二项式定理_第一课时课件
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3 2
(a b) (a b) (a b) ?
4 3
(a b)
( a b) ?
n
… …
100
?
多项式乘法的再认识
问题1: (a1 a2 )(b1 b2 ) 的展开式是什么？
展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2: (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
二项式定理，又称牛顿二项
式定理，由艾萨克· 牛顿于1664、 1665年间提出．
二项式定理在组合理论、开高 次方、高阶等差数列求和，以 及差分法中都有广泛的应用．
二项式定理研究的是 ( a b ) 的展开式.
n
(a b) a 2ab b ?
2
2
2
(a b) ?a b) (a b) (
C
k n
( k { 0 ,1, 2 , , n })
④二项展开式的通项:
Tk 1 C a
k n k k n
b
二项式定理
(a b ) C a C a
n 0 n n 1 n1 n
b C a
k n
n k
b C b (n N )
k n n n *
(a b ) C a C a ?
2 n n n
杨辉，南宋时期杰出的 数学家和数学教育家
4 6 2
1 6 例1：求 (2 x ) 的展开式． x
解: 先化简后展开
1 6 2x 1 6 1 6 (2 x ) ( ) 3 (2 x 1) x x x
1 1 3 [(2 x )6 C6 (2 x )5 C 62 ( 2 x )4 x
C (2 x ) C (2 x ) C (2 x ) C ]
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
探究1 推导 ( a b ) 的展开式.
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
3
① 项： a
3
0 3
a b
C
1 3
2
ab
C
2
b
3
3 3
k 0 ,1, 2 , 3
a 3 k b k
C
k 3
1 ② 系数：C
分 析a 2b
2 3
C
(a b)(a b)(a b) (a b)(a b)(a b) (a b)(a b)(a b)
3 0 3 3 1 2 3 2 3
C
1 3
2 3 3 3
(a ③ 展开式： b) C a C a b C ab C b
探究2 仿照上述过程,推导 ( a b ) 的展开式.
( a b) ?
n
( a b ) n的展开过程，证明猜想. 探究3：请分析
(a b ) (a b)( a b )(a b)
n
①项：
a
n
a
n 1
1 n
n
b a
n k
b
k
b
Fra Baidu bibliotek
n
②系数： C
分 析a
n k
0 n
C
C
k n
C
n
0 n n n n
1 n 1 n
(b) C a
k n
n k
( b)
k
C ( b)
n
n
(1 x ) ? C x C x C x C
0 n 1 n k n k
n n n
1 6 例1：求 (2 x ) 的展开式． x
1 6 例1：求 (2 x x ) 的展开式．
解: 直接展开
1 6 1 0 6 1 5 (2 x ) C6 (2 x ) C6 (2 x ) ( ) x x 1 2 1 3 2 4 3 3 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) 2 x 2 x
1 4 1 5 1 6 5 6 C (2 x ) ( ) C6 (2 x )( ) C6 ( ) x x x 60 12 1 3 2 64x 192x 240x 160 2 3 x x x
A. -15 B. 85 C. -120 D. 274
−51
1.二项式定理： n 0 n 1 n 1 k n k k n n * (a b ) C n a C na b C n a b C n b (n N )
k (1)二项式系数： C n ( k 0 ,1, 2 , , n )
(a b ) C a C a
n 0 n n 1 n1 n
b C a
k n
n k
b C b (n N )
k n n n *
①项数： 共有n＋1项 ②次数： a的幂加b的幂都等于n，
字母a按降幂排列，次数由n递减到0
, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
③二项式系数:
n n
b
k
n个(a b)相乘
k个(a b)中选b
n k 个(a b)中选a
C
k n
③展开式：
0 1 ( a b ) n C n a n C n a n 1 b C nk a n k b k C nn b n ( n N * )
二项式定理
(2)二项展开式的通项： Tk 1 C a
k n
n k
b
k
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.
(3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业： 《名师导学》第10课时
2、拓展型作业：
0 1 探究二项式系数 Cn，Cn，
C ， ，C 有何性质.
4
( a b) C a C
2
0 2 2
1 2 2ab
1 2 3
C b
2 2 2
2 3
2
(a b) C a C a b C ab C b
3
0 3 3
3 3
3
( a b) C
4
0 4 4a
C
1 3 4a b
C
2 2 2 a b 4
C
3 3 ab 4
C
4 4 4b
原式 C 40 ( x 1) 4 C 41 ( x 1) 3 C 42 ( x 1) 2 C 43 ( x 1) C 44
[( x 1) 1]
4
x
4
思维拓展
1.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项 的系数是 ( A )
3 6 3 4 6 2 5 6 6 6
60 12 1 64x 192x 240x 160 2 3 x x x
3 2
例1：求 (2 x
1 x
)6 的展开式．
思考1：展开式的第３项的系数是多少？ 思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？
例2、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.
(a b) (a b) (a b) ?
4 3
(a b)
( a b) ?
n
… …
100
?
多项式乘法的再认识
问题1: (a1 a2 )(b1 b2 ) 的展开式是什么？
展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2: (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
二项式定理，又称牛顿二项
式定理，由艾萨克· 牛顿于1664、 1665年间提出．
二项式定理在组合理论、开高 次方、高阶等差数列求和，以 及差分法中都有广泛的应用．
二项式定理研究的是 ( a b ) 的展开式.
n
(a b) a 2ab b ?
2
2
2
(a b) ?a b) (a b) (
C
k n
( k { 0 ,1, 2 , , n })
④二项展开式的通项:
Tk 1 C a
k n k k n
b
二项式定理
(a b ) C a C a
n 0 n n 1 n1 n
b C a
k n
n k
b C b (n N )
k n n n *
(a b ) C a C a ?
2 n n n
杨辉，南宋时期杰出的 数学家和数学教育家
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1 6 例1：求 (2 x ) 的展开式． x
解: 先化简后展开
1 6 2x 1 6 1 6 (2 x ) ( ) 3 (2 x 1) x x x
1 1 3 [(2 x )6 C6 (2 x )5 C 62 ( 2 x )4 x
C (2 x ) C (2 x ) C (2 x ) C ]
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
探究1 推导 ( a b ) 的展开式.
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
3
① 项： a
3
0 3
a b
C
1 3
2
ab
C
2
b
3
3 3
k 0 ,1, 2 , 3
a 3 k b k
C
k 3
1 ② 系数：C
分 析a 2b
2 3
C
(a b)(a b)(a b) (a b)(a b)(a b) (a b)(a b)(a b)
3 0 3 3 1 2 3 2 3
C
1 3
2 3 3 3
(a ③ 展开式： b) C a C a b C ab C b
探究2 仿照上述过程,推导 ( a b ) 的展开式.
( a b) ?
n
( a b ) n的展开过程，证明猜想. 探究3：请分析
(a b ) (a b)( a b )(a b)
n
①项：
a
n
a
n 1
1 n
n
b a
n k
b
k
b
Fra Baidu bibliotek
n
②系数： C
分 析a
n k
0 n
C
C
k n
C
n
0 n n n n
1 n 1 n
(b) C a
k n
n k
( b)
k
C ( b)
n
n
(1 x ) ? C x C x C x C
0 n 1 n k n k
n n n
1 6 例1：求 (2 x ) 的展开式． x
1 6 例1：求 (2 x x ) 的展开式．
解: 直接展开
1 6 1 0 6 1 5 (2 x ) C6 (2 x ) C6 (2 x ) ( ) x x 1 2 1 3 2 4 3 3 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) 2 x 2 x
1 4 1 5 1 6 5 6 C (2 x ) ( ) C6 (2 x )( ) C6 ( ) x x x 60 12 1 3 2 64x 192x 240x 160 2 3 x x x
A. -15 B. 85 C. -120 D. 274
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1.二项式定理： n 0 n 1 n 1 k n k k n n * (a b ) C n a C na b C n a b C n b (n N )
k (1)二项式系数： C n ( k 0 ,1, 2 , , n )
(a b ) C a C a
n 0 n n 1 n1 n
b C a
k n
n k
b C b (n N )
k n n n *
①项数： 共有n＋1项 ②次数： a的幂加b的幂都等于n，
字母a按降幂排列，次数由n递减到0
, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
③二项式系数:
n n
b
k
n个(a b)相乘
k个(a b)中选b
n k 个(a b)中选a
C
k n
③展开式：
0 1 ( a b ) n C n a n C n a n 1 b C nk a n k b k C nn b n ( n N * )
二项式定理
(2)二项展开式的通项： Tk 1 C a
k n
n k
b
k
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.
(3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业： 《名师导学》第10课时
2、拓展型作业：
0 1 探究二项式系数 Cn，Cn，
C ， ，C 有何性质.
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( a b) C a C
2
0 2 2
1 2 2ab
1 2 3
C b
2 2 2
2 3
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(a b) C a C a b C ab C b
3
0 3 3
3 3
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( a b) C
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0 4 4a
C
1 3 4a b
C
2 2 2 a b 4
C
3 3 ab 4
C
4 4 4b
原式 C 40 ( x 1) 4 C 41 ( x 1) 3 C 42 ( x 1) 2 C 43 ( x 1) C 44
[( x 1) 1]
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x
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思维拓展
1.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项 的系数是 ( A )
3 6 3 4 6 2 5 6 6 6
60 12 1 64x 192x 240x 160 2 3 x x x
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例1：求 (2 x
1 x
)6 的展开式．
思考1：展开式的第３项的系数是多少？ 思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？
例2、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.