【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.5(含答案)
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.8(含答案)
第二章２．8 第8课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是()A．－2,3B．2,3C．2，－3 D．－2，－3答案 B解析由f(x)＝－x2＋5x－6＝0，得x＝2,3.即函数f(x)的零点．2．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上()A．有两个零点B．有三个零点C．仅有一个零点D．无零点答案 C解析由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)令f(x)＝0得x＝－1,1，因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．3．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是()答案 B解析用二分法只能求变号零点的近似值，而B中的零点左右值同号．4．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A．[0,1] B．[1,2]C．[－2，－1] D．[－1,0]答案 D解析函数f(x)在区间[a，b]上有零点，需要f(x)在此区间上的图象连续且两端点函数值异号，即f(a)f(b)≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.5．(2010·天津，文)函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2,1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 C解析由f(x)＝0得e x＋x－2＝0，即e x＝2－x.∴原函数的零点就是函数y＝e x与y＝2－x图象交点的横坐标x0，显然0<x0<1.6．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 C解析令f(x)＝ln x＋x－4，注意到函数在定义域上是增函数，f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋3－4＝ln3－1>0，故函数在(2,3)上有唯一实数根．7.函数f(x)＝ln x－1x－1的零点的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C解析如图可知，y＝1x－1与y＝ln x的图象有两个交点．8．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 B解析由题意可知f(－2)＝14－6＜0，f(－1)＝12－3＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＞0，f(2)＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此在区间(－1,0)上一定有零点．因此选B.二、填空题9.右图是用二分法求方程2x＋3x＝7在(1,2)内近似解的程序框图，要求解的精确度为0.01，则框图中(1)处应填________，(2)处应填________．答案f(a)·f(m)<0|a－b|<0.01或f(m)＝0解析由二分法求解过程及程序框图的运行过程可得出答案．10．若f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)＝0有三个零点，则这三个零点之和等于________．答案0解析由于方程f(x)＝0有三个根，且f(x)为偶函数，则一根为零，而另二根为互为相反数．11函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.答案 2解析求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－log12x，h(x)＝log2x－x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．答案x1<x2<x3解析令函数f(x)＝x＋2x＝0，因为2x恒大于零，故要使得x＋2x＝0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)＝x－log12x＝0，则x＝log12x，要使得log12x有意义，必须有x>0，又x＝log12x，从而0<x<1，即0<x2<1；令h(x)＝log2x－x＝0，得：log2x＝x ，则x >1，即x 3>1，从而x 1<x 2<x 3.三、解答题13．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点．答案 m ＝－2，零点是x ＝0解析 解法一 令2x ＝t ，则t >0，则g (t )＝t 2＋mt ＋1＝0 仅有一正根，而g (0)＝1>0，故∴m ＝－2.解法二 令2x ＝t ，则t >0.原函数零点，即方程t 2＋mt ＋1＝0的根 ∴t 2＋1＝－mt∴－m ＝t 2＋1t ＝t ＋1t (t >0)有一个零点，即方程只有一根∵t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1t 即t ＝1时) ∴－m ＝2即m ＝－2时，只有一根．注：解法一侧重二次函数，解法二侧重于分离参数．14．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，当x ∈[－2,2]时，函数至少有一个零点，求a 的范围．答案 a ≤－7或a ≥2解析 (1)有一个零点，则f (－2)f (2)<0或f (－2)＝0或f (2)＝0∴a ≤－7或a >73 (2)有两个零点∴2≤a ≤73综合以上：a ≤－7或a ≥2.拓展练习·自助餐1．若x 0是方程(12)x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A ．(23，1)B ．(12，23)C ．(13，12)D ．(0，13)答案 C解析 结合图形(12)13>(13)13，(12)12<(12)13，∴x 0属于区间(13，12)．2．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析 令f (x )＝x 3－(12)x －2，f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，∴x 0∈(1,2)． 3．已知函数f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则( )A ．－1<a <1B ．a >1或a <－2C ．－2<a <1D ．a >2或a <－1 答案 C解析 由条件知f (1)<0，即a 2＋a －2<0， ∴－2<a <1.4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 B解析 由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.5．如图是二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(14，12)B ．(12，1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 B解析 因为f (1)＝0，即b ＝a ＋1，又f (0)＝a >0，所以b >1，又对称轴为b2∈(0,1)，所以0<b <2，即1<b <2，又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝ln x ＋2x －b ，又g (1)＝2－b >0，g (12)＝ln 12＋1－b <0，所以函数g (x )的零点在区间(12，1)上，故选B.教师备选题1．设函数f (x )＝4sin (2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4] 答案 A解析 f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π，所以sin 5<0，故f (2)<0，故函数f (x )在[0,2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数f (x )在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x ＝5π－24∈[2,4]，则f (5π－24)＝4sin 5π2－5π－24>0，而f(2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点．综合各选项可知选A.2．(高考改编)已知f(x)＝e x－k－x，其中x∈R，当k>1时，判断函数f(x)在[k,2k]内有无零点．解f(k)·f(2k)＝(e k－k－k)·(e2k－k－2k)＝(1－k)·(e k－2k)．∵k>1，∴1－k<0.令g(k)＝e k－2k，g(1)＝e1－2>0，又g′(k)＝e k－2，当k>1时，g′(k)>e－2>0，∴k∈(1，＋∞)，g(k)为增函数．∴g(k)>g(1)>0.∴k>1时，e k－2k>0.∴f(k)·f(2k)<0.∴即函数f(x)当k>1时在[k,2k]内存在零点．3．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b答案 B解析由于f(－1)＝12－1＝－12<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h(12)＝－1＋12＝－12<0，h(1)＝1>0，故h(x)的零点c∈(12，1)，因此a<c<b.4．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．答案(1)m≥2e(2)m>－e2＋2e＋12解析(1)解法一：∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．解法二：作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.解法三：解方程g(x)＝m，即x2－mx＋e2＝0(x>0)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图．∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是m>－e2＋2e＋1.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.3(含答案)
第二章 ２．3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )A ．y ＝e x －e －xB ．y ＝lg 1＋x1－xC ．y ＝cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x 答案 D2．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )f (－x )是奇函数 B ．f (x )|f (－x )|是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数 D ．f (x )＋f (－x )是偶函数 答案 D3．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x ) 答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．4．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案 A解析 由f (x )是偶函数知b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx 是奇函数．5．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3 答案 D解析 令x ≤0，则－x ≥0，所以f (－x )＝2－x －2x ＋b ，又因为f (x )在R 上是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0，即b ＝－1，f (x )＝－2－x ＋2x ＋1，所以f (－1)＝－2－2＋1＝－3，故选D.6．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2011(x )＝( )A ．－1x B ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x 答案 C解析 由题得f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝x －1x ＋1，f 4(x )＝f (x －1x ＋1)＝x ，f 5(x )＝1＋x 1－x ＝f 1(x )，其周期为4，所以f 2011(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1. 7．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2}答案 B解析 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8， 又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)3－8，x ≥0－(x －2)3－8，x <0， ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－(x －2)3－8>0，解得x >4或x <0.故选B. 二、填空题8．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝________. 答案 －1解析 f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a .∵f (x )为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.9．设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a ，b ，c 为常数，x ∈R )，若f (－2011)＝－17，则f (2011)＝________.答案 31解析 f (2011)＝a ·20115＋b ·20113＋c ·2011＋7 f (－2011)＝a (－2011)5＋b (－2011)3＋c (－2011)＋7 ∴f (2011)＋f (－2011)＝14，∴f (2011)＝14＋17＝31.10．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象关于________点对称． 答案(0,1)解析 f (x )的图象是由y ＝x 3＋sin x 的图象向上平移一个单位得到的．11．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，总有f (x ＋2)＝－f (x )成立，则f (19)＝________.答案 0解析 依题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，因此有f (19)＝f (4×5－1)＝f (－1)＝f (1)，且f (－1＋2)＝－f (－1)，即f (1)＝－f (1)，f (1)＝0，因此f (19)＝0.12．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________．答案 f (512)<f (－1)<f (4)解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数 ∴y ＝f (x )关于x ＝2对称又y ＝f (x )在(－∞，2)上为增函数∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上为减函数，而f (－1)＝f (5)∴f (512)＜f (－1)＜f (4)．13．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)，其中正确的序号是________．答案①②⑤解析由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的函数，①正确，f(x)关于直线x＝1对称，②正确，f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．三、解答题14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的解析式．答案f(x)＝x2－2，g(x)＝x解析∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2.①∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋(－x)－2.又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.②由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x)在[0,1)上单调递减，并满足f(2－x)＝f(x)，若方程f(x)＝－1在[0,1)上有实数根，求该方程在区间[－1,3]上的所有实根之和．答案 2解析由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为函数f(x)是奇函数，则f(x)在(－1,1)上单调递减，根据函数f(x)的单调性，方程f(x)＝－1在(－1,1)上有唯一的实根，根据函数f(x)的对称性，方程f(x)＝－1在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线x＝1对称，故两根之和等于2.16．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．答案(1)a＝2，b＝1(2)k<－1 3解析(Ⅰ)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0⇒b＝1∴f(x)＝1－2x a＋2x＋1又由f(1)＝－f (－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1⇒a＝2.(Ⅱ)解法一由(Ⅰ)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－1 3拓展练习·自助餐1．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.答案02．设函数f(x)＝x(e x＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．答案－1解析令g(x)＝x，h(x)＝e x＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝e x＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.3．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是()A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5答案 B解析先考查函数f(x)在[－7，－3]上的最值，由已知，当3≤x≤7时，f(x)≥5，则当－7≤x≤－3时，f(－x)＝－f(x)≤－5即f(x)在[－7，－3]上最大值为－5.再考查函数f(x)在[－7，－3]上的单调性，设－7≤x1<x2≤－3.则3≤－x2<－x1≤7，由已知－f(x2)＝f(－x2)<f(－x1)＝－f(x1)，从而f(x2)>f(x1)，即f(x)在[－7，－3]上是单调递增的．4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且{x|f(x)＞0}＝{x|1＜x＜3}，则f(π)＋f(－2)与0的大小关系是()A．f(π)＋f(－2)＞0 B．f(π)＋f(－2)＝0C．f(π)＋f(－2)＜0 D．不确定答案 C解析 由已知得f (π)<0，f (－2)＝－f (2)＜0，因此f (π)＋f (－2)＜0.5．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为________．答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为奇函数，则不等式化为xf (x )<0法一：(图象法)由，可得－1<x <0或0<x <1时，x ·f (x )<0.法二：(特值法)取f (x )＝x －1x ，则x 2－1<0且x ≠0，解得－1<x <1，且x ≠0. 6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (－1<x ≤0)－1 (0<x ≤1)，则f (3)＝________.解析 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x )＝－f (x ＋1)＝－[－f (x ＋2)]＝f (x ＋2)，则f (x )的周期为2，f (3)＝f (1)＝－1.教师备选题1．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)证明函数f (x )为周期函数；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．解析(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (2－x )＝f (2＋x )f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (4－x )f (x )＝f (14－x )⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)∴f (x )为周期函数，T ＝10.(2)∵f (3)＝f (1)＝0, f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0 故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2005]上有402个解， 在[－2005,0]上有400个解，所以函数y ＝f (x )在[－2005,2005]上有802个解．。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：9.2(含答案)
第九章9.2 第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A.12 B.32C.22 D.322答案 D解析由d＝|1＋1＋1|2＝3222．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为() A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0答案 A解析因为直线x－2y＋3＝0的斜率是12，故所求直线的方程为y－3＝12(x＋1)，即x－2y＋7＝0.3．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)答案 C解析如图，作出直线x＋y－1＝0的图象，它与x轴、y轴交点分别为(1,0)、(0,1)，直线y＝kx－1过点(0，－1)，因此，直线y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点在第一象限时，k>1，选择C.4．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0的图象是两条平行直线，则m的值是()A．m＝1或m＝－2 B．m＝1C．m＝－2 D．m的值不存在答案 A解析法一：据已知若m＝0，易知两直线不平行，若m≠0，则有1m＝1＋m2≠m－26⇒m＝1或m＝－2.法二：由1×2＝(1＋m)m，得：m＝－2或m＝1，当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋6＝0，平行当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋6＝0，平行5．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 答案 C解析 由已知条件可知线段AB 的中点(1＋m2，0)在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3.6．将一张坐标纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)重合，则与点(－4,1)重合的点是( )A ．(4，－1)B ．(－4,3)C ．(－4，－3)D ．(8,3) 答案 B解析 以点(2,0)与(2,4)为端点的线段的垂直平分线为y ＝2，即为对称轴，故与点(－4,1)重合的点是(－4,3)．7．已知直线l 1：y ＝x ·sin α和直线l 2：y ＝2x ＋c ，则直线l 1与l 2( ) A ．通过平移可以重合 B ．不可能垂直C ．可能与x 轴围成等腰直角三角形D ．通过绕l 1上某一点旋转可以重合 答案 D解析 ∵k 1≠k 2，∴l 1与l 2相交．选D.8．若直线x a ＋yb ＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ． a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b 2≥1 答案 D解析 直线x a ＋yb ＝1通过点M (cos α，sin α)，我们知道点M 在单位圆上，此问题可转化为直线x a ＋yb ＝1和圆x 2＋y 2＝1有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离公式有|－1|1a 2＋1b 2≤1⇒1a 2＋1b 2≥1，故选D.二、填空题9．点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于________． 答案 3 2解析 解法一：直线l ：y ＝k (x －2)的方程化为kx －y －2k ＝0，所以点P (－1,3)到该直线的距离为d ＝3|k ＋1|k 2＋1＝3k 2＋2k ＋1k 2＋1＝31＋2k k 2＋1，由于2kk 2＋1≤1，所以d ≤3 2.即距离的最大值等于3 2.解法二：直线l ： y ＝k (x －2)过定点Q (2,0)，所以所求距离的最大值即为|PQ |＝3 2.10．直线(2λ＋1)x ＋(λ－1)y ＋1＝0(λ∈R )，恒过定点________．答案 (－13，23)解析 整理为x －y ＋1＋λ(2x ＋y )＝0令⎩⎨⎧x －y ＋1＝02x ＋y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13y ＝23∴恒过点(－13，23)11．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________.答案 2解析 直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝4，所以a ＋b ＝2.12．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，即ab 的最小值为16.三、解答题13．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．答案 (1)⎩⎨⎧ a ＝2b ＝2 (2)⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23b ＝2解析 (1)∵l 1⊥l 2，∴a ·(a －1)－b ＝0，① 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0② 由①，②解得：a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a ③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2，∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数．即4b ＝b ，④由③④联立解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.14．直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程．解析 若l 1，l 2的斜率都存在时，设直线的斜率为k ， 由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，由点斜式可得l 2的方程y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0. 在直线l 1上取点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|1＋5k |1＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125. ∴l 1：12x －5y ＋5＝0， l 2：12x －5y －60＝0. 若l 1、l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5.同样满足条件． 则满足条件的直线方程有以下两组： ⎩⎨⎧ l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或⎩⎨⎧l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.15．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． 解析 (1)y ′＝2x ＋1.直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点的坐标为(16，－52)． l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)． 所以所求三角形的面积为S ＝12×253⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.拓展练习·自助餐1．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程为( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案 B解析 在l 1上取两点(0，－2)，(1,0)，则易求它们关于直线l 的对称点为(－1，－1)，(1,0)，∴l 2的方程为y ＋10＋1＝x ＋11＋1，即x －2y －1＝0.2．若实数x ，y 满足x ＋2y －3＝0，则x 2＋y 2的最小值是________．答案 95解析 可用消元法：x ＝3－2y 代入x 2＋y 2化为一元函数求最值；或用解析法：将x 2＋y 2视为直线x ＋2y －3＝0上的点P (x ，y )与原点O (0,0)距离的平方．其最小值为原点到直线x ＋2y －3＝0距离的平方，故(x 2＋y 2)min ＝(|－3|5)2＝95.3．三角形的两条高所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，且A (1,2)是其一个顶点．求BC 边所在直线的方程．解析 可以判断A 不在两条高所在的直线上，不妨设AB 、AC 边上的高所在的直线方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，则AB 、AC 所在的直线方程可求得：y －2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，y －x －1＝0.由⎩⎨⎧ 3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0，得B (7，－7)， 由⎩⎨⎧y －x －1＝02x －3y ＋1＝0，得C (－2，－1)． 所以直线BC 的方程为2x ＋3y ＋7＝0.教师备选题1．试求三条直线ax ＋y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0构成三角形的条件． 思路分析 三条线构成三角形，则任意两直线相交且不能交于一点． 解析 解法一：任意两直线相交， 得a 1≠1a ，a 1≠11，∴a ≠±1且三直线不共点． 由⎩⎨⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0得交点(－1－a,1)， 此交点不在直线ax ＋y ＋1＝0上， 即a (－1－a )＋1＋1≠0，∴a 2＋a －2≠0，∴a ≠－2且a ≠1. 综上所述，a ≠－2且a ≠±1.解法二：三条直线能构成三角形，∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点， 若l 1、l 2、l 3交于一点，则l 1x ＋y ＋a ＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0交点P (－a －1,1)在直线l 3：ax ＋y ＋1＝0上， ∴a (－a －1)＋1＋1＝0， ∴a ＝1或a ＝－2.若l 1∥l 2则有－1a ＝－1，a ＝1； 若l 1∥l 3则有－a ＝－1，a ＝1；若l 2∥l 3则有－1a ＝－a ，a ＝±1，∴l 1，l 2，l 3构成三角形时，a ≠±1且a ≠－2.2．(1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；(2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．解析甲(1)如图甲所示，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a ＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为(a 2，b ＋42)，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0， 即3a －b －6＝0.②解①②，得a ＝3， b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5， 即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．(2)如图乙所示，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为(35，245)．∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，AC′和l交点坐标为(117，267)，故Q点坐标为(117，267)．3．将一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1＋P2i所对应的点P与直线l2：x＋2y＝2的位置关系是() A．P在直线l2上B．P在直线l2的左下方C．P在直线l2的右上方D．无法确定答案 B解析易知当且仅当ab≠12时两条直线只有一个交点，而ab＝12的情况有三种：a＝1，b＝2(此时两直线重合)，a＝2，b＝4(此时两直线平行)，a＝3，b＝6(此时两直线平行)，而投掷两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交的概率P2＝1－336＝1112；两条直线平行的概率为P1＝236＝118，P1＋P2i所对应的点为P(118，1112)，易判断P(118，1112)在l2：x＋2y＝2的左下方，选B.名师指引本题融合了直线、线性规划、概率及复数等有关知识，在处理方法上可采用枚举法处理，注意不要忽视了直线重合这种情况，否则会误选．。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.4(含答案)
第四章 4.4 第4课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知x ∈(－π2、0)、cos x ＝45、则tan2x ＝( )A ．－247B ．－724C.724D.247答案 A解析 方法一 因为x ∈(－π2、0)、∴sin x <0、∴sin x ＝－35、∴sin2x ＝2sin x cos x＝－2425、cos2x ＝2cos 2x －1＝725、∴tan2x ＝sin2x cos2x ＝－247.方法二 由方法一知：sin x ＝－35、∴tan x ＝－34、∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－247. 2．已知450°<α<540°、则12＋1212＋12cos2α的值是( )A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2答案 A 解析 原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝|sin α2|. ∵450°<α<540°、∴225°<α2<270°.∴原式＝－sin α2.3．已知θ是第三象限的角、且sin 4θ＋cos 4θ＝59、那么sin2θ的值为( )A.223 B ．－223C.23 D ．－23答案 A解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1 ∴(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ＝1∴2sin 2θcos 2θ＝49、∴(sin2θ)2＝89∵2kπ＋π<θ<2kπ＋3π2、∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π∴sin2θ>0、∴sin2θ＝223.4．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )、f ′(x )是f (x )的导函数、则1＋sin 2x cos 2x －sin2x＝( ) A ．－195 B.195C.113 D ．－113答案 A解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x 、由f ′(x )＝2f (x )即cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )、得tan x＝3、所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x＝－195. 5．若cos2αsin (α－π4)＝－22、则sin α＋cos α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72答案 C解析 cos2αsin (α－π4)＝sin (π2－2α)sin (α－π4)＝2sin (π4－α)cos (π4－α)sin (α－π4)＝－2cos(π4－α)＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22.所以sin α＋cos α＝12.二、填空题6．已知sin x ＝5－12、则sin2(x －π4)＝________.答案 2－ 5解析 sin2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos2x＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1＝2－ 5.7．设α为第四象限的角、若sin3αsin α＝135、则tan2α＝__________.答案 －34解析 sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135. ∴2cos 2α＋cos2α＝135、2cos 2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45.∵2kπ－π2<α<2kπ、∴4kπ－π<2α<4kπ、又∵cos2α＝45>0、∴2α为第四象限的角。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.7(含答案)
第二章 ２．7 第7课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.2．下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图象重合的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 12xC ．y ＝4x2 D ．y ＝log 21x ＋1答案 C3．若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6) 答案 D解析 依题意，由f (x ＋4)＝f (4－x )知，f (x )的对称轴为x ＝4，所以f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，由于f (x )在(4，＋∞)上是减函数，所以f (3)＝f (5)>f (6)，选D.4．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )答案 C解析 由解析式可知，当x >b 时，y >0；当x ≤b 时，y ≤0，故选C.5．已知下图①的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案 C6．函数f (x )＝11＋|x |的图象是( )答案 C解析 本题通过函数图象考查函数的性质．f (x )＝11＋|x |＝.当x ≥0时，x 增大，11＋x减小，所以f (x )当x ≥0时为减函数；当x <0时，x 增大，11－x 增大，所以f (x )当x <0时为增函数．本题也可以根据f (－x )＝11＋|－x |＝11＋|x |＝f (x )得f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，选C. 7．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数f (|x |)的图象大致是( )答案 B8．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－1 B ．|a |≤1 C ．|a |<1 D ．a ≥1 答案 B9．f (x )定义域为R ，对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (4－x )且当x ∈[ 2，＋∞)时，f (x )为减函数，则( )A ．f (0)<f (1)<f (5)B ．f (1)<f (5)<f (0)C ．f (5)<f (0)<f (1)D ．f (5)<f (1)<f (0) 答案 C解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x ＋2)＝f (2－x )． ∴f (x )的图像关于直线x ＝2对称 又x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数 ∴x ∈(－∞，2]时，f (x )为增函数而f (5)＝f (－1)，∴f (5)<f (0)<f (1)，选C. 二、填空题10．若函数y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________． 答案 －1≤m <0 解析首先作出y ＝(12)|1－x |的图像(如右图所示)，欲使y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有交点，则－1≤m <0.11．若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．答案 1≤m < 2解析 曲线y ＝1－x 2表示x 2＋y 2＝1的上半圆(包括端点)，如图． 要使y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则直线只能在l 1与l 2之间变动，故此1≤m < 2.12．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝(12)x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝(12)x (x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |三、解答题13．作图： (1)y ＝a |x －1|，(2)y ＝log |(x －1)|a ，(3)y ＝|log a (x －1)|(a >1)． 答案解析 (1)的变换是：y ＝a x→y ＝a |x |→y ＝a |x －1|，而不是：y ＝a x →y ＝a x －1→y ＝a |x －1|，这需要理解好y ＝f (x )→y ＝f (|x |)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．14．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解析f(x)＝⎩⎨⎧(x －2)2－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋－(x －)2＋1，x ∈，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋ay ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0.得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：1.2(含答案)
第一章 1.2 第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0、则x、y互为相反数”的逆命题；②“若a＞b、则a2＞b2”的逆否命题；③“若x≤－3、则x2＋x－6＞0”的否命题；④“若a b是无理数、则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3答案 B2．“a>1”是“1a<1”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件答案 B3．“a＝－3”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[－3、＋∞)上为增函数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A4．与命题“若a∈M、则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M、则b∉M B．若b∉M、则a∈MC．若a∉M、则b∈M D．若b∈M、则a∉M答案 D解析命题的逆否命题．5．已知a、b是实数、则3a＜3b是log3a＜log3b的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由题知、3a＜3b⇔a＜b、log 3a＜log3b⇔0＜a＜b.故3a＜3b是log3a＜log3b 的必要不充分条件．故选B.6．若向量a＝(x,3)(x∈R)、则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析当x＝4时、a＝(4,3)、则|a|＝5；若|a|＝5、则x＝±4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．7．“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的()A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件答案 A解析 一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解 ⇔Δ＝1－4m ≥0⇔m ≤14.当m <14时、m ≤14成立、但m ≤14时、m <14不一定成立、故选A.8．设{a n }是等比数列、则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由题可知、若a 1<a 2<a 3、 即⎩⎨⎧ a 1<a 1q a 1q <a 1q 2、当a 1>0时、 解得q >1、此时数列{a n }是递增数列、当a 1<0时、解得0<q <1、此时数列{a n }是递增数列；反之、若数列{a n }是递增数列、则a 1<a 2<a 3成立、所以“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充分必要条件、故选C.二、填空题9．(1)命题“等腰三角形的两内角相等”的逆命题是“________________________”．(2)命题“两个奇数之和一定是偶数”的否命题是“________________________”．(3)命题“正方形的四个角相等”的逆否命题是“________________________”．答案 (1)若一个三角形的两个内角相等、则这个三角形是等腰三角形(2)若两个数不都是奇数、则它们的和不一定是偶数(3)四个角不全相等的四边形不是正方形10． a 、b 为非零向量、“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )(x b －a )为一次函数________条件．答案 必要不充分解析 f (x )＝x 2a ·b ＋x (b 2－a 2)－a ·b当a ⊥b 时、a ·b ＝0f (x )＝x (b 2－a 2)若|a |≠|b |为一次函数若|a |＝|b |为常数、∴充分性不成立．当f (x )为一次函数∴a ·b ＝0且b 2－a 2≠0∴a ⊥b 且|a |≠|b |∴必要性成立．11．命题A ∩B ＝A 是命题∁U B ⊆∁U A 的________条件．答案 充要12．命题“若m >0、则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中、真命题的个数是________．答案 2解析 原命题及其逆否命题为真命题．三、解答题13．写出命题“若x ≥2且y ≥3、则x ＋y ≥5”的逆命题、否命题、逆否命题、并判断其真假．答案 略解析 原命题：“若x ≥2且y ≥3、则x ＋y ≥5”、为真命题．逆命题：“若x ＋y ≥5、则x ≥2且y ≥3”、为假命题．否命题：“若x <2或y <3、则x ＋y <5”、其为假命题．逆否命题：“若x ＋y <5、则x <2或y <3”、其为真命题．14．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)、命题q ：|x 2－4|<1、若p 是q 的充分不必要条件、求实数a 的取值范围．答案 0<a ≤5－2解析 由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a 、q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5.又由题意知p 是q 的充分不必要条件．所以有⎩⎪⎨⎪⎧ －5≤2－a 2＋a ≤－3a >0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧ 3≤2－a 2＋a ≤5a >0 ②、由①得a 无解；由②解得0<a ≤5－2.15．已知f (x )是(－∞、＋∞)内的增函数、a 、b ∈R 、对命题“若a ＋b ≥0、则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”(1)写出其逆命题、判断其真假、并证明你的结论；(2)写出其逆否命题、判断其真假、并证明你的结论．答案 略分析 题干中已知函数的单调性、利用函数单调性大多是根据自变量取值的大小推导函数值的大小、当已知两个函数值的关系时、也可以推导自变量的取值的大小．多个函数值的大小关系、则不容易直接利用单调性、故可考虑利用四种命题的关系寻求原命题的等价命题．解 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞、＋∞)内的增函数、a 、b ∈R 、若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )、则a ＋b ≥0.(用反证法证明)假设a ＋b <0、则有a <－b 、b <－a .∵f (x )在(－∞、＋∞)上是增函数、∴f (a )<f (－b )、f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )、这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛看、故假设不成立．从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真．(2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞、＋∞)内的增函数、a 、b ∈R 、若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )、则a ＋b <0.原命题为真、证明如下：∵a ＋b ≥0、∴a ≥－b 、b ≥－a .又∵f (x )在(－∞、＋∞)内是增函数、∴f (a )≥f (－b )、f (b )≥f (－a )．∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题．∴其逆否命题也为真命题．拓展练习·自助餐1．(1)“x>y>0”是“1x<1y”的________条件．答案充分不必要解析1x<1y⇒xy·(y－x)<0、即x>y>0或y<x<0或x<0<y.(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案充分不必要解析题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件、显然是充分不必要条件．2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2kπ(k∈Z)、知2α＝π3＋4kπ(k∈Z)、则cos2α＝cos π3＝12成立、当cos2α＝12时、2α＝2kπ±π3、即α＝kπ±π6(k∈Z)、故选A.3．若a1、a2、a3均为单位向量、则a1＝(33、63)是a1＋a2＋a3＝(3、6)的________条件．答案必要不充分解析由题意可知、|a1|＝|a2|＝|a3|＝1、若a1＋a2＋a3＝(3、6)、则|a1＋a2＋a3|＝3＝|a1|＋|a2|＋|a3|、a1、a2、a3共线且方向相同、即a1＝a2＝a3＝(33、63)；若a1＝(33、63)、当a1、a2、a3不全相等时、a1＋a2＋a3≠(3、6)、故为必要不充分条件．4．△ABC中“cos A＝2sin B sin C”是“△ABC为钝角三角形”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析cos A＝－cos(B＋C)＝－cos B cos C＋sin B sin C＝2sin B sin C、∴cos(B－C)＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C ＞π2、故为钝角三角形、反之显然不成立、故选B.5 .设M 、N 是两个集合、则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析M ∪N ≠∅、不能保证M 、N 有公共元素、但M ∩N ≠∅、说明M 、N 中至少有一元素、∴M ∪N ≠∅.故选B.教师备选题1．对于数列{a n }、“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2、…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为a n ＋1＞|a n |⇒a n ＋1＞a n ⇒{a n }为递增数列、但{a n }为递增数列⇒a n ＋1＞a n 推不出a n ＋1＞|a n |、故“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件、选B.2．已知A ＝{x ||x －1|≥1、x ∈R }、B ＝{x |log 2x ＞1、x ∈R }、则x ∈A 是x ∈B 的________条件．答案 必要非充分条件解析 A ＝{x |x ≥2或x ≤0}、B ＝{x |x ＞2}、由x ∈A ⇒/ x ∈B 、但由x ∈B ⇒x ∈A .3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q (p ≠0、p ≠1)、则{a n }为等比数列的充要条件是________．答案 q ＝－14．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a 、b )∈{(x 、y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥03x ＋y －6≤0}； 命题乙：点(a 、b )∈A .如果甲是乙的充分条件、那么区域A 的面积的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 设⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≤0x ≥03x ＋y －6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意、甲是乙的充分条件、则B ⊆A 、所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝ 12×4×1＝2.故选B.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：11-3(含答案)
第十一章 11.3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1、某单位有职工750人、其中青年职工350人、中年职工250人、老年职工150人、为了了解该单位职工的健康情况、用分层抽样的方法从中抽取样本、若样本中的青年职工为7人、则样本容量为( )A 、7B 、15C 、25D 、35答案 B解析 设样本容量为n 、则依题意有350750×n ＝7、n ＝15、选B.2、某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品、产品的数量之比依次为3∶4∶7、现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本、样本中A 型号产品有15件、那么样本容量n 为( )A 、50B 、60C 、70D 、80答案 C解析 由分层抽样方法得33＋4＋7×n ＝15、解之得n ＝70、故选C. 3、某高中在校学生2000人、高一级与高二级人数相同并都比高三级多1人、为了响应“阳光体育运动”号召、学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动、每其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5、全校参与登山的人数占总人数的25、为了了解学生对本次活动的满意程度、从中抽取了一个200人的样本进行调查、则高二级参与跑步的学生中应抽取( )A 、36人B 、60人C 、24人D 、30人答案 A解析 ∵登山占总数的25、故跑步的占总数的35、又跑步中高二级占32＋3＋5＝310. ∴高二级跑步的占总人数的35×310＝950.由950＝x 200得x ＝36、故选A.4、问题：①某社区有500个家庭、其中高收入家庭125户、中等收入家庭280户、低收入家庭95户、为了了解社会购买力的某项指标、要从中抽出一个容量为100的样本；②从10名学生中抽出3个参加座谈会、方法一：Ⅰ简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法、问题与方法配对正确的是()A、①Ⅲ、②ⅠB、①Ⅰ、②ⅡC、①Ⅱ、②ⅢD、①Ⅲ、②Ⅱ答案 A解析①因为社会购买力与家庭收入有关、因此要采用分层抽样法；②从10名学生中抽取3名、样本和总体都比较少、适合采用简单随机抽样法、5、从2010名学生中选取50名学生参加全国数学联赛、若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人、剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取、则每人入选的概率()A、不全相等B、均不相等C、都相等、且为502010D、都相等、且为502000答案 C6、将参加夏令营的600名学生编号为：001,002、…、600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本、且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区、从001到300在第Ⅰ营区、从301到495在第Ⅱ营区、从496到600在第Ⅲ营区、三个营区被抽中的人数依次为()A、26,16,8B、25,17,8C、25,16,9D、24,17,9答案 B解析依题意及系统抽样的意义可知、将这600名学生按编号依次分成50组、每一组各有12名学生、第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)、令3＋12(k－1)≤300得k≤1034、因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495得1034<k≤42、因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知、选B.7、某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查、经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查、发现有20名同学上次被抽到过、估计这个学校高一年级的学生人数为()A、180B、400C、450D、2000答案 C解析90x＝20100、∴x＝450.故选C.8、某初级中学有学生270人、其中七年级108人、八、九年级各81人、现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查、考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案、使用简单随机抽样和分层抽样时、将学生按七、八、九年级依次统一编号为1、2、…、270；使用系统抽样时、将学生统一随机编号为1、2、…、270、并将整个编号依次分为10段、如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,190,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；关于上述样本的下列结论中、正确的是()A、②、③都不能为系统抽样B、②、④都不能为分层抽样C、①、④都可能为系统抽样D、①、③都可能为分层抽样答案 D解析对于系统抽样、应在1～27、28～54、55～81、82～108、109～135、136～162、163～189、190～216、217～243、244～270中各抽取1个号；对于分层抽样、应在1～108中抽取4个号、109～189中抽取3个号、190～270中抽取3个号、点评虽然三种抽样的方式、方法不同、但最终每个个体被抽取是等可能的、这正说明了三种抽样方法的科学性和可可行性、要根据不同的研究对象和不同的要求、采取不同的抽样方法、9、衡水中学为了提高学生的数学素养、开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程、供高二学生选修、已知高二年级共有学生600人、他们每人都参加且只参加一门课程的选修、为了了解学生对选修课的学习情况、现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈、据统计、参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为－40的等差数列、则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为()A、8B、10C、12D、16答案 C解析根据题意可得、参加《数学史选讲》的学生人数为240人、抽取比例是30600＝120、故应该抽取240×120＝12人、二、填空题10、将一个总数为A、B、C三层、其个体数之比为5∶3∶2。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-10(含答案)
第十章10.10 第十课时一、选择题1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴上方；(2)曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是()A．只有(1)(4)(5)(6)B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6) D．只有(1)(5)(6)答案 A2．下列函数是正态密度函数的是()A．f(x)＝12πσe(x－μ)22σ2，μ、σ(σ＞0)都是实数B．f(x)＝2π2πe－x22C．f(x)＝12 2πe－x－σ4D．f(x)＝－12πex22答案 B解析A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图象在x轴下方，所以选B.3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝() A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84答案 A解析利用正态分布图象的对称性，P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.1587C．0.1586 D．0.1585答案 B解析P(X>4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587.5．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，已知P(400＜ξ＜450)＝0.3，则P(550＜ξ＜600)等于() A．0.3B．0.6 C．0.7D．0.4答案 A6．设随机变量ξ～M(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝P，则P的值为() A．0 B．1C.12D．不确定与σ无关答案 C解析∵P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝P，∴C＝μ，且P＝1 2.二、填空题7．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，则P(a≤x＜4－a)＝________.答案0.36解析由正态分布图象的对称性可得：P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.8.随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________.答案0.7解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P(ξ<2)＝0.7.9．若随机变量ξ～N(0,1)，且ξ在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系为________．答案P1＝P2解析如图所示，由正态分布图象的对称性可得，两阴影部分面积相等，即在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率P1＝P2.10．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案100解析∵数学考试成绩ξ－N(100，σ2)，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝13；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)，又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝13，∴P(ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．11．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则η＝ξ－32服从参数为________的正态分布．答案 (μ－32，σ2)解析 ∵ξ～N (μ，σ2)，∴Eξ＝μ，Dξ＝σ2.而η＝ξ－32也服从正态分布，即Eη＝E (ξ－32)＝12Eξ－32＝μ－32Dη＝D (ξ－32)＝14Dξ＝σ24∴Dη＝σ2服从(μ－32，σ2)的正态分布． 三、解答题12．设X ～N (1,22)，试求(1)P (－1＜X ≤3)；(2)P (3＜X ≤5)；(3)P (X ≥5)． 解析 ∵X ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤－1)，∴P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359. (3)∵P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，∴P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)] ＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝12[1－0.954]＝0.023.13．如下图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．解析 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12 π，所以μ＝20.由12πσ＝12 π，解得σ＝ 2.于是正态分布密度曲线的解析式是φμ，σ(x)＝12πe－(x－20)24，x∈(－∞，＋∞)．均值和方差分别是20和2.14．灯泡厂生产的白炽灯寿命X(单位：h)，已知X～N(1000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000 h的概率为99.7%，问灯泡的平均寿命应控制在多少小时以上？解析因为灯泡寿命X～N(1000,302)故X在(1000－3×30,1000＋3×30)的概率为99.7%，即在(910,1090)内取值的概率为99.7%，故灯泡最低使用寿命应控制在910 h以上．15．某市有210名学生参加一次数学竞赛，随机调阅了60名学生的答卷，成(1)(2)若总体服从正态分布，求此正态曲线近似的密度函数．解析(1)平均成绩x＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，S2＝160[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，S＝1.22.即样本平均成绩为6分，标准差为1.22.(2)以x＝6，S＝1.22作为总体学生的数学平均成绩和标准差估计值，即μ＝6，σ＝1.22.正态曲线密度函数近似地满足y＝11.22 2πe－(x－6)22×1.5.拓展练习·自助餐1．若随机变量ξ的密度函数为f(x)＝12πe－x22，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为P1，P2，则P1，P2的关系为()A．P1>P2B．P1<P2C．P1＝P2D．不确定答案 C解析由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P1＝P2.2．正态总体N(0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为()A．0.46 B．0.9974 C．0.03 D．0.0026 答案 D解析P(－2<ξ≤2)＝P(0－3×23<ξ≤0＋3×23)＝P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为：1－0.9974＝0.0026.3．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－(x－μi)22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则()A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3答案 D解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.4．设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，求c的值．解析由ξ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.2(含答案)
第二章 ２．２ 第２课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先减后增D ．先增后减答案 C解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A. 3．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－3答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3.4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝－|x －1|C ．y ＝ln 2－x 2＋xD ．y ＝e x ＋e －x 答案 D5．函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)∴y ＝log a 5>0，∴a >1由复合函数单调性知单减区间须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3>0x <－1，解之得x <－3.6．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确的是( )A ．f (－5)>f (3)B ．f (－5)<f (3)C ．f (－3)>f (－5)D ．f (－3)<f (－5)答案 C解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.7．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是( )A ．(3,8)B ．(－7，－2)C ．(－2，－3)D ．(0,5)答案 B解析 令－2<x ＋5<3，得：－7<x <－2. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，∴f (2－a 2)＞f (a )⇒2－a 2＞a ⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1，故选C.9．给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 B解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.二、填空题10．给出下列命题①y ＝1x 在定义域内为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．11．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________．答案 [1，＋∞)解析 函数图象如图12．函数f (x )＝－x 2＋|x |的递减区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0与⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 数形结合13．在给出的下列4个条件中， ①⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈(－∞，0) ②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈(0，＋∞) ③⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ∈(－∞，0) ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1x ∈(0，＋∞) 能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________．(把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．14．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.三、解答题15．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．答案 (1)略 (2)0<a ≤1解析 (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.16．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.答案 (1)略 (2){m |－1<m <43}解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0.∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数．(2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)，∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，解得－1<m <43，故m 的解集为{m |－1<m <43}．拓展练习·自助餐1．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)答案 A解析由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数答案 A解析 当x <0时，－x >0，－(2x ＋1x )＝(－2x )＋(－1x )≥2(－2x )·(－1x )＝22，即2x ＋1x ≤－22，2x ＋1x －1≤－22－1，即f (x )≤－22－1，当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，此时函数f (x )有最大值，选A.3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得：|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C.4．函数f (x )＝x 2x －1(x ∈R 且x ≠1)的单调增区间是______． 答案 (－∞，0)和(2，＋∞)解析 将原函数y ＝x 2x －1变形为y ＝(x －1)＋1x －1＋2 显然x －1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x 在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋1，x ≥0(a 2－1)e ax ，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－ 2 ]∪(1， 2 ]解析 因为f (x )为单调函数，若a >0，则当x ≥0时，f (x )＝ax 2＋1是单调递增函数，故当x <0时，f (x )也是单调递增函数，又a >0时，e ax 为单调递增函数，所以a 2－1>0，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调，故还应满足(a 2－1)·e 0≤a ×02＋1，即需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0a 2－1>0⇒1<a ≤2a 2－1≤1同理，当a <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <0a 2－1>0⇒a ≤－ 2.a 2－1≥1 综上得1<a ≤2或a ≤－ 2.6．已知函数f (x )自变量取值区间A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．(1)求函数f (x )＝x 2形如[n ，＋∞)(n ∈R )的保值区间；(2)g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，求m 的取值范围．解析 (1)若n <0，则n ＝f (0)＝0，矛盾．若n ≥0，则n ＝f (n )＝n 2，解得n ＝0或1，所以f (x )的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．(2)因为g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，所以2＋m >0，即m >－2，令g ′(x )＝1－1x ＋m>0，得x >1－m ， 所以g (x )在(1－m ，＋∞)上为增函数，同理可得g (x )在(－m,1－m )上为减函数．若2≤1－m即m≤－1时，则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．若m>－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．所以满足条件的m值为－1.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-7(含答案)
第十章 10.7 第七课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝1)等于( )A ．0 B.12C.13D.23答案 D解析 设失败率为p ，则成功率为2p ，分布列为由p ＋2p ＝1，得p ＝13，∴2p ＝23.2．设随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝i )＝a (23)i ，i ＝1,2,3，则a 的值是( )A.1738B.2738C.1719D.2719答案 B解析 1＝p (ξ＝1)＋p (ξ＝2)＋p (ξ＝3) ＝a [23＋(23)2＋(23)3] 解得a ＝2738.3．已知随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝12k (k ＝1,2，…)．则P (2<ξ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516答案 A解析 P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.二、填空题4．设随机变量X 的概率分布为则P ＝(|X －3|＝1)＝答案5 12解析13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝512.5．随机变量则①x＝答案①0②0.45③0.456．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的分布列为________．解析ξ可能取的值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C23C24C24C26＝15，P(ξ＝1)＝C13C24＋C23C12C14C24C26＝715，又P(ξ＝3)＝C13C24C26＝130，∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－15－715－130＝310.∴ξ的分布列为7.盒中装有82个来用，用ξ的分布列.答案解析“ξ＝2”所以在取球时已经将原来2个旧球全部取出，∴P(ξ＝2)＝C22C28＝128.“ξ＝3”表明原来2个旧球只取1个，∴P(ξ＝3)＝C16C12C28＝37.“ξ＝4”表明原来2个旧球1个不取．∴P(ξ＝4)＝C26C28＝1528.三、解答题8．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．解析本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解．设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为P(ξ＝0)＝C02C313C315＝2235，P(ξ＝1)＝C12C213C315＝1235，P(ξ＝2)＝C22C113C315＝135.所以ξ的分布列为9.某地有A、B、C、D其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接．．受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X 的分布列(不要求写出计算过程)．解析随机变量X10.有5元、30元、40元、50元．从中任取3支，若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求ξ的分布列．解析ξ的可能取值为30,40,50.P(ξ＝30)＝1C35＝110，P(ξ＝40)＝C23C35＝310，P(ξ＝50)＝C24C35＝35，分布列为11.从一批含有10一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列：(Ⅰ)每次取出的产品都不放回此批产品中；(Ⅱ)每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；(Ⅲ)每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中．解析(Ⅰ)随机变量X的取值为1,2,3,4，且有P(X＝1)＝1013，P(X＝2)＝313×1012＝526，P(X＝3)＝313×212×1011＝5143，P(X＝4)＝313×212×111×1010＝1286，∴X的分布列为(Ⅱ)Y 的取值为且P (Y ＝1)＝1013，P (Y ＝2)＝313×1013，P (Y ＝3)＝313×313×1013，……，P (Y ＝n )＝(313)n －1×1013，(n ＝1,2,3……)(Ⅲ)Z 的取值为1,2,3,4且P (Z ＝1)＝1013，P (Z ＝2)＝313×1113＝33132P (Z ＝3)＝313×213×1213＝72133，P (Z ＝4)＝313×213×113×1313＝6133，∴Z 的分布列为12.50名一线教师参加，(1)从这(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解析 (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C 250＝1225.选出2人使用版本相同的方法数为C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350.故2人使用版本相同的概率为：P ＝3501225＝27.(2)∵P (ξ＝0)＝C 215C 235＝317， P (ξ＝1)＝C 120C 115C 235＝60119，P (ξ＝2)＝C 220C 235＝38119， ∴ξ的分布列为13.亚洲联合馆(一)A 片区与C 片区：其中亚洲联合馆(一)包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆等6个展馆；欧洲联合馆(一)包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆等4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆(一)与欧洲联合馆(一)中的10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率；(2)记X为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆(一)的展馆的个数，写出X的分布列并求X的数学期望．解析(1)旅游团从亚洲联合馆一与欧游联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的总结果数为C410＝210，记事件A为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必须再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是C28＝28，所以P(A)＝28210＝215.(2)根据题意可知X可能的取值为0,1,2,3,4.X＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P(X＝0)＝1C410＝1210，X＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P(X＝1)＝C34C16C410＝24210，X＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P(X＝2)＝C24·C26C410＝90210，X＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P(X＝3)＝C14·C36C410＝80210，X＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P(X＝4)＝C46C410＝15210.所以XX的数学期望为EX＝0×1210＋1×24210＋2×90210＋3×80210＋4×15210＝252105. 拓展练习·自助餐1．某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．解析(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2，－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X(2)设生产的44－n件．由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥14 5，又n∈N，得n＝3，或n＝4.所以P＝C34×0.83×0.2＋C44×0.84＝0.8192.故所求概率为0.8192.2．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列．(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解析(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C k3C3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝C k3C3－k7C310，k＝0,1,2,3.所以随机变量X(2)设“取出的3”为事件A.“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝C13C23C310＝340，P(A2)＝P(X＝2)＝740，P(A3)＝P(X＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝340＋740＋1120＝31120.3．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行．求抽取次数ξ的分布列和数学期望．解析(1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，所以P(A)＝C23C26＝15.(2)ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝C13C16＝12，P(ξ＝2)＝C13C16·C13C15＝310，P(ξ＝3)＝C13C16·C12C15·C13C14＝320，P (ξ＝4)＝C 13C 16·C 12C 15·C 11C 14·C 13C 13＝120； 故ξ的分布列为Eξ＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.答：ξ的数学期望为74.4．某地区试行高考改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔合理，且每次测试通过与否互相独立．(1)求该生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束高考，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．解析 (1)记“该生考上大学”为事件A ，其对立事件为A －，则P (A －)＝C 15×(13)×(23)4＋(23)5＝112243，∴P (A )＝1－112243＝131243.(2)参加测试的次数X 的可能取值为2,3,4,5，P (X ＝2)＝(13)2＝19， P (X ＝3)＝C 12×13×23×13＝427，P (X ＝4)＝C 13×13×(23)2×13＝427，P (X ＝5)＝C 14×13×(23)3＋(23)4＝1627.故X 的分布列为：EX ＝2×19＋3×427＋4×427＋5×1627＝389.即该生考上大学的概率为131243，所求数学期望是389.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-1(含答案)
第十章10.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．5B．4C．6 D．8答案 D解析分类考虑，当公比为2时，等比数列可为：1,2,4；2,4,8，当公比为3时，可为：1,3,9，当公比为32时，可为4,6,9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有4×2＝8个．2．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．6种B．9种C．10种D．12种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．3．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有()A．9种B．16种C．20种D．28种答案 D解析当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数，当a为其他数时，b都可以取3个数．故共有28种情形．4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为() A．42 B．30C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．5．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P所有的不同映射共有()A．32个B．27个C．81个D．64个答案 D解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.6．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，先从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有()A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙B车床，丙操作A车床这1种选派方法．∴共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．7．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种答案 A解析分两类，A类选修课1门，B类选修课2门，或者A类选修课2门，B 类选修课1门，因此，共有C23·C14＋C13·C24＝30种选法，故选A.二、填空题8．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．9．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的二件物品，则他抓的结果有________种．答案10解析设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)(b2，c)，共10种．10．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有________个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数有9×9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．11．有一名同学在填报高考志愿时，某批次的志愿需从A、B、C三所大学中选择两所大学作为第一志愿和第二志愿，剩余的一所大学和其他三所大学中再选择三所作为平行志愿，则该同学在这个批次填报志愿的方式有________．答案24种解析第一志愿和第二志愿的填报方式有A23种，平行志愿的填报方式有C34种，所以该生在这个批次填报志愿的方式有A23×C34＝24种．12.如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________．答案180种解析按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)13．春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况．答案45三、解答题14．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．15．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．①若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？②若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解析①若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．②若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．16．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘．根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒．则不同的选购方式共有多少种？答案7解析可设购买60元的单片软件和70元的盒装磁盘分别为x片、y盒，依照所用资金不超过500元，来建立数学模型，从而解决问题．设购买单片软件x片，盒装磁盘y盒，则依题意有60x＋70y≤500，(x，y∈N*，有x≥3，y≥2)按购买x片分类；x＝3，则y＝2,3,4，共3种方法；x＝4，则y＝2,3，共2种方法；x＝5，则y＝2，共1种方法；x＝6，则y＝2，共1种方法．依分类计数原理不同的选购方式有N＝3＋2＋1＋1＝7(种)．答：不同的选购方式有7种．探究本题主要考查分类计数原理的灵活运用，在解题中要特别注意知识的联想和应用．拓展练习·自助餐1．已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有()A．30种B．10种C．16种D．24种(提示：按有几个开关闭合分类)答案 C解析5个开关闭合有1种接通方式；4个开关闭合有5种接通方式；3个开关闭合有8种接通方式；2个开关闭合有2种接通方式，故共有1＋5＋8＋2＝16(种)．2．已知互不相同的集合A、B满足A∪B＝{a，b}，则符合条件的A，B的组数共有________种．答案9解析当A＝Ø时，集合B＝{a，b}；当A只1个元素时，B可以有2种情况，此时有2×2＝4种情况；当A＝{a，b}时，集合B＝Ø，{a，}，{b}或{a，b}，此时有4种情况，综上可知，符合条件的A、B共有1＋4＋4＝9种．3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．答案14个解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)．则共有14个点．4．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值．答案63解析对于每一张人民币来说，都有两种选择，用或不用，而都不用则形不成币值，由分步计数原理．可得N＝2×2×2×2×2×2－1＝26－1＝63(种)5．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1205秒B．1200秒C ．1195秒D ．1190秒答案 C解析 共有A 55＝120个闪烁，119个间隔，每个闪烁需用时5秒，每个间隔需用时5秒，故共需要至少120×(5＋5)－5＝1195秒．教师备选题1．有这样一种数字游戏：在3×3的表格中，要求要每个格子中都填上1,2,3三个数字中的某一个数字，并且每一行和每一列都不能出现重复的数字．若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1(如图①)，则此游戏有________种不同的填法；若游戏开始时表格是空白的(如图②)，则此游戏共有________种不同的填法．① ②答案 4 12解析 对于图①，第1行有2种填法，其余空格有2种填法，故共有4种填法．对于图②，第1行有6种填法，其余空格有2种填法，故共有6×2＝12(种)填法．2．设直线方程为Ax ＋By ＝0，从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数为( )A ．20B ．19C ．18D ．16答案 C解析 确定直线只需依次确定系数A ，B 即可．先确定A ，有5种取法，再确定B 有4种取法，由分步乘法计数原理得5×4＝20种，但是x ＋2y ＝0与2x ＋4y ＝0,2x ＋y ＝0与4x ＋2y ＝0表示相同的直线，所以不同的直线条数为20－2＝18(条)．3．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 型(每次旋转90°仍为L 形图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案的个数是( )A ．16B ．32C ．48D ．64答案C解析 每四个小正方形图案，都可画出四个不同的L 形图案，该图中共有12个这样的正方形，故可画出不同位置L 形图案的个数为4×12＝48个．4．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的系数，如果抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？解析 由抛物线过原点知c ＝0，由(－b 2a ，4ac －b 24a)在第一象限得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a >0－b 24a >0，⇒⎩⎨⎧ ab <0，a <0，∴a <0，b >0，c ＝0.由分步乘法计数原理．得N ＝3×3×1＝9.即符合条件的抛物线有9条．。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.1(含答案)
第二章 2.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y 1 －1B.x 奇数 0 偶数 y 1 0 －1C.x 有理数 无理数 y 1 －1D.x 自然数 整数 有理数 y 1 0 －1答案 C解析 A 中0既是非负数又是非正数；B 中0又是偶数；D 中自然数也是整数，也是有理数．2．函数y ＝11－1x的定义域是( ) A ．{x |x ∈R 且x ≠0} B ．{x |x ∈R 且x ≠1}C ．{x |x ∈R 且x ≠0且x ≠1}D ．{x |x ∈R 且x ≠0或x ≠1} 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠01－1x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ≠1，故选C 3．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝2x ，④y ＝log 2|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案 D解析 对于①、②，M 中的2,4两元素在N 中找不到象与之对应，对于③，M 中的－1,2,4在N 中没有象与之对应．故选D.4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 B解析 要使g (x )有意义，则⎩⎨⎧0≤2x ≤2x －1≠0，解得0≤x <1，故定义域为[0,1)，选B.5．定义x ⊙y ＝3x －y ，则a ⊙(a ⊙a )等于( ) A ．－a B ．3a C ．a D ．－3a 答案 C解析 由题意知：a ⊙a ＝3a －a ，则a ⊙(a ⊙a )＝3a －(a ⊙a )＝3a －(3a －a )＝a .选C.6．设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝12，且f (2010)＝2，则f (0)等于( )A ．12B ．6C ．3D ．2 答案 B解析 ∵f (x ＋2)＝12f (x )，∴f (x ＋4)＝12f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )的周期为4，f (2010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.又f (2)＝12f (0)，∴f (0)＝122＝6.7．图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2) B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2) C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2) D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2) 答案 B解析 当x ∈[0,1]时，y ＝32x ＝32－32(1－x )＝32－32|x －1|；当x ∈[1,2]时，y ＝32－01－2(x －2)＝－32x ＋3＝32－32(x －1)＝32－32|x －1|.因此，图中所示的图象所表示的函数的解析式为y ＝32－32|x －1|.8．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )答案 A 解析 f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (1≤2x )2x(1>2x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)2x (x <0)，结合图象，选A .9已知蟑螂活动在如图所示的平行四边形OABC 内，现有一种利用声波消灭蟑螂的机器，工作时，所发出的圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播，若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设OD ＝x (0≤x ≤a )，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 本题主要考查应用函数知识解决实际问题的能力．由图象知，函数先增得快，后增得慢，故选D.二、填空题10．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________.答案 2解析 由图及题中已知可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －2)，0≤x ≤2x －2，2<x ≤6，f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2.11．下图中建立了集合P 中元素与集合M 中元素的对应f .其中为映射的对应是________．答案 (2)(5)解析 (1)中：P 中元素－3在M 中没有象．(3)中，P 中元素2在M 中有两个不同的元素与之对应．(4)中，P 中元素1在M 中有两个不同的元素与之对应．12．(07·北京)已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 答案 1,213．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，(x ≤2000)x －100，(x >2000)，则f [f (2010)]＝________.答案 －1解析 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，(x ≤2000)x －100，(x >2000)， 得f (2010)＝2010－100＝1910，f (1910)＝2cos(π3×1910)＝2cos(636π＋2π3)＝2cos 2π3＝－1，故f [f (2010)]＝－1.三、解答题14．一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以S cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y (cm)与注入时间t (s)的函数关系式及定义域．15．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值． 答案(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋2)2，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)11,9 (3)2或－14 解析(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去)． 若x <1，则x 2＋2＝16， 解得x ＝14(舍去)或x ＝ －14.综上，可得x ＝2或x ＝－14.16．函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式．答案 (1)－2 (2)f (x )＝x 2＋x －2 解析 用赋值法(1)由已知f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)·x . 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2. 又∵f (1)＝0，∴f (0)＝－2.(2)令y ＝0，得f (x )－f (0)＝(x ＋1)x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.拓展练习·自助餐1．下图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x＝0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D 图可以表示函数y＝f(x)，选D.2．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为___________________．答案 1解析[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.3．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )答案 C解析 函数在[0，π]上的解析式为 d ＝12＋12－2×1×1×cos l ＝2－2cos l ＝4sin 2l 2＝2sin l 2.在[π，2π]上的解析式为d ＝2－2cos (2π－l )＝2sin l2，故函数的解析式为d ＝2sin l2，l ∈[0,2π]．探究 这类题目也是近年来的一个小热点．解决的基本方法有二：一是通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；二是求出具体的函数解析式．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤0，x ，x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 当x 0≤0时，由－x 0－1>1得x 0<－2，∴x 0<－2；当x 0>0时，由x 0>1，∴x 0>1，∴x 0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．5．国家以前规定个人稿费纳税的办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税．(1)根据上述规定建立某人所得稿费x (元)与纳税额y (元)之间的函数关系式；(2)某人出了一本书，共纳税660元，则这个人的稿费是多少元？解析 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (0≤x ≤800)，0.14(x －800) (800<x ≤4000)0.11x (x >4000).(2)令0.14(x －800)＝660，得x ＝551427≈5514.29∉(800,4000]． 令0.11x ＝660，得x ＝6000∈(4000，＋∞)． 故稿费是6000元．探究 本类题是分段函数的应用中最常见的问题，写解析式时按规定的税率表达即可，应注意超过4000元的要按全部稿费的11%纳税，第(2)问则利用了方程的方法来求解．教师备选题1．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1] 答案 C解析 由⎩⎨⎧－x 2－3x ＋4＞0x ＋1＞0得－1＜x ＜1，即该函数的定义域是(－1,1)，选C.2．测量大气温度T 时，发现在高空11千米以内，离地面距离越远，温度T 越低，大约每升高1千米降温6℃，在11千米以外的上空，其温度几乎不变．如果地面温度为19℃，则T 与h 之间的函数关系是________．答案 T ＝⎩⎨⎧19－6h ，0≤h ≤11，－47，h >113．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．答案 (－∞，1]解析 由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x ， x ≤1，2－x ，x >1.画函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≤0)4sin x (0<x ≤π)，则集合M ＝{x |f (f (x ))＝0}中元素的个数是________．答案 5解析 结合函数表达式知若f (f (x ))＝0得f (x )＝0或f (x )＝π.若f (x )＝0，则x ＝0或x ＝π；若f (x )＝π，则x 2＝π(x ≤0)⇒x ＝－π或4sin x ＝π(0<x ≤π)⇒有2个根．故集合M 中有5个元素．5．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.答案 12解析 因为f (1)＝14，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝f (1)＋f (1)，所以f (0)＝12.令y ＝1，得4f (x )f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)，所以f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )．所以f (x ＋2)＝－f (x －1)，即f (x ＋3)＝－f (x )．所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )周期为6，故f (2010)＝f (0)＝12.6．为了预防甲型H1N1型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，116t －0.1，t >0.1 (2)0.6 解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1) (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-8(含答案)
第十章 10.8 第八课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，13)，即P (ξ＝2)等于( )A.316B.1243C.13243D.80243答案 D解析 已知ξ～B (6，13)，P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k ， 当ξ＝2，n ＝6，p ＝13时，有P (ξ＝2)＝C 26(13)2(1－13)6－2＝C 26(13)2(23)4＝80243.2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012(38)10·(58)2B ．C 911(38)9(58)2·38C ．C 911(58)9·(38)2D ．C 911(38)9·(58)2答案 B解析 P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·(38)9(58)2×38. 3．在初三一个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数ξ～B (5，14)，则p (k ；14)取最大值的k 值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 C k 5(34)5－k (14)k ≥C k －15(34)5－(k －1)(14)k －1C k 5(34)5－k (14)k ≥C k ＋15(34)5－(k ＋1)(14)k ＋1 ∴解得12≤k ≤32 ∴k ＝1，故选B4．若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于( )A ．0.665B ．0.00856C ．0.91854D ．0.99144答案 D5．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是()A．(99100)6B．0.01C.C16100(1－1100)5D．C26(1100)2(1－1100)4答案 C解析P＝C16·1%·(1－1 100)5.6．如果ξ～B(15，14)，则使p(ξ＝k)取最大值的k值为()A．3 B．4 C．5 D．3或4 答案 D解析采取特殊值法．∵P(ξ＝3)＝C315(14)3(34)12，P(ξ＝4)＝C415(14)4(34)11，P(ξ＝5)＝C515(14)5(34)10，从而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)＞(ξ＝5)．7．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为()A．(1－p)n B．1－p nC．p n D．1－(1－p)n答案 D解析显然n位同学参加某项选拔测试可看作n次独立重复试验，其中没有一位同学能通过测试的概率为(1－p)n，故至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.二、填空题8．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现在一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________．答案0.5解析设A＝“能活到20岁”，B＝“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故A∩B＝B，于是P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝P(B)P(A)＝0.40.8＝0.5，所以这个动物能活到25岁的概率是0.5.9．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.答案10 243解析考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B (5，13)， 即有P (ξ＝k )＝C k 5(13)k ×(23)5－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.∴P (ξ＝4)＝C 45(13)4×(23)1＝10243.10．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．答案 35解析 设该队员每次罚球的命中率为p (其中0<p <1)，则依题意有1－p 2＝1625，p 2＝925.又0<p <1，因此有p ＝35.三、解答题11．2011年初，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解析 (1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝34，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为：P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝34×34×14＝964.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故P (B )＝C 34×(34)3×14＋C 44×(34)4＝189256.12．在一次考试中出了六道是非题，正确的记“”，不正确的记“”，若某考生完全记上六个符号且答对每道题的概率均为12，试求：(1)全部正确的概率；(2)正确解答不少于4道的概率；(3)至少正确解答一半的概率．解析 (1)P 1＝P 6(6)＝C 66·(12)6＝164； (2)P 2＝P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 46·(12)4(1－12)2＋C 56·(12)5(1－12)1＋C 66(12)6(1－12)0＝1132； (3)P 3＝P 6(3)＋P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 36·(12)3·(12)3＋C 46·(12)4·(12)2＋C 56·(12)5·(12)＋C 66(12)6＝2132. 13．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解析 (1)设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”为事件A ，则A ＝{(b ，c )|b 2－4c ≥0，b 、c ＝1， (6)Ω中的基本事件总数为：6×6＝36个．A 中的基本事件总数为：6＋6＋4＋2＋1＝19个故所求概率为：P (A )＝1936(2)由题意，ξ可能取值为0,1,2，则：P (ξ＝0)＝1736，P (ξ＝1)＝236＝118，P (ξ＝2)＝1736.∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望Eξ＝0×1736＋1×118＋2×1726＝1. (3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件B ，则P (B )＝1－2536＝1136.P (A ∩B )＝6＋136＝736，∴P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝7361136＝711. 14．某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解析 (1)设X 为射手在5次射击击中目标的次数，则X ～B (5，23)，在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 25×(23)2×(1－23)3＝40243.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中， 有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2＋(23)3＝881.(3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝(13)3＝127； P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×(13)2＋13×23×13＋(13)2×23＝29；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝(23)2×13＋13×(23)2＝827；P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝(23)3＝827.所以ξ拓展练习·自助餐1．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．答案 0.128解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.2．某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A 、B 、C 三种人工降拟试验的统计数据．(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只需小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量 ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.解析 (1)由人工降雨模拟的统计数据，用A 、B 、C 三种人工降雨方式对甲、乙、丙三地实施人工降雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示．设P (E )＝P (A 2)P (B 2)P (C 2)＝12×12×16＝124.(2)设甲、乙、丙三地都达到理想状态的概率分别为P 1，P 2，P 3，则P 1＝P (A 2)＝12，P 2＝P (B 1)＝14，P 3＝P (C 2)＋P (C 3)＝56.ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝(1－P 1)(1－P 2)(1－P 3)＝12×34×16＝116；P (ξ＝1)＝P 1(1－P 2)(1－P 3)＋(1－P 1)P 2(1－P 3)＋(1－P 1)(1－P 2)P 3＝12×34×16＋12×14×16＋12×34×56＝1948； P (ξ＝2)＝(1－P 1)P 2P 3＋P 1(1－P 2)P 3＋P 1P 2(1－P 3)＝12×14×56＋12×34×56＋12×14×16＝716；P (ξ＝3)＝P 1P 2P 3＝12×14×56＝548.所以随机变量ξ的分布列为所以，数学期望Eξ＝116×0＋1948×1＋716×2＋548×3＝1912.教师备选题1．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )A.34B.25C.110D.59答案 D2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160答案 B解析 三个人都不去北京旅游的概率为：(1－13)(1－14)(1－15)＝25所以至少有1人去北京旅游的概率：1－25＝35.3．金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时平均每小时实际开动12分钟，且开动与否相互独立．现因当地电力供应部门只提供50千瓦的电力，这10台机床能够正常工作的概率有多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多大？解析 (1)设10台机床中实际开动的台数为ξ，由于每台机床正在工作的概率为1260＝15，而且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况，故ξ～B (10，15)，从而P (ξ＝k )＝C k 10(15)k (45)10－k (k ＝0,1,2，……，10)． 50千瓦电力可同时供给5台机床开动，因而只要10台机床同时开动的台数不超过5台就可正常工作，这一事件的概率为P (ξ≤5)，P (ξ≤5)＝P 10(0)＋P 10(1)＋……＋P 10(5)＝C 010(45)10＋C 110(15)(45)9＋……＋C 510(15)5(45)5≈0.994. (2)由(1)知，在电力供应仅为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约只有8×60×0.006＝2.88(分钟)，这说明10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响．4．中国篮球职业联赛(CBA )某赛季总决赛在某两队之间进行，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)若组织者在此次决赛中获得的门票收入恰好为300万元，问此决赛共比赛了多少场？(2)求组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为多少？ 解析 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (10n ＋70)2＝300. 解得n ＝5或n ＝－12(舍去)．∴此次决赛共比赛了5场．(2)由S n ≥390得n 2＋7n ≥78，∴n ≥6.∴若要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场．①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2∶3，且第6场比赛为领先一场的球队获胜，其概率P (6)＝C 35×(12)5＝516；②若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3∶3，则概率为P (7)＝C 36×(12)6＝516；∴门票收入不少于390万元的概率为P ＝P (6)＋P (7)＝1016＝58＝0.625.5．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． 解析 (1)记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用．则D ＝A ＋B ·C ，P (A )＝0.5×0.5＝0.25，P (B )＝2×0.5×0.5＝0.5，P (C )＝0.3.P (D )＝P (A ＋B ·C )＝P (A )＋P (B ·C )＝P (A )＋P (B )P (C )＝0. 25＋0.5×0.3＝0.40.(2)X ～B (4,0.4)，其分布列为：P (X ＝0)＝(1－0.4)4＝0.1296，P (X ＝1)＝C 14×0.4×(1－0.4)3＝0.3456，P (X ＝2)＝C 24×0.42×(1－0.4)2＝0.3456，P (X ＝3)＝C 34×0.43×(1－0.4)＝0.1536，P (X ＝4)＝0.44＝0.0256.期望EX ＝4×0.4＝1.6.6．一个口袋中装有n 个红球(n ≥5且n ∈N *)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．(1)试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；(2)若n ＝5，求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为f (p )．当n 取多少时，f (p )最大？ 解析 (1)一次摸奖为从n ＋5个球中任选两个，有C 2n ＋5种，它们等可能发生，其中两球不同色有C 1n C 15种，一次摸奖中奖的概率p ＝C 1n C 15C 2n ＋5＝10n (n ＋5)(n ＋4)(n ≥5且n ∈N *)．(2)若n ＝5，一次摸奖中奖的概率p ＝10×5(5＋5)(5＋4)＝59，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是P 3(1)＝C 13·p ·(1－p )2＝80243.(3)设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为f (p )＝C 13·p ·(1－p )2＝3p 3－6p 2＋3p,0<p <1. 由f ′(p )＝9p 2－12p ＋3＝3(p －1)(3p －1)知，在(0，13]上f (p )为增函数，在[13，1)上f (p )为减函数，则当p ＝13时，f (p )取得最大值．即p ＝10n (n ＋5)(n ＋4)＝13，解得n ＝20或n ＝1.又∵n ≥5且n ∈N *.∴当n ＝20时，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：1.3(含答案)
第一章 1.3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列全称命题中假命题的个数()①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x>3；③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；④任何直线都有斜率．A．1B．2C．3 D．4答案 C解析①②④是假命题．2．下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B3．下列命题中正确的是()A．对所有正实数t，有t<tB．不存在实数x，使x<4，且x2＋5x－24＝0C．存在实数x，使|x＋1|≤1且x2>0D．不存在实数x，使x3＋x＋1＝0答案 C解析选项A不正确，如t＝14时，有t>t；选项B不正确，如x＝3<4，而x2＋5x－24＝0；选项D不正确，设f(x)＝x3＋x＋1，f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，故方程x3＋x＋1＝0在(－1,0)上至少有一个实数根．对于C，x＝－1时即满足条件，故选C.4．已知命题p：∀x∈R，x2＋x－6<0，则命题綈p是()A．∀x∈R，x2＋x－6≥0B．∃x∈R，x2＋x－6≥0C．∀x∈R，x2＋x－6>0D．∃x∈R，x2＋x－6<0答案 B解析全称命题的否定为特称命题，选B.5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)答案 C解析由题知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，选C.6．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q 为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2答案 A解析若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，则綈p：∀x∈R，mx2＋1>0与綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0均为真命题．根据綈p：∀x∈R，mx2＋1>0为真命题可得m≥0，根据綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.二、填空题7．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案∃x0，y0∈R，x0＋y0>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假8．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠09若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．答案－22≤a≤2 2解析因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤2 2.10．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R 为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．答案q1，q4解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1，q4.11．已知：p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为______________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1∴綈p：－1≤x≤212．设命题p：若a>b，则1a<1b；命题q：1ab<0⇔ab <0.给出下面四个复合命题：①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．其中真命题的个数有________个．答案2个解析p假，q真，故①④真三、解答题13．已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m 的取值范围．答案 －2≤m ≤－1解析 2x >m (x 2＋1)可化为mx 2－2x ＋m <0.若p ：∀x ∈R,2x >m (x 2＋1)为真，则mx 2－2x ＋m <0对任意的x ∈R 恒成立．当m ＝0时，不等式可化为－2x <0，显然不恒成立；当m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，4－4m 2<0，∴m <－1.若q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0为真，则方程x 2＋2x －m －1＝0有实根，∴4＋4(m ＋1)≥0，∴m ≥－2.又p ∧q 为真，故p 、q 均为真命题． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1，m ≥－2，∴－2≤m <－1. 14．已知命题p ：|x 2－x |≥6; q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“綈q ”同时为假命题，求x 的值．答案 －1,0,1,2解析 ∵“p 且q ”为假，∴p 、q 中至少有一个命题为假命题；又“綈q ”为假，∴q 为真，从而知p 为假命题故有⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |＜6，x ∈Z 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6＜0，x 2－x ＋6＞0，x ∈Z得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜3，x ∈R ，x ∈Z .∴x 的值为：－1,0,1,2 15．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋14a )的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x ＜a 对一切正实数均成立．如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．答案 0≤a ≤1解析 若命题p 为真，即ax 2－x ＋14a ＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＜0，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞01－a 2＜0，∴a ＞1.令y ＝3x －9x ＝－(3x －12)2＋14，由x ＞0得3x ＞1，∴y ＝3x －9x 的值域为(－∞，0)．∴若命题q 为真，则a ≥0.由命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，得命题p 、q 一真一假．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1.拓展练习·自助餐1．下列命题中正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否定为：“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”D ．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1≥0答案 B解析 若p ∨q 为真命题，则p 、q 有可能一真一假，此时p ∧q 为假命题，故A 错；易知由“x ＝5”可以得到“x 2－4x －5＝0”，但反之不成立，故B 正确；选项C 错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D 错．2．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根答案 C解析 特称命题的否定是全称命题．3．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＞3”的否定是________．答案 存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3”4．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：函数y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤23B ．0<a <12C.12<a ≤23D.12<a <1答案 C解析 命题p 等价于3a 2≤1,3a ≤2，即a ≤23.命题q ：由函数y ＝(2a －1)x 为减函数得：0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以取交集得12<a ≤23，因此选C.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.5(含答案)
第二章 ２．5 第5课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列大小关系正确的是( )A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43答案 C解析 ∵log 40.3<0,0<0.43<1,30.4>1，∴选C.2．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1.3． log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( ) A ．－4 B ．4C ．－2D ．2答案 C解析 log 2sin π12＋log 2cos π12＝log 2sin π12cos π12＝log 212sin π6＝log 214＝－2，故选C. 4．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a 答案 A 解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c ，故a ＞b ＞c ，选A.5．设log b N ＜log a N ＜0，N ＞1，且a ＋b ＝1，则必有( )A ．1＜a ＜bB ．a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．b ＜a ＜1答案 B解析 0＞log a N ＞log b N ⇒log N b ＞log N a ，∴a ＜b ＜1 6．0＜a ＜1，不等式1log a x＞1的解是( ) A ．x ＞a B ．a ＜x ＜1C ．x ＞1D ．0＜x ＜a答案 B解析 易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜17．下列四个数中最大的是( )A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2答案 D解析 0<ln2<1,0<(ln2)2<ln2<1，ln(ln2)<0， ln 2＝12ln2<ln2. 8．已知实数a ，b 满足log 12a ＝log 13b ，给出五个关系式：①a >b >1，②0<b <a <1，③b >a >1，④0<a <b <1，⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 当a ＝b ＝1时，显然满足题意．故⑤a ＝b 有可能成立；当a ≠1且b ≠1时，根据log 12a ＝log 13b 得lg a lg 12＝lg b lg 13，因此lg a ＝lg 12lg 13lg b ＝(log 1312)lg b .因为log 1312<log 13131，所以0<lg a <lg b ，或lg b <lg a <0，故③b >a >1和②0<b <a <1有可能成立．二、填空题9．若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝________.答案 829 解析 由已知得x ＝1log 32＝log 23，所以4x ＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝22log 23＋2－2log23＝9＋19＝829. 10．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________．解析 ∵a 2＋1＞1, log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1.又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12 ∴实数a 的取值范围是(12，1) 11．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝__________.(lg2≈0.3010)答案 155解析 由10m －1＜2512＜10m 得m －1＜512lg2＜m ∴m －1＜154.12＜m∴m ＝15512．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝________.答案 124 解析 由于1<log 23<2，则f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)＝(123＋log 23＝(12)3·(12)log 23＝18·2－log 23＝18·2log 213＝18·13＝124. 13．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(4－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为________．答案 －2解析 由题知，f (3)＝f (2)－f (1)，f (2)＝f (1)－f (0)，则f (3)＝－f (0)＝－2.三、解答题14．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，求m 的值． 答案 10 解析 a ＝log 2 m ，b ＝log 5 m ，代入已知，得log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，所以m ＝10. 15．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f (－12007)＋f (－12008)＋f (12007＋f (12008的值． (2)若x ∈[－a ，a ](其中a ∈(0,1))，试判断函数f (x )是否存在最大值或最小值？ 答案 (1)0(2)有最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a ，有最大值为f (－a )＝a ＋log 21＋a 1－a解析 (1)由1－x 1＋x>0得函数的定义域是(－1,1)， 又f (－x )＋f (x )＝log 21＋x 1－x ＋log 21－x 1＋x＝log 21＝0， ∴f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )是奇函数，∴f (－12007)＋f (12007)＝0， f (－12008)＋f (12008)＝0， ∴f (－12007)＋f (－12008)＋f (12007)＋f (12008)＝0. (2)f (x )＝－x ＋log 2(1－x )－log 2(1＋x )，∴f ′(x )＝－1＋－1(1－x )ln2－1(1＋x )ln2<0， 有最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a ，有最大值为f (－a )＝a ＋log 21＋a 1－a. 评析 本题可以运用单调函数的定义域来证明函数单调递减，但相对来说，在许多情况下应用导数证明函数的单调性比运用定义证明函数的单调性，运算量小得多．16．设f (x )＝log 121－ax x －1为奇函数，a 为常数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在区间(1，＋∞)内单调递增；(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f (x )>(12)x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即log 121＋ax －1－x ＝－log 121－ax x －1， 即log 121＋ax －x －1＝log 12x －11－ax，∴1＋ax －x －1＝x －11－ax ， 化简整理得(a 2－1)x 2＝0，∴a 2－1＝0，a ＝±1，经检验a ＝－1，f (x )是奇函数，∴a ＝－1.(2)证明 由(1)得f (x )＝log 12x ＋1x －1设1<x 1<x 2，则x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)>0， ∴x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1>0， 从而log 12x 1＋1x 1－1<log 12x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(1，＋∞)内单调递增．(3)原不等式可化为f (x )－(12)x >m ， 令φ(x )＝f (x )－(12)x ，则φ(x )>m 对于区间[3,4]上的每一个x 都成立等价于φ(x )在[3,4]上的最小值大于m .∵φ(x )在[3,4]上为增函数，∴当x ＝3时，φ(x )取得最小值，log 123＋13－1－(12)3＝－98m <－98.拓展练习·自助餐1．若集合A= 则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪[22，＋∞) D ．[22，＋∞) 答案 A2．若log a (π－3)<log b (π－3)<0，a 、b 是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是( )A ．b >a >1B ．a <b <1C ．a >b >1D ．b <a <1答案 A解析 ∵0<π－3<1，log a (π－3)<log b (π－3)<0，∴a ，b ∈(1，＋∞)且b >a ，∴选A.3．当0<x <1时 ，下列不等式成立的是( )A ．(12x ＋1>(12)1－x B ．log (1＋x )(1－x )>1 C ．0<1－x 2<1 D ．log (1－x )(1＋x )>0答案 C解析 法一：考察答案A ：∵0<x <1，∴x ＋1>1－x ，∴(12)x ＋1<(12)1－x ，故A 不正确；考察答案B ：∵0<x <1，∴1＋x >1,0<1－x <1，∴log (1＋x )(1－x )<0，故B 不正确；考察答案C ：∵0<x <1，∴0<x 2<1，∴0<1－x 2<1，故C 正确；考察答案D ：∵0<1－x <1,1＋x >1.∴log (1－x )(1＋x )<0，故D 不正确．法二：(特值法)取x ＝12，验证立得答案C. 4．f (x )＝a x ，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (3)·g (3)<0，则y ＝f (x )与y ＝g (x )在同一坐标内的图象可能是下图中的( )答案 D解析 由于指数函数与对数函数互为反函数，所以，f (x )与g (x )同增或同减，排除A 、C.由于f (3)·g (3)<0，即当x ＝3时，f (x )、g (x )的图象位于x 轴的两侧，排除B ，选D.5．若0<a <1，在区间(0,1)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是( )A ．增函数且f (x )>0B ．增函数且f (x )<0C ．减函数且f (x )>0D ．减函数且f (x )<0答案 D解析 ∵0<a <1时，y ＝log a u 为减函数又u ＝x ＋1为增函数，∴f (x )为减函数；又0<x <1时，x ＋1>1，又0<a <1，∴f (x )<0.选D.教师备选题1．已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1是奇函数(a >0，a ≠1)． (1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈ (r ，a －2)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 与r 的值．答案 (1)m ＝－1(2)a >1时减，0<a <1时增(3)r ＝1，a ＝2＋ 3解析 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立，即log a1＋mx －x －1＝－log a 1－mx x －1， ∴1－m 2x 2＝1－x 2恒成立，∴m ＝－1或m ＝1(舍去)，故m ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，a ≠1)， 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)．设x 1<x 2，令t (x )＝1＋x x －1， 则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1， t (x 2)＝x 2＋1x 2－1， ∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2，∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0.∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1， ∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， f (x )在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)当a >1时，要使f (x )的值域是(1，＋∞)，则log a x ＋1x －1>1，∴x ＋1x －1>a ， 即(1－a )x ＋a ＋1x －1>0， 而a >1，∴上式化为x －a ＋1a －1x －1<0. ① 又f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)， ∴当x >1时，f (x )>0；当x <－1时，f (x )<0.因而，欲使f (x )的值域是(1，＋∞)，必须x >1， 所以对于不等式①，当且仅当1<x <a ＋1a －1时成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，a －2＝a ＋1a －1，a >1，解得r ＝1，a ＝2＋ 3.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：5.2(含答案)
第五章 5.2 第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5, 7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34) 答案 B2．▱ABCD 中，AD→＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对称中心为O ，则CO →等于( )A ．(－12，5)B ．(－12，－5) C ．(12，－5) D ．(12，5) 答案 B解析 CO→＝－12AC →＝－12(AD →＋AB →)＝－12(1,10)＝(－12，－5)3．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a－2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1 答案 D解析 本题考查两向量共线的充要条件． BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ，由A 、B 、D 三点共线⇒AB →＝λBD →⇒2a ＋p b ＝2λa －λb ⇒⎩⎨⎧2λ＝2p ＝－λ⇒p ＝－14．.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －(1＋22)b B ．－2a ＋(1＋22)bD.2a ＋(1－22)b 答案 B 解析根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°，以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形，由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D (22，1＋22)，∴AB →＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝(22－1,1＋22)，令AD →＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－μ＝22－1μ＝1＋22，得⎩⎨⎧λ＝－2μ＝1＋22，∴AD→＝－2a ＋(1＋22)b . 5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6) 答案 D解析 由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)，选D.6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73) 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②解得①②得x ＝－79，y ＝－73.7．已知c ＝m a ＋n b ，设a ，b ，c 有共同起点，a ，b 不共线，要使a ，b ，c ，终点在一直线l 上，则m ，n 满足( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝0C ．m －n ＝1D ．m ＋n ＝－1 答案 A解析 ∵AC→＝λAB →∴c －a ＝λ(b －a )∴m a ＋n b －a ＝λb －λa ∴(m －1＋λ)a ＋(n －λ)b ＝0 ∴⎩⎨⎧m －1＋λ＝0n －λ＝0⇒m ＋n ＝1. 二、填空题 8．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案 －1解析 由已知a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1,2)，由(a ＋b ))∥c 得1×2－(m －1)×(－1)＝m ＋1＝0，所以m ＝－1.9．已知n ＝(a ，b )，向量n 与m 垂直，且|m |＝|n |，则m 的坐标为________． 答案 (b ，－a )或(－b ，a ) 解析 设m 的坐标为(x ，y )， 由|m |＝|n |，得x 2＋y 2＝a 2＋b 2① 由m ⊥n ，得ax ＋by ＝0②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧ x ＝b y ＝－a 或⎩⎨⎧x ＝－by ＝a故m 的坐标为(b ，－a )或(－b ，a )10．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为________．答案 (－2，－6)解析 ∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．∴4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)．又∵表示4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形． ∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0. 解得d ＝(－2，－6)．11．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案 －12解析 m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n ) ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，则有2m －n 4＝3m ＋2n －1，∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－1212．已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD分别落在x 轴，y 轴的正方向上，则向量2AB→＋3BC →＋AC →的坐标为________．答案(3,4)解析 ∵2AB →＝(2,0)．3BC→＝(0,3)，AC →＝(1,1)． ∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(3,4)．13．已知a ＝(6,1)，b ＝(－2,2)，若单位向量c 与2a ＋3b 共线，则向量c 的坐标为________．答案 ±(35，45)解析 2a ＋3b ＝2(6,1)＋3(－2,2)＝(6,8) ∵单位向量c 与(6,8)共线，∴c ＝±(6，8)36＋64＝±(35，45)三、解答题14．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF→＝13BC →. (1)求E ，F 的坐标；(2)求证：EF→∥AB →.解析 (1)设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2,2)，BC→＝(－2,3)， AB→＝(4，－1)． ∴AE→＝13AC →＝(23，23)， BF→＝13BC →＝(－23，1)．∴AE →＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝(23，23)， BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)． ∴(x 1，y 1)＝(23，23)＋(－1,0)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(73，0)． ∴E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(73，0)． (2)由(1)知(x 1，y 1)＝(－13，23)， (x 2，y 2)＝(73，0)，∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)， 又4×(－23)－(－1)×83＝0， ∴EF →∥AB → 15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．答案 2解析 以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.教师备选题1.如图所示，在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 答案 A解析 OC→＝12AC →＝12(AB →＋BC →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2) 2．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC→＝αOA→＋βOB →，其中α、β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为________． 答案 x ＋2y －5＝0解析 设C 的坐标为(x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．由OC →＝αOA→＋βOB →得OC →＝(3α－β，α＋3β)， 即⎩⎨⎧x ＝3α－β ①y ＝α＋3β. ②由①＋②×2得x ＋2y ＝5(α＋β)，又因为α＋β＝1，所以x ＋2y ＝5.3.如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF→＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( ) A ．(12，12) B ．(23，23)C ．(13，13)D ．(23，12) 答案 C解析 令BF→＝λBE →，由题可知：AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ(12AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋12λAC →；同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ(12AB→－AC →)＝12μAB →＋(1－μ)·AC →，由对应系数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝12μ12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23 μ＝23，所以AF→＝13AB →＋13AC →，故选C.4．如图，O 为△ABC 的边BC 的中点，过O 任作一直线，交直线AB 、AC 分别于点M 、N .若AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，求m ＋n 的值．解析 AO→＝12(AB →＋AC →)MO→＝AO →－AM →＝12(AB →＋AC →)－1mAB → ＝(12－1m )AB →＋12AC → NO→＝AO →－AN →＝12(AB →＋AC →)－1nAC →＝12AB →＋(12－1n )AC →∵M 、O 、N 三点共线，∴向量MO →与NO →共线 设MO→＝λNO → 则(12－1m )AB →＋12AC →＝12λAB →＋(12－1n )λAC → ∵AB→与AC →为不共线向量 ∴⎩⎪⎨⎪⎧12－1m ＝12λ ①12＝(12－1n )λ ②①/②得2(12－1m )＝1212－1n ，整理得m ＋n ＝2 5．已知点O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c . 解析如图所示，以点O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，则B (cos150°，sin150°)，C (3cos240°，3sin240°)，即B (－32，12)，C (－32，－332)，∴a ＝(2,0)，b ＝(－32，12)．c ＝(－32，－332)．设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则(－32，－332)＝λ1(2,0)＋λ2(－32，12)＝ (2λ1－32λ2，12λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－3212λ2＝－332，解得{ λ1＝－λ2＝－33.∴c ＝－3a －33b .。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.6(含答案)
第二章 ２．6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题 1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－ba <0，不符合，∴选C.3．函数y ＝x α(x ≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A ．α<－1B ．－1<α<0C ．0<α<1D ．α>1 答案 C解析 类比函数y ＝x 12即可．4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，那么( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 答案 C解析 ∵f (4)＝f (1)∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．5．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2]答案 C解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m ≤2，选C.6设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a ＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．故选D.7．已知f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 答案 B解析 解法1：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，∵x 1＋x 22＝1－a 2∈(－1， 12)，又对称轴x ＝－1，∴AB 中点在对称轴右侧．∴f (x 1)<f (x 2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(3－a )又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B. 二、填空题8．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则a 的范围是________．解析 由题意知 ∴0≤a ≤19．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________. 答案 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25. 10．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))＝________.答案 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a ＝－3.12．已知幂函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a ＝________.答案 313．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．答案 2<m <52解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知三、解答题14．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72. (1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 答案 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72， ∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减．15．已知对于任意实数x ，二次函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋12(a ∈R )的值都是非负的，求函数g (a )＝(a ＋1)(|a －1|＋2)的值域．答案 [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a ≤2.①当－32≤a <1时，g (a )＝(a ＋1)(－a ＋3)＝－a 2＋2a ＋3＝－(a －1)2＋4， ∴由二次函数图象可知， －94≤g (a )<4.②当1≤a ≤2时，g (a )＝(a ＋1)2， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝4； 当a ＝2时，g (a )max ＝9； ∴4≤g (a )≤9.综上所述，g (a )的值域为[－94，9]．16．函数f (x )＝2x和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1、C 2分别对应哪一个函数？(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a 、b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f (6)、g (6)、f (2007)、g (2007)四个数按从小到大的顺序排列．答案 (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x (2)a ＝1，b ＝9(3)∴f (6)<g (6)<g (2007)<f (2007)解析 (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)a ＝1，b ＝9. 理由如下：令φ(x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 3，则x 1、x 2为函数φ(x )的零点． ∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，∴方程φ(x )＝f (x )－g (x )的两个零点x 1∈(1,2)，x 2∈(9,10)，∴整数a ＝1，b ＝9. (3)从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴g (2007)<f (2007)． ∵g (6)<g (2007)，∴f (6)<g (6)<g (2007)<f (2007)．拓展练习·自助餐1．若函数f (x )＝log 12(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞) 答案 D解析 f (x )的减区间为(5，＋∞)，若f (x )在(a ，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D.2．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列图象之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52答案 B解析 ∵b >0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a >0，∴a <0. 故应是第3个图形．∵过原点，∴a 2－1＝0.结合a <0.∴a ＝－1. 3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则|OA |·|OB |等于( ) A.c a B ．－c a C ．±c a D ．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－ca(∵a <0，c >0)．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x的不等式f (x )≤1的解集为________．答案 －3≤x ≤－1或x >0 解析 由f (－4)＝f (0)得b ＝4. 又f (－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎨⎧x >0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0.5．设f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则() A．f(1)＞c＞f(－1) B．f(1)＜c＜f(－1) C．f(1)＞f(－1)＞c D．f(1)＜f(－1)＜c 答案 B解析由f(－1)＝f(3)得－b2＝－1＋32＝1，所以b＝－2，则f(x)＝x2＋bx＋c在区间(－1,1)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，而f(0)＝c，所以f(1)＜c＜f(－1)．6．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是() A．0≤a≤1 B．0≤a≤2C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0答案 D解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2若f(x) 在[0,1]上最大值是a2，则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D.教师备选题1．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝()A．3 B．2或3C．2 D．1或2答案 C解析函数在[1，＋∞)上单增∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．2．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝________.答案x2－x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x ∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.3．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是()A．减函数B．增函数C．常函数D．可能是减函数，也可能是常函数答案 D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是()A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b答案 A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.5．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是()A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1答案 A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f(t)＝t2＋(a－1)t＋1则f(0)＝1>0(1)当－a－12≤0即a≥1时恒成立(2)当－a－12>0即a<1时．由Δ＝(a－1)2－4≤0得－1≤a≤3∴－1≤a<1，综上：a≥－1.6．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于________．答案c解析∵f(x2)＝f(x1)，∴x2＋x1＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝c.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.6(含答案)
第二章 ２．6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题 1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－ba <0，不符合，∴选C.3．函数y ＝x α(x ≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A．α<－1B．－1<α<0C．0<α<1D．α>1答案 C解析类比函数y＝x12即可．4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么() A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定答案 C解析∵f(4)＝f(1)∴对称轴为52，∴f(2)＝f(3)．5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞) B．[0,2]C．[1,2] D．(－∞，2]答案 C解析由函数的单调性和对称轴知，1≤m≤2，选C.6设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是() 答案 D解析若a＞0，b＜0，c＜0，则对称轴x＝－b2a＞0，函数f(x)的图象与y轴的交点(c,0)在x轴下方．故选D.7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则()A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定答案 B解析解法1：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，∵x1＋x22＝1－a2∈(－1，12)，又对称轴x＝－1，∴AB中点在对称轴右侧．∴f(x1)<f(x2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f(x1)－f(x2)＝(ax21＋2ax1＋4)－(ax22＋2ax2＋4)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝a(x1－x2)(3－a)又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B. 二、填空题8．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则a 的范围是________．解析 由题意知 ∴0≤a ≤19．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________. 答案 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25. 10．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))＝________. 答案 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0∴f (x )有最大值，最大值为c －b24a ＝－3.12．已知幂函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a ＝________.答案 313．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．答案 2<m <52解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知三、解答题14．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72. (1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 答案 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．15．已知对于任意实数x ，二次函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋12(a ∈R )的值都是非负的，求函数g (a )＝(a ＋1)(|a －1|＋2)的值域．答案 [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a ≤2.①当－32≤a <1时，g (a )＝(a ＋1)(－a ＋3)＝－a 2＋2a ＋3＝－(a －1)2＋4， ∴由二次函数图象可知， －94≤g (a )<4.②当1≤a ≤2时，g (a )＝(a ＋1)2， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝4； 当a ＝2时，g (a )max ＝9； ∴4≤g (a )≤9.综上所述，g (a )的值域为[－94，9]．16．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数？(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f(6)、g(6)、f(2007)、g(2007)四个数按从小到大的顺序排列．答案(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x(2)a＝1，b＝9(3)∴f(6)<g(6)<g(2007)<f(2007)解析(1)C1对应的函数为g (x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)a＝1，b＝9.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1、x2为函数φ(x)的零点．∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，∴方程φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈(1,2)，x2∈(9,10)，∴整数a＝1，b＝9.(3)从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴g(2007)<f(2007)．∵g(6)<g(2007)，∴f(6)<g(6)<g(2007)<f(2007)．拓展练习·自助餐(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是1．若函数f(x)＝log12()A．(－∞，1] B．(3，＋∞)C．(－∞，3) D．[5，＋∞)答案 D解析f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a≥5，故选D.2．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为()A．1 B．－1C.－1－52 D.－1＋52答案 B解析∵b>0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a>0，∴a<0.故应是第3个图形．∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.3.如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于()A.ca B．－ca C．±ca D．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－ca (∵a <0，c >0)．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x的不等式f (x )≤1的解集为________．答案 －3≤x ≤－1或x >0 解析 由f (－4)＝f (0)得b ＝4. 又f (－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎨⎧x >0，－2≤1， 可得－3≤x ≤－1或x >0.5．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c 答案 B解析 由f (－1)＝f (3)得－b 2＝－1＋32＝1，所以b ＝－2，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 在区间(－1,1)上单调递减，所以f (－1)＞f (0)＞f (1)，而f (0)＝c ，所以f (1)＜c ＜f (－1)．6．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，则实数a 的取值范围是( ) A ．0≤a ≤1 B ．0≤a ≤2 C ．－2≤a ≤0 D ．－1≤a ≤0 答案 D解析 f (x )＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2 若f (x ) 在[0,1]上最大值是a 2，则0≤－a ≤1，即－1≤a ≤0，故选D.教师备选题1．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析 函数在[1，＋∞)上单增∴b ＝b 2－2b ＋2解之得：b ＝2或1(舍)．2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，f (0)＝1，则f (x )＝________. 答案 x 2－x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵f (0)＝1，∴c ＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b ＝2x ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.3．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )A ．减函数B．增函数C．常函数D．可能是减函数，也可能是常函数答案 D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是()A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b答案 A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.5．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是()A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1答案 A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f(t)＝t2＋(a－1)t＋1则f(0)＝1>0(1)当－a－12≤0即a≥1时恒成立(2)当－a－12>0即a<1时．由Δ＝(a－1)2－4≤0得－1≤a≤3∴－1≤a<1，综上：a≥－1.6．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于________．答案cba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝c.解析∵f(x2)＝f(x1)，∴x2＋x1＝－。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-6(含答案)
第十章 10.6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)、在其内部随机地撒一粒黄豆、则它落在阴影部分的概率为()A.2πB.1πC.12 D ．1－2π 答案 D解析 S 扇形＝14πR 2＝π、S △＝12×2×2＝2、S 阴影＝S扇形－S △＝π－2.由几何概型概率公式得黄豆落在阴影部分的概率P ＝π－2π＝1－2π.2．在集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}内任取一个元素、能使不等式x 5＋y2－1≤0成立的概率为( )A.14B.34C.13D.23 答案 A解析 集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0、y ＝4所围成的长为5、宽为4的矩形、而不等式x 5＋y2－1≤0和集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形、由几何概型公式可以求得概率为12×5×25×4＝14.3.如右图、在一个长为π、宽为2的矩形OABC 内、曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成的如图所示的阴影部分、向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能 )、则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 答案 A解析 S 矩形OABC ＝2π、S 阴影＝⎠⎛0πsin x d x ＝2、由几何概型概率公式得P ＝22π＝1π.4．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 、其中0≤b ≤4,0≤c ≤4、记函数f(x)满足条件⎩⎨⎧f (2)≤12f (－2)≤4为事件A 、则事件A 发生的概率为( ) A .14 B .58 C .12 D .38 答案 C解析 由题意知、事件A 所对应的线性约束条件为⎩⎨⎧0≤b ≤40≤c ≤44＋2b ＋c ≤124－2b ＋c ≤14、其对应的可行域如图中阴影部分所示、所以事件A 的概率P(A)＝S △OAD S 正方形OABC＝12、选C .5．已知实数a 满足－3<a<4、函数f(x)＝lg (x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1、定义域为R 的概率为P 2、则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定 答案 C解析 若f (x )的值域为R 、则Δ1＝a 2－4≥0、得a ≤－2或a ≥2.故P 1＝－2－(－3)4－(－3)＋4－24－(－3)＝37.若f (x )的定义域为R 、则Δ2＝a 2－4<0、得－2<a <2故P 2＝47.∴P 1<P 2. 二、填空题6．函数f (x )＝x 2－x －2、x ∈[－5,5]、那么任取一点x 0使f (x 0)≤0的概率为________．答案 0.3 解析 如图、在[－5,5]上函数的图象与x 轴交于两点(－1,0)、(2,0)、而x 0∈[－1,2]、那么f (x 0)≤0.所以P ＝区间[－1，2]的长度区间[－5，5]的长度＝310＝0.3.7．在区间(0,2)内任取两数m 、n (m ≠n )、则椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率大于32的概率为________．答案 12解析 如图、m 、n 的取值在边长为2的正方形中．当m >n 时、椭圆离心率e ＝m 2－n 2m ＝1－(nm )2、由e >32、得m >2n .同理、当m <n 时、n >2m .故满足条件的m 、n 为图中阴影部分．所求概率P ＝2×12×2×122＝12.8．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.其中实数a 、b 满足⎩⎨⎧a ＋b －8≤0a >0，b >0，则函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率是________．答案 13分析 这个概率就是函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数时点(a 、b )在已知区域中所占有的面积和已知区域的面积之比．解析函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在[1、＋∞)单调递增的充要条件是2b a ≤1、即b ≤a2.作出平面区域如图所示、问题等价于向区域OAB 中任意掷点、点落在区域OAC (其中点C 的坐标是(163、83))中的概率、这个概率值是12×83×812×8×8＝13.9．已知菱形ABCD 的边长为2、∠A ＝30°、则该菱形内的点到菱形的顶点A 、B 的距离均不小于1的概率是________．解析如图所示、只有当点位于图中的空白区域时、其到A 、B 的距离才均不小于1、菱形的面积为2×2×sin30°＝2、两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆、其面积为π2、故空白区域的面积为2－π2、所求的概率是2－π22＝4－π4＝1－π4.10．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P 、则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析 满足条件的点在半径为a 的18球内、所以所求概率为p ＝18×43πa 3a 3＝π6.11．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a 和b 、则方程x ＝－2a －abx 有实根的概率为________．答案 14解析 方程x ＝－2a －abx 即x 2＋2ax ＋ab ＝0若方程有实根、则有Δ＝4a 2－4ab ≥0、即b ≤a 、其所求概率可转化为几何概率、如图、其概率等于阴影面积与正方形面积之比．∴P ＝12.12．周长为定值的扇形OAB 、当其面积最大时、向其内任意掷一点、则点落在△OAB 内的概率是__________．答案 12sin2解析 设扇形周长为m 、半径为r 、则弧长l ＝m －2r 、扇形的面积是12rl ＝12r (m －2r )≤14·(2r ＋m －2r 2)2＝m 216、当且仅当r ＝m 4时等号成立、此时扇形的弧长为m2、故此时扇形的圆心角为lr ＝2弧度、点落在△OAB 内的概率是12r 2sin212×2×r2＝12sin2.三、解答题13．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头、它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时 、求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时、乙船的停泊时间为2小时、求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y 、则0≤x <24,0≤y <24且y －x >4或y －x <－4.作出区域⎩⎨⎧0≤x <24，0≤y <24y －x <4或y －x <－4设“两船无需等待码头空出”为事件A 、则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时、两船不需等待码头空出、则满足x －y >2或y －x >4、设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B 、画出区域⎩⎨⎧0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或x －y >2.P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.14．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1. (1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}、分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b 、求函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a 、b )是区域⎩⎨⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内随机点、求函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率．解析 (1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1、＋∞)上为增函数、当且仅当a >0且2ba ≤1、即2b ≤a . 若a ＝1、则b ＝－1、 若a ＝2、则b ＝－1,1、 若a ＝3、则b ＝－1,1∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.∴所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时、函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间 [1、＋∞)上为增函数、依条件事知试验的全部结果所构成的区域为{(a 、b )|⎩⎨⎧a ＋b －8≤0a >0b >0}构成所求事件的区域为三角形部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163、83)． ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.15．已知复数z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4、－3、－2,0}、Q ＝{0,1,2}、从集合P 中随机抽取一个数作为x 、从集合Q 中随机抽取一个数作为y 、求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]、y ∈[0,4]、求点M 落在不等式组：⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解析 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4、－4＋i 、－4＋2i 、－3、－3＋i 、－3＋2i 、－2、－2＋i 、.－2＋2i,0、i,2i 、且每种情况出现的可能性相等、属于古典概型、 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i 、∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知、点M 均匀地分布在平面区域{(x 、y )|⎩⎨⎧0≤x ≤30≤y ≤4}内、属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域、面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x 、y )|⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0}、其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0、32)、∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94. ∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.教师备选题1．平面上有一组平行线、且相邻平行线间的距离为3 cm 、把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面上、则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案 B 解析如图所示、这是长度型几何概型问题、当硬币中心落在阴影区域时、硬币不与任何一条平行线相碰、故所求概率为P ＝13.2．将长为l 的棒随机折成3段、求3段构成的三角形的概率．解析 设A ＝“3段构成三角形”x 、y 分别表示其中两段的长度、则第3段的长度为l －x －y .则试验的全部结果可构成集合Ω＝{(x 、y )|0<x <l,0<y <l,0<x ＋y <l }、要使3段构成三角形、当且仅当任意两段之和大于第3段、即x ＋y >l －x －y ⇒x ＋y >l2、x ＋l －x －y >y ⇒y <l2、y ＋l －x －y >x ⇒x <l2. 故所求结果构成的集合A ＝{(x 、y )|x ＋y >l 2、y <l 2、x <l2}． 由图可知、所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝12·(l 2)2l 22＝14.3．在区间[0,2]内任取两个数a 、b 、那么函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________．答案 34解析 依题意、方程x 2＋ax ＋b 2＝0无零点、则有Δ＝a 2－4b 2<0、即(a ＋2b )(a －2b ) <0.在平面直角坐标系aOb 内画出不等式组⎩⎨⎧0≤a ≤20≤b ≤2①与⎩⎨⎧0≤a ≤20≤b ≤2(a ＋2b )(a －2b )<0②表示的平面区域、注意到不等式组①表示的平面区域的面积是4、不等式组②表示的平面区域的面积是22－12×2×1＝3、因此所求的概率为34.。
【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.6(含答案)
第二章 ２．6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题 1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－ba <0，不符合，∴选C.3．函数y ＝x α(x ≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A ．α<－1B ．－1<α<0C ．0<α<1D ．α>1 答案 C解析 类比函数y ＝x 12即可．4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，那么( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 答案 C解析 ∵f (4)＝f (1)∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．5．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2] 答案 C解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m ≤2，选C.6设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a ＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．故选D.7．已知f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 答案 B解析 解法1：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，∵x 1＋x 22＝1－a 2∈(－1， 12)，又对称轴x ＝－1，∴AB 中点在对称轴右侧．∴f (x 1)<f (x 2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(3－a )又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B. 二、填空题8．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则a 的范围是________．解析 由题意知 ∴0≤a ≤19．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________. 答案 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25.10．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))＝________. 答案 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0∴f (x )有最大值，最大值为c －b24a ＝－3.12．已知幂函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a ＝________.答案 313．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．答案 2<m <52解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知三、解答题14．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72. (1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 答案 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72， ∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减．15．已知对于任意实数x ，二次函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋12(a ∈R )的值都是非负的，求函数g (a )＝(a ＋1)(|a －1|＋2)的值域．答案 [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a ≤2.①当－32≤a <1时，g (a )＝(a ＋1)(－a ＋3)＝－a 2＋2a ＋3＝－(a －1)2＋4， ∴由二次函数图象可知， －94≤g (a )<4.②当1≤a ≤2时，g (a )＝(a ＋1)2， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝4； 当a ＝2时，g (a )max ＝9； ∴4≤g (a )≤9.综上所述，g (a )的值域为[－94，9]．16．函数f (x )＝2x和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1、C 2分别对应哪一个函数？(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a 、b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f (6)、g (6)、f (2007)、g (2007)四个数按从小到大的顺序排列．答案 (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x (2)a ＝1，b ＝9(3)∴f (6)<g (6)<g (2007)<f (2007)解析 (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)a ＝1，b ＝9. 理由如下：令φ(x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 3，则x 1、x 2为函数φ(x )的零点． ∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，∴方程φ(x )＝f (x )－g (x )的两个零点x 1∈(1,2)，x 2∈(9,10)，∴整数a ＝1，b ＝9. (3)从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )，∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴g (2007)<f (2007)． ∵g (6)<g (2007)，∴f (6)<g (6)<g (2007)<f (2007)．拓展练习·自助餐1．若函数f (x )＝log 12(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞) 答案 D解析 f (x )的减区间为(5，＋∞)，若f (x )在(a ，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D.2．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列图象之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52答案 B解析 ∵b >0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a >0，∴a <0. 故应是第3个图形．∵过原点，∴a 2－1＝0.结合a <0.∴a ＝－1. 3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则|OA |·|OB |等于( ) A.c a B ．－c a C ．±c a D ．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－ca (∵a <0，c >0)．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x的不等式f (x )≤1的解集为________．答案 －3≤x ≤－1或x >0 解析 由f (－4)＝f (0)得b ＝4. 又f (－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎨⎧x >0，－2≤1，可得－3≤x ≤－1或x >0.5．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c 答案 B解析 由f (－1)＝f (3)得－b 2＝－1＋32＝1，所以b ＝－2，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 在区间(－1,1)上单调递减，所以f (－1)＞f (0)＞f (1)，而f (0)＝c ，所以f (1)＜c ＜f (－1)．6．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，则实数a 的取值范围是( ) A ．0≤a ≤1 B ．0≤a ≤2 C ．－2≤a ≤0 D ．－1≤a ≤0 答案 D解析 f (x )＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2 若f (x ) 在[0,1]上最大值是a 2，则0≤－a ≤1，即－1≤a ≤0，故选D.教师备选题1．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析 函数在[1，＋∞)上单增∴b ＝b 2－2b ＋2解之得：b ＝2或1(舍)．2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，f (0)＝1，则f (x )＝________. 答案 x 2－x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵f (0)＝1，∴c ＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b ＝2x ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.3．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数，也可能是常函数 答案 D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是()A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b答案 A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.5．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是()A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1答案 A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f(t)＝t2＋(a－1)t＋1则f(0)＝1>0(1)当－a－12≤0即a≥1时恒成立(2)当－a－12>0即a<1时．由Δ＝(a－1)2－4≤0得－1≤a≤3∴－1≤a<1，综上：a≥－1.6．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于________．答案c解析∵f(x2)＝f(x1)，∴x2＋x1＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝c.。
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第二章 ２．5 第5课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列大小关系正确的是( )A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43 答案 C解析 ∵log 40.3<0,0<0.43<1,30.4>1、∴选C.2．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)、若f (α)＝1、则α＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 依题意知log 2(α＋1)＝1、则α＋1＝2、故α＝1.3． log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 答案 C解析 log 2sin π12＋log 2cos π12＝log 2sin π12cos π12＝log 212sin π6＝log 214＝－2、故选C. 4．设a ＝log 3π、b ＝log 23、c ＝log 32、则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a 答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1、b ＝log 23＜log 22＝1、∴a ＞b 、又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1、∴b ＞c 、故a ＞b ＞c 、选A.5．设log b N ＜log a N ＜0、N ＞1、且a ＋b ＝1、则必有( ) A ．1＜a ＜b B ．a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．b ＜a ＜1 答案 B解析 0＞log a N ＞log b N ⇒log N b ＞log N a 、∴a ＜b ＜16．0＜a ＜1、不等式1log ax ＞1的解是( )A ．x ＞aB ．a ＜x ＜1C ．x ＞1D ．0＜x ＜a 答案 B解析 易得0＜log a x ＜1、∴a ＜x ＜1 7．下列四个数中最大的是( ) A ．(ln 2)2 B ．ln(ln 2) C ．ln 2 D ．ln 2答案 D解析 0<ln2<1,0<(ln2)2<ln2<1、ln(ln2)<0、ln 2＝12ln2<ln2.8．已知实数a 、b 满足log 12a ＝log 13b 、给出五个关系式：①a >b >1、②0<b <a <1、③b >a >1、④0<a <b <1、⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 B解析 当a ＝b ＝1时、显然满足题意．故⑤a ＝b 有可能成立；当a ≠1且b ≠1时、根据log 12a ＝log 13b 得lg a lg 12＝lg b lg 13、因此lg a ＝lg 12lg 13lg b ＝(log 1312)lg b .因为log 1312<log 1313＝1、所以0<lg a <lg b 、或lg b <lg a <0、故③b >a >1和②0<b <a <1有可能成立．二、填空题9．若x log 32＝1、则4x ＋4－x ＝________.答案 829解析 由已知得x ＝1log 32＝log 23、所以4x ＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝22log23＋2－2log23＝9＋19＝829.10．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0、则实数a 的取值范围是__________． 解析 ∵a 2＋1＞1, log a (a 2＋1)＜0、∴0＜a ＜1.又log a 2a ＜0、∴2a ＞1、∴a ＞12∴实数a 的取值范围是(12、1)11．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m 、则m ＝__________.(lg2≈0.3010) 答案 155解析 由10m －1＜2512＜10m 得m －1＜512lg2＜m ∴m －1＜154.12＜m ∴m ＝15512．已知函数f (x )满足：当x ≥4时、f (x )＝(12)x ；当x <4时、f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝________.答案 124解析 由于1<log 23<2、则f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝(12)3·(12)log 23＝18·2－log 23＝18·2log 213＝18·13＝124.13．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x >0、则f (3)的值为________．答案 －2解析 由题知、f (3)＝f (2)－f (1)、f (2)＝f (1)－f (0)、则f (3)＝－f (0)＝－2. 三、解答题14．设2a ＝5b ＝m 、且1a ＋1b ＝2、求m 的值． 答案 10解析 a ＝log 2 m 、b ＝log 5 m 、代入已知、得log m 2＋log m 5＝2、即log m 10＝2、所以m ＝10.15．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f (－12007)＋f (－12008)＋f (12007)＋f (12008)的值．(2)若x ∈[－a 、a ](其中a ∈(0,1))、试判断函数f (x )是否存在最大值或最小值？ 答案 (1)0(2)有最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a 、有最大值为f (－a )＝a ＋log 21＋a1－a解析 (1)由1－x1＋x>0得函数的定义域是(－1,1)、又f (－x )＋f (x )＝log 21＋x 1－x ＋log 21－x1＋x＝log 21＝0、∴f (－x )＝－f (x )成立、∴函数f (x )是奇函数、∴f (－12007)＋f (12007)＝0、f (－12008)＋f (12008)＝0、∴f (－12007)＋f (－12008)＋f (12007)＋f (12008)＝0. (2)f (x )＝－x ＋log 2(1－x )－log 2(1＋x )、∴f ′(x )＝－1＋－1(1－x )ln2－1(1＋x )ln2<0、有最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a 、有最大值为f (－a )＝a ＋log 21＋a1－a.评析 本题可以运用单调函数的定义域来证明函数单调递减、但相对来说、在许多情况下应用导数证明函数的单调性比运用定义证明函数的单调性、运算量小得多．16．设f (x )＝log 121－axx －1为奇函数、a 为常数． (1)求a 的值；(2)证明f (x )在区间(1、＋∞)内单调递增；(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值、不等式f (x )>(12)x ＋m 恒成立、求实数m 的取值范围．解析 (1)∵f (x )是奇函数、∴f (－x )＝－f (x )、即log 121＋ax －1－x ＝－log 121－axx －1、即log 121＋ax －x －1＝log 12x －11－ax、∴1＋ax －x －1＝x －11－ax 、化简整理得(a 2－1)x 2＝0、∴a 2－1＝0、a ＝±1、 经检验a ＝－1、f (x )是奇函数、∴a ＝－1.(2)证明 由(1)得f (x )＝log 12x ＋1x －1、设1<x 1<x 2、 则x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)>0、 ∴x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1>0、 从而log 12x 1＋1x 1－1<log 12x 2＋1x 2－1、即f (x 1)<f (x 2)、∴f (x )在(1、＋∞)内单调递增．(3)原不等式可化为f (x )－(12)x >m 、令φ(x )＝f (x )－(12)x 、则φ(x )>m 对于区间[3,4]上的每一个x 都成立等价于φ(x )在[3,4]上的最小值大于m .∵φ(x )在[3,4]上为增函数、∴当x ＝3时、φ(x )取得最小值、log 123＋13－1－(12)3＝－98、∴m <－98.拓展练习·自助餐1．若集合A= 则∁R A＝( )A ．(－∞、0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞C ．(－∞、0]∪[22、＋∞)D ．[22、＋∞) 答案 A2．若log a (π－3)<log b (π－3)<0、a 、b 是不等于1的正数、则下列不等式中正确的是( )A ．b >a >1B ．a <b <1C ．a >b >1D ．b <a <1 答案 A解析 ∵0<π－3<1、log a (π－3)<log b (π－3)<0、∴a 、b ∈(1、＋∞) 且b >a 、∴选A.3．当0<x <1时 、下列不等式成立的是( )A ．(12)x ＋1>(12)1－xB ．log (1＋x )(1－x )>1C ．0<1－x 2<1D ．log (1－x )(1＋x )>0 答案 C解析 法一：考察答案A ：∵0<x <1、∴x ＋1>1－x 、∴(12)x ＋1<(12)1－x 、故A 不正确；考察答案B ：∵0<x <1、∴1＋x >1,0<1－x <1、 ∴log (1＋x )(1－x )<0、故B 不正确；考察答案C ：∵0<x <1、∴0<x 2<1、∴0<1－x 2<1、故C 正确；考察答案D ：∵0<1－x <1,1＋x >1.∴log (1－x )(1＋x )<0、故D 不正确．法二：(特值法)取x ＝12、验证立得答案C.4．f (x )＝a x 、g (x )＝log a x (a >0、且a ≠1)、若f (3)·g (3)<0、则y ＝f (x )与y ＝g (x )在同一坐标内的图象可能是下图中的( )答案 D解析 由于指数函数与对数函数互为反函数、所以、f (x )与g (x )同增或同减、排除A 、C.由于f (3)·g (3)<0、即当x ＝3时、f (x )、g (x )的图象位于x 轴的两侧、排除B 、选D.5．若0<a <1、在区间(0,1)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f (x )>0 B ．增函数且f (x )<0 C ．减函数且f (x )>0 D ．减函数且f (x )<0 答案 D解析 ∵0<a <1时、y ＝log a u 为减函数又u ＝x ＋1为增函数、∴f (x )为减函数；又0<x <1时、x ＋1>1、又0<a <1、∴f (x )<0.选D.教师备选题1．已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1是奇函数(a >0、a ≠1)．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1、＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1、x ∈ (r 、a －2)时、f (x )的值域是(1、＋∞)、求a 与r 的值． 答案 (1)m ＝－1(2)a >1时减、0<a <1时增 (3)r ＝1、a ＝2＋ 3解析 (1)∵f (x )是奇函数、∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立、即log a 1＋mx－x－1＝－log a1－mxx－1、∴1－m2x2＝1－x2恒成立、∴m＝－1或m＝1(舍去)、故m＝－1.(2)由(1)得f(x)＝log a x＋1x－1(a>0、a≠1)、任取x1、x2∈(1、＋∞)．设x1<x2、令t(x)＝1＋x x－1、则t(x1)＝x1＋1 x1－1、t(x2)＝x2＋1 x2－1、∴t(x1)－t(x2)＝x1＋1x1－1－x2＋1x2－1＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1)、∵x1>1、x2>1、x1<x2、∴x1－1>0、x2－1>0、x2－x1>0. ∴t(x1)>t(x2)、即x1＋1x1－1>x2＋1x2－1、∴当a>1时、log a x1＋1x1－1>log ax2＋1x2－1、f(x)在(1、＋∞)上是减函数；当0＜a＜1时、f(x)在(1、＋∞)上是增函数．(3)当a>1时、要使f(x)的值域是(1、＋∞)、则log a x＋1x－1>1、∴x＋1x－1>a、即(1－a)x＋a＋1x－1>0、而a>1、∴上式化为x－a＋1a－1x－1<0.①又f(x)＝log a x＋1x－1＝log a(1＋2x－1)、∴当x>1时、f(x)>0；当x<－1时、f(x)<0.因而、欲使f(x)的值域是(1、＋∞)、必须x>1、所以对于不等式①、当且仅当1<x<a＋1a－1时成立、∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，a －2＝a ＋1a －1，a >1，解得r ＝1、a ＝2＋ 3.。