专题 导数-2020年高考数学(理)二轮专项复习

专题 导 数

导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．在本专题中，我们将复习导数的概念及其运算，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调性、极值等性质，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用．导数的相关问题主要围绕以下三个方面：导数的概念与运算，导数的应用，定积分与微积分基本定理．

§4－1 导数概念与导数的运算

【知识要点】

1．导数概念：

(1)平均变化率：对于函数y ＝f (x )，定义

1

212)

()(x x x f x f --为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平

均变化率．换言之，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，那么函数f (x )相应地有增量f (x 0＋∆

x )－f (x 0)，则比值

x

x f x x f ∆-∆+)

()(00就叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋∆x 之间的平均变

化率．

(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是

x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim

000，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即

x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)

()(lim

)(0000. (3)函数y ＝f (x )的导函数(导数)：当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，我们称它为函数

y ＝f (x )的导函数(简称导数)，即x

x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)

()(lim

)(0

.

2．导数的几何意义：

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．

3．导数的运算：

(1)几种常见函数的导数： ①(C )′＝0(C 为常数)；

②(x n )′＝nx n －1(x ＞0，n ∈Q *)； ③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(e x )′＝e x ；

⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)；

⑦x x 1)(ln =

； ⑧e x

x a a log 1

)(log =(a ＞0，且a ≠1)．

(2)导数的运算法则：

①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()

()

()()()(])()([

2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . (3)简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))的导数：

设函数y ＝f (u )，u ＝g (x )，则函数y ＝f (u )＝f [g (x )]称为复合函数．其求导步骤是：x

y '＝u f '·x g '，其中u f '表示f 对u 求导，x g '表示g 对x 求导．f 对u 求导后应把u 换成g (x )．

【复习要求】

1．了解导数概念的实际背景； 2．理解导数的几何意义；

3．能根据导数定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，x y x

y ==

,1

的导数； 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 5．理解简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))导数的求法．

【例题分析】

例1 求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)(x 2－1)；

(2)1

1

+-=

x x y ； (3)y ＝sin2x ；

(4)y ＝e x ·ln x ．

解：(1)方法一：y ′＝(x ＋1)′(x 2－1)＋(x ＋1)(x 2－1)′＝x 2－1＋(x ＋1)·2x ＝3x 2＋2x －1．

方法二：∵y ＝(x ＋1)(x 2－1)＝x 3＋x 2－x －1，∴y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1． (2)方法一：⋅+=+--+=+'+--+'-='+-='2

22)

1(2

)1()1()1()1()1)(1()1()1()11(

x x x x x x x x x x x y 方法二：∵12111.+-=+-=x x x y ，∴2

)

1(2)12()121('+='+-='+-=x x x y . (3)方法一：

y'＝(sin2x )'＝(2sin x · cos x )'＝2[(sin x )'·cos x ＋sin x ·(cos x )']＝2(cos 2x －sin 2x )

＝2cos2x ．

方法二：y'＝(sin2x )'·(2x )'＝cos2x ·2＝2cos2x ．

(4))(ln e ln )e ('+'='⋅⋅x x y x

x

＝x

x x

x

x x x e )1(ln e ln e ⋅⋅+=+．

【评析】理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件．运用公式和求导法则求导数的基本步骤为：

①分析函数y ＝f (x )的结构特征；

②选择恰当的求导法则和导数公式求导数； ③化简整理结果．

应注意：在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量．(如(1)(2)题的方法二较方法一简捷)．