三级像差理论与计算
像差理论
1.6像差理论1.6.1非理想光学系统和像差所谓理想光学系统，就是能够对任意大的空间以任意宽的光束成完善像的光学系统。
一个物体发出的光经过理想光学系统后将产生一个清晰的、与物貌完全相似的像。
理想光学系统具有下述性质：①光学系统物方一个点（物点）对应像方一个点（像点），这两个点称为共轭点。
②物方每条直线对应像方的一条直线，称共轭线；物方每个平面对应像方的一个平面，称为共轭面。
③主光轴上任一点的共轭点仍在主光轴上。
任何垂直于主光轴的平面，其共轭面仍与主光轴垂直。
④对垂直于主光轴的共轭平面，横向放大率为常量。
实际中不存在真正的理想光学系统，平面反射镜是个例外，但其横向放大率恒为1。
虽然在近轴区域共轴球面系统可近似地满足理想光学系统的要求，但是实际光学系统成像都是需要一定大小的成像空间以及光束孔径的，同时还由于成像光束多是由不同颜色的光组成（同一种介质的折射率随波长而异）。
所以实际的光学系统成像都不是理想的，存在着一系列缺陷，这就是像差。
像差是指在光学系统中由透镜材料的特性或折射率（或反射）表面的集合形状引起实际像与理想像的偏差。
用高斯公式、牛顿公式或近轴光线追迹计算得到的像的位置和大小可以作为理想像的位置和大小，而实际光线追迹计算得到的像的位置和大小相对于理想像的偏差就可以作为像差的量度。
描述像差可以用几何像差和波像差（又叫光程差），本设计主要使用几何像差。
1.6.2几何像差[2]几何像差主要有七种：其中单色像差有五种，即球差、彗差、像散、场曲和畸变；复色光成像像差有轴向色差和垂轴色差两种。
1.6.2.1球差如图1-8表示的是轴上有限远同一物点发出的不同孔径的光线通过系统后不再交于一点，成像不理想。
为了表示这些对称光线在光轴方向上的离散程度，我们用不同孔径的光线对理想像点'0A 的距离''0 1.0A A 、''0.85A A …表示，称为球差。
球差是球面像差的简称，是由光学系统的口径而引起的，是光学系统口径的函数。
第6章光线的光路计算及像差理论.
细光束弧矢场曲：前后细光束交点离理想像平面 的距离。
畸变：主光线和理想像面交点与理想点的 垂轴距离；
轴外像差小结
宽 宽与上细上细光 光细下前光下畸光束束光光后束、轴前变束子弧束线光子前外 后：弧午 矢(的线上午后点 光主矢场 场交的下场光也 线光场曲 曲点交光曲线有 交线曲： ：偏点线：交球点和的：上前离偏)上点像差(的理垂前下后主离像下的的点，想距轴后光光光主点细距沿沿宽像离距细线线线光)光离轴与轴光面；离光交交(线束垂。距细距束交；束点点(交轴垂离光离(点交离离上点距轴：束—与点理理下离离距宽(—前理离想想细光理)离光子：后想理像 像光线想)束午子：光像想平 平束)像像交轴午弧线点像面 面像平散点外彗矢)平的 的散像面(球差彗像面距 距X点x差差点离 离；的.。)； 。 就是弧矢轴外球差。
物空间 n
法线
E
I
折射球面
像空间 n´
入射光线
B
物
-U
I
h
折射光线
U
A
A
光轴 O
C
像
r
B
-L
L´
第四节 轴外像差 预备知识
了解成像光束光线的全貌，需要看光束在两 个平面——子午平面和弧矢平面上的分布情况。 子午平面：由轴外物点和光轴所确定的平面。 弧矢平面：过主光线且与子午平面垂直的平面。
子午光线 弧矢光线
sinU
可以证明，齐明点满足正弦条件。
等晕条件
实际由于球差存在，只能要求近轴轴外点具有和轴 上点相同的成像缺陷。此时称等晕成像，需要满足 的条件就比正弦条件降低了，称等晕条件。
前后光线的交点偏离主光线(垂轴距离)：弧矢彗差
轴外点也有球差，宽光束(上下光线)交点(像点) 与细光束(上下光线)像点沿轴距离——子午轴外球差。
工程光学讲稿像差
n
n'( >n)
UA O A'
物点位于球面旳球心处，即 L=r此时物点
发出旳全部光线将沿球面旳法线方向入射
，即入射角I=0根据折射定律，折射角也
C
-U
A,A'
I'=0,光线无偏折地经过球面，像点也将位
于球心处，即L'=r。
(3) sinI’－sinU＝0，即I’＝U，因为
L0
sin I' n sin I / n' n(L r)sinU / n'r
§6－2 轴上点旳球差
一、 球差定义及表达措施
1、轴向球差
由实际光线旳光路计算公式知，当物距L为定值时，像距L’与入射高 度h1及孔径角U有关，伴随孔径角旳不同，像距L‘是变化旳，即如图所示：
轴上点A点发出旳光束，对于光轴附近旳光用近轴光路计算公式，像点为 A0’（看作高斯像点），对于实际光线采用实际光计算公式，成像于A’1 （实际像）。
(sin I (L-r)sinU r)
故可得： L （n Ln'） rn/nnn ' r
同I '理，U由sin I sUinU' '可得出
L ' 0A'
L' (n n')r / n'
I
-U AC
n
-I' n'( <n)
由上式拟定得共轭点，不论孔径角U多大，均不产生球差。由上式也可 得出，nL＝n’L’ ，则垂轴放大率β＝nL’/n’L=(n/n’)2
单色像差——光学系统对单色光成像时所产生旳像差。 几何像差： 球差、彗差、像散、场曲、畸变 。
色差——不同波长成像旳位置及大小都有所不同。
第六章 光线的光路计算及像差理论
下光线tgUb ( y h)
y ( L l )tgU
' z '
' z ' b
y ( L l )tgU
' b ' b '
3.折射平面和反射面的光路计算 折射平面远轴光线的光路计算公式： I U
sin I n sin I
'
n
'
U ' I ' L' LtgU tgU '
' 1 ' 2
' k 1
d k 1
校对公式：h lu l 'u '，J n 'u ' y ' nuy
' 求焦距公式：令1 , u1 , f ' h1 / uk l
轴外点近轴光线光路计算 （第二近轴光线光路计 算）：求出理想像高。
初始数据：l z , u z y /(l z l1 ) 像高数据：y (l l )u
1
n
作业
1，2，11，12，17
路计算 2.轴外点沿主光线的细光束光路计算 3.子午面的空间光线光路计算
二、子午面内的光线光路计算： 1.近轴光线光路计算：求出理想像的位置
和大小
近轴光线光路计算
（第一近轴光线光路计算）：求出理想像的位置
l r i u r n i' i n' u' u i i' i' l ' r (1 ) u'
第六章 光线的光路计算 及像差理论
实际光学系统与理想系统之间存在差异；实际像和 理想像之间的差异称为像差。
光路计算以及像差理论
光路计算以及像差理论光路计算和像差理论是光学领域中重要的理论和计算方法，用于研究和描述光在光学系统中的传播和成像过程。
本文将详细介绍光路计算和像差理论的基本概念和原理，并进一步分析它们的应用和意义。
光路计算是指通过对光线的追踪和计算，来确定光线在光学系统中的传播路径和成像效果。
光线是一种理论上的模型，用于描述光的传播。
光线在光学系统中的传播路径可以通过光线传播的三个基本规律来描述：一是光线沿直线路径传播，即自由传播定律；二是光线在分界面上发生折射，即折射定律；三是光线在反射面上发生反射，即反射定律。
根据这些规律，可以利用向量法对光线进行计算和分析，确定其传播路径和成像位置。
光路计算主要用于分析和设计光学系统，如透镜组、反射镜、光纤等。
通过对光路的计算，可以确定图像的位置、放大倍率和畸变等参数。
例如，在透镜组中，可以通过光路计算来确定光线在透镜组中的光路和成像位置，进而优化透镜组的设计，并实现清晰准确的成像效果。
光路计算还可以应用于光学传感器和光学通信系统等领域。
在光学传感器中，可以通过光路计算来确定光源到传感器的传输路径和成像效果，从而提高传感器的灵敏度和分辨率。
在光学通信系统中，可以通过光路计算来确定光信号在光纤中的传输路径和衰减情况，从而优化光通信系统的传输性能和距离。
像差理论是描述光学系统成像质量的理论框架。
在光学系统中，由于折射、反射以及光学元件的形状等因素的影响，光线在成像过程中会发生一些畸变和偏差，导致最终成像结果与理想成像有差异，这种差异称为像差。
像差理论主要研究和描述这些差异的产生原因和影响程度。
常见的像差包括球面像差、色差、像散、畸变等。
球面像差是由于透镜的球面形状导致光线在透镜中的聚焦位置发生变化，使得不同位置的物体成像位置不同。
色差是由于光线的折射率随着波长的变化而变化，导致不同波长的光线成像位置发生偏差。
像散是由于光线在透镜中的色散效应导致不同波长的光线在成像后的位置不同。
工程光学-第6章 光线的光路计算及像差理论
第六章 光线的光路计算及像差理论
前后折射面过渡公式
′ −1 − d k ′ −1 ⎧lk = lk ⎪ ′ −1 ⎨uk = uk ⎪n = n′ k −1 ⎩ k
前后折射面校对公式
⎧h = lu = l ′u′ ⎨ ⎩nuy = n′u′y′ = J
系统焦距
′ = f ′ = h1 / u ′ l1 = ∞, u1 = 0 → lk
（1）无穷远处物体
第六章 光线的光路计算及像差理论
轴外点与轴上点的重要区别 光束相对于主光线失去了对称性
第六章 光线的光路计算及像差理论
（1）无穷远处物体 初始数据
上光线U a = U z , La = Lz + h / tan U z ⎫ ⎪ 主光线U z = ω , Lz ⎬ 下光线U b = U z , Lb = Lz − h / tan U z ⎪ ⎭
第六章 光线的光路计算及像差理论
2、目视光学系统 人眼响应波段：380~760nm 最灵敏波长：555nm 校正单色差：e光λ=546.1nm 校正色差：F光λ=486.1nm和C光λ=656.3nm 选择光学材料 nD , vD = ( nD − 1) / ( nF − nC ) 3、普通照相系统 一般照相乳胶对蓝光较灵敏,具体应根据实际照相底片参数而定 校正单色差：F光λ = 486.1nm 校正色差：D光λ=589.3nm和G′光 λ =434.1nm ′ − nD ) 选择光学材料 nF , vF = ( nF − 1) / ( nG
3、球差是入射高度和孔径角的函数（偶次）
重复轴上点远轴光线计算步骤 可得实际高
第六章 光线的光路计算及像差理论
（2）有限远处物体
初始数据
上光线 tan U a =(y - h)/(Lz - L),La = Lz + h/ tan U a ⎫ ⎪ 主光线 tan U z =y/(Lz - L),Lz ⎬ 下光线tanU b =(y + h)/(Lz - L),Lb = Lz + h/ tan U b ⎪ ⎭
像差理论概述
相差理论概述这点东西呢，是比较初阶的，只能给您们一个概念性的认识，要对像差理论有比较全面的了解，还必须参看有关的教材。
谢谢日常使用的光学系统（简称镜头）由于受光学设计、加工工艺及装调技术等诸多因素的影响，要对一定大小的物体成理想象是不可能的，它实际所成的象与理想象总是有差异，这种成象的差异就称为镜头（或成象光学系统）的象差。
象差是由光学系统的物理条件（光学特性指标）所造成的。
从某种意义上来说，任何光学系统都存在有一定程度的象差，而且从理论上来讲总也不可能将它们完全消除。
肉眼和其他光能接收器也只具有一定的分辨能力，因此只要象差的数值小于一定的限度，我们就认为该系统的象差得到了矫正。
一、一级像差理论为了建立一个令人满意的像差理论，一个简单的方法就是从精确的光线追迹公式（请参考有关的书籍）着手，把其中每一角度的正弦函数按照麦克劳林定理展开成幂级数的形式,即sinθ=θ-θ3/3!+ θ5/5!- ……。
对于小角度，这个幂级数是一个迅速收敛的级数，每一项都比它的前一项小得多，这说明对近轴光线而言，因倾斜角很小，故在一级近似的情况下，除了第一项之外，其余各项都可以忽略不记。
二、三级像差理论如果在光线追迹公式中，把角的正弦函数全部用sinθ=θ-θ3/3!+ θ5/5!- ……，中的前两项代替，则所得的结果不论是什么形式的方程式，都代表三级理论的结果，这样方程式就可以对主要像差作出相当准确的说明了。
在这个理论中任何光线所产生的像差，即是相对于高斯公式所得的路径的偏差，可以用五个和（S1到S5）式来表示，这五个和叫作塞德耳和。
如果一个透镜的成像本领没有缺点，则这五个和全都应该为零。
但是没有一个光学系统能够同时满足所有的这些条件。
因此按照惯例，我们对每一个和分别考虑，如果其中某一个和为零，则与该和对应的像差就不存在。
例如，若轴上某一已知物点之塞德耳和S1=0，则相应像点之球差就不存在。
如果S2=0，则没有彗差。
第八章光学系统的像质评价和像差公式
第八章光学系统的像质评价和像差公式光学系统的像质评价和像差公式是研究光学系统成像质量的重要工具。
光学系统的像质评价主要通过像差公式来描述光学系统成像的误差，从而提供了评价光学系统成像质量的定量指标。
光学系统的像质评价可以从图像质量和像差两个方面进行。
图像质量是指图像的清晰度、对比度、分辨率等方面，是反映图像信息传递能力的指标。
而像差是指由于光学系统的结构、材料、制造等因素造成的光线偏差，导致图像不完美的情况。
像质评价的目标是通过对图像质量和像差的分析，得到一个综合的定量指标，从而评估光学系统的成像质量。
像差公式是描述光学系统成像误差的数学关系。
常见的像差公式有球差公式、彗差公式、像散公式、畸变公式等。
这些公式通过数学表达了光线经过光学系统后的成像位置与理想位置之间的差异，即描述了光学系统的误差情况。
这些公式的推导通常是基于几何光学的假设和光线传播的物理原理，可以对光线的传播路径进行建模和分析。
光学系统的像差公式一般可表示为：Δx=AΔy+B(Δy)²+C(Δρ)²+D(Δy)³+E(Δy)(Δρ)²+F(Δρ)³+...其中Δx是成像位置的偏差，Δy是入射光线的高度偏差，Δρ是入射光线的径向偏差。
A、B、C、D、E、F等系数则表示了不同像差的贡献程度。
不同的像差对成像质量的影响各不相同，有的像差会导致图像模糊、失真，有的像差会限制系统的分辨率等。
通过分析像差公式，可以得到不同像差与光学系统参数的关系。
这使得我们能够通过调整光学系统的设计参数来减小或消除像差，提高光学系统的成像质量。
例如，如果发现球差对成像质量的影响较大，可以通过改变光学系统的球面曲率来减小球差；如果发现像散对成像质量的影响较大，可以通过引入非球面透镜来减小像散。
像差公式为光学系统的设计和优化提供了理论基础和指导。
总结起来，光学系统的像质评价和像差公式是研究光学系统成像质量的重要工具。
像差理论概述
相差理论概述这点东西呢，是比较初阶的，只能给您们一个概念性的认识，要对像差理论有比较全面的了解，还必须参看有关的教材。
谢谢日常使用的光学系统（简称镜头）由于受光学设计、加工工艺及装调技术等诸多因素的影响，要对一定大小的物体成理想象是不可能的，它实际所成的象与理想象总是有差异，这种成象的差异就称为镜头（或成象光学系统）的象差。
象差是由光学系统的物理条件（光学特性指标）所造成的。
从某种意义上来说，任何光学系统都存在有一定程度的象差，而且从理论上来讲总也不可能将它们完全消除。
肉眼和其他光能接收器也只具有一定的分辨能力，因此只要象差的数值小于一定的限度，我们就认为该系统的象差得到了矫正。
一、一级像差理论为了建立一个令人满意的像差理论，一个简单的方法就是从精确的光线追迹公式（请参考有关的书籍）着手，把其中每一角度的正弦函数按照麦克劳林定理展开成幂级数的形式,即sinθ=θ-θ3/3!+ θ5/5!- ……。
对于小角度，这个幂级数是一个迅速收敛的级数，每一项都比它的前一项小得多，这说明对近轴光线而言，因倾斜角很小，故在一级近似的情况下，除了第一项之外，其余各项都可以忽略不记。
二、三级像差理论如果在光线追迹公式中，把角的正弦函数全部用sinθ=θ-θ3/3!+ θ5/5!- ……，中的前两项代替，则所得的结果不论是什么形式的方程式，都代表三级理论的结果，这样方程式就可以对主要像差作出相当准确的说明了。
在这个理论中任何光线所产生的像差，即是相对于高斯公式所得的路径的偏差，可以用五个和（S1到S5）式来表示，这五个和叫作塞德耳和。
如果一个透镜的成像本领没有缺点，则这五个和全都应该为零。
但是没有一个光学系统能够同时满足所有的这些条件。
因此按照惯例，我们对每一个和分别考虑，如果其中某一个和为零，则与该和对应的像差就不存在。
例如，若轴上某一已知物点之塞德耳和S1=0，则相应像点之球差就不存在。
如果S2=0，则没有彗差。
像差综述
β=1的转像系统
22
5.4 初级像差和光阑位置的关系
♣ 七个初级像差系数中，除∑SI、∑ SIV、 ∑CI仅有第一 近轴光线决定外，其它四个系数∑ SII、 ∑ SIII、 ∑ CII、 ∑ SV还与第二近轴光线的量ip有关，它们随光阑位臵的 改变而改变。 ♣ 光阑位臵移动引起初级像差的变化，是ip值变化所致。 因此，需要找到不同位臵时的ip值之间的关系。
r5 n r6 r7 III
5
6
7 8
r8 nIV
17
♣ 类似可得如下关系：
左
右
lp
l
lp
r 1 n r2 r3 n r4 I II
1 2
3
4
r5 n r6 r7 r8 III nIV
5
6
7 8
l
18
♣ 在全对称光学系统中，由结构特征可引出以下结论：
♣ (1) 球差、像散、场曲、轴上色差（即所有的沿光轴 方向度量的像差，或称轴向像差），左右半部等值同 号，故全组合成后这些相差为半部的两倍。 ♣ (2) 彗差、畸变、倍率色差（即所有在垂轴方向度量 的像差，或称横向像差、垂轴像差），左右半部等值 反号，故全组合成后这些相差为零。
2
像差
像差分单色像差和颜色像差两大类。像差又有初级像差和 高级像差之分，初级像差也叫做三级像差或赛得(Seidel) 像差，而高级像差又有五级像差、七级像差之分。 单色初级像差又有轴上点像差和轴外点像差之分，轴上点 单色像差只有球差一种，轴外点单色像差有慧差、像散、 像面弯曲、畸变等。 颜色像差的初级量主要有轴向(纵向)色差和倍率(横向)色 差两种，高级色差主要有二级光谱、色球差等。我们主要 讨论像差的初级量。
3
透镜的像差
单色像差的来源 P
-u
u’
P’
近轴条件下：
球面系统在近轴条件下可以理想成像 物像一一对应
P
-u u’
P’
非近轴情况下，三次幂以上项不能忽略 球面系统不能理想成像 出现三级以上像差
三级像差(或初级像差)----5种：
1) 球差(spherical aberration) 2) 慧差(coma) 3) 像散(astigmatism)和场曲(curvature of field) 4) 畸变(distortion)
球差的校正：
复合透镜，如正负透镜组合、 球面曲率及折射率的配合等； 非球面透镜；
变折射率透镜
中间折射率大
3 慧差(Coma) 靠近光轴的物点发出的大孔径光线不聚焦于一点
Y
慧尾形的弥散像 X
P 慧差的产生
慧差的定量：
dH > 0 --- 正慧差 dH < 0 --- 负慧差
不同大小慧差的照片
慧差的校正：
透镜的像差(Lens Aberrations)
1 像差的基本概念 2023最新整理收集 do something
如果成像系统： 1）不能将一个物点唯一地变换成一个像点；
或者 2）物像平面上各点的线放大率不同
像差
单色像差(monochromatic aberration) 色差(chromatic aberration)
弧矢面：包含光轴并垂直于子午面的 最小弥散圆 平面
慧差的定量：
主光线
dL > 0 -- 正像散差 dL < 0 -- 负像散差
弧矢焦线 lt
ls 子午焦线
场曲的产生 物平面对应的子午面、弧矢面、最小弥散圆平面为曲面
三级像差理论与计算
6 Third-Order Aberration Theory and Calculation•初级像差、高级像差•两条近轴光线•轴上点近轴光线（第一近轴光线）•近轴主光线（第二近轴光线）一、光线追迹公式•初始数据确定•折射•转面（过渡）•终结公式•傍轴光线、子午光线•空间光线（球面、非球面）•细光束（科丁顿方程）傍轴光线•初始数据确定•给定y和u，或•折射•转面（过渡）•终结公式•非球面•二次圆锥曲面二、像差计算公式/l•已知：入瞳（尺寸、位置）Array球差••彗差•正弦差（OSC）•在光轴附近的区域•正弦差——小视场宽光束的不对称性（彗差）的量度•畸变•位置色差•d光（0.5876μm）•C光（0.6563μm）F光（0.4861μm）•二级光谱•色球差•Rayleigh criterion•An image will be “sensibly”perfect if there exists not more than one-quarter wavelength difference in optical path over the wave front with reference to a sphere centered at the selected image point.•波面和参考球面之最大差别不超过λ/4时，此波面可看作是无缺陷的。
三、三级像差——面分布•轴上点近轴光线（第一近轴光线）•近轴主光线（第二近轴光线）•对每一个面：•横向像差与轴向像差的转换•赛得（Seidel）系数•三级像差的面分布•非球面的三级像差•等效曲率•等效四阶变形系数•等效球面的贡献（C）e•等效四阶变形系数的贡献（K）四、三级像差分布——薄透镜、光阑移动•光阑移动方程（y≠0）p•光阑与薄透镜重合（y＝0 ）p•轴向像差•三级像差表达式。
用高斯光学和三级像差理论求变焦距物镜的初始解
（６）
ｃｉ
＝ＦＦ′′０ｉｍ２０ｍ３０（ｆ′２ ＋ｆ′３ｍ２０ｍ３０
Ｆ′ｉ）， Ｆ′０
（７）
于是：
槡 ｍ２ｉ
ห้องสมุดไป่ตู้
＝
－ｂｉ
± ｂ２ｉ －４ａｉｃｉ ２ａｉ
，
（８）
（ｆ′３为正时开方取负号，ｆ′３为负时开方取正号。）
ｍ３ｉ
＝Ｆ′ｉｍ２０ｍ３０ Ｆ′０ｍ２ｉ
，
（９）
Ｘｉ
＝ｌ２０
－ｌ２ｉ
＝ｆ ′２（ｍ１２０
－１）－ｆ ′２（ｍ１２ｉ
Ｆｉｎｄｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｚｏｏｍ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｌｅｎｓｕｓｉｎｇ ｇａｕｓｓｉａｎｏｐｔｉｃｓａｎｄｔｈｉｒｄｏｒｄｅｒａｂｅｒｒａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ
ＳＨＩＧｕａｎｇｈｕｉ （ＣｈａｎｇｃｈｕｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＯｐｔｉｃｓＦｉｎｅＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，
用高斯光学和三级像差理论求变焦距物镜初 始解的一个理念是：对于大部分变焦距物镜光学 系统来说，各组元都是由相贴合的透镜组成的，光 线在其各组元半径上的高度和在主面上的高度差 别不大，因此加厚了的光学系统，基本保留了原薄 透镜系统像差，特别是高级像差特性，以及随着焦 距连续改变而产生的像差变化特性。当然，随着 相对孔径和视场的增加，透镜厚度也增加，像差的 变化会逐渐加大。但一般情况下，仍然基本保留
收稿日期：２０１７０９１１；修订日期：２０１７１０１３
１０４８
中国光学
第 １１卷
１ 引 言
一个好的变焦距物镜设计结果，不仅要求成 像质量好，而且要求体积小、结构简单和工艺性能 好。像 ＺＥＭＡＸ和 ＣＯＤＥ．Ｖ那 样 的 光 学 设 计 软 件，虽然优化功能很强，但若想得到一个好的设计 结果，初始解的选择仍然是至关重要的。求初始 解的普遍做法是将已有的光学系统，或系统中的 某个组元进行缩放。如果已有的光学系统和要设 计 的 光 学 系 统 相 仿，则 不 失 为 一 种 省 事 的 方 法。 而有助于创新设计的、利用高斯光学和三级像差 理论求初始解的方法却很少被应用。文献［１］认 为，这种方法求解太繁琐，不如用现成的进行缩放 的方法好。对于常规的光学系统，一般会有相仿 的设计，但对于有特殊要求的光学系统，尤其是没 有先例的、非常规的光学系统则很难有相仿的设 计，如果硬要将一种不相干的光学系统或组元拿 来缩放，则很难求得最佳的初始解。长期采用拿 来进行缩放的方法，会使设计者对计算机过分依 赖而不能很好发挥主观能动性。根据作者的经 验，设计非常规光学系统时，若不是利用高斯光学 和三级像差理论求初始解，则很难完成这些没有 先例的光学系统的设计［２５］。
三级像差理论与计算
6 Third-Order Aberration Theory and Calculation•初级像差、高级像差•两条近轴光线•轴上点近轴光线（第一近轴光线）•近轴主光线（第二近轴光线）一、光线追迹公式•初始数据确定•折射•转面（过渡）•终结公式•傍轴光线、子午光线•空间光线（球面、非球面）•细光束（科丁顿方程）傍轴光线•初始数据确定•给定y和u，或•折射•转面（过渡）•终结公式•非球面•二次圆锥曲面二、像差计算公式/l•已知：入瞳（尺寸、位置）Array球差••彗差•正弦差（OSC）•在光轴附近的区域•正弦差——小视场宽光束的不对称性（彗差）的量度•畸变•位置色差•d光（0.5876μm）•C光（0.6563μm）F光（0.4861μm）•二级光谱•色球差•Rayleigh criterion•An image will be “sensibly”perfect if there exists not more than one-quarter wavelength difference in optical path over the wave front with reference to a sphere centered at the selected image point.•波面和参考球面之最大差别不超过λ/4时，此波面可看作是无缺陷的。
三、三级像差——面分布•轴上点近轴光线（第一近轴光线）•近轴主光线（第二近轴光线）•对每一个面：•横向像差与轴向像差的转换•赛得（Seidel）系数•三级像差的面分布•非球面的三级像差•等效曲率•等效四阶变形系数•等效球面的贡献（C）e•等效四阶变形系数的贡献（K）四、三级像差分布——薄透镜、光阑移动•光阑移动方程（y≠0）p•光阑与薄透镜重合（y＝0 ）p•轴向像差•三级像差表达式。
第六章 像差计算
第六章像差计算6.1 光学系统的像差这里将提供像差的数值计算。
掌握各种像差的基本概念．特别是初级像差。
以及各种表面和薄透镜的三级像差贡献。
光学计算通常要求6位有效数字的精度，这取决于光学系统的复杂程度、仪器精度和应用的领域。
三角函数应在小数点后面取6位数，这相当于0.2弧秒。
这样的精度基本上满足了绝大多数使用要求。
当然，结构尺寸较大的衍射极限光学系统要求的精度比这还要向些。
光学计算所花费的时间明显地取决于设计者的技巧和所使用的计算设备的先进程度。
计算技术发展到今天，就是使用普通的个人计算机，光学计算所需的时间也已经很少了。
但要对一个复杂的系统进行优化设计，特别是全局优化设计时．还是要花费一定的时间的。
关于如何进行光学设计，一直有两种观点。
一种观点主张以像差理论为基础，根据对光学系统的质量要求，用像差表达式，特别是用三级像差表达式来求解光学系统的初始结构，然后计算光线并求出像差，对其结果进行分析。
如果不尽人意，那么就要在像差理论的指导下，利用校正像差的手段(弯曲半径，更换玻璃、改变光焦度分配等)，进行像差平衡，直到获得满意的结果。
如果最后得不到满意的结果，那么就要重新利用像差理论求解初始结构，而后再重复上述的过程，直到取得满意的结果。
另一种观点是从现存的光学系统的结构中找寻适合于使用要求的结构，这可从专利或文献中查找，然后计算光线，分析像差，采用弯曲半径，增加或减少透镜个数等校正像差的手段，消除和平衡像差，直到获得满意的结果。
对于常规物镜，如Cooke三片，双高斯、匹兹瓦尔物镜等．常采用这种方法。
这种方法需要计算大量的光线(计算机发展到今天。
这已不成问题)，同时需要光学设计者有较丰富的设计经历和经验．以便对设计结果进行评价。
通常我们可以把二者结合起来，以像差理论为指导，进行像差平衡。
特别是计算机发展到今天，光学计算已经不是干扰光学设计者的问题了。
对于常规镜头，通常不再需要像以前那样从求解初始结构开始，而是根据技术指标和使用要求、从光学系统数据库或专利目录中找出合适的结构，然后进行计算和分析。
工程光学：第六章_像差理论
3、波像差（Wave Aberration）
—— 实际波面和理想球面的偏差。 产生原因：基于波动光学，近轴物点发出 的球面波经系 统后仍为球面波，但由于衍 射现象的存在，物点的理想像是一个艾里 斑。对于实际系统，由于像差的存在，经 系统后不再是球面波。
以下以单透镜为例，讨论各种像差的基 本性质。
4、基本概念
★光阑约束细光束成 像，无球差彗差。
★球面物体 AB 与折射球 面具有相同的曲率中心 C，对应的像面为同心 球面 A0B ，无像散。
★平面 AB的1 像面 A0B1比 A0B 更为弯曲，这个对平面 成清晰像的曲像面称为 匹兹伐尔像面（场曲）.
dl B1 B
n
高斯像面
n
A
O
C
A0
折射 球面 光阑
B1 B
BB0
★尖端亮点：近轴细光束与主光线的交点. B KT
2、彗差：轴外物点发出的宽光束，经过透镜不同环
带的光线束（不同孔径角），在高斯像面上形成一 系列大小不同、相互交叠的弥散圆斑；各圆斑中心 在一条直线上，与主轴有不同的距离；形成一个有 尖端亮点、如同彗星形状的像。
3、通常光学系统的彗形像差
4、物理意义
5、畸变的应用
宽屏电影的拍摄：照相物镜所得的像，其 水平向与垂直向的比例不一致，可拍摄水 平方向较大范围的景象。
几何像差小结
未经校正的光学系统，一般五种几何像 差都存在。特定的条件下，也可能只有一种 像差特别明显:
(1) 物点在主轴上：球差（光束越宽越明显） (2) 物点与主轴距离不大：球差，彗差（更明
轴上物点
宽光束(不同孔径角)
1）像点位置的轴向偏离：球差
2）高斯像面上的弥散圆斑：垂轴球差
带电粒子束的聚焦和传输--电子离子透镜
B 2
电子光学 第4单元 P.20
n n
像差分析计算的逐次近似（变分原理）方法 、 三级几何像差理论：
,
将μ 的展开式代入变分原理表达式，可得
( 0 2 4 ) dz 0
0 0 0 0 0 x y x y
电子光学 第4单元 P.9nBiblioteka 像差的概念和分类, 、
像差的非线性性质和逐次近似分析的概念：
根式只能够展开为高阶多项式。其结果是 圆柱坐标系轨迹方程：
r r 2
1 r 2 r 2 2 ( Er r E z ) / v (1 r 2 ) B r ( r Br Bz ) r 2r Q 1 v 2 c 2 1 r 2 r 2 2 m0 v
代入μ4 的展开式后，上式中有关 μ2的一项实则为旁轴轨迹方程的等式左端。
电子光学 第4单元 P.23
n n
像差分析计算的逐次近似（变分原理）方法 、 三级几何像差理论：
,
第二次（三阶）逐次近似： 为简单起见仍用非相对论形式讨论，则此式变化为：
d dz d dz
e)非旋转对称性像差
电子光学 第4单元 P.6
n
像差的概念和分类
定量的像差定义：
实际（非旁轴）轨迹与相同初始条件的单色高斯轨迹在高斯成像平面上比较的 误差。
x ( zi ) x ( zi ) xg ( zi ) y ( zi ) y ( zi ) yg ( zi )
电子光学 第4单元 P.7
2 2
X x cos y sin , Y x sin y cos
像差及其和结构参数的关系
像差及其和结构参数的关系单色像差对单色光而言的像差。
按照理想像平面上像差的大小与物高、入射光瞳口径的关系可区分为：①球差与物高无关而与入射光瞳口径三次方成正比的像差。
它使理想像平面中各像点都成为同样大小的圆斑。
轴上物点只有球差这一种像差。
通过入射光瞳上不同环带的光线，经过光学系统后会聚在光轴上的不同点。
这些点与近轴光的像点之差称为轴向球差。
②彗差与物高一次方、入射光瞳口径二次方成正比的像差。
若仅存在彗差，轴外物点发出的通过入射光瞳不同环带的光线，会在理想像平面上形成半径变化的并且沿视场半径方向偏移的像圈。
它们的组合会使物点的像成为形状同彗星相似的弥散斑。
③场曲和像散与物高二次方、入射光瞳口径一次方成正比的像差。
若仅存在场曲，则所有物平面上的点都有相应的像点，但分布在一个球面上；若采用弯成此种形状的底片，则可获得处处清晰的像。
此时在理想像平面上，像点呈现为圆斑。
④畸变仅与物高三次方成正比的像差。
若仅有畸变，得到的像是清晰的，只是像的形状与物不相似。
上述单色像差，仅与物高和入射光瞳口径的幂总共三次方成正比，称为三级像差（又称初级像差），此外还有与物高和入射光瞳口径的幂总共高于三次方的成正比像差，称为高级像差。
色差由于透射材料折射率随波长变化，造成物点发出的不同波长的光线通过光学系统后不会聚在一点，而成为有色的弥散斑。
它仅出现于有透射元件的光学系统中。
按照理想像平面上像差的线大小与物高的关系，可区分为：①位臵色差（又称纵向色差）与物高无关的像差，即不同波长的光线经由光学系统后会聚在不同的焦点。
②横向色差（又称倍率色差）与物高一次方成正比的像差。
它使不同波长光线的像高不同，在理想像平面上物点的像成为一条小光谱。
这是两种最基本的色差，由于波长不同还会引起单色像差的不同，这称为色像差，如色球差、色彗差等。
如果物平面处在无穷远,上述物高应换为物点的视角(即它和光轴的夹角)。
实际的光学系统存在着各种像差。
一个物点所成的像是综合各种像差的结果；此外实际光学系统完全可以不调焦在理想像平面处，这时像差（指在这个实像面上的像斑）当然也要变化。
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6 Third-Order Aberration Theory and Calculation
•初级像差、高级像差
•两条近轴光线
•轴上点近轴光线（第一近轴光线）•近轴主光线（第二近轴光线）
一、光线追迹公式
•初始数据确定
•折射
•转面（过渡）
•终结公式
•傍轴光线、子午光线
•空间光线（球面、非球面）
•细光束（科丁顿方程）
傍轴光线•初始数据确定
•给定y和u，或
•折射
•转面（过渡）
•终结公式
•非球面
•二次圆锥曲面
二、像差计算公式
/l
•已知：
入瞳（尺寸、位置）Array
球差
•
•彗差
•正弦差（OSC）
•在光轴附近的区域
•正弦差——小视场宽光束的不对称性
（彗差）的量度
•畸变
•位置色差
•d光（0.5876μm）
•C光（0.6563μm）F光（0.4861μm）
•二级光谱
•色球差
•Rayleigh criterion
•An image will be “sensibly”perfect if there exists not more than one-quarter wavelength difference in optical path over the wave front with reference to a sphere centered at the selected image point.
•波面和参考球面之最大差别不超过λ/4时，此波面可看作是无缺陷的。
三、三级像差——面分布
•轴上点近轴光线（第一近轴光线）•近轴主光线（第二近轴光线）
•对每一个面：
•横向像差与轴向像差的转换
•赛得（Seidel）系数
•三级像差的面分布
•非球面的三级像差
•等效曲率
•等效四阶变形系数
•等效球面的贡献（C
）
e
•等效四阶变形系数的贡献（K）
四、三级像差分布——薄透镜、
光阑移动
•光阑移动方程（y
≠0）
p
•光阑与薄透镜重合（y
＝0 ）
p
•轴向像差
•三级像差表达式。