一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师版

第5讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．

知识梳理

1．“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图

“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：

(1)定点：如下表所示.

A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．

(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．

2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径

3．函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义

当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A叫

做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1

T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．

诊 断 自 测

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT 展示

(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右平移的长度一样．(×)

(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A ．(×) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(×)

(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T

2.(√)

2．(2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )

A ．向左平行移动1个单位长度

B ．向右平行移动1个单位长度

C ．向左平行移动π个单位长度

D ．向右平行移动π个单位长度

解析 根据平移法则“左加右减”可知，将函数＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度即可得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象．

答案 A

3．(2014·安徽卷)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )

A ．π8

B ．π4

C ．3π8

D ．5π4

解析 将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x －π4－2φ，且该函数为偶函数，故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.

答案 C

4．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3x ＋φ (|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为__________.

解析 由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝12，又|φ|<π

2， 得φ＝π6；而此函数的最小正周期为T ＝2π÷⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3＝6.

答案 6，π

6

5．(人教A 必修4P60【例1】改编)如图，某地一天，从6～14时的温度变

化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为________.

解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12(30－10)＝10，b ＝1

2(30＋10)＝20，

又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8. 又π8×10＋φ＝2π，解得φ＝3π4， ∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．

答案 y ＝10sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]

考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换

【例1】 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx

＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π3，

又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π3.

∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π

3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .

列表，并描点画出图象：

(3)法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪

⎫

x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不

变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到

原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π3的图象．

法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的1

2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π

6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x ＋π3的图象． 规律方法 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3

2π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五