2014-2015年吉林省长春市东北师大附中高一上学期数学期中试卷带答案

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(整理版)师大附中高一上学期期中考试试题(数学)

师大附中— 度高一上学期期中考试试题〔数学〕本试卷分第一卷、第二卷．本试卷共4页．第一卷和第二卷总分值150分，考试时间120分钟．考前须知：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共100分一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}A =,{1,3}B =，那么()U A C B ⋂等于A.{4,5}B.{2,4,5}C.{1}D.{3} 2、以下函数与函数||y x =为相等函数的是A．2y = B．y C ．{,(0),(0)x x y x x >=-< D ．log a xy a=3、集合{1,2}A =,{3,4}B =，那么从A 到B 的映射共有A.1个B.2个C.3个D.4个 4、函数()log (43)a f x x =-过定点A.〔1，0〕B.〔3,04〕C.〔1，1〕D.〔3,14〕5、设全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，那么图中阴影局部所表示的集合是 A ．{|23}x x << B ．{|3}x x < C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≤6、幂函数()y f x =的图像经过点(4,2)，那么(9)f 的值为A. 3B. 3±C. 81D.81± 7、以下大小关系正确的选项是A. 30.440.43log 0.3＜＜B. 30.440.4log 0.33＜＜ C. 30.44log 0.30.43＜＜ D. 0.434log 0.330.4＜＜8、函数)(log 3)(2x x f x--=的零点所在区间是A.)2,25(--B.)1,2(--C.〔1,2〕D.25,2(9、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x =，那么满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(,1)(0,1)-∞-⋃h 和时间t 之间的关系，其中正确的有B.2个二、填空题：本大题有3小题，每题4分，共12分，把答案填在答卷的相应位置.11、函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域是 *** ；12、．计算：52log 232851ln log 16e ⨯+= *** ；13、设函数22 1 (0)()+1 (02)3 1 (2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，假设()3f x =，那么x = *** .三、解答题：本大题有3题，共38分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、〔本小题总分值12分〕设2{|560}A x x x =-+=，}01|{=-=ax x B . 〔I 〕假设13a =，试判定集合A 与B 的关系；〔II 〕假设A B ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .15、〔本小题总分值12分〕函数112)(++=x x x f .〔I 〕用定义证明函数在区间[)+∞,1是增函数；〔II 〕求该函数在区间[]2,4上的最大值与最小值.16、〔本小题14分〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．〔I 〕求(0)f ，(1)f ；〔II 〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅲ〕假设(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．第II 卷共50分一、填空题：本大题有2小题，每题4分，共8分，把答案填在答卷的相应位置.17、如果函数()22f x x ax =-+在区间11[,]24-上是单调函数，那么实数a 的取值范围是 *** ; 18、设函数22)(k x x x f --=，以下判断：①存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有一个零点； ②存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有两个零点； ③存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有三个零点； ④存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有四个零点．其中正确的选项是 *** 〔填相应的序号〕．二、选择题：本大题有2小题，每题4分，共8分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.||()xx a f x =(01)a <<A ．B ．C ．D ． 20、假设函数()log (1)a f x ax =+在区间(3,2)--上单调递减，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)3 B ．1(0,]3 C ．1(0,]2 D ．(0,1)三、解答题：本大题有3题，共34分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.21、(本小题总分值10分)函数1()4226x x f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈. 〔I 〕求函数()f x 的最大值和最小值；〔II 〕假设实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.22、(本小题总分值12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．〔I 〕设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f 〔x 〕的表达式；〔II 〕当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是多少元？〔服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-本钱〕 23、〔本小题总分值12分〕设二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2满足以下条件：①当R x ∈时，)(x f 的最小值为0，且图像关于直线1-=x 对称；②当()5,0∈x 时，()112+-≤≤x x f x 恒成立．〔I 〕求()1f 的值；〔II 〕求()x f 的解析式；〔Ⅲ〕假设()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围.附加题：本大题有2小题，每题5分，共10分，把答案填在答卷的相应位置. 说明：得分计入总分，超过150分，总分计为150分.1、设函数()f x x x a =-，假设对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式)()(2121>--x x x f x f恒成立，那么实数a 的取值范围是 *** . 2、函数)(x f y =定义域为D ，假设满足:①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[]D n m ⊆,使()f x 在[]n m ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2n m ，那么就称)(x f y =为“减半函数〞.假设函数)0,1,0)((log )(≥≠>+=t a a t a x f xa 是“减半函数〞，那么t 的取值范围为 *** .参考答案第I 卷11、()()1,22,⋃+∞ 12、83-13三、解答题: 14、〔本小题总分值12分〕解：A ＝{2,3}〔I 〕假设13a =,那么B={3}，∴B ⊆A〔II 〕∵B ⊆A ， ∴B =Φ或{2}B =或{3}B =∴0a =或12a =或13a = ∴11{0,,}32C =15、〔本小题总分值12分〕〔I 〕证明：任取[)+∞∈,1,21x x ，且12x x <，112112)()(221121++-++=-x x x x x f x f )1)(1()(2121++-=x x x x∵120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <,∴函数()f x 在[)+∞,1上是增函数.〔II 〕由〔I 〕知函数()f x 在[]2,4上是增函数.∴max 2419[()](4)415f x f ⨯+===+, min[()]f x =2215(2)213f ⨯+==+. 16、〔本小题总分值14分〕解：〔I 〕()00f = (1)(1)1f f =-=-〔II 〕令0x >，那么0x -<12()log (1)()f x x f x -=+=∴0x >时，12()log (1)f x x =+∴1212log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩〔Ⅲ〕∵12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为减函数 ∵(1)1(1)f a f -<-= ∴11a -> ∴2a >或0a <第II 卷共50分一、填空题：17、(,2][1,)-∞-⋃+∞ 18、 ②③. 二、选择题：三、解答题：19 20 DB21、(本小题总分值10分) 解：〔I 〕 2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤令2xt =，03x ≤≤，18t ∴≤≤∴22()46(2)10h t t t t =--=--〔18t ≤≤〕∴当[1,2]t ∈时，()h t 是减函数；当(2,8]t ∈时，()h t 是增函数；min ()(2)10f x h ∴==-，max ()(8)26f x h ==〔II 〕()0f x a -≥恒成立，即()a f x ≤恒成立，∴min ()10a f x ≤=-∴a 的取值范围为(,10]-∞- 22、(本小题总分值12分) 解：〔I 〕当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，600.02(100)6250xP x =--=-∴**60,0100,62,100500,50x x N P x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩〔II 〕设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，那么*2*(40)20,0100,22,100500,50P x x x x N L x x x x N ⎧-=<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩当0＜x≤100时，L 单调递增，此时当x=100时，Lmax=当100＜x≤500时，L 单调递增, 此时当x=500时，Lmax=6000 综上所述，当x=500时，Lmax=6000答：当销售商一次订购500件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是6000元. 23、〔本小题总分值12分〕解：〔I 〕在②中令1=x ，有()111≤≤f ，故()11=f ．〔II 〕当R x ∈时，)(x f 的最小值为0且二次函数关于直线1-=x 对称，故设此二次函数为()()()012>+=a x a x f ．∵()11=f ，∴41=a ．∴()()2141+=x x f ．〔Ⅲ〕()()222111144424x x f x x x -=+-=+，由()214x f x -≤即11||124x +≤，得5322x -≤≤∵()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤∴只须51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤∴实数m 的取值范围为33[,]22-．附加题：每题5分，共10分 1、3a ≤ 2、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0。

《解析》吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析

吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：（每小题4分，共48分）1．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a b2＜a2b C．D．2．在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于（）A．4B．6C．12 D．163．直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，则m的值为（）A．﹣3 B．1C．0或D．1或﹣34．不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0或x＞3} C．{x|x＜﹣2或x＞0} D．{x|x＜0或x＞3}5．点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定6．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn7．当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）8．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项9．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）A．或B．C．或D．10．下列函数中，y的最小值为4的是（）A．B．C．D．y=e x+4e﹣x11．过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=﹣x对称时，∠APB=（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3C．2D．二、填空题：（每小题4分，共16分）13．不等式组表示的平面区域的面积等于．14．点（x，y）在直线x+3y﹣2=0上移动时，z=2x+8y的最小值为．15．等比数列{a n}的前n项和是S n，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是．16．直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是．三、解答题：（共56分）17．已知等差数列{a n}中a2=9，a5=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{log2b n}的前n项和S n．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？19．已知关于x的一元二次不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）对任意实数x都成立，试比较实数a，b的大小．20．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．21．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0）、B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．四．附加题22．以数列{a n}的任意相邻两项为坐标的点P n（a n，a n+1）（n∈N*）都在一次函数y=2x+k的图象上，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S6=T4，S5=﹣9，求k的值．吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：（每小题4分，共48分）1．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a b2＜a2b C．D．考点：一元二次不等式的应用；不等关系与不等式．专题：综合题．分析：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项解答：解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．点评：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．2．在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于（）A．4B．6C．12 D．16考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的通项公式化简a1a3a11=8后，得到关于第5项的方程，求出方程的解即可得到第5项的值，然后根据等比数列的性质得到a2a8等于第5项的平方，把第5项的值代入即可求出所求式子的值．解答：解：a1•a3•a11=a13•q12=（a1q4）3=a53=8，∴a5=2，则a2•a8=a52=4．故选：A点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道综合题．3．直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，则m的值为（）A．﹣3 B．1C．0或D．1或﹣3考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两条直线垂直的条件，结合题意建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．解答：解：∵直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，∴m（m﹣1）+（1﹣m）（2m+3）=0，解之得m=﹣3或1故选：D点评：本题给出两条直线互相垂直，求实数m的值．着重考查了直线的方程和直线的位置关系等知识，属于基础题．4．不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0或x＞3} C．{x|x＜﹣2或x＞0} D．{x|x＜0或x＞3}考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：将“不等式＜0”转化为：“x（x+2）（x+3）＜0”，用穿根法求解．解答：解：依题意：原不等式转化为：x（x+2）（x+3）＜0解得：x＜﹣2或0＜x＜3故选A点评：本题主要考查分式不等式的解法，一般是转化为整式不等式，再用穿根法求解．5．点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定考点：点与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由已知得x02+y02＞R2，从而圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离d＜R，由此推导出直线x0x+y0y=R2与圆相交．解答：解：∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，∴x02+y02＞R2，∴圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离：d=＜R，∴直线x0x+y0y=R2与圆相交．故选：B．点评：本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．6．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．解答：解：∵，，…∴=故选：A．点评：数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．7．当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：先根据约束条件的可行域，再利用几何意义求最值，z=kx+y表示直线在y轴上的截距，﹣k表示直线的斜率，只需求出k的取值范围时，直线z=kx+y在y轴上的截距取得最大值的一个最优解为（1，2）即可．解答：解：由可行域可知，直线AC的斜率=，直线BC的斜率=，当直线z=kx+y的斜率介于AC与BC之间时，C（1，2）是该目标函数z=kx+y的最优解，所以k∈[﹣1，1]，故选B．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法反求参数的范围，属于基础题．8．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项考点：等差数列的前n项和；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a6+a7＞0，a7＜0，进而得出|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，可得答案．解答：解：∵S13===13a7＜0，S12===6（a6+a7）＞0∴a6+a7＞0，a7＜0，∴|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，∴|a6|＞|a7|∴数列{a n}中绝对值最小的项是a7故选C．点评：本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，解题的关键是求出a6+a7＞0，a7＜0，属中档题．9．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）A．或B．C．或D．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：根据直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），求出圆心到直线的距离；再根据点到直线的距离公式即可求出k的值．解答：解：因为直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，所以∠POQ=120°（其中O为原点），如图可得∠OPE=30°；OE=OPsin30°=，即圆心O（0，0）到直线y=kx+1的距离d==，所以k=．故选：A．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查计算能力，求出圆心（0，0）到直线的距离是解题的关键．10．下列函数中，y的最小值为4的是（）A．B．C．D．y=e x+4e﹣x考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．解答：解：选项A错误，因为x可能为负数；选项B错误，化简可得y=2（+）由基本不等式可得取等号的条件为=即x2=﹣1，显然没有实数满足x2=﹣1；选项C错误，由基本不等式可得取等号的条件为sinx=2，但由三角函数的值域可知sinx≤1；选项D，由基本不等式可得当e x=2即x=ln2时，y取最小值4．故选：D．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及基本不等式取等号的条件，属基础题．11．过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=﹣x对称时，∠APB=（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，求出∠APB的值．解答：解：显然圆心C（﹣1，5）不在直线y=﹣x上．由对称性可知，只有直线y=﹣x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=﹣x，从这点做切线才能关于直线y=﹣x对称．所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y﹣5=x+1即y=6+x，与y=﹣x联立，可求出该点坐标为（﹣3，3），所以该点到圆心的距离为=2，由切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，又知圆的半径为．所以两切线夹角的一半的正弦值为=，所以夹角∠APB=60°故选C．点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型．12．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3C．2D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：因为a+b+c的平方与已知等式有关，现将（a+b+c）2用已知等式表示，根据一个数的平方大于等于0得不等式，然后解不等式得范围．解答：解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a2+2ab+2ac+4bc）+b2+c2﹣2bc=12+（b ﹣c）2≥12，当且仅当b=c时取等号，∴a+b+c≥故选项为A点评：若要求的代数式能用已知条件表示，得不等式，通过解不等式求代数式的范围．二、填空题：（每小题4分，共16分）13．不等式组表示的平面区域的面积等于25．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：画出约束条件表示的可行域，求出交点坐标，然后求出三角形面积，即可求解解答：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示的三角形ABC由由题意可得A（﹣2，2），B（3，7），C（3，﹣3）∴BC=10，A到直线BC的距离d=5∴S△ABC==25故答案为：25点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．14．点（x，y）在直线x+3y﹣2=0上移动时，z=2x+8y的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：根据基本不等式的性质进行计算即可．解答：解：∵x+3y﹣2=0，∴x+3y=2，∴z=2x+23y≥2=2=2=4，当且仅当x=3y，即x=1，y=时，“=”成立，故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，应用性质是注意满足条件；一正二定三相等，本题是一道基础题．15．等比数列{a n}的前n项和是S n，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是40．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：首先根据题意求出S10=10，S30=130，再根据S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列，得到S20=40，或者S20=﹣30，然后利用等比数列的求和公式得到答案．解答：解：因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130．∵数列{a n}为等比数列，∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列，即S10，S20﹣S10，S30﹣S20也是等比数列，所以S20=40，或者S20=﹣30，因为S20=S10（1+q10），所以S20=40．故答案为40．点评：本题主要考查了等比数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等比数列中S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列的性质．16．直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是﹣3＜b≤3或．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足仅有一个公共点，有两种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径3求得b，一种是与半圆相交但只有一个交点，根据图象可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围．解答：解：依题意可知曲线C的方程可整理成y2+x2=9（x≥0）要使直线l与曲线c仅有一个公共点，有两种情况：如下图：（1）直线与半圆相切，原点到直线的距离为3，切于A点，d==3，因为b＜0，可得b=﹣3，满足题意；（2）直线过半圆的下顶点（0，﹣3）和过半圆的上顶点（3，0）之间的直线都满足，y=x+b过点（0，﹣3），可得b=﹣3，有两个交点，y=x+b过点（0，3），可得b=3，有一个交点，∴﹣3＜b＜3，此时直线y=x+b与曲线恰有一个公共点；综上：﹣3＜b≤3或；故答案为：﹣3＜b≤3或；点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生对数形结合思想，分类讨论思想，转化和化归的思想的综合运用，是一道好题；三、解答题：（共56分）17．已知等差数列{a n}中a2=9，a5=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{log2b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用a5﹣a2=3d计算可得公差，进而可得结论；（2）通过对数的性质化简可知数列是以4为首项、4为公差的等差数列，进而计算可得结论．解答：解：（1）∵a2=9，a5=21，∴a5﹣a2=3d，∴d=4，∴a n=a2+（n﹣2）•d=4n+1；（2）∵a n=4n+1，∴，∴log2==4n，∴数列是以4为首项、4为公差的等差数列，∴．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及对数的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则依题意可知ab=9000，代入广告的面积中，根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值．根据等号成立的条件确定广告的高和宽．解答：解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000．①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0．广告的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+2=18500+2．当且仅当25a=40b时等号成立，此时b=，代入①式得a=120，从而b=75．即当a=120，b=75时，S取得最小值24500．故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是2015届高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训练．19．已知关于x的一元二次不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）对任意实数x都成立，试比较实数a，b的大小．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式化为关于x的一元二次不等式，由不等式恒成立列出条件，求出a、b的大小关系．解答：解：不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）可变形为（a﹣b+1）x2+（a﹣b）x+a﹣b＞0，…又不等式对任意的实数x都成立，则，…即，解得a﹣b＞0；所以a＞b．…点评：本题考查了一元二次不等式的恒成立问题，是基础题目．20．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．（2）设直线l的方程是：y=x+b．根据CA⊥CB，可知圆心C到直线l的距离，进而求得b，则直线方程可得．解答：解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．因为，所以圆心C到直线l的距离是，即=解得：b=﹣1．所以直线l的方程是：y=x﹣1．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．21．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0）、B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．考点：圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算．专题：综合题；直线与圆．分析：先求出圆M的方程，再设过圆心M的任意一直线为x=my+1与圆的方程联立，利用向量的数量积公式，即可得出结论．解答：解：由题意，△AOB∽△BOC，∴=，∴|CO|=4 …∴C（4，0），AC中点为M（1，0），半径为3∴圆M的方程（△ABC的外接圆）为（x﹣1）2+y2=32…设过圆心M的任意一直线为x=my+1，…∴∴（m2+1）y2=9…设直线x=my+1与圆（x﹣1）2+y2=9的两个交点为D（x1，y1），E（x2，y2）则=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），∴•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（m2+1）y1y2+4…由（m2+1）y2=9，得代入上式•=﹣9+4=﹣5…当ED为横轴时，D（﹣2，0），E（4，0），=（﹣1，0），=（5，0）∴•=﹣5…点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四．附加题22．以数列{a n}的任意相邻两项为坐标的点P n（a n，a n+1）（n∈N*）都在一次函数y=2x+k的图象上，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S6=T4，S5=﹣9，求k的值．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过将点代入y=2x+k可知a n+1=2a n+k，利用b n+1=a n+2﹣a n+1计算即得结论；（2）通过b n=（a1+k）•2n﹣1=a n+1﹣a n可知a2﹣a1=（k+a1）•20、a3﹣a2=（k+a1）•21、…、a n﹣a n﹣1=（k+a1）•2n﹣2，累加整理得b n﹣a n=k，计算即得结论．解答：（1）证明：∵点都在一次函数y=2x+k图象上，∴a n+1=2a n+k，∴b n+1=a n+2﹣a n+1=（2a n+1+k）﹣（2a n+k）=2（a n+1﹣a n）=2b n，∴=2，故{b n}是以b1=a2﹣a1=2a1+k﹣a1=k+a1为首项、2为公比的等比数列；（2）解：∵b n=（a1+k）•2n﹣1=a n+1﹣a n，∴a2﹣a1=（k+a1）•20，a3﹣a2=（k+a1）•21，…a n﹣a n﹣1=（k+a1）•2n﹣2，累加得：a n﹣a1=（k+a1）•=（k+a1）•（2n﹣1﹣1），整理得：a n=（a1+k）•2n﹣1﹣k，∴b n﹣a n=[（a1+k）•2n﹣1]﹣[（a1+k）•2n﹣1﹣k]=k，又S6=T4，即a1+a2+…+a6=b1+b2+b3+b4，∴a5+a6=4k，即，∴，∴，又S5=﹣9，∴，∴k=8．点评：本题考查等比数列的判定以及数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

吉林省长春市东北师大附中2014_2015学年高一数学上学期期中试卷(含解析) (1)

吉林省长春市东北师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）若M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N=（）A．{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜1}2．（4分）设集合A={x||x|＜2}，若B⊆A，则集合B可以是（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|﹣3＜x＜3} 3．（4分）函数f（x）=x+的图象关于（）对称．A．y轴B．直线y=x C．坐标原点D．直线y=﹣x4．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，8），则f（5）的值为（）A．243 B．125 C．40 D．255．（4分）f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（）A．{2} B．（﹣∞，2] C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]6．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3，的大小关系是（）A．70.3＞0.37＞ln0.3 B．70.3＞ln0.3＞0.37C．0.37＞70.3＞ln0.3 D．ln0.3＞70.3＞0.377．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（4分）函数f（x）=|x+1|在[﹣2，2]上的最小值为（）A．5 B．2 C．1 D．09．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log125可以用a，b表示为（）A．B．C．D．10．（4分）若log a＜1，则a的取值范围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（，1） D．（0，）∪（1，+∞）11．（4分）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则的D的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）12．（4分）下列说法中，正确的个数是（）①任取x＞0，均有3x＞2x；②在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的单调递增区间是（1，+∞）；④若方程|log2x|=2﹣x的两个根分别为α，β，则αβ＜1．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=．14．（4分）函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）恒过定点．15．（4分）已知函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，则g（27）的值为．16．（4分）设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），在关系式①3c＞3b②3b ＞3a③3c+3a＞2④3c+3a＜2中一定成立的是．三、解答题（共6小题，满分56分）17．（8分）求下列各式的值：（1）+8+25（2）3+log35﹣log315+log38•log23．18．（8分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣a．（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值范围．19．（10分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）=4x﹣2x+1（x∈M）．（1）求M；（2）求函数f（x）的值域．20．（10分）已知函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．21．（10分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣增长，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下的公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？22．（10分）设f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=﹣log a（﹣x）﹣log a（2+x），其中a＞0，且a≠1．（1）解方程f（x）=0；（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．吉林省长春市东北师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）若M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N=（）A．{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和交集的运算求出M∩N即可．解答：解：由题意得，M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选：B．点评：本题考查了交集的运算，属于基础题．2．（4分）设集合A={x||x|＜2}，若B⊆A，则集合B可以是（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|﹣3＜x＜3}考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：化简集合A={x|﹣2＜x＜2}，从而可知，{x|﹣1＜x＜0}⊆{x|﹣2＜x＜2}．解答：解：集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，则{x|﹣1＜x＜0}⊆{x|﹣2＜x＜2}，故A正确．故选A．点评：本题考查了集合的化简与集合的包含关系的应用，属于基础题．3．（4分）函数f（x）=x+的图象关于（）对称．A．y轴B．直线y=x C．坐标原点D．直线y=﹣x考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：判断函数的奇偶性即可得出．解答：解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），（x≠0）∴函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称．故选：C．点评：本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．4．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，8），则f（5）的值为（）A．243 B．125 C．40 D．25考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件得f（x）=x3，由此能求出f（5）．解答：解：∵幂函数y=f（x）=x a的图象过点（2，8），∴2a=8，解得a=3，∴f（x）=x3，∴f（5）=53=125．故选：B．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5．（4分）f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（）A．{2} B．（﹣∞，2] C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据二次函数的图象，可得f（x）在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数．由此结合题意建立关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=﹣x2+mx的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=对称，∴函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数∵在（﹣∞，1]上f（x）是增函数∴1≤，解之得m≥2故选：C点评：本题给出二次函数在给定区间上为增函数，求参数m的取值范围，着重考查了二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．6．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3，的大小关系是（）A．70.3＞0.37＞ln0.3 B．70.3＞ln0.3＞0.37C．0.37＞70.3＞ln0.3 D．ln0.3＞70.3＞0.37考点：对数值大小的比较．专题：计算题；转化思想．分析：本题宜用中间量法比较，由相关的函数的性质，求出其所在的范围，再比较大小即可解答：解：由题，70.3＞1，0.37∈（0，1），ln0.3＜0三者大小关系为70.3＞0.37＞ln0.3故选A点评：本题考查数的大小比较，由于三个数涉及到三类函数，故无法用单调性直接比较，一般此类题都是用中间量法比较．7．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．解答：解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．8．（4分）函数f（x）=|x+1|在[﹣2，2]上的最小值为（）A．5 B．2 C．1 D．0考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：分x≥﹣1与x≤﹣1两种情况去掉绝对值符号，再考虑函数的单调性，利用单调性求函数的最值．解答：解：当x≥﹣1时，|x+1|=x+1；当x≤﹣1时，|x+1|=﹣x﹣1，∴当﹣2≤x≤﹣1时，f（x）=|x+1|=﹣x﹣1，函数单调递减；当﹣1≤x≤2时，f（x）=|x+1|=x+1，函数单调递增，∴当x=﹣1时，函数f（x）取得最小值，∴f最小值=f（﹣1）=|﹣1+1|=0故选：D．点评：本题主要考查函数单调性，利用单调性求函数的最值，当函数表达式带有绝对值的符号时，去绝对值是解题的关键．9．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log125可以用a，b表示为（）A．B．C．D．考点：换底公式的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的换底公式、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：∵lg2=a，lg3=b，∴log125===．故选：A．点评：本题考查了对数的换底公式、lg2+lg5=1，属于基础题．10．（4分）若log a＜1，则a的取值范围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（，1） D．（0，）∪（1，+∞）考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论a的范围，得到不等式组，解出即可．解答：解：若log a＜1，则＜，∴或，∴0＜a＜或a＞1，故选：D．点评：本题考查了对数函数的图象及性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．11．（4分）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则的D的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据点在函数图象，把点A的纵坐标代入对应的函数解析式求出x，求出点A的坐标，再由四边形ABCD是矩形求出B、C的坐标，最后求出点D的坐标．解答：解：由题意得，A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，把y=2代入y=log x得，2=log x，即x==，所以A（，2），由四边形ABCD是矩形得，B点的纵坐标也是2，把y=2代入y=x得，2=x，即x=4，所以B（4，2），则点C的横坐标是4，把x=4代入y=（）x得，y=，所以点D的坐标是（，），故选：A．点评：本题考查利用函数图象和解析式求出点的坐标，考查识图能力、数形结合思想．12．（4分）下列说法中，正确的个数是（）①任取x＞0，均有3x＞2x；②在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的单调递增区间是（1，+∞）；④若方程|log2x|=2﹣x的两个根分别为α，β，则αβ＜1．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题考查指数函数对数函数的图象与性质，①②较简单，利用性质求解即可；③先求定义域，可判断为假；④较难，转化为两函数图象交点问题，利用图象求解．解答：解：①令f（x）=3x，g（x）=2x，当x＞0，f（x）=3x图象恒在g（x）=2x上侧，①正确；②在同一坐标系中，y=2﹣x=（）x与y=2x的图象关于y轴对称，②正确；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），区间（1，+∞）不在函数定义域内，③错误；④求x的取值范围为即0＜x≤2；且令f（x）=|log2x|，g（x）=2﹣x，f（x）与g（x）图象交点处的x值为方程两根α，β，作图得0＜α＜，1＜β＜，则αβ＜1，④正确．故选：C．点评：重点体现了数形结合的数学思想，也可使用根的存在性定理求解．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=（0，1）．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：由已知条件我们易求出集合A，再根据补集的定义，易求出C U A．解答：解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}∴C U A={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查的知识点是补集及其运算，其中求出满足条件的集合A是解答的关键．14．（4分）函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）恒过定点（1，1）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由对数的性质知，当真数为1时，对数值一定为0，由此性质求函数的定点即可．解答：解：令x=1，得y=1+log a1，得到y=1，故函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，1）故答案为：（1，1）．点评：本题考查对数函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握对数函数的性质，并能根据性质判断出本题求定点的问题可以令真数为1求定点．15．（4分）已知函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，则g（27）的值为3．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，可得g（x）=log3x．即可得出．解答：解：∵函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，∴g（x）=log3x．∴g（27）=log327=3．故答案为：3．点评：本题考查了互为反函数的性质、对数函数的运算，属于基础题．16．（4分）设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），在关系式①3c＞3b②3b ＞3a③3c+3a＞2④3c+3a＜2中一定成立的是④．考点：指数函数的图像变换．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由y=3x递增可判断①②不成立，由f（x）的单调性及已知条件可知c＜0，a＞0，再根据f（c）＞f（a）可得3c+3a＜2，从而可知③④是否成立．解答：解：∵y=3x递增，且c＜b，∴3c＜3b，①不成立；∵b＜a，∴3b＜3a，②不成立；f（x）=|3x﹣1|=，可知f（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，由题意可知c＜0，a＞0，f（c）＞f（a）即|3c﹣1|＞|3a﹣1|，1﹣3c＞3a﹣1，∴3c+3a＜2，∴③不成立，④成立，故答案为：④．点评：该题考查指数函数的单调性及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力，属基础题．三、解答题（共6小题，满分56分）17．（8分）求下列各式的值：（1）+8+25（2）3+log35﹣log315+log38•log23．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则及对数换底公式即可得出．解答：解：（1）原式=﹣4++=；（2）原式=2++=2﹣1+3=4．点评：本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则及换底公式，属于基础题．18．（8分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣a．（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断；函数图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=0时，将函数转化为分段函数，进行化图．（2）根据f（x）有4个零点，结合图象确定a的取值范围．解答：解：（1）当a=0时，，由图可知，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（0，1）．（2）由f（x）=0，得x2﹣2|x|=a，∴曲线y=x2﹣2|x|与直线y=a有4个不同交点，∴根据（1）中图象得﹣1＜a＜0．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．19．（10分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）=4x﹣2x+1（x∈M）．（1）求M；（2）求函数f（x）的值域．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）解不等式3﹣4x+x2＞0，即可，（2）令t=2x，（t＞8，0＜t＜2），则f（x）=g（t）=t2﹣2t，（t＞8，0＜t＜2），根据二次函数求解．解答：解：（1）得x＞3，或＜1，∴定义域M为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）（2）由（1）可得f（x）=4x﹣2x+1，x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）令t=2x，（t＞8，0＜t＜2），则f（x）=g（t）=t2﹣2t，（t＞8，0＜t＜2），根据二次函数性质得：[﹣1，0）∪（48，+∞）∴函数f（x）的值域为：[﹣1，0）∪（48，+∞）点评：本题综合考察了函数的性质，解不等式，属于中档题．20．（10分）已知函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，（2）令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1，得到0＜f（x）＜1，问题得以证明．解答：解：（1）令x=1，y=0则f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（0）=1，（2）令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1，∴f（x﹣x）=f（x）•f（﹣x）=1，∵f（﹣x）＞1，∴0＜f（x）＜1，综上所述，对任意x∈R，都有f（x）＞0．点评：本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，关键是转化化归的思想的应用，属于基础题．21．（10分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣增长，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下的公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：第一小题求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可．第二小题比较5分钟和20分钟学生的接受能力何时强，方法是把x=5代入第一段函数中，而x=20要代入到第二段函数中，比较大小即可．不同的自变量代入相应的解析式才能符合要求．解答：解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43，为开口向下的二次函数，对称轴为x=13，故f（x）的最大值为f（10）=59，当10＜x≤16时，f（x）=59当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）f（5）=53.5，f=47，故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．点评：此题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用．此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．22．（10分）设f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=﹣log a（﹣x）﹣log a（2+x），其中a＞0，且a≠1．（1）解方程f（x）=0；（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令﹣log a（﹣x）=﹣log a（2+x）=0，由已知条件能求出f（x）=0解集．（2）由已知得，由此利用分类讨论思想能求出函数f（x）在x∈（0，t）上的最值．解答：解：（1）令﹣log a（﹣x）=﹣log a（2+x）=0，∴，解得x=﹣1，又∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴f（x）=0解集为{﹣1，0，1}．（2）∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴，当0＜a＜1时，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，t]上单调递减，∴f（x）min=f（t）=log a t（2﹣t），无最大值；1＜t＜2，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，1]上单调递减，在（1，t]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=0，无最大值；当a＞1时，0＜t≤1，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，t]上单调递增，∴f（x）max=f（t）=log a t（2﹣t），无最小值；1＜t＜2，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，1]上单调递增，在（1，t]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=0，无最小值．点评：本题考查方程的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和函数性质的合理运用．。

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．设}3 2, ,21 ,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（）A ．3 ,31B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31,1- 7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能是（）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

2014-2015年吉林省长春市东北师大附中高一(下)期中数学试卷(理科)和答案

【解答】解：T5=a1•a1q•a1q2•a1q3•a1q4=（a1q2）5=1， ∴a1q2=1，
2014-2015 学年吉林省长春市东北师大附中高一（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．（5 分）在等差数列{an}中，a3=2，则{an}的前 5 项和为（ A．6 B．10 C．16 ） D．32
2．（5 分）设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比 q=（ A．3 ） B．4 C．5 D．6
A．等边三角形 C．等腰直角三角形
12．（5 分）△ABC 中，若 a4+b4+c4=2c2（a2+b2），则角 C 的度数是（ A．60° B．45°或 135° C．120° D．30°
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．（5 分）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且 a1=﹣1，公和为 1，那么这个数列的前 2011 项和 S2011= ．．
【解答】解：等差数列{an}中，a3=2， S 5= 故选：B． 2．（5 分）设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比 q=（ A．3 ） B．4 C．5 D．6 =5a3=10．
【解答】解：∵Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得 3a3=a4﹣a3， a4=4a3， ∴公比 q=4．故选：B． 3．（5 分）已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为（ A．5 【解答】解：故选：C． 4．（5 分）在等比数列{an}中 Tn 表示前 n 项的积，若 T5=1，则一定有（ A．a1=1 B．a3=1 C．a4=1 D．a5=1 ）） B．4 ， C．3 D．2

吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题(有答案)

2015---2016学年（高一）年级上学期期中考试（数学）学科试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请仔细审题、认真做答.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）图中阴影部分表示的集合是（A ）U A B （）（B ）UA B （）（C ）()UA B （D ）()UA B（2）与函数()||f x x =表示同一函数的是（A ）()xx x f 2= （B ）()2x x f = （C ）()()2x x f =（D ）()33x x f =（3）一个偶函数定义在]7,7[-上,它在]7,0[上的图象如右图,下列说法正确的是（A ）这个函数仅有一个单调增区间（B ）这个函数有两个单调减区间（C ）这个函数在其定义域内有最大值是7 （D ）这个函数在其定义域内有最小值是 -7（4）下列函数中，既是奇函数，又在)0,(-∞上单调递增的是（A ）1-=x y （B ）2x y = （C ）3x y = （D ）2-=x y（5）函数()23log (1)f x x x =-++的定义域为（A ）[)1,3- （B ）()1,3- （C ）(1,3]- （D ）[]1,3- （6）已知集合{}0722=+-∈=x ax R x A ，且A 中只有一个元素，则a 的值为（A ）0或17-（B ）0或17 （C ）17（D ）17-（7）函数xxy 212+=的值域是 xy -27 7 03.5U AB（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 （C ）(]1,0 （D ）()1,0（8）已知1122log log 0m n <<，则（A ）1＜n ＜m （B ）1＜m ＜n （C ）m ＜n ＜1 （D ）n ＜m ＜1 （9）函数2()28f x x x =-+在[,1]a a +具有单调性，则实数a 的取值范围是（A ）01a ≤≤ （B ）10a -≤≤ （C ）01a a ≤≥或（D ）10a a ≤-≥或（10）若3()f x ax x c =++在[,]a b 上是奇函数，则2a b c +++的值为（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2（11）已知x x g a x f a xlog )(,)(== (1,0≠>a a 且)，若0)2014()2014(<-⋅g f ，则)(x f y =与)(x g y =在同一坐标系内的大致图形是（12）定义域为R 的函数()f x 满足条件：①1212[()()]()0f x f x x x -->1212(,,)x x R x x +∈≠；②()()0f x f x +-= ()x R ∈； ③(3)0f -=.则不等式()0x f x ⋅<的解集是（A ）{}|303x x x -<<>或（B ）{}|303x x x <-≤<或（C ）{}|33x x x <->或（D ）{}|3003x x x -<<<<或第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）（13）函数2)(1－+=x ax f 的图象恒过定点___________________．（14）函数2()lg(2)f x x x =-+的单调递增区间是 . （15）已知xx f 3)(=，若实数122015,,x x x 满足1220153x x x +++=，则122015()()()f x f x f x 的值= .（16）已知函数()()|lg |010()16102x x f x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若a b c <<，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）（17）（本小题满分10分）已知集合{}0652≤--=x x x A ，{}03<-=a x x B ，（Ⅰ）当31=a 时，求A B ；（Ⅱ）若B B A = ，求实数a 的取值范围．（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）113240.0640.015-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （Ⅱ）12lg 23lg5lg 5++（19）（本小题满分12分）已知函数()1f x x x =-.（Ⅰ）在给定的直角坐标系内画出()f x 的图象，并写出函数的单调区间；（Ⅱ）讨论函数)(x f y =与y a =公共点的个数．（20）（本小题满分12分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在区间[]1,0上的最大值是2,求实数a 的值．（21）（本小题满分12分）已知函数()(0)y f x x =≠，对于任意的,,0x y R x y ∈≠且都满足()()()f xy f x f y =+. （Ⅰ）求(1)(1)f f -和的值，并证明：()y f x =为偶函数；（Ⅱ）若()y f x =在(0,)+∞上是增函数，解不等式1()(5)06f x f x +-≤.（22）（本小题满分12分）已知ax e x f x-+=)1ln()(是偶函数，xxbe e x g -+=)(是奇函数．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）判断)(x g 的单调性（不要求证明）；（Ⅲ）若不等式)())((x m g x f g ->在[)+∞,1上恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学期中考试答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个正确选项）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．()1,1-- 14．(0,1)(或(0,1]也可) 15．27 16．(10,12)三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当31=a 时，{}61≤≤-=x x A ，------------------------------------（2分） {}1<=x x B -----------------------------------------------------------------（4分） {}11A B x x =-≤<--------------------------------------------------------（6分）（Ⅱ）B B A = ，则B A ⊂--------------------------------------------------（8分）则63>a ，∴2>a ---------------------------------------------------------------------------------------（10分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）113240.0640.015-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭12lg 23lg5lg5++1132321=[(0.4)]1[(0.1)](0.4)10.15112108=5---+=-+=-+1=lg4+lg125+lg 51lg 41255lg1002=⨯⨯==19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）图略----------------------------------------------------------------（2分）221,()|1|1,x x x f x x x x x x ≥⎧-=-=⎨<-+⎩，则函数的单调递增区间是1(,),(1,)2-∞+∞，单调递减区间是1(,1)2；-------------------------------------------------------（6分）（Ⅱ）当104a a <>或时，函数)(x f y =与x 轴有一个公共点；当104a a ==或时，函数)(x f y =与x 轴有两个公共点；当104a <<时，函数)(x f y =与x 轴有三个公共点. ----------------------（12分）20．（本小题满分12分）解: a ax x x f -++-=12)(2的对称轴a x =, --------------------------------------------（1分）则⎩⎨⎧=-=<21)0(0a f a 解得1-=a --------------------------------------------（4分）或⎩⎨⎧=+-=≤≤21)(102a a a f a 解得φ∈a -------------------------------------------------------（7分）或⎩⎨⎧==>2)1(1a f a 解得 2=a --------------------------------------------（10分）综上所述适合条件的a 值为21=-=a a 或.---------------------------------------------------（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：∵对于任意的,,0x y R x y ∈≠且满足()()()f xy f x f y =+ ∴令1x y ==，得到：(1)(1)(1)(1)0f f f f =+∴=∴令1x y ==-，得到(1)(1)(1)(1)0f f f f -=-+-∴-=-------------------（2分）证明：由题可知，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=+--------------------------------------------（4分） ∵(1)0f -=∴()()f x f x -=对于任意{|0}x x x ∈≠均成立 ∴()y f x =为偶函数. -----（6分）（Ⅱ）∵()()()f xy f x f y =+∴不等式1()(5)06f x f x +-≤可化为1[(5)](1)6f x x f -≤-------------------------------------------------------------------------------（8分）由（Ⅱ）函数()f x 是定义在非零实数集上的偶函数且为增函数．∴11(5)16x x -≤-≤. 即6(5)6x x -≤-≤----------------------------------------------------------------------------------------（10分）且0,50x x ≠-≠------------------------------------------------------------------------------------------（11分）故不等式的解集为[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6] ---------------------------------------（12分）22(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意有：0)1ln()1ln()()(=-+--+=---ax e ax e x f x f xx可得21=a ----------------------------------------------------------------------------------------------（2分）再由0)()(=+++=-+--x x xx be e be e x g x g 可得：1-=b ----------------------------（4分）（Ⅱ）xxee x g --=)(在()+∞∞-,上为增函数．--------------------------------------------（6分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x m x f x m g x f g ->⇔->)()())(( 即x e m x21)1ln(++<在[)+∞,1恒成立-----------------------------------------------------------（8分） x e x h x 21)1ln()(++= 为增函数， 21)1ln()1()(min ++==∴e h x h即21)1ln(++<e m ----------------------------------------------------------------------------------（12分）。

吉林省长春市东北师大附中高一数学上学期11月月考试卷(含解析)

吉林省长春市东北师大附中2014-2015学年高一上学期11月月考数学试卷一、选择题：本大题12分，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）若集合，，则A∩B=（）A．B．C．∅D．12．（4分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B．C．f（x）=x3D．f（x）=e x3．（4分）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④4．（4分）已知0＜a＜1，则函数y=|log a x|﹣a|x|零点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．1个或2个或3个5．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数f（x）=2x+1与g（x）=21﹣x的图象关于（）A．直线x=1对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线y=x对称6．（4分）已知（0.71.3）m＜（1.30.7）m，则实数m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）7．（4分）用二分法求函数f（x）=lnx+2x﹣6在区间（2，3）零点近似值，至少经过（）次二分后精确度达到0.1．A．2 B．3 C．4 D．58．（4分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1 B．﹣1≤m＜0 C．m≥1D．0＜m≤19．（4分）设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．∪（1，+∞）B．∪（2，+∞）10．（4分）不等式||＜x的解集是（）A．{x|0x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|1﹣＜x＜1}∪{x|x＞1+}C．{x|﹣1x＜0} D．{x|x＞1+}11．（4分）已知函数f（x）=lg（2x﹣b）（b为常数），若x∈上为减函数，比较a=fb=f（），c=f（log2）的大小（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c二、填空题：（本大题共四个小题，每小题4分）13．（4分）若函数f（x）的单调递增区间是，则函数f（x+5）的单调递增区间是．14．（4分）函数y=log0.5（x2﹣2x）的单调递增区间是．15．（4分）函数f（x）=ax+2a﹣1在（﹣1，1）内存在一个零点，则a的取值集合是．16．（4分）对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题，其中正确命题序号为．①若函数f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R，有f（x+1）=f（x﹣1），则y=f（x）直线x=1对称；③若函数f（x﹣1）关于直线x=1对称，则函数f（x）为偶函数；④函数f（x+1）与函数f（1﹣x）直线x=1对称．三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（8分）（Ⅰ）计算：（lg2）2+lg2•lg50+lg25；（Ⅱ）记函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N，求M∪N．18．（8分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当 x∈（0，+∞）时，f（x）=2x+x，求f（x）的解析式．19．（10分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）求f（x）；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．20．（10分）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆，求实数a的范围．21．（10分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈恒成立，求实数m的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x﹣a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．吉林省长春市东北师大附中2014-2015学年高一上学期11月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题12分，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）若集合，，则A∩B=（）A．B．C．∅D．1考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合A表示的是函数的值域，求出幂函数的值域即集合A，集合B表示的函数的定义域，令被开方数大于等于0求出解集即集合B；利用交集的定义求出A∩B．解答：解：∵={y|﹣1≤y≤1}集合={x|x≤1}∴A∩B=故选B．点评：本题考查集合的表示法，考查利用交集的定义求两个集合的交集．本题的易错点是认不清表示定义域与表示值域的区别．2．（4分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B．C．f（x）=x3D．f（x）=e x考点：函数的定义域及其求法．分析：已知函数的定义域为x＞0，再对选项A、B、C、D进行一一验证；解答：解：∵函数，∴x＞0，A、∵f（x）=lnx，∴x＞0，故A正确；B、∵，∴x≠0，故B错误；C、f（x）=x3，其定义域为R，故C错误；D、f（x）=e x，其定义域为R，故D错误；故选A．点评：此题主要考查函数的定义域及其简单求法，此题是一道基础题．3．（4分）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．解答：解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．4．（4分）已知0＜a＜1，则函数y=|log a x|﹣a|x|零点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．1个或2个或3个考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，呢命题即求函数y=a|x|与 y=|log a x|的交点的个数，数形结合得出结论．解答：解：∵0＜a＜1，函数y=|log a x|﹣a|x|的零点的个数就等于方程=a|x|=|log a x|的解的个数，即函数y=a|x|与 y=|log a x|的交点的个数．如图所示：故函数y=a|x|与 y=|log a x|的交点的个数为2，故选：B点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化及数形结合的数学思想，属于中档题．5．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数f（x）=2x+1与g（x）=21﹣x的图象关于（）A．直线x=1对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线y=x对称考点：指数函数的图像变换．专题：计算题．分析：利用函数y=f（﹣x）与函数y=f（x）的图象关于y轴对称即可得到答案．解答：解：∵f（x）=2x+1，∴f（﹣x）=21﹣x=g（x），而y=f（﹣x）与函数y=f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）=2x+1与g（x）=21﹣x的图象关于y轴对称．故选C．点评：本题考查指数函数的图象变换，关键在于利用好“函数y=f（﹣x）与函数y=f（x）的图象关于y轴对称”这一结论，属于中档题．6．（4分）已知（0.71.3）m＜（1.30.7）m，则实数m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由题设形式（0.71.3）m＜（1.30.7）m，可考虑幂函数y=x m的性质，接下来就是比较0.71.3与1.30.7的大小即可，因为两者不同底不同指数，故考虑引入中间量1=0.70=1.30．解答：解：∵0.71.3＜0.70=1=1.30＜1.30.7，∴0.71.3＜1.30.7，∴m＞0．故选A．点评：当底数、指数均不同时，可以利用构造中间量的方法，中间量的选取通常可以取0或1．7．（4分）用二分法求函数f（x）=lnx+2x﹣6在区间（2，3）零点近似值，至少经过（）次二分后精确度达到0.1．A．2 B．3 C．4 D．5考点：二分法求方程的近似解．专题：规律型．分析：原来区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为．解答：解：开区间（2，3）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为，故有≤0.1，∴n≥4，∴至少需要操作4次．故选：C．点评：本题考查用二分法求函数的近似零点的过程，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，属于基本知识的考查．8．（4分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1 B．﹣1≤m＜0 C．m≥1D．0＜m≤1考点：指数函数的图像变换．专题：数形结合．分析：的图象由的图象向上（m＞0）或向下（m＞0）平移|m|个单位得到，故可先画出的图象，画此图象时，可先去绝对值，转化为分段函数．解答：解：∵，画图象可知﹣1≤m＜0故选B点评：本题考查指数函数图象的变换：平移和对称变换，注意含有绝对值的函数的图象的画法．9．（4分）设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．∪（1，+∞）B．∪（2，+∞）考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：当x＜g（x）时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，其值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x﹣0.5）2﹣2.25，其值域为：．由此能得到函数值域．解答：解：当x＜g（x），即x＜x2﹣2，（x﹣2）（x+1）＞0时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，∴其最小值为f（﹣1）=2，其最大值为+∞，因此这个区间的值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x﹣0.5）2﹣2.25其最小值为f（0.5）=﹣2.25，其最大值为f（2）=0因此这区间的值域为：．综合得：函数值域为：U（2，+∞），故选D．点评：本题考查f（x）的值域的求法．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．10．（4分）不等式||＜x的解集是（）A．{x|0x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|1﹣＜x＜1}∪{x|x＞1+}C．{x|﹣1x＜0} D．{x|x＞1+}考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设，可按绝对号里面的分式值为负与非负两种情况分类去绝对值号，转化后解不等式解答：解：令≥0，解得x≤﹣1或x＞1，此时不等式可以变为＜x，整理得，解得1﹣＜x＜1或x＞1+，＜0，解得﹣1＜x＜1，此时不等式可变为，当﹣1＜x＜1时，此不等式无解；综上，不等式||＜x的解集是{x|1﹣＜x＜1}∪{x|x＞1+}故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，按绝对号里面的分式值为负与非负两种情况分类去绝对值号转化为一般不等式求解是常用的思路．11．（4分）已知函数f（x）=lg（2x﹣b）（b为常数），若x∈上为减函数，比较a=fb=f（），c=f（log2）的大小（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数为偶函数，则f（x+1）=f（1﹣x）=f（x﹣1），令x=x+1，f（x+1+1）=f（x+1﹣1）得f（x+2）=f（x），则函数f（x）为周期为2的周期函数，在上为减函数，推出在上为增函数，化简再比较大小．解答：解：∵函数为偶函数，在上为减函数，∴在上为增函数又f（x+1）=f（1﹣x）=f（x﹣1），令x=x+1f（x+1+1）=f（x+1﹣1）∴f（x+2）=f（x），则函数f（x）为周期为2的周期函数，a=f=f（），b=f（）=f（﹣2）=f（﹣）=f（），c=f（log2）=f（﹣3）=f（3）=f（1），∵＜＜1，且∵在上为增函数∴f（）＜f（）＜f（1），∴b＜a＜c故选：D．点评：本题考查了函数的周期性，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是中档题．二、填空题：（本大题共四个小题，每小题4分）13．（4分）若函数f（x）的单调递增区间是，则函数f（x+5）的单调递增区间是．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：首先，根据函数y=f（x+5）是函数f（x）向左平移5个单位，然后，结合所给函数的进行求解即可．解答：解：函数y=f（x+5）是函数f（x）向左平移5个单位，∵函数f（x）在区间上是增函数，∴y=f（x+5）增区间为向左平移5个单位，即增区间为，故答案为：．点评：本题重点考查了函数图象变换等知识，属于中档题．14．（4分）函数y=log0.5（x2﹣2x）的单调递增区间是（﹣∞，0）．考点：对数函数的单调区间．专题：计算题．分析：由已知中函数y=log0.5（x2﹣2x）的解析式，先确定函数的定义域，进而根据二次函数和对数函数的性质，分别判断内，外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，得到答案．解答：解：函数y=log0.5（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）令t=x2﹣2x，则y=log0.5t∵y=log0.5t为减函数t=x2﹣2x的单调递减区间是（﹣∞，0），单调递增区间是（2，+∞）故函数y=log0.5（x2﹣2x）的单调递增区间是（﹣∞，0）故答案为：（﹣∞，0）点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的单调区间，复合函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答本题的关键，解答时易忽略函数的定义域而错解为：（﹣∞，1）或（﹣∞，1]．15．（4分）函数f（x）=ax+2a﹣1在（﹣1，1）内存在一个零点，则a的取值集合是（）．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：讨论当a=0时，当a≠0时，得出f（﹣1）•f（1）＜0，即可求解a的范围．解答：解：∵函数f（x）=ax+2a﹣1，∴当a=0时，f（x）=﹣1，f（x）在（﹣1，1）内不存在零点，当a≠0时，函数f（x）=ax+2a﹣1在（﹣1，1）内存在一个零点，∴f（﹣1）•f（1）＜0，即（a﹣1）•（3a﹣1）＜0，得出，故答案为：（）点评：本题简单考查了函数性质，零点判断定定理的运用，注意分类讨论，属于中档题．16．（4分）对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题，其中正确命题序号为①③．①若函数f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R，有f（x+1）=f（x﹣1），则y=f（x）直线x=1对称；③若函数f（x﹣1）关于直线x=1对称，则函数f（x）为偶函数；④函数f（x+1）与函数f（1﹣x）直线x=1对称．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①利用奇函数的性质（奇函数的图象关于点O（0，0）对称）与图象平移变换可判断①；②f（x+1）=f（x﹣1）≠f（1﹣x），可判断②；③y=f（x﹣1）的图象是将y=f（x）的图象向右平移一个单位得到的，依题意可判断③；④举反例，f（x）=x时，f（1+x）=x+1，f（1﹣x）=1﹣x，这两条直线显然不关于x=1对称，可判断④．解答：解：①，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）的图象关于点O（0，0）对称；又y=f（x﹣1）的图象是将y=f（x）的图象向右平移一个单位得到的，∴f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称，故①正确；②，∵f（x+1）=f（x﹣1）≠f（1﹣x），∴y=f（x）不关于直线x=1对称，故②错误；③，∵函数y=f（x﹣1）关于直线x=1对称，∴函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，∴函数f（x）为偶函数，故③正确；④，函数f（x+1）的图象与函数f（1﹣x）的图象不关于直线x=1对称，如f（x）=x时，f（1+x）=x+1，f（1﹣x）=1﹣x，这两条直线显然不关于x=1对称，故④错误．故答案为：①③．点评：本题考查函数的对称性与奇偶性，考查分析与推理、运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（8分）（Ⅰ）计算：（lg2）2+lg2•lg50+lg25；（Ⅱ）记函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N，求M∪N．考点：并集及其运算；函数的零点．专题：函数的性质及应用；集合．分析：（Ⅰ）根据对数的基本运算即可计算：（lg2）2+lg2•lg50+lg25；（Ⅱ）根据函数成立的条件求出函数的定义域，结合集合的基本运算即可求M∪N．解答：解：（Ⅰ）（lg2）2+lg2•lg50+lg25=（lg2）2+lg2•（1+lg5）+2lg5=lg2（lg2+lg5）+lg2+2lg5=2lg2+2lg5=2（lg2+lg5）=2．（Ⅱ）由2x﹣3＞0，解得x＞，则函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M=（，+∞），由1﹣≥0，即，解得x＞1或x≤﹣1，即函数g（x）=的定义域为集合N=（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），则M∪N=（﹣∞，﹣1]∪（，+∞）．点评：本题主要考查集合的基本运算以及对数的计算，根据函数成立的条件，结合集合的基本运算是解决本题的关键．18．（8分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当 x∈（0，+∞）时，f（x）=2x+x，求f（x）的解析式．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质，可得f（0）=0，再由函数为奇函数结合x＜0的表达式，可求出当x＞0时f（x）的表达式，最后综合可得f（x）在R上的表达式．解答：解：由题意，当x=0时，f（x）=0∵x＞0时，f（x）=2x+x，∴当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=2﹣x﹣x，又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+x，综上所述，．点评：本题给出奇函数在（0，+∞）上的解析式，要我们求它在R上的解析式，着重考查了函数解析式的求法和函数奇偶性等知识，属于基础题．19．（10分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）求f（x）；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数单调性的应用．专题：计算题；综合题；转化思想；待定系数法．分析：（1）根据函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，解此方程组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可，利用函数的单调性求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．解答：解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，得结合a＞0且a≠1，解得：∴f（x）=3•2x．（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可．∵函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上为减函数，∴当x=1时，y=（）x+（）x有最小值．∴只需m≤即可．点评：此题是个中档题．考查待定系数法求函数的解析式，和利用指数函数的单调性求函数的最值，体现了转化的思想，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．20．（10分）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆，求实数a的范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：M⊆有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．解答：解：M⊆有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围．设f （x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=∅⊆．…（3分）（2）当△=0时，a=﹣1或2．当a=﹣1时，M={﹣1}⊄，故舍去．当a=2时，M={2}⊆．…（6分）（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．设方程f （x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M=，由M⊆可得1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，且f （x）=0的对称轴x=a∈，即，…（8分）∴，解得2＜a≤．…（10分）综上可得，M⊆时，a的取值范围是（﹣1，]．…（12分）点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈恒成立，求实数m的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：综合题．分析：（I）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；（II）由 t∈时，2t f（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．解答：解：（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，当x＞0时，，有条件可得，，即22x﹣2×2x﹣1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．（Ⅱ）当t∈时，，即m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．∵t∈，∴﹣（1+22t）∈，故m的取值范围是方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a•2x﹣a），∴log4（）=log4（a•2x﹣a），方程等价于，设2x=t，t＞0，则（a﹣1）t2﹣﹣1=0有一解若a﹣1＞0，设h（t）=（a﹣1）t2﹣﹣1，∵h（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1满足题意若a﹣1=0，即a=1时，不满足题意若a﹣1＜0，即a＜1时，由，得a=﹣3或a=，当a=﹣3时，t=满足题意当a=时，t=﹣2（舍去）综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．。

吉林省学年东北师范大学附属中学上学期期中考试高一数学试卷

吉林省东北师范大学附属中学2018-2019学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|x≥1}，则A∪B为（）A. B. C. D.2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A. 与B. 与C. 与D. 与3.函数f（x）=的定义域是（）A. B. C. D.4.函数f（x）=e的单调递增区间是（）A. B. C. D.5.函数f（x）=log a|x|+1（0＜a＜1）的图象大致为（）A. B.C. D.6.设a=0.45，b=50.4，c=log30.4，则a、b、c的大小关系是（）A. B. C. D.7.已知扇形的周长是3cm，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.8.函数f（x）=1gx+x-2的零点所在的区间是（）A. B. C. D.9.若f（x）=ax3+x+c在[a，b]上是奇函数，则a+b+c+2的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 210.已知f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=3x，函数g（x）是f（x）的反函数，若正数x1，x2， (x2018)足x1•x2…x2018=81，则g（x12）+g（x22）+…g（x20172）+g（x20182）的值等于（）A. 4B. 8C. 16D. 6412.设f（x）=|3x-1|，若关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三个不同的零点，则实数t的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.设函数f（x）=，则f[f（4）]=______．14.函数f（x）=4x-2x+2，x∈[-1，2]的值域为______．15.已知函数f（x）=x2-2ax+1，若对任意的x∈（0，2]，恒有f（x）≥0，则实数a的最大值为______．16.已知函数f（x）=，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）17.求下列各式的值：（1）3lg4+5lg25+1g；（2）（2a b）•（-6a b）÷（-3a b）．18.已知集合A={x|x2-5x-6≤0}，B={x|x-3a＜0}．（1）当a=时，求B∩（∁R A）；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．19.经市场调查，某种商品在进价基础上每涨价1元，其销售量就减少10个，已知这种商品进价为40元/个，若按50元一个售出时能卖出500个．（1）请写出售价x（x＞40）元与利润y元之间的函数关系式；（2）试计算当售价定为多少元时，获得的利润最大，并求出最大利润．20.已知函数f（x）=x|x-1|-a．（1）当a=0时，在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象，并写出函数的单调区间；（2）讨论函数y=f（x）零点的个数．21.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数y=f（x）满足f（）=f（x）-f（y），且函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）求f（-1），并证明函数y=f（x）是偶函数；（2）若f（4）=2，解不等式f（x-5）-f（）≤1．22.已知函数f（x）=log2（2x+1）+ax，x∈R．（1）若f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞0时，判断f（x）的单调性，不需要证明；（3）当a＞0时，关于x的方程f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|x≥1}，∴A∪B={x|x＞-1}．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：A．y=x-1与的解析式不同，两函数不相同；B.的定义域为[1，+∞），的定义域为（1，+∞），定义域不同，两函数不相同；C．y=4lgx与y=2lgx2=4lg|x|的解析式不同，两函数不相同；D.的定义域为R，y=x的定义域为R，定义域和解析式都相同，两函数相同．故选：D．通过化简解析式可发现选项A、C的两函数的解析式不同，两函数不相同，而选项B的两函数定义域不同，两函数也不相同，只能选D．考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同．3.【答案】B【解析】解：欲使f（x）有意义，则有，解得-＜x＜1．∴f（x）的定义域是（-，1）．故选：B．求函数f（x）的定义域，即求使f（x）有意义的x的取值范围．本题属基础题，考查了函数的定义域及其求法，解析法给出的函数要使解析式有意义，具有实际背景的函数要考虑实际意义．4.【答案】D【解析】解：因为y=e x，是指数函数，是增函数，y=-x2+4x-9是开口向下的二次函数，所以x＜2时，二次函数y=-x2+4x-9是增函数，x＞2时，y=-x2+4x-9是减函数，由复合函数的单调性可知：函数f（x）=e的单调递增区间是（-∞，2）．故选：D．利用指数函数的单调性以及二次函数的性质，转化求解即可．本题考查复合函数的单调性的判断．二次函数的性质的应用，考查计算能力．5.【答案】A【解析】解：由于函数f（x）=log a|x|+1（0＜a＜1）是偶函数，图象关于y轴对称．当x＞0时，f（x）=log a x+1，是减函数．当x＜0时，f（x）=log a（-x ）+1，是增函数．再由图象过（1，1）、（-1，1）可得，应选A，故选：A．函数是偶函数，图象关于y轴对称，x＞0时，单调递减；x＜0时，单调递增，且图象过（1，1）、（-1，1），由此得出结论．本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：0＜0.45＜0.40=1，50.4＞50=1，log30.4＜log31=0；∴b＞a＞c．故选：D．容易得出：0＜0.45＜1，50.4＞1，log30.4＜0，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义．7.【答案】A【解析】解：由题意可得：3r=3，解得r=1．∴该扇形的面积==sin1．故选：A．由题意可得：3r=3，解得r．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f（x）=1gx+x-2是连续增函数，因为f（1）=-1＜0，f（2）=lg2+2-2＞0，所以f（1）f（2）＜0，由零点存在定理可知，函数的零点在（1，2）．故选：C．利用函数的单调性以及连续性，通过零点判定定理推出选项即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：∵奇函数的定义域关于原点对称，所以a+b=0∵奇函数的图象关于原点对称，∴f（-x）=-f（x）即ax2-x+c=-ax2-x-c∴2ax2+2c=0对于任意的x都成立∴a=c=0，则b=0．∴a+b+c+2=2．故选：D．利用奇函数的定义可知其定义域关于原点对称，其图象关于原点对称，从而建立关于a，b，c的方程，即可的结果．本题考查了奇函数的定义及特点，注意函数定义域的特点，是个基础题．10.【答案】C【解析】解：f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，开始分段函数是减函数，所以：，解得a∈[]．故选：C．判断函数的单调性．利用分段函数，结合单调性棱长不等式组求解即可．本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：由函数f（x）=3x，函数g（x）是f（x）的反函数，则g（x）=log3x，所以g（x12）+g（x22）+…g（x20172）+g（x20182）=log3（x1•x2…x2018）2=2logx1•x2…x2018=2log381=8，3故选：B．由反函数的求法得：由函数f（x）=3x，函数g（x）是f（x）的反函数，则g（x）=log3x，由对数的运算求值得：g（x12）+g（x22）+…g（x20172）+g（x20182）=2log3x1•x2…x2018=2log381=8，得解本题考查了反函数的求法及对数的运算求值，属中档题12.【答案】C【解析】解：令m=f（x），则关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t可变为h（m）=m2-（1+t）m+t，设m1，m2为关于m的函数h（m）=m2-（1+t）m+t的零点，则关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三个不同的零点等价于函数m=f（x）的图象与直线m=m1，m=m2的交点之和为3个，则需函数m=f（x）的图象与直线m=m1，m=m2的位置关系如图所示，又h（1）=0，由图可知：0＜m1＜1=m2，由韦达定理可得：t=m1×m2=m1∈（0，1），故选：C．由函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系得：关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t可变为h（m）=m2-（1+t）m+t，设m1，m2为关于m的函数h（m）=m2-（1+t）m+t的零点，则关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三个不同的零点等价于函数m=f（x）的图象与直线m=m1，m=m2的交点之和为3个，由韦达定理得：因为h（1）=0，由图可知：0＜m1＜1=m2，由韦达定理可得：t=m1×m2=m1∈（0，1），得解本题考查了函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系及韦达定理，属中档题13.【答案】4【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（4）=1-log24=1-2=-1，f[f（4）]=f（-1）=21-（-1）=4．故答案为：4．由已知条件利用分段函数的性质得f[f（4）]=f（-1）=21-（-1）=4．本题考查分段函数的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．14.【答案】[-4，0]【解析】解：令，则y=t2-4t=（t-2）2-4，当t=4时，y max=0；当t=2时，y min=-4；故函数f（x）=4x-2x+2，x∈[-1，2]的值域为[-4，0]．故答案为：[-4，0]．令，则y=t2-4t，利用二次函数的性质求解．本题考查函数的值域求法，运用换元法，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：由题意，可知：二次函数f（x）=x2-2ax+1的开口向上，且对称轴为x=a．∴在区间（0，2]上，要使f（x）≥0恒成立．①当a≤0时，必须有f（0）≥0，∵f（0）=1≥0，∴a≤0满足题意．②当0＜a≤2时，必须有f（a）≥0，∵f（a）=a2-2a2+1=1-a2≥0，解得：-1≤a≤1∵0＜a≤2．∴0＜a≤1．③当a＞2时，必须有f（2）≥0，∵f（2）=4-4a+1=5-4a≥0，解得：a≤．∵前提条件是a＞2，∴a≤不符合题意．综上所述，可得a的取值范围为（-∞，1]．故答案为：1．本题可根据二次函数的特点对参数a进行分类讨论，因为x的定义域为（0，2]，所以就要分a在定义域左边、中间、右边来分类，分别考虑使f（x）≥0恒成立时a的取值范围，最后综合a的取值范围即可得到实数a的最大值．本题主要考查二次函数定义域确定，而对称轴不确定的情况下对称轴进行分类讨论的题型，本题属中档题．16.【答案】[2，+∞）【解析】解：∵f（x）=，∴f（x）-=，设g（x）=f（x）-=，则g（-x）=-=-==-g（x），即g（x）是奇函数，g（x）==-=-1+，则g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∵f（x）=+g（x）∴f（4-m）-f（m）≥8-4m，等价为（4-m）2+g（4-m）-g（m）-•m2≥8-4m，即g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，即g（4-m）-g（m）≥0，即g（4-m）≥g（m）∵g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∴4-m≤m，即m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞），故答案为：[2，+∞）根据条件进行转化，构造函数g（x）=f（x）-=，研究函数g（x）的奇偶性和单调性，利用函数单调性的性质进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件构造函数，利用函数性质研究函数的单调性，结合函数单调性进行转化是解决本题的关键，综合性较强．17.【答案】解：（1）原式==lg106=6．（2）原式==4a．【解析】（1）利用对数运算性质即可得出．（2）利用指数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）当a=时，B={x|x＜1}，A={x|x2-5x-6≤0}={x|-1≤x≤6}，则∁R A={x|x＞6或x＜-1}，则B∩（∁R A）={x|x＜-1}（2）若A∪B=B，则A⊆B，B={x|x-3a＜0}={x|x＜3a}．则3a＞6，即a＞2，即实数a的取值范围是（2，+∞）．【解析】（1）结合补集和交集的定义进行计算即可．（2）根据A∪B=B得A⊆B，结合子集关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出不等式的等价条件，结合交集补集的定义是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）由售价为x元，可得该商品每个涨价x-50元，其销售量将减少10（x-50）个．即有利润y=（10+x-50）（500-10（x-50））=10（x-40）（100-x）=10（-x2+140x-4000）（2）y=（10+x-50）（500-10（x-50））=10（-（x-70）2+900），当x=70时，y取得最大值，且为9000元．故每个商品的售价为70元能够使得利润y元最大，利润的最大值为9000元．【解析】（1）可得该商品每个涨价x-50元，其销售量将减少10（x-50）个．即有利润y=（10+x-50）（500-10（x-50）），（2）利用函数的解析式，结合二次函数的性质运用配方，即可得到最大值及x 的值．本题考查二次函数的最值问题，列出函数的解析式，运用配方，是解决二次函数的常用方法．20.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=，则函数y=f（x）的图象如图所示，（2）函数y=f（x）零点的个数等价于函数y=x|x-1|的图象与直线y=a的交点个数，由（1）得：①当a＜0或a＞时，函数y=f（x）零点的个数1个，②当a=0或a=时，函数y=f（x）零点的个数2个，③当0＜a＜时，函数y=f（x）零点的个数3个，故答案为：①当a＜0或a＞时，函数y=f（x）零点的个数1个，②当a=0或a=时，函数y=f（x）零点的个数2个，③当0＜a＜时，函数y=f（x）零点的个数3个，【解析】（1）由当a=0时，f（x）=，则可作出函数y=f（x）的图象，（2）函数y=f（x）零点的个数等价于函数y=x|x-1|的图象与直线y=a的交点个数，由（1）得：①当a＜0或a时，函数y=f（x）零点的个数1个，②当a=0或a=时，函数y=f（x）零点的个数2个，③当0＜a＜时，函数y=f（x）零点的个数3个，得解．本题考查了分段函数图象的作法及函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系，属中档题．21.【答案】解：（1）令x=y≠0，则f（1）=f（x）-f（x）=0，再令x=1，y=-1可得f（-1）=f（1）-f（-1）=-f（-1），∴f（-1）=0．令y=-1可得f（-x）=f（x）-f（-1）=f（x），∴f（x）是偶函数．（2）∵f（2）=f（4）-f（2），∴f（2）=f（4）=1，又f（x-5）-f（）=f（），∴f（）≤f（2），∵f（x）是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，∴-2≤≤2且≠0，解得-1≤x＜0或0＜x≤2或3≤x＜5或5＜x≤6．∴不等式的解集为{x|x≤x＜0或0＜x≤2或3≤x＜5或5＜x≤6}【解析】（1）先计算f（1）=0，再令x=1，y=-1可得f（-1），令y=-1即可得出f（-x）=f（x）；（2）计算f（2）=1，故而不等式等价于f（）≤f（2），根据f（x）的单调性和奇偶性列不等式得出解集．本题考查了抽象函数的单调性，函数单调性的应用，属于中档题．22.【答案】解：（1）根据题意，若f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x），则有log2（2-x+1）+a（-x）=log2（2x+1）+ax，变形可得2ax=log2（2-x+1）-log2（2x+1）=-x，解可得a=-，故a=-；（2）当a＞0时，函数y=log2（2x+1）和函数y=ax都是增函数，则函数f（x）=log2（2x+1）+ax为增函数，（3）根据题意，函数f（x）=log2（2x+1）+ax，有f（0）=1，则f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1即f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=f（0）又由（2）的结论，当a＞0时，函数f（x）=log2（2x+1）+ax为增函数，则有f（x）-a （1+x）-1og4（2x-1）=0，即log2（2x+1）-1og4（2x-1）=a，变形可得：1og4=a，设g（x）=1og4，若方程f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，则函数g（x）的图象与y=a有2个交点，对于g（x）=1og4，设h（x）=，则h（x）===（2x-1）++4，又由1≤x≤2，则1≤2x-1≤3，则h（x）min=6，h（1）=9，h（2）=，则h（x）max=9，若函数g（x）的图象与y=a有2个交点，必有log46＜a≤log49，故a的取值范围为（log46，log49]．【解析】（1）根据题意，由函数的性质定义可得f（-x）=f（x），则有log2（2-x+1）+a（-x）=log2（2x+1）+ax，变形分析可得答案；（2）根据题意，分析可得函数y=log2（2x+1）和函数y=ax都是R上的增函数，据此可得f（x）的单调性；（3）根据题意，由函数的解析式分析可得f（0）=1，结合函数的单调性分析，原方程等价于f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）=0，变形可得：1og4=a，设g（x）=1og4，分析可得函数g（x）的图象与y=a有2个交点，设h（x）=，分析函数h（x）的单调性以及最值，据此分析可得答案．本题考查函数与方程的应用，注意分析函数f（x）在a＞0时的单调性，属于基础题．。

吉林省东北师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

吉林省长春市东北师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知命题p、q，如果¬p是¬q的充分而不必要条件，那么q是p的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要2．（5分）命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（5分）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点（）A．（4，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）4．（5分）抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（）A．4B．8C．12 D．165．（5分）中心在原点，准线方程为x=±4，离心为的椭圆方程是（）A．=1 B．=1 C．+y2=1 D．x2+=16．（5分）若方程+=1表示准线平行于x轴的椭圆，则m的范围是（）A．m＞B．m＜C．m＞且m≠1 D．m＜且m≠07．（5分）设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（）A．相交B．相切C．相离D．以上答案均有可能8．（5分）如果方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜1或m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．﹣1＜m＜1或m＞29．（5分）已知直线y=kx与曲线y=lnx有交点，则k的最大值是（）A．e B．﹣e C．D．10．（5分）已知两条曲线y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，则x0的值为（）A．0B．﹣C．0或﹣D．0或111．（5分）已知抛物线x2=y+1上一定点A（﹣1，0）和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣31，+∞）C．D．（﹣∞，﹣31，+∞）12．（5分）过双曲线x2﹣y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（）A．这也就是k的取值范围，∴k的最大值为：．故选：C．点评：本题将曲线的交点问题转化为方程根问题，进一步利用导数求解，属于中档题10．（5分）已知两条曲线y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，则x0的值为（）A．0B．﹣C．0或﹣D．0或1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先即用曲线的切线斜率是曲线在切点处的导数，求出两曲线在点x0处的切线斜率，再根据两切线平行，切线斜率相等求出x0的值．解答：解：y=x2﹣1的导数为y′=2x，∴曲线y=x2﹣1在点x0处的切线斜率为2x0y=1﹣x3的导数为y=﹣3x2，∴曲线y=1﹣x3在点x0处的切线斜率为﹣3x02∵y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，∴2x0=﹣3x02解得x0=0或﹣故选C点评：本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线斜率是曲线在切点处的导数，以及直线平行的充要条件．属于基础题．11．（5分）已知抛物线x2=y+1上一定点A（﹣1，0）和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣31，+∞）C．D．（﹣∞，﹣31，+∞）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出坐标，根据PA⊥PQ建立方程，把P，Q代入抛物线方程，再根据方程有解，使判别式大于0，即可求得x的范围．解答：解：设P（a，b）、Q（x，y），则=（a+1，b），=（x﹣a，y﹣b）由PA⊥PQ得（a+1）（x﹣a）+b（y﹣b）=0又P、Q在抛物线上即a2=b+1，x2=y+1，故（a+1）（x﹣a）+（a2﹣1）（x2﹣a2）=0整理得（a+1）（x﹣a）=0而P和Q和A三点不重合即a≠﹣1、x≠a所以式子可化为1+（a﹣1）（x+a）=0整理得a2+（x﹣1）a+1﹣x=0由题意可知，此关于a的方程有实数解，即判别式△≥0得（x﹣1）2﹣4（1﹣x）≥0，解得x≤﹣3或x≥1故选D．点评：本题主要考查抛物线的应用和不等式的综合运用．考查了学生综合运用所学知识和运算能力．12．（5分）过双曲线x2﹣y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（）A． x﹣（a﹣2）0，+∞），若a﹣2≥0即a≥2 x=a﹣2时f（x）min=4a﹣4，|MA|min=，若a﹣2＜0即a＜2 x=0时f（x）min=a2，|MA|min=|a|，故当a≥2时|MA|min=，当a＜2时|MA|min=|a|．点评：本题考察了两点间的距离公式和二次函数的单调性在求最值中的应用19．（12分）已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（﹣1），求椭圆方程．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据题意利用椭圆的对称性得到b==c且a﹣c=4（﹣1），两式联解得到a、c之值，进而算出a2=32、b2=16，可得椭圆的方程．解答：解：∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆的方程为（a＞b＞0），设短轴的两个端点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，连结AF2、BF2．∵一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，∴AF2⊥BF2，根据椭圆的对称性得到△ABF2是等腰直角三角形，可得|OA|=|0F2|．∴b=c，即=c…①，又∵焦点和x轴上的较近端点的距离为4（﹣1），∴a﹣c=4（﹣1）…②，联解①②可得a=4，c=4，可得a2=32，b2=c2=16所求椭圆的方程为．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的标准方程．考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．20．（12分）讨论直线l：y=kx+1与双曲线C：x2﹣y2=1的公共点的个数．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立y=kx+1与双曲线C：x2﹣y2=1，化为（1﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0．分类讨论：当1﹣k2=0时，可得k=±1，此时直线l与等轴双曲线的渐近线；当1﹣k2≠0时，△=4k2+8（1﹣k2）=0，直线与双曲线有且只有一个公共点；△=4k2+8（1﹣k2）＞0，直线与双曲线有两个公共点．解答：解：联立y=kx+1与双曲线C：x2﹣y2=1，化为（1﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0．①当1﹣k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点；②当1﹣k2≠0时，由△=4k2+8（1﹣k2）=0，解得k=±，直线与双曲线有且只有一个公共点；③当1﹣k2≠0时，由△=4k2+8（1﹣k2）＞0，解得﹣＜k＜，直线与双曲线有两个公共点．点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与△的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于难题．21．（12分）在直线l：x﹣y+9=0上任取一点M，过M作以F1（﹣3，0），F2（3，0）为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：因为|MF1|+|MF2|=2a，即问题转化为在直线上求一点M，使M到F1，F2的距离的和最小，求出F1关于l的对称点F，即求M到F、F2的和最小，FF2的长就是所求的最小值．解答：解：设F1（﹣3，0）关于l：x﹣y+9=0的对称点F（x，y）则，即F（﹣9，6），连F2F交l于M，点M即为所求．F2F：即x+2y﹣3=0解方程组，即M（﹣5，4）当点M′取异于M的点时，|FM′|+|M′F2|＞|FF2|．满足题意的椭圆的长轴所以，b2=a2﹣c2=45﹣9=36所以椭圆的方程为：．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，问题转化为在直线上求一点M，使M到F1，F2的距离的和最小是解题的关键．22．（14分）如图，由y=0，x=8，y=x2围城的曲边三角形，在曲线OB弧上求一点M，使得过M所作的y=x2的切线PQ与OA，AB围城的三角形PQA的面积最大．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的综合应用．分析：设M（x0，y0），PQ：y=k（x﹣x0）+y0，求出y=x2的导数，求出切线的斜率，令x=8，y=0求得P，Q的坐标，再求出三角形PQA的面积，再由导数求出最大值．解答：解：设M（x0，y0），PQ：y=k（x﹣x0）+y0则，即k=2x0所以y=2x0（x﹣x0）+y0令y=0则x=x0﹣=x0，即令x=8则S==令S'=0，则x0=16（舍去）或，在处S'左正右负，即为极大值点，也是最大值点．即当时，此时．点评：本题考查导数的几何意义，运用导数求切线方程，求最值，考查运算能力，是一道中档题．。

吉林省长春市东北师大附中2014-2015学年高一上学期11月月考数学试卷

吉林省东北师范大学附属中学高一数学上学期期中总复习试题(3)

吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高一数学上学期期中总复习试题（3）第一卷（选择题）1、与函数y=x是同一个函数的是（）(A)、 (B)、 (C)、 (D)、2、函数)的定义域是（）(A)、[0， ) (B) [0， ] (C)、[1， ) (D)、[1， ]3、若x+ 则的值是（）(A)、15 (B)、21 (C)、8 (D)、74、已知0<a<1,关于x的方程=| |的实根的个数为：（）(A)、1 (B)、2 (C)、3 (D)、1、2、或35、已知函数在（-上单调递减，则a的取值范围是（）(A)、1<a<2 (B)、0<a<1 (C)、0<a<1或1<a<2 (D)、0<a<1或 a>26、已知是R 上的减函数，则a的取值范围是（）(A)、(0,1) (B)、(0,) (C)、[) (D)、[)7、若函数f(x)为奇函数，且在(0, +上是增函数，又f(2)=0，则的解集为(A)、(-2，0)(0，2) (B)、（-,-2(0，2)(C)、（-,-2） ) (D)、(-2，0) )8、,则f(f(2))=( )(A)、0 (B)、1 (C)、2 (D)、39、设函数定义在实数集上，则函数与函数的图像关于（）(A)、直线y=0对称 (B)、直线x=0对称 (C)、直线y=1对称 (D)、直线x=1对称10、设0<a<1，在下列四个不等式中，正确的是（）(A)、 (B)、lo (C)、>1 (D)、>111、已知x，y 且,则下列各式正确的是(A)、x+y>0 (B)、x+y<0 (C)、x-y>0 (D)、x-y<012、给出四个函数，分别满足①f(x+y)=f(x)+f(y ) ②g(x+y)=g(x)g(y) ③h(xy)=h(x)+h(y) ④t(xy)=t(x)t(y),又给出四个函数图像正确匹配方案是（）(A)、①-丁②-乙③-丙④-甲 (B)、①-乙②-丙③-甲④-丁(C)、①-丙②-甲③-乙④-丁 (D)、①-丁②-甲③-乙④-丙第二卷（非选择题）二、填空题13、设a>0,a ,函数>0的解集是。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

）
A. y x 1 与 y
2
x1
C. y 4lgx 与 y 2lg x2
B. y D. y
x 1与 y
x1 x1
3
3x 与 y x
【答案】 D
【解析】
分析】
通过化简解析式可发现选项 A 、C 的两函数的解析式不同，两函数不相同，而选项 B 的两函数定义域不同，
两函数也不相同，只能选 D ．
【详解】解： A ． y x 1 与 y
2
x 1 x 1 的解析式不同，两函数不相同；
x1
B. y x 1 的定义域为 [1，）， y
的定义域为（1，），定义域不同，两函数不相同；
x1
C． y 4lg x 与 y 2lgx2 4lg x 的解析式不同，两函数不相同；
3
D. y 3 3
x 的定义域为 R， y x 的定义域为 R，定义域和解析式都相同，两函数相同．
吉林省东北师范大学附属中学 2018-2019 学年上学期期中考试高一数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分） 1.已知集合 A { x | 1＜ x＜6}， B x | x 1 ，则 A B 为（）
A. x | 1 x 6
B. x |1 x 6
C. x |1 x 6
D. x x 1
【答案】 D 【解析】【分析】
已知集合 A ，B ，由此能求出 A B ．【详解】解：∵集合 A { x | 1＜x＜6}，B x | x 1 ， ∴ A B { x | x＞ 1} ．
故选： D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（

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2014-2015学年吉林省长春市东北师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）若M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N=（）A．{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜1}2．（4分）设集合A={x||x|＜2}，若B⊆A，则集合B可以是（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜3} 3．（4分）函数f（x）=x+的图象关于（）对称．A．y轴 B．直线y=x C．坐标原点D．直线y=﹣x4．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，8），则f（5）的值为（）A．243 B．125 C．40 D．255．（4分）f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（）A．{2}B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]6．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3，的大小关系是（）A．70.3＞0.37＞ln0.3 B．70.3＞ln0.3＞0.37C．0.37＞70.3＞ln0.3 D．ln0.3＞70.3＞0.377．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（4分）函数f（x）=|x+1|在[﹣2，2]上的最小值为（）A．5 B．2 C．1 D．09．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log125可以用a，b表示为（）A．B．C． D．10．（4分）若log a＜1，则a的取值范围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（，1）D．（0，）∪（1，+∞）11．（4分）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则的D的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）12．（4分）下列说法中，正确的个数是（）①任取x＞0，均有3x＞2x；②在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的单调递增区间是（1，+∞）；④若方程|log2x|=2﹣x的两个根分别为α，β，则αβ＜1．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=．14．（4分）函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）恒过定点．15．（4分）已知函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，则g（27）的值为．16．（4分）设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），在关系式①3c＞3b②3b＞3a③3c+3a＞2④3c+3a＜2中一定成立的是．三、解答题（共6小题，满分56分）17．（8分）求下列各式的值：（1）+8+25（2）3+log35﹣log315+log38•log23．18．（8分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣a．（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值范围．19．（10分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）=4x﹣2x+1（x∈M）．（1）求M；（2）求函数f（x）的值域．20．（10分）已知函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．21．（10分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣增长，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下的公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？22．（10分）设f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，当x∈（﹣2，0）时，f （x）=﹣log a（﹣x）﹣log a（2+x），其中a＞0，且a≠1．（1）解方程f（x）=0；（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．2014-2015学年吉林省长春市东北师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）若M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N=（）A．{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣2＜x＜1}【解答】解：由题意得，M={x|﹣2＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选：B．2．（4分）设集合A={x||x|＜2}，若B⊆A，则集合B可以是（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜3}【解答】解：集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，则{x|﹣1＜x＜0}⊆{x|﹣2＜x＜2}，故A正确．故选：A．3．（4分）函数f（x）=x+的图象关于（）对称．A．y轴 B．直线y=x C．坐标原点D．直线y=﹣x【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），（x≠0）∴函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称．故选：C．4．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，8），则f（5）的值为（）A．243 B．125 C．40 D．25【解答】解：∵幂函数y=f（x）=x a的图象过点（2，8），∴2a=8，解得a=3，∴f（x）=x3，∴f（5）=53=125．故选：B．5．（4分）f（x）=﹣x2+mx在（﹣∞，1]上是增函数，则m的取值范围是（）A．{2}B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，1]【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+mx的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=对称，∴函数f（x）=﹣x2+mx在区间（﹣∞，]上是增函数，在区间[+∞）上是减函数∵在（﹣∞，1]上f（x）是增函数∴1≤，解之得m≥2故选：C．6．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3，的大小关系是（）A．70.3＞0.37＞ln0.3 B．70.3＞ln0.3＞0.37C．0.37＞70.3＞ln0.3 D．ln0.3＞70.3＞0.37【解答】解：由题，70.3＞1，0.37∈（0，1），ln0.3＜0三者大小关系为70.3＞0.37＞ln0.3故选：A．7．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．8．（4分）函数f（x）=|x+1|在[﹣2，2]上的最小值为（）A．5 B．2 C．1 D．0【解答】解：当x≥﹣1时，|x+1|=x+1；当x≤﹣1时，|x+1|=﹣x﹣1，∴当﹣2≤x≤﹣1时，f（x）=|x+1|=﹣x﹣1，函数单调递减；当﹣1≤x≤2时，f （x）=|x+1|=x+1，函数单调递增，∴当x=﹣1时，函数f（x）取得最小值，=f（﹣1）=|﹣1+1|=0∴f最小值故选：D．9．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log125可以用a，b表示为（）A．B．C． D．【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，∴log125===．故选：A．10．（4分）若log a＜1，则a的取值范围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（，1）D．（0，）∪（1，+∞）【解答】解：若log a＜1，则＜，∴或，∴0＜a＜或a＞1，故选：D．11．（4分）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则的D的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：由题意得，A，B，C分别在函数y=log x，y=x，y=（）x 的图象上，把y=2代入y=log x得，2=log x，即x==，所以A（，2），由四边形ABCD是矩形得，B点的纵坐标也是2，把y=2代入y=x得，2=x，即x=4，所以B（4，2），则点C的横坐标是4，把x=4代入y=（）x得，y=，所以点D的坐标是（，），故选：A．12．（4分）下列说法中，正确的个数是（）①任取x＞0，均有3x＞2x；②在同一坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的单调递增区间是（1，+∞）；④若方程|log2x|=2﹣x的两个根分别为α，β，则αβ＜1．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①令f（x）=3x，g（x）=2x，当x＞0，f（x）=3x图象恒在g（x）=2x 上侧，①正确；②在同一坐标系中，y=2﹣x=（）x与y=2x的图象关于y轴对称，②正确；③函数f（x）=log5（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），区间（1，+∞）不在函数定义域内，③错误；④求x的取值范围为即0＜x≤2；且令f（x）=|log2x|，g（x）=2﹣x，f （x）与g（x）图象交点处的x值为方程两根α，β，作图得0＜α＜，1＜β＜，则αβ＜1，④正确．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若全集U=R，集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A=（0，1）．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或x≤0}∴C U A={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1）14．（4分）函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）恒过定点（1，1）．【解答】解：令x=1，得y=1+log a1，得到y=1，故函数y=1+log a x，（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，1）故答案为：（1，1）．15．（4分）已知函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，则g（27）的值为3．【解答】解：∵函数y=g（x）与函数y=3x互为反函数，∴g（x）=log3x．∴g（27）=log327=3．故答案为：3．16．（4分）设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），在关系式①3c＞3b②3b＞3a③3c+3a＞2④3c+3a＜2中一定成立的是④．【解答】解：∵y=3x递增，且c＜b，∴3c＜3b，①不成立；∵b＜a，∴3b＜3a，②不成立；f（x）=|3x﹣1|=，可知f（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，由题意可知c＜0，a＞0，f（c）＞f（a）即|3c﹣1|＞|3a﹣1|，1﹣3c＞3a﹣1，∴3c+3a＜2，∴③不成立，④成立，故答案为：④．三、解答题（共6小题，满分56分）17．（8分）求下列各式的值：（1）+8+25（2）3+log35﹣log315+log38•log23．【解答】解：（1）原式=﹣4++=；（2）原式=2++=2﹣1+3=4．18．（8分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣a．（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，，由图可知，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（0，1）．（2）由f（x）=0，得x2﹣2|x|=a，∴曲线y=x2﹣2|x|与直线y=a有4个不同交点，∴根据（1）中图象得﹣1＜a＜0．19．（10分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，函数f（x）=4x﹣2x+1（x∈M）．（1）求M；（2）求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）得x＞3，或＜1，∴定义域M为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）（2）由（1）可得f（x）=4x﹣2x+1，x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）令t=2x，（t＞8，0＜t＜2），则f（x）=g（t）=t2﹣2t，（t＞8，0＜t＜2），根据二次函数性质得：[﹣1，0）∪（48，+∞）∴函数f（x）的值域为：[﹣1，0）∪（48，+∞）20．（10分）已知函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．【解答】解：（1）令x=1，y=0则f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（0）=1，（2）令x＜0，且y=﹣x，则﹣x＞0，f（﹣x）＞1，∴f（x﹣x）=f（x）•f（﹣x）=1，∵f（﹣x）＞1，∴0＜f（x）＜1，综上所述，对任意x∈R，都有f（x）＞0．21．（10分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣增长，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下的公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？【解答】解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43，为开口向下的二次函数，对称轴为x=13，故f（x）的最大值为f（10）=59，当10＜x≤16时，f（x）=59当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）f（5）=53.5，f（20）=47，故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．22．（10分）设f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，当x∈（﹣2，0）时，f （x）=﹣log a（﹣x）﹣log a（2+x），其中a＞0，且a≠1．（1）解方程f（x）=0；（2）令t∈（0，2），判断函数f（x）在x∈（0，t）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值，并说明理由．【解答】解：（1）令﹣log a（﹣x）=﹣log a（2+x）=0，∴，解得x=﹣1，又∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴f（x）=0解集为{﹣1，0，1}．（2）∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，∴，当0＜a＜1时，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，t]上单调递减，∴f（x）min=f（t）=log a t（2﹣t），无最大值；1＜t＜2，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，1]上单调递减，在（1，t]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=0，无最大值；当a＞1时，0＜t≤1，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，t]上单调递增，∴f（x）max=f（t）=log a t（2﹣t），无最小值；1＜t＜2，f（x）=log a x（2﹣x）在（0，1]上单调递增，在（1，t]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=0，无最小值．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。