嘉兴中期末复习——圆与方程复习
圆与方程知识点总结及习题答案
圆与方程总结知识点
圆与方程总结知识点在数学中，圆与方程是几何学和代数学的重要内容之一，它们在数学中有着广泛的应用和重要的地位。
圆与方程的学习不仅有助于学生对数学的理解和应用，还有助于培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
本文将对圆与方程的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地掌握这一内容。
圆的基本概念首先，我们来认识一下圆这个几何图形。
圆是一个平面上所有与一个给定点的距离相等的点的集合。
这个给定点叫做圆心，所有距离相等的点到圆心的距离叫做半径。
圆的直径是通过圆心的两条平行线段的长。
圆的周长是圆的边界的长度，用符号C表示。
圆的面积是圆内部的所有点的集合，用符号A表示。
圆的方程通常有两种形式：标准方程和一般方程。
标准方程是x²+y²=r²，其中(x, y)是圆上的任意一点，r是圆的半径。
一般方程是(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h, k)是圆心的坐标。
圆的方程可以通过圆心和半径来确定，也可以通过圆上的某一点和圆的半径来确定。
圆的方程求解求解圆的方程是圆与方程的重要内容之一。
在求解圆的方程时，我们通常需要已知圆的中心坐标和半径。
如果已知圆的中心坐标和半径，我们可以根据标准方程的形式直接写出圆的方程。
如果已知圆上的某一点和圆心的坐标，我们可以利用已知点和圆心的距离等于半径来确定圆的方程。
圆与直线的关系圆与直线的关系是圆与方程的另一个重要内容。
在圆与直线的关系中，我们通常需要研究直线与圆的位置关系、直线与圆的交点和直线与圆的切点等问题。
首先，直线与圆的位置关系包括直线在圆内部、外部和与圆相切三种情况。
其次，直线与圆的交点是指直线与圆的交点的个数。
最后，直线与圆的切点是指直线与圆相切的点的位置。
圆与方程的应用圆与方程的应用是圆与方程的重要内容之一。
在实际应用中，圆与方程的知识可以帮助我们解决实际问题。
例如，在工程领域中，圆与方程的知识可以帮助我们设计圆形结构、计算圆形结构的尺寸等。
圆与方程知识点总结
圆与方程知识点总结圆的定义和性质：圆的方程及表达方式：1.标准方程：圆的标准方程是(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示半径。
标准方程用于表示圆心不在原点的圆。
2.一般方程：圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为任意实数。
一般方程用于表示圆心在原点的圆。
3. 参数方程：圆的参数方程分别为x=h+r*cosθ y=k+r*sinθ，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径，θ为取值范围在0到2π之间的参数。
参数方程用于描述圆上各点的坐标。
圆的方程与图像的关系：1.圆心位置：圆的方程可以帮助确定圆心的位置。
当方程为标准方程时，圆心的坐标就是方程中"(h,k)"的值。
当方程为一般方程时，根据方程的形式可以得知圆心在(x等于D/2，y等于E/2)的点上。
2.半径大小：圆的方程中的r值表示半径的大小。
半径是圆上任意一点到圆心的距离，通过方程可以得到半径的值。
3.图像形状：圆的方程描述了圆的几何形状，通过方程可以确定圆的半径，并且可以利用方程画出圆的图像。
当方程中的常数项F为0时，表示圆心在原点，可以用该方程画出圆的图像。
圆与方程的应用：1.几何学中，圆是一种重要的几何图形，广泛应用于计算圆的面积、周长和弧长。
通过圆的方程可以帮助几何学家推导圆的相关性质，以及与其他几何图形的关系。
2.物理学中，圆的方程用于描述运动中的圆形轨迹，如行星在椭圆轨道上运动。
通过分析轨道方程可以计算出行星的运动轨迹、速度和加速度等物理量。
3.工程学中，圆的方程广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）和机器人技术等领域。
利用圆的方程可以计算出圆形图案和零件的尺寸，使得工程师能够更好地设计和制造产品。
4.经济学中，圆的方程可应用于计算边际收益、成本曲线和供求关系等经济学模型。
通过圆的方程可以计算出最优决策和市场均衡等经济指标。
总结：圆是数学中一个重要的几何图形，通过方程可以描述圆的几何形状、圆心位置和半径大小。
圆与方程知识点
圆与方程知识点圆和方程是数学中的两个重要概念。
圆是一个平面上所有距离某一个定点距离相等的点的集合，而方程则描述了数值之间的关系。
本文将介绍圆和方程的相关知识点，包括圆的性质及方程的一般形式和求解方法。
一、圆的性质1. 圆内角的性质圆内角和的大小为360度，也就是说，圆内所有的角和相等，且每个角的大小等于它所对应的圆弧的一半。
2. 圆的切线和切点如果一条直线刚好与圆相切，那么这条直线称为圆的切线，切点则是圆上与切线相交的点。
圆的切线与半径成直角，且相交于切点。
3. 圆心角的性质圆心角是从圆心出发的两条射线所夹的角度，它的大小等于所对应的圆弧的一半。
因此，圆心角的度数是固定的，只与圆的半径有关，与圆弧的长度无关。
4. 弦的性质在圆内部任取两点，它们之间的线段称为圆的弦。
如果一个弦通过圆心，则它的长度等于直径，反之，如果一个弦垂直于直径，则它把圆分成了两个等面积的部分。
二、方程的一般形式方程是数值之间的关系，可用代数式表示。
一般来说，方程的形式可以分为多种类型，其中最常见的类型是线性方程。
1. 线性方程线性方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为常数，x为未知数。
其解为x = -b/a。
2. 二次方程二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，x为未知数。
其解式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
3. 指数方程指数方程的一般形式为a^x = b，其中a和b为常数，x为未知数。
解法是对两边取对数，然后解方程。
4. 对数方程对数方程的一般形式为loga√x = b，其中a和b为常数，x为未知数。
解法是先解出对数形式，即a^b = √x，然后将其转化为指数方程进行求解。
三、方程的求解方法1. 一元一次方程的解法一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
解法是将所有未知数移到等号一边，将所有常数移到等号另一边，然后用分数进行化简，最后得到未知数的解。
圆与方程知识点总结
圆与方程知识点总结在数学学科中，圆与方程是一个重要的知识点，涉及到几何图形与代数方程的关系。
本文将对圆与方程的相关知识进行总结，并探讨其应用和意义。
一、圆的基本概念与性质1. 圆的定义：圆是平面上到一定点（圆心）的距离都相等的点的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径。
3. 圆的性质：a. 圆上所有点到圆心的距离都相等，等于圆的半径；b. 圆上任意两点之间的线段都是弧，且弧所对的圆心角相等；c. 圆上的直径是最长的弦，且过圆心；d. 圆上的弦如果垂直于半径，则该弦被半径所平分；e. 圆的两个不相交的弧的和等于整个圆的周长。
二、方程与圆的关系1. 圆的一般方程：圆的一般方程通常为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
2. 圆的标准方程：如果圆的圆心在原点(0,0)，则圆的方程可以简化为x² + y² = r²。
3. 利用方程确定圆的特征：给定圆的方程，可以通过比较方程与标准方程的各项系数来确定圆的圆心和半径。
三、方程的应用1. 圆的坐标表示法：在平面直角坐标系中，可通过方程的坐标表示法来确定圆的位置和特征。
2. 圆的方程问题求解：通过给定的条件，可以列出方程并解方程，求解圆的方程问题。
3. 圆的图形绘制：通过给定圆的方程，可以在坐标系中绘制出圆的图形。
4. 圆与其他几何图形的关系：方程可以帮助我们研究圆与其他几何图形如直线、抛物线、双曲线等的交点和相切性质。
四、圆与方程知识的意义1. 圆与方程的关系体现了数学中几何与代数的密切联系，帮助我们深入理解数学的整体结构和思维方式。
2. 圆与方程的应用广泛，适用于几何图形的分析、工程设计、物理学、计算机图形学等领域。
3. 通过学习和了解圆与方程的知识，可以培养我们的抽象思维和问题解决能力，提高数学素养和逻辑思维能力。
总结起来，圆与方程是数学中重要的知识点，通过掌握圆的基本概念与性质、方程与圆的关系以及应用，我们可以更好地理解和解决与圆有关的问题。
圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程1.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x —a)2(y _b)2=r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是:2 2 2x y才.2•点与圆的位置关系：(1) . 设点到圆心的距离为d，圆半径为r:a. 点在圆内'd< r;b. 点在圆上「.一」d=r;c. 点在圆外■—d > r (2). 给定点M(x o，y。
)及圆C:(x_a)2(y_b)2=r2.①M 在圆 C 内=(X o—a)2(y°_b)2 :::r2②M 在圆 C 上:二(x o -a)2(y o -b)2 =r2③ M 在圆 C 外=(x o—a)2(y°4)2r2(3)涉及最值：讨论PB的最值PB .= BN = BC — rminPB = BM = BC +rmax②圆内一点A，圆上一动点P ,讨论PA的最值PA min = AN …ACPA = AM = r + ACmax思考：过此A点作最短的弦？(此弦垂直AC )3.圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F = 0 .(1)当D2 E2-4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心C上,上，半I 2 2丿径°2E2/F2 '⑵当D2E2-4F=0时，方程表示一个点-D,-E .I 2 2丿⑶当D2・E2MF：：：0时，方程不表示任何图形.注：方程Ax2- Bxy Cy 2Dx Ey F =0表示圆的充要条件是： B = 0且A=C =0且D2E2-4AF -0 .4. 直线与圆的位置关系：直线Ax By C =0与圆(x -a)2(y -b)2二r2圆心到直线的距离—z+Bb+ciQ A2+B21) d •「：=直线与圆相离二无交点；2) d =r：=直线与圆相切二只有一个交点；还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组3) d ::: r = 直线与圆相交=有两个交点；弦长|AB|=2 r2-d2-0‘Ax+By +C =0求解，通过解的个数来判断: ,2 +y2+DX +Ey +F-0(1) 当.—0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交; (2) 当厶=0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切; (3) 当—：0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系 (1)设两圆 G :(x —aj 2• (y—bj 2二『与圆 C 2: (x-a ?)2 (y 弋)2二叮，圆心距d 二⑻说)2 (bi-d)2①d r i外离4条公切线；②d = r i • a =外切=3条公切线；③* _r 2| ；：d :::片十2：二相交二2条公切线；(2) 两圆公共弦所在直线方程 圆 G : x 2 y 2 D 1X E 1y F^0， 圆 C 2 : x 2 y 2 D 2X E ?y F 2 =0，则。
高中数学复习-圆与方程
圆与方程知识梳理【知识要点】 要点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00ab ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222ab r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00Mx y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240DE F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点四：几种特殊位置的圆的方程要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程； （3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答．要点七：空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
圆与方程部分复习
圆与方程部分复习1、(1)圆 ( x – 2 )2 + ( y + 3 ) 2 = 25的圆心坐标是________；半径是______。
（2）圆x 2 + y 2 – 2 x + 4 y – 6 = 0的圆心坐标是________；半径是______。
（3）052422=+-++m y mx y x 表示圆的条件是________________。
2、方程225x y --=表示的曲线是______________________________3、求圆的方程（1）已知A （-4，-5），B （6，-1），以线段AB 为直径的圆。
（2）经过点P （1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2310x y ++=上。
（3）圆心在直线4y x =-上，且与直线01:=-+y x l 相切于点P （3，-2）。
(4)已知A （5，1），B （7，－3），C （2，－8），求过这三点的圆的方程4、 （1）已知圆()()22:125C x y -++=，则点（2，3）在圆C____；点（0，0）在圆C____；点（2，-1）在圆C_______（填内、外、上）。
（2）已知圆()()22:124C x y -++=，直线L:x+ay-2a-3=0，若L 与圆C 相切，则a 的值为________；若L 与圆C 相离，则a 的值为_______；若L 与圆C 相交，则a 的值为________。
（3）圆220x y x +-=和2240x y y ++=的位置关系为__________。
5、求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程：(1)经过点)1,3(P ， (2)经过点)0,3(Q ， (3)斜率为1-。
6、过点(-4,0)作直线l 与圆0204222=--++y x y x 交于A 、B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程。
总结：若求过圆外一点P 的圆的切线，应该求得的切线条数是____条，若你只求得一条，意味着_______________；类比来思考圆的割线进行思考。
圆与方程知识点(简单版)
圆与方程知识点(简单版)圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-R2=0设D=-2a，E=-2b，F=a2+b2-R2;则方程变成：x2+y2+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1);(2)没有xy的乘积项。
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x2+y2=r2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0·x+b0·y=r2在圆(x2+y2=r2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0·x+b0·y=r2。
圆的性质有哪些1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等。
圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。
这个给定的点称为圆的圆心。
作为定值的距离称为圆的半径。
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹就是一个圆。
圆的直径有无数条;圆的对称轴有无数条。
圆的直径是半径的2倍，圆的半径是直径的一半。
用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示。
连接圆心和圆上任意一点的.线段叫做半径，一般用字母r表示，半径的长度就是圆规两个角之间的距离。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。
数学指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈x.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
圆与方程复习课
第四章《圆与方程》一轮复习资料学生姓名【知识归类】 一.圆的方程点M(x °,y °)与圆(x a)2(y b)2 r 2的关系的判断方法：(1) (x o a)2 (y o b)2>r 2，点在 ； (2)(X 。
a)2 (y ° b)2 = r 2，点在 ;(3) (x o a)2(y o b)2<r 2，点在.2.般方程：x 22y Dx Ey F 0(1)当 D 2E 24F0时,方程表示圆，圆心为，半径为 ;(2)当 D 2E 2 4F时,方程只有实数解 xD y —，即只表示22(3)当 D 2E 2 4F 0时, 方程.综上所述，方程x22yDx Ey F 0表示的曲线不一定是圆.3.求圆的方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a ,b , r ;若利用一般方程，需要求出 D, E , F ;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
二.直线与圆的位置关系.. 2 2 21.判断方法：已知直线 Ax By C 0与圆(x a) (y b) r ,(1)过圆外一点的切线：①斜率 k 不存在，验证是否成立 ②斜率k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(2)过圆上一点的切线：一般情况下，由圆心和切点连线与切线垂直求出切线斜率，再用点斜式求出切线方程。
3 •直线被圆所截的弦长的求法①联立直线与圆的方程求出交点坐标，再利用两点间距离公式进行求解②利用半径r、弦心距d和弦长AB的一半构成的直角三角形，结合勾股定理进行求解AB 2J r2d2三•圆与圆的位置关系1 •判断方法(1)代数法：(与直线与圆的位置关系判定类似)(注：当两圆相交时，两圆方程相减消去二次项所得二元一次方程即为相交弦所在直线的方程。
)(2)几何法：设两圆的连心线长为I，则判定圆与圆的位置关系的依据有以下几点：当I 口「2时，圆C1与圆C2 _______________ ；当I 「1 「2时，圆C1与圆C2 _______________ ；当I「1 「2丨I 「1 ____________________________________ 「2时，圆C1与圆C2 __________________________________ ；当I I「1「2 I时，圆6与圆C2 ___________________________ ；当I |「1 QI时，圆C1与圆C2 ________________ •2.求两圆公共弦长的两种方法：①联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间距离公式进行求解②求出两圆公共弦所在直线的方程，将问题转化为直线被圆截得的弦长问题【例题讲解】【题型一】圆的方程的求解1 •求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.2•已知VABC的三个顶点坐标 A (0, 0), B (1, 1), C (4, 2),求它的外接圆方程，并指出这个圆的圆心坐标和半径.【题型二】直线与圆、圆与圆的位置关系3•已知直线、3x y 2 30和圆x 2 y 24，判断此直线与圆的位置关系4 .若直线y x m 与曲线y 、4 x 2有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.2 25•圆(x 3) (y 3) 9上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有几个？2 2 2 26•判断圆C 1 : x y 2x 6y 26 0与圆C 2 : x y 4x 2y 4 0的位置关系,【题型三】圆的切线问题 7•已知圆O : x2y 2 4，求过点P 2,4与圆O 相切的直线方程.2 2&求半径为4,与圆x y 4x 2y 4 0相切，且和直线 y 0相切的圆的方程.【题型四】弦长问题10.已知O O : x 2 + y 2= 4，求过点M (1 , J2 )且长度为2J3的弦所在的直线方程.2 2 2 211.求两圆x y x y 2 0和x y 5的公共弦长。
(完整word版)《圆与方程》复习总结
《圆与方程》复习 姓名：一．【知识梳理】1、圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆的标准方程为 ；2、点P （00x ,y ）与圆222(x a)(y b)r -+-=的位置关系：（1）点P 在圆外 ；（2）点P 在圆上 ；（3）点P 在圆内 。
3、当 时，方程22x y Dx Ey F 0++++=叫做圆的一般方程，其圆心为 、半径为 .4、直线:0l Ax By C ++=与圆222(x a)(y b)r -+-=（r ＞0）的位置关系判断方法： （1）几何方法：圆心（a ，b ）到直线L :Ax By C 0++=的距离d =⇔直线与圆相交； ⇔直线与圆相切； ⇔直线与圆相离。
（2）代数方法： 由222Ax By C 0(x a)(y b)r++=⎧⎨-+-=⎩消元，得到的一元二次方程的判别式为△， ⇔直线与圆相交； ⇔直线与圆相切； ⇔直线与圆相离。
5、判断两圆位置关系的方法：（1）几何方法： 两圆222111(x a )(y b )r -+-=（r 1＞0）与222222(x a )(y b )r -+-=（r 2＞0）的圆心距为d ，则2⇔两圆外离； 2⇔两圆外切； ⇔两圆相交； ⇔两圆内切； ⇔两圆内含．（2）代数方法：方程组2211122222x y D x E y F 0x y D x E y F 0⎧++++=⎨++++=⎩ 有 ⇔两圆相交；有 ⇔两圆相切；⇔两圆相离或内含。
6.坐标法：用“坐标法”解答平面几何问题的“三部曲”：（1）（2）（3）命题角度1：求圆的方程1.一个圆与y 轴相切，圆心在直线0y 3x =-上，且在直线x y =上截得的弦长为72，求此圆的方程。
命题角度2：利用圆的方程解决实际问题2.有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A 地每公里的运费是B 地每公里运费的3倍。
已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。
浙江嘉兴初中数学考点
浙江嘉兴初中数学考点浙江嘉兴初中数学考点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
今天在这给大家整理了一些浙江嘉兴初中数学考点，我们一起来看看吧!浙江嘉兴初中数学考点一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论6.与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.切线的性质(重点)2.切线的判定定理(重点)3.切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲(右图)(解Rt△OA M可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、重要辅助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线(连心线)6.两圆相交公共弦浙江初中数学考点知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理初中数学考点一、锐角三角函数正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边二、三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a 都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法)f(x)=f(a)+f(a)/1!_(x-a)+f(a)/2!_(x-a)2+...f(n)(a)/n!_(x-a)n+...三、解直角三角形1.直角三角形两个锐角互余。
第四章 圆与方程小结与复习
2012-2013高一数学必修2导学案第四章 圆与方程小结与复习备课组：高一数学 编制人： 审核： 编号：班级：_________ 小组：_______姓名：____ 教师评价：_________【学习目标】1、通过复习帮助同学们系统掌握本章知识。
2、通过习题帮助同学们熟悉相关知识在解题中的应用【重点难点】相关知识的应用【使用说明及学法指导】1、先进行知识归类，再做习题【预习导学】【知识归类】1．圆的两种方程（1）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，表示_____________．（2）圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ．①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示__________； ②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示_______； ③当0422<-+F E D 时，方程_____________________________________________．综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆．2．点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在_____；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在______；（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在______． 3．直线与圆的位置关系设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C ______；（2）当r d =时，直线l 与圆C ________；（3）当r d <时，直线l 与圆C ________．4．圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C _______；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C ______；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C ____；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C ___；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C ______．5．空间直角坐标系任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式________________．【典例探究】题型一：求圆的方程例1 ．求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．题型二：圆的切线问题例2 ．过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程．题型三：与圆有关的动点轨迹问题例3.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【自我检测】见课件【思想方法】1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决2.数学方法: 圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式．【自我检测】1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（ ）．（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）． (A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）．(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）．(A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) ．(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为（ ）．(A) 1，-1 (B)2，-2 (C)1 （D ）-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）．(A) x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 33= （D ）x y 33-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ ）．(A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 （D ）(x+1)2+(y+1)2=49．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是（ ）．(A) 6π (B)4π (C)3π （D ）2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（ ）．(A)相切 (B)相交 (C)相离 （D ）相切或相交11.已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB .求m 的值．12.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．第二章 圆与方程小结与复习 (教案)【知识归类】1．圆的两种方程（1）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，表示圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程．（2）圆的一般方程 022=++++F Ey Dx y x ．①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）； ③当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆．2．点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上；（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内． 3．直线与圆的位置关系设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交．4．圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含．5．空间直角坐标系任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=．【题型归类】题型一：求圆的方程例1 ．求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【审题要津】据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程．解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x ． ∵(0,0),(11A B ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D ．∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x ． 542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-F D ．得圆心坐标为（4，-3）. 或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22=++-y x ． 【方法总结】条件恰给出三点坐标，不妨利用代定系数法先写出圆的一般方程再求解． 题型二：圆的切线问题例2 ．过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程．【审题要津】此题考察过切点的直线的求法，但是要与切点在圆上的切线求法区别开来，此题不要通过求切点的方法来求直线方程，这样计算会很繁琐．解：设圆(x －1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程．5)20()23(22=-+-y x ① 已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1②①②作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程． 【方法总结】通过两圆作差来求公共弦，是非常简便的求法． 变式练习：自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．解：已知圆的标准方程是,1)2()2(22=-+-y x 它关于x 轴的对称圆的方程为 ,1)2()2(22=++-y x 设光线L 所在的直线方程是y -3=k(x+3),由题设知对称圆的圆心)2,2(1-C 到这条直线的距离为1，即,0122512115522=++⇒=++=k k k k d 解得34k 43-=-=或k ．故所求入射光线L 所在的直线方程为：033y 4x 0343=++=-+或y x 这．时反射光线所在直线的 斜率为34k 4311==或k ，所以反射光线m 所在的直线方程为：3x －4y －3=0或4x －3y +3=0． 题型三：与圆有关的动点轨迹问题例3.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【审题要津】如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程()2214x y ++=。
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嘉兴一中期末复习——圆与方程复习班级 姓名 学号一．知识点回顾 1．圆的方程(1)圆的标准方程圆心为C (a ,b )，半径为r 的圆的标准方程为：(x -a )2+(y -b )2=r 2(2)圆的一般方程方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，当D 2+E 2-4F >0时，叫做圆的一般方程．且圆心为C ⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径r =F E D 42122-+． (2)条件组⎩⎨⎧=≠=00B C A 是一般二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的必要但不充分条件，其充要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=≠=040022AF E D B C A ． (3)圆的参数方程圆心为C (a ,b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x ．2．点和圆的位置关系(1)已知点P (x 0,y 0)，圆C 的方程为∶(x -a )2+(y -b )2=r 2 ，则①点P 在圆上⇔(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2②点P 在圆内⇔(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2③点P 在圆外⇔(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2 (2)已知点P (x 0,y 0)，圆C 的方程为 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)，则①点P 在圆上⇔x 02+y 02+Dx 0+Ey 0+F =0②点P 在圆内⇔x 02+y 02+Dx 0+Ey 0+F <0③点P 在圆⇔x 02+y 02+Dx 0+Ey 0+F >0 3．直线和圆的位置关系已知直线l ：Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)，圆C ：(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)，记d =22BA Cb B a A ++⋅+⋅, 则①直线l 与圆相切⇔d =r ②直线l 与圆相交⇔d <r ③直线l 与圆相离⇔d >r 4．圆和圆的位置关系圆C5．圆系(1)设⊙C 1： x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与⊙C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0有公共点，则过⊙C 1与⊙C 2交点的圆系方程为 C ：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0 (*)注：①当λ≠-1时，(*)式表示过⊙C 1与⊙C 2的交点，圆心在直线C 1C 2上，且不含⊙C 2的所有圆；②若⊙C 1与⊙C 2相交，当λ= -1时，(*)式为两圆的公共弦所在直线的方程； ③若⊙C 1与⊙C 2相切，则当λ= -1时，(*)式为过切点的公切线方程．(2)设直线l ：Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)与⊙C ：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0相交，则过直线l 和⊙C 交点的圆系方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0． 6．圆的切线(1)过⊙C ：(x -a )2+(y -b )2= r 2上一点P (x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )= r 2．(2)过⊙C ：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)上一点P (x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y +D ⋅20x x ++E ⋅20y y ++F =0．7．切点弦(1)过⊙C ：(x -a )2+(y -b )2=r 2外一点P (x 0,y 0)作⊙C 的两条切线，则切点弦所在直线方程为： (x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )= r 2．(2)过⊙C ：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)外一点P (x 0,y 0)作⊙C 的两条切线，则切点弦所在直线方程为：x 0x +y 0y +D ⋅20x x ++E ⋅20y y ++F =0．8．切线长和弦长(1)过⊙C ：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)外一点P (x 0,y 0)的切线长为d =F Ey Dx y x ++++002020；若圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2，则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长为 d =22020b)(+)(r y a x ---．(2)直线截圆所得弦长，通常用勾股定理求较为简单，一般不用弦长公式． 二．例题讲解例1．已知⊙C ：(x +1)2+(y -2)2=4和点P (-3,-2)，求过点P 且与⊙C 相切的直线方程．例2．已知一个圆与y 轴相切，在直线y =x 上截得的弦长为27，圆心在直线x -3y =0上，求圆的方程．例3．已知直线l ：2mx -y -8m -3=0和圆C ：(x -3)2+(y +6)2=25．(1)求证：不论m 取何实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程．例4．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2+y 2=1，动点M 到圆O 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0)．求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．例5．直线x +y +a =0与圆x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，cos<OA , OB >=-41，O 为坐标原点，a >0．(1)求a 的值；(2)P 是平面上一动点， (I) 若PA ⋅PB =0，求P 的轨迹方程。
（II ）若PA ⋅PB <0，求OP 的取值范围．三．课外练习 （一）选择题：1．圆x 2+y 2+Dx +Ey -3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D >E 时，则D 等于 ( )(A )2 (B )0或2 (C )0 (D )±2 2．方程x (y –21x -)=0表示的图形为 ( )(A )x 轴上方半圆和y 轴 (B )第一象限内的圆弧和y 轴及点(1,0)(C )x 轴上方半圆和x 轴 (D )第一象限内的圆弧和y 轴正半轴及点(1,0)，(0,0)3．圆x 2+y 2-4x +2y +c =0与y 轴相交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB =90︒，则c 的值等于( )(A )-3 (B )3 (C )8 (D )224．如果直线l 将圆x 2+y 2-2x -l 的斜率的取值范围是 ( )(A )[0,2] (B )[0,1] (C (D 5．当a ∈R 时，关于x 、y (x 2+a (x +2y +1)=0表示的曲线是轴对称图形，其对称轴方程为 ( )(A )2x +4y +1=0 (B )4x +2y +1=0 (C )4x –2y +1=0 (D )2x –4y +1=06．在直角坐标系中，O 为坐标原点，向量OQ =(-2+cos θ, -2+sin θ)(θ∈R )，由直线x =3上的动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 ( )(A (B )4 (C )5 (D 7．一束光线从点A (-1,1)x C ：(x -2)2+(y -3)2=1的最短路程是( )(A )4 (B )5 (C 1 (D 8．曲线y =1+24x -与直线y =k (x -2)+4有两个公共点时，k 的取值范围为 ( )(A (B (C )⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,125 (D )51234,⎛⎝ ⎤⎦⎥（二）填空题：1．方程x 2 +y 2 -x +y +k =0表示一个圆，则k 的取值范围是 ． 2．与圆x 2+y 2-4x +2=0相切, 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线共有 条．3．直线l 过点(0,-2)，且被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2，则直线l 的斜率是 ． 4．若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x -4y +4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ． 5．圆(x -3)2+(y +5)2 = r 2上有且只有两个点到直线4x -3y -2=0的距离等于1，则半径r 的取值范围是 ． 6．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是7．已知圆O ：x 2+y 2=16，定点A (2,0)，过A 作两条互相垂直的射线交圆于B ，C 两点，求BC 中点的轨迹方程为 8．已知圆x 2+y 2=r 2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r 的范围是 （三）解答题1．一个圆与直线l 1：x -6y -10=0相切于点P (4,-1)，且圆心在直线l 2：5x -3y =0上，求该圆的方程．2．半径为5的圆过点A(-2,6)，且以B(5,4)为中点的弦长为25，求此圆的方程．3．已知圆C和圆C1：x2+y2+2x-4y=0的公共弦所在直线的方程为x+y+2=0，当圆C的周长最小时，求圆C的方程．4．自原点作圆(x-1)2+y2=1的两条弦OA、OB，如果|OA|⋅|OB|=k(定值)，试问不论A、B的位置如何，原点O到直线AB的距离为定值．答案：例1．已知⊙C ：(x +1)2+(y -2)2=4和点P (-3,-2)，求过点P 且与⊙C 相切的直线方程．解：∵(-3+1)2+(-2-2)2>22，∴点P 在⊙C 外．∵点C 到直线x = -3的距离=2=⊙C 的半径，∴直线x =-3是所求的一条切线． 设另一条切线的方程为y +2=k (x +3)，即kx -y +3k -2=0．由直线与圆相切的充要条件，得21232k|k k |+-+--=2，解得k =34，故另一条切线的方程为y +2=34(x +3)，即 3x -4y +1=0．例2．已知一个圆与y 轴相切，在直线y =x 上截得的弦长为27，圆心在直线x -3y =0上，求圆的方程．解：∵圆心在直线x -3y =0上，∴可设圆心为C (3a ,a )． 又∵圆与y 轴相切，∴圆的半径R =3|a |．圆心到直线y =x 的距离为d =23|a a |-=2|a |．由勾股定理，得R 2-2a 2=7，∴a = ±1． 故圆心坐标为(3,1)或(-3,-1)，半径R =3．∴所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=9 或(x +3)2+(y +1)2=9． 例3．已知直线l ：2mx -y -8m -3=0和圆C ：(x -3)2+(y +6)2=25．(1)求证：不论m 取何实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程．解：(1)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则有d =14|3866|2+--+m m m ．整理可得4(d 2-1)2m 2+12m +d 2-9=0， ···················································· ①为使上面关于m 的方程有实数解，则⊿=122-16(d 2-1)(d 2-9)≥0，解得0≤d ≤10，可得d <5．故不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交．(2)由(1)得0≤d ≤10，即d 的最大值为10．根据平面几何知识可知：当圆心到直线l 的距离最大时，直线l 被圆C 截得的线段长度最短． ∴当d =10时，线段的最小长度为：2()15210252=-．将d =10代入①可求得m =-61，此时直线l 的方程为x +3y +5=0． 例4．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2+y 2=1，动点M 到圆O 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0)．求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线．解：如图，设M (x ,y )，MN 切圆O 于N ，则|MN |=λ|MQ |．连ON ，则|ON |=1，且ON ⊥MN ．∴|MN |2=|MO |2-|ON |2=x 2+y 2-1． 又|MQ |2=(x -2)2+y 2． ∴x 2+y 2-1=λ2[(x -2)2+y 2]． 化简得，(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x +(1+4λ2)=0．当λ=1时，方程化为x =54，它表示一条过点540,⎛⎝ ⎫⎭⎪，并且和x 轴垂直的直线；当λ≠1时，方程化为2222222)1(3112-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλλλy x ，它表示以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01222,λλ为圆心，||13122-+λλ为半径的圆．例5． 直线x +y +a =0与圆x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，cos<OA , OB >=-41，O 为坐标原点，a >0．(1)求a 的值；(2)P 是平面上一动点， (I) 若⋅=0，求P 的轨迹方程。