平面向量中三点共线定理探究

平面向量中“三点共线向量定理”探究
三点共线定理在教材中没有作为定理使用，但在各级考试中却应用广泛，笔者尝试通过
聚焦结论，优化思路，多维度揭示定理的价值所在.
()
0.a b b a b a b λλ≠=向量共线定理：对平面内的任意两个向量 、 ， // 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使由该定理可以得到平面内三点共线定理：
()121212+= OA OB OP OP OA OB R λλλλλλ=+∈三点共线定理：已知平面内一组基底 ， 及任一向量 ,， , 则A ，B ，P 三点共线，当且仅当 1.
()()()1122121,,1,
=1,,+= A B P AP AB OP OA OB OA OP OA O OP OA O B B λλλλλλλλλλλλλ=⇔-=-⇔=-+-=+=证明：如图 ， 三点共线，当且仅当有唯一一个实数 ， ，且使
令则 1.
()()()()()()1212112212=1,1;2+= OA OP OP OA OB OP OA OB OA AP AB OB OP OA OB λλλλλλλλλλλλλλ⇔-===-+⇔-=-⇔=+ 的系数之和等于1 即为向量，的变化而变化的定理特.如图，
且1征：
向量，
的系数点P 的位置是随着令 ， 当点P 在线段AB 内()()
()()
()()
12121212121,1,,=10,10,1=1,01,0=10,,0=0=110
=1=10 1.
λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-∈=∈-∈-∞=∈+∞<-<<>∈+∞=∈-∞-===-===此时 此时，0，当点P 在线段AB 的延长线上时， ，点P 在线段AB 反向延长线上时， ，当点P 与点A ， ，当点P 与点B 重合时， 时此时此时此时，， ，重合时,
111AP PB OP OA OB λλλλ∆==
+++推论：在OAB 中，P 为直线AB 上的一点，且则
P B
A O
1()
()1.,,2,21522112 (33333333)
ABC AB c AC b D BD DC AD A b c B c b C b c D b c ∆====+--+定理应用1：由三角形边上的分点引出向量问题
例在中，若点 满足 则
()2= 1212+=1+21+233
3BD DC AD AB AC c b λ==+解析：如图 ，因为，由推论可得2，
所以 ，所以答案为A. ()
11.2,,=3
2112....3333ABC AD DB CD CA CB A B C D λλ∆==+练习在 中，已知点D 是AB 边上一点，若 则 - -()124+= =33.
A λλ∴解析：如图，因为A,B,D 三点共线，所以1，所以答案为
()()()2.51,,0,0ABC BP PC AM mAB AN nAC m n m n λλ∆==>>+=定理应用2：由过三角形一边上分点的直线引出向量问题
例如图，在 中，点P 是直线BC 上的一点 ，且满足 = ,过点P 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若,则
()()()()11111111,,+=1+=1+.11AP AB AC AM AN m n M P N m n m n λλλλλλλλλλλ=
+=+++++∴∴++因为三点共线，，解析：由推论可知，
()()
2.6,,ABC AB mAM AC nAN m n ∆==+=练习如图，在 中，点D 是BC 的中点 ，过点D 的直线分别交直线AB,AC
于不同的两点M,N,若则11,2222
,,+1,+ 2.22
m n AD AB AC AM AN m n M D N m n =
+=+==解析：因为D 是BC 的中点，所以又因为三点共线，所以所以
()()
3.712,,ABC BD DC AM mAB AN nAC m n ∆==+=练习如图，在 中，点D 满足 =2 ，过点D 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若则()()1212, 3.1+ 2=12AD AM AN m n
m n λ=
+∴+=+解析：令2，则 ()()()
3.811,,0,0ABC AM mAB AN nAC m n m n ∆==>>+=定理应用3：由过三角形重心的直线引出向量问题
例如图，设点G 是在 的重心，过点G 直作直线MN 于直线AB,AC 交于不同的两点M,N,且满足,则2111133333,,,1111=1=3.33AD AB AC AM AG m AN M G N m m m m
n =+=+∴+∴+=
解析：设D 为BC 的因为三点共线，点，则，
中
()()()()
4.8,,0,012,23AMN ABC ABC AM mAB AN nAC m n m n S S m n ∆∆∆==>>===+=练习如图，设点G 是在 的重心，过点G 直作直线MN 与直线AB,AC 两边分别交于
M,N,两点，且，
若则；若则111=3 1.2
1sin 222,=,133sin 211=33 2.AMN AMN ABC ABC m n m n AM AN MAN S S S mn S AB AC BAC m n mn m n
∆∆∆∆+∴==⋅⋅∠=∴==⋅⋅∠+∴+==，当时， 因为若 因 ，解因为为析： {}()()
12002004.=.100.101.200.201
n n a OB a OA a OC O A B C D 定理应用4：由三点共线定理引出的数列求和问题
例已知等差数列 的前n 项和为S ,若 = + ,
且A,B,C 三点共线该直线不过原点 ,则S ()12001200200200++=1=
=100.2.a a a a A ∴，S 解析：由A,B 所,C 三以答点共线可案为知，
()220192201920202020+,+=1=
=1010.2
.a a AB d BC A B C a a B ∴∴∴= ， 三点共线 ，S 所以答解析因案为：
为
()()()
.9,,0,02810.3.4..33
ABC D BD DC D AM mAB AN nAC m n m n A B C D ∆==>>+定理应用5：由三点共线定理引出的不等式求最值问题
例5如图，在 中，点 满足 =2 ，过点 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若则 最小值为 ()()()1212, 3.1+2121252252222 3.333333
322=133BD DC AD AM AN m n m n n m m n m n m n m n n m m n m n =+∴+=+⎛⎫∴+=++=++≥+⨯
= ⎪⎝⎭=
=解析：因为 =2等号当且仅当，即 时成立， ，故选A.
{}(
)220192005.,=.0.1009.2017.2020n n a d S OA a OB a OC AB d BC O BC S A B C D ∉练习已知等差数列 的公差为 ,前n 项和为 ,若 = + ,且=, 则
()()7.1012,,3.4 (622)
ABC AB mAM AC nAN m n A B C D ∆==+练习如图，在 中，点D 是BC 的中点 ，过点D 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若则
的最小值为 (
)11,
2222,,+1,+ 2.22
121121233=+=
3+
2222m n AD AB AC AM AN m n M D N m n n m m n m n m n m n =
+=+==+⎛⎫⎛⎫∴+++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为三点共线解析：因为D 是BC 的中点，所以，所以所以
2=2,4.n m m n C m n
==-等号当且仅当
，即时成立，故选。