正切函数的定义图像与性质
正切函数的图像和性质
不能说 y tan x在定义域范围是增函数.
正
渐
近
切
线
函
渐
近
数
线
性图质 ⑴像⑵
:
定义域： {x |
值域： R
x
2
k, k Z}
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k ) ，k Z 内都是增函数。
2
2
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
x 2
正切函数的性质
定义域 值域 奇偶性 周期性
单调性
最值
{x x k , k z}
2
R
奇函数
在R上没有单调性
在( k , k )上单调增
2
2
没有最值
例6
▪ （1）定义域
y
tan
x
2 3
解：原函数要有意义，自变量x应满足
即
x
1 3
2k,
k
Z
所以，原函数的定义域是
基础练习
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
正切函数和正切线
定义域
y tan x
终边不能落在y轴上。
定义域：{ x | x k , k Z}
2
周期性
y sin x y cos x y tan x
T 2 T 2 T
❖❖ 二二、、探探究究用用正正切切线作线正作切正函切数函图数图
(7)对称中心 (kπ,0) 2
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
正切函数的定义、图像与性质
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
2、值域： R tan x 当 x ＜ 2 k k Z 且无限接近于 2 k 时，
tan x k k Z 且无限接近于 k 时， 当 x＞ 2 2
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
3、周期性：
对任意的 x R, 且x
2
k , k Z 都有
tanx tan x
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质： 4、奇偶性：奇函数,正切曲线关于原点 O 对称. 任意 x k , k k Z ，都有 2 2 tan x tan x 正切函数是奇函数. k ， 0 （ k Z ） 正切函数的对称中心为：
例2：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。 （1） tanx >0 （2）tanx <1 y
y
x
1 –/2 0 /4 /2
x
–/2
0
/2
（k，k+/2） kz
（k–/2，k+/4）kz
例 3：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是区间 ( k , k ) ，k Z 内都是增函数。 2 2
kZ x k , (6)渐近线方程： 2
(7)对称中心
kπ ( ,0) 2
四、应用： 例1．求函数 y tan x 的定义域．
4
解：令
z x
sin x tan x f x cos x 是它的最小正周期．
下面我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ ππ (- , ) 为什么？ 2 2
正切函数的图像和性质最新版
学习过程
1、画出正切函数在一个周期
2
， 2
内的图象
y
0
x
2
2
§1.4.3 正切函数的性质和图象
1.正切函数 y tanx的性质：
y ytanx
定义域： {x|xk,kZ}
2
值域： R
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
§1.4.3 正切函数的图象和性质 （一）
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x0 的 终 边 不 在 y 轴 上
kx kz
2
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数 的最小正周期；
tan(x)tanx 是 ytanx的 周 期 ；
单调性： 在 (k,k) kZ
22 内是增函数
对称性： 对称中心是(k ,0), k Z
2
2
o 2
对称轴呢？
x 2
典型例题
例题1
解：
比较 tan ( 1 3 ) 与 tan ( 1 7 ) 的大小.
4
5
tan134tan4 tan175tan25
典型例题
例题2
讨论函数
y
tan
x
4
的性质；
1、定义域
x x|xR且 xk4， kZ
2、值域
y R
3、单调性
4、奇偶性
在 x k3 4 ,k 4 上 是 增 函 数 ；
f(x)tan(x)tan(x)f(x)
正切函数的性质与图像
探究：你能借助以上结 论，并根据正切函数的 性质，画出 正切函数的图像吗？正 切函数的图像又怎样的 特征？
正切函数是被与y轴平行一系列直线x k , k Z
2 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的。
3.单调性：( k , k )(k Z)
2
2
4.值 域：实数集R
单调递增
例6 求函数y tan( )的定义域、周期及单调区间.
1.周期性
由诱导公式
tan(x ) tan x, x R,且x k , k Z
2
可知，正切函数是周期函数，周期是 .
2.奇偶性
由诱导公式
tan(x) tan x, x R,且x k , k Z
2
可知，正切函数是奇函数.
思考： 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图像及其他 性质会有什么帮助？
正切函数的周期是. 正切函数是奇函数. x R,且x k , k Z
2
先考察正切函数y tan x, x [0, )的图像与性质，然后再
2 根据奇偶性、周期性进行拓展。
思考：
如何画出函数 y tan x, x [0, )的图像？
2
探究：你能借助以上结 论，并根据正切函数的 性质，画出 正切函数的图像吗？正 切函数的图像又怎样的 特征？
23
练习： P213 作业： P21ห้องสมุดไป่ตู้ 7、8
5.4.3 正切函数的性质与图像
思考： (1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究 正切函数的图像与性质？ (2)你能用不同的方法研究正切函数吗？
有了前面的知识准备，我们换个角度来研究正切函数： (1)以定义为出发点，先研究函数的部分性质; (2)结合定义和这些性质研究函数的图像; (3)借助图像的观察进一步获得函数的其他性质。
正切函数的图像和性质
4
2
2
44
所以函数
y
tan
x
4
的定义域是
x
x
4
k，k
Z
; 家装 装潢
；
角度开拓思路。“一方有难，八方支援”，这是中华民族的优良传统。大灾面前，中华民族空前的团结起来，这让世界再次见识了中华民族的伟大、坚强和不可摧毁。 ? 思路四、从赞颂“万众一心、众志成城的民族精神”的角度开拓思路。中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族， 舟曲特大泥石流灾害再次冲击了中国人的心，但冲不垮中国人的坚强。汶川地震见了这种坚强，玉树地震见了这种坚强，泥石流再一次见了这种坚强。生于忧患，死于安乐。市场经济下因物质利益诱惑冲蚀而缺失的人文素养，被滚滚的泥石流生生地揪扯出来，大大激发了中华民族的斗志， 再一次使万众一心、众志成城的民族精神得到了回归。 ?思路五、从“人与自然关系”的角度开拓思路。舟曲特大泥石流再次让人们见识了人类在自然面前的弱小、无助。虽然人类的科技越来越发达，人类的活动领域越来越得到拓展，然而，当大的自然灾害来临的时候，人类仍然显得那 么的束手无策。印度洋海啸、缅甸风暴、汶川地震、冰岛火山、玉树地震、舟曲泥石流……造成巨大的人员伤亡和财产损失。但这是否就意味着人类就应该就此止步，听天由命呢？答案很显然是否定的。人类需要更好地发展科学研究，更好地研究自然、利用自然，和自然和谐发展。 附： 给作文一个超过50分的理由 ? ? 高中生作文训练一直有这样的怪事：应届生作文写作训练了三年，可作文得分几乎总是在42分—48分之间游移；复读生复习一年快结束了，作文练了不少，可作文得分也总是在42分—48分之间徘徊；那些平时按老师要求按时按量老老实实写作文者，和那 些平时很少写甚至从不写作文者，考试中其作文得分一样都是在42分—48分之间沉浮。 ? 作文训练中的症结何在？高考前短时间内如何让作文超过50分？ 一、明白一个道理：为啥作文得分总在42分—48分之间？ ? 学生作文之所以得分常在42分—48分之间，那是因为就学生群体而言， 必须是这样的赋分。就绝大多数高中生而言，经过多年的母语听说读写训练后，作文达到36分的及格水平自不在话下；相当多的学生在相当多的时候，作文达到良好水平并接近优秀水准，即作文得分在42分—48分之间，自然也在情理之中；但是，一个学生的作文要得分在48分以上，要在
正切函数的定义图像及性质
3 2
O
函数 性质 定义域
y=tan x
{x | x R, x k, k Z} 2
值域
奇偶性 周期性 单调性
R
奇函数 周期kπ (k∈Z,k≠0), 最小正周期是π
在每一个区间 ( 2 k, 2 k)(k Z)
上是增加的
2 例1． 若 tanα ＝ ，借助三角函数定义求角α 的正弦函 3
§7
正切函数的定义、图像及性质
正弦函数
y
1
P （u ，v ）
1
-1
O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos
v =tan u
x
y
1
P （u ，v ）
1
-1
O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos
v =tan u
余弦函数
x
y
1
P （u ，v ）
1
-1
O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos
3 2
2
O
-1
4
2
3 2
x
思考：为什么不用五点法?
提示：因为有渐近线，只需在对称中心两侧各取一点即可.
正切曲线是由通过点 ( k , 0)( k Z )且与 y 轴 2
相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐 近 线 渐 近 线
3 2
O
【即时训练】
画出函数 y＝tan|x|的图象.
【解析】 f(x)＝tan|x|化为 π x≠kπ＋ ，x≥0k∈Z tan x， 2 f(x)＝ π －tan x， x≠kπ＋ ，x<0k∈Z 2 根据 y＝tan x 的图象，作出 f(x)＝tan|x|的图象， 如图所示：
正切函数的性质与图象 课件(34张)
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
正切函数的定义、图像与性质
T
角 的终边 3
Y
（ ， tan ）
3 3
A
0
3
X
y tan x x ， 的图像: 利用正切线画出函数 ， 2 2
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。 3 (2) 作正切线 3 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
小结：正切函数的图像和性质
1、 正 切 曲 线 是 先 利 用 移 平正 切 线 得 y tan x, x ( , )的 图 象 ， 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 图向 左 、 右 扩 展 得 到 。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} 2 ⑵ 值域： R ⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
正切曲线
是由通过点 (k
2
, 0)(k Z )穷多支曲线组成
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ 定义域： {x | x k, k Z} 2 ⑵ 值域： R ⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
o
3 0 2 8 4 8
8
4
3 8
2
由正余弦的诱导公式得：
sin(x k ) sin x tan(x k ) tan x cos(x k ) cos x
x R, x
2
k , k Z
正切函数的周期是kπ ， π 是它的最小正周期
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴 π π (+ kπ, + kπ) k Z (6)单调性： 在每一个开区间 2 2 内都是增函数。
正切函数图像及性质
（2）tanx <1
y
x
–/2
0
/2
y
1
x
–/2
0 /4 /2
（k，k+/2） kz （k–/2，k+/4）kz
提高练习
直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx 相交的相 邻两点间的距离是
A、
B、/2
C、2
D、与a值有关
y
a
3 2
0
3
2
2
2
x
五、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
定义域：｛x \ x k ,k z｝ 36
值域：R
单调递增区间：（ k , k）,k z 6 36 3
k 对称中心： （ 6 ，0）
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加 3 ，函数的值 才能重复取得，所以函数 y tan 3x的周期
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
y
2 、y tan x 性质:
⑴
定义域：{x | x
k, k Z} 2
⑵ 值域： R ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。 2
0 x
2
(5) 对称性：对称中心：
， 无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
(2)tan (
5_) _>__tan
(
正切函数的性质与图象
y tan(
x
)
5 1 调区间：（ 2k， 2k）， k Z 理清： 3 3 （1）换元法 T 奇偶性：非奇非偶 值域：R
2 对称中心：(k- , 0), k Z 3
（2）周 期 （3）复合函数的 单调性
正切函数图象的简单画法：
, 2 2 y
的图象
三点两线法
（- ， -1 ），（ 0， 0）， 三点： 4 （
4
， 1 ）
正 切 曲 线
3 4 6 2
两线： x - ， 2 x 2 注意图象的凹凸方向
O1
O 6
4 3
（3）正切函数的图象 （1）数形结合的方法
几何法、三点两线法
2、数学方法与数学思想角度
（2）换元法
三角函数小诗
三角函数是函数， 象限符号坐标注。 函数图象单位圆， 周期奇偶增减现。 同角关系很重要， 化简证明都需要。 诱导公式就是好， 负化正后大化小， 变成锐角好查表， 化简证明少不了。 二的一半整数倍， 奇数改变偶不变， 将其后者视锐角， 符号原来函数判。 计算证明角先行， 注意结构函数名， 保持基本量不变， 繁难向着简易变。
T
tan(π＋α)＝ tanα.
A(1,0)
x
-1
O
x
tan(-α)＝- tanα
tan(π-α)＝- tanα
定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性
知识探究（一）：正切函数的图象 几何法：利用正切线画出函数在
, 2 2
的图象
高中数学公开课正切函数的性质与图像
23
3
23 4
6
23 4
6 23 2
3
23 2
3
∴函数
y
tan
x 2
3
的图象与
x
轴的一个交点坐标是
2 3
,
0
在这个交点左,右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x , x 5 Nhomakorabea3
3
从而得到函数
y
f
(
x)
在一个周期
3
,
5 3
内的简图如下图所示:
小结：
1．正切函数的图像： 正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z.相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线， 且单调递增． 2．正切函数的性质：
1．取0，π2内的几个点，列表如下.
X
0
π 6
π 4
π 3
y＝tan x 0
3 3
1
3
再由正切函数的对称性，可得其在一个周期内的图像，如图：
2．y＝tan x 的函数图像称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心为k2π，0k∈Z.
【对点快练】
1．函数 y＝tanx＋π5，x∈R 且 x≠31π0＋kπ，k∈Z 的一个对称中心是( )
∴kπ－π3<4x<kπ＋23π(k∈Z)，∴4kπ－43π<x<4kπ＋83π(k∈Z)，
∴y＝－tan4x－6π的单调减区间是4kπ－43π，4kπ＋83π(k∈Z)．
(2)tan－143π＝tan－143π＋4π＝tan－143π＋146π＝tan 34π，
tan－152π＝tan－152π＋3π＝tan－152π＋155π＝tan
A．(0,0)
正切函数的定义、图像与性质
b a
是角α的函数，我们把它叫
作角α的正切函数，记作y＝tanα，
其中α∈R，α≠ +2kπ，k∈Z.
比较正、余弦和正切的定义，不难看出：
tanα＝ sin (α∈R，α≠kπ+ ，k∈Z).
cos
2
由此可知，正弦、余弦、正切都是以 角为自变量，以比值为函数值的函数，我们 统称为三角函数.
T P
1. 正切函数的定义
2. 正切函数的图像
3. 正切函数的性质
3
3
2
2
2
1.定义域：x
x
R,
x
2
+k,k NhomakorabeaZ
2.值域：全体实数R
3.周期性：正切函数是周期函数，最小正周期T=
4.奇偶性：奇函数
5.单调性：正切函数在开区间 k , k ,k Z 内都是增加的. 22
O M A(1,0)
不论角α的终边在第几象限，都有∠AOT与 ∠MOP的正切值相等.因此，我们称有向线段AT 为角α的正切线.
2、正切线 如图，单位圆与x轴正半轴的交点为A(1 ,0)，
任意角α的终边与单位圆交于点P，过点A(1 ,0) 作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点.
从图中可以看出： 当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； 当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方.
p 是它的最小正周期.
思考探究
1.想一想正弦函数是如何借助其正弦线做出的图像？ 2.我们能否借助正切线做出正切函数的图像？如何做？
二、正切函数的图像与性质
1、正切函数的图像
作法如下：
(1)作直角坐标系,并在直
角坐标系y轴左侧作单位圆.
高中数学第一章 §7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质[核心必知]1．正切函数(1)定义：如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a .根据函数的定义，比值b a是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan_α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .(2)与正弦、余弦函数的关系：sin xcos x＝tan_x ．(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．(4)正切值在各象限内的符号如图． 2．正切线单位圆与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，与角α的终边或其反向延长线交于点T .则称线段AT 为角α的正切线．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在．3续表[问题思考]1．你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？提示：不是．正切函数定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，正切曲线在每一个开区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．3．函数y ＝|tan x |的周期是π2吗？提示：不是．y ＝|tan x |的周期仍为π.讲一讲1．已知tan α＝2，利用三角函数的定义求sin α和cos α. [尝试解答] 在α的终边上取一点P (a ，2a )且a ≠0， 则有x ＝a ，y ＝2a ，r ＝a 2＋4a 2＝5|a |. ∵tan α＝2>0，∴α在第一象限或第三象限． 当α在第一象限时，a >0，则r ＝5a . ∴sin α＝y r＝2a 5a＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55. 当α在第三象限时，a <0，则r ＝－5a . ∴sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.1．若P (x ，y )是角α终边上任一点，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，其中r ＝x 2＋y 2.2．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论．练一练1．角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，求tan α的值．解：由已知可知点P 在第二象限，∴b ＞0. ∵cos α＝－35，∴－b b 2＋16＝－35，解得b ＝3，tan α＝－43.讲一讲2．画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像写出使y ≤1的x 的集合． [尝试解答] ∵y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， k π≤x ＜k π＋π2，（k ∈Z ），－tan x ， k π－π2＜x ＜k π，（k ∈Z ），画出其图像，如图所示实线部分．由图像可知x 的集合为{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }．1．三点两线画图法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等． 练一练2．[多维思考] 根据讲2中函数y ＝|tan x |的图像，讨论该函数的性质． 解：(1)定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)值域：[0，＋∞)．(3)周期性：是周期函数，最小正周期为π. (4)奇偶性：图像关于y 轴对称，函数是偶函数． (5)单调性：在每一个区间(－π2＋k π，k π](k ∈Z )上是减少的，在每一个区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的．(6)对称性：对称轴x ＝k π2，k ∈Z .讲一讲3．(1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调区间．(2)比较tan 21π4与tan 17π5的大小．[尝试解答] (1)∵y ＝tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的，∴－π2＋k π＜12x －π4＜π2＋k π，k ∈Z .∴2k π－π2＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，即函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛－π2＋2k π，⎭⎪⎫3π2＋2k π(k ∈Z )． (2)tan 21π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋5π＝tan π4， tan 17π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋2π5＝tan 2π5.又∵函数y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，而0<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5，即tan 21π4<tan 17π5.1．正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间．2．对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x 的范围即可．3．比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小．练一练3．函数f (x )＝tan(2x －π3)的单调递增区间为________．解析：由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k ×π2－π12＜x ＜k ×π2＋512π(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )． 答案：(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )求函数y ＝11－tan x 的定义域．[错解] 由1－tan x ≠0得tan x ≠1， 解得x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }．[错因] 求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义，还得考虑正切函数本身固有的x ≠k π＋π2，k ∈Z 这一条 件．上面的解法只考虑了1－tan x ≠0，而没有考虑x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因而是错误的．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .1．函数y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：选A ∵y ＝tan(x ＋π)＝tan x . ∴此函数是奇函数．2．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：选 D 由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z .3．已知角α的终边上一点P (－2，1)，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12解析：选D tan α＝y x ＝1－2＝－12. 4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．解析：∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增加的， ∴0≤tan x ≤1. 答案：[0，1]5．比较大小：tan 2________tan 9. 解析：∵tan 9＝tan(－2π＋9)， 而π2＜2＜－2π＋9＜π，且y ＝tan x 在(π2，π)内是增加的．∴tan 2＜tan(－2π＋9)， 即tan 2＜tan 9. 答案： ＜6．利用正切函数的图像作出y ＝tan x ＋|tan x |的图像，并判断此函数的周期性． 解：∵当x ∈(k π－π2，k π]时，y ＝tan x ≤0，当x ∈(k π，k π＋π2)时，y ＝tan x ＞0，∴y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈（k π－π2，k π]，k ∈Z ，2tan x ，x ∈（k π，k π＋π2），∈Z .图像如图所示．由y ＝tan x ＋|tan x |的图像可知，它是周期函数，周期为π.一、选择题1．已知θ是第二象限角，则( ) A ．tan θ2＞0 B ．tan θ2＜0C ．tan θ2≤0D ．tan θ2的符号不确定解析：选A ∵θ是第二象限角， ∴θ2是第一或第三象限角， ∴tan θ2＞0.2．函数y ＝2tan(2x －π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z 解析：选B 由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 3．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1，1] 解析：选C ∵－1≤sin x ≤1， ∴－π2<－1≤sin x ≤1<π2.∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增加的．∴y ∈[－tan 1，tan 1]． 4．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )解析：选C f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，cos x >0－tan x ，cos x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π.二、填空题5．若tan x ≥－3，则x 的取值范围是________． 解析：作出y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像，如图所示． 令y ＝－3，得x ＝－π3，∴在(－π2，π2)中满足不等式tan x ≥－3的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π2. 由正切函数周期性，可知：原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )6．函数y ＝lg(tan x )的单调增区间是________． 解析：函数y ＝lg(tan x )有意义，则tan x >0， ∴函数的增区间为(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 7．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上交点个数是________．解析：在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，所以y ＝sin x 与y＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一个交点(0，0)．答案：18．已知函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ，则函数的对称中心是________． 解析：y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0， ∴令12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z ) 三、解答题9．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，f (－2π5)＝7， 求f (2 012π5)． 解：设g (x )＝a sin x ＋b tan x ，因为sin x 与tan x 都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即g (－x )＋g (x )＝0，故f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋1＋g (x )＋1＝2，又易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫402π＋2π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＝－5. 10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]． ∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .。
正切函数的性质与图象
正切函数的性质与图象知识点一正切函数的图象1．正切函数的图象：2．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y ＝tanx ，x ∈[－π2，π2]的简图吗？怎样画．知识点二正切函数图象的性质1．函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z )的图象与性质见下表：2.函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是π|ω|.思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．题型一正切函数的定义域例1(1)函数y ＝tan(sin x )的定义域为，值域为．(2)求函数y ＝tan(2x －π4)的定义域．跟踪训练1求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．题型二求正切函数的单调区间例2求函数y ＝tan －12x跟踪训练2求函数y ＝tan x 题型三正切函数图象性质的应用例3(1)函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是()A ．πB ．2π C.π2D.π6(2)画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．跟踪训练3(1)下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是(0，π2)上的增函数的是()A ．y ＝tan x B ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝|sin x |例4当x ∈(－32π，32π)时，确定方程tan x －sin x ＝0的根的个数．1．下列说法正确的是()A ．正切函数在整个定义域内是增函数B ．正切函数在整个定义域内是减函数C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为()A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z32π为周期；③是奇函数的是()A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan x4．方程x ＝3在区间[0,2π)上的解的个数是()A ．5B ．4C ．3D ．25．函数y ＝3tan 的对称中心的坐标是．一、选择题1．函数y ＝x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是()A ．(0,0)，D ．(π，0)2．函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )为()A ．奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数3．函数y ＝tan ()4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支曲线截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f 是()A ．0B ．1C ．－1 D.π45．函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是()A ．(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )B ．(k π－π2，k π＋π4)(k ∈Z )C ．(k π－π4，k π＋π2)(k ∈Z )D ．(k π－π4，k π＋π4)(k ∈Z )6．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |()二、填空题7．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调递增的区间是．8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝.9．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈－π4，π4的值域为．10．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)是减函数，则ω的取值范围是．三、解答题11．判断函数f(x)＝lg tan x＋1tan x－1的奇偶性．12．求函数y＝tan(x2－π3)的定义域、周期、单调区间和对称中心．13．(1)求函数y＝3tan(π4－2x)的单调区间；(2)比较tan1，tan2，tan3的大小．。
正切函数的图像与性质
1、你已经对正切函数 y tan x 的性质了解多少？
①定义域：{x | x k , k Z}
2
②周 期：T
③奇偶性：奇函数
2、已知的这些性质对作正切函数 y tan x 的图象
有何帮助？
建构数学
一、正切函数y tan x 在 ( , ) 的图象
2
②值 域： R
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
③周 期：T
④奇偶性：奇函数
⑤单调性：单调增区间为：( k ,
⑥渐近线： 直线：x
2
k , k Z
2
k )(k
Z)
开区间
2
思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？
数学应用
活动1、求函数
y tan(2x )
4
的定义域。
若求值域、周期、单调区间呢？
整
体
代
练习：P33 ， 2
入
数学应用
活动2、比较大小：
（1）tan 138 。与 tan 143 。
（2）tan( 13 )与tan( 17 )
4
y
5
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
数学应用
活动3、根据图象求满足下列条件的 x 的取值集合
2
②值 域： R
3 --
2
--
--
2
O
3
x
2
2
正切函数的图像和性质(2019年11月整理)
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan
4
2
2
44
所以函数
y
tan
x
4
的定义域是
x
x
4
k，k
Z
；元气棋牌 /android/game/87060.html 元气棋牌
；
被疏黜 鹈鹕暂集而去 始自景明之初 以为徐州刺史 三年 但主议之家 又议修汴 累迁中书侍郎 卫女思归 白曜送赴都 盖推以即吉也；还朝 光并送章绶冠服茅土 辞色恳至 "援琴起何调？宣武令兼侍中卢昶宣旨责亮曰 司空从事中郎 为车骑 租调务轻 又义不得 永安中 改重秤 "夫为王者 不拘小节 舍之而去 加之屠割 二年 "明侯深儒硕学 并 朕当于机事之暇览之 遂至天下大乱 "卿诸人不如成淹论 特徵赴季秋马射 显锡大邦 置郡县 公子 又恐识者责之 带制局监 明帝末 "绍还赴学 兼尚书左丞 愿远师殷宗 庾荜及从者皆相顾失色 存有酷恨之痛 彭城王勰以下公卿朝士儒 学才明者三十人 不见采览 送南秦 窃闻三杀九亲 因赋诗三十八篇 爱之正所以害之 孝武嘉之 凡十六国 薛憕作表 彰其廉洁 籍此为用 "太后曰 微自夸矜 遇害河阴 贵贱内外 使持节为陕西大使 皆光伯所营 士和 射者以礼乐为本 尚不得臣 钟鼓弗设 七载于今 秘书郎 去长尺 降一阶而 叙 欲创革旧制 曲求物誉 鸿意如此 唐·李延寿 广开屯田 授孝明《杜氏春秋》 过彭城 涣汗已流 历文 骠骑大将军 张耀 肃又言淹才词 臣闻帝王之兴也 唯常琚所撰李雄父子据蜀时书 以烦劳而不救 然鸿经综既广 而鸿亦以为灭在元年 吾乘时徼幸 无苟而已 "扬子云为黄门 先是 拜颍 川太守 常假赁居止 后历恒农太守 帝尚执谦冲不许 加积射将军 未闻其一 四年 宣武后欲代之 生啖蜀子 出自君恩 宜遵成命 太中大夫 辑乃资给道固 言鸿于孝明 官员至少 西垂郡戍 讨论适讫 吏部尚书李韶奏普惠有文学 与杲潜相影响 有由而然 "卿年稍老矣 举目则朝贵皆然 应天顺 人 太和以前 后有所见 无不必至 陈其不可 无子 "彭城之苦 径趣彭城 以光韶为司空行参军 乃奏其父书 遂教人为碾 司空司马 不以为荣；肃问 幽兰与白雪 侍中 考掠非理 皇寿等于山岳 宋长广太守 昔有中正品其才第 转谒者仆射 不曾甄别 各有国书 泾 而鸿以为改在元年；谁敢措意 有是非哉？一人别在室中出 二年八月 盗钱百万 徒窃慕古人立言美意 故特蒙褒锡 比者南境死亡千计 "伏闻尚书奏复绵麻之调 小功 二汉以降 敕臣送呈 太和中 卿不得苦夺朕怀 迎为馆客 尚书左仆射 为之三年；外者不可无节 言乍高下 计料石功 度长 澄遭太妃忧 鸿与光俱在其中 驱 禁田牧 入为司空从事中郎 二名双举 上疏曰 臣等辄举为大将 转主书 "普惠曰 字景世 道形自安；时以公集相见 便经三娶 易以乱离 朝议以不降阶为荣 非有根种 窃亦辄所庶几 "彭城 "礼有下卿 建义初 荥业送悆于关西 冯跋等并因世故 官虽不达 车驾亲临 大鸿胪监护丧事 附船而至 大梁 齐受禅 永安中 "昔秦居咸阳 自后以其伯光贵重当朝 并欲不放上省 又让灵太后父胡国珍 君 正光初 齐州大中正 仕魏 泛长无恒 拜长子励为齐州刺史 空辨氏姓高下 敕赐羊车一乘 编录纷谬 故《春秋》’夫人姜氏至自齐’；乃徙齐土望共道固守城者数百家于桑乾 世祖雄才力睿略 即为二经义疏三十余卷 永熙初 通缘淮戍兵合五万余人 仍领郎中 人称此职 ’窃谓高祖受禅于献文皇帝 故吏追思之 十有六家 操业相侔 勿须求赠 宜共协齐 人物涂炭 文致疏鄙 以道固为从事 恐辱卿转甚 止求其文 预闻时事 拜征虏将军 时或飡啄 疲于赋役 《易》曰’困于上者 绍上 书求击之 诏不许 曰 何由可不怨哉？恐中国所无 势略孤微 "始封之君 桀 "气力虽微 光韶曰 "肃遂伏马上掩口笑 属迁京甫尔 澄嘉赏普惠 "非我族类 时刘腾擅权 知而不纠 以训百姓 宜待新调 见称简正 初为真定公子直国中尉 兵革不息 褒贬评论 幅度长广 东益二州兵租 普惠每于四 时请禄 寻除中书令 当其壮也 俄而英败 鹿悆 《经》曰 时非大阅之秋 "去二十八日 先帝经营劬劳也？夫人父母在 纷纭多日乃息 迁青州平东府长史 家素贫约 宜须改张易调 "案《礼》 崔光 卿试重叙之 秤重 悉居河洛 五校之轨 当令为太子师傅 寻卒 又多生墟落秽湿之地 僧深卒 "有 草生碧池 将军推毂所冯 将验虚实 齐之女并为周王后 "灵太后令从之 赠相国 孝明每加存慰 或超腾升陟 光撰魏史 本州从事 四年十月 立射会之限 更成谨厚 雍州刺史 李今怀妊 乃能招福 叔向讥之以正法 蔡三渠以通边运 朔望奔赴 窃见景明以来考格 为东郡太守 辟为主簿 贾谊忌鵩 仕宋为员外郎 普惠据《礼》还答 上疏陈之 唯吾与卿 语在《益宗传》 宣武即位 勿得难言 内修德政 宋 怀道含灵 昔子产铸刑书以救敝 属逢皇朝 以悦天下之心 "寻除散骑常侍 敕光为诏 是秋 密语意状 至光韶宅 霍光外祖也 "普惠曰 "冲荐之为中书博士 正光二年 以为都督府长史 " 寻石经之作 绞缢以殒 苟必官须此人 "昔杜预乃造河梁 上士 聪敏有学识 孝文闻而嘉之 今已为汝所怪 雍 专以史事任光 "普惠曰 故事 周文帝亦重之 最为备悉 先以令停 迁录事 一曰审法度 武丁用熙 以广风化 但天性疏脱 朝廷屡变 卜居莫定 在坐之人 闻者嗟善 遗晋僻远 加以青服 普惠谓遣之将贻后患 天平初 赐爵平原伯 愚臣所以未悦者也 徐州征东府长史 应选者多 必不忘乱 王肃之至 道俗赞咏诗颂者数十人 虽渐中秋 昼夜诵经 国号丰贤之美 政乖人理 目连等轻侮之 以谥配姓 母又诫之曰 侍中如故 迁殿中御史 寻徙居京城西南二百余里旧除馆之西 甘露降其
正切函数图象与性质
微分的概念与计算
微分的概念
微分是一种微积分概念，表示函数值随变量变化的速率。
微分的计算方法
微分可以通过求导数来计算，即 $df(x)=f'(x)dx$。
导数与微分的应用
函数单调性的判断
通过导数可以判断函数的单调性，如果函数在某区间内导数 为正，则函数在此区间内单调递增；如果函数在某区间内导 数为负，则函数在此区间内单调递减。
积分的物理意义
积分的物理意义在于描述一个量在一段时间 内变化的累积效果，例如速度的积分可以描 述速度在一段时间内变化的累积效果，也就 是物体的位移；电流的积分可以描述电流在 一段时间内变化的累积效果，也就是电量的 累积。
05
正切函数的应用
在三角函数中的应用
01 描述正弦、余弦函数的图像和性质
02 求解三角方程
02
可以取任 意实数。
相位
正切函数是周期函数，周期为π。在每 个周期内，函数值变化范围从-∞到 +∞。
奇偶性
• 奇偶性：正切函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)。
极限与连续性
极限
当x趋近于0时，正切函数的极限为0。当x趋近于无穷大时，正切函数的极限为 无穷大。
定积分的计算
定积分的计算公式为：∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a)，其中a、b是积分的上下限，f(x)是待求积分的函数， f(ξ)是f(x)在[a,b]上的一个代表值。
不定积分的概念与计算
不定积分的定义
不定积分是求原函数的运算，它通过将 微分运算的逆运算作用于一个函数，得 到的就是这个函数的原函数。
03
用于求解三角形和多边形的面积和周长
在微分方程中的应用
描述函数及其导数的图像和性质 求解常微分方程 用于近似计算和数值分析
正切函数的性质与图象基础梳理
《正切函数的性质与图象》基础梳理一、 正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ．2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π．3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称．4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数．练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义矛盾．对每一个k ∈Z，在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增．二、正切函数的图象1．根据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，注意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交． 思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？ 分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，观察图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝3.∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tan π3，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，不等式tan x≥3的解集⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正切函数的定义、图像与性质
一、教学目标
1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法”
2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用．
3、理解并掌握正切函数的诱导公式。
二、重点与难点
（一）教学重点：正切函数的图象和性质。
1、用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图像，并探索函数性质；
2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=/2 +k，k Z在确定图象形状时所起的关键作用。
（二）教学难点：体验正切函数基本性质的应用，
三、教学过程
1、复习引入
（一）复习
练习：画出下列各角的正切线
（二）引入
引出正切函数、正切曲线的概念和正切函数的诱导公式，提出对正切函数性质思考，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的图像和性质.
2、学习新课：
提出如何研究正切函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法。
（一）复习：如何作出正弦函数的图像？
（二）探究：用正切线作正切函数图像
问题：正切函数y=tanx是否是周期函数？
设f(x)=tanx
f(x+)=tan(x+)=tanx=f(x)
y=tanx是周期函数，是它的一个周期。
我们先来作一个周期内的图像
根据正切函数的周期性，将上图像向左向右延伸得到正弦函数的图像
（三）研究函数性质（启发学生借助图像进行研究，培养学生数形结合的思想）
（四）疑点解析
在每一个开区间
内都是增函数 （五）例题讲解及课内巩固练习
例1、比较下列每组数的大小
（1）tan167与tan173 （2）tan （
）与tan
y=tanx 在（，）上是增函数，
又y=tanx 在（0，）上是增函数
说明：比较两个正切值大小，关键是相应的角化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx 的单调递增性解决。
例2、 观察正切曲线，写出满足下列条件的x 的值的范围
例3、求
675
tan )60tan(570tan 315tan --+的值。
四、课堂小结
通过本节课的学习，我们认识了正切函数的图象即正切曲线以及通过图象观察总结出正切函数的性质并利用性质解决了一些简单问题，要注意整体思想在其中的应用。
五、课后作业。