湖北省孝感市2014届高三第二次统一考试数学理试题(WORD版)
2014年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）可先计算出的值，再计算平方的值．解：由于（2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）2x+的展开式即（+2x，代入得：3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g （x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，解：对于①：x cos x dx=（﹣对于②：（dx=（（）对于③：（7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为B，面积为，解得（，S=，，8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）BL=（．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）B，cos）×+）=当且仅当，cos ，得，=m，的最大值为10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x 222，]，，]，，解得：的取值范围是二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=±3．解：∵向量=，||=3|，向量=3+λ）⊥（﹣λ+λ﹣λ12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=2．）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的=，====13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b ＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可），，，﹣，x=c==，）的直线方程为，x=c=故答案为：的直线方程为=x=c=的调和平均数15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．（，求得交点的直角坐标为（，17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？t+（t+，即＜t+＜﹣（t+≤t+＜，故当t+=时，t+=时，即（t+）t+）（t+）＜﹣＜t+＜18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．=19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N 分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．=2，可得===，=2=，则==•±．±20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？，21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．的方程为；由方程组，解得．∈或时，直线或时，直线，解得﹣＜﹣＜或时，直线∈，时，直线22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．，即，又由（Ⅱ）知，时，，ln＜，，π，∴，，，得=，即x=，又ln＜，π．①﹣﹣﹣。
2014年高考湖北省孝感市高三年级第二次统一考试
2014年高考（437）湖北省孝感市高三年级第二次统一考试高考模拟2014-03-22 0918湖北省孝感市2014-2014学年度高中三年级第二次统一考试语文试题一、语文基础知识（共15分，共5小题，每小题3分）1．下列各组词语中，加点字的注音全都正确的一组是A．霎（shà）时百舸（gě）角（juã）逐叱咤（zhà）风云B．瘦削（xuē）驯（xùn）熟躯壳（kã）度（duó）长絜大C．笑靥（yâ）熟稔（rěn）罪愆（qiān）敛声屏（bǐng）气D．朔（shuò）漠聒（gǔ）噪蕴藉（jiâ）数（shuò）见不鲜2．下列各组词语中，没有错别字的一组是A．寥廓迫不及待弥谤平心而论B．毗邻相辅相承喋血感恩戴德C．葱茏唇枪舌剑嬉戏既往不究D．销蚀锱铢必较膏粱察言观色3．依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是中国对钓鱼岛的主权要求与资源无关。
是中国的领土，有没有资源，都应属于中国。
日本对此怎么想的，我们，但从过往以来的百余年的历史来看，日本倒是多有侵略别国领土，抢占别国资源的。
霸占台湾，侵略中国，这是公认的事实；连太平洋上的其他国家包括美国地盘，它也想。
二战不就是这样打起来的吗？A．不论不知所以爱好侵吞B．无论不得而知恶好鲸吞C．不管无可奉告癖好攻占D．尽管无庸讳言嗜好霸占4．下列各项中，没有语病的一项是A．建设生态文明，要坚持节约优先、保护优先的方针，着力推进绿色发展、低碳发展、循环发展，形成节约资源和保护环境的空间格局、产业结构、生产方式。
B．一个国家是否体面，不在于它拥有多少高楼大厦，创造了多少经济奇迹，其精英人群生活得多么风光，而在于它如何对待最弱势、最无助的普通劳动者的态度。
C．要加大对公共文化服务的投入，通过实用、高效的公共文化服务网络，实施重大文化工程等多种手段，向全社会提供更多免费或优惠的公共文化产品和服务。
2014年湖北省孝感市高三理科二模数学试卷
2014年湖北省孝感市高三理科二模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 复数12+32i2的共轭复数是 A. −12+32i B. 12−32i C. 12+32i D. −12−32i2. 已知正方形ABCD的边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，则∣a+b+c∣等于 A. 0B. 3C. 2D.3. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：加工零件x 个1020304050加工时间y 分钟6469758290经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是 A. 成正相关，其回归直线经过点30,75B. 成正相关，其回归直线经过点30,76C. 成负相关，其回归直线经过点30,76D. 成负相关，其回归直线经过点30,754. 已知随机变量ξ服从正态分布N3,σ2，若Pξ>6=0.3，则Pξ<0= A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.75. 一算法的程序框图如图所示，若输出的y=12，则输入的x可能为 A. −1B. 0C. 1D. 56. 已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则x+2y+3z的最大值是 A. 2B. 22C. 23D. 37. 函数y=sin x+π6+cos x+π3的最大值是 A. 2B. 1C.D. 328. 对于每个非零自然数n，抛物线y=x2−2n+1n+n x+1n+n与x轴交于A n，B n两点，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+⋯+A2014B2014的值是 A. 20142013B. 20132014C. 20152014D. 201420159. 已知集合M=1,2,3，N=1,2,3,4．定义映射f:M→N，则从中任取一个映射满足由点A 1,f1，B 2,f2，C 3,f3构成△ABC且AB=BC的概率为 A. 332B. 532C. 316D. 1410. 设双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OP=λOA+μOBλ,μ∈R，λμ=316，则该双曲线的离心率为 A. 322B. 355C. 233D. 98二、填空题（共6小题；共30分）11. 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果20 N的力能使弹簧伸长3 cm，则把弹簧从平衡位置拉长6 cm（在弹性限度内）时所做的功为．（单位：焦耳）12. 设x，y满足约束条件2x−y+2≥08x−y−4≤0,x≥0,y≥0，若目标函数z=abx+y a>0,b>0的最大值为8，则a+b的最小值为．13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，⋯．则在这个子数列中，由1开始的第29个数是，第2014个数是．15. 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．若△ABC的面积S=12AD⋅AE，则∠BAC=．16. 以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为ρsin θ−π3=6，圆C的参数方程为x=10cosθ,y=10sinθ（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知函数f x=3sin x cos x−12cos2x，x∈R．（1）求函数f x的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，又f A2+π3=45，b=2，△ABC的面积等于3，求边长a的值．18. 已知a n为等差数列，S n为其前n项和，且2S n=a n+2n2n∈N∗．（1）求a n，S n；（2）若a k，a2k−2，a2k+1k∈N是等比数列b n的前三项，设T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n b n，求T n．19. 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0∼10，分为五个级别，0∼2畅通；2∼4基本畅通；4∼6轻度拥堵；6∼8中度拥堵；8∼10严重拥堵．早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图所示．（1）这50个路段为中度拥堵的有多少个?（2）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少?（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．20. 如图①，在平面内，ABCD是∠BAD=60∘且AB=a的菱形，ADMA1和CDNC1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使M与N重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图②）．（1）求证：不管点E如何运动都有CE∥面ADD1；（2）当线段BE=32a时，求二面角E−AC−D1的大小．21. 已知曲线C1:x24+y24λ=1和曲线C2:x24λ+y24λ2=10<λ<1．曲线C2的左顶点恰为曲线C1的左焦点．（1）求λ的值；（2）设P x0,y0为曲线C2上一点，过点P作直线交曲线C1于A，C两点，直线OP交曲线C1于B，D两点，若P为AC中点．①求证：直线AC的方程为x0x+2y0y=2；②四边形ABCD的面积是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．22. 已知函数f x=a ln x−ax−3a∈R．（1）求函数f x的单调区间；（2）若函数y=f x的图象在点2,f2处的切线的倾斜角为45∘，对于任意的t∈1,2，函数g x=x3+x2 f′x+m2在区间t,3上总不是单调函数，求m的取值范围；（3）求证：ln22×ln33×ln44×⋅⋅⋅×ln nn<1nn≥2,n∈N∗．答案第一部分1. D 【解析】复数12+32i2=14−34+32i=−12+32i，其共轭复数是−12−32i．2. C 【解析】因为a+b=c，所以∣a+b+c∣=∣2c∣=2∣c∣=22．3. B 【解析】由表格数据知，加工时间随加工零件的个数的增加而增加，故两变量为正相关，又由x=1510+20+30+40+50=30，y=1564+69+75+82+90=76，故回归直线过样本中心点30,76．4. A 【解析】随机变量ξ服从正态分布N3,σ2，所以曲线关于x=3对称，所以Pξ<0=Pξ>6=0.3．5. B【解析】由程序框图知：当x≤2时，则y=sinπ6−x =12，x∈Z，得x=0；当x>2时，y=2x>4≠12．6. C 【解析】因为x，y，z是正数，所以1+2+3x+y+z≥x+2y+3z 2，因为x+y+z=2，所以x++3z≤6⋅2=23，所以x++3z的最大值是23．7. B 【解析】y=sin x cosπ6+cos x sinπ6+cos x cosπ3−sin x sinπ3 =32sin x+12cos x+12cos x−32sin x=cos x,因为−1≤cos x≤1，所以函数y的最大值是1．8. D 【解析】抛物线y=x2−2n+1n2+n x+1n2+n与x轴交点，就是方程x2−2n+1n2+n x+1n2+n= x−1nx−1n+1=0的两个解，因为抛物线y=x2−2n+1n2+n x+1n2+n与x轴交于A n，B n两点，所以x1=A n=1n ，x2=B n=1n+1，所以A n B n=1n n+1=1n−1n+1，所以A 1B 1+A 2B 2+⋯+A 2014B 2014= 1−12 + 12−13 +⋯+ 12014−12015=1−1=20142015.9. C【解析】因为集合 M = 1,2,3 ，N = 1,2,3,4 ．所以映射 f :M →N 有 43=64 种，因为由点 A 1,f 1 ，B 2,f 2 ，C 3,f 3 构成 △ABC 且 AB =BC ，所以 f 1 =f 3 ≠f 2 ， 因为 f 1 =f 3 有四种选择，f 2 有 3 种选择，所以从中任取一个映射满足由点 A 1,f 1 ，B 2,f 2 ，C 3,f 3 构成 △ABC 且 AB =BC 的事件有 4×3=12 种，所以任取一个映射满足由点 A 1,f 1 ，B 2,f 2 ，C 3,f 3 构成 △ABC 且 AB =BC 的概率为1264=316．10. C【解析】双曲线的渐近线为：y =±ba x ，设焦点 F c ,0 ，则 A c ,bca ，B c ,−bca ，P c ,b 2a ， 因为 OP=λOA +μOB ， 所以 c ,b 2a = λ+μ c , λ−μ bca ， 所以 λ+μ=1，λ−μ=bc ，解得 λ=c +b 2c ，μ=c−b 2c，又由 λμ=316得c +b 2c×c−b2c=316，结合 a 2+b 2=c 2 解得a 2c =34，所以 e =ca =2 33．第二部分 11. 1.2【解析】设拉伸弹簧所用的力为 f x ，弹簧伸长的长度为 x m ，f x =kx ． 由 F =20 N ，x =0.03 m ， 即 20=0.03k ，k =20003，则 f x =20003x ，则把弹簧从平衡位置拉长 6 cm （在弹性限度内）时所做的功为：∫00.0620003x d x =10003x 2∣∣00.06=1.2．12. 4【解析】满足约束条件 2x −y +2≥08x −y −4≤0x ≥0,y ≥0的区域是一个四边形， 如下图 4 个顶点是 0,0 ， 0,2 ， 12,0 ， 1,4 ， 由图易得目标函数在 1,4 取最大值 8，即8=ab+4，所以ab=4,所以a+b≥2ab=4,在a=b=2时是等号成立，所以a+b的最小值为4．13. 12+π【解析】该几何体是一个长方体和一个圆柱的组合体．由三视图可知长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面半径为1，高为1，故该组合体的体积为V=4×3×1+π×1×1=12+π．14. 50，3965【解析】记该数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，⋯为a n，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，⋯可知：第一组的最后一个数依次为：1，4，9，16，25，⋯归纳得到，每一组的最后一个数依次为：12，22，32，42，⋯，n2，⋯即第n个组最后一个数为n2，利用1+2+3+⋯+n=29或1+2+3+⋯+n≈29，n∈N∗得到：1+2+3+4+5+6+7+1=29，所以a1，a2，a3，a4，⋯，a29按上述分组共有8组，a29是第8组的第一个数，因为第七组最后一个数为72=49，由组间的差为1，得：a29=49+1=50，由于1+2+3+⋯+61+62+61=2014，所以a2014位于第63组，倒数第三个，因为第63组最后一个数为632=3969，由组内的差为2，得：a2014=3969−4=3965．15. 90∘【解析】因为△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E，所以∠BAE=∠CAD，因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD，所以△ABE∽△ADC，所以ABAE =ADAC，即AB⋅AC=AD⋅AE，因为S=12AB⋅AC⋅sin∠BAC，且S=12AD⋅AE，所以AB⋅AC⋅sin∠BAC=AB⋅AC，所以sin∠BAC=1，又因为∠BAC是三角形内角，所以∠BAC=90∘．16. 16【解析】因为直线l的极坐标方程为ρsin θ−π3=6，所以ρsinθcosπ3−ρcosθsinπ3=6，化为普通方程是12y−32x=6，即3x−y+12=0；又因为圆C的参数方程为x=10cosθ,y=10sinθ（θ为参数），化为普通方程是x2+y2=100；所以圆心到直线的距离是d=3+−12=6，又圆的半径是r=10，所以直线l被圆C截得的弦长为AB=22−d2=2×8=16．第三部分17. （1）f x=32sin2x−12cos2x=sin2x−π6，因为ω=2，所以f x的最小正周期为π；因为2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，则函数的增区间为kπ−π6,kπ+π3，k∈Z；（2）因为f A2+π3=45，A∈0,π，所以cos A=45，sin A=35，因为S=12bc sin A=3，b=2，sin A=35，所以c=5，由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A=4+25−2×2×5×45=13，所以a=13．18. （1）因为a n为等差数列，且2S n=a n+2n2n∈N∗，设公差为d，当n=1时，2S1=2a1=a1+2，解得a1=2，当n=2时，22+a2=a2+2×4，解得 a 2=4，所以 d =a 2−a 1=4−2=2， 所以 a n =2+2 n −1 =2n ， S n =n 2+2n2=n n +1 ．（2） 因为 a k ，a 2k−2，a 2k +1 k ∈N 是等比数列 b n 的前三项，所以 a 2k−22=a k ⋅a 2k +1，所以 4 2k −2 2=2k ⋅2 2k +1 ， 整理，得 2k 2−9k +4=0， 解得 k =4 或 k =12（舍）， 所以 a 4，a 6，a 9 成等比数列， 且 q =a 6a 4=32．所以 b n =b 1⋅q n−1=8 32n−1， 所以 a n b n =2n ⋅8 32 n−1=323n ⋅ 32 n，因为 T n =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n ，所以 T n =3231×32+2× 32 2+3× 32 3+⋯+n ⋅ 32 n, ⋯⋯①3T n =32 1× 3 2+2× 3 3+3× 3 4+⋯+n ⋅ 3 n +1 , ⋯⋯② ①−②，得−1T n =32 3+ 3 2+ 3 3+⋯+ 3 n −n ⋅ 3 n +1 =323× 321− 32 n1−32−n ⋅ 32n +1=−32−16 n −2 ⋅ 32n,所以 T n =64+32 n −2 ⋅ 32 n． 19. （1） 0.2+0.16 ×1×50=18， 这 50 路段为中度拥堵的有 18 个．（2） 设事件 A “一个路段严重拥堵”，则 P A =0.1，事件 B “至少一个路段严重拥堵”，则 = 1−P A 3=0.729， P B =1−P B =0.271．所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是 0.271．（3） 设此人所用时间为 X 分钟，X 分布列如下表：X 30364260P 0.10.440.360.1E X=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96，此人经过该路段所用时间的数学期望是 39.96 分钟．20. （1）因为CC1∥DD1，BC∥AD，所以面BCC1∥面ADD1，又因为CE⊂面BCC1，所以不管点E如何运动都有CE∥面ADD1．（2）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别在x，y轴，建立空间直角坐标系如图所示，由题意知A32a,0,0，C −32a,0,0，D10,−a2,a ，E0,a2,32a ，所以AD1= −32a,−a2,a ，AC= −3a,0,0，设平面D1AC的法向量为n1=x1,y1,1，则n1⋅AD1=0，n1⋅AC=0，所以−32ax1−a2y1+a=0,−3ax1=0,所以n1=0,2,1，又因为EA=32a,−a2,−3a2，EC= −32a,−a2,−3a2，设平面EAC的法向量n2=x2,y2,−1，则n2⋅EA=0，n2⋅EC=0，所以32ax2−12ay2−32az2=0,−32ax2−12ay2−32az2=0,所以n2=0,3,−1，设二面角E−AC−D1的大小为θ，则cosθ=5⋅10=22，所以θ=45∘，所以二面角E−AC−D1的大小为45∘．21. （1）因为曲线C2的左顶点恰为曲线C1的左焦点，所以=所以λ=12；（2）①由题意，B 2x0,2y0，D −2x0,−2y0，所以k OP⋅k AC=−4λ4=−12，第11页（共11页） 所以 k AC =−x 02y 0，所以 AC 的方程为 y −y 0=−x 02y 0 x −x 0 ，即 x 0x +2y 0y =2， y 0=0 时，x 0=± 2 满足 x 0x +2y 0y =2；②AC 的方程与椭圆方程联立，可得 1+x 022y 02 x 2−2x 0y 02x +2y 02−4=0， 即 2x 2−4x 0x +4−8y 2=0，所以 ∣AC∣= 1+x 04y 02∣x A −x C ∣= 1+x 04y 02 8y 02， B ，D 到直线 AC 的距离 d 1= 2− x 0+4y 0，d 2= 2+2 x 0+4y 0， 所以 S =12∣AC∣ d 1+d 2 =12 1+x 04y 02 8y 02⋅ 2− x 0+4y 0 2+2 x 0+4y 0 =4，当 y 0=0 时，ABCD 的面积也为 4，所以四边形 ABCD 的面积为定值 4．22. （1） 由 f ′ x =a 1−xx x >0 ，1 当 a >0 时，显然 0<x <1 时，f ′ x >0；当 x >1 时，f ′ x <0，所以此时 f x 的单调增区间为 0,1 ，减区间为 1,+∞ ；2 当 a <0 时，f x 的单调增区间为 1,+∞ ，减区间为 0,1 ；3 当 a =0 时，f x =−3 不是单调函数．（2） 由题知 f ′ 2 =−a 2=1，得 a =−2，所以 f x =−2ln x +2x −3，所以 g x =x 3+ m 2+2 x 2−2x x >0 ，g ′ x =3x 2+ m +4 x −2．因为 Δ>0，所以 g ′ x 一定有两个不等的实根 x 1，x 2，又因为 x 1⋅x 2=−23<0．不妨设 x 1<0<x 2，由已知 0<x <x 2 时 g ′ x <0，x >x 2 时，g ′ x >0，即 g x 在 0,x 2 上递减，在 x 2,+∞ 上递增，依题意知 x 2∈ t ,3 ，于是只需gʹ 1 =m +5<0,gʹ 2 =2m +18<0,gʹ 3 =3m +37>0.得 −373<m <−9．（3） 由（1）知当 a =−1 时，f x =−ln x +x −3 在 1,+∞ 上递增，所以 f x =−ln x +x −3>f 1 =−2⇔ln x <x −1 x >1 ，在上式中分别令 x =2，3，4，⋯，n 得 ln2<1，ln3<2，ln4<3，⋯，ln n <n −1， n ≥2 ，以上不等式相乘得 ln2×ln3×ln4×⋯×ln n <1×2×3×⋯× n −1 n ≥2 ，两边同除以 n !，得ln 22×ln 33×ln 44×⋯×ln n n <1n n ≥2,n ∈N ∗ ，即证．。
2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一测试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）i - （D ）i 【答案】A【分析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ）（A ）2 （B ）54 （C ）1 （D ）2 【答案】D【分析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得2a =，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题． （3）【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅I ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依题意，若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅I ；若A B =∅I ，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】本题考查集合和集合的关系，充分条件和必要条件判断，容易题． （4）【2014年湖北，理4，5x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为ˆy=（A ）0a >，0b > （B ）0a >，0b < （C ）0a <，0b > （D ）0a <，0b < 【答案】B【分析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． 【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 和a 的符号，容易题． （5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和② 【答案】D【分析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④和俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图和俯视图，容易题． （6）【2014年湖北，理6，5分】若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【分析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）（A ）18（B ）14 （C ）34 （D ）78【答案】D【分析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题． （8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 和高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）3 （D ）2【答案】B【分析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为23，故选B ． 【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等． （10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）（A ）11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a x x a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得66a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题） （11）【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =r ，()1,1b =-r ，若()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实数λ= ．【答案】3±【分析】因为()3,3a b λλλ+=+-r r ，()3,3a b λλλ+=++r r ，因为()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题． （12）【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】2【分析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 452a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． 【点评】本题考查直线和圆相交，点到直线的距离公式，容易题． （13）【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ． 【答案】495【分析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题． （14）【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，若经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线和x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．（1）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数；（2）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）x （2）x （或填（1）1k x （2）2k x ，其中12,k k 为正常数均可）【分析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】本题考查两个数的几何平均数和调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O e 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O e 于,C D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = _______． 【答案】4【分析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． 【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系和参数方程）已知曲线1C 的参数方程是3x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 和2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()3,1【分析】由3x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 和2C 的交点坐标为()3,1．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程和平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为31()102(cos sin )102sin()12212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃． （2）依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． （18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=， 解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．（1）当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存 在，说明理由．解：解法一：（1）如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． （2）如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =I ， 故GOH ∠是面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=o ，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()2GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)2OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得21λ=±，故存在21λ=±，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -u u u r ，(1,0,)FP λ-u u u r ，(1,1,0)FE u u u r．（1）当1λ=时，(1,0,1)FP =-u u u r ，因为1(2,0,2)BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．（2）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-， 同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二 面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得21λ=． 故存在21λ=，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角． （20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水和库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万 元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>== 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．（2）安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：Y4200 10000 P0.2 0.8 所以，()E Y =（3）安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==， 由此得Y Y3400 9200 15000 P0.2 0.7 0.1 所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 和轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+，年入流量X 40<X<80 40≤X ≤80X>120 发电机最多可运行台数 1 2 3故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =和轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 和x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 和1C 没有公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点． （ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 和1C只有一个公共点，和2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点．（ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点． 综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点．（22）【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．（1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数和最小数；（3）将33,3,,,3,ee e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞． （2）因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π和3π之中，最小数在3e 和3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3e e<，得3ln3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．（3）由（2）知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由（2）知，ln ln eeππ<，得e e ππ<故只需比较3e 和e π和e π 和3π的大小，由（1）知，当0x e <<时，1()()f x f e e<=，即ln 1x x e<， 在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333e e e e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。
理综卷·2014届湖北省孝感市高三年级第二次统一考试(2014.03)word版
孝感市２０１３—２０１４学年度高中三年级第二次统一考试理科综合能力测试本试卷共１４页。
满分３００分，考试时间１５０分钟。
★祝考试顺利★注意事项：１ 答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试题卷和答题卡上．２ 考生答题时，选择题请用２Ｂ铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按 照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．３ 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：Ｈ １ Ｃ １２ Ｏ １６ Ｎａ ２３ Ｓ ３２ Ｋ ３９ Ｔｉ ４８ Ｃｒ ５２ Ｍｎ ５５ Ｆｅ ５６ Ｂａ １３７选择题（共２１小题，每小题６分，共１２６分。
）一、选择题（本题共１３小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）7．科技、生产、生活、社会中处处有化学，下列叙述不正确的是A ．汽车尾气、工业排放、建筑扬尘、垃圾焚烧等都是造成雾霾天气的主要原因B ．用于制作航空母舰上拦阻索的钢材是一种合金C ．硅可以制成光电池，能将光能直接转化为化学能D ．加入适量明矾晶体可使浑浊的水变澄清8．从樟科植物枝叶提取的精油中含有一种有机物：，则对该有机物的说法正确的是A ．能分别溶于水和CCl 4B ．分子中所有原子在同一平面内C ．能使溴水、酸性高锰酸钾溶液褪色D ．能发生硝化反应、酯化反应、水解反应9．设N A 代表阿伏加德罗常数的数值，则下列说法正确的是A ．1.8 g D 2O 含有N A 个中子B ．用5 mL 3 mol/L FeCl 3溶液制成的氢氧化铁胶体中所含胶粒数为0.015 N AC ．在Na 2O 2与CO 2的反应中，每转移N A 个电子时，消耗22.4 L 的CO 2D ．25℃时，7 g C 2H 4和C 3H 6的混合气体中，含有N A 个C －H 键10．下列图示与对应叙述相符的是－CH=CH －CH 2OHA ．图①表示向20 mL 0.1 mol/L 氨水中逐滴加入0.1 mol/L 醋酸，溶液导电性随加入酸体积的变化B ．图②表示压强对可逆反应A(g)+2B(g)3C(g)+D(s)的影响，乙的压强比甲的压强大C ．图③中曲线表示反应3A(g) + B(g)2C （g ）△H<0，正、逆反应的平衡常数K 随温度的变化D ．据图④，若要除去CuSO 4溶液中的Fe 3+，可加入NaOH 溶液至pH 在4左右11．短周期元素X 、Y 、Z 、W 的原子序数依次增大，其中Y 、Z 原子的核外电子数之和与X 、W 原子的核外电子数之和相等，Z 单质可以用来冶炼其它熔点较高的金属，X 和W 间可形成一种能产生酸雨的化合物，则下列说法不正确的是A ．原子半径从大到小顺序为：W>Z>Y>XB ．X 与Y 可形成既含离子键又含非极性共价键的化合物C ．X 、W 分别形成简单的氢化物中，前者的沸点高D ．X 形成单核阴离子的核外电子数与Y 、Z 、W 原子的核外内层电子数相同12．分子式为C 5H 10N 2O 3的二肽在酸性条件下可水解为氨基酸（不考虑H 2N-COOH 和立体异构），这些氨 基酸重新组合可形成的二肽共有A ．3种B ．6种C ．9种D ．12种 13．气体的自动化检测中常常应用原电池原理的传感器。
2014年高考数学湖北卷试题及解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. C. i - D. i【答案】C【解析】试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选C 。
【点评】本题考查复数的运算，容易题。
2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42答案】D【解析】试题分析：因为r r r r rrr x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得42=a ，故选D 。
【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题。
3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：依题意，若C A ⊆，则A C C C U U ⊆，当C C B U ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不能推出C C B U ⊆，故选A 。
【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题。
得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a 【答案】B【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选B 。
【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题。
5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D【解析】试题分析：在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D 。
2014年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A.1- B. 1 C. i - D. i 2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A I ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 根据如下样本数据x 3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5. 在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6. 若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37. 由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.87 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。
2014年高考试题理科数学真题及答案(新课标II)Word版解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D 【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。
所以选D.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】A 【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211A z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b 满足|a+b|a-b|=，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。
为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】A【解析】.,8.0,75.06.0,Appp故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727 B.59 C.1027D.13【答案】C【解析】..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321Cvv故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 D【解析】8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B 【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.334B.938 C. 6332 D. 94【答案】 D【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.30D.2【答案】 C 【解析】..10305641-0θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。
2014年湖北高考数学理精校word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知命题P ：,0,≤∈∃x e R x 则⌝P 为( )A ．0,≤∈∀x e R xB ．0,>∈∀x e R xC ．0,>∈∃x e R xD ．0,≥∈∃x e R x2．在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝ （ ）A ．12B ．14C ．16D ．183．已知31tan(),tan(),tan()5646ππαβαβ+=-=+那么=( )A ．16B ．723C ．1318D ．13224、函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为 ( )A （2，3）B (3,)+∞C （1，2）D （0，1）5. 下列命题中，错误．．的是 ( )（A ）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 （B ）平行于同一平面的两个不同平面平行（C ）如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（D ）若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线6.已知向量,，满足6))(2(-=-+，21==，则与的夹角为（ ） A. 4πB.3π C.6π D.23π 7．函数22cos y x =的一个单调增区间是 （ ）A ． ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭， 8.数列}{n a 中，),()1(2,211*+∈++==N n n n a a a n n 则=10a ( ) A.3.4 B.3.6 C.3.8 D.49．在20,ABC AB BC AB ABC ∆⋅+=∆中，若则是 ( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D . 等腰直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 10．求(1)(12)1i i i-++= 。
湖北省孝感市2014届高三第二次统一考试理综试题 Word版含答案-推荐下载
３．某基因
含有３０００个碱基，腺嘌呤占３５％。若该ＤＮＡ分子以１５Ｎ同位
素标记的游离脱氧核苷酸为原料复制３次，再将全部复制产物置于试管内离心，进行密度 分层，得到结果如图①；然后加入解旋酶再离心，得到结果如图②。则下列有关分析正确 的是
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
a x 7 6 77 绝密★启用前2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共 5 页，22 题。
全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：★祝考试顺利★1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1－i 21．[2014·湖北卷] i 为虚数单位， 1＋i ＝()A ．－ 1 C ．－i D ．i1－i 2 －2i1．A [解析] 1＋i ＝ ＝－1.故选 A.2i2x ＋a 7 12．[2014·湖北卷] 若二项式x 的展开式中 的系数是 84，则实数 a ＝( ) x 3A ．2 5 B. 4C ．1 D. 241 5 1 2．C [解析] 展开式中含 C 522a 5＝84，解得 a ＝1.故选 C.的项是 T ＝C 5(2x )2 x 3 ＝C 522a 5x －3，故含 的项的系数是 x 33． [2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ”是 “A ∩B ＝∅”的()y y A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 若存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ，则可以推出 A ∩B ＝∅；若 A ∩B ＝∅， 由维思图可知，一定存在 C ＝A ，满足 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ，故“存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ” 是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选 C.4．[2014·得到的回归方程为＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <04．B [解析] 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线^＝bx ＋a 的斜率 b <0，截距 a >0.故a>0，b <0.故选 B.5．[2014·湖北卷] 在如图 1-1 所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图， 则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图 1-1A ．①和②B ．①和③C ．③和②D ．④和②5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝 角三角形，故俯视图是②. 故选 D.－ 1－x 26．[2014·湖北卷] 若函数 f (x )，g (x )满足 错误!f(x)g(x)d x ＝0，则称 f(x)，g(x)为区间[－1， 1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝ sin 1，g(x)＝ 2cos 1 2 ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 6． C [ 解析] 由题意， 要满足 f(x) ， g(x) 是区间[ － 1 ， 1] 上的正交函数， 即需满足 错误!f(x)g(x)d x ＝0.①错误!f(x)g(x)d x ＝错误!sin 1 2 1x cos 2x d x ＝1 错误!sin x d x ＝ 2－1cos x 2 11＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②错误!f(x)g(x)d x ＝错误!(x ＋1)(x －1)d x ＝ 上的正交函数；x 3－x 1 －1＝－4≠0，故第②组不是区间[－1，1] 3③错误!f(x)g(x)d x ＝错误!x ·x 2d x ＝x 41 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 4综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是 2. 故选 C .x ≤0，7．[2014·湖北卷] 由不等式组 y ≥0，y －x －2≤0x ＋y ≤1，确定的平面区域记为Ω1，不等式组确x ＋y ≥－2定的平面区域记为Ω2，在Ω1 中随机取一点，则该点恰好在Ω2 内的概率为()A.1 8B.1 4C.3 4 D.7 87．D [解析] 作出Ω1，Ω2 表示的平面区域如图所示，S 1＝S 1 AOB ＝ ×2×2＝2，S 1 1 1 BCE ＝ ×1× ＝ ，则 S AOEC ＝S Ω1－S BCE ＝2－1＝7.故由Ω △ △2 2 4 7四边形 几何概型得，所求的概率 P ＝S 四边形 AOEC ＝4＝7.故选 D.S Ω1 2 88．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又 以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积 V 的近似公式 V ≈ 1L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么，近似公式 V ≈363 x △4 43 e 2 Sh e 2L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) 75A.22 7B.25 8C.15750 D.355 1138．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为 r ，底面积为 S ，则 L ＝2πr ，由题意得 1 L 2h ≈1，代入 S ＝πr 2 化简得π≈3；类比推理，若 V ＝ 2 L 2h ，则π≈25.故选 B.36 375 89．、[2014·湖北卷] 已知 F 1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )3 A.4 3 3 B.2 3 3C ．3D ．29．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为 a 1，双曲线的实半轴长为 a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得 r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝ 2a 2，平方得 4a 2＝r 2＋r 2＋2r 1r 2，4a 2＝r 2－2r 1r 2＋r 2.又由余弦定理得 4c 2＝r 2＋r 2－r 1r 2，消去 r 1r 2，1 12 得 a 2＋3a 2＝4c 2，2 1 2 1 2121 3 1 12 1 ＋ 1 × 21 ＋ 3 1＋1 16 即 ＋ ＝4.所以由柯西不等式得 e 1e2 ＝ e 13 ≤ e 2 e 23 ＝ .2 21 22 3 所以1 ＋ 1 ≤4 3.故选 A.e 1 e 2 310．[2014·湖北卷] 已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )＝1(|x －a 2|＋|x2 －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为( )－1，1 － 6， 6 －1，1 － 3， 3 A. 6 6 B. 6 6 C. 3 3 D. 3 310．B [解析] 因为当 x ≥0 时，f (x )＝1(|x －a 2|＋x －2a 2|－3a 2)，所以当 0≤x ≤a 2 时，f (x )21(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2) 2＝－x ； 当 a 2<x <2a 2 时， f (x ) 1(x －a 2＋2a 2－x －3a 2) 2 ＝ 2 当 x ≥2a 2 时， ＝－a ； f (x ) 1(x －a 2＋x －2a 2－3a 2) 2 ＝ ＝x －3a . 2－x ，0≤x ≤a 2，综上，f (x ) －a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x )在 R 上的大致图象如下，e ＝观察图象可知，要使∀x∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足 2a 2－(－4a 2)≤1，解得－ 6≤a ≤ 6.6 6故选 B.11．[2014·湖北卷] 设向量 a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝ ． 11．±3 [解析] 因为 a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )， 所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线 l 1：y ＝x ＋a 和 l 2：y ＝x ＋b 将单位圆 C ：x 2＋y 2＝1 分成长度相等的四段弧，则 a 2＋b 2＝ .12．2 [解析] 依题意得，圆心 O 到两直线 l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的1，即|a | ＝ |b | ＝1×sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故 a 2＋b 2＝2.4 2 2图 1-213．[2014·湖北卷] 设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数．将组成 a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I (a )，按从大到小排成的三位数记为 D (a )(例如 a ＝815， 则 I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图 1-2 所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a ， 输出的结果 b ＝ ．13．495 [解析] 取 a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693； 由 a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由 a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495；ab－a ab－b＝，由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.14．、[2014·湖北卷]设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x 轴的交点为(c，0)，则称c 为a，b 关于函数f(x)的平均数，记为M f(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得M f(a，b)＝c＝a＋b，即M f(a，b)为a，b2的算术平均数．(1)当f(x)＝(x>0)时，M f(a，b)为a，b 的几何平均数；(2)当f(x)＝(x>0)时，M f(a，b)为a，b 的调和平均数2ab.a＋b(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1) x (2)x(或填(1)k1 x；(2)k2x，其中k1，k2 为正常数)[解析] 设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c＝ab，则0－f（a）0＋f（b）c－a0－f（a）0＋f（b）＝，c－b即＝.因为a>0，b>0，所以化简得f（a）af（b），故可以选择f(x)＝x(x>0)；b(2)依题意，c＝2ab，则0－f（a）0＋f（b）f（a），因为a>0，b>0，所以化简得f（b）a＋b 2ab －a2ab －b a b故可以选择f(x)＝x(x>0)．a＋b a＋b15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲)如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A，B，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C，D 两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝．图1-315．4 [解析] 由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)＝t，已知曲线C13(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是ρ＝2，则C1 与C2 交点的直角坐标为．＝＝3 （x ≥0）， ＝ 3，3 2＋y 2＝4，＝1. 故曲线 C 1 与 C 2 的交点坐标为( ，1).17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－ 3 π － π，t ∈[0，24)．cos t 12 sin t12(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于 11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为 f (t )＝10－π cos t ＋ 12 1sin 2 10－π π π 7π 又 0≤t <24，所以 ≤ t ＋ < 3 ，－1≤3 1.当 t ＝2 时，1；当 t ＝14 时， 1.于是 f (t )在[0，24)上取得的最大值是 12，最小值是 8.故实验室这一天的最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃. (2)依题意，当 f (t )>11 时，实验室需要降温．由(1)得 f (t )＝10－故有 10－，1 即 － .2 又 0≤t <24，因此7ππ ＋π11π即 10<t <18.< t < ， 6 12 3 6故在 10 时至 18 时实验室需要降温．18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且 a 1，a 2，a 5 成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，是否存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n}的公差为d，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得 d 2－4d ＝0，解得 d ＝0 或 d ＝4. 当 d ＝0 时，a n ＝2；当 d ＝4 时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为 a n ＝2 或 a n ＝4n －2. (2)当 a n ＝2 时，S n ＝2n ，显然 2n <60n ＋800， 此时不存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800 成立． 当 a n ＝4n －2 时，S n ＝n [2＋（4n －2）]＝2n 2.2令 2n 2>60n ＋800，即 n 2－30n －400>0， 解得 n >40 或 n <－10(舍去)，此时存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800 成立，n 的最小值为 41. 综上，当 a n ＝2 时，不存在满足题意的正整数 n ；当 a n ＝4n －2 时，存在满足题意的正整数 n ，其最小值为 41.19．、、、[2014·湖北卷] 如图 1-4，在棱长为 2 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E ，F ，M ，N 分别是棱 AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1 的中点，点 P ，Q 分别在棱 DD 1，BB 1 上移动，且 DP ＝BQ ＝ λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1 时，证明：直线 BC 1∥平面 EFPQ .(2)是否存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值； 若不存在，说明理由．图 1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接 AD 1，由 ABCD A 1B 1C 1D 1 是正方体，知 BC 1∥AD 1.当λ＝1 时，P 是 DD 1 的中点，又 F 是 AD 的中点，所以 FP ∥AD 1，所以 BC 1∥FP . 而 FP ⊂平面 EFPQ ，且 BC 1⊄平面 EFPQ ，故直线 BC 1∥平面 EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接 BD .因为 E ，F 分别是 AB ，AD 的中点，所以 EF ∥BD ，且 EF ＝1BD .2又 DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形 PQBD 是平行四边形，故 PQ ∥BD ，且 PQ ＝BD ，从而 EF ∥PQ ，且 EF ＝1PQ .22 2 在 Rt △EBQ 和 Rt △FDP 中，因为 BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是 EQ ＝FP ＝ 1＋λ2，所以四边形 EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形 PQMN 也是等腰梯形．分别取 EF ，PQ ，MN 的中点为 H ，O ，G ，连接 OH ，OG ，则 GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而 GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°.连接 EM ，FN ，则由 EF ∥MN ，且 EF ＝MN 知四边形 EFNM 是平行四边形． 连接 GH ，因为 H ，G 是 EF ，MN 的中点，所以 GH ＝ME ＝2.2 2 1 在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－ 2 ＝λ2＋ ， 22 1 OG 2＝1＋(2－λ)2－ ＝(2－λ)2＋ ，2 由 OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2 1 λ2 1 4，解得λ＝1± 2， ＋ ＋ ＋ ＝ 2 2 2 故存在λ＝1± 2，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角．2方法二(向量方法)：以 D 为原点，射线 DA ，DC ，DD 1 分别为 x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得 B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③ →BC 1＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1 时，FP ＝(－1，0，1)， → 因为BC 1＝(－2，0，2)， 所以 → → BC 1＝2FP ，即 BC 1∥FP .而 FP ⊂平面 EFPQ ，且 BC 1⊄平面 EFPQ ，故直线 BC 1∥平面 EFPQ . ·n ＝0， x ＋y ＝0， (2)设平面 EFPQ 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z ) 于是可取 n ＝(λ，－λ，1)．→ FP ·n ＝0－x ＋λz ＝0. 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角， 则 m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1± 2 2.220．[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水年．入．流．量．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都 在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来 4 年中，至．多．有 1 年的年入流量超过 120 的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝10＝0.2，50 p 2＝P (80≤X ≤120)＝35＝0.7，50 p 3＝P (X >120)＝ 5 ＝0.1.50由二项分布得，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p ＝C 0(1－p )4＋C 1(1－p )3p ＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.4 3 4 3 3 (2)记水电站年总利润为 Y (单位：万元)．①安装 1 台发电机的情形．由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y ＝5000，E (Y ) ＝5000×1＝5000.②安装 2 台发电机的情形．依题意，当 40<X <80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝5000－800＝4200，因此 P (Y ＝4200) ＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当 X ≥80 时，两台发电机运行，此时 Y ＝5000×2＝10 000，因此 P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装 3 台发电机的情形．依题意，当 40<X <80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝5000－1600＝3400，因此 P (Y ＝3400) ＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当 80≤X ≤120 时，两台发电机运行，此时 Y ＝5000×2－800＝9200， 因此 P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当 X >120 时，三台发电机运行，此时 Y ＝5000×3 ＝15 000，因此 P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得 Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3400×0.2综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台．21．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F (1，0)的距离比它到 y 轴的距由②③解得－ 0<k < > 离多 1.记点 M 的轨迹为 C .(1)求轨迹 C 的方程；(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P (－2，1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1|x |＋1，化简整理得 y 2＝2(|x |＋x )．故点 M 的轨迹 C 的方程为y 2x ，x ≥0， ，x<0. (2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y 2＝4x ，C 2：y＝0(x <0)．依题意，可设直线 l 的方程为 y －1＝k (x ＋2)． －1＝k （x ＋2），由方程组2＝4x ， 可得 ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① 当 k ＝0 时，y ＝1.把 y ＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x ＝1. 故此时直线 l ：y ＝1 与轨迹 C当 k ≠0 时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x 0，0)，则由 y －1＝k (x ＋2)，令 y ＝0，得 x 0＝－2k ＋1.③k <0， (i)由②③解得 0<0，k <－1 或 k 1. 2 即当 k ∈(－∞，－1) l 与 C 1 没有公共点，与 C 2 有一个公共点．故此 时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点．(ii)＝0， 0<0， >0， 0≥0， 由②③解得 k 11 1≤k <0.2 即当 k l 与 C 1 只有一个公共点． －1，当 k ∈ 2 l 与 C 1 有两个公共点，与 C 2 没有公共点． 故当 k ∈ －1，2 1 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点． >0， (iii)1<k <－1或 1 0<0， 2 2 1即当 kl 与 C 1 有两个公共点，与 C 2 有一个公共点， 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点． 综上可知，当 k ∈(－∞，－1){0}时，直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点； 当 k ∈ －1，2 1 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当 k ∈1时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．.e π 22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝ln x 的单调区间； x (2)求 e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3 这 6 个数中的最大数与最小数； (3)将 e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 22．解：(1)函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为 f (x )＝ln x ，所以 f ′(x ) 1－ln x . ＝ x x 2 当 f ′(x )>0，即 0<x <e 时，函数 f (x )单调递增； 当 f ′(x )<0，即 x >e 时，函数 f (x )单调递减． 故函数 f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． (2)因为 e<3<π，所以 eln 3<eln π，πln e<πln 3，即 ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数 y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π. 故这 6 个数的最大数在π3 与 3π之中，最小数在 3e 与 e 3 之中． 由 e<3<π及(1)的结论，得 f (π)<f (3)<f (e)，即ln π π ln 3 3 ln e < . e ln π ln 3 3 π π 3 由 < ，得 ln π <ln3 π 3 ，所以 3 >π ； 由ln 3 ln e e 3 e 3 < ，得 ln 3 <ln e ，所以 3 <e . 3 e 综上，6 个数中的最大数是 3π，最小数是 3e . (3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3. 又由(2)知，ln π π ln e < ，得π <e . e 故只需比较 e 3 与πe 和 e π与π3 的大小．由(1)知，当 0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1， e ln x 1 即 < . x e 在上式中，令 x ＝ e 2 ，又e 2 <e ，则 ln e 2 < e ，从而 2－ln π< e ，即得 ln π>2－ e .①ππ π π 由①得，eln π×(2－0.88)＝3.024>3， 即 eln π>3，亦即 ln πe >ln e 3，所以 e 3<πe . 又由①得，3ln π>6－3e >6－e>π，即 3ln π>π，π所以 e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这 6 个数从小到大的顺序为 3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π. <。
湖北八校二次2014届联考数学(理科)试题
鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳五中 襄阳四中2014届高三第二次联考数 学（理工类）命题学校：孝感高中 命题人：彭西骏 韩松桥 审题人：徐新斌 黄 鹏 考试时间：2014年3月20日下午15：00—17：00本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
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5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z 满足i z i 21)1(+=+(其中i 是虚数单位)，则z 对应的点位于复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合AB 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为A ．{0}B ．{03}，C ．{13,4}，D ．{013,4}，， 3．下列说法正确的是A ．“a b >”是“22a b >”的必要条件B ．自然数的平方大于0C ．“若a b ，都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为真D ．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数4．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．48cm 3B ．98cm 3C ．88cm 3D ．78cm 35．把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为A ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B ．sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ C ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D ．1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭6．已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且4=MN ，则此双曲线的离心率为A ．5B ．355C ．533D ．57．把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式2F=k qr（其中k 为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从a r =处移动到a r 2=处，与从a r 2=处移动到a r 3=处，电场力对它所做的功之比为 A ．23 B ．13 C ．32D ．38．如图，在半径为R 的圆C 中，已知弦AB 的长为5，则AB AC =A ．52B ．252 C ．52R D ．252R 9．将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛掷向上的点数之和为12的概率为 A ．185 B ． 91 C ．183D ．72110．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，下列说法错误的是A ．[)3,4m ∈B ．)40,abcd e ⎡∈⎣C ．562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭D ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 取值唯一二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一） 必考题（11—14题）11．记集合{}22(,)|4A x y x y =+≤和集合{}(,)|20,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为1Ω和2Ω，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为 .湖北省八校BAC第8题图第4题图第15题图 第21题图第19题图12．已知正数x, y, z 满足x+2y+3z=1, 则xz z y y x +++++3932421的最小值为 ．13．定义某种运算⊗，b a S ⊗=的运算原理如右图所示．设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f ______；()f x 在区间[]3,3-上的最小值为______．14．数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：11位的回文数总共有 个．(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD//AC ． 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ， AD 与BC 交于点F ．若AB = AC ，AE = 35， BD = 4，则线段CF 的长为______．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线 54532:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x C （t 为参数）和曲线θθρcos 2sin :22=C 相交于A B 、两点，设线段AB 的中点为M ，则点M 的直角坐标为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量22cos ,3m x =（），1,sin 2n x =（），函数()f x m n =⋅．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角,,A B C 的对边，且()3,1f C c ==，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且113n n S a +=)(*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-)(*∈N n ，12231111n n n T bb b b b b +=+++，求使10072016n T ≥成立的最小的正整数n 的值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥C P A B -中，,,AB BC PB BC ⊥⊥5,PA PB ==64,AB BC ==，点M 是PC 的中点，点N 在线段AB 上,且MN AB ⊥． （Ⅰ）求AN 的长；（Ⅱ）求二面角M NC A --的余弦值．20．（本小题满分12分） 甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．甲地区：乙地区：（Ⅰ）计算x ，y 的值；（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望；（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．21．（本小题满分13分）如图所示，已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点)0,1(F ,C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M （4,0）的直线l 与抛物线C 2分别相交于A 、B 两点. （Ⅰ）写出抛物线C 2的标准方程； （Ⅱ）求证：以AB 为直径的圆过原点； （Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值．22．（本小题满分14分）已知函数)1,0(,2)1ln()(2≠≥+-+=k k x k x x x f 且． （Ⅰ）当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调减区间；（Ⅲ）当0=k 时，设)(x f 在区间)](,0[*N n n ∈上的最小值为n b ，令n n b n a -+=)1ln(，求证：)(,112*2421231423121N n a a a a a a a a a a a a a n nn ∈-+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++-．？？湖北八校2014届高三第二次联考参考答案 数学（理工类） 一、选择题A D DBC BD B A D二、填空题：11,π21; 12, 18 ; 13, 3- 12- ; 14, 900000 ； 15, 553 ; 16, ），（431641 . 三、解答题：17.（1）22()(2cos ,3)(1,sin 2)2cos 3sin 2f x m n x x x x =⋅=⋅=+cos 213sin 22sin(2)16x x x π=++=++. (3)分故最小正周期22T ππ== (5)分(2）31)62sin(2)(=++=πC C f ，1)62sin(=+∴πC ，C 是三角形内角，∴262ππ=+C 即：.6π=C (7)分232cos 222=-+=∴ab c a b C 即：722=+b a ． ……………………9分 将32=ab 代入可得：71222=+aa ，解之得：32=a 或4,23或=∴a ，32或=∴b (11)分3,2,==∴>b a b a (12)分18.（1） 当1n =时，11a s =，由11113134S a a +=⇒=， ……………………1分当2n ≥时，11111113()01313n n n n n n n n S a S S a a S a ----⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩114n n a a -⇒=∴{}n a 是以34为首项，14为公比的等比数列． ……………………4分故1311()3()444n n n a -== )(*∈N n …………………6分 （2）由（1）知111111()34n n n S a +++-==，14141log (1)log ()(1)4n n n b S n ++=-==-+ ………………8分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ nT =1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++1110072014222016n n -≥⇒≥+， 故使10072016n T ≥成立的最小的正整数n 的值2014n =. ………………12分19.解：（1）方法一、如图，分别取AB 、AC 的中点O 、Q,连接OP 、OQ ，设AN a =以O 为坐标原点，OP 为x 轴，OA 为y 轴，OQ 为z 轴建立空间直角坐标系，则3(400),(0,34),(2,2),(0)2P C M N a -，，，，-，3-,0 设0(00)N x ，，，则9(00),(),2AB MN a ==，-6，-2，-，-2 由MN AB ⊥得()990,6200=22AB MN a a a ⎛⎫=+--⨯⇒ ⎪⎝⎭即-2- 所以29=AN …………………6分方法二：如图，取AB 的中点为O ，PB 的中点为Q ，连接MQ 、NQ ， M 、Q 分别为PB 、PC 的中点∴MQ BC 又 AB BC ⊥ ∴AB MQ ⊥ 又 MN AB ⊥∴AB MNQ ⊥平面 AB NQ ⊥，又 PA PB =且O 为AB 的中点 ∴OP AB ⊥ ∴NQ OP 又 Q 为AB 中点 ∴N 为OB 中点∴113242BN OB AB ===∴92AN =………………6分 （2） 3(2),(0.),2MN NC =-=-，0，-2，4设平面MNC 的一个法向量为()1000,,n x y z =，则0000220034002x z m MN y z m NC --=⎧⎧∙=⎪⎪⇒⎨⎨-+=∙=⎪⎪⎩⎩令03z =，则003,y 8x =-=，即()13,8,3n =- ………………9 分平面ANC 的一个法向量为()20,0,1n =，则121212382cos ,82n n n n n n ∙<>==故二面角M NC A --的余弦值为38282. (12)分 20.解 (I )6,7x y == ………………4分 (II) 甲地区优秀率为2,11乙地区优秀率为22,0,1,2,3,(3,)55B ξξ=， ξ的数学期望为26()3.55E ξ=⨯= ………………6分(III)()320330570203C P C η===，()121020330951203C C P C η=== ()211020330452203C C P C η===，()31033063203C P C η=== η的分布列为 η0 1 2 3 P57203 95203 45203 6203 ………………10分 η的数学期望为5795456()0+1+2+3=1.203203203203E η=⨯⨯⨯⨯ ………………12分 21.解： (1) 设抛物线的标准方程为),0(22>=p px y 由)0,1(F 得2=p ,x y C 4:22=∴; …………………3分 (2) 可设ny x AB +=4:,联立x y 42= 得 01642=--ny y , 设1616,16),,(),,(222121212211==-=y y x x y y y x B y x A 则 12120O A O B x x y y ∴⋅=+=,即以AB 为直径的圆过原点; ………………8分(3)设)4,4(2t t P ,则，l t t OP 上在直线的中点)2,2(2⎪⎩⎪⎨⎧-=+=∴n tt ntt 2244242得1±=n 0<t4,1+==∴y x l n ：直线 ………………10分设椭圆:1C 112222=-+a y a x ，与直线4:+=y x l 联立可得： ()()22242218117160a y a y a a -+--+-=3402a ∆≥≥，∴长轴长最小值为34 ………………13分22.(1)当2=k 时，2)1ln()(x x x x f +-+= x xx f 2111)(+-+=' 2ln )1(,23)1(=='∴f f ………………2分∴曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为：)1(232ln -=-x y 即 032ln 223=-+-y x ………………3分 （2）),1(,1)1()(+∞-∈+-+='x x k kx x x f ①当0=k 时，00)(,1)(><'+-='x x f x xx f 则令 ），的单调减区间为：（∞+∴0)(x f ②当1001<<>-k k k 即时，k k x x f -<<<'100)(则令 ），的单调减区间为：（k k x f -∴10)( ③当101><-k k k 即时，010)(<<-<'x kk x f 则令 ）的单调减区间为：（0,1)(k kx f -∴ …………………7分（3）当0=k 时，],0[)(n x f 在上单调递减n n n f b n -+==∴)1ln()( )(,)1ln(*N n n b n a n n ∈=-+=∴ ………………9分1212121221222121121)2()12)(12(6754532312642)12(5312222264212531--+=-++<+=+<+⨯+-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴-n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a n n………………12分)(,112112)1212()35()13(*2421231423121N n a n n n a a a a a a a a aa a a n nn ∈-+=-+=--++⋅⋅⋅+-+-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++∴-………………14分。
湖北省孝感市2014届高三第二次统一考试数学理试题 含答案
孝感市２０１３—２０１４学年度高中三年级第二次统一考试数学（理科）(含答案)本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟．注意事项：１２照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．３一、选择题：本大题共１０小题，每小题５分，共５０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１的共轭复数是Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.２，，，则｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝Ａ.０Ｂ.３Ｃ.Ｄ.３集数据如下：经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数ｘ与加工时间ｙ这两个变量，下列判断正确的是ＡＢ０，７６）ＣＤ４ξ服从正态分布，若，则Ｐ（ξ＜０）＝Ａ５，则输入的ｘ可能为Ａ.－１Ｂ.０Ｃ.１Ｄ.５６的最大值是Ａ.２Ｂ.Ｃ.７的最大值是Ａ.２Ｂ.１Ｃ.Ｄ.３８与ｘ轴交于Ａｎ、Ｂｎ两点，以ＡｎＢｎ表示这两点间的距离，则Ａ１Ｂ１＋Ａ２Ｂ２＋…＋Ａ２０１４Ｂ２０１４的值是Ａ. Ｂ. Ｃ.Ｄ.９{１，２，３}，Ｎ＝{１，２，３，４}．定义映射ｆ：Ｍ→Ｎ，则从中任取一个映射满足由点Ａ（１，ｆ（１）），Ｂ（２，ｆ（２）），Ｃ（３，ｆ（３））构成△ＡＢＣ且ＡＢ＝ＢＣ的概率为Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.１０(ａ＞０，ｂ＞０)的右焦点为Ｆ，过点Ｆ作与ｘ轴垂直的直线ｌ交两渐近线于Ａ、Ｂ两点，且与双曲线在第一象限的交点为Ｐ，设Ｏ为坐标原点，若(λ，μ∈Ｒ)，λμ＝，则该双曲线的离心率为Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ二、填空题：本大题共６小题，考生共需作答５小题，每小题５分，共２５分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（１１－１４题）１１簧伸长的长度成正比．如果２０Ｎ的力能使弹簧伸长３ｃｍ，则把弹簧从平衡位置拉长６ｃｍ（在弹性限度内）时所做的功为．（单位：焦耳）１２．若目标函数ｚ＝ａｂｘ＋ｙ（ａ＞０，ｂ＞０）的最大值为８，则ａ＋ｂ的最小值为．１３．１４续偶数２、４；第三次取３个连续奇数５、７、９；第四次取４个连续偶数１０、１２、１４、１６；第五次取５个连续奇数１７、１９、２１、２３、２５．按此规则一直取下去，得到一个子数列１，２，４，５，７，９，１０，１２，１４，１６，１７，…．则在这个子数列中，由１开始的第２９个数是，第２０１４个数是．（二）选考题（请考生在第１５、１６两题中任选一题作答，如果全选，则按第１５题作答结果计分）１５△ＡＢＣ的面积，则∠ＢＡＣ＝．１６取相同的长度单位．已知直线ｌ的极坐标方程为，圆Ｃ的参数方程为（θ为参数），则直线ｌ被圆Ｃ截得的弦长为．三、解答题：本大题共６小题，满分７５分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．１７．（本小题满分１２分）已知函数，ｘ∈Ｒ．（１）求函数ｆ（ｘ）的最小正周期及单调增区间；（２）在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别是ａ、ｂ、ｃ，又，ｂ＝２，△ＡＢＣ的面积等于３，求边长ａ的值．１８题满分１２分）已知{ａｎ}为等差数列，Ｓｎ为其前ｎ项和，且．（１）求ａｎ，Ｓｎ；（２）若ａｋ，ａ２ｋ－２，ａ２ｋ＋１（ｋ∈Ｎ{ｂｎ}的前三项，设Ｔｎ＝ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋ａ３ｂ３＋…＋ａｎｂｎ，求Ｔｎ．１９交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为０～１０，分为五个级别，０～２畅通；２～４基本畅通；４～６轻度拥堵；６～８中度拥堵；８～１０严重拥堵．早高峰时段，从某市交通指挥中心随机选取了四环以内的５０个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．（１）这５０个路段为中度拥堵的有多少个？（２）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（３）某人上班路上所用时间若畅通时为２０分钟，基本畅通为３０分钟，轻度拥堵为３６分钟，中度拥堵为４２分钟，严重拥堵为６０分钟，求此人所用时间的数学期望．２０如图①，在平面内，ＡＢＣＤ是∠ＢＡＤ＝６０°且ＡＢ＝ａ的菱形，ＡＤＭＡ１和ＣＤＮＣ１都是正方形．将两个正方形分别沿ＡＤ，ＣＤ折起，使Ｍ与Ｎ重合于点Ｄ１．设直线ｌ过点Ｂ且垂直于菱形ＡＢＣＤ所在的平面，点Ｅ是直线ｌ上的一个动点，且与点Ｄ１位于平面ＡＢＣＤ同侧（图②）．（１）求证：不管点Ｅ如何运动都有ＣＥ∥面ＡＤＤ１；（２）当线段ＢＥ＝时，求二面角Ｅ—ＡＣ—Ｄ１的大小．２１已知曲线Ｃ１：和曲线Ｃ２：（０＜λ＜１）．曲线Ｃ２的左顶点恰为曲线Ｃ１的左焦点．（１）求λ的值；（２）设Ｐ（ｘ０，ｙ０）为曲线Ｃ２上一点，过点Ｐ作直线交曲线Ｃ１于Ａ，Ｃ两点，直线ＯＰ交曲线Ｃ１于Ｂ，Ｄ两点，若Ｐ为ＡＣ中点．①求证：直线ＡＣ的方程为ｘ０ｘ＋２ｙ０ｙ＝２；②四边形ＡＢＣＤ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．２２已知函数ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ａｘ－３（ａ∈Ｒ）．（１）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性；（２）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象在点（２，ｆ（２））处的切线的倾斜角为４５°，对于任意的ｔ∈［１，２］，函数在区间（ｔ，３）上总不是单调函数，求实数ｍ的取值范围；（３）求证：。
(2021年整理)2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭（ ）（A ）1- （B)1 （C ）i - （D ）i 【答案】A【解析】因为21i 2i11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北,理2，5分】若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ） （A ）2 （B ）54 （C ）1 （D ）2 【答案】D【解析】因为()77727722xrr r r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得2a =，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题． （3）【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ,B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆,U B C C⊆是“A B =∅”的（ ）（A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意,若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅；若A B =∅,不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断,容易题． （4）【2014年湖北，理x 3 4 5 6 7 8y 4。
2014年高考新课标_II_数学(理)真题试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）数学试题卷（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则M N =I （ ） （A ）{1} （B ）{2} （C ）{0,1} （D ）{1,2}2.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） （A ）5- （B ）5 （C ）4i -+ （D ）4i --3.设向量a ，b 满足10|a +b |=，6-|a b |=，则⋅a b =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 4.钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，2BC =，则AC =（ ） （A ）5 （B ）5 （C ）2 （D ）15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6．已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） （A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.6 （D ）0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）（A ）1727（B ）59（C ）1027（D ）137.执行右图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S =（） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 8.设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =， 则a =（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）39.设,x y 满足约束条件70,310,350,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）开始结束是t k ≤输出S 否 M←1,S←3 输出x,t k←1S←M+S k←k+1x kM M ←（A ）10 （B ）8 （C ）3 （D ）210.设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30o的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ） （A ）334（B ）938 （C ）6332 （D ）9411.直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=o，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）（A ）110（B ）25（C ）3010（D ）2212.设函数()3sin x f x m π=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）（A ）()(),66,-∞-+∞U （B ）()(),44,-∞-+∞U （C ）()(),22,-∞-+∞U （D ）()(),11,-∞-+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.（用数字填写答案） 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是________. 16.设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=o ，则0x 的取值范围是________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+．18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60o，1AP =，3AD =，求三棱锥E ACD -的体积．19.（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121nii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑$，$ay bt =-$. C DE B AP20.（本小题满分12分）设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ，b ．21.（本小题满分12分）已知函数()2x x f x e e x -=--． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln 2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O e 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O e 于点E ．证明：（Ⅰ）BE EC =； （Ⅱ）22AD DE PB =g ．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,ρθ=[0,]2πθ∈．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||f x x x a a=++-(0)a >． （Ⅰ）证明：()2f x ≥；（Ⅱ）若(3)5f <，求a 的取值范围．COEBPA D2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷Ⅱ卷）数学（理科）参考答案一、选择题 1．D解析：把0，1，2代人2203x x +≥-验证，只有1，2满足不等式，故选D. 考点：考查集合与一元二次不等式的知识．简单题． 2．A解析：12i z =+Q 与2z 关于虚轴对称，22z i ∴=-+，∴12(2i)(2i)5z z =+-+=-，故选A. 考点：考查复数的基本知识．简单题． 3．A解析：||10,||6a b a b +=-=Q ，平方相减得1a b ⋅=，故选A.考点：考查平面向量的数量积．中等题． 4．B解析：因为11sin 22ABC S ac B ==V ，所以2sin 2B =，所以4B π=或34B π=. 当4B π=时，经计算ABC V 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去；34B π=时，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-5=，故选B. 考点：考查正余弦定理的应用．中等题． 5．A解析：设第i 天空气优良记为事件i A ，则1(A )0.75,(A A )0.6(i 1,2,)i i i P P +===L ， ∴第1天空气优良，第2天空气也优良这个事件的概率为12211()0.60.8((|).75)0A A P A A P P A ===，故选A.考点：考查条件概率．简单题． 6．C解析：毛胚的体积23654V ππ⋅⋅==，制成品的体积221322434V πππ⋅⋅+⋅⋅==，∴切削掉的体积与毛胚体积之比为13454101127V V ππ-=-=，故选C. 考点：考查三视图于空间几何体的体积．中等题．7．D解析：第1次循环，1221M =⨯=，235S =+=，2k =； 第2次循环，2222M =⨯=，257S =+=，3k =. 退出循环，7S =，故选D.考点：考查算法的基本知识．简单题． 8．D解析：考察导数的几何意义，复合函数求导1','(0)12,31y a y a a x =-=-==+，故选D. 考点：考查导数的几何应用．中等题． 9．B解析：画出可行域，利用线性规划知识可得y x z -=2的最大值为8，故选B. 考点：考查二元一次不等式组的应用．中等题． 10．D解析1：抛物线C 的焦点的坐标为()3,04F ，所以直线AB 的方程为330an )t (4y x ︒-=，233(),3,34x y y x ⎧-==⎪⎨⎪⎩从而2122161689012x x x x -+=+=⇒，∴弦长12||=3122x x AB ++=. 又∵O 点到直线43:430AB x y --=的距离2238(43=3)4d =+，∴13129428OAB S ⋅⋅==，故选D.解析2：由已知得焦点坐标为3(,0)4F ，因此直线AB 方程为33(),4433034y x x y =---=即，与抛物线方程联立化简得2412390y y --=，因此2()46A B A B A B y y y y y y -=+-=，于是113962244OAB A B S OF y y ∆=-=⨯⨯=，故选D. 考点：综合考查抛物线的知识，弦长计算与分析直线和圆锥曲线位置关系的能力．困难题．11．C解析1：分别以11111,C B C C A C ,为,,x y z 轴，建立直角坐标系.不妨设12BC CA CC ===，则(0,2,2)A ，(2,0,2)B ，(1,1,0)M ，(0,1,0)N ，所以(1,1,2)BM =--u u u u r ，(0,1,2)AN =--u u u r.01430cos ,10||||65BM AN BM AN BM AN ⋅-+<>===⋅⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，故选C.解析2：如图所示，取BC 的中点P ，连结NP 、AP . ∵M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，∴四边形NMBP 为平行四边形，∴BM PN P ， ∴所求角的余弦值等于ANP ∠的余弦值. 不妨令12BC CA CC ===，AC B1A1C1BNMP则5AN AP ==，6NP MB ==，∴222222||||||(5)(6)(5)30cos 2||||10256AN NP AP ANP AN NP +-+-∠===⨯⋅⨯⨯，故选C. 考点：考查空间夹角问题．中等题．12．C解析1：3()3sin ()cos xx f x f m mx mπππ=⇒'=Q . 令()0cos0()2xxx k k Z mf mππππ'=⇒=⇒=+∈，(21)2k m x +=∴，即f (x )的极值点0(2)1()2mx k k Z =+∈. ∵存在f (x )的极值点0x ，满足22200[()]f x x m +<，∴2220(2)31[]2sin x m k m mπ++<. ∴存在k Z ∈，使得221[]2(2)m 3k m ++<，即223(2)141k m +<-，∴223(21)13[1]|m |24414max k m +<-=⇒->=，故选C. 解析2：∵'()3cosxf x m m ππ=，令'()3cos0xf x m m ππ==得1()(2x m k k =+∈Z)，∴01()(2x m k k =+∈Z)，又∵22200[()]x f x m +<，∴22221()[3sin()]22m k k m ππ+++<，即2213[1()]2m k <-+，∴211()02k -+>，故0k =或1-，∴2213[1()]2m <-，即24m >，故2m <-或2m >，故选C.考点：考查导数与极值，三角函数，不等式的知识．困难题． 二、填空题13．12解析：1010110(0(),1,,10)r r rr T C x r x a a -+==+Q L 展开式的通项为， ∴10()x a +展开式中7x 的系数为31031125C a a ⇒==.考点：考查二项展开式的通项公式．简单题． 14．1解析：()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+sin()cos cos()sin 2sin cos()x x x ϕϕϕϕϕϕ=+++-+ sin()cos sin cos()x x ϕϕϕϕ=+-+sin x =，因此()f x 的最大值为1.考点：本题考查和差角公式．中等题．15．(1,3)-解析：偶函数在对称区间上单调性相反，数形结合易得212,13x x -<-<-<<. 考点：本题考查函数的单调性与奇偶性．简单题．16．]1,1[-解析：过点M 作圆O 的切线，切点为N ．设θ=∠OMN ，则︒≥45θ，22sin ≥θ， 即22≥OM ON ，2120≤+x ，.110≤≤-x 考点：三角不等式，两点间距离公式．困难题． 三、解答题17．解析：（Ⅰ）由131n n a a +=+得13(11)22n n a a ++=+. 又11322a +=，所以{12}n a +是首项为32，公比为3的等比数列.1322nn a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1231n n a =-. 因为当1n ≥时，13123nn --≥⨯，所以121313n n -≤-. 于是12111113131n n a a a -+++≤+++L L 313(1).223n =-< 所以2111132n a a a +++<L . 考点：考查等比数列的通项公式，求和公式，放缩法证明不等式．中等题． 18．解析：（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊂/平面AEC ，所以PB ∥平面AEC . （Ⅱ）因为PA ABCD ⊥平面，ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直.如图，以A 为坐标原点，AB uuu r的方向为x 轴的正方向，||AP uuu r为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，CD EB APOyz则(0,3,0)D ，31(0,,)22E ，31(0,,)22AE =u u u r . 设(,0,0)B m （0m >），则(,3,0)C m ，(,3,0)AC m =u u u r.设1(,,)n x y z =u r为平面ACE 的法向量，则110,0,n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 即30,310,22mx y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可取13(,1,3)n m =-u r . 又2(1,0,0)n =u u r为平面DAE 的法向量，由题设121|cos ,|2n n <>=u r u u r ，即231342m =+，解得32m =. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12， 三棱锥E ACD -的体积11313332228V =⨯⨯⨯⨯=. 考点：考查空间线面关系，椎体的体积计算和向量法解决立体几何问题的技能．中等题． 19．解析：（Ⅰ）由所给数据计算得1(1234567)47t =++++++=， 1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37y =++++++=，721()941014928i i t t =-=++++++=∑，71()()ii i tt y y =--∑(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.6=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯14=，71721()()140.528()iii i i t t y y bt t ==--===-∑∑$，$ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=$， 所求回归方程为$0.5 2.3y t =+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0.50b=>$，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加， 平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号9t =代入（Ⅰ）中的回归方程，得$0.59 2.3 6.8y =⨯+=， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. 考点：考查线性回归方程，线性相关的概念的应用．中等题．20．解析：（Ⅰ）根据22c a b =-及题设知2(,)b M c a ，223b ac =． 将222b a c =-代入223b ac =，解得12c a =，2c a =-（舍去）．故C 的离心率为12． （Ⅱ）由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =． ① 由1||5||MN NF =得11||2||DF F N =．设11(,)N x y ，由题意知10y <，则112(),22,c x c y --=⎧⎨-=⎩即113,21.x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 代入C 的方程，得222911c a b+=. ② 将①及22c a b =-代入②得229(4)1144a a a a -+=． 解得7a =，2428b a ==．故7a =，27b =．考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系．难题．21．解析：（Ⅰ）()20x x f x e e -'=+-≥，等号仅当0x =时成立，所以()f x 在R 上单调递增.（Ⅱ）()(2)4()g x f x bf x =-224()(84)x x x x e e b e e b x --=---+-，22()2[2()(42)]x x x x g x e e b e e b --'=+-++-2(2)(22)x x x x e e e e b --=+-+-+.①当2b ≤时，()0g x '≥，等号仅当0x =时成立，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.而(0)0g =，所以对任意0x >，()0g x >.②当2b >时，若x 满足222x x e e b -<+<-，即20ln(12)x b b b <<-+-时，()0g x '<. 而(0)0g =，因此当20ln(12)x b b b <<-+-时，(0)0g <.综上，b 的最大值为2． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，3(ln 2)222(21)ln 22g b b =-+-. 当2b =时，3(ln 2)426ln 202g =-+>，823ln 20.692812->>； 当3214b =+时，2ln(12)ln 2b b b -+-=，3(ln 2)22(322)ln 202g =--++<，182ln 20.693428+<<． 所以ln 2的近似值为0.693．考点：本题考查利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论的能力及误差估计的思想，思路背景为常规思路，构建函数()g x 的图像即可，难度压轴题．22．解析：（Ⅰ）连结AB ，AC .由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠.因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠， PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而»»BEEC =，因此BE EC =. （Ⅱ）由切割线定理得2PA PB PC =⋅.因为PA PD DC ==，所以2DC PB =，BD PB =.由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DE PB ⋅=．考点：考查与圆有关的角的知识和圆幂定理的应用．中等题．23．解析：（Ⅰ）C 的普通方程为2201)1(1()x y y -+=≤≤. 可得C 的参数方程为,n 1i cos s y x tt =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）．（Ⅱ）设D (1cos n ),si t t +．由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan 3t =，3t π=，故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(3,22)． 考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用．中等题．24．解析：（Ⅰ）由0a >，有111()|||||()|2f x x x a x x a a a a a =++-≥+--=+≥， ∴()2f x ≥． （Ⅱ）1(3)|3||3|f a a=++-． 当3a >时，1(3)f a a=+，由(3)5f <得52123a <<+． C O E B P AD当03a <≤时，(3)61af a =-+，由(3)5f <得1532a +<≤． 综上，a 的取值范围是15521(,)22++． 考点：考查带有绝对值的不等式的应用能力，考查函数与不等式的关系．中等题．。
2014年高考真题——理科数学(湖北卷)解析版2Word版含解析
2014年高考真题——理科数学（湖北卷）解析版2 Word版含解析绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2014?湖北卷] i为虚数单位，＝()A．－1 B．1 C．－i D．i1．A[解析] ＝＝－1.故选A.2．[2014?湖北卷] 若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝()A．2 B. C．1 D.2．C[解析] 展开式中含的项是T6＝C(2x)2＝C22a5x－3，故含的项的系数是C22a5＝84，解得a＝1.故选C.3．[2014?湖北卷] U为全集，A，B是集合，则"存在集合C使得A?C，B??UC"是"A∩B ＝?"的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．C[解析] 若存在集合C使得A?C，B??UC，则可以推出A∩B＝?；若A∩B＝?，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A?C，B??UC，故"存在集合C使得A?C，B??UC"是"A∩B ＝?"的充要条件．故选C.4．[2014?湖北卷] 根据如下样本数据：x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为\s\up6(^(^)＝bx＋a，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b C．a0 D．a4．B[解析] 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线\s\up6(^(^)＝bx＋a的斜率b0.故a>0，b5．[2014?湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O - xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-1A．①和②B．①和③C．③和②D．④和②5．D[解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.6．[2014?湖北卷] 若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0 B．1 C．2 D．36．C[解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足f(x)g(x)dx ＝0.①f(x)g(x)dx＝sxcosxdx＝sxdx＝＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx＝＝－≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③f(x)g(x)dx＝x?x2dx＝＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C.7．[2014?湖北卷] 由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A. B. C. D.7．D[解析] 作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，SΩ1＝S△AOB＝×2×2＝2，S△BCE＝×1×＝，则S四边形AOEC＝SΩ1－S△BCE＝2－＝.故由几何概型得，所求的概率P＝＝＝.故选D.8．[2014?湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"锔"的术："置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．"该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.8．B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr，由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V＝L2h，则π≈.故选B.9．、[2014?湖北卷] 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C．3 D．29．A[解析] 设|P＝r1，|P＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋3a＝4c2，即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.所以＋≤.故选A.10．[2014?湖北卷] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－＋|x －－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.10．B[解析] 因为当x≥0时，f(x)＝，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝＝－x；当a2f(x)＝＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝＝x－3a2.综上，f(x)＝因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.故选B.11．[2014?湖北卷] 设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．11．±3[解析] 因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)?(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014?湖北卷] 直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.12．2[解析] 依题意得，圆心O到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×s 45°，得＝＝1.故a2＋b2＝2.图1-213．[2014?湖北卷] 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________．13．495[解析] 取a1＝815?b1＝851－158＝693≠815?a2＝693；由a2＝693?b2＝963－369＝594≠693?a3＝594；由a3＝594?b3＝954－459＝495≠594?a4＝495；由a4＝495?b4＝954－459＝495＝a4?b＝495.14．、[2014?湖北卷] 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b 的算术平均数．(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)(2)x(或填(1)k1；(2)k2x，其中k1，k2为正常数)[解析] 设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c＝，则＝，即＝.因为a>0，b>0，所以化简得＝，故可以选择f(x)＝(x>0)；(2)依题意，c＝，则＝，因为a>0，b>0，所以化简得＝，故可以选择f(x)＝x(x>0)．15．[2014?湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲)如图1-3，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．图1-315．4[解析] 由切线长定理得QA2＝QC?QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.16．[2014?湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．16.[解析] 由消去t得y＝x(x≥0)，即曲线C1的普通方程是y＝x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.联立解得故曲线C1与C2的交点坐标为.17．、、、[2014?湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－st，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2s，又0≤t当t＝2时，s＝1；当t＝14时，s＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2s，故有10－2s>11，即s又0≤t即10故在10时至18时实验室需要降温．18．、、[2014?湖北卷] 已知等差数列{}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{}的通项公式．(2)记Sn为数列{}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{}的公差为d，依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，＝2；当d＝4时，＝2＋(n－1)?4＝－2.从而得数列{}的通项公式为＝2或＝－2.(2)当＝2时，Sn＝，显然此时不存在正整数n，使得Sn>＋800成立．当＝－2时，Sn＝＝2.令2>＋800，即n2－－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>＋800成立，n的最小值为41.综上，当＝2时，不存在满足题意的正整数n；当＝－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.19．、、、[2014?湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ ＝λ(0(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.图①图②(2)如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ也是等腰梯形．同理可证四边形PQ也是等腰梯形．分别取EF，PQ，的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是面EFPQ与面PQ所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.连接，，则由EF∥，且EF＝知四边形M是平行四边形．连接GH，因为H，G是EF，的中点，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝1±，故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．图③\s\up6(→(→)＝(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，因为\s\up6(→(→)＝(－2，0，2)，所以\s\up6(→(→)＝2\s\up6(→(→)，即BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由\s\up6(→(\o(FE,\s\up6(→)可得于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面PQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角，则m?n＝(λ－2，2－λ，1)?(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角．20．[2014?湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p1＝P(40p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，p3＝P(X>120)＝＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40Y420010 000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015 000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．21．[2014?湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．21．解：(1)设点M(x，y)，依题意得＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y －1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(i)若由②③解得k.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若或由②③解得k∈或－≤k即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若由②③解得－1即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上可知，当k∈∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．22．[2014?湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28...为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e于是根据函数y＝x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增，可得3e故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e由π3；由综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.(3)由(2)知，3e又由(2)知，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由(1)知，当0即在上式中，令x＝，又2－.①由①得，π>e>2.7×>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，即π>3，亦即πe> e3，所以e3又由①得，π>6－>6－e>π，即π>π，所以eπ综上可得，3e即这6个数从小到大的顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π.。
2014年高考(湖北卷)(理)试卷及答案(纯word版)
湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类） 第1页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
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2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，21i ()1i-=+A ．1-B ．1C ．i -D ．i1．A [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.故选A.2．若二项式7(2)a x x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a =A ．2BC ．1D2．C [解析] 展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2⎝⎛⎭⎫a x 5＝C 5722a 5x －3，故含1x3的项的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.故选C.3．设U 为全集.A ,B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，⊆B ∁U C ”是“A B =∅”的A ．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】C[解析] 若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A ∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁U C，故“存在集合C使得A ⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.4．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆy bx a=+，则A．0b<a>，0b>B．0a>，0C．0a<，0b<b>D．0a<，04．B[解析]观察图象可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0.故a>0，b<0.故选B.5．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）.给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为数学（理工类）第2页（共6页）数学（理工类） 第3页（共6页）A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.6．若函数()f x , ()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称()f x , ()g x 为区间[1,1]-上的一组正交函数. 给出三组函数：①11()sin ,()cos 22f x x g x x ==；②()1,()1f x x g x x =+=-；③2(),()f x x g x x ==.其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是 A ．0 B ．1C ．2D ．36．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ²x 2d x ＝x 441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C .7．由不等式组0,0,20x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式组1,2x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区图③ 图①图④图②第5题图数学（理工类） 第4页（共6页）域记为2Ω. 在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为A ．18B ．14C ．34D ．787．D [解析] 作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12³2³2＝2，S △BCE ＝12³1³12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.数学（理工类） 第5页（共6页）8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227 B ．258 C ．15750D ．355113 8．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr ，由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ＝275L 2h ，则π≈258.故选B.9．已知12F F ，是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π=3F PF ∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A.B. C. 3 D. 2 9．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13³3e 22≤⎝⎛⎭⎫1e 21＋3e 22⎝⎛⎭⎫1＋13＝163.所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--.若x ∀∈R ，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为A ．11[,]66-B ．[C ．11[,]33- D ．[ 10．B [解析] 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ；当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.数学（理工类） 第6页（共6页）综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B. 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．设向量(3,3)=a ，(1,1)=-b . 若()()λλ+⊥-a b a b ，则实数λ= .11．±3 [解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += . 12．2 [解析] 依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1³sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.13．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = . 13．495 [解析] 取a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693；第13题图数学（理工类） 第7页（共6页）由a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495； 由a 4＝495⇒b 4＝954－459＝495＝a 4⇒b ＝495.14. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且()0f x >. 对任意0a >，0b >，若经过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线与x 轴的交点为(,0)c ，则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均数，记为(,)f M a b . 例如，当()1(0)f x x =>时，可得(,)2f a bM a b c +==，即(,)f M a b 为,a b 的算术平均数.（Ⅰ）当()f x = (0)x >时，(,)f M a b 为,a b 的几何平均数； （Ⅱ）当()f x = (0)x >时，(,)f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+. （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数)[解析] 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b.因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2aba ＋b，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b ，故可以选择f (x )＝x (x >0)． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O 外一点，过P 点作O 的两条切线，切点分别为A ,B . 过PA 的中点Q作割线交O 于C ,D 两点. 若1QC =，3CD =，则PB = .数学（理工类） 第8页（共6页）15．4 [解析] 由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1³(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝P A ＝2QA ＝4. 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=. 则1C 与2C 交点的直角坐标 为 . 16.()3，1 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解析】（Ⅰ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤. 第15题图数学（理工类） 第9页（共6页）当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.（Ⅱ）依题意，当()11f t >时实验室需要降温.由（Ⅰ）得 ππ()102sin()123f t t =-+，故有ππ102sin()123t -+>11， 即ππ1sin()<1232t +-. 又024t ≤<，因此7πππ11π61236t <+<，即1018t <<. 在10时至18时实验室需要降温.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.数学（理工类） 第10页（共6页）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. 19．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ， 11A B ，11A D 的中点，点P ，Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.（Ⅰ）当1λ=时，证明：直线1BC ∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.数学（理工类） 第11页（共6页）几何方法：（Ⅰ）证明：如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D -是正方体，知BC 1∥AD 1. 当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1．所以BC 1∥FP ．而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）如图2，连接BD ．因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且12EF BD =．又DP BQ =，DP ∥BQ ， 所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ =BD ， 从而EF ∥PQ ，且12EF PQ =. 在R t △EBQ 和R t △FDP 中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是EQ FP =EFPQ 是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，第19题图第19题解答图2EC 1D 1 B 1 A 1BACD PQ FMN第19题解答图1EC 1D 1 B 1 A 1 BA CDPQFMN第19题解答图3G O H数学（理工类） 第12页（共6页）则GO PQ ⊥，HO PQ ⊥，而GO HO O =，故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=． 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==. 在△GOH 中，24GH =，2222112OH λλ=+-=+，222211(2)(2)2OG λλ=+--=-+， 由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得1λ=±，故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 向量方法：以D 为原点，射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D －xyz ． 由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ．1(2,0,2)BC =-，(1,0,)FP λ=-，(1,1,0)FE =．（Ⅰ）证明：当1λ=时， (1,0,1)FP =-，因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即BC 1∥FP ．而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则由0,0,FE FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得0,0.x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩ 于是可取(,,1)λλ=-n ．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)λλ=--m ．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则(2,2,1)(,,1)0λλλλ⋅=--⋅-=m n ，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得1λ=±．故存在1λ=，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．数学（理工类） 第13页（共6页）20．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站. 过去50年的水文资料显示，水库年．入流量．．．X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和. 单位：亿立方米）都在40以上. 其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（Ⅰ）求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率； （Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元. 欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】（Ⅰ）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==， 35(120)0.150p P X =>==.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991C (1)C (1)()4()()0.9477101010p p p p =-+-=+⨯⨯=.（Ⅱ）记水电站年总利润为Y (单位：万元).（1）安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000Y =，()500015000E Y =⨯=.（2）安装2台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此23(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下（3）安装3台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，数学（理工类） 第14页（共6页）因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此(9200)(80120)P Y P X ==≤≤=2p 0.7=；当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==，由此得Y 的分布列如下综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的 轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.【解析】（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③数学（理工类） 第15页（共6页）（ⅰ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（ⅲ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 22．（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数；（Ⅲ）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. 【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．数学（理工类） 第16页（共6页）故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞． （Ⅱ）因为e 3π<<，所以eln 3eln π<，πln e πln 3<，即e e ln 3ln π<，ππln e ln 3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及（Ⅰ）的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln 3<，所以π33π>； 由ln 3ln e3e<，得e 3ln 3ln e <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，e e 3π3ππ3<<<，e 33e <．又由（Ⅱ）知，ln πlneπe<，得e ππe <． 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小．由（Ⅰ）知，当0e x <<时，1()(e)e f x f <=，即ln 1e x x <．在上式中，令2e πx =，又2e e π<，则2e eln ππ<，从而e 2ln ππ-<，即得eln π2π>-． ① 由①得，e 2.72eln πe(2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.0243π 3.1>->⨯->⨯-=>，即eln π3>，亦即e 3ln πln e >，所以3e e π<． 又由①得，3e3ln π66e ππ>->->，即3ln ππ>，所以π3e π<． 综上可得，e 3e π3π3e πe π3<<<<<，即6个数从小到大的顺序为e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3．。
湖北省部分重点中学2014届高三二月联考数学理试题 Word版含答案[ 高考]
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湖北省部分重点中学2014届高三二月联考高三数学试卷（理科）命题学校：江夏一中考试时间：2014年2月6日下午15:00—17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为 ( ）A ．4B ．4+4iC ．4-D ．2i2．设集合A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集U = A ⋃B ，则集合)(B A C U ⋂ 的真子集共有 A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 3．要得到函数)42sin(π+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向左平移4π单位 B ．向右平移4π单位 C ．向右平移8π单位 D ．向左平移8π单位4．半径为R 的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值为（ ）A 、233RB 、23RC 、222RD 、22R5．已知数据123 n x x x x ，，，，是武汉市n *(3 )n n N ≥∈，个普通职工的2013年的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上比尔.盖茨的2013年的年收入1n x +（约900亿元），则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。
6．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，2475314))((a a a a a =++，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列}{n a 是递增数列；B ．数列}{n a 是递减数列；C ．数列}{n a 既不是递增数列也不是递减数列；D ．数列}{n a 有可能是递增数列也有可能是递减数列． 7．已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题： ①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④8．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA →，x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 则CD →·BE →的最大值为( )A ．－58B ．－34C ．－32D ．－389．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的渐近线方程为（ ）A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D．y = 10．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++=（ ） A. 2 B. 4 C.8 D. 随a 值变化二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的．．．．．对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．执行如图所示的程序框图，输出的S = ．12．若不等式组02(1)1y y x y a x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .13．已知椭圆12222=+by a x 的面积计算公式是ab S π=，则2-=⎰________； 14. 设数列.,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11 kk k -这个数列第2010项的值是________； 这个数列中，第2010个值为1的项的序号是 .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答?10<nnn S S 2⋅+=结果计分.）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 为半径为2的圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦， 垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．则2AC ＋BF·BM ＝16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,。
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高二数学周练卷 理科（2014.6.29）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5 5 C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）C. 6332D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 2512.设函数()x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),44,-∞-⋃∞C. ()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，，求三棱锥E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i ni i tty y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与e O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交e O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C二、 填空题（13）12（14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]三、解答题（17）解：（1）由131n n a a +=+得1113().22n n a a ++=+ 又113a 22+=，所以，{12n a + } 是首项为32，公比为3的等比数列。
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湖北省孝感市2014届高三第二次统一考试数学理试题（WORD版）
本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟．
注意事项：
１ 答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试题卷和答题卡上．
２ 考生答题时，选择题请用２Ｂ铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
３ 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共１０小题，每小题５分，共５０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
１ 复数的共轭复数是
Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.
２ 已知正方形ＡＢＣＤ边长为１，，，，则｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝
Ａ.０Ｂ.３Ｃ.Ｄ.
３ 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了５次试验，收集数据如下：
经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数ｘ与加工时间ｙ这两个变量，下列判断正确的是
Ａ 成正相关，其回归直线经过点（３０，７５）
Ｂ 成正相关，其回归直线经过点（３０，７６）
Ｃ 成负相关，其回归直线经过点（３０，７６）
Ｄ 成负相关，其回归直线经过点（３０，７５）
４ 已知随机变量ξ服从正态分布，若，则
Ｐ（ξ＜０）＝
Ａ ０．３Ｂ ０．４Ｃ ０．６Ｄ ０．７
５ 一算法的程序框图如右图所示，若输出的，则输入的ｘ可能为
Ａ.－１Ｂ.０Ｃ.１Ｄ.５
６ 已知ｘ，ｙ，ｚ均为正数，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝２，则的最大值是
Ａ.２Ｂ.Ｃ. Ｄ ３
７ 函数的最大值是
Ａ.２Ｂ.１Ｃ.Ｄ.３
８ 对于每个非零自然数ｎ，抛物线与ｘ轴交于Ａｎ、Ｂｎ两点，以
ＡｎＢｎ表示这两点间的距离，则Ａ１Ｂ１＋Ａ２Ｂ２＋…＋Ａ２０１４Ｂ２０１４的值是
Ａ. Ｂ. Ｃ.Ｄ.
９ 已知集合Ｍ＝{１，２，３}，Ｎ＝{１，２，３，４}．定义映射ｆ：Ｍ→Ｎ，则从中任取一个映射满足由点Ａ（１，ｆ（１）），Ｂ（２，ｆ（２）），Ｃ（３，ｆ（３））构成
△ＡＢＣ且ＡＢ＝ＢＣ的概率为
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１０ 设双曲线(ａ＞０，ｂ＞０)的右焦点为Ｆ，过点Ｆ作与ｘ轴垂直的直线ｌ交两渐近线于Ａ、Ｂ两点，且与双曲线在第一象限的交点为Ｐ，设Ｏ为坐标原点，若
(λ，μ∈Ｒ)，λμ＝，则该双曲线的离心率为
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ
二、填空题：本大题共６小题，考生共需作答５小题，每小题５分，共２５分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一）必考题（１１－１４题）
１１ 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果２０Ｎ的力能使弹簧伸长３ｃｍ，则把弹簧从平衡位置拉长６ｃｍ（在弹性限度内）时所做的功
为．（单位：焦耳）
１２ 设实数ｘ，ｙ满足约束条件．若目标函数ｚ＝ａｂｘ＋ｙ（ａ＞０，ｂ＞０）的最大值为８，则ａ＋ｂ的最小值为．
１３ 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为．
１４ 在正整数数列中，由１开始依次按如下规则取它的项：第一次取１，第二次取２个连续偶数２、４；第三次取３个连续奇数５、７、９；第四次取４个连续偶数１０、１２、１４、１６；第五次取５个连续奇数１７、１９、２１、２３、２５．按此规则一直取下去，得到一个子数列１，２，４，５，７，９，１０，１２，１４，１６，１７，…．则在这个子数列中，由１开始的第２９个数是，第２０１４个数是．
（二）选考题（请考生在第１５、１６两题中任选一题作答，如果全选，则按第１５题作答结果计分）
１５ 如图，△ＡＢＣ的角平分线ＡＤ的延长线交它的外接圆于点Ｅ．若△ＡＢＣ的面积
，则∠ＢＡＣ＝．
１６ 以直角坐标系的原点为极点，ｘ轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
位．已知直线ｌ的极坐标方程为，圆Ｃ的参数方程为（θ为参数），则直线ｌ被圆Ｃ截得的弦长为．
三、解答题：本大题共６小题，满分７５分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．１７．（本小题满分１２分）
已知函数，ｘ∈Ｒ．
（１）求函数ｆ（ｘ）的最小正周期及单调增区间；
（２）在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别是ａ、ｂ、ｃ，又，ｂ＝２，△ＡＢＣ的面积等于３，求边长ａ的值．
１８ （本小题满分１２分）
已知{ａｎ}为等差数列，Ｓｎ为其前ｎ项和，且．
（１）求ａｎ，Ｓｎ；
（２）若ａｋ，ａ２ｋ－２，ａ２ｋ＋１（ｋ∈Ｎ ）是等比数列{ｂｎ}的前三项，设Ｔｎ＝ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋ａ３ｂ３＋…＋ａｎｂｎ，求Ｔｎ．
１９ （本小题满分１２分）
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为０～１０，分为五个级别，０～２畅通；２～４基本畅通；４～６轻度拥堵；６～８中度拥堵；８～１０严重拥堵．早高峰时段，从某市交通指挥中心随机选取了四环以内的５０个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．
（１）这５０个路段为中度拥堵的有多少个？
（２）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（３）某人上班路上所用时间若畅通时为２０分钟，基本畅通为３０分钟，轻度拥堵为３６分钟，中度拥堵为４２分钟，严重拥堵为６０分钟，求此人所用时间的数学期望．
２０ （本小题满分１２分）
如图①，在平面内，ＡＢＣＤ是∠ＢＡＤ＝６０°且ＡＢ＝ａ的菱形，ＡＤＭＡ１和
ＣＤＮＣ１都是正方形．将两个正方形分别沿ＡＤ，ＣＤ折起，使Ｍ与Ｎ重合于点Ｄ１．设直线ｌ过点Ｂ且垂直于菱形ＡＢＣＤ所在的平面，点Ｅ是直线ｌ上的一个动点，且与点Ｄ１位于平面ＡＢＣＤ同侧（图②）．
（１）求证：不管点Ｅ如何运动都有ＣＥ∥面ＡＤＤ１；
（２）当线段ＢＥ＝时，求二面角Ｅ—ＡＣ—Ｄ１的大小．
２１ （本小题满分１３分）
已知曲线Ｃ１：和曲线Ｃ２：（０＜λ＜１）．曲线Ｃ２的左顶点恰为曲线Ｃ１的左焦点．
（１）求λ的值；
（２）设Ｐ（ｘ０，ｙ０）为曲线Ｃ２上一点，过点Ｐ作直线交曲线Ｃ１于Ａ，Ｃ两点，直线ＯＰ交曲线Ｃ１于Ｂ，Ｄ两点，若Ｐ为ＡＣ中点．
①求证：直线ＡＣ的方程为ｘ０ｘ＋２ｙ０ｙ＝２；
②四边形ＡＢＣＤ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
２２ （本小题满分１４分）
已知函数ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ａｘ－３（ａ∈Ｒ）．
（１）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性；
（２）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象在点（２，ｆ（２））处的切线的倾斜角为４５°，对于
任意的ｔ∈［１，２］，函数在区间（ｔ，３）上总不是单调函数，求实数ｍ的取值范围；
（３）求证：。