【分析】根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断出每个人入选的概率. 【详解】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除时，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以，每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，因此，每个人入选的概率为502520181009=. 故选：D. 【点睛】本题考查简单随机抽样和系统抽样方法的应用，也考查了概率的意义，属于基础题. 4．已知0c b a ≥≥>，且21a b c ++=，则a 的取值范围为（） A ．9a >B ．8a >C ．7a >D ．07a <≤【答案】D 【解析】【分析】由三个正数的和为21，可知三个正数的平均数为7，因此可以用反证法来求出a 的取值范围. 【详解】由三个正数的和为21，可知三个正数的平均数为7，假设7a >，因为0c b a ≥≥>，则有7,7b c >>，这与21a b c ++=，相矛盾，故假设不成立，即7a ≤，故本题选D. 解法二: 因为0c b a ≥≥>，所以21307a b c a a ++=≥∴<≤ 【点睛】本题考查了反证法的应用，正确运用反证法的过程是解题的关键.5．在()2391(1)(1)(1)x x x x ++++++⋯++的展开式中，2x 的系数等于A ．280B ．300C ．210D ．120【答案】D 【解析】【分析】根据二项式定理，把每一项里2x 的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质11m m m n nnCCC-+=+，化简求值．【详解】解：在239(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++K 的展开式中，2x 项的系数为22222349CCCC ++++K 32223349CCCC =++++K 322449CCC =+++K3239910120C CC==+==K ．故选D ．【点睛】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值．6．函数2cos y x x =+0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．2πB ．6πC ．2D ．1【答案】B 【解析】【分析】函数()2cos 0,2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得x ．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数()f x 的单调性．【详解】函数()2cos 3,0,2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得6x π=．∴函数()f x 在0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，在,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦内单调递减． ∴6x π=时函数()f x 取得极大值即最大值．2cos 36666f ππππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭．故选B ．【点睛】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决.7．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现【答案】C 【解析】【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置．【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,L ，由于22441936,452025==，2244201945<<，所以故2019是第45行的倒数第4个数，所以数字2019的位置为（45,42）．故选C ．【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．（2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)． 8．已知21()sin()42f x x x π=++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】先化简f （x ）＝2211sin cos 424x x x x π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B ，D ．再根据导函数的导函数小于0的x 的范围，确定导函数在,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，从而排除C ，即可得出正确答案．【详解】由f （x ）＝2211sin cos 424x x x x π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， ∴1()sin 2f x x x '=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ．又1()cos 2f x x ''=-，当﹣3π＜x ＜3π时，cosx ＞12，∴()f x ''＜0，故函数y ＝'()f x 在区间,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故排除C ．故选A ．【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．9．已知函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则434123x x x x x x ++的取值范围是（） A ．(8,9) B ．(7,8)C ．(6,9)D ．(8,12)【答案】B 【解析】【分析】作函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩的图像，方程()f x a =有4个不同的实数根，从而得到121=x x ，346x x +=，3x ，4x 的范围，代入434123x x x x x x ++化简，再利用函数的单调性即可得到取值范围。

【精准解析】河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题

A. f x x ， g x 3 x3
B. f x x2 ， g x x
C. f x x2 3x ， g t t 2 3t
D. f x x2 4 ， g x x 2
x2
【答案】D 【解析】【分析】
分析各选项中函数 y f x 和 y g x 的定义域和解析式的异同，可得出结论.
两个函数的定义域不相同， D 选项中的两个函数不是同一函数.
-2-
故选：D.
【点睛】本题考查函数相等的判断，一般要分析两个函数的定义域和解析式的异同，考查推
理能力，属于基础题.
4.若
sin
x
6
3 5
，则
cos
3
2x
（
24
A.
25
【答案】C
B. 24 25
） C. 7 25
D. 7 25
,令 u(x)来自x2 2xe2
， v(x)
m
x
3 5
,
利用导数研究函
数 u(x)
x2
x
e2
的性质，作出
y
u ( x),
y
v(x) 的图象，考虑曲线与直线相切的情况，得到
2
答案.
【详解】
f
( x) 0
等价于
x2 2
e
x
2 m
x
3 5
,
令 u( x)
x2 2
x
e2
， v(x)
m
x
3 5
,
则
u(x)
对于 C 选项，函数 f x x2 3x 定义域为 R ，函数 g t t 2 3t 的定义域为 R ，两个函数
对应法则相同， C 选项中的两个函数是同一个函数；

河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期期末数学试题(解析版)

2019~2020学年第二学期集团联考高二数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|415A x x =-<-<，{}2|4B x x =>，则AB =（）A. {}|26x x <<B. {}|36x x -<<C. {}|22x x -<<D. {32x x -<<-或}26x <<【答案】D 【解析】【分析】化简集合,A B ，再求AB ，得到答案.【详解】由题{}|415A x x =-<-<{|36}x x =-<<，{}2|4B x x =>{|2x x =<-或2}x >，则A B ={|32x x -<<-或26}x <<.故选：D.【点睛】本题考查了不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题. 2.若复数51iz i-=-，则1z -=（） A. 22 B. 8C. 10D. 1【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数51iz i-=-化为一般形式，可得出复数1z -的一般形式，进而可利用复数的模长公式可求得1z -.【详解】()()()()51564321112i i i iz i i i i -+-+====+--+，则122z i -=+，因此，1z -==故选：A.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3.下列各组函数中表示的函数不同的是（）A. ()f x x =，()g x =B. ()f x =()g x x =C. ()23f x x x =-，()23g t t t =- D. ()242x f x x -=-，()2g x x =+【答案】D 【解析】【分析】分析各选项中函数()y f x =和()y g x =的定义域和解析式的异同，可得出结论.【详解】对于A 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()g x =R ，且()g x x =，A 选项中的两个函数是同一个函数；对于B 选项，函数()f x =R ，函数()g x x =的定义域为R ，且()f x x =，B 选项中的两个函数是同一个函数；对于C 选项，函数()23f x x x =-定义域为R ，函数()23g t t t =-的定义域为R ，两个函数对应法则相同，C 选项中的两个函数是同一个函数；对于D 选项，函数()242x f x x -=-的定义域为{}2x x ≠，函数()2g x x =+的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，D 选项中的两个函数不是同一函数. 故选：D.【点睛】本题考查函数相等的判断，一般要分析两个函数的定义域和解析式的异同，考查推理能力，属于基础题.4.若3sin 65x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A.2425B. 2425-C.725D. 725-【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】2237cos 2cos 2cos 212sin 123366525x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=--=-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 5.若函数()cos y x ϕ=-+是R 上的奇函数，则实数ϕ的值可以为（） A.52π B.34π C. 54π-D. 3π-【答案】A 【解析】【分析】根据函数()cos y x ϕ=-+是R 上的奇函数可得出ϕ的表达式，利用赋值法可得出结果. 【详解】由于函数()cos y x ϕ=-+是R 上的奇函数，则()2k k Z πϕπ=+∈，当2k =时，52πϕ=. 故选：A.【点睛】本题考查利用余弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于基础题.6.函数240.25()x f x x-+=的部分图象大致为（） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊函数值即可求出．【详解】因为()240.25x f x x-+=，所以()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，排除B ，D. 取0.1x =，()0f x >，排除C. 故选A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化情况是关键，属于基础题. 7.“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.8.函数()()cos 0f x x ωω=>在20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是减函数，那么ω的值可以是（） A.12B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】根据函数在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数可以得到半周期满足的不等式，从而可以得到ω的取值范围，故可得正确的选项.【详解】由题意可知函数的最小正周期2T πω=，故223T π≥，所以23ππω≥，即302ω<≤. 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属于基础题．9.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（） A. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,14⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】分别求出当1x <，1≥x 对应的值域，再由题意解不等式组114212a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即可得出答案.【详解】当1x <时，()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝当1≥x 时，()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦函数()f x 的值域为(),+∞a114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查了由分段函数的值域求参数的范围，属于中档题. 10.已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =，则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解，故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.11.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知62a ∈⎝，1b =，且满足cos cos ab C c A abc +=，则cos B 的取值范围为（）A. 73,124⎛⎤⎥⎝⎦B. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭C. 13,24⎛⎤⎥⎝⎦D. 73,124⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想化简得出1ca=，利用余弦定理化简得出2211cos2aaB+-=，结合2a⎛∈⎝，根据函数()1f x xx=+在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性可求得cos B的取值范围.【详解】1b =且cos cosab C c A abc+=，所以cos cosa C c A abc+=，由正弦定理得sin cos cos sin sinA C A C ac B+=，即()()sin sin sin sinac B A C B Bπ=+=-=，0Bπ<<，sin0B∴>，所以，1ac=，则1ca=，由余弦定理得2222211cos22aa cb aBac+-+-==，62a⎛∈⎝，则23,22a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由于双勾函数()1f x xx=+在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()2322f f a f⎛⎫<<⎪⎝⎭，即22131562aa<+<，所以，73cos124B<<.因此，cos B的取值范围为73,124⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查三角形内角余弦值的取值范围的求解，考查了余弦定理以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.12.设函数()2625x mf x xe mx=+-，对任意正实数x，()0f x≥恒成立，则m的取值范围为（）A. 20,2e⎡⎤⎣⎦ B.3290,2e⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []0,2e D.1250,4e⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】()0f x≥恒成立，223e, 25xxm x⎛⎫-⎪⎝⎭令22()e2xxu x=，3(),5v x m x⎛⎫=-⎪⎝⎭利用导数研究函数22()e2xxu x=的性质，作出(),()y u x y v x==的图象，考虑曲线与直线相切的情况，得到答案.【详解】()0f x等价于223e,25xxm x⎛⎫-⎪⎝⎭令22()e2xxu x=，3(),5v x m x⎛⎫=-⎪⎝⎭则221()e1(4),44x xxu x x e x x⎛⎫'=+=+⎪⎝⎭令()0u x'=，可得120, 4.x x==-则()u x在(,4)-∞-递增，(4,0)-递减，(0,)+∞递增，作出22()e2xxu x=，3()5v x m x⎛⎫=-⎪⎝⎭示意图如图所示：满足题意时,22()e2xxu x=的图象在直线3()5v x m x⎛⎫=-⎪⎝⎭的上方.设曲线22()e2xxu x=与直线3(05v x m x⎛⎫=-⎪⎝⎭相切, 切点坐标为P()()000,0,x y x>则00202235e2e14xxy m xxyxx m⎧⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩，1251,e4x m==，结合际数图象可得1250,e4m⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图象和性质，曲线的切线问题，还考查了转化思想，数形结合思想，运算能力，难度较大.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tan3α=，tan2β=，则()tanαβ-等于________.【答案】17【解析】【分析】利用两角差的正切公式可求得()tan αβ-的值. 【详解】由两角差的正切公式得()tan tan 3211tan tan 1327tan αβαβαβ--===+⨯-+.故答案为：17. 【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.14.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚处看索道AC ，发现张角0120ABC ∠=；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角0150ADC ∠=；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．【答案】40013 【解析】【详解】在中，米，，∵，∴，得中，，（米），在中，，，，故答案为米．15.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，则满足()()ln 11f x f ->-的x 的取值范围是_________. 【答案】2(1,)e 【解析】【分析】由()f x 为偶函数，则(ln 1)(|ln 1|)f x f x -=-，(1)(1)f f -=，根据()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，得|ln 1|1x -<，解不等式得到x 的取值范围.【详解】因为函数()f x 为偶函数,所以(ln 1)(|ln 1|)f x f x -=-，(1)(1)f f -=，所以不等式()()ln 11f x f ->-等价于(|ln 1|)(1)f x f ->,又因为函数()f x 在区间[)0,+∞单调递减,所以|ln 1|1x -<，得0ln 2x << 解得21x e <<,所以x 的取值范围是2(1,)e . 故答案为：2(1,)e .【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法，属于中档题.16.已知函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中a 、b ∈R ，若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，则102x x +=_______. 【答案】3 【解析】【分析】根据()00f x '=得出()2031a x =-，再根据()()10f x f x =利用作差因式分解可得出102x x +的值.【详解】()()31f x x ax b =---，()()231f x x a '∴=--，由题意可得()()200310f x x a '=--=，则()2031a x =-，10x x ≠，100x x ∴-≠，()()10f x f x =，()()33110011x ax b x ax b ∴---=---，()()()33101011x x a x x ∴---=-，()()()()()()22101100101111x x x x x x a x x ⎡⎤∴--+--+-=-⎣⎦， ()()()()()22211000111131x x x x a x ∴-+--+-==-，()()()()221100111210x x x x ∴-+----=， ()()()()1010111210x x x x ∴---⋅-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()1010230x x x x -+-=，10230x x ∴+-=，即1023x x +=.故答案为：3.【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知函数11()sin 333f x x x =-+. （1）求()f x 图象的对称轴方程；（2）求()f x 的最小值及此时自变量x 的取值集合. 【答案】（1）3()2x k k Z ππ=+∈（2）()f x 的最小值为1，此时自变量x 的取值集合为{|6,}2x x k k Z ππ=+∈【解析】【分析】（1）化简函数()12cos 336f x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，令()136x k k Z ππ-=∈可得解；（2）当1cos 136x π⎛⎫-=⎪⎝⎭时，函数有最小值1，利用整体换元可得x 的取值集合.【详解】解：（1）()111sin 32cos 33336f x x x x π⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭（或2sin 333x π⎛⎫-++ ⎪⎝⎭）. 令()136x k k Z ππ-=∈（或()332x k k Z πππ+=+∈），解得()32x k k Z ππ=+∈.故()f x 图象的对称轴方程为()32x k k Z ππ=+∈.（2）由（1）可知，()12cos 336f x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭，则()min 2131f x =-⨯+=.此时，1cos 136x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()1236x k k Z ππ-=∈，解得()62x k k Z ππ=+∈.故()f x 的最小值为1，此时自变量x 的取值集合为{|6,}2x x k k Z ππ=+∈.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式及三角函数的对称轴和最值得求解，用到了整体换元的思想，属于基础题.18.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos sin cos sin b A C c A B ac B += . (1)证明：bc a = ；(2)若13,cos 6c C ==，求AC 边上的高. 【答案】（1）见解析（2【解析】分析：(1)由sin cos sin cos sin b A C c A B ac B +=，结合正弦定理可得sin sin A c B =，即a bc =；（2）由1cos 6C =，结合余弦定理可得1b =，从而可求得AC 边上的高. 详解：（1）证明：因为sin sin cos sin sin cos sin sin B A C C A B c A B +=，所以sin cos sin cos sin B C C B c B += ，所以sin sin A c B = ，故a bc =.(2)解：因为3,c a bc ==，所以221093,cos 6b a b C b-==.又1cos 6C =，所以22109166b b -=，解得1b =，所以3,1a c b ===，所以AC =点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 19.已知函数()()()322313202f x ax a a x a x a =-+++≠. （1）当2a =时，求()f x 的零点个数；（2）讨论()f x 的单调性.【答案】（1）1个；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）将2a =代入函数()y f x =的解析式，利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，利用函数()y f x =的极大值和极小值的符号可得出函数()y f x =的零点个数；（2）求得()()()31f x a x x a '=--，对参数a 分0a <、01a <<、1a =、1a >四种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和单调递减区间.【详解】（1）当2a =时，()3229122f x x x x =-++，()()()261812612f x x x x x '=-+=--.令()0f x '=，可得11x =，22x =，列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞，单调递减区间为()1,2，则函数()y f x =的极大值为()17f =，极小值为()26f =，又()121f -=-，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间()1,1-上存在唯一零点，因此，当2a =时，函数()y f x =只有一个零点；（2）函数()()()322313202f x ax a a x a x a =-+++≠的定义域为R ， ()()()()22331331f x ax a a x a a x x a '=-++=--.①当0a <时，则1a <，令()0f x '<，可得x a <或1x >；令()0f x '>，可得1<<a x . 此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),1a ，单调递减区间为(),a -∞和()1,+∞； ②当01a <<时，令()0f x '<，可得1<<a x ；令()0f x '>，可得x a <或1x >. 此时，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为(),a -∞和()1,+∞； ③当1a =时，对任意x ∈R ，()0f x '≥，此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；④当1a >时，令()0f x '<，可得1x a <<；令()0f x '>，可得1x <或x a >. 此时，函数()y f x =的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞.综上所述，当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间为(),1a ，单调递减区间为(),a -∞和()1,+∞；当01a <<时，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为(),a -∞和()1,+∞；当1a =时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；当1a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞.【点睛】本题考查利用导数求解函数的零点个数，同时也考查了利用导数求解含参函数的单调区间，考查分类讨论思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 20.在锐角ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,,a b ccos sin )tan c Bb C a C⋅-=（1）求角A ； (2)若ABC ∆2c ，求实数λ的范围．【答案】（1）3A π=；（2）122λ<<. 【解析】【分析】（1）()sin B C A +=，得tan A =A 可求；(2)由面积公式得2c=，进而得sin sin b B c C λ==，由三角形内角和表示为C 的函数求解即可【详解】（1cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭)sin sin cos cos sin B C B C A -=，所以()sin B C A +=sin A A =，所以tan A =A 为锐角，3A π∴=；(2)因为21sin 2S bc A c ==2c =，所以()1sin sin sin 1122sin sin sin tan 2C C A C b B c C C C C λ++=====+，又2032C ππ<-<，所以62C ππ<<，所以tan 3C >，所以10tan C <<12<2λ< 【点睛】本题考查正弦定理及三角恒等变换，同角三角函数基本关系，熟记公式及定理，准确计算是关键，是中档题21.已知函数21()ln ().2f x x a x a R =-∈ （1）讨论()f x 的单调性.（2）当1a =-时，32()3f x x <在(1,)+∞上是否恒成立？请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）当1x >时，2312ln 23x x x +<恒成立.【解析】【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域与导数，对a 分0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，结合导数的符号得出函数的单调区间；（2）构造函数()()3221ln 132g x x x x x =-->，利用导数分析出函数()y g x =在()1,+∞上单调递增，由此得出()()10g x g >=从而得出题中结论成立．【详解】（1）因为21()ln 2f x x a x =-，定义域为(0,)+∞，所以'()(0)af x x x x=->，当0a ≤时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞上单调递增.当0a >时，2'().a x af x x x x-=-=所以当0x <<'()0f x <；当x >'()0f x >.综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为（2）当1a =-时，32()3f x x <在(1,)+∞上恒成立，证明如下：设3221()ln (1)32g x x x x x =-->，则3222121(1)(21)'()2.x x x x x g x x x x x x---++=--==当1x >时，'()0g x >，()g x 在(1,)+∞上是增函数.从而1()(1)06g x g >=>，即3221ln 032x x x -->，所以2312ln .23x x x +< 故当1x >时，2312ln 23x x x +<恒成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数证明不等式，在证明不等式时，要利用导数分析函数的单调性、极值以及最值，结合极值与最值的符号进行证明，考查分类讨论思想与转化与化归思想，属于中等题．22.已知函数()()3222631216f x x a x ax a =-+++.（1）若2a =，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 只有一个零点0x ，且00x <，求a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为()1,4，单调递增区间为(),1-∞和()4,+∞；（2）117,,282⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）将2a =代入函数()y f x =的解析式，求出()f x '，解不等式()0f x '<、()0f x '>可分别得出函数()y f x =的单调递减区间和单调递增区间；（2）求得函数()y f x =的导数，对2a 和1的大小关系进行分类讨论，利用导数分析函数()y f x =的单调区间和极值，由题意得出关于a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()322152464f x x x x =-++，定义域为R ，()()()263024614f x x x x x '=-+=--.令()0f x '<，可得14x <<；令()0f x '>，可得1x <或4x >.所以，函数()y f x =的单调递减区间为()1,4，单调递增区间为(),1-∞和()4,+∞；（2）函数()()3222631216f x x a x ax a =-+++的定义域为R ，()()()()2662112612f x x a x a x x a '=-++=--.①当21a =时，即当12a =时，()322664f x x x x =-++，对任意的x ∈R ，()0f x '≥，则函数()y f x =在(),-∞+∞上单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，又()040f =>，此时，函数()y f x =只有一个零点0x ，且00x <； ②当21a >时，列表如下：此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞和()2,a +∞，单调递减区间为()1,2a ，若()y f x =只有一个零点0x ，且00x <，则()()232016028280f a f a a a ⎧=>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得72a <，此时，1722a <<； ②当21a <时，列表如下：此时，函数()y f x =的单调递增区间为(),2a -∞和()1,+∞，单调递减区间为()2,1a ，若()y f x =只有一个零点0x ，且00x <，则()()221166100160f a a f a ⎧=+->⎪⎨=>⎪⎩，解得12a <-或18a >. 此时12a <-或1182a <<. 综上所述，实数a 的取值范围为117,,282⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于难题.。

河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含解析

河北省石家庄市第二中学2019-2020学年下学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B ⋂=（）A. {|20}x x -≤<B. 1{|2}2x x -≤< C. 1{|0}2x x ≤< D. {|03}x x ≤<【答案】B 【解析】【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<，所以()U A B ⋂= 1{|2}2x x -≤<．考点：集合的交集、补集运算． 2.复数4212ii+-+的虚部为（）A. 2B. 2-C. 2iD. 2i -【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数42212ii i+=--+，即可得到复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()42124210=21212125i i i ii i i i +--+-==--+-+--，所以复数4212ii+-+的虚部为2-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定是（）A. 00x ∃≤，使得20010x x ++≤B. 0x ∀≤，使得210x x ++>.C. 0x >，使得210x x ++>D. 00x ∃>，使得20010x x ++≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“0x ∀>，使是210x x ++>”的否定为“00x ∃>，使得20010x x ++≤”故选D ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A. 25-B. 3C. 3-D.25【答案】D 【解析】【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a++=+=+221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A. 1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（） A. p q ∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()()p q ⌝∧⌝ D. ()p q ∧⌝【答案】B 【解析】试题分析：命题p 为假命题,比如12>-,但221(2)<-,命题q 为真命题,不等式2230x x +-≤的解为31x -≤≤,所以131x x ≤≠>-≤≤,而311x x -≤≤⇒≤,所以“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件,由命题,p q 的真假情况,得出()p q ⌝∧为真命题,选B. 考点：命题真假的判断.【易错点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分必要条件的判断,属于易错题. 判断一个命题为假命题时,举出一个反例即可,判断为真命题时,要给出足够的理由. 对于命题p ,为假命题,容易判断,对于命题q ,要弄清楚充分条件,必要条件的定义:若,则p 是q 的充分不必要条件,若,q p p p ⇒≠>,则p 是q 的必要不充分条件,再根据复合命题真假的判断,得出()p q ⌝∧为真命题.7.设()f x 在定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]2,3单调递减，则（） A. ()f x 在区间[]3,2--单调递减 B. ()f x 在区间[]2,1--单调递增 C. ()f x 在区间[]3,4单调递减 D. ()f x 在区间[]1,2单调递增【答案】D 【解析】【分析】根据题设条件得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，同时关于1x =对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【详解】由函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 是周期为2的周期函数，由函数()f x 在区间[]2,3单调递减，可得[]0,1,[2,1]--单调递减，所以B 不正确；由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，在区间[]2,3单调递减，可得在区间[]3,2--单调递增，所以A 不正确；又由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=-，即()()2f x f x -=+，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 在区间[]3,4单调递增，在在区间[]1,2单调递增，所以C 不正确，D 正确，故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8.若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A. 79-B. 13-C.13D.79【答案】A 【解析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解．【详解】由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.函数22xy x =-的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【详解】因为2、4是函数零点，所以排除B 、C ；因为1x =-时0y <，所以排除D,故选A10.已知函数()sin f x x x =+，如果()()120f t f t -+-<，则实数t 的取值范围是（） A. 32t >B. 32t <C. 12t >D. 12t【答案】A 【解析】由函数()sin f x x x =+，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式()()120f t f t -+-<，转化为12t t -<-，即可求解．【详解】由函数()sin f x x x =+，可得()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()f x 为单调递增函数，又由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数，因为()()120f t f t -+-<，即()()12(2)f t f t f t -<--=-，所以12t t -<-，解得32t >，故选A ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为,,,αβγ那么,,,αβγ的大小关系是（）A. αβγ>>B. βγα>>C. γαβ>>D. γβα>>【答案】D 【解析】【详解】由已知得到：()1()1g x g x α'==⇒=，对于函数h （x ）=lnx ，由于h ′（x ）= 1x令1()ln r x x x=-，可知r （1）＜0，r （2）＞0，故1＜β＜2 ()sin cos cos sin 0x x x x x ϕ=-=⇒'+=，且3[,]24x x πππγβγβα∈⇒==>⇒>>，选D.12.设函数()()2ln 2f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（）A. 4ln 214+⎛⎤+⎥⎝⎦B. 4ln 214+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C. 6ln 34ln 2,126++⎛⎤⎥⎝⎦D. 6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得a 的范围，得到答案．【详解】由题意，函数()()2ln 2f x x ax a x =---的定义域为(0,)+∞，不等式()0f x >，即()2ln 20x ax a x --->，即()2ln 2x ax a x >+-，两边除以x ，可得ln (1)2xa x x>+-，又由直线(1)2y a x =+-恒过定点(1,2)--，若不等式()0f x >恰有两个整数解，即函数ln xy x=图象有2个横坐标为整数的点落在直线(1)2y a x =+-的上方，由图象可知，这2个点为(1,0),(2,0)，可得(2)0,(3)0f f >≤，即()()ln 24220ln 39220a a a a ⎧--->⎪⎨---≤⎪⎩，解得6ln 34ln 2126a ++≤<，即实数a 的取值范围是6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题：（每小题5分，共20分）13.11)2x dx ⎰= . 【答案】14π+ 【解析】≥0，则221x y +=（y ≥0），∴1dx ⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰，所以101)2x dx ⎰=10dx ⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+.考点：定积分.14.若函数()1,03,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则不等式()13f x ≥的解集为______________.【答案】{}|13x x -≤≤ 【解析】【分析】分类讨论，分别求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案．【详解】由题意，当0x >时，令113x ≥，解得03x <≤，当0x ≤时，令133x ≥，解得10x -≤≤，所以不等式()13f x ≥的解集为{}|13x x -≤≤．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知24sin 225θ=，02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______________.【答案】75【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得249(cos sin )25θθ+=，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解．【详解】由24sin 225θ=，即242sin cos 25θθ=，则2222449(cos sin )cos 2sin cos sin 12525θθθθθθ+=++=+=，又由02πθ<<，所以cos 0,sin 0θθ>>，7cos()cos sin 45πθθθ-=+=．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.已知函数()22f x x x a =++，()1g x x=-，若存在两切点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，()120,0x x <>，使得直线AB 与函数()y f x =和()y g x =的图象均相切，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导数求得点B 处的切线方程212y x t t =-，联立方程组，根据判别式0∆=，令1m t=，得4211122424a m m m =--+，构造新函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解．【详解】由题意，点B 在函数()1g x x =-的图象上，令2x t =，则点1(,)B t t-，又由()21g x x '=，则()21g t t'=，所以切线方程211()y x t t t +=-，即212y x t t=-，联立方程组()22122y x t t f x x x a⎧=-⎪⎨⎪=++⎩ ，整理得2212(1)20x x a t t +-++=，则2212(1)4(2)0a t t∆=--+=，令1m t =，整理得4211122424a m m m =--+，且1(0,1)m t=∈，构造函数()421112,01424h x x x x x =--+<<，则()32h x x x '=--，()231h x x ''=-，可得当x ∈时，()0h x ''<，函数()h x '单调递减，当x ∈时，()0h x ''>，函数()h x '单调递增，所以()320h x h ''≥=-<，即()0h x '<在(0,1)上恒成立，所以函数()h x 在(0,1)单调递减，又由()()11110,1224424h h ==--+=-，所以1224a -<<，解得118a -<<．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．三、解答题：（70分）17.已知直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;（Ⅱ）若过()0,2M 且与直线l 垂直的直线l '与曲线C 相交于两点A ，B ，求MA MB ⋅.【答案】（Ⅰ）10x y +-=，22143x y +=（Ⅱ）87【解析】【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l 的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求得直线l '的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由直线l极坐标方程sin sin cos 4222πρθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l 直角坐标方程：10x y +-=，由曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），则22()12x +=，整理得22143x y +=，即椭圆的普通方程为22143x y +=．（Ⅱ）直线l '的参数方程为cos ,42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即,222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）把直线l '的参数方程,222x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22143x y +=得：2780t -+=，故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，则有121287t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又直线l '过点()0,2C -，故由上式及t 的几何意义得：1287CA CB t t ⋅==. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.选修4-5：不等式选讲设函数()222f x x x =+--，（Ⅰ）求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若x R ∀∈，()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）322t ≤≤. 【解析】试题分析：（I ）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（II ）由（I ）值，函数()f x 的最小值为()13f -=-，即2732t t -≥-，由此解得322t ≤≤. 试题解析：（I ）()4,1{3,124,2x x f x x x x x --<-=-≤<+≥，当1x <-，42x -->，6x <-，6x ∴<- 当12x -≤<，32x >，23x >，223x ∴<<当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ∴≥ 综上所述263x xx ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或. （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立，则只需()22min 7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤，综上所述322t ≤≤. 考点：不等式选讲．【此处有视频，请去附件查看】19.已知函数()()4log 41xf x kx =++，()k R ∈是偶函数.（1）求k 的值;（2）解不等式()1f x ≥. 【答案】（1）12k =-（2）(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或【解析】【分析】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-，根据对数的运算，即可求解；（2）由题()1f x ≥，根据对数的运算性质，得44210x x -⨯+≥，令20x t =>，转化为2410t t -+≥，利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算，即可求解．【详解】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-，所以()()44log 41log 41xxkx kx -+==+-恒成立，化简得4log 42xkx =-，即2x kx =-，解得12k =-．（2）由题()1f x ≥，即()41log 4112xx +-≥，整理得44210x x -⨯+≥，令20x t =>得2410t t -+≥，解得02t <≤2t ≥+从而22x ≤或22x ≥，解得(2log 2x ≤-或(2log 2x ≥+，原不等式解集为(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，指数函数、对数函数的运算性质，以及一元二次不等式的解法的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20.已知函数()()22xf x x x e =-.（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程.（2）当2x ≤时，求函数()y f x =的零点个数;【答案】（1）2y x =-（2）函数()y f x =零点个数为两个【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数．【详解】（1）由题意，函数()()22xf x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，则()02f '=-，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-．（2）由（1）知()()22xf x x e '=-，令()0f x '=得x 或x =从而函数()y f x =单调增区间为(,-∞，)+∞单调减区间为(，当x <()()220xf x x x e =->恒成立，所以在(,-∞上没有零点；当x <<时，函数在区间(单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >)+∞递增，且()20f =，存在唯一零点．综上，当2x ≤时，函数()y f x =零点个数为两个.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．21.已知函数()22ln 3f x x x x ax =+-+（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线;（2）若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是自然对数的底数），使不等式()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4a =（2）132a e e≤+- 【解析】【分析】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解；（2）把不等式()0f x ≥成立，转化为32ln a x x x ≤++，构造函数()()32ln 0h x x x x x=++>，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()00f x =，()00f x '=，即()()000000002ln 2202ln 30f x x x a f x x x x ax ⎧=++-=⎪⎨=+-+='⎪⎩，解得014x a =⎧⎨=⎩，即当4a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线．（2）由题意知22ln 30x x x ax +-+≥，即32ln a x x x≤++，设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x +-'=+-=，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，此时()h x 单调递减; 当(]1,x e ∈时，()0h x '>，此时()h x 单调递增.存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≥成立，等价于()max a h x ≤，即()1max ,a h h e e⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，又1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，故()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以132a e e≤+-. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的极值;（2）当0x e <<时，证明：()()f e x f e x +>-;（3）设函数()f x 的图象与直线y m =的两个交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点的横坐标为0x ，证明：()00f x '<.【答案】（1）()f x 取得极大值1e，没有极小值（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，再根据极值的定义，即可求解函数的极值；（2）由()()f e x f e x +>-，整理得整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->，设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可求解．（3）不妨设12x x <，由（1）和由（2），得()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，利用单调性，即可作出证明．【详解】（1）由题意，函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当()0,x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，()f x 取得极大值1e，没有极小值; （2）由()()f e x f e x +>-得()()ln ln x e e x x e e x+->+- 整理得()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->，设()()()()()ln ln F x e x x e x e e x =-+-+-，则()()()()2222222222224ln 2ln 0e x x F x e x e x e x e x +⎡⎤'=--=--+>⎣⎦--，所以()F x 在()0,e 上单调递增，所以()()00F x F >=，即()()()()ln ln 0e x x e x e e x -+-+->，从而有()()f e x f e x +>-．（3）证明：不妨设12x x <，由（1）知120x e x <<<，则120e x e x <-<<，由（2）知()()()()1112f e e x f e e x f x f x +->--==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由()f x 在(),e +∞上单调递减，所以()12e e x x +-<，即122x x e +>，则1202x x x e +=>，所以()00f x '<. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

河北省石家庄市2019-2020学年高二12月联考数学(文)试卷Word版含答案

河北省石家庄市2019-2020学年高二12月联考数学（文）试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1．抛物线28y x =的焦点坐标为A. ()0,2B. ()0,4C. ()2,0D. ()4,02. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为A. 6B. 8C. 10D. 123.已知命题:"0,1"x p x ∀>>总有2，则p ⌝为A. 0,1x x ∀>≤总有2B. 0,1xx ∀≤≤总有2C. 000,1x x ∃≤≤使得2D. 000,1x x ∃>≤使得24. ""p q ∨为真命题是""p q ∧为真命题的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件5.与双曲线22-22=y x 有相同渐近线且过点M （2，—2）的双曲线的标准方程是 A.14-222=y x B. 12-422=y x C. 14-222=x y 或14-222=y x D. 14-222=x y 6．过椭圆的左焦点1F 做x 轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为P, 2F 为右焦点，若︒=∠6021PF F 则其离心率为 A.22 B. 33 C. 21 D. 31 7曲线y= xlnx 在点(1，0)处的切线方程为( )A.y=2x ＋2B.y=2x －2C.y=x －1D.y=x ＋18. 一物体的运动方程是s =3+t 2，则t =2时刻的瞬时速度是（）。

A. 3B. 7C. 4D. 59.曲线192522=+y x 与曲线19-2522=-+ky k x （k<9）的 A.长轴长相等 B. 短轴长相等 C 离心率相等 D.焦距相等10.在区间【0，3】上任取一个数，则此数不大于2的概率是A.97B. 32C. 21D. 31 11.右图是某公司10个销售店某月销售某产品数量的茎叶图，则数据落在【22，30】的频率为A.0.2 B0.4 C0.5 D.0.612. 已知a 、b ∈R ，命题“若a+b=1，则a 2+b 2≥12”的否命题是（） A.若a 2+b 2＜12，则a+b ≠1 B.若a+b=1，则a 2+b 2＜12C.若a+b ≠1，则a 2+b 2＜12D.若a 2+b 2≥12，则a+b=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片（卡片大小形状均相同），今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为 .14. 已知f(x)=2x+e^x,则f'(0)= .15. 下列程序执行后输出的结果是______.i =11s =1DOs =s ∗ii =i −1LOOP UNTIL i <9PRINT sEND .16.双曲线19-422 y x 的渐近线方程是。

石家庄市2019-2020学年第二学期期末检测高二数学(含答案)

__
__
a y 0.7 x 67.2 0.7 23 83.3
所以当 x>17 亿元时，与满足的线性回归方程为：
.………………8 分
所以当 x=20 亿元时，科技改造直接收益的预测值
.………9 分
所以当 x=20 亿元时，实际收益的预测值为
亿元 ………10 分
即 79.3 亿元>72.93 亿元
……………………………………3 分
当 m 1时， f x x2 是偶函数； ……………………………………5 分
所以 m 1， f x x2 ； ……………………………………6 分
（2）由（1）知 g x loga x2 2x ，
设 t x2 2x, x 2,3 ，则 t 0,3 ，……………………………………7 分
石家庄市 2019—2020 学年度第二学期期末考试高二数学答案
一．选择题 1-5 CADDA 6-10 CACDC 11-12 AA 二．填空题
1
13.
9
14. 2x y e 0
（10 分）
2
16.
5
x
1 x
2n
展开式中第
4
项与第
6
项的系数相等
C23n C25n ,
所以有 99.5%的把握认为平均车速超过 1100km/h 与性别有关． …………6 分
（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为男性
且车速超过 100km/h 的车辆的概率为 40 = 2 ．…………7 分 100 5
X
可取值是
0,1,2,3，
X
~B
此时 g x 在 2,3 上的值域，就是函数 y loga t,t 0,3 的值域；当 a 1 时， y loga t 在区间 0,3 上是增函数，所以 y , loga 3 ；………………9 分当 0 a 1时， y loga t 在区间 0,3 上是减函数，所以 y loga 3, ；………………11 分综上：当 a 1 时，函数 g x 的值域为 , loga 3 ，当 0 a 1时， g x 的值域为 loga 3, ．……………………………12 分

河北省石家庄市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

石家庄市2019~2020学年度第一学期期末考试高二数学1.为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔k 为（） A. 40 B. 30C. 20D. 12【答案】B 【解析】【分析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果. 【详解】由总数为1200，样本容量为40，所以抽样距为：12003040k == 故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.2.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，則x y +的值为（）A. 7B. 10C. 9D. 8【答案】D 【解析】甲班众数为85，故5x =，乙班中位数为83，故3y =，所以8x y +=.3.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（） A.14B.12C. 2D. 4【答案】A 【解析】【详解】试题分析：将其方程变为标准方程为2211yxm＋＝，根据题意可得，11m>，且14m=，解得14m=，故A正确．考点：椭圆的方程及基本性质4.若x，y满足{1x yx yx-≤+≤≥，，，则2z x y=+的最大值为（）A. 0B. 1C.32D. 2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y=+，则1122y x z=-+，令0Z=，作直线12y x=-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2，故选D.考点：本题考点为线性规划的基本方法5.七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A.116B.18C.38D.316【答案】B 【解析】【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为，由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题. 6.已知曲线1y x x =+上一点52,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 处的切线方程为（） A. 4340x y -+= B. 3440x y ++= C. 3440x y -+= D. 4330x y ++=【答案】C 【解析】【分析】根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果. 【详解】由曲线1y x x =+，则21'1y x=- 所以2213'124x y ==-= 所以切线方程为：()53224y x -=-即：3440x y -+= 故选：C【点睛】本题主要考查曲线在某点处切线方程的求法，属基础题.7.设命题p ：函数1()2x f x -=在R 上为单调递增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数，则下列命题中真命题是（） A. p q ∧ B. ()p q ⌝∨ C. ()()p q ⌝∧⌝ D. ()p q ∧⌝【答案】D 【解析】【分析】根据指数型函数以及余弦型函数的性质，可得命题p 、命题q 真假，然后根据真值表，可得结果.【详解】由函数()2x f x =在R 上单调递增函数所以函数1()2x f x -=在R 上为单调递增函数故命题p 为真命题，由()cos 2f x x =的定义域为R 且()()()cos 2cos2f x x x f x -=-== 故可知函数()cos 2f x x =为偶函数所以命题q 为假命题. 所以()p q ∧⌝为真命题. 故选：D【点睛】本题考查函数的单调性，奇偶性的判断以及真值表的应用，属基础题.8.正四棱锥P ABCD -底面ABCD 边长为2,E 为AD 的中点,则BD 与PE 所成角的余弦值为（）A.B.13C.4D.4【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为F ，连接EF ，得到 BD 与PE 所成角为PEF ∠，在PEF ∆中，利用余弦定理得到答案.【详解】如图所示：取AB 中点为F ，连接EF ，易知EF BD ‖故BD 与PE 所成角为PEF ∠PEF ∆中，12,22PE PF EF BD ==== 利用余弦定理得到：2222cos PF PE EF PE EF PEF =+-⋅∠ 解得2cos 4PEF ∠= 故选D【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 9.设x ∈R ，“命题1:2p x >”是“命题:(12)(1)0q x x -+<”的（） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果. 【详解】由(12)(1)0x x -+<，则1x <-或12x >所以“12x >”可推出“1x <-或12x >” 但“1x <-或12x >”不能推出“12x >” 故命题p 是命题q 充分且不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题. 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.1312π+ B.134π+ C. 14π+D. 112π+【答案】D 【解析】【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【详解】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：1113412ππ⨯⨯=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：1 12112⨯⨯⨯=，故组合体的体积112V π=+，故选D ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键，属于中档题.11.设P 是椭圆221259x y +=上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为（） A. 9,12 B. 8,11C. 10,12D. 8,12【答案】D 【解析】【分析】椭圆的焦点恰好是两圆的圆心，利用椭圆的定义先求出点P 到两焦点的距离|PF 1|+|PF 2|，然后|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成|PF 1|+|PF 2|减去两个半径和加上两个半径．【详解】∵两圆圆心F 1（﹣4，0），F 2（4，0）恰好是椭圆221259x y +=的焦点，∴|PF 1|+|PF 2|＝10，两圆的半径r ＝1，∴（|PM |+|PN |）min ＝|PF 1|+|PF 2|﹣2r ＝10﹣2＝8．（|PM |+|PN |）max ＝|PF 1|+|PF 2|+2r ＝10+2＝12．故选D ．【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解决本题的关键是把|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成与两圆的半径差与和问题．12.已知()f x 为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且(('))f x f x <恒成立，其中e 是自然对数的底，则（） A. (2019) (2020)f e f < B. (2019)(2020)ef f < C. (2019)(2020)ef f = D. (2019)(2020)e f f >【答案】B 【解析】【分析】构造新函数()()xx f F x e =，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，可得结果. 【详解】令()()x x f F x e =，则()()('')x f x F x ef x =- 由(('))f x f x <，所以()'0F x >故函数()F x 为R 上的单调递增，所以()()20202019F F >故20202019(2020)(2019)f e f e >即(2019)(2020)ef f < 故选：B【点睛】本题主要考查利用函数单调性比较式子大小，难点在于构造函数()()xx f F x e =，属中档题.13.函数()33f x x x =-的极小值为_______．【答案】2-. 【解析】试题分析：()233f x x ='-，令()0f x '=得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以当1x =时，函数()f x 有极小值，且极小值是()311312f =-⨯=-．考点：导数研究函数的极值．14.在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P(m ，n)，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．【答案】13【解析】由题意得点P(m,n)有:(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6个,在圆x 2+y 2=9内部的点有(2,1),(2,2),即所求概率为=.15.已知椭圆2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，经过点F 且斜率为1的直线l 与该椭圆交于C ，D 两点，则线段CD 的长为__________. 【答案】247【解析】【分析】根据椭圆焦点可得a ，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得结果. 【详解】设()()1122,,,C x y D x y由椭圆的一个焦点为(1,0)F -，所以222314a b c =+=+=，则可知椭圆方程为22143x y +=，又直线l 的方程为：1y x =+22217880431x y x x y x ⎧+=⎪⇒+-=⎨⎪=+⎩121288,77x x x x =-+=-由247CD ==故答案为：247【点睛】本题主要考查椭圆中弦长公式的应用，属基础题. 16.已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与其准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________. 1 【解析】【分析】采用数形结合，找到当m 取最小值时，得到直线PA 与抛物线相切，进一步可得点P 坐标，然后根据双曲线的定义，可得结果. 【详解】如图所示：作PB 垂直准线交于点B ，则PF PB = 所以||||==sin ||||PF PB m PAB PA PA =∠ 故当直线PA 与抛物线相切时，m 最小. 设直线PA 方程为：1y kx =-则2214404y kx x kx x y=-⎧⇒-+=⎨=⎩ 所以0∆=，即1k =±，不妨令1k = 则可得()2,1P ，所以22,2PA PF则221a PA PF a所以21c ea21【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，难点在于得到直线PA 与抛物线相切，属难题.17.为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录孩子们三分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，跳绳个数的数值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4:2:1.（计算结果保留小数点后面3位）（Ⅰ）求这些学生跳绳个数的数值落在区间[75,85]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个学生，求这2个学生跳绳个数的数值都在区间[45,65)内的概率. 【答案】（Ⅰ）0.05；（Ⅱ）23. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率之比，可假设数值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]的频率，然后利用所有频率之和为1，可得结果.（Ⅱ）根据区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率之比为：3：2：1，按分层抽样的方法将这三个区间的所抽取的人数分别进行标号，采用列举法，然后利用古典概型，可得结果. 【详解】（Ⅰ）设区间[75,85]内的频率为x ，则区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x 和2x ，依题意得： (0.0040.0120.0190.030)10421x x x +++⨯+++=.解得0.05x =.所以区间[75,85]内频率为0.05.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率依次为0.3，0.2，0.1. 用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本.则在区间[45,55)内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++人，记为1A ，2A ，3A在区间[55,65)内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++人，记为1B ，2B ，在区间[65,75)内应抽取0.16110.30.20.1⨯=++人，记为C .设“从中任意选取2个孩子，这2个孩子跳绳数值都在区间[45,65)内”为事件M ，则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ， {}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ， {}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ， {}1,B C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种.事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ， {}32,A B ，{}12,B B ，共10种.所以这2个孩子跳绳数值都在区间[45,65)内的概率为102153=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属基础题.18.已知圆C 过三点(2,4)，直线:20l ax y a ++=. （Ⅰ）求圆C 的方程（Ⅱ）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且||AB =l 的方程.【答案】（Ⅰ）228120x y y +-+=；（Ⅱ）7140x y =+=或20x y =+=.【解析】【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程，解方程组，可得结果.（Ⅱ）利用圆的弦长公式. 【详解】（Ⅰ）设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=所以393041624032550E F D E F E F ⎧+++=⎪++++=⎨⎪++++=⎩故0812D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩圆C 的方程228120x y y +-+=. （Ⅱ）过圆心C 作CD AB ⊥，则可得2222||||2,12CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪==⎪⎩解得7a =-或1a =-. 故所求直线方程为7140x y =+=或20x y =+=.【点睛】本题考查圆的方程以及弦长公式，属基础题.19.现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量x 与单位成本y 统计数据如下：（Ⅰ）试确定回归方程y bx a =+；（Ⅱ）指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少？（Ⅲ）假定单位成本为70元/件时，产量应为多少件？（参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,()nii iii i nni ii i xx y y x ynxybay bx x x xn x ====---===---∑∑∑∑.）（参考数据11481niji x==∑ 2179ni i x ==∑）【答案】（Ⅰ） 1.81877.363y x =-+;（Ⅱ）1818元;（Ⅲ）4050件. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据回归系数公式，可得结果.（Ⅱ）根据回归系数b 的几何意义，可得结果. （Ⅲ）根据回归方程，代值计算，可得结果.【详解】（Ⅰ）设x 表示每月产量（单位：千件），y 表示单位成本（单位：元/件），作散点图. 由图知y 与x 间呈线性相关关系，（不画图不扣分）设线性回归方程为y bx a =+，其中 3.5x =，71y = 由公式可求得 1.818b ≈-， 77.363a ≈， ∴回归方程为 1.81877.363y x =-+.（Ⅱ）由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降1.818元. （Ⅲ）当70y =时，70 1.81877.363x =-+，得 4.050x ≈千件. ∴单位成本是70元/件时，产量约为4050件.【点睛】本题主要考查线性回归直线方程及其应用，属基础题. 20.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，22,AB BC PA PB ===，.侧面PAB ⊥底面ABCD .（1）证明：PC BD ⊥；（2）设BD 与平面PAD 所成角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）1010-21.过抛物线2:2(0)C y p x p =⋅>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且||2MN =.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线:l y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（A ，B 均不与点Q 重合）.设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212k k =-.直线l 是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）直线l 恒过定点，定点为(3,1)-. 【解析】【分析】（Ⅰ）假设直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理以及抛物线的焦点弦性质，可得结果.（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得Q ，然后联立直线l 与抛物线的方程，结合韦达定理，利用1212k k =-，可得,k m 之间的关系，最后根据直线方程特点，可得结果.【详解】（Ⅰ）由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭设直线MN 方程为：2p y x =-代入抛物线方程得：22304p x px -+=设(),M M M x y ，(),N N N x y ∴3M N x x p +=∴||42M N MN x x p p =++==，解得：12p =∴抛物线方程为：2y x =（Ⅱ）由（1）知：抛物线2:C y x =∴()1,1Q ，设()11,A x y ，()22,B x y由2y kx m y x=+⎧⎨=⎩得：20ky y m -+=，则140km ∆=-> ∵0k ≠ ∴121y y k +=，12m y y k= ∴12121222121211111111y y y y k k x x y y ----=⋅=⋅---- 12k k ()()1211112y y ==-++即：()121230y y y y +++= ∴130m k k++=，解得31m k =-- 当31m k =--时，21414(31)12410km k k k k -=++=++>∴31(3)1y kx k k x =--=--，恒过定点(3,1)- ∴直线l 恒过定点(3,1)-【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何应用，第二问中，难点在于找到,k m 之间的关系，重点在于韦达定理的应用以及计算，属中档题. 22.已知函数()()22xf x esinx axa e =-+-,其中2.71828...a R e ∈=，为自然对数的底数.(1)当0a =时，讨论函数()f x 的单调性; (2)当112a ≤≤时，求证:对任意的[)()0,,0x f x ∈+∞<. 【答案】(1)()f x 在(),-∞+∞上单调递减. (2)证明见及解析. 【解析】【详解】分析：(1)将0a =代入()f x ，对函数求导即可判定函数的单调性． (2)将不等式转化为关于a 的一次函数，讨论在112a ≤≤时一次函数对任意的[)0,x ∈+∞两个端点都小于0，即可证明(),0f x <．详解：(1) ()()0,xa f x esinx e ==-()()'04x x f x e sinx cosx e e x e π⎤⎛⎫=+-=+-< ⎪⎥⎝⎭⎦;∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减 (2)要证()220xesinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立即证;220sinx ax a e -+-<对[)0,x ∈+∞恒成立令()()22g a xa sinx e =-+-,即证当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()220g a x a sinx e =-+-<恒成立即证;()()()2211101221202g sinx x e g sinx x e ⎧⎛⎫=-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+-<⎩成立 ∵sin 1x e +< ∴①式成立现证明②式成立:令()()22,'2h x sinx x e h x cosx x =-+-=-设在[)00,x ∃+∞,使得()00'2,0h x cosx x --=,则006x π<<()h x 在()00,x 単调递增, 在[)0,x +∞単调递減∴()()220000cos 2sin 24x h x max h x sinx x e x e ==-+-=-+-,=200sin 7sin 44x x x e ++-∵006x π<<，∴01sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴200sin 737sin 04416x x x e e ++-<-<综上所述.在[)0,x ∈+∞, ()0f x <恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题．。

【2019-2020】高二数学12月联考试题理

教学资料参考范本【2019-2020】高二数学12月联考试题理撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线x+y ﹣3=0的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2 方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（）222=+ky xA ．B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）),0(+∞3．设l 、m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A ．若m∥l，m∥α，则l∥αB ．若m⊥α，l⊥m ，则l∥αC ．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD ．若m ⊂α，m∥β，l ⊂β，l∥α，则α∥βA ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6. 已知椭圆,是椭圆长轴的一个端点,是椭圆短轴的一个端点,为椭圆的一个焦点. 若,则该椭圆的离心率为（）AA ．B ．C ．D ．结论是（）A ．平面ABC 必不垂直于αB ．平面ABC 必平行于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内9. 若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（）122=+ny mx 01=-+y x B A ,AB22mnA ．B ．C ．D ．222239210．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（） A ．4 B ．4C ．4D ．811．曲线y﹣1=（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（）A．（，] B．（，+∞）C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）12．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C 三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．8π B．6π C．11π D．5π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，则a= ．14．命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是________．15. 过点作一直线与椭圆相交于A、B两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为．16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．18．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．19．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M是OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求点M到平面OCD的距离．20. 已知椭圆C：的上顶点坐标为，离心率为.（1）求椭圆方程；（2）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的右焦点，求的取值范围.21.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.(Ⅰ) 求证：BC⊥平面ACFE；(Ⅱ) 若点M在线段EF上移动，试问是否存在点，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.22. 已知椭圆经过点其离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于A 、B 两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，为坐标原点.求到直线距离的最小值.高二四校联考数学答案一、选择题1-12 DDCBAB CDBBAB13． a=﹣2 ． 14．若b ∉B ，则a∈A 15. 16． [﹣2，2] ．13-94=+y x17：（1）由圆C 与x 轴交于A （﹣5，0），B （1，0），可得圆心C 在AB 的中垂线上，即C 在直线x=﹣2上，与x ﹣2y+4=0联立，可得C （﹣2，1），半径r==，则圆C 的方程为（x+2）2+（y ﹣1）2=10，圆心到直线x ﹣y+1=0的距离d==，则|EF|=2=2=4；（2）设M （x ，y ），M 为PQ 的中点，且Q （2，1），可得P （2x ﹣2，2y ﹣1），由P 在圆C 上运动，将其坐标代入圆C 的方程可得，（2x ﹣2+2）2+（2y ﹣1﹣1）2=10，即为x2+（y ﹣1）2=．则线段PQ 中点M 的轨迹方程为x2+（y ﹣1）2=．18：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a2＜0，即a ＞或a ＜－1.乙命题为真时，2a2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集， ∴a 的取值范围是.(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a ＜－， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13＜a≤1或－1≤a＜－1219.证明：（1）取OB 中点E ，连结ME 、NE ， ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD ，又ME ⊄平面OCD ，CD ⊂平面OCD ， ∴ME ∥平面OCD ，∵OB 中点E ，N 为BC 的中点，∴EN ∥OC ， ∵EN ⊄平面OCD ，OC ⊂平面OCD ， ∴EN ∥平面OCD ，∵EN ∩EM=E ，EN ，EM ⊂平面EMN ， ∴平面EMN ∥平面OCD ，∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD ．解：（2）∵M 是OA 的中点，∴M 到平面OCD 的距离是点A 到平面OCD距离的，取CD 的中点为P ，连结OP ，过点A 作AQ ⊥OP 于点Q ，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长是点A到平面OCD的距离，∵OP===，AP=，∴AQ===．∴点A到平面OCD的距离为，∴点M到平面OCD的距离为．20解：（1）依题意得：，椭圆方程为（2）解：设，，则---（*）点满足，代入（*）式，得：根据二次函数的单调性可得：的取值范围为21（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，∴，则，∴，∴，又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC、BC、CF两两垂直，以C为原点，AC、BC、CF所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图），则，，设，则，，设是平面AMB的法向量，则取x=1，得，显然是平面FCB的一个法向量，于是，化简得，此方程无实数解，∴线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45o.22.（1）由已知，所以, ① 又点在椭圆上，所以，②由①②解之得,故椭圆的方程为（2）当直线有斜率时，设时，则由消去得，，③设则，由于点在椭圆上，所以，从而，化简得，经检验满足③式，又点到直线的距离为：，并且仅当时等号成立；当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点为，直线为，所以点到直线的距离为1，所以点到直线的距离最小值为.2017年下半年高二四校联考数学答题卷二、填空题（5分×4=20分）13、 14、15、 16、三、解答题（70分）17、（10分）18、（12分）19、（12分）20、（12分）21、（12分）22.（12分）。

2019-2020年高二上学期12月联考试题数学含答案

2019-2020年高二上学期12月联考试题数学含答案1．椭圆的焦距为▲．2．双曲线的渐近线方程是▲．3．已知抛物线，则它的准线方程是▲．4．已知函数，为的导函数，则的值是▲．5．已知圆O：，圆C：，则两圆的位置关系为▲．（从相离、相内切、相外切、相交中选择一个正确答案）6．直线被圆截得的弦长为等于▲．7．设m、n是两条不同的直线、是两个不同的平面,则下列命题中正确的是▲．填序号).①；②∥∥；③∥；④；⑤若不垂直于，则不可能垂直于内无数条直线.8．已知函数,求函数的单调减区间为▲．9．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为▲．cm3．10．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则的值为▲．11．已知圆经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率▲．12．函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是▲．13．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是▲．14．过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分14分）已知三点、（－2，0）、（2，0）。

（1）求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程；（2）求以、为顶点且以（1）中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程.16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点．（1）求证：FG//平面PBD ；（2）求证：BD ⊥FG ．17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，已知点，，若,分别为线段,上的动点，且满足．(1) 若，求直线的方程；(2)证明：△的外接圆恒过定点（异于原点）．18．（本小题满分15分）如图，在边长为2 （单位：m ）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四OABD C xy个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m ．（1）求正四棱锥的体积V (x )；（2）当x 为何值时，正四棱锥的体积V (x )取得最大值？19．（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为. （1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数（，是自然对数的底数）．（1）若，求函数在处的切线方程并研究函数的极值。

河北省石家庄市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含解析

石家庄市2019~2020学年度第二学期期末检测高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分，在题目给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}6U x N x =∈<，集合{1,3}A =，{2,4}B =，则()UA B 等于（）A. {1,2,3,4}B. {5}C. {0,5}D. {2,4}【答案】C 【解析】【分析】先根据集合{1,3}A =，{2,4}B =，求得A B ，再根据全集{}{}60,1,2,3,4,5U x N x =∈<=求解.【详解】因为集合{1,3}A =，{2,4}B =，所以{}1,2,3,4AB =，又全集{}{}60,1,2,3,4,5U x N x =∈<=，所以{}()0,5UA B =故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2. 设复数3i12iz -=-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（）A. (1,1)B.C. 1(,1)5D. 【答案】A 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应点的坐标即可．【详解】因为3i (3i)(12i)32i 6i1i 12i (12i)(12i)5z --++-+====+--+，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1). 故选A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的运算及其几何意义，属于基础题. 3. 已知命题0:p x R ∃∈，060x +>，则p ⌝是（） A. 0x R ∃∈，060x +≥ B. 0x R ∃∈，060x +≤ C. x R ∀∈，60x +≥ D. x R ∀∈，60x +≤【答案】D 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题0:p x R ∃∈，060x +>是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题即：x R ∀∈，60x +≤ 故选：D【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） A. 22x y =-B. 3y x =C. ln y x =D.21y x =-【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性判断和函数的零点的求法求解. 【详解】A. 因为()()2222xx f x f x --=-≠-=，所以是非奇非偶函数，故错误；B. 因为()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以是奇函数，故错误； C.因为函数ln y x =的定义域为()0,∞+，所以是非奇非偶函数，故错误；D.因为()()()2211f x x x f x -=--=-=，所以是偶函数，令()0f x =，解得1x =±，故正确；故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的零点，属于基础题. 5. 若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．6. 为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（） A. 20 B. 18 C. 36 D. 12【答案】C 【解析】【分析】先将四位专家选取两人分配到同一病区，再与另二位专家一起做全排列，分配到三个病区，可得选项.【详解】由题目知，将甲乙丙丁分配重症监护病区、普通病区、监测病区这三个病区，要求每人去一个病区，有23436636C A ⨯=⨯=种分配方法，故选：C.【点睛】本题考查分组分配问题，一般采用先分组后分配的方法，属于基础题. 7. 某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布()290,5N ，若()80900.3P ξ≤<=，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（） A. 12 B. 20C. 30D. 40【答案】A 【解析】【分析】利用正态分布曲线关于90x =对称，从而求得()90100P ξ≤<的值，进而求得()100P ξ>的概率值，即可得到答案.【详解】因为ξ服从正态分布()290,5N ，所以()8090P ξ≤<=()90100P ξ≤<0.3=，所以()()18010010.61000.222P P ξξ-≤<->===，所以该班数学成绩在100分以上的人数为600.212⨯=（人）. 故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的应用，求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点值不影响概率值，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 8. 若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（）A. 2B.C. 5D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分析可得33333333b b a b b a a b a b a b++=+=++，结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意，若正实数,a b ，满足1a b +=，则333332353333b b a b b a b a b a b a b a ++=+=++⨯⨯=，当且仅当334b a ==时等号成立，即33b a b+的最小值为5；故选：C【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.9. 函数f (x )＝21xx e -的图象大致为()A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项.【详解】因为f (－x )＝21x x e--≠f (x )知f (x )的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f (2)＝214e -＝－23e<0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题. 10. 若定义在[,]a b 上的函数()|ln |f x x =的值域为[0,1]，则b a -的最小值为（） A. 1e - B. 1e -C. 11e-D.11e- 【答案】C 【解析】【分析】结合对数函数性质确定()f x 的单调性，然后得出,a b 的取值（或范围），可得结论．【详解】ln ,01()ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，∴()f x 在(0,1]单调递减，在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)0f x f ==，又1()1f f e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意11a e ≤≤，1b e ≤≤，且1a e=和b e =中至少有一个取到．即1a e =，1b e ≤≤，此时111b a e e e-≤-≤-，若11a e <≤，则b e =，11e b a e e-≤-<-， ∴b a-的最小值是11e-．故选：C ．【点睛】本题考查函数的值域问题，掌握对数函数的性质是解题关键．基本方法是：去掉绝对值符号后确定函数的单调性，由单调性得出函数值域．11. 已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（） A. (],1-∞ B. [)1,+∞C. [)1,-+∞D. (],3-∞【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式化简命题p ，再利用集合间的基本关系，求得参数a 的取值范围. 【详解】由2:230p x x +->，知3x <-或1x >，则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1{|}3x x ≤≤-{|}x x a ≤∴1a ≥.故选：B.【点睛】本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系. 12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21x f x =-，则2(log 9)f =（） A. 79-B. 8C. 10-D. 925-【答案】A【解析】【分析】先利用()()2f x f x +=-得到()()2f x f x +=-，从而得到图像的对称轴为1x =，再次利用()()2f x f x +=-把函数值的计算归结为29log 4f ⎛⎫⎪⎝⎭，最后利用对称轴为1x =把函数值的计算归结为216log 9216log 219f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【详解】()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图像的对称轴为1x =，()229log 9log 4f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因291log 24<<，故2229916log 2log log 449f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2160log 19<<，所以216log 92167log 2199f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()27log 99f =-.选A. 【点睛】一般地，如果奇函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，则()f x 的周期为2a 且()f x 图像有对称轴2ax =.不在给定范围上的自变量的函数值的计算，应根据给定的关系式（必要时利用周期性和对称性转化）把要求的值转化到给定的区间上的自变量的函数值.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数()2log 030xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】19【解析】【分析】先求1()4f 的值，再求14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由题得211()=log 244f =-，所以211(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为19【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14. 曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______．【答案】2y x e =- 【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到f '（e ），再求出f （e ）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．【详解】由()f x xlnx =，得()1f x lnx '=+， f ∴'（e ）12lne =+=．即曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线的斜率为2，又f （e ）elne e ==．∴曲线()f x xlnx =在点(e ，f （e ）)处的切线方程为2()y e x e -=-，即2y x e =-．故答案为2y x e =-【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．15. 若函数2()2ln 3f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围是________．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】求出导数()'f x ，确定函数的极值点，由极值点可得a 的范围．【详解】函数定义域是(0,)+∞，2141()4x f x x x x '-=-=114()()22x x x+-=，当102x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当12x >时，()0f x '>，()f x 递增，∴()f x 只有一个极值点，极小值点12，由1(1,1)2a a ∈-+，则112112a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1322a <<，又10a -≥，即1a ≥，∴312a ≤<．故答案：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值点，注意函数的极值点是在函数定义域内，一般先求出函数定义域，才能得出正确结果．16. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是________．【答案】25【解析】【分析】由于该密码的最后一位数字是奇数,应该在“1,3,5,7,9”中选数，求出按前2次的所有基本事件个数，再求出其中有密码的基本事件的个数，从而可得概率．【详解】根据题意,密码的最后一位数字是奇数,所以此人在按最后一位数字时,有“1,3,5,7,9”5种可能，由此可得此人在按前两次,所有的基本事件有255420n A ==⨯=个，若此人不超过2次就按对,说明前2次所按的数字含有正确数字，相应的基本事件有12428m C A =⋅=个，因此,此人不超过2次就按对的概率是82205m P n ===，故答案为：25．【点睛】本题以按密码的事件为例,求某人按密码不超过两次就正确的概率.着重考查了基本事件的概念和古典概型及其计算公式等知识,属于基础题.三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如果21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等,求n 及展开式中的常数项. 【答案】70 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第4项与第6项的系数,列出方程解得n 值,利用二项展开式的通项公式求出第1r +项, 令x 的指数为0求出常数项【详解】因为21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等所以知可得3522n n C C =,所以352n +=,即4n =. 所以展开式中的通项为8218r rr T C x -+=, 若它为常数项,则4r =,所以45870T C ==. 即常数项为70.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18. 已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<．（Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解.【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，则2(2)2(3)30m m -+++=，整理得5100m +=，解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<． ①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ，则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤．综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.19. 已知函数()()223mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且()()35f f <．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()()log 2a g x f x x ⎡⎤=-⎣⎦(0a >且1a ≠)，求()g x 在(]2,3上值域．【答案】（1）1m =，()2f x x =；（2）当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞. 【解析】试题分析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<，因为m Z ∈，所以0m =或1m =，验证后可知1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，函数22y x x =-在(]2,3上单调递增，故按1a >，01a <<两类，利用复合函数单调性来求函数的值域. 试题解析：（1）因为()()35f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<，因为m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =它不是偶函数；当1m =时，()2f x x =是偶函数；所以1m =，()2f x x =；（2）由（1）知()()2log 2a g x x x =-，设(]22,2,3t x x x =-∈，则(]0,3t ∈，此时()g x 在(]2,3上的值域，就是函数(]log ,0,3a y t t =∈的值域；当1a >时，log a y t =在区间(]03,上是增函数，所以(],log 3a y ∈-∞；当01a <<时，log a y t =在区间(]03,上是减函数，所以[)log 3,a y ∈+∞；所以当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞．考点：幂函数单调性，复合函数值域.【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意()()35f f <，可以判断函数在()0,+∞上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出m 可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.20. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100km/h 的有25人. （1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关.（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为6 5 .【解析】【分析】（1）根据题目中的数据，完成列联表，求出28.2497.879K≈＞，从而有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关；（2）记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，推导出X服从二项分布，即23,5B⎛⎫⎪⎝⎭，由此能求出X的分布列与数学期望.【详解】解：（1）因为()22100402515208.2497.87960405545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km /h 与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆的概率为4021005=， X 可取值是0，1，2，3，由题知2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，有：()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分布列为()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，考查二项分布，随机变量的分布列与期望的计算，考查学生的数据分析和运算求解能力.21. 在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x （万元）与升级改造直接收益y （万元）的数据统计如下：当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ14.4y=；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.7y x a=-+．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．（附：刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑ 4.1≈．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式()()()1122211ˆ()nniiiii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xn x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-）【答案】（Ⅰ）模型①的2R 小于模型②，回归模型②刻画的拟合效果更好；预测值为72.93亿元；（Ⅱ）技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，182.479.2>，得到()()772211182.479.2i i i i y y y y ==>--∑∑判断即可.（2）由表中数据求得由已知可得 23x =．67.2y =，进而得到ˆ0.7ay x =+写出线性回归方程，再将20x计算，然后再比较即可.【详解】（1）由表格中的数据，有182.479.2>，即()()772211182.479.2i i i i y y y y ==>--∑∑所以模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．所以当17x =亿元时，科技改造直接收益的预测值为．∴ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y==⨯-=（亿元）（2）由已知可得：123452035x ++++-==，所以23x =．8587.566607.25y ++++-==，所以67.2y =．∴ˆ0.767.20.72383.3ay x =+=+⨯= 所以当17x >亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.783.3yx =-+．所以当20x 亿元时，科技改造直接收益的预测值ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=．所以当20x亿元时，实际收益的预测值为69.31079.3+=亿元即79.3亿元72.93>亿元所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．【点睛】本题主要考查回归分析及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22. 已知函数2()ln f x x x x =--．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<．【答案】（Ⅰ）单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞；（Ⅱ）证明见解析．【解析】【分析】（Ⅰ）先求函数导数，再求导数在定义区间上零点，根据导函数正负，确定单调区间；（Ⅱ）先根据零点得2121lnx x a x x =-，再代入化简不等式为2221112ln 2x x xx x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，构造函数()21ln 2g t t t t=--+，其中211x t x =>，最后根据导数确定函数()g t 单调性，根据单调性证不等式.【详解】（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==，故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ， ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞ ；（2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根，∴1122ln 0ln 0ax x ax x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()2121ln0x a x x x -+=，解得2121ln xx a x x =- ，要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭，即证()222122111212ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，不妨设12x x <，令211x t x =>，只需证21ln 2t t t<-+，设21()ln 2g t t t t=--+，∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， ∴()(1)0g t g <=．即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，属于综合题.。

2020年河北省石家庄市第十二中学高二数学理联考试卷含解析

2020年河北省石家庄市第十二中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线C：﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线上一点P满足|PF2|=7，则△F1PF2的周长等于（）A．16 B．18 C．30 D．18或30参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a=3，c=5，运用双曲线的定义，可得||PF1|﹣|PF2||=2a，解方程得|PF1|=13，即可得到△F1PF2的周长．【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=3，c=5由双曲线的定义可得：||PF1|﹣|PF2||=2a=6，即有||PF1|﹣7|=6，解得|PF1|=13（1舍去）．∴△F1PF2的周长等于7+13+10=30．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义和方程，注意定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．2. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（）A.6B.7C.9D.10参考答案：C略3. 已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为（）(A) 24 (B)26 (C) 27 (D) 28参考答案：B略4. 正四面体P-ABC中，D、E、F分别是棱AB、BC、CA的中点，下列结论中不成立的是____________A. BC∥面BDFB. DF⊥面PAEC. 面PDF⊥面PAED. 面PDF⊥面ABC参考答案：D5. 已知双曲线的一个焦点为F,则焦点F到其中一条渐近线的距离为（）A.2B. 1C.D.参考答案：C6. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=( )A．B．C．D．参考答案：A考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C解答：解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．点评：本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．7. 函数的部分图像大致是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8. 如果一元二次方程中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )A． B． C． D．参考答案：A9. 设两个正态分布和的密度函数图像如图，则有（）A．B．C．D．参考答案：A10. 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= .参考答案：19212. 设集合U=A=B=,则等于参考答案：{1,4,5}13. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为；外接球的体积为．参考答案：4；14. 已知，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】求出p的等价条件，利用必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：p的等价条件是m﹣1＜x＜m+1，若p是q的必要不充分条件，则，即，即≤m≤，故答案为：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．15. 在等比数列{a n}中，若a4=5，a8=6，则a2a10= ．参考答案：30【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的性质可得a2a10=a4a8，代值计算可得．【解答】解：由等比数列的性质可得a2a10=a4a8，又∵a4=5，a8=6，∴a2a10=5×6=30，故答案为：30．16. 边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是 .参考答案：17. 甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为．参考答案：0.65【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出敌机被击中的概率．【解答】解：敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A表示“甲击中”，B表示“乙击中”，由已知得P（A）=0.3，P（B）=0.5，∴敌机被击中的概率为：p=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.3）（1﹣0.5）=0.65．故答案为：0.65．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

河北省石家庄市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题

石家庄市2019~2020学年度第二学期期末检测高二数学（时间120分钟，满分150分）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分，在题目给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集{6}U x N x =∈<，集合{1,3}A =，{2,4}B =，则()UA B ⋃等于（）．A ．{1,2,3,4}B ．{5}C ．{0,5}D ．{2,4} 2．设复数312iz i-=-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（）．A ．(1,1)B ．C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭ D ．5⎛ ⎝ 3．已知命题0:p x R ∃∈，060x +>，则p ⌝是（）．A ．0x R ∃∈，060x +≥B ．0x R ∃∈，060x +≤C ．x R ∀∈，60x +≥D ．x R ∀∈，60x +≤ 4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）．A ．22xy =- B ．3y x = C ．ln y x = D ．21y x =-5．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（）．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（）．A ．20B ．18C ．36D ．127．某班有60名学生，一次考试的成绩ξ服从正态分布()290,5N ，若(8090)0.3P ξ≤<=，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（）．A ．12B ．20C ．30D ．408．若正实数a ，b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（）．A ．2B ．C ．5D ．9．函数21()xx f x e-=的图象大致为（）． A ． B ．C ．D ．10．若定义在[,]a b 上的函数()|ln |f x x =的值域为[0,1]，则b a -的最小值为（）． A ．1e - B ．1e - C ．11e -D ．11e- 11．已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（）．A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．[1,)-+∞D ．(,3]-∞-12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21xf x =-，则()2log 9f 等于（）． A ．79-B ．8C ．10-D ．925- 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．函数2log 0()30xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________． 14．函数ln y x x =在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程是________．15．若函数2()2ln 3f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围是________．16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位，如果他记得密码的最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是________．三、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）如果21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等，求n 及展开式中的常数项．18．（本小题满分12分）已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<．（Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知函数223()()m m f x xm Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <．（Ⅰ）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()log [()2]a g x f x x =-（0a >且1a ≠），求()g x 在(2,3]上值域． 20．（本小题满分12分）为了响应节能环保的号召，一汽车生产企业自主研发电动汽车，现要研究普通家用汽车在高速公路上行驶时的车速情况，借用交通部门的相关数据进行研究，对100名家用汽车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望．参考公式与数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21．（本小题满分12分）在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一个生态农家乐进行升级改造，加入量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与模拟，得到升级改造投入x （万元）与升级改造直接收益y （万元）的数据统计如下：当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ14.4y =-；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.7yx a =-+．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益．（附：刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ 4.1≈．）（Ⅱ）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，以回归方程为预测依据，比较升级改造投17万元与20万元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式()()()1122211ˆ()nniiiii i nniii i x x yy x ynx yb x x xn x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-） 22．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x x x =--．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<．石家庄市2019-2020学年度第二学期期末考试高二数学答案一、选择题1-5 CADDA 6-10 CACDC 11-12 AA 二、填空题 13．19 14．20x y e --= 15．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．25 三、解答题 17．（10分）∵21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项与第6项的系数相等∴3522n n C C =， 2分∴352n +=，即4n =． 4分所以展开式中的通项为8218r rr T C x -+=， 6分若它为常数项，则4r =， 8分所以45870T C ==．即常数项为70． 10分18．（12分）解：（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，则2(2)2(3)30m m -+++=，整理得5100m +=，解得2m =-； 4分（2）不等式2(3)30x m x m -++<即为()(3)0x m x --<． 5分①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ，则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<； 7分②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤． 9分综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃． 10分 19．（12分）解：（1）因为(3)(5)f f <，所以由幂函数的性质得，2230m m -++>，解得312m -<<， 2分因为m Z ∈，所以0m =或1m =， 3分当0m =时，3()f x x =它不是偶函数；当1m =时，2()f x x =是偶函数； 5分所以1m =，2()f x x =； 6分（2）由（1）知()2()log 2a g x x x =-，设22,(2,3]t x x x =-∈，则(0,3]t ∈， 7分此时()g x 在(2,3]上的值域，就是函数log a y t =，(0,3]t ∈的值域；当1a >时，log a y t =在区间(0,3]上是增函数，所以(],log 3a y ∈-∞； 9分当01a <<时，log a y t =在区间(0,3]上是减函数，所以[)log 3,a y ∈+∞； 11分综上：当1a >时，函数()g x 的值域为(],log 3a -∞，当01a <<时，()g x 的值域为[)log 3,a +∞． 12分 20．（12分）解：（1）2分22100(40251520)8.2497.87960405545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 5分所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 与性别有关． 6分（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率为4021005=． 7分 X 可取值是0，1，2，3，2~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，有：03032327(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132354(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21232336(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333238(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分布列为11分27543686()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．12分 21．（12分）解：（1）由表格中的数据，有182.479.2>，即()()772211182.479.2iii i yy yy ==>--∑∑所以模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 2分所以当17x =亿元时，科技改造直接收益的预测值为．∴ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y==⨯-=（亿元） 4分（2）由已知可得：123452035x ++++-==，所以23x =．8587.566607.25y ++++-==，所以67.2y =． 6分∴ˆ0.767.20.72383.3ay x =+=+⨯= 所以当17x >亿元时，y 与x 满足的线性回归方程为：ˆ0.783.3yx =-+． 8分所以当20x =亿元时，科技改造直接收益的预测值ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=． 9分所以当20x =亿元时，实际收益的预测值为69.31079.3+=亿元 10分即79.3亿元72.93>亿元所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大． 12分22．解：（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--== 1分故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> 2分 ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)∞ 3分（2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根．∴1122ln 0(1)ln 0(2)ax x ax x -=⎧⎨-=⎩两式相减得()2121ln 0x a x x x -+=，解得2121lnx x a x x =- 5分要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭，即证()222122111212ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，不妨设12x x <，令211x t x =>．只需证21ln 2t t t<-+． 7分设21()ln 2g t t t t=--+， ∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭；令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭， 9分∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， 11分 ∴()(1)0g t g <=．即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<． 12分。