余角与补角1
余角和补角课件(共23张PPT)
6.3.3
余角和补角
符号语言：
因为∠3 +∠4 = 180°，
所以∠3 与∠4 互为补角.
3
注意：(1) 补角是指两个角的关系；
(2) 补角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.
4
6.3.3
余角和补角
思考
∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 与∠3 的大小有什么关系？
∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 = 180° -∠1，∠3 = 180° -∠1.
6.3.3
余角和补角
七年级上
6.3.3
余角和补角
学习目标
1. 了解余角、补角的概念.
重点
2. 掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的性质解决相关问题.
重点
6.3.3
余角和补角
新课引入
问题1：下图中的∠A 和∠B 有怎样的数量关系？
A
A
30°
45°
90° 45°
C
B
∠A +∠B = 90°
90° 60°
6.3.3
余角和补角
例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分
∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解:因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC 和∠BOC
互为补角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC+∠BOC )
6.3.3
余角和补角
3.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB 的度数，但人不能进入围墙
，如何测量？
数学补角和余角的概念
数学补角和余角的概念
数学中，角是我们经常会涉及到的一个概念。
在计算角度大小和角度关系时，我们还需要了解一些相关的概念，其中包括补角和余角。
补角指的是两个角度的和为90度，例如一个角度为35度，那么它的补角就是55度。
而余角则是指一个角度与90度的差值，例如一个角度为70度，那么它的余角就是20度。
在解决一些数学问题时，我们可能需要根据给定的角度计算出它的补角或余角。
通过理解和掌握这些概念，我们可以更加准确地求解问题，提高数学应用能力。
- 1 -。
余角、补角、对顶角的概念和习题答案
余角和补角和对顶角余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。
两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交,构成两对对顶角。
对顶角相等.对顶角与对顶角相等.对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称; 对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。
补角的性质：同角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
余角的性质：同角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
注意：①钝角没有余角；②互为余角、补角是两个角之间的关系。
如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。
只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。
余角与补角概念认识提示：（1）定义中的“互为”一词如何理解如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。
七年级数学余角和补角
余角、补角的性质(重难点) 例题：如图 1，A、O、E 三点在同一条直线上，且∠AOC ＝∠BOD＝90°.
图1 (1)指出图中∠BOC 的所有余角； (2)∠DOC 与∠AOB 有什么关系？为什么？
思路导引：关键看∠BOC 与哪些角的和为 90°. 解：(1)∠BOC 的余角有∠AOB 和∠COD. (2)∠DOC＝∠AOB. 因为∠DOC 和∠AOB 都是∠BOC 的余角， 所以它们相等．
1．如果∠β＝20°，那么∠β的余角等于( B )
A．20°
B．70°
C．110° D．160°
2．一个角的补角是( D )
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．以上三种情况都有可能
3．如果∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互余，那么∠1 与∠3
Байду номын сангаас
的关系是( B )
A．∠1>∠3
B．∠1＝∠3
C．∠1<∠3
D．不能确定
A．45° C．135°
B．90° D．180°
余角与补角
黄石十四中七年级数学组
1．余角、补角的概念 2．如果两个角的和为 90°，那么就说这两个角互为余角， 即其中一个角是另一个角的余角． 3．如果两个角的和为 180°，那么就说这两个角互为补角， 即其中一个角是另一个角的补角．
4．余角、补角的性质 等角的余角___相__等___，等角的补角___相__等___． 5．方位角 方位角是表示方向的角，以正南、正北方向为基准，表示 成南(北)偏东(西)××度的形式． 特别地，西北方向指北偏西 45°，东北方向指北偏东 45°， 西南方向指南偏西 45°，东南方向指南偏东 45°.
解析：同角的余角相等．
互补角与互余角的关系_概述及解释说明
互补角与互余角的关系概述及解释说明1. 引言1.1 概述互补角和互余角是在几何学中常见的概念，用于描述两个角度之间的关系。
互补角是指两个角的度数相加等于90°（或π/2弧度），而互余角则是指两个角的度数相加等于180°（或π弧度）。
在本文中，将重点介绍互补角与互余角的定义和性质，并探讨它们之间的关系。
1.2 文章结构为了更好地理解和解释互补角与互余角之间的关系，本文将分为以下几个部分进行论述：引言、互补角与互余角的定义和性质、互补角与互余角之间的关系、实例分析与解释说明以及结论。
1.3 目的本文旨在系统地介绍和阐述互补角与互余角的概念，并深入探讨它们之间存在着怎样的关系。
通过对具体实例的分析和解释说明，希望读者能够更清晰地理解并应用这些概念。
最后，通过总结得出结论，对于读者进一步掌握和应用相关知识提供参考。
请注意：此回答为普通文本格式，不包含网址或特殊格式。
2. 互补角与互余角的定义和性质：2.1 互补角的定义和性质：在平面几何中，两个角被称为互补角，当它们的和等于一个直角（90度）。
具体来说，如果两个角A和B是互补角，那么它们的度数满足以下条件：A + B = 90°。
互补角具有一些有趣的性质：- 互补角是相邻补角，意味着它们共享同一边，并且两个相邻的补角之间没有其他角。
- 如果一个角是直角，则它的补角也是直角。
- 两个锐角、或两个钝角可以是互补角。
例如，45°和45°、30°和60°都是互补形式。
2.2 互余角的定义和性质：类似地，在平面几何中，两个角被称为互余（或对余）角，当它们的和等于一个平整（180度）。
具体来说，如果两个角C和D是互余，则满足以下条件：C + D = 180°。
和互补角一样，互余也有一些独特的性质：- 互余优势是共线但不重叠的优势。
这意味着两个互余角度共享同一边，并且没有其他角度位于其内部部分。
第一节 余角与补角、对顶角
第一节 余角、补角与对顶角1.互为余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。
注：互为余角仅仅表明了两个角之间的度量关系，与角的位置无关。
2.互为补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。
注：和是平角，说明了互为补角仅仅表明了两个角之间的度量关系，与角的位置无关。
3.对顶角直线AB 与CD 相交于点O ，∠AOC 与∠BOD 有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
注:(1)两条直线相交；(2)有公共顶点；(3)无公共边（4）对顶角是成对的，是具有特殊位置的两个角。
4.角的重要性质：（1）同角或等角的余角相等。
（2）同角或等角的补角相等。
（3）对顶角相等。
例1：判断题（1）.若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余.（ ） （2）.若∠A 与∠B 互补，则∠A +∠B =180°.（ ）（3）.若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3互补.（ ） （4）.若∠AOB +∠BOC =180°，则点A 、O 、C 必在同一直线上.（ ） （5）.若∠α+∠β+∠γ=90°，则∠α、∠β、∠γ互余.（ ）例2：如图1，直线l 1与l2相交，∠1=50°，则∠2=_________，∠3=_________.图1 图2例3：如图2，直线AB 与CD 相交于O 点，且∠AOD =90°，则∠AOC =_________=_________=_________=_________.例4：如图3，若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，∠BOC=150°，则∠DOC=________，∠AOD =________.图3 图4 图5AOBCA BCODOBA C例5：如图4，直线AB 与CD 相交于O ，∠EOD =90°，正确填写下列两角关系的名称.∠1与∠2:______________________ ∠2与∠3:______________________ ∠2与∠4:______________________ ∠1与∠4:______________________ 例6：如图5，AO ⊥BO ，直线CD 经过点O ，∠AOC =30°，求∠BOD 的度数. 例7：两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数为（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对例8：下面说法正确的个数为（ ）①对顶角相等 ②相等的角是对顶角 ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角 ④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等A.1个B.2个C.3个D.4个例9：若∠1和∠2互余，∠2与∠3互余，∠1=40°，则∠3等于（ ）A.40°B.130°C.50°D.140°例10：如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）A.（1）（3）B.（2）（3）C.（3）D.（3）（4）例11：如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，:4:1AOD DOC ∠∠=,AOF ∠的度数。
余角与补角ppt
补角的定义与性质
补角是两个角的度数和为180度 补角的性质：互补两角之和为180度，两角互补为补角
逆余角也是补角
余角与补角的关系
互余角和互补角是 余角和补角的延伸
两角互余和两角互 补可以相互转化
余角和补角的区别 在于角度和位置不 同
02
余角和补角的性质和运用
余角和补角的性质
余角
余角和补角在建筑中的运用
建筑结构
在建筑结构中，利用余角和补角可以形成优美的几何图形。例如，古罗马的 万神庙穹顶采用了120度的补角，形成了完美的穹顶结构。
光学设计
在光学设计中，利用余角和补角可以制造出具有特定反射和折射效果的材料 。例如，某些玻璃窗在阳光下会产生一定角度的反射光线，形成特定的视觉 效果。
如果两个角的和等于90度，则 这两个角互为余角。
补角
如果两个角的和等于180度，则 这两个角互为补角。
性质总结
余角和补角是一对互为补角的 关系，即一个角的余角是90度 减去这个角的度数，而一个角 的补角是180度减去这个角的度
数。
余角和补角的运用
1 2
余角的运用
在几何中，可以通过将一个角分成两个相加等 于90度的角来计算角度。
06
复习与回顾
余角与补角的定义及性质回顾
总结词：重要基础
详细描述：回顾余角和补角的定义，以及余角和补角的基本性质。重点强调余角 和补角的表示方法，以及它们在数学和几何中的应用。
余角与补角的计算回顾
总结词：核心技能
详细描述：全面梳理余角和补角的计算规则，包括余角的度 数等于90度减去另一个角的度数，补角的度数等于180度减 去另一个角的度数。同时，强调在计算中需要注意的事项和 易错点。
什么叫余角和补角
数学 定义
如果两个锐角的和是一个直角（90°）,那么称这两个角互为余角,简称 互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角（180°），那么这两个角叫互为补角．其 中一个角叫做另一个角的补角。
数学 余角
余角概念： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互
余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A 余角的性质：
则我们可以说∠γ是∠α的余角的补角。 如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称 这两个角互为补角。 同角（等角）的余角（补角）相等。
谢谢观赏！
七年级数学
什么叫余角和补角
七年级数学
在所有的角度中, 90度和180度是两个特殊的角, 它们代表着垂直 和水平。如果两个角的和正好是90度或180度, 是比较特殊的, 需要单 独定义。
按照定义, 如果两个角的度数之和为90度或者一个直角, 则它们 互为余角, 简称互余, 其中任意一个角称为另一个角的余角; 如果两个 角的度数之和为180度或平角, 则它们互为补角, 简称互补, 其中任意 一个角是称为另一个角的补角。
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°, 则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如： ∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
数学 补角
因此我们可以通过上述概念及理论中知道：若有一角∠α，使得∠β与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱα有如下关系： ∠β+∠α=90°
且有一∠γ，使得∠β与其有如下关系： ∠β+∠γ=180°
人教版七年级上数学：4.3.3《余角和补角(1)》学案(附模拟试卷含答案)
数学：4.3.3《余角和补角（1）》学案（人教版七年级上）【学习目标】在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角； 【重点难点】正确求出一个角的余角和补角。
【导学指导】 一、知识链接 思考：（1） 在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于多少度？ （2） 如图1，已知∠1=61°，∠2=29°，那么∠1+∠2= 。
（3） 如 图 2，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠COD=90°，那么∠1+∠2= 。
二、自主探究1.互为余角的定义： 思考：（1） 如图3，已知∠1=62°,∠2=118°,那么 ∠1+∠2＝（2） 如图4，A 、O 、B 在同一直线上，∠1+∠2=2.互为补角的定义：2图 190°12图 212Ａ Ｏ Ｂ图 412图 3 CODOEDCBA问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？问题2：若 ∠1+∠2 +∠3 =180° ，那么∠1、∠2、∠3互为补角吗？ 3.新知应用：例1:若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。
例2：如图，∠AOC ＝∠COB ＝90°，∠DOE ＝90°，A 、O 、B 三点在一直线上 （1）写出∠COE 的余角，∠AOE 的补角； （2）找出图中一对相等的角，并说明理由；【课堂练习】：课本141页练习1、2、3；【要点归纳】：【拓展训练】：1、一个角的余角比它的补角的31还少︒20，求这个角的度数。
2、若α∠和β∠互余，且α∠：β∠=7：2，求α∠、β∠的度数。
【总结反思】：2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，若延长线段AB 到点C ，使BC=AB ，D 为AC 的中点，DC=5cm ，则线段AB 的长度是（ ）A.10cmB.8cmC.6cmD.4cm2．若∠β=25°31'，则∠β的余角等于（ ） A.64°29'B.64°69'C.154°29'D.154°69'3．如图，两块直角三角板的直顶角O 重合在一起，若∠BOC=15∠AOD ，则∠BOC 的度数为（ ）A ．30° B. 45° C．54° D．60° 4．下列解方程去分母正确的是( ) A.由，得2x ﹣1＝3﹣3x B.由，得2x ﹣2﹣x ＝﹣4 C.由，得2y-15=3yD.由，得3(y+1)＝2y+65．甲、乙两工程队开挖一条水渠各需10天、15天，两队合作2天后，甲有其他任务，剩下的工作由乙队单独做，还需多少天能完成任务？设还需x 天，可得方程（ ）A.11()21101515x+⨯+= B.11015x x+= C.2211015x ++= D.2211015x ++= 6．中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们羊数就一样了”．若设甲有x 只羊，则下列方程正确的是（ ） A.x+1=2（x ﹣2） B.x+3=2（x ﹣1） C.x+1=2（x ﹣3）D.1112x x +-=+ 7．已知一个多项式与3x 2+9x 的和等于3x 2+4x ﹣1,则这个多项式是（ ） A ．﹣5x ﹣1B ．5x+1C ．﹣13x ﹣1D ．13x+18．定义一种正整数n “F ”的运算：①当n 是奇数时，()31F n n =+；②当n 是偶数时，()2kn F n =(其中k 是使得2k n为奇数的正整数......，)两种运算交替重复运行.例如，取24n =，则： 243105F F F −−−→−−−→−−−→⋅⋅⋅⋅⋅⋅第一次第二次第三次②①②，若13n =，则第2019次“F ”运算的结果是( ) A.1B.4C.2019D.201949．下列判断正确的是（ ） A ．-a 不一定是负数 B ．|a|是一个正数C ．若|a|=a ，则a ＞0；若|a|=-a ，则a ＜0D ．只有负数的绝对值是它的相反数10．现有五种说法：①-a 表示负数；②绝对值最小的有理数是0；③3×102x 2y 是5次单项式；④5x y-是多项式．其中正确的是（ ） A.①③B.②④C.②③D.①④11．如果水位升高1米记为+1米，那么水位下降2米应记为（ ） A.﹣1米B.+1米C.﹣2米D.+2米12．已知a ，b ，c 是有理数，且a+b+c=0，abc （乘积）是负数，则||||||b c a c a b a b c +++++的值是（ ）A.3B.﹣3C.1D.﹣1二、填空题13．如果∠A 的余角是26°，那么∠A 的补角为_______°．14．如图，在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西54°的方向，同时轮船B 在南偏东15°的方向，那么∠AOB=_______°．15．关于x 的方程ax ﹣2x ﹣5＝0(a≠2)的解是_____． 16．已知关于x 的一元一次方程2019x +5＝2019x+m 的解为x ＝2018，那么关于y 的一元一次方程52019y-﹣5＝2019（5﹣y ）﹣m 的解为_____．17．如图所示，若三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线.现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是______.18．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图5中挖去三角形的个数为______19．若a,b 是整数，且ab ＝12，|a|＜|b|，则a+b=________ . 20．与原点的距离为 2 个单位的点所表示的有理数是________． 三、解答题21．如图，长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ．点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动；点Q 从点C 出发，沿C→B→A→D→C 的路径匀速运动．两点同时出发，在B 点处首次相遇后，点P 的运动速度每秒提高了3cm ，并沿B→C→D→A 的路径匀速运动；点Q 保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，3s 后两点在长方形ABCD 某一边上的E 点处第二次相遇后停止运动．设点P 原来的速度为xcm/s ． （1）点Q 的速度为 cm/s （用含x 的代数式表示）； （2）求点P 原来的速度．（3）判断E 点的位置并求线段DE 的长．22．已知，O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．()1如图1，若AOC 30∠=，求DOE ∠的度数；()2在图1中，若AOC a ∠=，直接写出DOE ∠的度数(用含a 的代数式表示)； ()3将图1中的DOC ∠绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置．①探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在AOC ∠的内部有一条射线OF ，满足：AOC 4AOF 2BOE AOF ∠∠∠∠-=+，试确定AOF ∠与DOE ∠的度数之间的关系，说明理由．23．如图所示，一幅地图上有A ，B ，C 三地，地图被墨迹污染，C 地具体位置看不清楚了，但知道C 地在A 地的北偏东30°方向，在B 地的南偏东45°方向，你能确定C 地位置吗？24．先化简，再求值：22113122323x x y x y ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中x=-1，y=23. 25．先化简，再求值：-2x 2•4x 4+（x 4）2÷x 2-（-3x 3）2，其中x 3=12． 26．现从小欣作业中摘抄了下面一道题的解题过程：计算：24÷（13-18-16）； 解：24÷（13-18-16）=24÷13-24÷18-24÷16=72-192-144 =-264；观察以上解答过程，请问是否正确？若不正确，请写出正确的解答． 27．观察下列等式： 第一个等式：122211a 132222121==-+⨯+⨯++ 第二个等式：2222223211a 1322(2)2121==-+⨯+⨯++第三个等式：3333234211a 1322(2)2121==-+⨯+⨯++ 第四个等式：4444245211a 1322(2)2121==-+⨯+⨯++按上述规律，回答下列问题：()1请写出第六个等式：6a =______=______；()2用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =______=______； ()1234563a a a a a a +++++=______(得出最简结果)； ()4计算：12n a a a ++⋯+．28．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．【参考答案】***一、选择题1．B2．A3．A4．D5．A6．C7．A8．B9．A10．B11．C12．D二、填空题13．116°14．14115． SKIPIF 1 < 0解析：52 a-16．2023 17．201 18．121 19．7，8，13 20．±2三、解答题21．（1）2x；（2）点P原来的速度为53cm/s．（3）此时点E在AD边上，且DE=2.22．（1）15°；（2）12α；（3）①∠AOC＝2∠DOE；②4∠DOE－5∠AOF＝180°.23．画图见解析.24．-3x+y2，31 925．-4.26．错误，正确的解法见解析. 27．（1）()6266213222+⨯+⨯，6121+-7121+；（2）()2213222nn n +⨯+⨯，121n +-1121n ++；（3）1443；（4）()1122321n n ++-+.28．（1）每套课桌椅的成本为82元．（2）商店获得的利润为1080元．2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，点A 、B 在线段EF 上，点M 、N 分别是线段EA 、BF 的中点，EA ：AB ：BF ＝1：2：3，若MN ＝8cm ，则线段EF 的长是（ ）A.10 cmB.11 cmC.12 cmD.13 cm2．如果一个角α的度数为13°14'，那么关于x 的方程21803x x α-=︒-的解为（ ） A.76°46'B.76°86'C.86°56'D.166°46'3．如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄。
余角和补角1 (1)
4.3.3 余角和补角（1）【学习目标】1、知道什么是互为余角、互为补角。
会找一个角的余角和补角。
2、掌握补角和余角的性质，会用性质进行简单说理。
3、利用余角和补角解决实际问题【自主学习】目标一、知道什么是互为余角、互为补角。
会找一个角的余角和补角 任务1、认识一个角的余角；互为余角的定义： 。
几何语言表示为：若∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角或若∠1与∠2互为余角，那么∠1+∠2=90 对应练习：一、判断(1)∠1+∠2=90°则∠1是余角.( )(2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3、互为余角.( )二、填空（1） 在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于 ，所以同一块三角板的两个锐角 。
（2） 如图①，已知∠1与∠2互余，∠1=61°，那么∠2= °。
（3） 图 ②，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠COD=90°，所以∠1与∠2的关系是 。
任务2、认识一个角的补角互为补角的定义：几何语言表示为：若∠1+∠2=1800°，那么∠1与∠2互为补角若∠1与∠2互为补角，那么∠1+∠2=180°对应练习：一、判断题：1、如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角（ ）2、如果一个角有余角，那么这个角一定是锐角（3、互补的两个角不可能相等。
（） 二、填空（1）已知∠A=50°,则∠A 的余角是____ 补角是____ ，补角与余角的差是_____. （2）∠A=25°37 ,则它的余角为_______,它的补角为________.（3）一个锐角为X 度 ，它的余角为 ______ 度 ，它的补角为_______ 度,则它的补角比余角大___度. 任务3、画出一个已知角的余角和补角。
要求：独立完成，后小组交流画法如图:已知∠AOB ，利用三角板分别画它的余角和补角．【合作探究】目标二、掌握补角和余角的性质，会用性质进行简单说理。
初中数学七年级上册《余角和补角》课件 (1)
【总结提升】应用方位角注意的几点 1.画方位角时，一般以正北或正南方向作角的始边. 2.一定要分清东、南、西、北. 3.书写方位角时，先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东” 不要写成“东偏北”. 4.“东北”方向指正北与正东方向的角平分线，“西北”“东 南”“西南”依此类推.
题组一：余角和补角 1.(2012·长沙中考)下列四个角中，最有可能与70°角互补的 是( )
【总结提升】正确理解互余、互补 1.共同点：互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位 置无关，单独的一个角既不能互余也不能互补. 2.不同点：互余的两角之和等于90°，其中任何一角都小于90°； 互补的两角之和等于180°，其中的两角不可能都小于90°，也 不可能都大于90°.
知识点 2 方位角 【例2】在图中，有A,B,C三个城市，地图被损坏了一部分，使 C的具体位置看不清楚了，但知道C在A地的北偏东30°，在B地 的南偏东45°，请你帮助确定C的位置.
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角__相__等_. 余角的性质：同角(等角)的余角__相__等_.
3.方位角： 方位角是以_正__北__、_正__南__方向为基准，描述物体运动方向的角.
(打“√”或“×”) (1)互余的两角一定相等.( × ) (2)两个小于90°的角一定互余.( × ) (3)若∠1＜90°，则∠1的补角大于90°( √ ) (4)相等且互补的两个角分别等于90°.( √ ) (5)东南方向在东和南之间的任意一条射线上.( × )
【解析】选D.因为互补的两角之和是180°，所以70°角的补角 应大于90°，故选D.
2.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是( )
【解析】选D.选项A中的中∠1和∠2相等，选项D中∠1和∠2互余.
人教版2024新版七年级数学上册第六章《6.3.3 余角和补角》名师系列课件
1
2
3
= ∠2=180°–∠1
∠3=180°–∠1
结论：同角 (等角) 的补角相等.
类似地，可以得到：同角 (等角) 的余角相等.
巩固练习
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B__O_E_，∠COD的余角是 _∠__C__O_E_、__∠__B__O_E___; （2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
D
探究新知
素养考点 利用方位角解答实际问题
例 如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的
方 向 上 . 同 时 , 在 它 北 偏 东 40°, 南 偏 西 10°, 西 北 ( 即 北 偏 西
D
北
B
●
45°)方向上又分别发现了客轮B， ●
货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位 的方法画出表示客轮B，货轮C和 西
4 3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角 互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说∠3 是∠4 的补角，或∠4是∠3 的补角， 或∠3 和∠4 互补.
探究新知 图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
探究新知
素养考点 1 利用余角、补角的概念求角的度数
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角 的度数. 解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180 –x )°，
余角是 ( 90 –x )° . 根据题意，得180 –x = 4 ( 90 –x ) . 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60 °.
人教版初一数学上册余角、补角的概念与性质
初中数学七年级上册§4.3.3 余角与补角（1）学校：武都深圳中学教师：姜刘平初中数学七年级上册§4.3.3 余角与补角（1）教学目标：1、知识与技能：在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质及简单应用2、过程与方法：通过活动提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
3、情感态度与价值观：体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。
重、难点：1、重点：认识角的互余、互补关系及其性质，是本节课的重点。
2、难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质是难点。
一、引入新课：1问题引入：回顾平角、周角定义2明确目标：a余角与补角概念b余角性质与补角性质C概念及性质的应用二、新知探究活动一请同学们拿出三角板并观察三角板每个角的度数，分小组用三角板拼图，要求用三角板的两个锐角组成直角。
励）教师活动：用多媒体演示通过上面的演示，我们看到有时两个角的和是90°,也就是两个角之和正好成一直角，在这种情况下，我们给出互为余角概念互为余角定义：如果两个锐角的和是一个直角90°，那么这两个角互为余角．简称互余．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互余．反之，因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°找朋友：图中给出的各角，那些互为余角？教师活动：用多媒体演示变式练习：如图，将一三角板的直角顶点放在直线上（三角板和直线在同一平面内），随意绕该顶点在同一平面内转动三角板（三角板总在直线的上方），问∠1与∠2的和是否会发生变化？活动二：将自己准备好的长方形硬纸板沿一条直线剪开，如下图所示观察与思考：教师用多媒体演示 ∠α与∠β的关系通过上面的演示，我们看到有时两个角的和是180°，也就是两个角之和正好成一平角，在这种情况下，我们给出互为补角定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角180°．简称互补．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=180°，所以∠1与∠2互补．反之，因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180°．找朋友：图中给出的各角，那些互为补角？教师活动：用多媒体演示 活动三1、你能正确完成下面内容吗？ 若∠1 + ∠2 =180 °, ( 已知 )则 . ( ) 若∠1和∠2互补, ( 已知 )则 . ( )αOABC由上面操作，你知道与∠AOB 有什么关系吗？ 你是怎样判断的？ββα∠+∠O A B1 2 l若∠3 + ∠4 =90 °, ( 已知 )则 . ( ) 若∠3和∠4互余, ( 已知 )则 .( )2、你能快速完成下面的内容吗？需要注意的几点：①互余与互补是指两个角之间的关系，不能说单独的一个角是余角或补角，但可以说一个角是某一个角的余角或补角.②两个角是否互余或互补只跟这两个角的大小有关，与它们的位置无关，不要误认为互余或互补的角必须相邻. 知识抢答 判断： 1．如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠1、∠2、∠3这三个角称为互为余（ ） 2．两块直角三角板中∠A=90°，∠D=90°，则∠A 与∠D 互为补角。
新人教版六年级数学下册《余角和补角(1)》课件
探究三：运用知识解决问题
活动1
练习：如图是一张不规则的纸，先任意折叠，得折痕OC，展
开后，通过点O折叠使OA落在OC上，得折痕OD，同样将OB 落在OC上得折痕OE，沿着这三条折痕剪开，得到四个角，用 其中的两个角拼成一个直角，共有不同的拼法是 ( D ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【思路点拨】由互为余角的定义求解.
角相等？
探究三：运用知识解决问题
活动1
例1. 点A、O、B在一直线上, 射线OD、OE分别平分∠AOC和
∠BOC. （1）图中互余的角有_______ 对； 4 ∠AOE （2）∠3的补角是___________. 解：(1)由已知∠1=∠2, ∠3=∠4, 且∠1+∠2+∠3+∠4=180° , ∴∠2+∠4=90°. 所以互余的角有：∠1与∠3, ∠1与∠4, ∠2与∠3, ∠2与∠4, 共4对; (2) ∠3的补角是∠AOE. 【思路点拨】余角、补角定义及性质应用解答.
探究三：运用知识解决问题
活动2
1 练习：一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的 3 ，则这个角的度数是 60°．
解：设这个角为x°，则它的余角为(90－x)°，补角为
(180－x)°，
1 则 (180 x) 2(90 x) 180 ， 3
解得x=60．
【思路点拨】首先根据余角与补角的定义, 设这个角为x, 可得它 的余角和补角, 再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．
余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两 个角互为补角． 互余、互补针对两个角而言，只与数量有关，与位置无关.
探究二：探究余角、补角的性质
活动1
若∠2，∠3都是∠1的余角，问∠2与∠3的大小有何关系？ 若∠1，∠2都是∠α 和∠β 的余角，且∠α ＝∠β ，问∠1与∠2的 大小有何关系？ 将上述问题的“余角”换为“补角”，结论又如何？ 总结： 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.
余角与补角1
A组
B组
C组
(1)对A组中的每一个角，在B组中找到它的补角，并用线连结；
(2)B组中有哪些角的余角在C组中？分别找出这些角，并用线连接。
2019/11/17
练习：
1、判断题：
互余的两个角必定都是锐角。 一个角的补角必定是钝角。
( ) ( )
两个角互补，那么这两个角中，
必定一个是锐角，另一个是钝角。
2019/11/17
2 、填空 1 . 如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1 = ∠3； 2 . 如果∠1﹥∠2, ∠2﹥∠3, 那么∠1 ﹥ ∠3.
2019/11/17
试一试:看谁会
2. 如图A请用、注的O意一、：种B策用在略代同数一方法直解线决上几,何∠问A题OC是=常∠DOE= 90
若∠1= 2∠3，求：∠2的度数
∠2=∠4 , ∠AOC=∠BOC=∠DOE=900 ∠1=∠3
∠AOE
∠DOB
(1) 动手画一画： 已知∠α(如图)，请利用三角板 画的∠α的余角
A C
1α
O2
B
1α
2
β
(2)图中∠D α的余角∠1，∠2的大小有什么关系？
为什么？
因因为为1=19=090- -；； 2=29=09-0-
解：设∠3 =x，则∠1=2X
C
∵∠1+∠DOE+∠3=1800
D 2
2x 90 x 180
1
E 3
解得：x 30
即 3=30
A
O
B又 2+COE=90 3+COE=90
∴∠2=∠3 (同角的余角相等)
2019/11/17
答： ∠2的度数为30度
余角与补角的计算技巧
余角与补角的计算技巧数学是一门让人爱恨交加的学科，对于很多初中生来说，数学中的一些概念和计算方法常常让他们感到头疼。
其中，余角与补角的计算就是一个让很多学生困惑的问题。
在本文中，我将为大家介绍一些关于余角与补角的计算技巧，希望能帮助大家更好地理解和运用这一概念。
首先，我们先来了解一下余角和补角的概念。
在平面几何中，两个角互为余角，当且仅当它们的和等于90度。
同样地，两个角互为补角，当且仅当它们的和等于180度。
余角和补角的计算是一种常见的角度计算方法，它们在解决几何问题和代数问题中都有广泛的应用。
那么，如何计算余角和补角呢？我们来看一些具体的例子。
例子一：已知角A的度数为40度，求角A的余角和补角。
解析：余角是指与角A相加等于90度的角，补角是指与角A相加等于180度的角。
因此，角A的余角为90度减去角A的度数，即90度-40度=50度；角A的补角为180度减去角A的度数，即180度-40度=140度。
所以，角A的余角为50度，补角为140度。
例子二：已知角B的余角为60度，求角B的度数和补角。
解析：已知角B的余角为60度，根据余角的定义可知，角B的度数加上60度等于90度。
因此，角B的度数为90度-60度=30度。
又根据补角的定义可知，角B的度数加上补角等于180度。
所以，角B的补角为180度-30度=150度。
通过以上两个例子，我们可以看出，计算余角和补角的关键在于理解其定义，并且将其与给定的角度进行运算。
接下来，我将介绍一些常见的计算技巧，帮助大家更好地掌握余角和补角的计算。
技巧一：利用角度关系计算余角和补角。
例如，已知角C的度数为x度，那么角C的余角为90度-x度，角C的补角为180度-x度。
通过这种方法，我们可以直接得到余角和补角的度数。
技巧二：利用角度关系计算余角和补角的和。
例如，已知角D的余角为y度，那么角D的度数为90度-y度，角D的补角为180度-(90度-y度)。
通过这种方法，我们可以直接得到角D的度数和补角的度数。
余角与补角导学案1
2.1余角与补角导学案（七年级下册）
主备人：郑天琛 审核 :陈娟 课型：新授 授课时间： 教学目标 ：
在具体情景中了解余角与补角，懂得余角和补角的性质，并能运用它们解决一些简单
的实际问题.
教学重点： 1、余角、补角、对顶角的概念
2、理解同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等。
教学难点：理解同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等。
【课前准备】：
一、回顾旧知
什么是直角？什么是平角？
二、自学：
自学目标： 了解余角、补角、对顶角的概念
自学导航：
1、在P59图2-1中，相加等于90°的两个角有 ，相加等于180°的两个角 有 。
在这个图形中∠1=∠2，结合上面的结论，说说各角与∠3的关系：
2、（1）余角的概念：如果两个角 ，那么称这两个角互为余角．图2-1
中，互为余角的有
（2）补角的概念：如果两个角 ，那么称这两个角互为补角．
图2-1中，互为余角的有
★注意：余角或补角都是相对于两个角而言，而且只与这两个角的 有关，与它
们的 无关．
（3）对顶角的概念：如P60图2-3，直线AB 与CD______于点O,1∠与2∠有__________O ，它们的两边互为反向延长线，这样的_________叫做对顶角；对顶角一定___________请举出生活中包含对顶角的例子：
自学检测：
1、已知∠α=30°则∠α的余角等于________，补角等于__________
2、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形有（ ）
A 、 0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个。
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如图，将一三角板（尺）的直角顶点放在直线 l 上 （三角板和直线在同一平面内），随意绕该顶点在 同一平面内转动三角板（三角板总在直线的上方）， 问∠1与∠2的和是否会发生变化？ B A
1
O
2
l
如将自己准备好的长方形硬纸板沿 一条直线剪开，如下图所示：
C
A
O
B
由上面操作，你知道 与∠AOB有什么关系吗？ 你是怎样判断的？
∠1
∠3
∠2=∠4 ,
∠AOC=∠BOC=∠DOE=900
∠1=∠3
∠AOE
∠DOB
试一试:看谁会
90 2. 如图A、O、 B在同一直线上, ∠AOC= ∠DOE=
请注意：用代数方法解决几何问题是常 用的一种策略
若∠1= 2∠3，求：∠2的度数 解：设∠3 =x，则∠1=2X 0 ∵∠1+∠DOE+∠3=180 C
∴ ∠BOC与∠BOD互补.
例2、如图，已知 AOC BOD Rt . 指出图中还有哪些角相等，并说明理由.
D C
解：∠AOB=∠COD. 理由：∵∠AOC=∠BOD=Rt∠， ∴∠AOB+∠BOC=90°， ∠COD+∠BOC=90°， B 即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角， A ∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等）.
数量关系为：
∵∠α+ ∠β=180°， ∴∠α和 ∠β互补.
∵ ∠α和 ∠β互补， ∴∠α+ ∠β=180°.
问：①互余的两个角分别是什么角？锐角 ②互补的两个角分别是什么角？ 一个为锐角，另一个为钝角 或两个都是直角
看谁答得快
∠α 30° ∠α 的余角 ∠α 的补角
42°
54° 62°23′
60 ° 48 ° 36 ° 27 ° 37 ′
O
若将例2中射线OA反向延长，其它条件 保持不变，得到下图，问：
D C
（1）图中有哪些角互余？
B
（2）图中有哪些角互补？ （3）图中还有哪些角相等？
E
O
A
比一比 : 看谁快
1. 如图A、O、 B在同一直线上, ∠AOC= ∠DOE= 90 找出图中
A D
C
3 1
O
E
4
B
互余的角 相等的角 互补的角
150 ° 138 ° 126 ° 117 ° 37 ′
x
90 x
注意： 只有锐角有余角
180 x
需要注意的几点：
①互余与互补是指两个角之间的关系，说单独的
一个角是余角或补角是毫无意义的，但可以说
一个角是某一个角的余角或补角. ②两个角是否互余或互补只跟这两个角的大小有关， 与它们的位置无关，不要误认为互余或互补的角 必须相邻.
D 1 A O
2
3
E
2x 90 x 180
解得：x 30
即 3=30
B又 2+COE=90
3+COE=90
∴∠2=∠3
(同角的余角相等)
答： ∠2的度数为30度
例3、已知一个角的补角是这个角的余角 的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角为
(90 x) 度，补角是 (180 x) 度。由题意，得
3、下图中，Rt∠AOB的顶点在直线CD上，
根据前面的探究，图中有哪些角互余？
哪些角互补？说明你的理由.
解：∵∠AOC+∠BOD+∠AOB=180°，
A C O
B D
∠AOB=90°， ∴ ∠AOC+∠BOD=90°， ∴ ∠AOC与∠BOD互余. ∵ ∠AOC+∠AOD=180°， ∴ ∠AOC与∠AOD互补. ∵∠BOC+∠BOD=180°，
x 度，则这个角的余角是
180 x 4(90 x)
解这个方程，得
x 60
答：这个角的度数为60°.
若一个角的补角和这个角的余角互补，
求这个角.
1
O
B D
α
2
β
(2)图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关系？ 为什么？ 因为1=90 - ；2= 90 -
又因为∠α=∠β
所以1=2
(3) 这一结论用文字怎么叙述？
同 (等) 角的余角相等
(2) 动手画一画
已知∠α(如图)，
请利用三角板画的∠α的补角
C
A
α
O2 D
B
α
2
β
同 (等) 角的补角相等
活动一：四人小组用相同的三角尺拼图. 要求用三角尺的两个不同锐角组成直角
30° 60° 60° 30°
60°
30° 30° 60°
30°
60° 60°
30°
（ 1）
（ 2）
如换用自己制作的相同的三角板拼图.可以达 到目的吗？
2 1 2
1
可要动脑筋哟！
1 2
2 2
1 1 1 2
（ 1）
（ 2）
由以上操作，你知道图中∠1+∠2与Rt∠有什么关系？ 你是怎样判断的？
A C
1
α
2
1
O
B D
α
2
β
(2)图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关系？ 为什么？ 因为1=90 - ； 2= 90 -
所以 1=2
(3) 这一结论用文字怎么叙述？
同
角的余角相等
(1) 动手画一画： 已知∠α(如图)，请利用三角板 ，请利用三角尺 画的∠α的余角
A C
1
α
2
1、判断下列说法是否正确，并说明理由.
√（1）一个锐角的补角一定是钝角；
（2）如果两个角互补，那么这两个角中，一个 是锐角，另一个是钝角；
√（3）如果一个角的余角和补角都存在，那么这
个角的余角一定比这个角的补角小.
(1) 动手画一画： 已知∠α(如图)，请利用三角板 ，请利用三角尺 画的∠α的余角
2 1
1
2
B A 1 O 2
l
一、余角和补角的概念： （1）如果两个锐角的和是一个直角，称这两个锐角是 互为余角，简称互余. 其中一个角是另一个角的余角. ∵ ∠α和 0°，
∴∠α和 ∠β互余. ∴∠α+ ∠β=90°. （2）如果两个角的和是一个平角，称这两个角为 互为补角简称互补. 其中一个角是另一个角的补角.