求是杯数学竞赛八

杭州市第八届“求是杯”中学生数学竞赛

高二年级试题卷

(时间:96年4月7日上午8:30～10:30)

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、已知tg ααππ=-∈342

,(,),那么sin cos αα+的值等于 (A)15 (B)-15 (C)±15 (D)-75 2、若无穷递缩等比数列中的任何一项都等于该项以后所有项的和，那么此等比

数列的公比是（ ） (A)-12 (B)-14 (C)14 (D)12

3、在[,]-132

上与y x =相同的函数是 (A)y x =arccos(cos ) (B)y x =arcsin(sin )

(C)y x =sin(arcsin ) (D)y x =cos(arccos )

4、银行三年定期的利率为q ，一年定期的利率为γ，一年后取出将本息再存入

一年定期，这样三年后取出的本息与存三年定期取出的本息相比较，还是一年一年的存合适，那么q 值应小于

(A)()113+-γ (B) ()13+γ (C)()13+-γγ (D)γ3

5、若log log x y 3434

0<<,那么下列各式成立的是 (A)x y --<1313 (B)()133x y x y --< (C)()13311--

311-->x y 6、函数f x x bx c ()=-+2满足f x f x ()()11+=-,且f ()03=,那么f b x ()与

f c x ()的大小关系是

(A)f b f c x x ()()≤ (B)f b f c x x ()()>

(C)f b f c x x ()()≥ (D)大小随x 在不同的区间而纰改变

7、在等差数列{}a n 中，它的前n 项和记作S n ,若S S 181900><,那么S n 的最大值为

(A)S 8 (B)S 9 (C)S 10 (D)S 11

8、半径为4的球面上有三点A 、B 、C ，若其中任意两点的球面距离均为2π，那么

过A 、B 、C 三点的截面圆将球面分成较大的球冠和较小的球冠的面积之比为 (A)31- (B)32+ (C)526+ (D)11230+

9、已知f x ()是定义域为R 的偶函数，若f x ()的最小正周期是2，且当x ∈[,]12时

f x ()=x x 221--,那么f x ()在[0,1]上的表达式是

(A)x x 221-- (B)x x 221+- (C)x x 267-+ (D)x x 267++

10、一个长方体的表面积是222cm ，体积是83cm ，那么这样的长方体

(A)有一个 (B)有两个 (C)有无数多个 (D)不存在

二、填空题（每小题4分，共40分）

11、P 、Q 、R 是棱长为1 的正方体ABCD A B C D -1111的棱A B BB B C 11111,,上的点，且有3

1111===R B Q B P B ,那么四面体DPQR 的体积是________.

12、在等差数列{}a n 中，已知a a a a a a n n n 123121578++=++=--,,且前n 项和

S n =155那么n =_______.

13、已知tg 1222

()αβ+=,那么sin sin cos ()222αβαβ--的值是_______. 14、正四面体的棱长为a ，那么其内切球的全面积为________.

15、已知两个等差数列{}a n 和{}b n 中,若a b a b 1144==,,那么a a b b 9381

--=_______. 16、已知函数f x ()的图象与g x x ()()=12

的图象关于直线y x =对称，那么函数f x x ()22-的单调递增区间是_____________.

17、已知cos(),sin()αβαβ-=-=219223,且παππβπ4244

<<-<<,,那么cos()αβ+=________.

18、空间三条射线OA 、OB 、OC 满足∠=∠=∠=AOC COB BOA π3

,那么以OA 为棱的二面角B-OA-C 的余弦值为_____.

19、已知f x x x x ()(),()=-≤≤4022,那么f x ()的最大值为______.

20、已知a >0,且a ≠1,那么不等式1411214+-≥-log ()log ()a a x x 的解集是

________.

三、解答题（前两小题15分，后一小题20分，共50分）

21、已知ABCD 为正四面体，P,Q 分别为它的二个面ABC 与ACD 内的任意二个点(如

图)，试证：∠<︒PAQ 60 A

22、已知四次方程x x kx x 432256199419960++--=的四个实根中有二个根之

积等于-499，求k 的值。

23、设有函数列

f x x 1275()=+,f x x f x 221152

()()=+,……,f x x f x n n ()()=+-21152,……,求方程f x x 19962()=的一切实数解。

B C

D P Q