人教版八年级数学上册第十三章 13.3.1.2等腰三角形的判定同步练习题( 教师版)

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人教版八年级上册数学第13章13.3《等腰三角形》【同步练习】

人教版八年级上册数学第13章13.3《等腰三角形》【同步练习】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．点M(1，2)关于原点对称的点的坐标为( )．A．(—1，2) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(2，－1) 2．下列说法正确的是：（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．顶角相等的两个等腰三角形全等C．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D．等腰三角形的两个底角相等3．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P 关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形4．等腰三角形的对称轴，最多可以有( )A．1条B．3条C．6条D．无数条5．下列判断不正确的是( )。

A．等腰三角形的两底角相等B．等腰三角形的两腰相等C．等边三角形的三个内角都是60°D．两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形6．下列轴对称图形中，对称轴最多的是( )A．等腰直角三角形B．有一角为60 的等腰三角形C．正方形D．圆二、填空题7．若等腰三角形的一个角为110°，则它的底角为________度．8．等腰三角形的腰长是6，则底边长3，周长为______________________。

9．等腰三角形一个底角为50°，则此等腰三角形顶角为________________________．10．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于11．已知直线yy′⊥xx′，垂足为O，则图形①与图形_____成轴对称12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝，则这个三角形的底边长为______㎝．13．腰长为12㎝，底角为15°的等腰三角形的面积为________。

人教版数学八年级上册13.3 等腰三角形同步练习(解析版)

人教版数学八年级上册13.3：等腰三角形同步练习一．选择题（共15小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4 cm B．2 cm C．1 cm D．cm2．一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共（）条．A．9B．7C．6D．33．如图，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，则图中60°的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．下列判断不正确的是（）A．等腰三角形的两底角相等B．等腰三角形的两腰相等C．等边三角形的三个内角都是60°D．两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，若AC＝6，则BD等于（）A．6B．3C．9D．126．等腰三角形的对称轴，最多可以有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条7．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC边上一点，且AE＝AD，∠BAC ＝40°，则∠EDC的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°9．一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm10．如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，图中除AB＝AC外，相等的线段共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对11．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，则这个等腰三角形的顶角为（）A．a B．90°﹣a C．12a D．2a12．等腰三角形的底角为a，则a的取值范围是（）A．a≤45°B．0°＜a＜90°C．45°＜a＜90°D．0°≤a＜90°13．如图，在等边三角形ABC中，三条中线AE，BD，CF相交于点O，则等边三角形ABC 中，从△BOF到△COD需要经过的变换是（）A．轴对称变换B．旋转变换C．平移变换D．相似变换14．如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长x的取值范围是（）A．x＞4cm B．x＞2cm C．x≥4cm D．x≥2cm15．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cmC．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定二．填空题（共6小题）16．若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于50°，则其顶角的度数为．若等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于50°，则其顶角的度数为．17．一个等腰三角形的腰长为3cm，则底边长的取值范围是．18．如图，AB＝AC，∠A＝100°，AB∥CD，则∠BCD＝度．19．等腰三角形的顶角与底角的度数之比为4：1，则它的各内角度数为．20．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝．21．（1）等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为．（2）等腰三角形的一个角为50°，则底角是．三．解答题（共9小题）22．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．23．如图，已知AB＝AC，D为BC边中点，你能说出AD与BC的位置关系吗？请说明理由．24．如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC，试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？与其他同学进行交流．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC．请找出图中其他的等腰三角形，并选择其中的一个说明理由．26．已知D是等腰△ABC底边BC上的一个点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，当D点在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．27．如图，AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，那么AD与BC平行吗？为什么？28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F．交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明．29．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．30．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AC延长线上一点，且DE∥AB，求证：ED＝EC．人教版数学八年级上册13.3：等腰三角形同步练习参考答案一．选择题（共15小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4 cm B．2 cm C．1 cm D．cm【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB＝2cm，∴AC＝AB＝1cm，故选：C．2．一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共（）条．A．9B．7C．6D．3【解答】解：由于任意一个三角形都有三条角平分线、三条高线、三条中线，而等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以一个等腰三角形但不是等边三角形，它的角平分线、高线、中线总数共7条．故选：B．3．如图，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，则图中60°的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝60°，∵AD⊥CD，∴∠DAB＝90°，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴∠DAE＝60°∴图中60°的角有5个，故选：C．4．下列判断不正确的是（）A．等腰三角形的两底角相等B．等腰三角形的两腰相等C．等边三角形的三个内角都是60°D．两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等，正确，故本选项错误；B、等腰三角形的两腰相等，正确，故本选项错误；C、等边三角形的三个内角都是60°，正确，故本选项错误；D、两个内角分别为120°、40°的三角形的第三个内角为20°，不是等腰三角形，故本选项正确．故选：D．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，若AC＝6，则BD等于（）A．6B．3C．9D．12【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AC＝6，∴AD＝AC＝×6＝3，AB＝2AC＝2×6＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9．故选：C．6．等腰三角形的对称轴，最多可以有（）A．1条B．3条C．6条D．无数条【解答】解：等腰三角形为等边三角形时对称轴最多，可以有3条．故选：B．7．等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cmC．9cm或12cm D．在9cm或12cm之间【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是5cm时，因为5+5＞2，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．故选：B．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC边上一点，且AE＝AD，∠BAC ＝40°，则∠EDC的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：∵在△ABC中，D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，AD是∠BAC的角平分线，又∵AD＝AE，∠BAC＝40°，∴∠ADE＝80°∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故选：A．9．一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm【解答】解：当第三边是5cm时，则5+5＝10，不能构成三角形，当另一边长是10cm时，能构成三角形．故选：B．10．如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，图中除AB＝AC外，相等的线段共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高线，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF，∵AB＝AC，∴AE＝AF．故图中除AB＝AC外，相等的线段共有4对．故选：D．11．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角为a，则这个等腰三角形的顶角为（）A．a B．90°﹣a C．12a D．2a【解答】解：如图，AB＝AC，BD是腰AC的高，则∠DBC＝α∴∠C＝90°﹣α∴∠A＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α故选：D．12．等腰三角形的底角为a，则a的取值范围是（）A．a≤45°B．0°＜a＜90°C．45°＜a＜90°D．0°≤a＜90°【解答】解：∵等腰三角形的底角为a，且三角形的内角和等于180°，∴0°＜2a＜180°，∴0°＜a＜90°．故选：B．13．如图，在等边三角形ABC中，三条中线AE，BD，CF相交于点O，则等边三角形ABC 中，从△BOF到△COD需要经过的变换是（）A．轴对称变换B．旋转变换C．平移变换D．相似变换【解答】解：∵△BOF与△COD是关于OE的轴对称图形，∴从△BOF到△COD需要经过轴对称变换．故选A14．如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长x的取值范围是（）A．x＞4cm B．x＞2cm C．x≥4cm D．x≥2cm【解答】解：此等腰三角形的底为4cm，则有2x＞4，解得x＞2，故选：B．15．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cmC．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定【解答】解：当该边是腰时，底边是32﹣20＝12cm，则另外两边是10cm，12cm；当该边是底时，则腰的长为：（32﹣10）÷2＝11cm，则另外两边是11cm，11cm；经检验，两种情况都符合三角形的三边关系．故选：C．二．填空题（共6小题）16．若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于50°，则其顶角的度数为40°或140°．若等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于50°，则其顶角的度数为100°．【解答】解：（1）①当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成50°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为40°；②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为40°，三角形的顶角为140°．（2）如图，①顶角是钝角时，∠B＝90°﹣50°＝40°，则顶角＝180°﹣2×40°＝100°，是钝角，符合；②顶角是锐角时，∠B＝90°﹣50°＝40°，∠A＝180°﹣2×40°＝100°，是钝角，不符合．故答案为：40°或140°；100°．17．一个等腰三角形的腰长为3cm，则底边长的取值范围是0＜底边＜6cm．【解答】解：∵3﹣3＝0，3+3＝6cm，∴底边的取值范围是0＜底边＜6cm．故答案为：0＜底边＜6cm．18．如图，AB＝AC，∠A＝100°，AB∥CD，则∠BCD＝40度．【解答】解：∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB＝（180﹣∠A）＝40°∵AB∥CD∴∠BCD＝∠B＝40°．故填40．19．等腰三角形的顶角与底角的度数之比为4：1，则它的各内角度数为120°，30°，30°．【解答】解：设等腰三角形的各角为4x，x，x∵4x+x+x＝180°∴x＝30°∴三个内角分别是120°，30°，30°．故填120°，30°，30°．20．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝10，则BC＝5．【解答】解：由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180，∴x＝30，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴BC＝AB＝×10＝5．故答案为5．21．（1）等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为40°，40°．（2）等腰三角形的一个角为50°，则底角是50°，65°．【解答】解：（1）∵等腰三角形的一个角为100°∴两底角的和＝180°﹣100°＝80°又∵等腰三角形的两底角相等∴两底角都为40°．（2）当50°的角是底角，则底角就为50°；当50°的角是顶角，则两底角的和等于130°，所以底角等于65°．故填40°，40°；50°，65°．三．解答题（共9小题）22．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长．【解答】解：设等腰三角形的一边长为xcm，则另一边长为xcm，则等腰三角形的三边有两种情况：xcm，xcm，xcm或xcm，xcm，xcm，则有：①x+x+x＝28，得x＝8cm，所以三边为：8cm、8cm、12cm；②x+x+x＝28，得x＝7cm，所以三边为7cm、10.5cm、10.5cm．因此等腰三角形的三边的长为：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm．23．如图，已知AB＝AC，D为BC边中点，你能说出AD与BC的位置关系吗？请说明理由．【解答】解：AD⊥BC．理由如下：∵AB＝AC，D为BC边中点，∴AD⊥BC．24．如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC，试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？与其他同学进行交流．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵AB＝AC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴BD＝CD，即AD也是中线，∴∠BAD＝∠CAD，即AD又是高线，所以等腰三角形底边上的中线、高以及顶角的角平分线重合．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC．请找出图中其他的等腰三角形，并选择其中的一个说明理由．【解答】解：△ABD、△BCD．理由：∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，解得：∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∠BDC＝∠C＝72°，∴△ABD与△BCD是等腰三角形．26．已知D是等腰△ABC底边BC上的一个点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，当D点在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．【解答】解：当D是BC中点时DE＝DF，理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C；∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝CD；∴△BDE≌△CDF；∴DE＝DF．27．如图，AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，那么AD与BC平行吗？为什么？【解答】解：AD∥BC．∵△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C，又∵∠EAC是△ABC的一个外角，∴∠EAC＝∠B+∠C＝2∠B，∵AD是等腰△ABC顶角的外角的平分线，∴2∠DAC＝∠EAC，∴∠C＝∠DAC，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA延长线上一点，GE∥AD交AB于F．交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明．【解答】解：△AGF是等腰三角形；理由：∵GE∥AD，∴∠G＝∠CAD，∠BAD＝∠GF A，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠G＝∠GF A，∴AG＝AF，∴△AGF是等腰三角形．29．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形；（2）DE＝DF．理由如下：∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，∴AD也是∠BAC的平分线．又∵△AEF是等腰三角形，∴AG是底边EF上的高和中线，∴AD⊥EF，GE＝GF，∴AD是线段EF的垂直平分线，∴DE＝DF．30．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AC延长线上一点，且DE∥AB，求证：ED＝EC．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AB∥ED，∴∠B＝∠D，∴∠ACB＝∠D，又∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ECD＝∠D，∴ED＝EC．。

人教版八年级上册数学《第十三章 13.3 等腰三角形》课后练习题

八年级上册数学《第十三章13.3等腰三角形》课后练习一、单选题1．若等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．10B．7或10C．4D．7或42．已知等腰三角形的周长为10，一边长为4，则此等腰三角形的腰长为()A．2B．3C．4D．3或43．等腰三角形的腰长为5cm,底边长为6cm,则该三角形的面积是（）A．163B．24cm2C．323D．12cm24．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．正确结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，△ABC的周长为32，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=12，则PQ的长为（）A．2B．3C．4D．56．如图，在∆ABC中，AB、BC的垂直平分线相交于三角形内一点O，下列结论中错误的是（）A．点O在AC的垂直平分线上B．∆AOB、∆BOC、∆COA都是等腰三角形C．∠OAB+∠OBC+∠OCA=900D．点O到AB、BC、CA的距离相等7．在等腰三角形中，两个内角的比为4:1，则顶角为（）A．360B．200C．360或1440D．200或1200二、填空题8．已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是_____．9．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80︒，则它的特征值k=__________．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝_____度．三、解答题11．如图，P、Q△是ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.12．如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：∆PDE≅∆QCE；F且（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．13．如图，图1中ΔABC是等边三角形，DE是中位线，是线段BC延长线上一点，CF=AE，连接BE，EF.图1图2(1)求证：BE=EF；(2)若将DE从中位线的位置向上平移，使点D、E分别在线段AB、AC上(点E与点A不重合)，其他条件不变，如图2，则(1)题中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由.14．如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．15．如图，平行四边形ABCD中，AE、DE分别平分∠BAD、∠ADC，E点在BC上．，（1）求证：BC＝2AB；（2）若AB＝3cm，∠B＝60°一动点F以1cm/s的速度从A点出发，沿线段AD运动，CF交DE于G，当CF∥AE时：①求点F的运动时间t的值；②求线段AG的长度．16．如图，等边三角形ABC的边长是10cm，求：（1）高AD的长（2）S△ABC（结果保留根号）17．如图，在△ABC中,AB=AC,P为BC边上任意一点,PF⊥AB于F,PE⊥AC于E,若AC边上的高BD=a.(1)试说明PE＋PF=a;(2)若点P在BC的延长线上,其它条件不变,上述结论还成立吗?如果成立请说明理由;如果不成立,请重新给出一个关于PE,PF,a的关系式,不需要说明理由.18．已知:如图,BD是等边△ABC一边上的高,延长BC至E,使CE=CD.(1)试比较BD与DE的大小关系,并说明理由;(2)若将BD△改为ABC的角平分线或中线,能否得出同样的结论?19．（1）操作发现：如图①，点D是等边△ABC的边AB上一动点（点D与点B不重合），连接CD，以CD为边在CD上方作等边△CDE，连接AE，则AE与BD有怎样的数量关系？说明理由．（2）类比猜想：如图②，若点D是等边△ABC的边BA延长线上一动点，连接CD，以CD 为边在CD上方作等边△CDE，连接AE，请直接写出AE与BD满足的数量关系，不必说明理由；（3）深入探究：如图③，点D是等边△ABC的边AB上一动点（点D与点B不重合），连接CD，以CD为边分别在CD上方、下方作等边△CDE和等边△CDF，连接AE，BF则AE，BF与AB有怎样的数量关系？说明理由．20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.(1)结合图形，请你写出你认为正确的结论；(2)过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；(3)若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？若有，请写出所有的等腰三角形，若没有，请说明理由；线段EF、BE、FC之间，上面探究的结论是否还成立？②当AP=5答案1．C2．D3．D4．B5．C6．D7．D8．6+439．8或51410．3611．∠BAC=105°.12．解：（1）Q四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ECQ=90︒，Q E是CD的中点，∴DE=CE，又Q∠DEP=∠CEQ，∴∆PDE≅∆QCE(ASA)；（2）①Q PB=PQ，∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，Q∆PDE≅∆QCE，∴PE=OE，Q EF∥BQ，∴PF=BF，∴在Rt∆P AB中，AF=PF=BF，∴∠APF=∠PAF，∴∠PAF=∠EPD，∴PE∥AF，Q EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；8时，四边形AFEP是菱形．设AP=x，则PD=1-x，若四边形AFEP是菱形，则PE=P A=x，Rt ∆PDE 中，由 PD 2 + DE 2 = PE 2 得 (1- x)2 + ⎪ 2 = x 2 ，Q CD = 1，E 是 CD 中点， ∴ DE = 1 2，在 ⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭解得 x = 5 8， 5 即当 AP = 时，四边形 AFEP 是菱形． 813．解(1)证明：∵ΔABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB= 60o ，AB=BC=AC∵DE 是中位线，∴E 是 AC 的中点，∴BE 平分∠ABC ，AE=EC∴∠EBC= 1 2 ∠ABC= 30 o∵AE=CF ，∴CE=CF ，∴∠CEF=∠F∵∠CEF+∠F=∠ACB= 60o ，∴∠F= 30 o ，∴∠EBC=∠F ，∴BE=EF(2)结论仍然成立.∵DE 是由中位线平移所得；∴DE//BC ，∴∠ADE=∠ABC= 60o ，∠AED=∠ACB= 60o ，∴ΔADE 是等边三角形，∴DE=AD=AE ，∵AB=AC ，∴BD=CE ，∵AE=CF，∴DE=CF∵∠BDE=180o-∠ADE=120o，∠FCE=180o-∠ACB=120o，∴∠FCE=∠EDB，∴ΔBDE≌ΔECF，∴BE=EF14．解：（1）∠ECF不变为60°．理由如下：∵△ABC△和ADC都是边长相等的等边三角形，∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，又∵E、F两点运动时间、速度相等，∴BE=AF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠ECB=∠FCA．所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（2）不变化．理由如下：∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，△BCE≌△ACF，∴△AEC的面积+△BEC的面积△=ABC的面积；（3）证明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形，∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，∴∠ECF-∠ACF=∠ACD-∠ACF，即∠AFE=∠FCD，所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．15．解（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，同理：CE＝CD，∴BE＝CE＝AB，∴BC＝BE+CD＝2AB；（2）①由（1）知，CE＝CD＝AB，∵AB＝3cm，∴CE＝3cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE＝3cm，∴点F的运动时间t＝3÷1＝3（秒）；②由（1）知AB＝BE，∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，AE＝AB＝3cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AE∥CF，∴∠ECF＝∠AEB＝60°，∴∠DCF＝∠BCD﹣∠ECF＝60°＝∠ECF，由（1）知，CE＝CD＝AB＝3cm，∴CF⊥DE，在△Rt CGE中，∠CEG＝90°﹣∠ECF＝30°，CG＝1BC•AD=⨯10cm⨯53cm=253cm2∴1∴∠CGE＝90°，3CE＝，22∴EG＝3CG＝33，2∵∠AEB＝60°，∠CEG＝30°，∴∠AEG＝90°，在△Rt AEG中，AE＝3，根据勾股定理得，AG＝AE2+EG2= 16．解∵等边三角形三线合一的性质，∴D为BC中点，BD=DC=5cm，∵AD⊥BC，∴AD=AB2-BD2=53cm，372．∴△ABC的面积为S=11 2217．解（1）如图，连接AP，则S△ABC =S△ABP+S△ACP，11AC•BD=AB•PF+AC•PE，222∵AB=AC，∴BD=PE+PF=a；（2）PF-PE=a，理由如下：连接AP，则S△ABC=S△ABP△-S ACP，∴111AC•BD=AB•PF-AC•PE，222∵AB=AC，∴BD=PF-PE=a．18．解（1）BD=DE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，又∵BD是AC边上的高，∴∠1=∠2=12∠ABC=30°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED，又∵∠ACB=∠CDE+∠CED=60°，∴∠CDE=∠CED=30°，∴∠2=∠CED，∴BD=DE；（2）若将BD△改为ABC的角平分线或中线，能得出同样的结论．道理同（1），由于等腰三角形存在三线合一定理．19．解：（1）AE＝BD，理由如下：，，∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠DCE ﹣∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，AC BC∠BCD ∠ACE ， CD CE∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴AE ＝BD ；（2）AE ＝BD ．理由如下：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°∴∠ACB +∠ACD ＝∠DCE + ∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，AC BC∠BCD ∠ACE ， CD CE∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴AE ＝BD ；（3）AE +BF ＝AB ．证明如下：由（1）知，△BCD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝AE ，同理可证，△BCF ≌△DCA （SAS ），∴BF ＝AD ，∴AB ＝AD +BD ＝AE +BF ．20．解（1）结论：∠ABO= ∠CBO= ∠ACO= ∠BCO ，理由如下：∵AB=AC ，∴∠ABC= ∠ACB ．∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，∴∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO．（2）等腰三角形有：△ABC△、AEF△，BEO△，COF△，BOC；EF、BE、FC之间的关系EF=BE+CF，理由如下：由（1）可得，△ABC△、BOC是等腰三角形；∵EF∥BC，∴∠ABC=∠AEF，∠AFE=∠ACB,∵∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF,即AEF是等腰三角形；△∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC；∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∴∠EBO=∠EOB；∴EO=BE，∴△BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∴△COF是等腰三角形；∴EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．（3）图中的等腰三角形有：△BEO△，COF；结论仍然成立，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC；∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∴∠EBO=∠EOB；∴EO=BE，∴△BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∴△COF是等腰三角形；∴EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．。

人教版八年级数学上册 13.3 等腰三角形同步训练(含答案)

人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步训练一、选择题1. 如图，等腰三角形的对称轴是()A．直线l1B．直线l2C．直线l3D．直线l42. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB3. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°4. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对5. 如图，AD是△ABC的中线，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C B．AB－BD＝AC－CDC．AB＋BD＝AC＋CD D．AD＝BC6. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°7. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．308. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.12. 如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝________．13. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．14. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为.15. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．16. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB＝BD，根据图中的数据，求∠BAC的度数．18. 如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．19. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.4. 【答案】B【解析】∵|x－4|＋y－8＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.5. 【答案】D[解析] 由∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C可得∠ADB＝∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又BD＝DC，由垂直平分线的性质可得AB ＝AC.由等式的性质，根据AB －BD ＝AC －CD ，AB ＋BD ＝AC ＋CD ，又BD ＝CD ，均可得AB ＝AC.选项D 不能得到AB ＝AC.6. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.7. 【答案】B[解析] ∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝60°，∠AED ＝∠C ＝60°.∴△ADE 为等边三角形．∵AB ＝10，BD ＝6，∴AD ＝AB －BD ＝10－6＝4.∴△ADE 的周长为4×3＝12.8. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A. 9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC ＝CD ＝DE ，∴∠O ＝∠ODC ，∠DCE ＝∠DEC. ∴∠DCE ＝∠O ＋∠ODC ＝2∠ODC. ∵∠O ＋∠OED ＝3∠ODC ＝∠BDE ＝75°， ∴∠ODC ＝25°.∵∠CDE ＋∠ODC ＝180°－∠BDE ＝105°， ∴∠CDE ＝105°－∠ODC ＝80°.二、填空题11. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.12. 【答案】40°[解析] 如图．∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°.∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°.由三角形的外角性质和对顶角的性质可知，∠1＝∠2－∠A＝40°.13. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.14. 【答案】28 cm15. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.16. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.三、解答题17. 【答案】解：∵∠ADB＝30°＋40°＝70°，AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝70°.∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝100°.18. 【答案】解：OE＝OF.理由：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.∴OE＝OC，OC＝OF.∴OE＝OF.19. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF. ∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．。

人教版数学八年级上册第十三章 13.1---13.3同步测试题含答案

人教版数学八年级上册第十三章13.1 轴对称一、选择题1.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC2. 如图，在△ABC中，BC＝8，△ABC的周长为20，BC边的垂直平分线交AB于点E．则△AEC的周长为（）A．24B．20C．16D．123. 如下图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A.①B.②C.⑤D.⑥4. 在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有()1A.2个B.3个C.4个D.5个5. 如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于12AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（）A．7B．8C．12D．136. 将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是(）7. 点M(3，2)关于x轴对称的点的坐标为()A. (-3，2)B. (3，-2)C. (-3，-2)D. (3，2)8. 在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：正确的有（）23①△ABC ≌△A′B′C′；②∠BAC′=∠B′AC ；③l 垂直平分CC′；④直线BC 和B′C′的交点不一定在l 上，A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10. 如图所示，线段AB ，AC 的垂直平分线相交于点P ，则PB 与PC 的关系是( )A ．PB ＞PCB ．PB ＝PC C ．PB ＜PCD ．PB ＝2PC 11. 如图，在△ABC 中，DE 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交BC 于点D ，若AD=4，BC=3DC ，则BC 等于 ( )A.4B.4.5C.5D.612. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC 中，AB<BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是 ( )二、填空题13. 如图是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是14. 若点A(1﹣m，6)与B(2+n，6)关于某坐标轴对称，则m﹣n= .15. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有________条．16.如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个．17. 如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有______种．18. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．4三、解答题19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）.（1）在图中作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′；（2）在（1）的结果下，连接AA′，CC′，则六边形AA′B′C′CB的面积为.20. 如图所示，两个四边形关于直线l对称，∠C=90°，试写出边a，b的长，并求出∠G的度数.521. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN经过点A.求证：点A在线段CD的垂直平分线上.622. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△ABC与△EBC的周长分别是26 cm和16 cm，求AC的长．23. 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G 处，EF为折痕．(1)求证：△FGC≌△EBC；(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．724. 如图，已知△ABC.(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.8人教版数学八年级上册第十三章13.1 轴对称9培优练习—参考答案一、选择题1.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC【答案】C2. 如图，在△ABC中，BC＝8，△ABC的周长为20，BC边的垂直平分线交AB 于点E．则△AEC的周长为（）A．24B．20C．16D．12【答案】D【解答】解：∵△ABC的周长为20，∴AB+AC+BC＝20，∵BC＝8，∴AB+AC＝12，∵BC边的垂直平分线交AB于点E，∴EB＝EC，∴△AEC的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝12，故选：D．10113. 如下图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A.①B.②C.⑤D.⑥【答案】答案为：B4. 在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B[解析] 根据轴对称图形的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故选B.5. 如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，AB ＞BC ，分别以顶点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M 、N ，作直线MN 交边CB 于D ．若AD ＝5，CD ＝3，则BC 长是（）A ．7B ．8C ．12D ．13【答案】B6. 将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是( ）【答案】答案为：B.7. 点M(3，2)关于x轴对称的点的坐标为()A. (-3，2)B. (3，-2)C. (-3，-2)D. (3，2)【答案】B8. 在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C9.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：正确的有（）①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，A．4个B．3个C．2个D．1个12【答案】B10. 如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是()A．PB＞PC B．PB＝PCC．PB＜PC D．PB＝2PC【答案】B[解析] 如图，连接AP.∵线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，∴AP＝PB，AP＝PC.∴PB＝PC.11. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，若AD=4，BC=3DC，则BC等于()A.4B.4.5C.5D.6【答案】D[解析] ∵DE垂直平分AB，AD=4，∴BD=AD=4.∵BC=3DC，∴BD=2CD.∴CD=2.∴BC=BD+CD=6.故选D.12. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()1314【答案】C[解析] ∵PA+PB=BC ，而PC+PB=BC ，∴PA=PC. ∴点P 为线段AC 的垂直平分线与BC 的交点.显然只有选项C 符合题意.二、填空题13. 如图是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是【答案】答案为：4:40.14. 若点A(1﹣m ，6)与B(2+n ，6)关于某坐标轴对称，则m ﹣n= .【答案】答案为：3.15. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有________条．【答案】5 [解析] 如图，五角星的对称轴共有5条．16. 如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个．【答案】答案为：4．17. 如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有______种．【答案】答案为：4．18. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．【答案】13【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵AE＋EC＝8，∴EC＋BE＝8，∴△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝13.三、解答题19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）.（1）在图中作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′；（2）在（1）的结果下，连接AA′，CC′，则六边形AA′B′C′CB的面积为.15【答案】解：（1）如图所示；（2）S六边形AA′B′C′CB=3×6﹣×2×1﹣×2×1﹣×2×1﹣×2×1=18﹣1﹣1﹣1﹣1=14.故答案为：14.20. 如图所示，两个四边形关于直线l对称，∠C=90°，试写出边a，b的长，并求出∠G的度数.【答案】解:∵两个四边形关于直线l对称，∴四边形ABCD≌四边形FEHG，∴∠H=∠C=90°，∠A=∠F=80°，∠E=∠B=135°，a=5 cm，b=4 cm.∴∠G=360°-∠H-∠E-∠F=55°.161721. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC 边的垂直平分线MN 经过点A .求证：点A 在线段CD 的垂直平分线上.【答案】证明：连接AC.∵点A 在线段BC 的垂直平分线MN 上，∴AB＝AC.∵AB ＝AD ，∴AC ＝AD.∴点 A 在线段CD 的垂直平分线上．22. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若△ABC 与△EBC 的周长分别是26 cm 和16 cm ，求AC 的长．【答案】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE.∵△EBC 的周长是16 cm ，∴BC ＋BE ＋EC ＝16 cm ，即BC ＋AE ＋EC ＝AC ＋BC ＝16 cm.∵△ABC 的周长是26 cm ，∴AB＋AC＋BC＝26 cm，∴AC＝AB＝10 cm.23. 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G 处，EF为折痕．(1)求证：△FGC≌△EBC；(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．【答案】解：(1)证明：在长方形ABCD中，DA＝BC，∠A＝∠D＝∠B＝∠BCD＝90°.由折叠的性质，得GC＝DA，∠G＝∠D＝90°，∠GCE＝∠A＝90°.∴GC＝BC，∠GCF＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠BCE＝90°.∴∠GCF＝∠BCE.又∵∠G＝∠B＝90°，GC＝BC，∴△FGC≌△EBC(ASA)．(2)由(1)知，DF＝GF＝BE，∴S四边形ECGF ＝S△FGC＋S△EFC＝S△EBC＋S△EFC＝S四边形BCFE＝（BE＋CF）·AD2＝（DF＋CF）·AD2＝8×42＝16.24. 如图，已知△ABC.18(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.【答案】解:(1)如图所示.(2)证明:如图，连接OA.∵l1是AB的垂直平分线，∴OA=OB.同理，OA=OC.∴OB=OC.解:(1)如图所示.(2)证明:如图，连接OA.∵l1是AB的垂直平分线，∴OA=OB.同理，OA=OC.∴OB=OC.13.2画对称图形一．选择题19201．点A （﹣3，1）关于x 轴的对称点为（）A ． C ．2．点M （3，﹣2）与Q （a ，b ）关于y 轴对称，则a +b 的值为（）A ．5B ．﹣5C ．1D ．﹣13．下列语句正确的是（）A ．平行于x 轴的直线上所有点的横坐标都相同B ．表示两个不同的点C ．若点P （a ，b ）在y 轴上，则b ＝0D ．若点Q （﹣2，﹣1），则Q 关于x 轴对称点的坐标为（2，﹣1）4．已知点A （3，2）是点B （a ，b ）关于y 轴的对称点，则a ，b 的值分别为（） A ．﹣3，2 B ．3，﹣2 C ．﹣3，﹣2 D ．2，35．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点C （3，﹣1），则点C 关于x 轴、y 轴对称的点的坐标分别为（）A ．B ．C ．D ． 6．如图，小琪和小亮下棋，小琪执圆形棋子，小亮执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用（﹣1，1）表示，小亮将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放方形棋子的位置可能是（）A．C．7．点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标在第（）象限．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．在平面直角坐标系中，把一个封闭图形的各个顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，并把得到的顶点依次连接，那么得到的封闭图形与原来图形相比位置上（）A．向左平移了1个单位B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．向下平移了2个单位9．如果点S（3a﹣3，2+a）关于y轴的对称点S′在第二象限，那么a的取值范围是（）A．a＜1B．a＞﹣2C．a＞1D．﹣2＜a＜1 10．已知点P（﹣2，3），作点P关于x轴的对称点P1，再作点P1关于y轴的对称点P2，接着作P2关于x轴的对称点P3，继续作点P3关于y轴的对称点P4，按照这种方法一直做下去，则P2017的坐标为（）A．C．二．填空题11．若点A（a，2）与B（3，b）关于x轴对称，则a﹣b＝．12．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b），关于y轴对称，则（4a+b）2020的值是．2113．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为．14．在平面直角坐标系中有一个对称图形，点A（3，2）与点B（3，﹣2）是此图形上的互为对称点，则在此图形上的另一点C（﹣1，﹣3）的对称点坐标为．15．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），经过第1次变换后所得的A1坐标是（a，﹣b），则经过第2020次变换后所得的点A2020坐标是．三．解答题16．；（2）一个多边形的内角和与外角和的和是1440°，求它的边数．17．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）A、B两点的坐标分别为，；（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△AB1C1；（3）B1C1的长为．2218．分别在下面正方形网格中按要求画图：（1）在图（1）中画出以MN为轴，对折后的图形；（2）在图（2）中画出向右平移两格后的图形．19．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣4），C（2，﹣3）．（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，线段AC在平移过程中扫的面积为；（2）作出△A1B1C1关于y轴对称的图形△A2B2C2，则坐标C2为；（2）若△ABD与△ABC全等，则点D的坐标为（点C与点D不重合）2324参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：点A（﹣3，1）关于x轴的对称点为（﹣3，﹣1），故选：B．2．【解答】解：∵点M（3，﹣2）与Q（a，b）关于y轴对称，∴a＝﹣3，b＝﹣2，∴a+b＝﹣5，故选：B．3．【解答】解：A．平行于x轴的直线上所有点的纵坐标都相同，故本选项错误；B．表示两个不同的点，故本选项正确；C．若点P（a，b）在y轴上，则a＝0，故本选项错误；D．若点Q（﹣2，﹣1），则Q关于x轴对称点的坐标为（﹣2，1），故本选项错误；故选：B．4．【解答】解：∵点A（3，2）是点B（a，b）关于y轴的对称点，∴a＝﹣3，b＝2，故选：A．5．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点C（3，﹣1），∴点C关于x轴、y轴对称的点的坐标分别为．故选：A．6．【解答】解：如图：符合题意的点为（﹣1，2）25故选：D．7．【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标为（2，3），则此点在第一象限．故选：A．8．【解答】解：∵封闭图形的各个顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，∴原图形各点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，∴得到的封闭图形与原来图形相比位置上关于y轴对称．故选：B．9．【解答】解：∵点S（3a﹣3，2+a）关于y轴的对称点S′在第二象限，∴点S在第一象限，∴，解得：a＞1，故选：C．10．【解答】解：∵点P（﹣2，3），∴点P关于x轴的对称点P1（﹣2，﹣3），∴点P1关于y轴的对称点P2（2，﹣3），26∴P2关于x轴的对称点P3（2，3），∴点P3关于y轴的对称点P4（﹣2，3），依此类推，2017÷4＝506…1，∴P2017的坐标（﹣2，﹣3），故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称，∴a＝3，b＝﹣2，∴a﹣b＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5，故答案为：5．12．【解答】解：∵点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b），关于y轴对称，∴，解得，则（4a+b）2020＝（﹣4+3）2020＝1，故答案为：1．13．【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，∴点P'坐标为：（0，2），∴点P'关于x轴的对称点的坐标为（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．2714．【解答】解：∵点A（3，2）与点B（3，﹣2）是此图形上的互为对称点，∴点A与点B关于x轴对称，∴此图形上的另一点C（﹣1，﹣3）的对称点坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．15．【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2020÷4＝505，∴经过第2020次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为（a，﹣b）．故答案为（a，﹣b）．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）如图所示，直线l即为所求；28（2）设此多边形的边数为n，则：（n﹣2）180＝1440+360，解得：n＝12．答：这个多边形的边数为12．17．【解答】解：（1）A点坐标为（2，0），B点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）如图，△AB1C1为所作；（3）B1C1的长＝＝．故答案为（2，0），（﹣1，﹣4），．18．【解答】解：（1）对折后的图形，如图（1）所示：（2）向右平移两格后的图形，如图（2）所示：2919．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；线段AC在平移过程中扫的面积＝11×7﹣13.3轴对称与等腰三角形-等腰三角形性质与判定一、选择题1.一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A.12B.16C.20D.16或202.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为( )A.25B.25或32C.32D.193.如图，在△ABC中,AB=AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N,则△AMN的周长为（）A.12B.4C.8D.不确定4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）30A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD5.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°6.如果等腰三角形的一个底角为α，那么（）A.α不大于45°B.0°＜α＜90°C.α不大于90°D.45°＜α＜90°7.如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P 点，则（）A．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP8.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为（）A.48°B.36°C.30°D.24°9.如图在等腰△ABC中，其中AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点，且∠1=∠2,则∠BPC等于（）31A.110°B.120°C.130°D.140°10.如图，已知下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A.①③④B.①②③④C.①②④D.①③二、填空题11.一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是.12.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为.13.若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为度．14.已知等腰三角形的顶角为40°，则它一腰上的高与底边的夹角为．15.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F分别是AD的三等分点，若△ABC 的面积为18cm2，则图中阴影部分面积为 cm2．3216.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．三、解答题17.如图，已知D、E两点在线段BC上，AB=AC，AD=AE．证明：BD=CE．18.如图所示，已知在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．3319.在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．20.如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF=BE+CF．21.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．3422.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．35参考答案1.C2.C3.C4.C5.D6.B7.C8.A9.答案为：A.10.A.11.答案为：80°或20°.12.答案为：120°或20°.13.答案为：35．14.答案为：20°．15.答案为：9．16.答案为：45．17.证明：36过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，AD=AE，AF⊥BC，∴BF=CF，DF=EF，∴BF﹣DF=CF﹣EF，∴BD=CE．18.解：在△ABC中，AB=AD=DC，∵AB=AD，在三角形ABD中，∠B=∠ADB=（180°﹣26°）×=77°，又∵AD=DC，在三角形ADC中，∴∠C==77°×=38.5°．19.解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE==2.5．3720.解：∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠6，∵EF∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6，∴∠1=∠3，∠4=∠5，根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE=ED，DF=FC，故EF=ED+DF=BE+CF．21.解：∵DE=EB∴设∠BDE=∠ABD=x，∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，∵AD=DE，∴∠AED=∠A=2x，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°，∴∠A=2x=22.5°×2=45°．3822.证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠EAC，在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE=CE；（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF，39在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA）．40。

人教版八年级数学上册 13.3等腰三角形同步练习(包含答案)

13.3等腰三角形知识要点：1.应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．2.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．3.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°4.一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．一、单选题1．已知等腰三角形的周长为10，一边长为4，则此等腰三角形的腰长为( )A．2B．3C．4D．3或4【答案】D2．如图，在△ABC中，AB=AC，△A=36°，BE平分△ABC，CD平分△ACB，CD交BE 于点F，那么图中的等腰三角形共有( )个.A．6B．7C．8D．9【答案】C3．如果一个三角形的一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A4．在Rt△ABC中，△C=90°，△B=30°，则( )A．AB=2AC B．AC=2AB C．AB=AC D．AB=3AC【答案】A5．已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为( ) A．12 B．17 C．17或19 D．19【答案】C6．如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE△AB,DF△AC,垂足分别为E,F.则下列结论:△AD上任意一点到点C,B的距离相等;△AD上任意一点到边AB,AC的距离相等;△BD=CD,AD△BC;△△BDE=△CDF.其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】A7．下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )A．△A＝30°，△B＝60° B．△A＝50°，△B＝80°C．△A＝2△B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为13【答案】B8．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C9．如图，AD△BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是()A．△ABD△△ACD B．△B＝△C C．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形【答案】D10．如图，在△ABC中，△ACB=90°，BE平分△ABC，ED△AB与点D，△A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A．4cm B．2cm C．3cm D．1cm【答案】C11．如图，在△ABC中，△A＝45°，△B＝30°，CD△AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为()A．√2B．2 C．√3D．3【答案】C12．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4√3B．2√3C．√3D．3【答案】C13．如图，AB＝AC，△BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么△ADC的度数为（）A．120° B．30° C．60° D．80°【答案】C14．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且△EBF＝100°，△EAF＝70°，则△AEB等于( )A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°【答案】C二、填空题15．等腰△ABC中，若△A=30°，则△B=________．【答案】30°或75°或120°16．已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则△A的平分线的长是______cm．【答案】817．已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，其它两边的长为____________【答案】5，518．在直角三角形中，最长边为10 cm，最短边为5 cm，则这个三角形中最小的内角为__________度.【答案】3019．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，△A=30°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，BE平分△ABC，若AE=2，则CE的长为______．【答案】120．已知等腰△ABC的两边长a、b满足（a-2）2+|b-4|=0，则等腰△ABC的周长为______ ．【答案】10三、解答题21．如图，等边三角形ABC的边长是10cm，求：（1）高AD的长（2）S△ABC（结果保留根号）【答案】2∵等边三角形三线合一的性质，∵D 为BC 中点，BD=DC=5cm ，∵AD∵BC ，=，∵∵ABC 的面积为211•10cm 22S BC AD ==⨯⨯=22．如图,在△ABC 中,△A=30°,AC=2√3,△B=60°，求点C 到AB 的距离和△ABC 的面积.【答案】√3，2√3.过点C 作CD∵AB,则∵ADC=90°,因为∵A=30°,AC=2√3,所以CD=√3,在∵ABC 中,因为∵A=30°,∵B=60°,所以∵ACB=90°,在Rt∵ABC 中,设BC=x,则AB=2x,因为AB 2=BC 2+AC 2,所以(2x)2=x 2+(2√3)2,x=2,所以S ∵ABC =12AC·BC=12×2√3×2=2√3.23．已知：如图，在△ABC 中，△A=30°，△ACB=90°，M 、D 分别为AB 、MB 的中点. 求证：CD△AB.∵∵ACB =90°，M 为AB 中点，∵CM 12=AB =BM ． ∵∵ACB =90°，∵A =30°，∵CB 12=AB =BM ，∵CM =CB ．∵D为MB的中点，∵CD∵BM，即CD∵AB．24．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB于点D，AF平分△CAB，交CD于点E，交BC于点F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．证明：如图，∵AF是∵BAC的平分线，∵∵CAB=2∵1=2∵2，∵AF=BF，∵∵2=∵B，∵∵ACB=90°，∵∵B+∵CAB=90°，即∵B+2∵1=∵B+2∵2=90°，∵∵B=∵1=∵2=30°，∵∵4是∵ABF的外角，∵∵4=∵2+∵B=60°，∵CD是AB边上的高，∵∵2+∵3=90°，∵∵3=60°，∵∵5=∵3，∵∵4=∵5=60°，∵∵CEF是等边三角形．。

人教版八年级数学上册第十三章轴对称13.3 等腰三角形13.3.1等腰三角形的性质同步练习含答案

第十三章轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形的性质1. 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( ) A．65°或50° B．80°或40°C．65°或80° D．50°或80°2. 等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( )A．30°，60° B．45°，45°C．45°，90° D．20°，70°3. 如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为( )A．40° B．30° C．70° D．50°4. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC, ∠A=36°, 则∠1的度数为( )A．36° B．60° C．72° D．108°5. 等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是( )A．30 B．20 C．18 D．126. 等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ __.7. 等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________.8. 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___ __.9. 在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．10. 如图，AB＝AC，若∠B＝35°，则x的值为____.11．如图，AB∥CD，AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠ACD＝____.12．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，∠ABC＝72°，则∠ABD＝____.13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为____.14. 判断正(√;X)(1) 等腰三角形的顶角一定是锐角. ( )(2) 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以. ( )(3) 钝角三角形不可能是等腰三角形. ( )(4) 等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. ( )(5) 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. ( )(6) 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. ( )15. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.16. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.17. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，求∠ADC的度数．18. 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.答案：1---5 ABACD6. 75°, 30°7. 72°,72°或36°,108°8. 30°，30°9. 70°或20°10. 70°11. 40°12. 54°13. 55°14. (1) X(2) X(3) X(4) √(5) X(6) √15. 解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，解得x=36 ° ，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.16. 解：∵AB=AD=DC ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC设∠C=x，则∠DAC=x，∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，在△ABC中，根据三角形内角和定理，得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.∴ ∠C= x=38.5°，∠B=2x=77°.17. 解：设∠B＝∠BAD＝x，则∠ADC＝2x＝∠C，∴x＋2x＋102°＝180°，x＝26°，∴∠ADC＝52°.18. 证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.。

八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案-人教版

八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1. 边长为2的等边三角形的面积是( )B. √ 3C. 2D. 2√ 3A. √ 322. 已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为( )A. 6cm或13cmB. 6cmC. 13cmD. 大于7cm，且小于19cm的任何值3. 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )A. ∠A=30°，∠B=60°B. ∠A=70°，∠B=50°C. ∠A=40°，∠B=70°D. ∠A=60°4. 如图，在△ABC中AB=AC，CE是△ACB的角平分线，若∠A=50°，则∠AEC的度数是( )A. 50°B. 65°C. 82.5°D. 97.5°5. 如图AB//CD，AB=AC，∠1=40°则∠ACE的度数为( )A. 80°B. 160°C. 120°D. 100°6. 如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则对△ADE的形状最准确的是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形8. 如图，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED若∠ABC=54°，则∠E的度数为( )A. 25°B. 27°C. 30°D. 45°9. 如图所示，已知等腰直角三角形ABC中∠A=90∘，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD垂足为点E，若CE=2，则BD=( )A. 4B. 5C. 6D. 710. 如图，已知锐角△ABC中CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点∠A=70°则∠DME的度数为( )A. 15∘B. 30∘C. 40°D. 60∘二、填空题11. 等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的底角是．12. 如图，在△ABC中AB=AC，点D在BC上，BD=CD若∠BAD=20°，则∠C=______°.13. 如图，在△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB交AC于点D，交AB于点E，若BC=4且△BDC的周长为10，则AE的长为______ ．14. 如图：在△ABC中∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作线段DE使DE//AB交BC于点E，F为AB上一点，连接DF，EF.已知DC=5，CE=12则△DEB的面积是______ ．15. 在扇形OAB中，∠AOB=30°，扇形所在圆的半径为12，点P，N，M分别是弧AB，线段OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值为______ ．16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2,0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为．17. 如图，在△ABC中AB=AC，AD⊥BD于点D，且BD=1BC若∠ABD=67∘，则∠C=．218. 已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC如图，若DE平分∠ADC，∠ABC=30°在BC 边上取点F使BF=DF，若BC=9，则DF的长为．19. 如图，在△ABC中AC=BC，∠B=38°点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D//AC时，则∠BCD的度数为．20. 如图，AD，BE在AB的同侧AD=4，BE=9，AB=12，点C为AB的中点，若∠DCE=120∘则DE 的最大值是__.三、解答题21. 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB=BD，∠ABD=120°，BC=4m，求AB 的长度．22. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC=60°，∠C=45°．(1)求∠ADB的度数；(2)若BE=3，求EC的长度．23. 如图1，在△ABC中AB=AC，AD是△ABC的角平分线．(1)写出图中全等的三角形______ ，线段AD与线段BC的位置关系是______ ；(2)如图2，在(1)的条件下，过点B作BE⊥AC，垂足为E，交AD于点F，且AE=BE，请说明△AEF≌△BEC 的理由．24. 如图，△ABC中AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD和CE相交于点O．(1)OB与OC相等吗？请说明你的理由；(2)连接AO，AO的延长线交BC于点F，试判断AF与BC的位置关系，并说明理由．25. 已知：等边三角形△ABC，BC交y轴于点D，A(−3,0)，B(1,0)，如图，若点M在CA延长线上，点N在AB延长线上，且∠CMD=∠DNA，求AN−AM的值．参考答案1、B2、C3、C4、D5、D6、C7、C8、B9、A10、C11、55°或70°12、7013、314、65215、1216、(2,0)17、67∘18、319、33°20、1921、解：∵BC⊥AC∴∠ABD=120°∵AB=BD∴∠A=30°∵BC=4∴AB=2BC=8(米)．答：AB的长度为8米．22、解：(1)∵BD平分∠ABC∴∠DBC=12∠ABC=30°∵∠ADB是△BDC的一个外角∴∠ADB=∠DBC+∠C=75°∴∠ADB的度数为75°(2)∵AE⊥BC∴∠AEB=∠AEC=90°∵∠ABC=60°∴∠BAE=90°−∠ABC=30°∴AE=√ 3BE=3√ 3∵∠C=45°∴∠EAC=90°−∠C=45°∴∠EAC=∠C=45°∴AE=EC=3√ 3∴EC的长度为3√ 3．23、△ABD≌△ACD AD⊥BC24、(1)解：OB=OC，理由如下：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB∴∴∴OB=OC(2)解：AF⊥BC，理由如下：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB∴点O是△ABC三条角平分线的交点∴AF平分∠BAC又∵AB=AC∴AF⊥BC．25、解：如图2在CA上截取CE=CD=2∵∠C=60∘∴△CDE是等边三角形∴∠CED=60∘DE=CD=2∴∠MED=180∘−∠CED=120∘AE=2∵∠CBA=60∘BD=2∴∠NBD=120∘BD=DE∴∠MED=∠NBD∵∠CMD=∠BND∴△MED≌△NBD(AAS)∴BN=EM∵AN−AM=AB+BN−AM ∴AN−AM=AB+EM−AM=AB+AE=4+2=6．。

人教版数学八年级上册第13章轴对称 13.3 等腰三角形同步练习题

人教版数学八年级上册第13章轴对称 13.3 等腰三角形同步练习题2019 人教版数学八年级上册第13章轴对称 13.3 等腰三角形同步练习题1. 下列命题中：(1)等腰三角形的两角相等；(2)等腰三角形的顶角平分线必平分底边；(3)等腰三角形一边上的中线也是这边上的高线；(4)等腰三角形底边上的高线平分顶角．其中正确的有( )A．(1)(3) B．(2)(4) C．(1)(2)(4) D．(2)(3)(4)2．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是( )A．100° B．100°或40° C．40° D．80°3．一等腰三角形的周长是13，其中一边长为3，则该三角形的底边长为( ) A．7 B．3 C．5 D．7或34. 如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．斜三角形5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，D、E是BC上的两点，且∠ADE＝∠AED ＝2∠BAD，则图中的等腰三角形共有( )个．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个6. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°7. 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a∶b∶c＝2∶3∶4C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶28. 下列四个说法中，正确的有( )(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)有两个角等于60°的三角形是等边三角形．10. 72°，72°或36°，36°11. △AB D，△CBD，△ABC_12. 50°13. 证明：过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，同理BF＝CF.∵BD＝BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE.14. ∠CBD＝30°∠BOE＝60°∠BOC＝120°∠EOD＝120°15. ∠BCD＝30°，BC＝2 cm，BD＝1 cm，AD＝3 cm16. 连接BD，AC＝9 cm.17. (1)证明：∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∴∠ACB＝2∠E，又∵AD＝DE，∴∠E＝∠DAC，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠E，∴∠ACB＝∠BAC，∴BA＝BC，又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形(2)解：当AD为△ABC的中线或高时，结论依然成立。

人教版八年级上册《13.3等腰三角形》同步测试题（含答案解析）

⼈教版⼋年级上册《13.3等腰三⾓形》同步测试题（含答案解析）等腰三⾓形测试题时间：90分钟总分：100⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共30.0分）1.如图，在?ABCD中，，，的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为A. 3B.C. 2D.2.如图，四边形ABCD是菱形，对⾓线AC，BD相交于点O，于H，连接OH，，则的度数是A. B. C. D.3.已知等腰三⾓形⼀腰上的⾼线与另⼀腰的夹⾓为，那么这个等腰三⾓形的顶⾓等于A. 或B.C.D. 或4.已知等腰三⾓形的⼀边长5cm，另⼀边长8cm，则它的周长是A. 18cmB. 21cmC. 18cm或21cmD. ⽆法确定5.如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为，则的度数是A. B. C. D.6.如果⼀个等腰三⾓形的⼀个⾓为，则这个三⾓形的顶⾓为A. B. C. D. 或7.如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是A. 6B. 8C. 10D. ⽆法确定8.已知a、b、c是的三条边，且满⾜，则是A. 锐⾓三⾓形B. 钝⾓三⾓形C. 等腰三⾓形D. 等边三⾓形9.如图，下列条件不能推出是等腰三⾓形的是A.B. ，C. ，D. ，10.如图，四边形ABCD是边长为6的正⽅形，点E在边AB上，，过点E作，分别交BD，CD于G，F两点若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为A. 3B.C.D. 4⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，共30.0分）11.如图，在中，，，，AD平分，交BC于点D，于E，则______ ．12.如图，，OC平分，如果射线OA上的点E满⾜是等腰三⾓形，那么的度数为______．13.如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三⾓形时，则运动的时间为______．14.平⾏四边形ABCD中，的⾓平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平⾏四边形ABCD的周长为______cm．15.如图，等腰三⾓形ABC的底边BC长为4，⾯积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上⼀动点，则的周长的最⼩值为______．16.如图，等腰中，，AD是底边上的⾼，若，，则______cm．17.如果等腰三⾓形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．18.如图，中，点D在边BC上，若，，则______度19.如图，在中，，AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______20.如图，在中，，，D是AB的中点，过点D作于点E，则DE的长是______．三、计算题（本⼤题共4⼩题，共24.0分）21.如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，求证：≌；若，求的度数．22.如图，在中，，E在CA延长线上，，AD是⾼，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．23.如图，在?ABCD中，AE平分交DC于点E，，，求EC的长．24.在中，，，F为AB延长线上⼀点，点E在BC上，且．求证：≌；若，求度数．。

人教版数学八年级上册第13章 13.3等腰三角形同步测试题(一)

等腰三角形同步测试题（一）一．选择题1．等腰三角形两条边的长分别为5，2，则该等腰三角形的周长为（）A．9B．10C．12D．9或122．已知等腰三角形中的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或100°D．50°或80°3．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条4．已知等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为（）A．110°B．70°C．55°D．70°或55°5．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．其中正确的是（）A．③④B．①②C．①②③D．②③④6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，连接AD，E在BC的延长线上，连接AE，∠E＝2∠CAD，下列结论：①AD⊥BC；②∠E＝∠BAC；③CE＝2CD；④AE＝BE．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点D，交BC于点E，∠B ＝∠BAE，若BC＝5，AC＝3，则AD的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.58．已知等腰三角形的两边长是5cm和10cm，则它的周长是（）A．21cm B．25cm C．20cm D．20cm或25cm 9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，求∠A的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．36°10．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（）A．7个B．6个C．4个D．3个二．填空题11．在△ABC中，∠A＝20°，当∠B＝时，△ABC为等腰三角形．12．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE ＝40°，则∠DBC＝．14．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB边上任意一点DE∥BC，DF∥AC，AC＝5cm，则四边形DECF的周长是．15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，MN垂直平分AB，则∠NBC＝．三．解答题16．已知：如图，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，求∠B和∠DAC的度数．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，过C点作AD的平行线交BA的延长线于点E．（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）延长CA至点F，使AF＝AC，连接BF，求证：BF⊥BC．18．如图，△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，（1）若∠BAE＝30°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．19．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，（1）如果点E是边AC的中点，AC＝5cm，求DE的长；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC＝60°，若BC＝7，BF ＝2，求DF的长．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12．故选：C．2．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．有两种情况：①顶角∠A＝50°；②当底角是50°时，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故选：D．3．【解答】解：如图所示：当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．4．【解答】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°＝70°，②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°＝70°，则底角为：（180°﹣70°）×＝55°，∴底角为70°或55°．故选：D．5．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形；故①正确；∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；故③正确；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB，∴BF与CF不一定相等，∴BD与CE不一定相等，故④错误．故选：C．6．【解答】解：①∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC；②∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAC＝2∠CAD，∵∠E＝2∠CAD，∴∠E＝∠BAC；③无法证明CE＝2CD；④∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACB＝∠E+∠CAE，∠E＝∠BAC，∴∠B＝∠EAB，∴AE＝BE．7．【解答】解：∵CD平分∠ACB，AE⊥CD，∴AC＝CE．又∵∠B＝∠BAE，∴AE＝BE．∴AD＝AE＝BE＝（BC﹣AC）．∵BC＝5，AC＝3，∴AD＝（5﹣3）＝1．故选：A．8．【解答】解：当腰为5cm时，5+5＝10，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为10cm时，10﹣5＜10＜10+5，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为10+10+5＝25cm．故选：B．9．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝①，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A＝∠ABE，∵CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，∴BF是∠EBC的平分线，∴（∠ABC﹣∠A）+∠C＝90°，即（∠C﹣∠A）+∠C＝90°②，①②联立得，∠A＝36°．故∠A＝36°，故选：D．10．【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点．故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．故选：A．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：当∠A为顶角等于20°时，∴底角∠B＝（180°﹣20°）＝80°，△ABC是等腰三角形，当∠A＝∠B＝20°时，△ABC是等腰三角形，当∠A＝∠C＝20°时，则∠B＝140°，△ABC是等腰三角形，故答案为：80°或20°或140°．12．【解答】解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°13．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DE⊥AB，∴∠AED＝90°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ABD＝∠A＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝65°，∴∠DBC＝15°．故答案为：15°．14．【解答】解：∵∠A＝∠B，∴BC＝AC＝5cm，∵DF∥AC，∴∠A＝∠BDF，∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠BDF，∴DF＝BF，同理AE＝DE，∴四边形DECF的周长为：CF+DF+DE+CE＝CF+BF+AE+CE＝BC+AC＝5cm+5cm＝10cm，故答案为：10cm．15．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝70°，∵AB的垂直平分线MN，∴AN＝BN，AB的垂直平分线MN，∴AN＝BN，∴∠A＝∠ABN＝40°，∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝30°．故答案为：30°．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝70°，∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°．17．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵CE∥AD，∴CE⊥BC，AD是△BCE的中位线，∴AB＝AE，∵AB＝AC，∴AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形；（2）证明：∵AB＝AC，AF＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AF，∴∠ABF＝∠F，∴2（∠ABF+∠ABC）＝180°，∴∠FBC＝90°，∴BF⊥BC．18．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝30°，∴∠AED＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠C＝∠AED＝37.5°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．19．【解答】（1）解：如图1，∵DC平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC，∵点E是边AC的中点，AC＝5cm，∴EC＝2.5cm，∴DE＝2.5cm；（2）如图1，∵DE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∴∠B＝∠3，∴DB＝DC．如图2，作DG⊥BC于点G，∵DB＝DC，DG⊥BC，∴GB＝BC＝×7＝3.5，∴GF＝GB﹣BF＝3.5﹣2＝1.5，∵Rt△DGF中，∠DFG＝60°，∴∠FDG＝30°∴DF＝2GF＝2×1.5＝3．。

人教版数学八年级上册第十三章 13.3.1 等腰三角形同步练习1 (原卷版)

人教版数学八年级上册第十三章13.3.1 等腰三角形同步练习1一、选择题1.如图所示，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝15°，DE垂直平分AB，交BC 于点E，BE＝6 cm，则AC等于( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm2.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°3.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若△1＝20°，则△2的度数是( )A．100° B．80° C．60° D．40°4.下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是( )A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形5.如图，△B＝△C＝36°，△ADE＝△AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( )A．3个B．4个C．5个D．6个6.如果一个三角形的一内角的平分线垂直对边，那么这个三角形一定是( ) A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形7. (甘孜中考)如图，在△ABC中，BD平分△ABC，ED△BC，已知AB＝3，AD ＝1，则△AED的周长为( )A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题1.在△ABC中，AB＝BC，△B＝△C，则△A的度数是．2.在△ABC中，△A＝40°，△C＝70°，则这个三角形是三角形．3.如图所示，△ABC为等边三角形，AD△BC，AE＝AD，则△ADE＝．4. 如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝．5.如图所示是某房屋顶框架的示意图，其中，AB＝AC，AD△BC，△BAC＝120°，AD＝3.5 m，则△B= ，△C= ，△BAD= ．三、解答题1.如图，在△ABC中，AD平分△BAC，BD＝CD，求证：△ABC为等腰三角形．2.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE△BC，交AB于点D，交AC于点E，△ADE也是等腰三角形吗？为什么？3.已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．4. 如图，AD△BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想△A与△E的大小关系，并说明理由．5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：△ABD＝△ACD.6.如图所示，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF△BE，垂足为F.求证：BF＝EF.7.如图，等边△ABC中，AD是△BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求△ACF的度数．。

人教八年级上册数学同步训练13-3-1 第2课时等腰三角形的判定

第2课时等腰三角形的判定知能演练提升一、能力提升1.小明用含有30°角的两个完全相同的三角尺拼成的图案如图所示.若连接BD,则图中等腰三角形的个数是()A.2B.3C.4D.52.如图,在△ABC中,AB=3,∠BAC=100°,∠B=40°,点D在BC的延长线上,且∠D=20°,则CD的长是.3.如图,上午8时,一船从A处出发以20海里/时的速度向正北方向航行,上午11时,到达B处,从A,B望灯塔C分别测得∠NAC=44°,∠NBC=88°,求从B处到灯塔C的距离.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥BA于点D,AE平分∠BAC交CD于点F,交BC于点E,你能证明△CEF是等腰三角形吗?5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上的一点,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证:DC=AB.6.如图,已知O是△ABC的∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD∥AB交BC于点D,OE∥AC交BC于点E.若BC=10 cm,求△ODE的周长.7.如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.求证:BF=2AE.8.如图,在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF,EF交BC于点G.求证:EG=FG.二、创新应用★9.如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD,CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.(1)上述四个条件中,哪两个条件可以判断△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有情形)(2)选择(1)中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.知能演练·提升一、能力提升1.A2.33.解∵∠C=∠CBN-∠A=88°-44°=44°,∴∠C=∠A.∴BC=BA=20×(11-8)=60(海里).故从B处到灯塔C的距离是60海里.4.解能.证明:∵CD⊥BA,∴∠AFD+∠DAF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠CEF+∠EAC=90°.∵AE平分∠BAC,∴∠DAF=∠EAC.∴∠CEF=∠AFD=∠CFE.∴CF=CE.∴△CEF是等腰三角形.5.(1)解∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°.∵∠C+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.(2)证明∵∠DAB=45°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,∴∠ADC=∠DAC,∴DC=AC.∴DC=AB.6.解∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠DBO.又OD∥AB,∴∠ABO=∠DOB,∴∠DBO=∠DOB,∴OD=BD.同理OE=CE.∵BC=10 cm,∴△ODE的周长为OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=10(cm).7.证明∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD.∵BE⊥AC,AD⊥BC,∴∠CAD+∠ACD=90°.∠CBE+∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠CBE.在△ADC 和△BDF 中,{∠CAD =∠CBE ,AD =BD ,∠ADC =∠BDF =90°,∴△ADC ≌△BDF (ASA), ∴BF=AC.∵AB=BC ,BE ⊥AC , ∴AC=2AE , ∴BF=2AE.8.证明如图,过E 作EM ∥AC ,交BC 于点M.∵EM ∥AC ,∴∠EMB=∠ACB ,∠MEG=∠F. ∵AB=AC , ∴∠B=∠ACB. ∴∠B=∠EMB , ∴EB=EM.∵BE=CF ,∴EM=FC.在△MEG 和△CFG 中,{∠MEG =∠F ,∠EGM =∠FGC ,EM =FC ,∴△MEG ≌△CFG (AAS). ∴EG=FG. 二、创新应用9.解 (1)①③或①④或②③或②④. (2)如①③组合.证明如下:∵∠EBO=∠DCO ,∠EOB=∠DOC ,BE=CD ,∴△EOB ≌△DOC (AAS). ∴OB=OC.∴∠OBC=∠OCB.∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB , 即∠ABC=∠ACB. ∴AB=AC.∴△ABC 是等腰三角形.。

人教版八年级数学上册第13章 13.3.1.2 等腰三角形的判定培优训练(含答案)

人教版数学八年级上册13.3.1.2等腰三角形的判定培优训练一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3B．a∶b∶c＝2∶2∶3C．∠B＝50°，∠C＝80°D．2∠A＝∠B＋∠C2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形3．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B等于( )A．70°B．35°C．110°或35°D．110°4．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于()A．3 cm B．4 cmC．1.5 cm D．2 cm5．如图，AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中一定是等腰三角形的是( )A．△ABD B．△ACDC．△ACE D．△ABC6. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，A．2个B．3个C．4个D．5个7. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( ) A．6 B．8C．10 D．128．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是( )A．45海里B．35海里C．50海里D．25海里9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数有()A．6个B．7个C．8个D．9个10．如图，在下列三角形中，AB＝AC，能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()A．①②③B．①②④二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝_______cm.12．如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为_______cm.13．如图，在△ABC中，若∠BAC＝50°，∠B＝65°，AD⊥BC于D，BC＝8 cm，则△ABC是_______三角形，BD的长为_______cm.14. 直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为___________．15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_______．16. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是_______．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC边上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB 于点F，那么四边形AFDE的周长是____．18．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝43°，∠NBC＝86°，则海岛B与灯塔C相距____海里．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于F，试判断△ADF的形状，并说明理由．20．(6分) 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．21．(6分) 如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，且BD＝CE，AD＝AE，求证：∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE.22．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，∠B＝30°，∠BAD＝45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.23．(6分) 如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.24．(8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．作∠ADC 的平分线DN，)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．25．(8分) 已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图①，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)猜想：若点O在△ABC的外部，此时AB＝AC成立吗？(用图形来说理即可)参考答案：1-5DDBAC 6-10DCDCD11. 512. 513. 等腰，414. 2或2.515. 916. 317. 1018. 3019. 解：△ADF是等腰三角形．理由：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°，∴∠BDE＝∠F，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠F，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形20. 证明：如图，∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形21. 解：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE＋∠ADB＝180°，∠AED＋∠AEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEC，又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝120°.又∵∠BAD＝45°，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－45°＝75°(2)证明：∵∠B＝30°，∠BAD＝45°，∴∠CDA＝∠B＋∠BAD＝75°.∵∠DAC＝75°，∴∠CDA＝∠DAC，∴DC＝AC＝AB23. 解：如图，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD,又∵AE＝AB，AD=AD,∴△ABD≌△AED(SAS)，∴∠AED＝∠B，BD＝ED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠EDC＋∠C，∴2∠C＝∠EDC＋∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD24. 解：如图，△ADF为等腰直角三角形，理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD，∵AM平分∠EAC，∴∠EAM＝∠CAM，又∠EAM＋∠CAM＋∠BAD＋∠CAD＝180°，∴∠DAC＋∠CAM＝∠DAM＝90°，∴∠ADC＋∠DAM＝180°，∴AM∥DC，∴∠AFD＝∠FDC，又∵DN平分∠ADC，∴∠ADF＝∠FDC，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰直角三角形25. 解：如图①，(1)过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD＝OE，OB＝OC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC如图②，(2)过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°，在Rt△BOD和Rt△COE中，∵OD＝OE，OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)，∴∠DBO＝∠ECO，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC(3)不一定成立，如图。

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