2020年漳州市高三毕业班4月第二次质检(理科) 数学试卷
2020届福建省漳州市高三下学期第二次教学质量监测数学(理)试题(解析版)
2020届福建省漳州市高三下学期第二次教学质量监测数学（理）试题一、单选题1．A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知集合，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】求出集合A，B，由此能求出．【详解】集合，即本题正确选项：【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠，长五尺在租的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）A．斤B．斤C．斤D．斤【答案】B【解析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果．【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知向量，满足，，且，夹角为，则A．B．C．D．【答案】A【解析】按照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得．【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．5．设满足约束条件，则的最大值是（）A．-4 B．0 C．8 D．12【答案】C【解析】画出约束条件所表示的可行域，由，即，把直线平移到可行域的A点时，此时目标函数取得最大值，进而求解目标函数的最大值。
【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图所示，又由，即，把直线平移到可行域的A点时，此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选C。
【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最大值问题，其中解答中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，平移目标函数确定最优解，即可求解目标函数的最大值，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
福建省漳州市2020届高三第二次教学质量检测试题 数学(理)【含答案】
福建省漳州市2020届高三第二次教学质量检测试题数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=， B=，则A B=A.[-1，)B.)C.(0，)D.R2.已知复数z的共轭复数为，且满足2z=32i，则=A. B. C.3 D.53.执行如图所示的程序框图，若输入的n=3，则输出的S=A.1B.5C.14D.304.已知等比数列的前n项和为S n，若a3 =，S3=，则的公比为A.或B.或C.3或2D.3或 25.的展开式中的系数为A.6B.24C.32D.486.我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法。
先作一个半径为1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正6×(n=1，2，…)边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”。
现设单位圆O的内接正n边形的一边为AC，点B为劣弧AC的中点，则BC是内接正2n边形的一边，现记AC=S n，AB=S2n，则A.=B.=C.=2D.=7.已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为2，A，B分别为该正三棱柱内切球和外接球上的动点，则A，B两点间的距离最大值为A. 2B.C. C.8.若a=，b=12，c=，则A. B.a C.a D.9.已知双曲线C：=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左、右支分别交于P、Q两点，若= 2，· = 0，则C的渐近线方程为A.y=B.y=C.y=D.y=10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b-c) cosA=a cosC， b=2，若边BC的中线等于3，则△ABC的面积为A.9B.C. 3D.11.已知函数f(x) =sin[cosx] +cos[sinx] ，其中[x] 表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：①f(x)的一个周期是2π；②f(x)是非奇非偶函数；③f(x)在(0，π)单调递减；④f(x)的最大值大于。
2020届福建省漳州市南平市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届福建省漳州市南平市高三第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|{|lg }A x y B y y x ====，则A B =U （ ）A ．[1,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(0,)+∞D ．R【答案】D【解析】首先根据偶次根式的条件与对数函数的值域分别求得集合,A B ，再求并集，得到结果. 【详解】{|1}A x x =≥-，B R =，所以A B R =U ， 故选：D ． 【点睛】该题考查函数的定义域，对数函数的值域以及集合的并集，考查基本分析求解能力，属于基础题目.2．已知复数z 的共轭复数为z ，且满足232z z i +=+，则||z =（ ）A B C ．3D ．5【答案】B【解析】设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，代入232z z i +=+中求出,a b 的值，再根据复数模公式求得结果. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 又因为232z z i +=+，即332a bi i +=+，所以1,2a b ==，所以|z |= 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的概念和运算，复数的模，共轭复数，属于基础题目.3．执行如图所示的程序框图，若输入的3n =，则输出的S =（ ）A ．1B ．5C ．14D ．30【答案】C【解析】按流程图逐一执行即可得解 【详解】执行程序框图，可得0,0i S ==， 满足3i <，执行循环体，21,11i S ===； 满足3i <，执行循环体，22,125i S ==+=； 满足3i <，执行循环体，23,5314i S ==+=； 不满足3i <，退出循环体，输出S 的值为14， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查读图能力及计算能力，属于基础题. 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若334a =，3214S =，则{}n a 的公比为（ ）A ．13-或12B ．13或12- C ．3-或2D ．3或2-【答案】A【解析】利用已知可得：2134a q =及()212114a q q ++=，联立方程组，解方程组即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 则23134a a q ==，()2312114S a q q =++=， 所以两式相除，得22117q q q =++，即2610q q --=， 解得12q =或13q =-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查了方程思想及计算能力，属于基础题.5．4(12)x -的展开式中2x 的系数为（ ） A ．6 B ．24 C ．32 D ．48【答案】B【解析】利用二项展开式的通项可得14(2),0,1,2,3,4r rr T C x r +=-=，令2r =可求得结果. 【详解】因为4(12)x -的第1r +项展开式14(2),0,1,2,3,4r r r T C x r +=-=，令2r =，则含2x 项系数为224(2)24C -=，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式通项的应用，项的系数，属于简单题目.6．我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法．先作一个半径为1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正62(1,2,)nn ⨯=L 边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”．现设单位圆O 的内接正n 边形的一边为AC ，点B 为劣弧»AC 的中点，则BC 是内接正2n 边形的一边，现记n AC S =，2n AB S =，则（ ）A ．2n S =B ．2n S =C ．2n S =D ．2n S =【答案】A【解析】方法一，可以设AOB θ∠=，则在AOB V 中，由余弦定理得2222cos n S θ=-，设AC 与OB 相交于点D ，则OD AD ⊥，利用三角函数的定义可得cos OD OA θ==，代入上式化简求得结果；方法二，设AC 与OB 相交于点D ，可以得到OD AD ⊥，且12n AD S =，所以OD =11BD OD =-=-2n S ==. 【详解】法一：设AOB θ∠=，则在AOB V 中，由余弦定理得2222cos n S θ=-，设AC 与OB 相交于点D ，则OD AD ⊥，所cos OD OA θ==，所以2222nS =-= 故选：A.法二：设AC 与OB 相交于点D ，则OD AD ⊥，因为12n AD S =，所以OD =所以11BD OD =-=，所以2n S == 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数学文化的知识，在解题的过程中，注意对圆中特殊三角形的应用，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，还有余弦定理的应用，属于简单题目. 7．已知正三棱柱的底面边长为2，,A B 分别为该正三棱柱内切球和外接球上的动点，则,A B 两点间的距离最大值为（ ） A2 B1-C1D2【答案】C【解析】根据正棱柱的外接球和内切球的球心在正棱柱上下底面中心连线的中点，求得其外接球和内切球的半径，再结合同心球上两动点间的最大距离为量半径和，从而求得结果. 【详解】因为正三棱柱的外接球和内切球的球心都是正三棱柱上下底面中心连线的中点，结合正三棱柱的底面边长为2，易求得三棱柱外接球半径R ==， 内切球半径1212r =⨯=， 所以,A B两点间的距离最大值为1R r +=+，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有正棱柱的外接球和内切球的球心位置的确定以及其半径的求解，两球上动点间距离的最值，属于简单题目. 8．若1451314,log 12,log 9a b c ===，则（ ） A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】B【解析】直接利用对数函数和指数函数的单调性求解. 【详解】1434 1.52a ==<=，又32512<，即32512<，所以53log 122b <=，所以a b <， 又55131log 12log 252log 9b c =<===，所以a b c <<， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C的左、右支分别交于P 、Q 两点，若12PQ F P =u u u r u u u r ，120FQ F Q ⋅=u u u r u u u u r，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．2y x =±【答案】D【解析】设1PF t =，根据已知条件及双曲线的定义可知||2PQ t =，222,32PF t a QF t a =+=-，根据12FQ F Q ⊥，利用勾股定理可得34t a =，在直角三角形12F QF 中，由勾股定理得2229(32)4t t a c +-=，进一步整理得到2b a =，进而求得渐近线方程. 【详解】 设1PF t =，由已知条件及双曲线的定义得||2PQ t =，222,32PF t a QF t a =+=-，因为12FQ F Q ⊥， 所以在直角三角形2PQF 中，由勾股定理得2224(32)(2)t t a t a +-=+，解得34t a =．又在直角三角形12F QF 中，由勾股定理得2229(32)4t t a c +-=，所以225c a =，又222c a b =+，所以2b a =， 所以双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的渐近线方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的定义，勾股定理解直角三角形，双曲线的渐近线方程，属于简单题目.10．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(2)cos cos ,b c A a C b -==若边BC 的中线等于3，则ABC ∆的面积为（ ）A ．BC ．D ．2【答案】C【解析】由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知条件可得2sin cos sin B A B =，由sin 0B ≠，求得1cos 2A =，可求得3A π=，取BC 的中点D ，延长AD 至点E ，使得D 是AE 中点，连接,EB EC ，则四边形ABEC 是平行四边形，在三角形ACE 中，由余弦定理可求得c =，之后利用面积公式求得结果. 【详解】因为(2)cos cos b c A a C -=，所以(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=， 所以2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+， 所以2sin cos sin()B A A C =+， 所以2sin cos sin B A B =， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =， 因为(0,)A π∈，所以3A π=．取BC 的中点D ，延长AD 至点E ，使得D 是AE 中点， 连接,EB EC ，则四边形ABEC 是平行四边形， 在三角形ACE 中，180120ACE A ∠=︒-∠=︒，AC =6AE =，CE AB c ==，由余弦定理得21236c ++=，解得c =，所以三角形ABC 的面积为2122⋅⋅= 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目.11．已知函数()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论：①()f x 的一个周期是2π； ②()f x 是非奇非偶函数；③()f x 在(0,)π单调递减； ④()f x ． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．②④C ．①③D ．①②【答案】A【解析】根据函数周期的定义判断①正确，利用特值判断函数是非奇非偶函数，得到②正确，根据取整函数的定义，可以判断在(0,)π上函数值是确定的一个值，得到③错误，利用(0)f >④正确，从而得到结果.【详解】 因为(2)sin[cos(2)]cos[sin(2)]sin[cos ]cos[sin ]()f x x x x x f x πππ+=+++=+=，所以()f x 的一个周期是2π，①正确；又(0)sin[cos0]cos[sin 0]sin1cos0sin1112f =+=+=+>+>④正确； 又sin cos cos sin sin cos sin 0cos(1)cos1444f πππ⎡⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+=+-=⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，sin cos cos sin sin cos sin 0cos0144422f πππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 是非奇非偶函数，所以②正确； 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，0cos 1x <<，所以[sin ][cos ]0x x ==，所以()sin[cos ]cos[sin ]sin0cos01f x x x =+=+=，所以③错误；综上所以正确的结论的序号是①②④，故选：A ． 【点睛】该题考查三角函数相关性质的辨析，涉及到的知识点有取整函数，奇偶性、单调性、周期性的综合应用，属于较难题目.12．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线与y 轴相交于点P ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点，若||2||PA PB =，则||AB =（ ）A ．5B ．92CD．2【答案】B【解析】首先设出直线AB 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，整理得到2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理得124x x =-，①124x x k +=，②，根据||2||PA PB =，列出等量关系求得218x =，222x =，根据焦点弦长公式，可得2212129||2242x x AB y y +=++=+=，得到结果，也可以根据0PA PB k k +=，得到FP 是角APB 的平分线，进而求得结果. 【详解】设直线AB 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x =-，①124x x k +=，②21616k ∆=+，解法一：因为||2||PA PB =，则()()22221122141x y x y ⎡⎤++=++⎣⎦，即()()22221122242x kx x kx ⎡⎤++=++⎣⎦③，将①②代入③得22221212112224244x x x x x x x x ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即2222222121222111641414144x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()222222111141164164416x x x x x++++=，所以4164x =，即218x =，则222x =，所以2212129||2242x x AB y y +=++=+=，故选：B. 解法二：因为()()21121212121212221122220PA PB x kx x kx y y x xk k k k k x x x x x x +++++++=+==+=-=．所以FP 是角APB 的平分线，因为||2||PA PB =，||2||AF FB =，所以122x x =-④，由①④得22128,2x x ==，所以2212129||2242x x AB y y +=++=+=，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，抛物线焦点弦长公式，属于简单题目.二、填空题13．若函数21,0()241,0xx f x x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+≥⎩，则((2))f f =_______． 【答案】8【解析】直接利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可. 【详解】因为(2)4813f =-+=-，所以31((2))(3)82f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．【点睛】该题考查的是有关分段函数求值问题，在解题的过程中，注意逐层求解，属于基础题目. 14．若||(1,1),||1a b a b +===r r r r，则a r 与b r的夹角为_________． 【答案】4π【解析】根据平面向量的夹角公式，求出夹角的余弦值，再计算夹角的大小. 【详解】因为||a b +=r r 2225a a b b +⋅+=r r r r ，又()1,1,||1a b ==r r，所以2,15a b +<>+=r r，即cos 2a b <⋅>=r r，所以cos ,4a b π<>=r r ，故答案为：4π. 【点睛】该题考查的是有关向量夹角的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量交集余弦公式，属于简单题目.15．在一个袋中放入四种不同颜色的球，每种颜色的球各两个，这些球除颜色外完全相同．现玩一种游戏：游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球，若抽出的4个球恰含两种颜色，获得2元奖金；若抽出的4个球恰含四种颜色，获得1元奖金；其他情况游戏参与者交费1元．设某人参加一次这种游戏所获得奖金为X ，则()E X =________． 【答案】27-【解析】首先根据题意，判断出X 的可取值有2,1,1-，并利用概率公式求得对应的概率，最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果. 【详解】由已知2X =，1，1-， 又()22242486(2)70C CP X C ===， ()441424816(1)70C C P X C ===，()22114224848(1)70C C C P X C =-==，所以12164827070707EX =+-=-， 故答案为：27-.【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，离散型随机变量的期望公式，属于简单题目. 16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________． 【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】首先将不等式转化为()1(1)ln kxkx e x x +>+，再利用对数的运算法则转化为()1ln (1)ln kxkx ee x x +>+，构造函数()(1)lnf x x x =+，应用导数研究函数的单调性得到其在(0,)+∞单调递增，不等式可以转化为()()kxf ef x >，所以kxex >，所以ln xk x >，根据ln ()x h x x =在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，得到max 1()h x e=，从而求得k 的取值范围. 【详解】因为()1(1)ln kxkx e x x +>+， 所以()1ln (1)ln kxkxe e x x +>+①， 令()(1)lnf x x x =+，则1()1ln f x x x'=++， 所以22111()x f x x x x-''=-+=， 当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>， 所以()f x '在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， 所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增， 因为①式可化为()()kxf ef x >，所以kx e x >，所以ln xk x>， 令ln ()xh x x=，所以可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e+∞. 【点睛】该题考查的是有关应用导数解决不等式成立时参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有构造新函数，利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，恒成立问题向最值靠拢，属于较难题目.三、解答题17．已知数列{}n a 满足()()()()*1123111,0,1111,N n n n a a a a a a a n ++=≠++++=∈L ． （1）证明数列11n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}12n n a a ++的前n 项和n T ． 【答案】（1）详见解析；（2）*4,N 21n nT n n =∈+. 【解析】（1）类比着题中条件()()()()123111111n n a a a a a ++++++=L ，可以写出()()()()123221111n n a a a a a ++++++=L ，两式相除得到2211n n n a a a ++++=，两边同时除以2n a +，得到21111n n a a +++=，即21111n n a a ++-=-，利用等差数列的定义，得到数列11n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）结合（1）可求得*12,N 21n a n n +-=∈-，所以122211221212121n n a a n n n n ++--⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭，即利用裂项相消法求和即可得结果. 【详解】（1）证明：因为()()()()123111111n n a a a a a ++++++=L ， 所以()()()()123221111n n a a a a a ++++++=L ，又*n ∈N ，0n a ≠，所以2211n n n a a a ++++=， 所以21111nn a a +++=，即21111n n a a ++-=-， 因为()()11221,11a a a a =++=， 所以()2221a a +=，解得22a =-，所以2112a =-， 所以数列11n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12-为首项，以1-为公差的等差数列．（2）结合（1）知，11121(1)(1)22n n n a +-=-+-⨯-=-， 所以*12,N 21n a n n +-=∈-， 所以122211221212121n n a a n n n n ++--⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111121335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L12121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭*4,N 21nn n =∈+． 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据条件证明一个数列是等差数列，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，属于简单题目.18．如图，三棱台111ABC A B C -中，11AA AB CC ==，190AAC ABC ∠=∠=︒．（1）证明：1AC A B ⊥；（2）若12,6,30AB A B ACB ==∠=︒，求二面角1A CC B --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）13【解析】（1）过1A 作1A O AC ⊥交AC 于点O ，连接BO ，易证得1AAC ABC △≌△，进而得到1AAO ABO △≌△，得到190AOB AOA ∠=∠=︒，即BO AC ⊥，由线面垂直的判定定理得到AC ⊥平面1A OB ，进而得到1AC A B ⊥；（2）根据题意，进一步得到1A O BO ⊥，建立如图空间直角坐标系，分别求得平面1BCC的一个法向量1n =u r 和平面1ACC 的一个法向量2(1,0,0)n =u u r，利用公式求得12cos ,n n <>u u r u u r的值，进而得到二面角1A CC B --的余弦值.【详解】（1）过1A 作1A O AC ⊥交AC 于点O ，连接BO ，因为11,90AA AB AAC ABC =∠=∠=︒，所以1AAC ABC △≌△，所以1A AO BAO ∠=∠，所以1AAO ABO △≌△， 所以190AOB AOA ∠=∠=︒，即BO AC ⊥，因为1BO AO O ⋂=，所以AC ⊥平面1A OB ， 又因为1A B ⊂平面1A OB ，所以1AC A B ⊥． （2）因为90,2,30ABC AB ACB ∠=︒=∠=︒，所以4,AC BC ==BO =，所以1AO ，因为1A B = 所以22211AO BO A B +=，所以1A O BO ⊥． 如图，以O 为原点，以1,,OB OC OA u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，易知3OC =，所以1(0,3,0),B C C ，所以1(3,3,0),(0,13)BC CC =-=-u u u r u u u u r，设1(,,)n x y z =u r是平面1BCC 的一个法向量，则1110,0,n BC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 即330,30,x y y z -=-+=⎪⎩ 取13,1)n =u r，易知平面1ACC 的一个法向量2(1,0,0)n =u u r，则121212313cos ,13n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u u r u r ， 因为二面角1A CC B --为锐角， 所以二面角1A CC B --313【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线线垂直，利用空间向量求二面角的余弦值，属于简单题目.19．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 是x 轴上关于原点O 对称的两定点，点H 满足121224HF HF F F +==，点H 的轨迹为曲线E ． （1）求E 的方程；（2）过2F 的直线与E 交于点,P Q ，线段PQ 的中点为G ，PQ 的中垂线分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，问2OMN GMF △≌△是否成立？若成立，求出直线PQ 的方程；若不成立，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）2OMN GMF △≌△不成立，理由详见解析. 【解析】（1）根据椭圆的定义，可以判断出点H 的轨迹是焦点为1F 、2F ，长轴长为4的椭圆，确定出2,1a c ==，进而求得23b =，得到椭圆的方程；（2）该题可以从三个角度去分析，一是设直线方程为(1),0y k x k =-≠，根据题意列出等式，无解，从而确定不成立；二是设直线方程为1x my =+，根据三角形全等去分析，推出矛盾，不成立，三是利用点差法确定出直线的斜率，写出点斜式方程，列式，推出矛盾，从而不成立，得到结果. 【详解】（1）因为121242HF HF F F +=>=，所以点H 的轨迹是焦点为1F 、2F ，长轴长为4的椭圆，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，所以2,1a c ==，所以2223b a c =-=，所以E 的方程为22143x y +=．（2）解法一：直线PQ 的斜率必存在且不为0，设PQ 方程为(1),0y k x k =-≠，由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()22224384120kx k x k +-+-=，()()()22228443412k k k ∆=--+- ()214410k =+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2122843k x x k +=+， 故点G 的横坐标为21224243x x k k +=+，所以22243,4343k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设(),0M M x ，因为MG PQ ⊥，所以2223431443MG PQMkk k k k kx k -+⋅=⨯=--+，解得2243 Mkxk=+，所以22,043kMk⎛⎫⎪+⎝⎭，要使2Rt OMN Rt GMF△≌△，只需||||OM GM=，即2222222224343434343k k k kk k k k⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭，整理得42890k k+=，因为0k≠，所以此方程无实根，所以2OMN GMF△≌△不成立．解法二：直线PQ的斜率必存在且不为0，设PQ方程为1x my=+，由221,1,43x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x整理得()2234690m y my++-=，()223636340m m∆=++>，设()()1122,,,P x y Q x y，则122634my ym+=-+，故点G的纵坐标为1223234Gy y mym+==-+，所以2243,3434mGm m⎛⎫-⎪++⎝⎭，因为直线MG的斜率为m-，所以直线MG的方程为22343434my m xm m⎛⎫+=--⎪++⎝⎭，即234my mxm=-++．令0x=，则234mym=+，所以点N的纵坐标为234Nmym=+，即2||34mONm=+，所以||G y ON >，因为2G GF y >，所以2||GF ON >，要使得2OMN GMF △≌△，则必须2||GF ON =， 因为上式不成立，所以2OMN GMF △≌△不成立． 解法三：设()()()112200,,,,,P x y Q x y G x y ，因为,P Q 在曲线E 上，且000,0x y ≠≠所以222222111,431,43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减并整理得1222121134y y x x x x y y -+=-⋅-+， 所以直线PQ 的斜率为1201203344x x xk y y y +=-⋅=-⋅+， 所以MG 的方程为()000043y y y x x x -=-， 令0x =，得03y y =-，所以点N 的纵坐标03N y y =-， 所以00||||||3y ON y =<， 又因为20GF y >，所以2||GF ON >，要使得2OMN GMF △≌△，则必须2||GF ON =， 因为上式不成立，所以2OMN GMF △≌△不成立． 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有应用椭圆的定义求轨迹方程，探索类问题的解法，在解题的过程中，注意条件的等价转化，属于较难题目.20．某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体．若其中圆台部分的体积为352cm π，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出3103cm π．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为V ，（1）求V ；（2）该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时，保温效果不同．为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最大盛水量V 的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温y （单位：℃）与时刻t 满足线性回归方程y ct d =+，通过计算得到下表： 倒出体积3xcm306090120拟合结果1y c t d =+2y c t d =+3y c t d =+4y c t d =+5y c t d =+倒出体积3xcm150180210…450拟合结果 6y c t d =+ 7y c t d =+ 8y c t d =+…16y c t d =+注：表中倒出体积x （单位：3cm ）是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中：1c 2c 3c 4c6c 7c1.4-1.3- 1.2- 1- 1.1- 0.9- 0.8-令||,,30(1),1,2,,16i i i w c w c x i i ===-=⋅⋅⋅．对于数据(),(1,2,,7)i i x w i =⋅⋅⋅，可求得回归直线为1:L w x βα=+，对于数据(),(8,9,,16)i i x w i =L ，可求得回归直线为2:0.00090.7L w x =+．（ⅰ）指出||c 的实际意义，并求出回归直线1L 的方程（参考数据：90.00322800≈）； （ⅱ）若1L 与2L 的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时（盛水体积保留整数，且π取3.14）保温效果最佳？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v L ，其回归直线v u βα=+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii n i i u u vv v u u u βαβ==--==-⋅-∑∑． 【答案】（1）3640cm π；（2）（ⅰ）||c 的实际意义为倒出3xcm 体积水时，暖水瓶内水的降温速率；回归直线1L 的方程为0.0032 1.388w x =-+；（ⅱ）31842cm . 【解析】（1）根据题意，分析可得该暖水瓶的内胆是由一个半球和一个大圆柱以及一个小圆柱组合而成，分别利用球的体积公式和柱体的体积公式求得相应几何体的体积，之后作和求得暖水瓶的最大盛水量，得到结果；（2）（ⅰ）根据题意，可得||c 的实际意义为倒出3xcm 体积水时，暖水瓶内水的降温速率；利用公式求得回归直线1L 的方程为0.0032 1.388w x =-+；（ⅱ）联立方程组0.0032 1.388,0.00090.7,w x w x =-+⎧⎨=+⎩得167.8x ≈，即为最佳倒出体积约为3167.8cm ，根据条件，求得结果.【详解】（1）依题意得，半球的半径为5r cm =， 体积为3114250125233V cm ππ=⨯⨯=， 大圆柱体积322520500V cm ππ=⨯=， 小圆柱体积33428V cm ππ=⨯=，所以盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为32501050085264033cm ππππππ+++-=． （2）（ⅰ）||c 的实际意义为倒出3xcm 体积水时，暖水瓶内水的降温速率；||c 越小，降温速率越小，保温效果越好；||c 越大，降温速率越大，保温效果越差．因为30(1),1,2,,7i x i i =-=L ，对于回归直线1:L w x βα=+， 因为12712790, 1.177x x x w w w x w ++++++====L L ，()()()7721181,25200i i i i i x x w w x x ==--=--=∑∑，所以()()()121819ˆ0.0032252002800nii i ni i xx w w x x β==--==-=-≈--∑∑，ˆˆ 1.10.003290 1.388w x αβ=-⋅=+⨯=， 所以回归直线1L 的方程为0.0032 1.388w x =-+． （ⅱ）联立0.0032 1.388,0.00090.7,w x w x =-+⎧⎨=+⎩得167.8x ≈，所以保温瓶最佳倒出体积约为3167.8cm ，保温瓶盛水体积约为32640167.8640 3.14167.81841.81842cm cm π≈-≈⨯-=， 所以保温瓶盛水体积约为31842cm 时保温效果最佳． 【点睛】该题考查的是有关利用回归分析解决实际问题的思想和方法，在解题的过程中，涉及到的知识点有组合体的体积的求法，球体和柱体的体积公式，回归直线的方程，属于中档题目.21．已知函数(),()ln x f x e g x x a x ==+． （1）讨论()g x 的单调性；（2）若1a =，直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =都相切，切点分别为()11,P x y ，()22,Q x y ，求证：2211x e >-． 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）首先写出函数()g x 定义域为(0,)+∞，求得()x ag x x+'=，对a 的范围进行讨论，从而确定出()x ag x x+'=的符号，确定出函数()g x 的单调性； （2）可以从两个角度去分析，方法一是根据导数的几何意义，写出直线l 的方程为()111x y y e x x -=-，即()1111x x y e x x e =+-，也可以写成2211ln 1y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据两条直线是同一条直线，得到1211xe x =+，且()1121ln 1xx e x -=-，对式子进行整理可以得到22212ln 11x x x x x -=++，构造函数ln ()11x x xh x x -=++，利用导数研究该函数的单调性及最值，从而可以证得结果；方法二是根据两条切线的斜率想的得到121ln 1x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进一步可以得到()2222211ln 1ln 210x x x x x ⎛⎫+++--= ⎪⎝⎭，构造函数1()(1)ln 1ln 21h x x x x x x ⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭，利用导数研究该函数的单调性及最值得到结果. 【详解】（1）()g x 定义域为(0,)+∞， 因为()1a x a g x x x+'=+=， 若0a …，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增， 若0a <，则当(0,)x a ∈-时，()0g x '<，当(,)x a ∈-+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增． （2）证法一：证明：对于曲线()y f x =，()11(),x xl f x e k f x e ''===，直线l 的方程为()111xy y e x x -=-，即1111x x xy e e x x e -=-，即()1111x xy e x x e =+-①．对于曲线()y g x =，因为1a =，所以1()ln ,()1g x x x g x x'=+=+ 所以()2211l k g x x '==+， 直线l 的方程为()22211y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 即22221ln 11y x x x x x ⎛⎫--=+-- ⎪⎝⎭，即2211ln 1y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭②． 因为①与②表示同一条直线，所以1211x e x =+③， 且()1121ln 1xx e x -=-④，④÷③，得22212ln 11x x x x x --=+，所以22212ln 11x x x x x -=++．令ln ()11x x xh x x -=++，22211ln (1)(ln )ln ()()(1)(1)(1)x x x x x x x x g x x h x x x x ⎡⎤⎛⎫-+⋅+-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦'==-=-+++， 由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递增又1111ln 10g e e e e⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭(1)1ln110g =+=>∴1(1)0g g e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭()g x 有唯一零点01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且当()00,x x ∈时，()0<g x ，()0h x '>， 当()0,x x ∈+∞时，()0>g x ，()0h x '<， 所以()h x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减， 所以()()0001200ln 11x x x x h x h x x -==++„，又()00g x =，即00ln x x =-，所以()20010001121x x x h x x x +=+=+<+„， 所以12211x e e x +=<，所以2211e x <-，又20x >，所以2211x e >-． 证法二：证明：因为()xf x e '=，所以直线l 的斜率为()11xk f x e '==，因为1a =，所以()ln g x x x =+，所以1()1g x x'=+， 所以直线l 的斜率为()2211k g x x '==+，所以1211x e x =+，所以121ln 1x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又因为122222122211ln ln 1ln 1x x x e x x x k x x x x +----==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以22222211ln 111ln 1x x x x x x +--=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()2222211ln 1ln 210x x x x x ⎛⎫+++--= ⎪⎝⎭，令1()(1)ln 1ln 21h x x x x x x ⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭， 所以1()ln(1)1h x x x'=+--，所以()h x '在(0,)+∞单调递增， 又因为()22212ln 101h e e e ⎛⎫'=---<⎪-⎝⎭，()3311201h e e '-=->-， 所以存在3021,11x e e ⎛⎫∈-⎪-⎝⎭，使得()00h x '=， 且当()00,x x ∈时，()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以()h x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增， 因为0211x e >-，所以()h x 在210,1e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭递减， 所以当2101x e <-„时，()222ln 11()1011e h x h e e -⎛⎫=-> ⎪--⎝⎭…， 所以()h x 在210,1e ⎛⎤⎥-⎝⎦内无零点，因为2x 是()h x 的零点且20x >，所以2211x e >-． 【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义研究函数图象的切线，利用导数研究函数的最值和零点问题，属于难题.22．已知曲线C 的参数方程为2,cos tan ,x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），直线l 过点(1,2)P 且倾斜角为6π. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程； （2）设l 与C 的两个交点为,A B ，求||||PA PB +.【答案】（1）2214x y -=，1,2122x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（2）32-【解析】（1）整理得2cos x θ=及2sin y xθ=，结合22sin cos 1θθ+=可得曲线C 的普通方程为：2214x y -=，再直接利用直线的参数方程形式求得直线的参数方程.（2）联立曲线C 的普通方程与直线l的参数方程整理可得：(232760t t +-+=，结合直线l 参数方程的参数的几何意义可得：12PA PB t t +=+，问题得解. 【详解】 （1）由2cos x θ=得：2cos x θ=，由y tan θ=得：sin cos y θθ=所以2sin cos yy xθθ==， 代入22sin cos 1θθ+=整理可得：2214x y -=所以曲线C 的普通方程为2214x y -=…①直线l的参数方程为1,2122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）…②（2）②代入①，得(232760t t +-+=，所以((216847625630∆=-⨯=⨯>，设,A B 对应的参数分别为12,t t，则(121232,760,t t t t ⎧+=--⎪⎨=>⎪⎩所以121232PA PB t t t t +=+=+=-【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义的应用及计算能力，属于中档题.23．已知函数()|2||22|f x x x =+--的最大值为m . （1）求m 的值；（2）已知正实数,a b满足224a b +=是否存在,a b ，使得24m a b+=. 【答案】（1）3m =；（2）不存在【解析】（1）将()222f x x x =+--转化成分段函数()4,2,3,21,4, 1.x x f x x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩„…，利用函数的单调性即可得解.（212，再对24a b +利用基本不等式证得：243a b+>，问题得解. 【详解】（1）因为()4,2,3,21,4, 1.x x f x x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩„…所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以当1x =时，()f x 取最大值为3，即3m =. （2）由已知有2244a b ab =+…， 因为0,0a b >>，所以0ab >12，所以243a b +=>厖， 所以不存在实数,a b ，使得243a b+=.解法二：（1）因为()221211f x x x x x x =+--=+----()()2103x x +---=„，且()13f =，所以()f x 的最大值为3，即3m =.（2）由已知有2244a b ab =+…，因为0,0a b >>，所以0ab >12，① 假设存在实数,a b ，使得243a b+=，则243a b =+= (1)32>…，②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故不存在实数,a b ，使得243a b+=. 【点睛】本题主要考查了求含两个绝对值的函数最值及分类思想，还考查了利用基本不等式推理论证及分析能力，属于中档题.。
福建省漳州市2020届高三第二次教学质量检测数学(理)试题含答案
漳州市2020届高中毕业班第二次教学质量检测理科数学试题本试卷共6页。
满分150分。
考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=，B=，则A B=A.[-1，)B.)C.(0，)D.R2.已知复数z的共轭复数为，且满足2z=32i，则=A. B. C.3 D.53.执行如图所示的程序框图，若输入的n=3，则输出的S=A.1B.5C.14D.304.已知等比数列的前n项和为S n，若a3 =，S3=，则的公比为A.或B.或C.3或2D.3或 25.的展开式中的系数为A.6B.24C.32D.486.我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法。
先作一个半径为1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正6×(n=1，2，…)边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”。
现设单位圆O的内接正n边形的一边为AC，点B为劣弧AC 的中点，则BC是内接正2n边形的一边，现记AC=S n，AB=S2n，则A.=B.=C.=2D.=7.已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为2，A，B分别为该正三棱柱内切球和外接球上的动点，则A，B两点间的距离最大值为A. 2B.C. C.8.若a=，b=12，c=，则A. B.a C.a D.9.已知双曲线C：=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左、右支分别交于P、Q两点，若= 2，·= 0，则C的渐近线方程为A.y=B.y=C.y=D.y=10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b-c) cosA=a cosC，b=2，若边BC的中线等于3，则△ABC的面积为A.9B.C. 3D.11.已知函数f(x) =sin[cosx] +cos[sinx] ，其中[x] 表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：①f(x)的一个周期是2π；②f(x)是非奇非偶函数；③f(x)在(0，π)单调递减；④f(x)的最大值大于。
漳州市 2020 届高中毕业班第二次高考适应性测试英语试题理科数学
BC 于点 D ，且 BD 7 ，则 cos ADB 的值为
A. 21 7
21
B.
7
27
C.
7
D. 21 7
9.若正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面边长为 2 ，外接球的表面积为 40π ，四边形 ABCD
和 BCC1B1 的外接圆的圆心分别为 M , N ，则直线 MN 与 CD1 所成的角的余弦值是
A． 7 9
B． 1 3
C． 1 3
D． 7 9
漳州市 2020 届高三毕业班第二次高考适应性测试理科数学试题第 2 页（共 6 页）
居家分散测试，试卷不得外传
10.已知函数 f x x3 x2 ln x a 有三个零点,则实数 a 的取值范围是
A. a 0
B. a 1
C. a 0
2
2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设 A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，动点 M 满足 MB AB ，垂足为 B ，连接 AM
交椭圆于点 P （异于 A ），则是否存在定点T ，使得以线段 MP 为直径的圆恒过直
线 BP 与 MT 的交点 Q ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12 分）
居家分散测试，试卷不得外传
4.中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了
用统计概率得到圆周率 π 的近似值的方法．古代数学家用 体现“外圆内方”文化的钱币（如图1 ）做统计，现将其抽 象成如图 2 所示的图形，其中圆的半径为 2cm ，正方形 的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴 影部分的概率是 p ，则圆周率 π 的近似值为
0.05 3.841
0.025 5.024
福建省漳州市2020届高三数学第二次教学质量检测试题(文科、理科)含答案
福建省漳州市2020届高三数学第二次教学质量检测试题文科数学本试卷共6页。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y =√x +1}， B={y |y =lg (x −1)}， 则A ∪B= A.[-1，+∞) B.(1，+∞) C.[0，+∞) D.R2.若21+i==a +bi(a ，b ∈R) ，则a 2019+b 2020=A.−1B.0C.1D.23.若la+bl=√5，a=(1，1) ，Ibl=1，则a 与b 的夹角为 A.π6 B.π4 C.π3 D.π24.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=34，s 3=214，则{a n }的公比为A.−13或12 B. 13或−12 C.−3或2 D.3或−25.已知点P 在圆O ：x 2+y 2=1上，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线OP ，则当Sin 2α+sinα取最小值时， 点P 位于A.x 轴上方B.x 轴下方C.y 轴左侧D.y 轴右侧 6.执行如图所示的程序框图，若输入的n=3，则输出的S= A.1 B.5 C.14 D.307.在△ABC 中， 角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知(2b-c) cosA=a ∙cosC ， 则A= A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π68.若函数f(x) =(sinx) ln(√x 2+a +x) 是偶函数， 则实数a= A.−1 B.0 C.1 D.π29.由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的《国学小名士》第三季于2019年11月24日晚在山东卫视首播。
本期最精彩的节目是π的飞花令：出题者依次给出π所含数字 3.141592653……答题者则需要说出含有此数字的诗句。
雷海为、杨强、马博文、张益铭与飞花令少女贺莉然同场PK ，赛况激烈让人屏住呼吸，最终π的飞花令突破204位。
2020-2021学年漳州市高三(下)第二次高考适应性数学复习卷(理科)(含答案解析)
2020-2021学年漳州市高三(下)第二次高考适应性数学复习卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z =−1i −1，则它的共轭复数z −在复平面内对应的点的坐标为( )A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,2)D. (1,−2)2. 已知集合，则∁R A =( )A. ⌀B. (−∞,0]C. (−∞,0)D. [0,+∞)3. 2019年10月31日，工信部宣布全国5G 商用正式启动，三大运营商公布5G 套餐，中国正式跨入5G 时代！某通信行业咨询机构对包括我国华为在内的三大5G 设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示，则下列说法不正确的是( )A. 华为的研发投入超过A 设备商与R 设备商B. 三家设备商的产品组合指标得分相同C. 在参与评估的各项指标中，A 设备商均优于R 设备商D. 除产品组合外，华为其他4项指标均超过A 设备商与R 设备商4. 已知正方形ABCD 边长为2，在正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 满足|PA|≤1的概率是( )A. π4B. π8C. 1−π16D. π165. 已知点(2,√3)在双曲线x 24−y 2a=1(a >0)的一条渐近线上，则a =( )A. √3B. 3C. 2D. 2√36. 在△ABC 中，AB =2AC =2，∠BAC =120°，点D 为BC 边上一点，且BD =2DC ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3B. 2C. 73D. 237. 已知函数f(x)=2x −2−x2,g(x)=2x +2−x2，下列结论错误的是( )A. 函数f(x)的图象关于原点对称，函数g(x)的图象关于y轴对称B. 在同一坐标系中，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方C. 函数g(x)的值域是[1,+∞)D. g(2x)=2f(x)g(x)在(−∞,+∞)恒成立8.在△ABC中，∠A，B，C的对边分别为a=3，b=4，c=√13，则∠C为()A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘9.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面正方形边长为AB=BC=1，AA1=2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. −√55B. 45C. 2√55D. −√151510.若函数f(x)=|4x−x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是()A. [−4,0]B. (−4,0)C. [0,4]D. (0,4)11.过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交抛物线于点A和B，则线段AB的长度是()A. 8B. 4C. 6D. 712.已知函数y=sin(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(−π6,0)对称，则函数的解析式为()A. y=sin(4x+π3) B. y=sin(2x+2π3)C. y=sin(2x+π3) D. y=sin(4x+2π3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα=35，则cos2α=______．14.已知f(x)=x5−5x4+10x3−10x2+5x−1，则f(1+√2)的值为________．15.已知f(x)=g(x)+2函数g(x)是定义在R上的奇函数，若f(2019)=2019则f(−2019)=_________．16.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=2，P为BC的中点，点Q为侧面ADD1A1内的一点，当B1P⊥AQ，△CDQ的面积最小值为2，则棱AB的长为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2+n，n∈N∗(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1(n+1)a n}的前n项和．18.如图，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB=2BF，DE⊥平面ABCD．(1)求证：CF//平面ADE；(2)求二面角C−EF−B的余弦值．19.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．年级名次1～50951～1000是否近视近视4132不近视918(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知椭圆C与双曲线y2−x2=1有共同焦点，且离心率为√6．3(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的下顶点，M ，N 为椭圆上异于A 的不同两点，且直线AM 与AN 的斜率之积为−3．①试问MN 所在直线是否过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由． ②若P 为椭圆C 上异于M ，N 的一点，且|MP|=|NP|，求△MNP 的面积的最小值．21. 已知函数f(x)=alnx +x 2−x ，其中a ∈R ．(Ⅰ)若a <0，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当x ≥1时，f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =tanθ,(θ为参数)，直线l 过点P (1,2)且倾斜角为π6． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程； (2)设l 与C 的两个交点为A ，B ，求|PA |+|PB |．23.已知0<a<b<1，求证：(1)a+b<1+ab．(2)√a−√b<√a+b−√b+1．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的运算，化简得z=−1+i，根据共轭复数的概念，即可求解．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．−1=−1+i，z−=−1−i，对应点的坐标为(−1,−1)，解：z=−1i故选：A．2.答案：C解析：该题考查了对数函数及其性质以及集合的运算，考查了学生的分析与计算能力，属基础题，根据对数函数的性质可得y≥0，再得出C R A．解：根据题意知x2≥0，x2+1≥1，根据对数函数的性质得A={y|y⩾0}，所以C R A={y|y<0}．故选C．3.答案：C解析：本题考查对数表的综合观察能力，属于基础题．根据图表数据进行判断．解：雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知A、B、D均正确，而对于C选项，A设备商与R设备商互有优劣．故选：C．4.答案：D解析：本题在正方形中求点P 满足条件的概率，着重考查了扇形面积、正方形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．由扇形面积公式，结合题意算出满足条件的点P 对应的图形的面积，求出正方体ABCD 的面积并利用几何概型计算公式，即可算出所求概率．解：如图，当点P 满足|PA|≤1时，P 在以A 为圆心、半径为1的圆内， 其面积为S′=14π×12=π4，∵正方形ABCD 边长为2，得正方形的面积为S =22=4， ∴所求概率为P =S′S =π44=π16，故选D ．5.答案：B解析：本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．求出双曲线的渐近线方程，利用已知条件求出a ，即可．解：双曲线x 24−y 2a=1(a >0)的渐近线方程为：y =±√a2x ， 点(2,√3)在双曲线x 24−y 2a=1(a >0)的一条渐近线上，可得√3=√a2×2，解得a =3.故选B .6.答案：D解析：用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．解：由题意可知D 为BC 的靠近C 的三等分点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13×4+23×1×2×cos120°=23．故选D ．7.答案：D解析：解：对于A ，∵f(−x)=2−x −2x2=−2x −2−x2=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，同理，g(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，∴A 正确； 对于B ，∵f(x)−g(x)=2x −2−x2−2x +2−x2=−2−x <0∴f(x)的图象在g(x)的图象下方，B 正确；对于C ，∵g(x)=2x +2−x2≥2√2x ⋅2−x2=1，当且仅当x =0时取“=”，∴g(x)的值域是[1,+∞)，C 正确； 对于D ，∵g(2x)=22x +2−2x2， 2f(x)g(x)=2⋅2x −2−x2⋅2x +2−x2=22x −2−2x2，∴只有当x =0时，g(2x)=2f(x)g(x)，D 错误． 故选：D ．A 中，f(x)是奇函数，图象关于原点对称，g(x)是偶函数，图象关于y 轴对称；B 中，f(x)−g(x)<0，得出f(x)的图象在g(x)的图象下方；C 中，利用基本不等式得出g(x)≥1；D 中，判断g(2x)=2f(x)g(x)只有在x =0时成立．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了作差法比较大小，考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．8.答案：B解析：本题考查余弦定理，属于基础题．直接使用余弦定理，求得cos C，然后求解．解：在△ABC中，∵a=3，b=4，c=，∴cosC===，又∵C为三角形内角，∴0°<C<180°，∴C=60°．故选B．9.答案：B解析：本题考查异面直线所成角，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．连接CD1，AC，则A1B//CD1，则∠AD1C为异面直线A1B与AD1所成角，由已知求解三角形得答案．解：如图，连接CD1，AC，则A1B//CD1，则∠AD1C为异面直线A1B与AD1所成角，在△AD1C中，由已知可得AC=√2,AD1=CD1=√5，∴cos∠AD1C=2×√5×√5=45．即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45．故选B．10.答案：B解析：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．函数f(x)=|4x−x2|+a零点的个数，即为函数y=|4x−x2|与函数y=−a交点个数，结合图象可得实数a的取值范围．解：∵函数f(x)=|4x−x2|+a有4个零点函数y=|4x−x2|与函数y=−a有4个交点，如图所示：结合图象可得0<−a<4，∴−4<a<0故选B．11.答案：A解析：本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程，与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而根据抛物线的定义可求得答案．解：抛物线焦点为(1,0)，p=2，则直线方程为y=x−1，代入抛物线方程y2=4x得：x2−6x+1=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴x1+x2=6，根据抛物线的定义可知|AB|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=6+2=8，故选：A．12.答案：C由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．解：∵函数y=sin(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，∴2π2ω=π，∴ω=1．∵函数图象关于点(−π6,0)对称，∴−2×π6+φ=kπ，即φ=kπ+π3，k∈Z，0<φ<π，∴φ=π3，则函数的解析式为y=sin(2x+π3)，故选：C．13.答案：725解析：利用cos2α=1−2sin2α，即可得出结论．本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．解：∵sinα=35，∴cos2α=1−2sin2α=1−2×925=725故答案为：725．14.答案：4√2解析：本题主要考查了二项式定理的运用以及函数求值问题，属于基础题．根据f(x)=x5−5x4+10x3−10x2+5x−1=(x−1)5，再将1+√2带入f(x)求值即可．解：因为f(x)=x5−5x4+10x3−10x2+5x−1=(x−1)5，所以f(1+√2)=(1+√2−1)5=(√2)5=4√2．故答案为4√2．15.答案：−2015本题考查函数奇偶性的应用，属基础题．由g(x)为奇函数，得g(2019)+g(−2019)=0，进而可得f(2019)+f(−2019)=4，代入f(2019)= 2019可得答案．解：因为函数g(x)是定义在R上的奇函数，则g(2019)+g(−2019)=0，又f(x)=g(x)+2则f(2019)+f(−2019)=g(2019)+g(−2019)+4=4，又由f(2019)=2019，∴则f(−2019)=−2015．故答案为：−2015．16.答案：2√5解析：本题考查了立体几何的动点问题，取AD、DD1的中点E、F，连接A1E，AF，可得A1E⊥AQ，所以Q在直线AF上，点D到直线AF的距离为√5=2√55，所以△CDQ的面积最小值为12×|CD|×2√55=2，可得棱AB的长．解：取AD、DD1的中点E、F，连接A1E，AF，易知A1E//B1P，又B1P⊥AQ，所以A1E⊥AQ，所以Q在直线AF上，在△ADF中，AD=2，DF=1，AF=√5，所以点D到直线AF的距离为√5=2√55，所以△CDQ的面积最小值为12×|CD|×2√55=2，得|CD|=2√5，即棱AB的长为2√5，故答案为2√5．17.答案：解：(1)由S n=n2+n，得a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+n)−[(n−1)2+(n−1)]=2n．a1=2适合上式，∴a n=2n；(2)设{1(n+1)a n}的前n项和为T n，由(1)得：1(n+1)a n =12×1n(n+1)=12(1n−1n+1)则T n=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)=n2(n+1)．解析：(1)由已知数列的前n项和求得首项，再由a n=S n−S n−1(n≥2)求得数列通项公式；(2)把{a n}的通项公式代入数列{1(n+1)a n}，由裂项相消法求其前n项和．本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．18.答案：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，∴BC//AD，BF//DE，这样，平面BCF中，有两条相交直线BC，BF平行于另一个平面中的两条相交直线AD，DE，故有平面BCF//平面ADE，∴CF//平面ADE．(2)解：设BF=1，则AB=2，AC=2√2，连接AC，与BD交于M，取EF的中点N，连接MN，CN，则CM⊥平面EFBD，∴∠CNM是二面角C−EF−B的平面角，∵MN =1，CM =√2， ∴CN =√3， ∴cos∠CNM =MN CN=√33， 即二面角C −EF −B 的余弦值为√33．解析：(1)利用平面BCF 中，有两条相交直线BC 和BF 平行于另一个平面中的两条相交直线AD 和DE ，得到平面 BCF//平面ADE ．(2)连接AC ，与BD 交于M ，取EF 的中点N ，连接MN ，CN ，则CM ⊥平面EFBD ，∠CNM 是二面角C −EF −B 的平面角，即可得出结论．本题考查证明线面平行、面面平行的判定定理，考查二面角C −EF −B 的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)设各组的频率为f i (i =1,2，3，4，5，6)，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18； 所以视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×82100=820人； (2)由列联表中数据，计算K 2=100×(41×18−32×9)250×50×73×27=30073≈4.110>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系； (3)依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人， 则X 可取值为0、1、2、3； 且P(X =0)=C 63C 93=2084，P(X =1)=C 62⋅C 31C 93=4584，P(X =2)=C 61⋅C 32C 93=1884，P(X =3)=C 33C 93=184； 所以X 的分布列为X 的数学期望为E(X)=0×2084+1×4584+2×1884+3×184=1．解析：(1)由频率分布直方图求出对应的频数和频率； (2)由列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论； (3)由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值， 写出X 的分布列，求出数学期望值．本题考查了频率分布直方图和独立性检验以及离散型随机变量的分布列问题，是综合题．20.答案：解：(1)由题意，椭圆的焦点坐标为(0,±√2)，c a =√63，设椭圆方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，∴c =√2，a =√3，b =1，∴椭圆C 的标准方程为y 23+x 2=1；(2)①若MN 的斜率不存在，设M(x 1,y 1)，N(x 1,−y 1). 则k AM ⋅k AN =y 1+√3x 1⋅−y 1+√3x 1=3−y 12x 12=−3，而y 12≤3，故不成立，∴直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m ， 联立{y =kx +m y 23+x 2=1，得(k 2+3)x 2+2kmx +m 2−3=0．∴x 1+x 2=−2kmk 2+3，x 1x 2=m 2−3k 2+3，k AM =y 1+√3x 1，k AN =y 2+√3x 2，∵直线AM 与直线AN 斜率之积为−3．∴k AM ⋅k AN =y 1+√3x 1⋅y 2+√3x 2=(k x 1+m +√3)(kx 2+m +√3)x 1x 2=k 2x 1x 2+k(m +√3)(x 1+x 2)+(m +√3)2x 1x 2=k 2⋅m 2−3k 2+3+k(m +√3)(x 1+x 2)+(m +√3)2m 2−3k 2+3=√3)m−√3=−3，整理得m =0． ∴直线MN 恒过(0,0)．②由①知x M 2=3k 2+3，y M 2=3k 2k 2+3，∵|MP|=|NP|，∴OP ⊥MN ，当k ≠0时，设OP 所在直线方程为y =−1k x ，则x P 2=3k 23k 2+1，y P2=33k 2+1， 当k =0时，也符合上式，∴S △MNP =|OM|⋅|OP|=√x M 2+y M 2⋅√x P 2+y P 2=√3(k 2+1)k +3⋅√3(k 2+1)3k +1=3√(k 2+1)2(k +3)(3k +1)，令k 2+1=t(t ≥1)，k 2=t −1， S △MNP =3√t 23t 2+4t−4=3√1−4t 2+4t+3，∵t ≥1，∴0<1t ≤1．当1t =12，即t =2时，−4t 2+4t +3取最大值4，∴当k 2=1，即k =±1时，△MNP 的面积最小，最小值为32． 解析：本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线是否过定点的判断与证明，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线斜率、基本不等式、椭圆性质的合理运用． (1)由题意，椭圆的焦点坐标为(0,±√2)，ca =√63，由此能求出椭圆C 的标准方程．(2)①设直线MN 的方程为x =ky +m ，联立{y =kx +my 23+x 2=1，得(k 2+3)x 2+2kmx +m 2−3=0.由此利用韦达定理、直线斜率，结合已知条件，能求出直线MN 恒过(0,0)．②推导出OP ⊥MN ，设OP 所在直线方程为y =−1k x ，则x P 2=3k 23k 2+1，y P2=33k 2+1，由此利用三角形面积公式、基本不等式性质，能求出k =±1时，△MNP 的面积最小，并能求出最小值．21.答案：解：(I)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax +2x −1=2x 2−x+ax，令f′(x)=0得2x 2−x +a =0，解得x1=1−√1−8a4，x2=1+√1−8a4，∵a<0，∴x1<0，x2>0，∴当0<x<1+√1−8a4时，f′(x)<0，当x>1+√1−8a4时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,1+√1−8a4)上单调递减，在(1+√1−8a4,+∞)上单调递增．(II)若a=0时，f(x)=x2−x，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1)=0，符合题意．若a<0，由(I)可知f(x)在(0,1+√1−8a4)上单调递减，在(1+√1−8a4,+∞)上单调递增，当1+√1−8a4≤1即−1≤a<0时，f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1)=0，符合题意，当1+√1−8a4>1即a<−1时，f(x)在[1,1+√1−8a4)上单调递减，在[1+√1−8a4,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1+√1−8a4)<f(1)=0，不符合题意．若a>0，令f′(x)=0得2x2−x+a=0，∴当△=1−8a≤0即a≥18时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1)=0，符合题意．若0<a<18，则2x2−x+a=0有两正实数解，x1=1−√1−8a4，x2=1+√1−8a4，∴f(x)在(0,1−√1−8a4)上单调递增，在(1−√1−8a4,1+√1−8a4)上单调递减，在(1+√1−8a4,+∞)上单调递增，∵1+√1−8a4<1，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1)=0，符合题意，综上，a的取值范围是[−1,+∞)．解析：(I)令f′(x)=0求出f(x)的极值点，结合f(x)的定义域得出f′(x)的符号变换情况，从而得出f(x)的单调性；(II)对a进行讨论，判断f(x)在[1,+∞)上的单调性，得出f(x)在[1,+∞)上的最小值f min(x)，即可得出结论．本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，分类讨论思想，属于中档题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =tanθ,(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 24−y 2=1．直线l 过点P(1,2)且倾斜角为π6，转换为参数方程为{x =1+√32ty =2+12t(t 为参数)．(2)把直线的参数方程{x =1+√32ty =2+12t代入x 24−y 2=1，得到t 2+(32−4√3)t +76=0，Δ=(32−4√3)2−4×76=256×(3−√3)>0 所以t 1+t 2=−(32−4√3)，t 1t 2=76， 所以|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=32−4√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次方程根和系数关系式应用求出结果．23.答案：证明：(1)∵(a +b )−(1+ab )=a +b −1−ab =(a −1)+b (1−a )=(a −1)(1−b )，0<a <b <1，∴a −1<0，1−b >0．∴(a −1)(1−b )<0.∴a +b <1+ab ． (2)要证： √a −√b <√a +1−√b +1， 只需证： √a +√b +1<√a +b +√b ， 只需证： (√a +√b +1)2<(√a +1+√b)2， 即a +b +1+2√ab +a <a +b +1+2√ab +b ，从而只需证： 2√ab +a <2√ab +b ，即√ab +a <√ab +b ， 只需证ab +a <ab +b ，即a <b ，显然成立，∴原不等式成立．解析：本题考查了综合法和分析法证明，(1)运用作差法由(a +b)−(1+ab)=(a −1)(1−b)，结合0<a <b <1得证，(2)运用分析法证明要证： √a −√b <√a +1−√b +1，只需证： √a +√b +1<√a +b +√b ，展开后只需证ab +a <ab +b 故可得证．。
福建省漳州市、南平市2020届高三高考数学(理科)二模试题
福建省漳州市、南平市2020届高三高考数学（理科）二模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|{|lg }A x y B y y x ====，则A B =（ ）A ．[1,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(0,)+∞D ．R2．已知复数z 的共轭复数为z ，且满足232z z i +=+，则||z =（ ）A B C ．3D ．53．执行如图所示的程序框图，若输入的3n =，则输出的S =（ ）A ．1B ．5C ．14D ．304．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若334a =，3214S =，则{}n a 的公比为（ ）A ．13-或12B ．13或12- C ．3-或2D ．3或2-5．4(12)x -的展开式中2x 的系数为（ ） A ．6B ．24C ．32D ．486．我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法．先作一个半径为1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正62(1,2,)n n ⨯=边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”．现设单位圆O 的内接正n 边形的一边为AC ，点B 为劣弧AC 的中点，则BC 是内接正2n 边形的一边，现记n AC S =，2n AB S =，则（ ）A．2n S =B．2n S =C．2n S =D．2n S =7．已知正三棱柱的底面边长为2，,A B 分别为该正三棱柱内切球和外接球上的动点，则,A B 两点间的距离最大值为（ ） A2B1- C1 D28．若1451314,log 12,log 9a b c ===，则（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C的左、右支分别交于P 、Q 两点，若12PQ F P =，120FQ F Q ⋅=，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B．y x = C．y =D ．2y x =±10．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(2)cos cos ,b c A a C b -==若边BC 的中线等于3，则ABC ∆的面积为（ ） A．BC．D11．已知函数()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论：①()f x 的一个周期是2π； ②()f x 是非奇非偶函数； ③()f x 在(0,)π单调递减； ④()f x． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．②④C ．①③D ．①②12．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线与y 轴相交于点P ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点，若||2||PA PB =，则||AB =（ ）A ．5B ．92CD二、填空题13．若函数21,0()241,0xx f x x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+≥⎩，则((2))f f =_______． 14．若||5,(1,1),||1a b a b +===，则a 与b 的夹角为_________．15．在一个袋中放入四种不同颜色的球，每种颜色的球各两个，这些球除颜色外完全相同．现玩一种游戏：游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球，若抽出的4个球恰含两种颜色，获得2元奖金；若抽出的4个球恰含四种颜色，获得1元奖金；其他情况游戏参与者交费1元．设某人参加一次这种游戏所获得奖金为X ，则()E X =________． 16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题17．已知数列{}n a 满足()()()()*1123111,0,1111,N n n n a a a a a a a n ++=≠++++=∈．（1）证明数列11n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}12n n a a ++的前n 项和n T ．18．如图，三棱台111ABC A B C -中，11AA AB CC ==，190AAC ABC ∠=∠=︒．（1）证明：1AC A B ⊥；（2）若12,30AB A B ACB ==∠=︒，求二面角1A CC B --的余弦值． 19．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 是x 轴上关于原点O 对称的两定点，点H 满足121224HF HF F F +==，点H 的轨迹为曲线E .（1）求E 的方程；（2）过2F 的直线与E 交于点P ,Q ,线段PQ 的中点为G ，PQ 的中垂线分别与x 轴、y 轴交于点M ，N ，问OMN ≌2GMF △是否成立？若成立，求出直线PQ 的方程；若不成立，请说明理由.20．某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体．若其中圆台部分的体积为352cm π，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出3103cm π．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为V ，（1）求V ；（2）该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时，保温效果不同．为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最大盛水量V 的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温y （单位：℃）与时刻t 满足线性回归方程y ct d =+，通过计算得到下表：注：表中倒出体积x （单位：3cm ）是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中：令||,,30(1),1,2,,16i i i w c w c x i i ===-=⋅⋅⋅．对于数据(),(1,2,,7)i i x w i =⋅⋅⋅，可求得回归直线为1:L w x βα=+，对于数据(),(8,9,,16)i i x w i =，可求得回归直线为2:0.00090.7L w x =+．（ⅰ）指出||c 的实际意义，并求出回归直线1L 的方程（参考数据：90.00322800≈）； （ⅱ）若1L 与2L 的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时（盛水体积保留整数，且π取3.14）保温效果最佳？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u βα=+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii n i i u u vv v u u u βαβ==--==-⋅-∑∑． 21．已知函数(),()ln x f x e g x x a x ==+． （1）讨论()g x 的单调性；（2）若1a =，直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =都相切，切点分别为()11,P x y ，()22,Q x y ，求证：2211x e >-． 22．已知曲线C 的参数方程为2,cos tan ,x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），直线l 过点(1,2)P 且倾斜角为6π. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程； （2）设l 与C 的两个交点为,A B ，求||||PA PB +. 23．已知函数()|2||22|f x x x =+--的最大值为m . （1）求m 的值；（2）已知正实数,a b 满足224a b +=是否存在,a b ，使得24m a b+=.参考答案1．D 【分析】首先根据偶次根式的条件与对数函数的值域分别求得集合,A B ，再求并集，得到结果. 【详解】{|1}A x x =≥-，B R =，所以AB R =，故选：D ． 【点睛】该题考查函数的定义域，对数函数的值域以及集合的并集，考查基本分析求解能力，属于基础题目. 2．B 【分析】设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，代入232z z i +=+中求出,a b 的值，再根据复数模公式求得结果. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 又因为232z z i +=+，即332a bi i +=+，所以1,2a b ==，所以|z |= 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的概念和运算，复数的模，共轭复数，属于基础题目. 3．C 【分析】按流程图逐一执行即可得解 【详解】执行程序框图，可得0,0i S ==，满足3i <，执行循环体，21,11i S ===； 满足3i <，执行循环体，22,125i S ==+=； 满足3i <，执行循环体，23,5314i S ==+=； 不满足3i <，退出循环体，输出S 的值为14， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查读图能力及计算能力，属于基础题. 4．A 【分析】利用已知可得：2134a q =及()212114a q q ++=，联立方程组，解方程组即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 则23134a a q ==，()2312114S a q q =++=， 所以两式相除，得22117q q q =++，即2610q q --=， 解得12q =或13q =-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查了方程思想及计算能力，属于基础题. 5．B 【分析】利用二项展开式的通项可得14(2),0,1,2,3,4r rr T C x r +=-=，令2r可求得结果.【详解】因为4(12)x -的第1r +项展开式14(2),0,1,2,3,4r r r T C x r +=-=，令2r，则含2x 项系数为224(2)24C -=，【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式通项的应用，项的系数，属于简单题目. 6．A 【分析】方法一，可以设AOB θ∠=，则在AOB 中，由余弦定理得2222cos n S θ=-，设AC 与OB相交于点D ，则OD AD ⊥，利用三角函数的定义可得cos OD OA θ==，代入上式化简求得结果；方法二，设AC 与OB 相交于点D ，可以得到OD AD ⊥，且12n AD S =，所以OD =11BD OD =-=-2n S ==. 【详解】法一：设AOB θ∠=，则在AOB 中，由余弦定理得2222cos n S θ=-，设AC 与OB 相交于点D ，则OD AD ⊥，所cos OD OA θ==，所以2222nS =-= 故选：A.法二：设AC 与OB 相交于点D ，则OD AD ⊥，因为12n AD S =，所以OD =所以11BD OD =-=-，所以2n S == 故选：A.该题考查的是有关数学文化的知识，在解题的过程中，注意对圆中特殊三角形的应用，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，还有余弦定理的应用，属于简单题目. 7．C 【分析】根据正棱柱的外接球和内切球的球心在正棱柱上下底面中心连线的中点，求得其外接球和内切球的半径，再结合同心球上两动点间的最大距离为量半径和，从而求得结果. 【详解】因为正三棱柱的外接球和内切球的球心都是正三棱柱上下底面中心连线的中点，结合正三棱柱的底面边长为2，易求得三棱柱外接球半径R ==， 内切球半径1212r =⨯=， 所以,A B两点间的距离最大值为1R r +=+，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有正棱柱的外接球和内切球的球心位置的确定以及其半径的求解，两球上动点间距离的最值，属于简单题目. 8．B 【分析】直接利用对数函数和指数函数的单调性求解. 【详解】1434 1.52a ==<=，又32512<，即32512<，所以53log 122b <=，所以a b <， 又55131log 12log 252log 9b c =<===， 所以a b c <<，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目. 9．D 【分析】设1PF t =，根据已知条件及双曲线的定义可知||2PQ t =，222,32PF t a QF t a =+=-，根据12FQ F Q ⊥，利用勾股定理可得34t a =，在直角三角形12F QF 中，由勾股定理得2229(32)4t t a c +-=，进一步整理得到2b a =，进而求得渐近线方程.【详解】 设1PF t =，由已知条件及双曲线的定义得||2PQ t =，222,32PF t a QF t a =+=-，因为12FQ F Q ⊥， 所以在直角三角形2PQF 中，由勾股定理得2224(32)(2)t t a t a +-=+，解得34t a =． 又在直角三角形12F QF 中，由勾股定理得2229(32)4t t a c +-=，所以225c a =，又222c a b =+，所以2b a =， 所以双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的渐近线方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的定义，勾股定理解直角三角形，双曲线的渐近线方程，属于简单题目. 10．C 【分析】由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知条件可得2sin cos sin B A B =，由sin 0B ≠，求得1cos 2A =，可求得3A π=，取BC 的中点D ，延长AD 至点E ，使得D 是AE 中点，连接,EB EC ，则四边形ABEC 是平行四边形，在三角形ACE 中，由余弦定理可求得c =，之后利用面积公式求得结果.【详解】因为(2)cos cos b c A a C -=，所以(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=， 所以2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+， 所以2sin cos sin()B A A C =+， 所以2sin cos sin B A B =， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =， 因为(0,)A π∈，所以3A π=．取BC 的中点D ，延长AD 至点E ，使得D 是AE 中点， 连接,EB EC ，则四边形ABEC 是平行四边形， 在三角形ACE 中，180120ACE A ∠=︒-∠=︒，AC =6AE =，CE AB c ==，由余弦定理得21236c ++=，解得c =，所以三角形ABC 的面积为2122⋅⋅= 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目. 11．A 【分析】根据函数周期的定义判断①正确，利用特值判断函数是非奇非偶函数，得到②正确，根据取整函数的定义，可以判断在(0,)π上函数值是确定的一个值，得到③错误，利用(0)f >得到④正确，从而得到结果. 【详解】因为(2)sin[cos(2)]cos[sin(2)]sin[cos ]cos[sin ]()f x x x x x f x πππ+=+++=+=， 所以()f x 的一个周期是2π，①正确；又(0)sin[cos0]cos[sin 0]sin1cos0sin111f =+=+=+>+> 又sin cos cos sin sin cos sin 0cos(1)cos144422f πππ⎡⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+-=+-=⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，sin cos cos sin sin cos sin 0cos01444f πππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 是非奇非偶函数，所以②正确； 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，0cos 1x <<，所以[sin ][cos ]0x x ==，所以()sin[cos ]cos[sin ]sin0cos01f x x x =+=+=，所以③错误；综上所以正确的结论的序号是①②④， 故选：A ． 【点睛】该题考查三角函数相关性质的辨析，涉及到的知识点有取整函数，奇偶性、单调性、周期性的综合应用，属于较难题目. 12．B 【分析】首先设出直线AB 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，整理得到2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理得124x x =-，①124x x k +=，②，根据||2||PA PB =，列出等量关系求得218x =，222x =，根据焦点弦长公式，可得2212129||2242x x AB y y +=++=+=，得到结果，也可以根据0PA PB k k +=，得到FP 是角APB 的平分线，进而求得结果.【详解】设直线AB 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x =-，①124x x k +=，②21616k ∆=+，解法一：因为||2||PA PB =，则()()22221122141x y x y ⎡⎤++=++⎣⎦， 即()()22221122242x kx x kx ⎡⎤++=++⎣⎦③，将①②代入③得22221212112224244x x x x x x x x ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即2222222121222111641414144x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 即()()222222111141164164416x x x x x++++=，所以4164x =，即218x =，则222x =，所以2212129||2242x x AB y y +=++=+=，故选：B. 解法二：因为()()21121212121212221122220PA PB x kx x kx y y x xk k k k k x x x x x x +++++++=+==+=-=． 所以FP 是角APB 的平分线，因为||2||PA PB =，||2||AF FB =，所以122x x =-④，由①④得22128,2x x ==，所以2212129||2242x x AB y y +=++=+=，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，抛物线焦点弦长公式，属于简单题目. 13．8 【分析】直接利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可. 【详解】因为(2)4813f =-+=-，所以31((2))(3)82f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭． 【点睛】该题考查的是有关分段函数求值问题，在解题的过程中，注意逐层求解，属于基础题目. 14．4π 【分析】根据平面向量的夹角公式，求出夹角的余弦值，再计算夹角的大小. 【详解】 因为||5a b +=，所以2225a a b b +⋅+=，又()1,1,||1a b ==，所以2,15a b +<>+=，即2cos 2a b <⋅>=，所以cos ,4a b π<>=，故答案为：4π. 【点睛】该题考查的是有关向量夹角的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量交集余弦公式，属于简单题目.15．27-【分析】首先根据题意，判断出X 的可取值有2,1,1-，并利用概率公式求得对应的概率，最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果. 【详解】由已知2X =，1，1-， 又()22242486(2)70C C P X C ===， ()441424816(1)70C C P X C ===， ()22114224848(1)70C C C P X C =-==，所以12164827070707EX =+-=-， 故答案为：27-.【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，离散型随机变量的期望公式，属于简单题目. 16．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】首先将不等式转化为()1(1)ln kxkx e x x +>+，再利用对数的运算法则转化为()1ln (1)ln kxkx ee x x +>+，构造函数()(1)lnf x x x =+，应用导数研究函数的单调性得到其在(0,)+∞单调递增，不等式可以转化为()()kxf e f x >，所以kxe x >，所以ln xk x>，根据ln ()x h x x =在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，得到max 1()h x e=，从而求得k 的取值范围. 【详解】因为()1(1)ln kxkx e x x +>+，所以()1ln (1)ln kxkxe e x x +>+①， 令()(1)lnf x x x =+，则1()1ln f x x x'=++， 所以22111()x f x x x x-''=-+=， 当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>， 所以()'f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， 所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增， 因为①式可化为()()kxf ef x >，所以kx e x >，所以ln xk x>， 令ln ()xh x x=， 所以可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e+∞. 【点睛】该题考查的是有关应用导数解决不等式成立时参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有构造新函数，利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，恒成立问题向最值靠拢，属于较难题目.17．（1）详见解析；（2）*4,N 21n nT n n =∈+. 【分析】（1）类比着题中条件()()()()123111111n n a a a a a ++++++=，可以写出()()()()123221111n n a a a a a ++++++=，两式相除得到2211n n n aa a ++++=，两边同时除以2n a +，得到21111n n a a +++=，即21111n n a a ++-=-，利用等差数列的定义，得到数列11n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）结合（1）可求得*12,N 21n a n n +-=∈-，所以122211221212121n n a a n n n n ++--⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭，即利用裂项相消法求和即可得结果. 【详解】（1）证明：因为()()()()123111111n n a a a a a ++++++=，所以()()()()123221111n n a a a a a ++++++=，又*n ∈N ，0n a ≠，所以2211n n n a a a ++++=， 所以21111n n a a +++=，即21111n n a a ++-=-， 因为()()11221,11a a a a =++=，所以()2221a a +=，解得22a =-，所以2112a =-， 所以数列11n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12-为首项，以1-为公差的等差数列．（2）结合（1）知，11121(1)(1)22n n n a +-=-+-⨯-=-， 所以*12,N 21n a n n +-=∈-， 所以122211221212121n n a a n n n n ++--⎛⎫=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111121335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭*4,N 21nn n =∈+． 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据条件证明一个数列是等差数列，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，属于简单题目.18．（1）详见解析；（2【分析】（1）过1A 作1A O AC ⊥交AC 于点O ，连接BO ，易证得1AAC ABC △≌△，进而得到1AAO ABO △≌△，得到190AOB AOA ∠=∠=︒，即BO AC ⊥，由线面垂直的判定定理得到AC ⊥平面1A OB ，进而得到1AC A B ⊥；（2）根据题意，进一步得到1A O BO ⊥，建立如图空间直角坐标系，分别求得平面1BCC 的一个法向量1(3,3,1)n =和平面1ACC 的一个法向量2(1,0,0)n =，利用公式求得12cos ,n n <>的值，进而得到二面角1A CC B --的余弦值.【详解】（1）过1A 作1A O AC ⊥交AC 于点O ，连接BO ，因为11,90AA AB AAC ABC =∠=∠=︒，所以1AAC ABC △≌△，所以1A AO BAO ∠=∠，所以1AAO ABO △≌△， 所以190AOB AOA ∠=∠=︒，即BO AC ⊥，因为1BO AO O ⋂=，所以AC ⊥平面1A OB ， 又因为1A B ⊂平面1A OB ，所以1AC A B ⊥． （2）因为90,2,30ABC AB ACB ∠=︒=∠=︒，所以4,AC BC ==BO =，所以1AO ，因为1A B = 所以22211AO BO A B +=，所以1A O BO ⊥． 如图，以O 为原点，以1,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，易知3OC =，所以1(0,3,0),B C C ，所以1(3,3,0),(0,1BC CC =-=-， 设1(,,)n x y z =是平面1BCC 的一个法向量，则1110,0,n BC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,0,y y -=-+=⎪⎩取1(3,3,1)n =，易知平面1ACC 的一个法向量2(1,0,0)n =， 则121212313cos ,n n n n n n ⋅==， 因为二面角1A CC B --为锐角， 所以二面角1A CC B --的余弦值为13． 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线线垂直，利用空间向量求二面角的余弦值，属于简单题目.19．（1）22143x y +=；（2）不成立，具体见解析. 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可.（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆联立方程，利用韦达定理求得PQ 的中点为G 的坐标，再写出直线MG 方程，求得ON ，再利用2G GF y >ON >成立，其与OMN ≌2GMF △成立时2=GF ON 矛盾，即可解决.【详解】解：（1）∵ 121224HF HF F F +==，∴ 12=2F F ∴1212=4=2HF HF F F +>，∴ 由椭圆的定义可得H 的轨迹为以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，∴ 2a =，1c =，b = ∴ 椭圆E 的方程为：22143x y +=（2）如图，由题可知，直线PQ 的斜率存在且不等于0，故设直线PQ 的方程为：1x my =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆的方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得：()2243690mymy ++-=，所以122643my y m -+=+，所以线段PQ 的中点G 的纵坐标为：1223=243G y y my m +-=+， 代入直线PQ 的方程得24=43G x m +，即：2243,4343m G m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，又因为直线MG 与PQ 垂直，所以直线MG 的斜率为m -， 所以直线MG 方程为：22344343m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 即：243my mx m =-++，令0x =，则243m y m =+，所以点N 的纵坐标为：243Nmy m =+， 所以243mON m =+，所以G y ON >，又因为2G GF y >，所以2G GF y >ON >， 另一方面，若使OMN ≌2GMF △成立， 则必有2=GF ON 与2GF ON >矛盾，所以OMN ≌2GMF △不成立.【点睛】本题考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，考查数学运算能力，是中档题.20．（1）3640cm π；（2）（ⅰ）||c 的实际意义为倒出3xcm 体积水时，暖水瓶内水的降温速率；回归直线1L 的方程为0.0032 1.388w x =-+；（ⅱ）31842cm . 【分析】（1）根据题意，分析可得该暖水瓶的内胆是由一个半球和一个大圆柱以及一个小圆柱组合而成，分别利用球的体积公式和柱体的体积公式求得相应几何体的体积，之后作和求得暖水瓶的最大盛水量，得到结果；（2）（ⅰ）根据题意，可得||c 的实际意义为倒出3xcm 体积水时，暖水瓶内水的降温速率；利用公式求得回归直线1L 的方程为0.0032 1.388w x =-+；（ⅱ）联立方程组0.0032 1.388,0.00090.7,w x w x =-+⎧⎨=+⎩得167.8x ≈，即为最佳倒出体积约为3167.8cm ，根据条件，求得结果. 【详解】（1）依题意得，半球的半径为5r cm =， 体积为3114250125233V cm ππ=⨯⨯=， 大圆柱体积322520500V cm ππ=⨯=， 小圆柱体积33428V cm ππ=⨯=，所以盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为32501050085264033cm ππππππ+++-=．（2）（ⅰ）||c 的实际意义为倒出3xcm 体积水时，暖水瓶内水的降温速率；||c 越小，降温速率越小，保温效果越好；||c 越大，降温速率越大，保温效果越差．因为30(1),1,2,,7i x i i =-=，对于回归直线1:L w x βα=+，因为12712790, 1.177x x x w w w x w ++++++====，()()()7721181,25200i i i i i x x w w x x ==--=--=∑∑，所以()()()121819ˆ0.0032252002800nii i nii xx w w xx β==--==-=-≈--∑∑，ˆˆ 1.10.003290 1.388w x αβ=-⋅=+⨯=， 所以回归直线1L 的方程为0.0032 1.388w x =-+．（ⅱ）联立0.0032 1.388,0.00090.7,w x w x =-+⎧⎨=+⎩得167.8x ≈，所以保温瓶最佳倒出体积约为3167.8cm ，保温瓶盛水体积约为32640167.8640 3.14167.81841.81842cm cm π≈-≈⨯-=， 所以保温瓶盛水体积约为31842cm 时保温效果最佳． 【点睛】该题考查的是有关利用回归分析解决实际问题的思想和方法，在解题的过程中，涉及到的知识点有组合体的体积的求法，球体和柱体的体积公式，回归直线的方程，属于中档题目. 21．（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）首先写出函数()g x 定义域为(0,)+∞，求得()x ag x x+'=，对a 的范围进行讨论，从而确定出()x ag x x+'=的符号，确定出函数()g x 的单调性； （2）可以从两个角度去分析，方法一是根据导数的几何意义，写出直线l 的方程为()111x y y e x x -=-，即()1111x x y e x x e =+-，也可以写成2211ln 1y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据两条直线是同一条直线，得到121x e x =+，且()1121ln 1xx e x -=-，对式子进行整理可以得到22212ln 11x x x x x -=++，构造函数ln ()11x x xh x x -=++，利用导数研究该函数的单调性及最值，从而可以证得结果；方法二是根据两条切线的斜率想的得到121ln 1x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进一步可以得到()2222211ln 1ln 210x x x x x ⎛⎫+++--= ⎪⎝⎭，构造函数1()(1)ln 1ln 21h x x x x x x ⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭，利用导数研究该函数的单调性及最值得到结果.【详解】（1）()g x 定义域为(0,)+∞， 因为()1a x a g x x x+'=+=， 若0a ，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，若0a <，则当(0,)x a ∈-时，()0g x '<，当(,)x a ∈-+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增． （2）证法一：证明：对于曲线()y f x =，()11(),x xl f x e k f x e ''===，直线l 的方程为()111xy y e x x -=-，即1111x x xy e e x x e -=-，即()1111x xy e x x e =+-①．对于曲线()y g x =，因为1a =，所以1()ln ,()1g x x x g x x'=+=+ 所以()2211l k g x x '==+， 直线l 的方程为()22211y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 即22221ln 11y x x x x x ⎛⎫--=+-- ⎪⎝⎭，即2211ln 1y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭②．因为①与②表示同一条直线，所以121x e x =+③， 且()1121ln 1xx e x -=-④，④÷③，得22212ln 11x x x x x --=+，所以22212ln 11x x x x x -=++．令ln ()11x x xh x x -=++，22211ln (1)(ln )ln ()()(1)(1)(1)x x x x x x x x g x x h x x x x ⎡⎤⎛⎫-+⋅+-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦'==-=-+++， 由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递增又1111ln 10g e e e e⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭(1)1ln110g =+=>∴1(1)0g g e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭()g x 有唯一零点01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且当()00,x x ∈时，()0<g x ，()0h x '>， 当()0,x x ∈+∞时，()0>g x ，()0h x '<， 所以()h x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减， 所以()()0001200ln 11x x x x h x h x x -==++，又()00g x =，即00ln x x =-，所以()20010001121x x x h x x x +=+=+<+， 所以12211x e e x +=<，所以2211e x <-，又20x >，所以2211x e >-． 证法二：证明：因为()xf x e '=，所以直线l 的斜率为()11xk f x e '==，因为1a =，所以()ln g x x x =+，所以1()1g x x'=+， 所以直线l 的斜率为()2211k g x x '==+， 所以1211xe x =+，所以121ln 1x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又因为122222122211ln ln 1ln 1x x x e x x x k x x x x +----==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以22222211ln 111ln 1x x x x x x +--=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()2222211ln 1ln 210x x x x x ⎛⎫+++--= ⎪⎝⎭， 令1()(1)ln 1ln 21h x x x x x x ⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭， 所以1()ln(1)1h x x x'=+--，所以()h x '在(0,)+∞单调递增， 又因为()22212ln 101h e e e ⎛⎫'=---<⎪-⎝⎭，()3311201h e e '-=->-， 所以存在3021,11x e e ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭，使得()00h x '=， 且当()00,x x ∈时，()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以()h x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增， 因为0211x e >-，所以()h x 在210,1e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭递减，所以当2101x e <-时，()222ln 11()1011e h x h e e -⎛⎫=-> ⎪--⎝⎭， 所以()h x 在210,1e ⎛⎤⎥-⎝⎦内无零点，因为2x 是()h x 的零点且20x >，所以2211x e >-． 【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义研究函数图象的切线，利用导数研究函数的最值和零点问题，属于难题.22．（1）2214x y -=，1,122x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（2）32-【分析】（1）整理得2cos x θ=及2sin y xθ=，结合22sin cos 1θθ+=可得曲线C 的普通方程为：2214x y -=，再直接利用直线的参数方程形式求得直线的参数方程. （2）联立曲线C 的普通方程与直线l 的参数方程整理可得：(232760t t +-+=，结合直线l 参数方程的参数的几何意义可得：12PA PB t t +=+，问题得解. 【详解】 （1）由2cos x θ=得：2cos x θ=，由y tan θ=得：sin cos y θθ= 所以2sin cos yy xθθ==， 代入22sin cos 1θθ+=整理可得：2214x y -=所以曲线C 的普通方程为2214x y -=…①直线l的参数方程为1,122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）…②（2）②代入①，得(232760t t +-+=，所以((216847625630∆=-⨯=⨯>，设,A B 对应的参数分别为12,t t，则(121232,760,t t t t ⎧+=--⎪⎨=>⎪⎩所以121232PA PB t t t t +=+=+=-【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义的应用及计算能力，属于中档题. 23．（1）3m =；（2）不存在 【分析】（1）将()222f x x x =+--转化成分段函数()4,2,3,21,4, 1.x x f x x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩，利用函数的单调性即可得解.（2）12，再对24a b +利用基本不等式证得：243a b +>，问题得解. 【详解】（1）因为()4,2,3,21,4, 1.x x f x x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以当1x =时，()f x 取最大值为3，即3m =. （2）由已知有2244a b ab =+，因为0,0a b >>，所以0ab >12， 所以248422823a b ab ab+=>， 所以不存在实数,a b ，使得243a b+=. 解法二：（1）因为()221211f x x x x x x =+--=+----()()2103x x +---=，且()13f =，所以()f x 的最大值为3，即3m =.（2）由已知有2244a b ab =+，因为0,0a b >>，所以0ab >12，① 假设存在实数,a b ，使得243a b+=，则24832a b ab =+=42132>，②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故不存在实数,a b ，使得243a b+=. 【点睛】本题主要考查了求含两个绝对值的函数最值及分类思想，还考查了利用基本不等式推理论证及分析能力，属于中档题.。
2019-2020学年高中毕业班第二次统测数学(理科)答案(1)
2020届高中毕业班第二次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBDBBCBCCAAB13． 2- 14． 1-或4- 15．2316． 68π 三、解答题（17）（本小题满分10分）解：（1）由sin sin sin sin b B a C a A c C +=+及正弦定理可得222b ac a c +=+ （2分） 由余弦定理可得222221cos 222a cb b ac b B ac ac +-+-=== （4分）又因为()0,B π∈，所以3B π=（6分）（2）因为1133sin 22ABC S ac B a ∆===（8分） 所以1a =. （9分） 又因为1,3a c B π===，所以ABC ∆是等边三角形，所以3C π=（12分）（18）（本小题满分12分） （1）由频率分布直方图可得：()()12160.290.1120.80.6826P X <<=+⨯=> （1分） ()()10180.040.290.110.0320.940.9544P X <<=+++⨯=< （2分） ()()8200.0050.040.290.110.030.01520.980.9744P X <<=+++++⨯=< （3分）由上述可知：符合①，不符合②③，故该生产线需要检修． （5分） （2）由（1）知()47220.9450P X μσμσ-<<+==所以从该生产线加工的产品中任意抽取一件次品的概率为30.0650=且32,50Y B ⎛⎫⎪⎝⎭:， （7分） 所以()24722090502500P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()124732821411=505025001250P Y C ==⨯= ()2392502500P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭ （10分） 分布列如下Y 0 1 2P 22092500 2822500 9250022092829301225002500250025EY =⨯+⨯+⨯= （或3325025EY nP ==⨯=） （12分） （19）（本小题满分12分）（1）证明：连接AC 交BD 于G ，则G 是AC 的中点，连接EG ， （1分） 则EG 是PAC ∆的中位线，所以//PA EG ， （2分） 有因为,PA EDB EG EDB ⊄⊂面面，所以//PA 平面EDB （4分）（2）法一：如图以D 为原点，,,DA DC DP u u u r u u u r u u u r方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系。
福建省漳州市第四中学2020年高三数学理月考试卷含解析
福建省漳州市第四中学2020年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数（）A．0 B．1 C．2D．3参考答案：C2. 计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）A． B． C．D．参考答案：B3. 若双曲线x2+ky2=1的离心率是2，则实数k的值是（）A．-3 B． C．3 D．参考答案：B略4. 执行如图的程序，则输出的结果等于A． B． C． D．参考答案：【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：，故选A.【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.5. 设等差数列的前n项和为，若则（）A．27 B．36 C．44 D．54参考答案：B知识点：数列的求和解析：∵等差数列的前n项和为，∴成等差数列．∴2（）= + ．∴2×（15﹣3）=3+ ﹣15，解得=36．故选：B．【思路点拨】利用等差数列的前n项和为，可得成等差数列．即可得出．6. 设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，2）C．（1，2）D．（，+∞）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题．【分析】确定双曲线﹣=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用60°＜∠AFB ＜90°，可得，由此可求双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：双曲线﹣=1的两条渐近线方程为，x=时，y=，∴A（，），B（，﹣），∵60°＜∠AFB＜90°，∴，∴，∴，∴，∴1＜e2﹣1＜3，∴．故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．7. 下列命题中：①“”的否定；②“若，则”的否命题；③命题“若，则”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：C考点：逻辑联结词与命题.8. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( )参考答案：A略9. 一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为和，腰长为的等腰梯形，则该几何体的表面积是A． B.C． D.参考答案：D略10. 已知z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣3＜0，m+1＞0，解得﹣1＜m＜3．则实数m的取值范围是（﹣1，3）．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）∥，则m= ．参考答案：﹣【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量加法的坐标计算公式可得（+）的坐标，结合向量平行的坐标计算公式可得（﹣2）×4=3×（m﹣2），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（1，m），=（3，﹣2），则（+）=（4，m﹣2），若（+）∥，则有（﹣2）×4=3×（m﹣2），解可得m=﹣；故答案为：﹣12. 在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝.将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为＝________．参考答案：13. （理）已知，且，则．参考答案：略14. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是_____．参考答案：1615. 定义平面点集R2={x,y)|x∈R,y∈R丨，对于集合，若对，使得{P∈R2||PP0|<r}，则称集合从为“开集”.给出下列命题：①集合{x,y)| (x—1)2 + (y—3)2<1}是开集；②集合{x,y)|x≥0，y>0}是开集；③开集在全集R2上的补集仍然是开集；④两个开集的并集是开集.其中你认为正确的所有命题的序号是______参考答案：略16. 已知把向量向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到向量，则的坐标为参考答案：因为向量，所以。
2020年福建省漳州市、南平市高考数学二模试卷(理科)
拟合结果
＝
＝
＝
＝
＝
倒出体积
…
拟合结果
＝
＝
＝
…
＝
注：表中倒出体积 （单位： ）是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中：
令 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ，…， ．对于数据 ＝ ,…, ，可求得回归直线为 ＝ ，对于数据 ＝ ,…, ，可求得回归直线为 ＝ ．
指出 的实际意义，并求出回归直线 的方程（参考数据： ；）
在一个袋中放入四种不同颜色的球，每种颜色的球各两个，这些球除颜色外完全相同．现玩一种游戏：游戏参与者从袋中一次性随机抽取 个球，若抽出的 个球恰含两种颜色，获得 元奖金；若抽出的 个球恰含四种颜色，获得 元奖金；其他情况游戏参与者交费 元．设某人参加一次这种游戏所获得奖金为 ，则 ＝________．
选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 过点 且倾斜角为 ．
（1）求曲线 的普通方程和直线 的参数方程；
（2）设 与 的两个交点为 ， ，求 ．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数 ＝ 的最大值为 ．
2020年福建省漳州市、南平市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ＝ ， ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
2.已知复数 的共轭复数为 ，且满足 ，则 ＝（）
A. B. C. D.
3.执行如图所示的程序框图，若输入的 ＝ ，则输出的 ＝（）
（1）求 ；