三角函数答案

三角函数
第一节 角的概念的推广与弧度制
A 组
1.解析：由于点P 从(－1,0)出发，顺时针方向运动π
3
弧长到达Q 点，如图，
因此Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即Q (－12，32)．答案：(－12，3
2
)
2.解析：α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tan α
2
<0恒成立，
应填①，其余三个符号可正可负．答案：① 3.答案：三
4,解析：当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝3；
当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，y ＝－1； 当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，y ＝－1；
当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0，y ＝－1.答案：{－1,3}
5.解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34
，易得tan α＝3或
33，则a ＝－43或－43 3.答案：－43或－4
3
3 6.解：因为sin α＝24y ＝y (－3)2＋y 2，所以y 2
＝5， 当y ＝5时，cos α＝－
6
4，tan α＝－153； 当y ＝－5时，cos α＝－6
4，tan α＝
153
. 第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A 组
1.解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－4
3
.
答案：－4
3
2.解析：由sin θ＝－45<0，tan θ>0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－3
5
.
答案：－3
5
3.解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：3
5
4.解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sin x －cos x 2sin x ＋cos x ＝5tan x －12tan x ＋1＝9
5
.
答案：95
5.解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝1
2
，当cos θ
＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝12时，有sin θ＝±3
2
.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或
3或－ 3.答案：0或3或－ 3
6.解：由题意，得2sin αcos α＝120
169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②
①＋②得：(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得：(sin α－cos α)2＝49
169
.
又∵α∈(π4，π
2
)，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝1713.③sin α－cos α＝7
13，④
③＋④得：sin α＝1213.③－④得：cos α＝5
13
.
B 组
1.解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2
x ＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1
＝
95.答案：95
2.解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12.答案：－1
2
3.解析：cos α＝－1－sin 2α＝－45， sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2
α＝2sin αcos α＝2×35－45
＝－3
2
. 答案：－3
2
4.解析：sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2
α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝165
.答案：165 5.解析：∵tan x ＝sin(x ＋π
2)＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12
.
答案：5－1
2
6.解析：由cos θ(sin θ＋cos θ)＝1⇒sin θ·cos θ＝1－cos 2θ＝sin 2θ⇒sin θ(sin θ－cos θ)＝0⇒sin θ
＝0或sin θ－cos θ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π
4
7.解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－1
3
.
答案：－1
3
8.解析：由⎩⎨⎧
cos α＋2sin α＝－5， ①
sin 2α＋cos 2α＝1， ②
将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－5
5
，∴tan α＝2.
答案：2
9.解析：∵f (α)＝sin α·cos α·cot α－cos α
＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos π3＝－12.答案：－1
2
10.解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos[(n ＋1)π＋π
3
]
＝sin(π－π3)·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝3
4
.
(2)当n 为偶数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos 4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π
3
·(－
cos π3)＝32×(－12)＝－34
.
11.解：由已知，得⎩⎨⎧
sin A ＝2sin B ， ①
3cos A ＝2cos B ， ②
①2＋②2得：2cos 2A ＝1，即cos A ＝±2
2
.
(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形内角，∴A ＝π4，B ＝π
6
，∴C ＝π－(A ＋
B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32.又A 、B 是三角形内角，∴A ＝34π，B ＝5
6
π，不合
题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7
12
π.
12.解：(1)∵a ∥b ，∴3cos α－1·(sin α－m )＝0，∴m ＝sin α－3cos α＝2sin(α－π
3
)．
又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－π
3
)＝－1时，m min ＝－2.
此时α－π3＝32π，即α＝11
6
π.
(2)∵a ⊥b ，且m ＝0，∴3sin α＋cos α＝0.∴tan α＝－3
3
.
∴cos(π
2－α)·sin(π＋2α)
cos(π－α)＝sin α·(－sin2α)－cos α＝tan α·2sin α·cos α
＝tan α·2sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α·2tan α1＋tan 2α＝1
2.
第三节函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像
A 组
1.解析：函数的最小正周期为T ＝2π
|a |
，∴当|a |>1时，T <2π.当0<|a |<1时，T >2π，观察图
形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④
2.解析：y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π6)．答案：11π
6
3.解析：因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π
6
)，f (x )的图象向右平移φ个单位所得图象对
应的函数为奇函数，则φ的最小值为5π
6
.
答案：5π6
4.解析：据图象可得：A ＝3，T
2＝5π6－π3⇒T ＝π，故ω＝2，又由f (7π
12
)
＝3⇒sin(2×7π12＋φ)＝1，解得φ＝2k π－2π3(k ∈Z )，又－π<φ<π，故φ＝－2π
3
，
故f (x )＝3sin(2x －2π
3
)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x
＝7π
12
是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[π12，7π
12
]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答
案：③⑤
5.解析：显然结论成立只需保证区间[x 1，x 1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调
区间即可，且f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，则2010≥2πω2⇒ω≥π2010.答案：π
2010
6.解：(1)f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋3
2，
令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π
6
代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋3
2
，
经过题设的变化得到的函数g (x )＝sin(12x －π6)＋3
2
，
当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值5
2.
令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋3
2π(k ∈Z )，
∴4k π＋4π3≤x ≤4k π＋10
3
π(k ∈Z )．
即x ∈[4k π＋4π3，4k π＋10
3
π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．
B 组
1.解析：由图可知，T 2＝2π－3
4
π，
∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，
∴y ＝sin(4
5x ＋φ)．
又∵sin(45×3
4π＋φ)＝－1，
∴sin(3
5π＋φ)＝－1，
∴35π＋φ＝3
2
π＋2k π，k ∈Z . ∵－π≤φ<π，∴φ＝910π. 答案：9
10
π
2.解析：由图象知T ＝2(2π3－π
6
)＝π.
∴ω＝2πT ＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6.答案：π6
3.解析：∵f (x )＝sin(ωx ＋π
4
)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，
∴2π
ω
＝π，故ω＝2. 又f (x )＝sin(2x ＋π4)∴g (x )＝sin[2(x ＋π8)＋π4]＝sin(2x ＋π
2)＝cos2x .
答案：向左平移π
8
个单位长度
4.解析：T 2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2π
T ＝3.
又(7
12π，0)是函数的一个上升段的零点， ∴3×712π＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝－π
4＋2k π，k ∈Z ，
代入f (π2)＝－23，得A ＝223，∴f (0)＝23. 答案：23
5.解析：由y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)可知其函数图象关于点(－π
6
，0)对称，因此要使平
移后的图象关于(－π12，0)对称，只需向右平移π12即可．答案：右 π
12
6.解析：y ＝tan(ωx ＋π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y ＝tan[ω(x －π6)＋π
4
]，即
y ＝tan(ωx ＋π4－πω6)，显然当π4－πω6＝π6＋k π(k ∈Z )时，两图象重合，此时ω＝1
2
－
6k (k ∈Z )．∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为12.答案：1
2
7.解析：由于函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，故函数y ＝|sin(2x ＋π
3
)|的最小正周期
是π2，①正确；y ＝sin(x －3π2)＝cos x ，该函数在[π，3π2)上单调递增， ②正确；当x ＝5π
4
时，y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin(5π2＋5π6)＝sin(π2＋5π6)＝cos 5π6＝－32，不等于函数的最值，故x ＝5π
4
不是
函数y ＝sin(2x ＋5π
6
)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：2
8解析：当0≤x ≤1时，y ＝sin πx
2
的图象如图所示，y ＝kx 的图象在[0,1]之间的部分应位
于此图象下方，当k ≤0时，y ＝kx 在[0,1]上的图象恒在x 轴下方，原不等式成立．
当k >0，kx ≤sin πx
2
时，在x ∈[0,1]上恒成立，k ≤1即可．
故k ≤1时，x ∈[0,1]上恒有sin πx
2
≥kx .答案：k ≤1
9.解：(1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋2，依题意，得2π2ω＝2π3，故ω＝32
. (2)依题意，得g (x )＝2sin[3(x －π2)＋π4]＋2＝2sin(3x －5π
4
)＋2.
由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π
12
(k ∈Z )．
故g (x )的单调增区间为[23k π＋π4，23k π＋7π
12](k ∈Z )．
10解：(1)由最低点为M (2π3，－2)得 A ＝2.由T ＝π得ω＝2πT ＝2π
π
＝2.
由点M (2π3，－2)在图象上得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π
3＋φ)＝－1，
∴4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6
，
∴f (x )＝2sin(2x ＋π
6)．
(2)∵x ∈[0，π12]，∴2x ＋π6∈[π6，π3]，∴当2x ＋π6＝π
6
，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当
2x ＋π6＝π3，即x ＝π
12
时，f (x )取得最大值 3.
1. 同角三角函数的基本关系
A 组
1.解析：∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝310
10.
∵sin α＝
5
5
，∴cos α＝ 1－(
55)2＝255
. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝
2
2
. ∵0<β<π2，∴β＝π4.答案：π
4
2.解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π.∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－4
5
，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－45)×35＋(－35)×45＝－24
25
.答
案：－2425
3.解析：tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，则sin(α＋β)cos(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β＋sin αsin β
＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－3＝－32.答案：－32
4.解析：由已知得32cos α＋12sin α＋sin α＝453，即12cos α＋32sin α＝4
5
，
得sin(α＋π6)＝45，sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：－4
5
5.解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方得sin α＝1
2
.
又π2<α<π.所以cos α＝－32
. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π
2
.
又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4
5
.
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－32×45＋12×(－3
5)＝－43＋310.
B 组
1.解析：cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α＝cos 2α－sin 2
α(sin α＋cos α)2·1＋tan α
1－tan α
＝cos α－sin αsin α＋cos α·1＋tan α1－tan α＝1－tan α1＋tan α·1＋tan α1－tan α
＝1. 2.解析：∵cos(π4＋x )＝35，∴cos x －sin x ＝3
5
2，
∴1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725，∴sin2x －2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x －sin x
cos x
＝sin2x ＝7
25.
3.解析：cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin(α－π
3)
＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－3
2cos α，
由已知得：(12＋32)sin α＝(12＋3
2)cos α，tan α＝1.
4.解析：α∈(π4，3π4)，α－π4∈(0，π2)，又cos(α－π4)＝35，∴sin(α－π4)＝4
5
.
∵β∈(0，π4)，∴3π4＋β∈(3π4，π)．∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－12
13
，
∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π4)＋(3π
4
＋β)]
＝－cos(α－π4)·cos(3π4＋β)＋sin(α－π4)·sin(3π4＋β)＝－35×(－1213)＋45×513＝56
65，
即sin(α＋β)＝56
65
.
5.解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－7
9
，∴sin2α
＝1－cos 22α＝429，而α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝22
3
，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×
22
3
＝2327
. 6.解析：∵α在第一象限，且cos α＝35，∴sin α＝4
5，则1＋2cos(2α－π
4)
sin(α＋π
2
)
＝
1＋2(22cos2α＋2
2sin2α)
cos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(sin α＋cos α)＝2(45＋35)＝14
5
.
2. 两角和与差及二倍角的三角函数
A 组
1.解析：由于α∈(－π2，π2)，sin α＝35得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π
4
)
＝－22(cos α－sin α)＝－210
.
2.解析：∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π
8
.
12＋12 12＋12cos θ＝ 12＋12 cos 2θ
2 ＝ 12－12cos θ2＝sin θ4.
3.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°
＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°
2sin40°＝ 2.
4.解析：y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝sin2x ＋1＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1
＝2sin(2x ＋π
4
)＋1≥1－ 2.
5.解析：f (x )＝(2010sin 4x ＋1)(2010cos 4x ＋1)
20102sin 2x cos 2x
＝20102sin 4x cos 4x ＋2010(sin 4x ＋cos 4x )＋120102sin 2x cos 2x
＝sin 2x cos 2x ＋201120102sin 2x cos 2x －22010≥2
2010(2011－1)． 6.解：∵(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0，
又α∈(π4，π2)，∴tan α＝43，sin α＝45，cos α＝3
5
，
(1)tan(α＋π
4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝4
3＋1
1－
4
3＝－7.
(2)cos2α＝2cos 2α－1＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝24
25
，
cos(π3－2α)＝cos π3cos2α＋sin π3sin2α＝12×(－725)＋32×2425＝243－750
.
B 组
1.解析：tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝25－
1
41＋25×
14
＝3
22
.
2.解析：由3sin α＋cos α＝0得cos α＝－3sin α，则1
cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α
＝
9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝10
3.
3.解析：a ＝2sin59°，c ＝2sin60°，b ＝2sin61°，∴a <c <b .
或a 2＝1＋sin28°<1＋12＝32，b 2＝1＋sin32°>1＋12＝32，c 2＝3
2
，∴a <c <b .
4.解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.
5.解析：由题意知，tan α＝3，sin(2α＋π4)＝22(sin2α＋cos2α)，而sin2α＝2tan α1＋tan 2α＝3
5，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α
＝－45.∴sin(2α＋π4)＝22(35－45)＝－210. 6.解析：f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x cos2x ＝12sin4x ，所以T ＝2π4＝π
2
.
7.解析：由已知得：原式＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°
cos25°
＝ 3.
8.解析：|a －2b |2＝(cos10°－2cos70°)2＋(sin10°－2sin70°)2＝5－4cos10°cos70°－4sin10°sin70°＝5－4cos60°＝3，∴|a －2b |＝ 3.
9.解析：因为1－cos2αsin αcos α＝1，即1－1－tan 2α1＋tan 2α＝12×2tan α1＋tan 2α
，所以2tan α＝1，即tan α＝1
2，所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan(β－α)－tan α
1＋tan(β－α)tan α
＝－13－121－
16
＝－1.
10.解：(1)∵tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α，tan α＝2，∴tan(α＋π4)＝1＋2
1－2
＝－3.
(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α
＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2
α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52. 11.解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝3
5，∴
1＋sin2α1＋cos2α
＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918
.
(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－
sin αsin60°.＝35×12－45×32＝3－43
10
，
∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋43
5
.
12.解：(1)因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B
，即sin C cos C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B ，
所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 得sin(C －A )＝sin(B －C )，
所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，
即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π
3
.
又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6或B －A ＝5π
6
(舍去)，
得A ＝π4，B ＝5π12.故A ＝π4，C ＝π3
.
(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即 a 22＝c
3
2，
得a ＝22，c ＝2 3.。