2019届人教A版(文科数学) 任意角、弧度制及任意角的三角函数 单元测试
2019版高考数学(文)第3章 三角函数、解三角形 第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数 Word版含解析
第讲任意角和弧度制及任意角的三角函数板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点角的概念．分类．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋·°，∈}．考点弧度的定义和公式．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角，弧度记作.．公式：()弧度与角度的换算：°＝π弧度；°＝π弧度；()弧长公式：＝α；()扇形面积公式：扇形＝和扇形＝α.说明：()()公式中的α必须为弧度制．考点任意角的三角函数．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(，)，则α＝，α＝，α＝(≠)．．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是()．如图中有向线段，，分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．[必会结论]．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．．任意角的三角函数的定义(推广)设(，)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点的距离为，则α＝，α＝，α＝(≠)．[考点自测]．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()第一象限角必是锐角．()()不相等的角终边一定不相同．()()终边落在轴非正半轴上的角可表示为α＝π＋π(∈). ()()弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．()()三角函数线的方向表示三角函数值的正负．()答案()×()×()√()√()√．[课本改编]下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()．π＋°(∈) ．·°＋(∈)。
2019版文科数学讲义：第四章 三角函数 解三角形4.1 含答案
§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3。
理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合,考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主,低档难度。
1．角的概念（1)角的分类（按旋转的方向)角错误!(2）象限角(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝｛β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2）角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝错误!rad,1 rad＝错误!°. (3）扇形的弧长公式:l＝｜α｜r，扇形的面积公式:S＝错误!lr＝错误!｜α|r2.3．任意角的三角函数的定义α为任意角,α的终边上任意一点P （异于原点）的坐标（x ，y ),它与原点的距离OP ＝r ＝错误! （r >0），则sin α＝y r ；cos α＝错误!；tan α＝错误!;cot α＝错误!；sec α＝错误!；csc α＝错误!.4．三角函数在各象限的符号规律及三角函数线（1）三角函数在各象限的符号：象限符号函数Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳsin α，csc α ＋ ＋ － －cos α，sec α ＋ － － ＋tan α，cot α ＋ － ＋ －(2)三角函数线：正弦线 如图，角α的正弦线为错误!。
余弦线 如图，角α的余弦线为错误!。
正切线 如图，角α的正切线为错误!.知识拓展三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（×）（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（√) (3)不相等的角终边一定不相同．(×）（4)若α为第一象限角,则sin α＋cos α〉1。
数学人教A版(2019)必修第一册5-2-1 三角函数的概念
11
3
sin
71
6
tan
19
3
cos
4
3
sin
12
6
tan
6
3
cos sin tan
36 3
1 1 3 1 3 22
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
21
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
问题2 三角函数符号与公式
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
探
（弧度制）
三角函数
定义域
究
sin
3
的终边与单位圆的交点坐标为
(1 , 3) 22
，
所以 sin 5 3 cos5 1 tan 5 3
y
，
32
32
3
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
3
7
1
6
3
o
﹒
A
x
﹒B
sin ,
6
2
cos 7 3 ,
6
2
tan 7 3
63
【例2】如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)
sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习：4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
确;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④正确.
π时4≤,2αn(≤π2+)π2当π表+k示π4=≤的2nα范(≤n∈围2nZ一π)+时样π+,,2当π2n,π此k+=时π42≤nα+α表≤1(n示2∈n的πZ+范)π2,此围与时
α 表示的范围与 π+π4≤α≤π+π2表示
.
(2)∵θ=67π+2kπ(k∈Z),
∴������
3
=
2π 7
+
2���3���π(k∈Z).
依题意,0≤27π + 2���3���π<2π,
解得-37≤k<178,k∈Z.
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉
14
考点1
考点2
考点3
∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与���3���相同的角为27π
3
β=π3+k·2π,k∈Z,当
k=-1
时,β=-53π.
关闭
D
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉
9 解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
3.(教材习题改编P71T2)已知扇形周长为10 cm,面积是4 cm2,则扇 形的圆心角的弧度数是( )
A.8
C.8
或1
2
B.12 D.8 或 4
20
答案
考点1
考点2
考点3
解析:
(1)因为点
P
在第一象限,故
sin������-cos������ tan������ > 0,
>
2019高考数学复习：任意角、弧度制及任意角的三角函数
第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数[常用结论与微点提醒]1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.角－870°的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限. 答案 C3.集合⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈N )，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋5π4≤α≤2n π＋3π2(n ∈N )，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样. 答案 C4.(必修4P15T2改编)已知角θ的终边过点P (－12，5)，则cos θ＝________. 解析 ∵角θ的终边过点P (－12，5)，∴x ＝－12，y ＝5，r ＝13，∴cos θ＝x r ＝－1213. 答案 －12135.已知在半径为120 mm 的圆上，有一段弧长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.解析 由题意知α＝l r ＝144120＝1.2 rad. 答案 1.2考点一 角的概念及其集合表示0【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.解析 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 (1)C (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－53π，－23π，π3，43π规律方法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 2.确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置.【训练1】 (1)(一题多解)设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________. 解析 (1)法一 由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.(2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ).答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )考点二 弧度制及其应用(典例迁移)【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解 由已知得α＝π3，R ＝10，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12·10π3·10－12·102·32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad. 规律方法 应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练2】 (2017·成都诊断)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ， ∴正方形边长为2r ， ∴其圆心角的弧度数是2rr＝ 2. 答案2考点三 三角函数的概念【例3】 (1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝( ) A.－33B.±33C.－32D.±32(2)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(3)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由|OP |2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.(2)由sin θ＜0知θ的终边在第三、四象限或y 轴负半轴上，由tan θ＜0知θ的终边在第二、四象限，故选D.(3)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)C (2)D(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z规律方法 1.利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r . 2.根据三角函数定义中x ，y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.3.利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围.【训练3】 (2018·江西百校联考)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27B.127C.9D.19解析 ∵tan 7π3＝3m m＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27，∴m ＝127，故选B. 答案 B基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角， ②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋94π(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确. 答案 C3.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限( ) A.一B.二C.三D.四解析 由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角. 答案 B4.(2018·石家庄调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A.－3B.3C.163 D.±3 解析 sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 B5.点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析 点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 答案 A6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角.答案 B7.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α的弧度数为( ) A.π3B.π2C. 3D.2解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 答案 C8.(2018·西安模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.答案 B 二、填空题9.(必修4P10A6改编)一条弦的长度等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.解析 弦与两条半径构成等边三角形，圆心角为π3.答案 π310.设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________.解析 由已知P (cos α，sin α)，则Q (－cos α，－sin α). 答案 (－cos α，－sin α)11.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 解析 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2. 答案 π312.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上. ∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]能力提升题组 (建议用时：10分钟)13.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6解析 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 答案 D14.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；2019年高考数学复习资料包11 ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A15.(2018·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.答案 －4316.函数y ＝2sin x －1的定义域为________.解析 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )。
2019版高考数学第4章三角函数、解三角形1第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数教案理
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝tan x .能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类{β|β＝α＋k²360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式判断正误(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．() (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )(5)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)³ (2)√ (3)³ (4)√ (5)√ (6)√(教材习题改编)若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由sin θ＜0，θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合，cos θ＞0，θ的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x 轴的非负半轴重合，故θ的终边在第四象限．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________． 解析：因为α＝1 560°＝4³360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°³k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 解析：设此扇形的半径为r ， 由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12³2π³6＝6π.答案：6π象限角及终边相同的角[典例引领](1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 【解析】 (1)因为α是第二象限角， 所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.【答案】 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π在本例(1)的条件下，判断2α为第几象限角？解：因为α是第二象限角，所以90°＋k ²360°＜α＜180°＋k ²360°(k ∈Z )，则180°＋2k ²360°＜2α＜360°＋2k ²360°(k ∈Z )，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．(1)表示区间角集合的三个步骤(2)求θn或n θ(n ∈N *)所在象限(位置)的方法①将θ的范围用不等式(含有k )表示． ②两边同除以n 或乘以n .③对k 进行讨论，得到θn或n θ(n ∈N *)所在的象限(位置)．[通关练习]1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ³360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ³360°<0°，得－765°≤k ³360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．若sin α²tan α<0，且cos αtan α<0，则α是第________象限角．解析：由sin α²tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角． 答案：三扇形的弧长、面积公式[典例引领]已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10³π3＝10π3(cm)． (2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．[通关练习]1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：选A.设扇形的弧长为l ，则12l ²2＝8，即l ＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527， 所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6²23r2πr ＝518.答案：518三角函数的定义(高频考点)三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，主要有以下四个命题角度： (1)利用三角函数定义求值； (2)判断三角函数值的符号； (3)利用三角函数线解三角不等式； (4)三角函数定义中的创新．[典例引领]角度一 利用三角函数定义求值已知α是第二象限的角，其终边的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝( ) A.155 B.153 C ．－155D ．－153【解析】 因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，所以x ＜0，cos α＝x x 2＋5＝24x ，解得x ＝－3，所以tan α＝5－3＝－153.【答案】 D角度二 判断三角函数值的符号若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0【解析】 因为tan α＞0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )是第一、三象限角．所以sin α，cos α都可正、可负，排除A ，B. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )， 结合正弦函数图象可知，C 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D 不正确．【答案】 C角度三 利用三角函数线解三角不等式函数y ＝ sin x －32的定义域为________． 【解析】 由题意，得sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z角度四 三角函数定义中的创新(2018²南昌质检)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【解析】 因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，所以∠POx ＝t －π4. 由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4.令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝ 2.当t ＝π4时，d ＝0，故选C.【答案】 C(1)定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(如例31)．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况． [提醒] 若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．[通关练习]1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )， 则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．已知角α的终边经过点P (－3，m )，且sin α＝34m (m ≠0)，则角α为第________象限角．解析：依题意，点P 到原点O 的距离为r ＝ （－3）2＋m 2＝3＋m 2，所以sin α＝m3＋m2，又因为sin α＝34m ，m ≠0， 所以m3＋m2＝34m ， 所以m 2＝73，所以m ＝±213. 所以点P 在第二或第三象限． 答案：二或三终边相同角的问题 (1)轴线角终边在x 轴上的角：{α|α＝k π，k ∈Z }；终边在y 轴上的角：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z ；终边在坐标轴上的角：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z .(2)终边对称角角β与角α的终边关于x 轴对称，则{β|β＝－α＋2k π，k ∈Z }； 角β与角α的终边关于y 轴对称，则{β|β＝π－α＋2k π，k ∈Z }； 角β与角α的终边关于原点对称，则{β|β＝α＋k π，k ∈Z }；由三角函数值的符号判断角所在的象限方法当角θ为第一象限角时，sin θ＞0，cos θ＞0，tan θ＞0，反之也成立； 当角θ为第二象限角时，sin θ＞0，cos θ＜0，tan θ＜0，反之也成立； 当角θ为第三象限角时，sin θ＜0，cos θ＜0，tan θ＞0，反之也成立； 当角θ为第四象限角时，sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0，反之也成立．易错防范(1)注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．－π3D ．－π6解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16³2π＝－π3.2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝12r 2³4，求得r ＝1，l ＝αr ＝4， 所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选B.因为r ＝64m 2＋9， 所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45， 所以m ＞0，所以4m 264m ＋9＝125，因此m ＝12.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.5．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选 C.因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33， 又由θ∈[0，2π)可得θ＝116π，故选C. 6．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角． 答案：二7．顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A ，B 两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB 的长为________．解析：由三角函数的定义得A (cos 30°，sin 30°)，B (cos 60°，sin 60°)，即A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32－12＝6－22.答案：6－228．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 解析：因为2cos x －1≥0， 所以cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 9．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值．解：设P (x ，y )．由题设知x ＝－3，y ＝m ， 所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. 所以sin α＝m r＝2m 4＝m 22， 所以r ＝3＋m 2＝22，3＋m 2＝8，解得m ＝± 5. 当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153.10．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6， 所以α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)因为2r ＋l ＝8， 所以S 扇＝12lr ＝14l ²2r≤14(l ＋2r 2)2＝14³(82)2＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. 所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1³2＝4sin 1.1．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A.因为α是第三象限角， 所以2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二象限角或第四象限角．当α2是第二象限角时， y ＝sin α2sin α2－cosα2cosα2＝0，当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cosα2＝0.故选A.2．若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.答案：1∶24．已知x ∈R ，则使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x ∈(π4，5π4)时，sin x >cos x ，所以在(－∞，＋∞)上使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z .答案：(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z5．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)²sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15.当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)²sin(cos θ) ＝cos 35²sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)²sin(cos θ) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35²sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)²sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)²sin (cos θ)的符号为正．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.(2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z . (3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12³1³1³sin α＝12sin α，故弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3.。
2019版一轮文数(人教版A版)课件：第三章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
解析 答案
考点一
考点二
考点三
2．求终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合．
在坐标系中画出直线 y＝ 3x， π 可以发现它与 x 轴正半轴的夹角是 ， 3 终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
π α|α＝kπ＋ ，k∈Z. 3
解析
)
答案
考点一
考点二
考点三
2kπ π π (1)由 α＝ ＋ ，k∈Z，当 k＝0 时，α＝ ，终边在第一象 3 6 6 2π π 5π 限．当 k＝1 时，α＝ ＋ ＝ ，终边在第二象限． 3 6 6 2π π π 当 k＝－1 时， α＝－ ＋ ＝－ ， 终边在 y 轴的非正半轴上， 3 6 2 故选 D.
解析 答案
考点一
考点二
考点三
[易错提醒] 1． 对于用 k(k∈Z)表示的角度， 要尽量对 k 多代入几个整数， 使之能代表全体角度． 2．注意函数值正负与角所在象限关系． 如 sin α＞0，α 可在第一、二象限也可在 y 轴的上半轴上． 3．表示终边相同角的时候，角的单位要统一． 4．注意“顺转减，逆转加”的应用，如角 α 的终边逆时针 旋转 180° 可得角 α＋180° 的终边，类推可知 α＋k· 180° (k∈ Z)表示终边落在角 α 的终边所在直线上的角．
4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k· 2π)＝ sin α ， cos(α＋k· 2π)＝ cos α ， tan(α＋k· 2π)＝ tan α (其中 k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
[三基自测] 1．单位圆中，200° 的圆心角所对的弧长为( D ) A．10π 9π C. 10 B．9π 10π D. 9
数学人教A版(2019)必修第一册5.1任意角和弧度制(共15张ppt)
小结
很显然，0°-360°角难以满足我们的需要，所以我们需 要对角的概念进行推广.
一、任意角
角度的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转但另一个位置所形成的图形
正角：一条射线绕其端点按逆
时针方向旋转形成的角
正角：一条射线绕其端点按顺
时针方向旋转形成的角
零角：一条射线没有做任何旋
转（始边与终边重合）
一、任意角
随堂练习一：写出象限角和轴线角的集合
随堂练习二：【多选题】下列各角与52°终边相同的有（ ）
A.-308°
B.-232°
C.412°
D.-778°
二、弧度制
角度制：用度为单位来度量角的单位制，叫做角度制。 规定周角的1/360叫做1度的角
弧度制：用弧长来度量角的单位制，叫做弧度制。 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 用符号rad表示，读作弧度
一、任意角
终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合，常见以 下三种形式：
一、任意角
随堂练习：表示终边落在如图所示阴影部分内角α的集合
{ 30 360·k 75 360·k, k Z }
{ 30 180·k 90 180·k,k Z }
一、任意角
象限角：将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那边角的终边在 第几象限，我们就说这个角是第几象限角。特别是，如果角的终边在坐标轴上就认 为该角不属于任何一个象限。
1rad （1π80） 57.30 5718
注意 两个单位不能混用
二、弧度制
随堂练习一：将下列表格补充完整：
角度
30°
弧度
0°
π
π
4
任意角和弧度制(任意角) 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
五、典型例题
即S＝ {β|β ＝45°+n·180°，n∈Z}． 经计算，当n分别取 – 2、 ﹣ 1 、 0 、 1 、 2 、 3时， 可得S中满足不等式﹣360°≤β<720°的元素β： ﹣315°、 ﹣135°、45°、 225°、405°、585°．
六、变式
变式．若α是第一象限角，则α / 2是第几象限角？ 分析： 先用含不等式的集合来表示角， 再根据不等式的性质，求出α / 2的范围， 最后根据范围，判断α / 2的终边的位置．
七、总结
1. 通过本节课的学习，我们体会到了引入任意角的必要性； 2. 学习了正角、负角、零角、终边相同的角、轴线角、象限角等 概念；
3. 通过三个例题，学会了用集合语言来研究角．
八、作业
完成配套的目标检测题．
谢谢收看，同学们再见！
二、角的概念
7．相反角与角的减法：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的 量所成的两个角叫做互为相反角(如下图)．角α的相反角记为﹣ α．我们有α－β ＝ α+(﹣β) ．
三、象限角
1．思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角， 并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一 个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
二、角的概念
1．引入 由初中知识可知，射线OA绕端点O按 逆时针方向旋转一周回到起始位置，在 这个过程中可以得到0°~360°范围内 的角；如果继续旋转，那么所得到的角 就超出这个范围了．
二、角的概念
1．引入 例如，体操中有 “前空翻转体540 °”“后 空翻转体720 °”这样的动作名称，这里不仅 有超出0°~360°范围的角，而且旋转的方向 也不相同． 为了准确描述这些现象，有必要将角的概念 推广到任意角．
2019高三数学人教A版 文一轮教师用书：第3章 第1节 任
第章 三角函数、解三角形第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数[考纲传真] (教师用书独具)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(对应学生用书第39页) [基础知识填充]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3.1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(2017·西宁复习检测(一))若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D ．]3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，则sin α＝( )【导学号：79170079】A ．32 B ．±32 C ．22D ．±22B [由题意知|r |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，所以y ＝±32.由三角函数定义知sin α＝y ＝±32.]4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C ．910πD ．109πD [单位圆的半径r ＝1,200°的弧度数是200×π180＝109π，由弧长公式得l ＝109π.]5．终边在射线y ＝－x (x ＜0)上的角的集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋34π，k ∈Z[终边在射线y ＝－x (x ＜0)上的一个角为34π，从而所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋34π，k ∈Z](对应学生用书第40页)(1)若角α是第二象限角，则2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)已知角α的终边在如图3-1-1所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．图3-1-1(1)C (2)2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) [(1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角． 综上，α2是第一或第三象限角．(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )．][规律方法] 1.与角α终边相同的角可以表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．2．由α所在象限，判定α2所在象限，应先确定α2的范围，并对整数k 的奇、偶情况进行讨论．[变式训练1] (1)终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是( )【导学号：79170080】A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝π3＋2k π，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2π3＋2k π，k ∈ZC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2π3＋k π，k ∈Z(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________. (1)D (2)－675°或－315° [(1)在(0，π)内终边在直线y ＝－3x 上的角为2π3，所以终边在直线y ＝－3x上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2π3＋k π，k ∈Z. (2)由终边相同的角的关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.](1)(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[规律方法] 1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．2．利用公式：(1)l ＝αR ；(2)S ＝12lR ；(3)S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S 是扇形面积，知道两个量，可求其余量． [变式训练2] (1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A ．π6 B ．π3 C ．3D ． 3(2)若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm. (1)D (2)833π [(1)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3， ∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr ＝ 3. (2)设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.](1)(2018·天水模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________． 【导学号：79170081】(1)－64 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [(1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m 3＋m 2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.][规律方法] 用定义法求三角函数值的两种情况．(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[变式训练3] (1)(2018·合肥模拟)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x ＝________.(2)已知角α的终边上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 56π，cos 56π，若α∈(－π，0)，则α＝________.(1)52 (2)－π3 [(1)cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52，或x ＝－52，又－x ＜0，即x ＞0，所以x ＝52.(2)法一：点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，点P 到原点O 的距离r ＝1，从而cos α＝12，又α∈(－π，0)，所以α＝－π3.法二：由sin 256π＋cos 256π＝1得cos α＝sin 56π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－56π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，又α∈(－π，0)，所以α＝－π3.]。
高中数学必修第一册人教A版(2019) 《任意角》课标解读
《任意角》课标解读教材分析本节内容是初中所学习的角的概念的自然延续，是角的概念的扩展和延伸，也是描述周期现象的重要数学模型——三角函数的起始内容.角的概念的推广也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供了有利的工具.本节属于比较基础的内容，在考试中进行直接考查的情况并不多见，而是常常作为解答的一部分，主要是让学生理解角的概念并会进行正确表示，为正确答题打下坚实基础.本节内容涉及数学抽象和直观想象等素养.学情分析学生在初中时已接触到角的概念（角的范围仅限于0º～360º），在前面又学习了集合内容，具备了一定的基础知识，同时具备了一定的观察能力和数形结合能力.由于刚刚将角的概念推广，学生还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质，在理解终边相同的角的表示方法上，学生会出现障碍，另外，学生在用集合和数学符号语言正确地表示象限角时也可能会出现障碍.教学建议教学中要渗透用运动的观点来讲述角的概念的推广的实际意义，要充分结合角和平面直角坐标系的关系，建立象限角的概念，使得对任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法，引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，能熟练写出与已知角终边相同的角的集合，这是本节教学的一个重要任务.同时，教学中应反复挖掘“探究”栏目，要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般表达形式，也就会自然地理解集合{|360,}S k k ββα︒==+∈Z 的含义，提升数学抽象素养.如能借助多媒体辅助教学，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系，让学生在动态的过程中体会既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻含义，提升直观想象素养.学科核心素养目标与素养通过实例展示，理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广之后的角的概念，提升学生数学抽象和直观想象素养，达到水平一的要求.情境与问题通过如何校正手表的时间（分为快、慢两种情形），发现分针转动的方向不同，甚至有时候转动的角度超过了1圈，来体会角的概念不再局限于0º～360º，自然、生动地引入新课.内容与节点本节内容是任意角，涉及象限角和终边相同的角等概念.既通过角的表示方法复习了前面学习的集合的知识，又为后续学习三角函数的其他内容起到了打基础的作用，意义十分重大.过程与方法首先通过实际问题的展示，引发学生的认知冲突，然后通过具体例子，将初中学过的角的概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.教学重点难点重点将0º～360º范围的角推广到任意角，终边相同的角的集合表示.难点用集合来表示终边相同的角.。