存在性问题2 专题

例谈2010年中考数学中的存在性问题

山东省临沂第九中学洪善理

随着新课改的不断深入，近年来各地中考数学试题不断推陈出新，“选拔性”与“能力性”兼容，命题由“知识性”立意向“素质性”、“能力性”立意转变，出现了一大批题型设计思路开阔、内涵丰富、立意深刻、发人深思的好试题，存在性问题恰恰是这些试题中突出考查学生能力的典型代表。由于这类问题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较广，技巧性和综合性也较强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力、灵活运用能力和分析问题的能力要求又高，所以一直是连续几年来全国各地中考数学试题的压轴型题目。

一、存在性问题的内涵

所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．存在性问题是相对于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的．存在性问题可抽象为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在。此类问题的叙述一般是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证明）；如果不存在，请说明理由．”

二、存在性问题的解决策略

1、直接求解法

存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法。

2、假设求解法

先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在。即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在．

三、中考数学中的存在性问题的类型

1、定性分类

（1）肯定型存在性问题

肯定型存在性问题是解决其余两类存在性问题的基础，具体地构造出（或求出，寻找出）满足条件的数学对象，是证明肯定型存在性问题的主要方法。这种处理方法一般分为两大步，第一步是构造出满足要求的数学对象；第二步是通过验证，证明构造的对象满足问题的要求。

例1、(2010年陕西卷)问题探究

(1)请你在图①中做一条

．．直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；

（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成

面积相等的两部分。 问题解决

（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的了部分，你认为直线l 是否存在？若存在求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由

解析：（1）如图①

（2）如图②连结AC 、BC 交与P 则P 为矩形对称中心。作直线MP ，直线MP 即为所求。 （3）如图③存在直线l 。过点D 的直线只要作 DA⊥OB 与点A ，则点P(4,2)为矩形ABCD 的对称中心。∴过点P 的直线只要平分△DOA 的面积即可。易知，在OD 边上必存在点H 使得PH 将△DOA 面积平分。从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积,即直线 PH 为所求直线l.设直线PH 的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2).∴2=4k+b 即b=2－4k.∴y=kx+2－4k ∵直线OD 的表达式为y=2x

∴242y kx k y x =+-⎧⎨=⎩ 解之242482k

x k

k x k

-⎧

=⎪⎪

-⎨

-⎪=

⎪-⎩∴点H 的坐标为（242k x k -=-，482k y k -=-）

∴PH 与线段AD 的交点F （2,2－2k ）,∴0＜2－2k ＜4, ∴－1＜k ＜1 ∴S △DHF =

12411(422)(2)242222

k k k --+∙-=⨯⨯⨯-

∴解之，得32k =

。

（2

k =舍去）

∴b=8－∴直线l 的表达式为

8x +-（2）否定型存在性问题

反证法是证明否定型存在性问题的主要方法，特别是在无限个候选对象中，证明某种数学对象不存在时，逐一淘汰的方法几乎不能实行，更经常地使用反证法。

例2、(2010年安徽卷)如图，已知111ABC A B C △∽△，相似比为k （k >1）

，且ABC △的三边

长分别为a 、b 、c （a>b>c ），111

A B C △的三边长分别为1a 、1b 、1c .

（1）若c=a 1，求证：a=kc ；

（2）若c=a 1，试给出符合条件的一对111ABC A B C △和△，使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 都是正整数，并加以说明；

（3）若b=a 1，c=b 1，是否存在111ABC A B C △和△使得k =2？请说明理由.

解析:（1）证：111ABC A B C △∽△，且相似比为11

(1).a

k k k a ka a >∴=∴=，， 又1.c a a kc =∴= ，

（2）取11186443 2.a b c a b c ======，，，同时取，， 此时

111111

2a b c

ABC A B C a b c ===∴，△∽△且1.c a = （3）不存在这样的ABC △和111A B C △.理由如下：

若2k =，则111222.a a b b c c ===，， 又1b a = ，1c b =，112244a a b b c ∴====，

2.b c ∴= 24b c c c c a ∴+=+<=，而b c a +>，

故不存在这样的ABC △和111A B C △，使得 2.k = （3）讨论型存在性问题

将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决讨论型存在性问题的主要方法。另外，先猜出对象可能存在或不存在，从而将讨论型存在性问题转化为肯定型或否定型处理，是解决讨论型存在性问题的又一重要方法。

例3、(2010年重庆市江津区卷)如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；

(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；

(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．