第7章 数字控制器的离散化设计

第7章 数字控制器的离散化设计
7.1 数字控制器的离散化设计步骤 7.2 最少拍随动系统的设计 7.3 最少拍无纹波随动系统的设计 7.4 大林算法
课前准备
1. 典型信号的Z变换
（1）单位脉冲函数
r(t) (t) R(z) 1
（2）单位阶跃函数 （3）单位速度函数
r(t) 1 r(t) t
，
从而得到最少拍控制器 D(z)
e (z) (1 z1)N F (z) 1 z1
4、根据D(z)求取控制算法的递推计算公式
m
设数字控制器D(z)的一般形式为：D(z)
U (z) E(z)
bi zi
i0
n
1 ai zi
,
i 1
m
n
数字控制器的输出U(z)为：U (z) bi ziE(z) ai ziU (z)
i0
i 1
(n m)
将上式进行Z反变换得到差分形式的公式得到数字控制器
序列中 k 即 kT，k = 0T为研究开始时刻， kT 可以理解为 当前时刻，而(k-1) T为前一采样时刻。
例：惯性系统
G(s) U2(s) 1 U1(s) T0s 1
被采样后的差分方程：
(T T0 ) u2 (k) T0u2 (k 1) Tu1(k)
5.离散化设计方法
所谓离散化设计方法是指在Z平面上设计的方法，对象 可以用离散模型表示，或者用离散化模型的连续对象，根 据系统的性能指标要求，以采样控制理论为基础，以Z变换 为工具，在Z域中直接设计出数字控制器。
4 差分方程
采样系统的数学模型用差分方程描述。
差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间的函数关系。
差分方程由输出序列y，及其移位序列y(k-1)、 y(k-2)、 y(k-3)、……，以及输入序列u(k)，及其移位序列 u(k-1)、 u(k-2)、u(k-3)、……，所构成。（ k = 0, 1, 2, …… ）
最少拍控制系统设计的要求
（1）对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样 点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差
（2）在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准 确跟踪输入信号所需的控制周期数最少
（3）数字控制器必须在物理上可以实现 （4）闭环系统必须是稳定的
几种典型输入信号及其Z变换表达式如下：
这种设计法也称直接设计法或Z域设计法。
7.1 数字控制器的离散化设计步骤
Φ(z)
G1(z)
R(z)
Y(z)
E(z) D(z) U(z)
H0(s)
G(s)
r(t) + _ T
T
y(t)
（1）由H0(s)和G(s)求取广义对象的脉冲传递函数；
G1 ( z )
Z
H0
(s)G(s)
Z
1
eTs s
G(s)
单位阶跃函数： R(t) 1(t);
R(z) 1 1 z1
单位速度函数：
R(t) t;
R(z)
T (1
z 1 z 1)2
单位加速度函数：
R(t) 1 t2; 2
T 2 z1(1 z1) R(z) 2(1 z1)3
输入信号的一般表达式
A(z) R(z)
(1 z1)N
式中 A(z) 为不包含 (1 z1) 因式的的多项式。根据Z变换的终值定理，求
实现最少拍一般取 M 。N同样
E(z)
要使
E(z)Biblioteka Baidu成为
z
1
有限项的多项式，应使
e
(
z)
R(
z)
e (z
(1
) A( z) z 1 ) N
e (z) (1 z1)N
F
(
z)
F(z) 为不包含 (1 z1)因式的 z1 的多项式，
F(z) 应尽可能简单，故取
F(z) 1 ，
据此，对于不同的输入信号，可选择不同的误差传递函数 e (z)
1 R(z) 1 z1 R(z) Tz1
(1 z1)2
（4）单位加速度函数 （5）典型输入函数
r(t) 1 t 2 2
T 2 z1(1 z1) R(z) 2(1 z1)3
r(t) 1 tq1 (q 1)!
R(z)
B(z) (1 z1)q
2. Z变换的性质
线性定理 延迟定理 超前定理 初值定理 终值定理 卷积定理
iT )g(iT ) F(z)G(z)
3、采样系统的稳定性
如果采样系统Z传递函数 G(z) 的极点 zi 在Z平面的单位圆内， 则采样系统是稳定的，对于有界的输入，系统的输出收敛于某一 有限值；
如果某一极点 zj 在单位圆上，则系统临界稳定，对于有界的 输入，系统的输出持续地等幅振荡；
如果 G(z) 的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统是不稳 定的，对于有界的输入，系统的输出发散
系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件)，即：
e
lim(1
z 1
z 1 ) E ( z )
lim(1
z 1
z1)R(z)e (z)
lim(1
z 1
z
1
)
e (z
(1
) A( z) z 1 ) N
0
很明显，要使稳态误差为零， e (z中) 必须含有 (1 z因1)M子，且 M，要N
（2）根据控制系统的性能指标及实现的约束条件构造闭环脉
冲传递函数；
(z) Y (z) D(z)G1(z)
偏差闭环脉冲传递函数；
R(z) 1 D(z)G1(z)
e (z) E(z) R(z) Y (z) 1 (z)
1
R(z) R(z)
1 D(z)G1(z)
3、求取数字控制器的脉冲传递函数D(z) D(z) U (z) 1 (z) 1e (z) (z) E(z) G(z) 1(z) G1(z)e (z) G1(z)e (z)
D(z)的计算机控制算法为： m
n
u(k) bie(k i) aiu(k i)
i0
i 1
按照上式，就可编写出控制算法程序。
7.2 最少拍随动系统的设计
在数字控制系统中，通常把一个采样周期称为一拍。 所谓最少拍控制，就是要求设计的数字控制器能使闭环系统
在典型输入作用下，经过最少拍数（最少个采样周期）达到 无静差的稳态。 最少拍控制实质上是时间。 最优控制，最少拍控制系统也 称为最小调整时间系统或最快响应系统
Z[af (t) bg(t)] aF(z) bG(z)
Z[ f (t kT )] zk F (z)
Z[
f
(t
kT )]
zk
F ( z)
k 1 i0
f
(iT )zi
lim f (kT) lim F(z)
k 0
z
lim f (kT) lim(z 1)F(z)
k
z1
Z
k i0
f (kT