概率与数理统计答案详解6

2
n ⎧1, 第 i 次抽到次品 , 解： （1）nA 是统计量，将第 i 次抽样结果记为 Xi ，即 X i = ⎨ 有 nA = ∑ X i ； i =1 ⎩0, 第 i 次没有抽到次品 ,
（2）nA ~ B (n, p)，故 E (nA) = np，D (nA) = np (1 − p)． 6． 设随机变量 X 服从参数λ = 5 的指数分布，试求 X 的上侧α 分位数 xα ： （1）α = 0.15； （2）α = 0.95． 解：因 X 的密度函数为 f ( x) = ⎨
即 Y = g( X ) = ⎨
a
⎧0.15a, ⎩0.4 X − 0.25a,
X ≥ a, X < a,
+∞ a a −∞
则 E(Y ) = ∫ (0.4x − 0.25a) f ( x)dx + ∫ 0.15a f ( x)dx = 0.4∫ xf ( x)dx − 0.25aF (a) + 0.15a[1 − F (a)]
习题 5.3
1． 求 N (5, 16)分布的上侧α 分位数： （1）α = 0.95； （2）α = 0.05； （3）α = 0.01．
x −5 X − 5 xα − 5 X −5 ~ N (0, 1) ，且 α = P{ X ≥ xα } = P{ ≥ } ，有 α = uα ， 4 4 4 4 则 xα = 5 + 4 uα = 5 + 4 Φ−1 (1 − α )， （1）x0.95 = 5 + 4 u 0.95 = 5 + 4 × (− 1.64) = − 1.56； （2）x0.05 = 5 + 4 u 0.05 = 5 + 4 × 1.64 = 11.56； （3）x0.01 = 5 + 4 u 0.01 = 5 + 4 × 2.33 = 14.32． 2． 查表求自由度为 7 的 t 分布的上侧α 分位数： （1）α = 0.95； （2）α = 0.99； （3）α = 0.05； （4）α = 0.01． 解：因 t1 − α (n) = − tα (n)， （1）t 0.95 (7) = − t 0.05 (7) = −1.8946； （2）t 0.99 (7) = − t 0.01 (7) = −2.9980； （3）t 0.05 (7) = 1.8946； （4）t 0.01 (7) = 2.9980． 3． 查表计算χα2 (18)： （1）α = 0.05； （2）α = 0.99．
概率论第五章习题解答 习题 5.1
1． 设 X1, …, Xn 为来自总体 X 的简单样本， 且 X 服从参数为 p （0 < p < 1） 的两点分布， 样本值为 x1, …, xn ． 求 X1, …, Xn 的联合分布律． 解：总体 X 的分布律为 P{X = x} = p x (1 − p)1 − x，x = 0, 1， 故 P{ X 1 = x1 , L , X n = x n } = ∏ p (1 − p)
i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 n n n n n n
4． 下列数据为某报童近 20 天的报纸销售量： 658, 571, 611, 527, 546, 598, 470, 577, 549, 598, 676, 569, 608, 632, 572, 706, 609, 569, 577, 641． （1）计算样本均值 x 和样本方差 s 2； （2）假设报童每天的报纸销售 量 X 服从正态分布，并且 E( X ) = x ，D (X ) = s 2，报纸的批发价为 0.35 元，零售价为 0.5 元，卖不完 退回报社的退回价为 0.1 元，求报童每天批发多少报纸，可使平均收益最大？ 解： （1） x =
x
习题 5.2
1． 设 X ~ N (µ, 25)，µ 未知，X1, …, Xn 为总体 X 的样本．下列样本函数中，哪些是统计量？为什么？
1
（1）
1 n 1 n (X i − X )2 2 ； （ 2 ） ( X − µ ) ∑ i ∑ σ 2 ，σ 为总体标准差． n i =1 n i =1
解： （1）不是统计量，其中含有未知参数µ ； （2）是统计量，参数σ = 5 为已知． 2． 证明定理 5.2． 证： （1） Y =
i =1
λ
∑ xi
n
− nλ
∑ xi
n
λ 故当 λ = x 时，P{X1 = x1, …, Xn = xn}最大． 3． 设 X1, …, Xn 为来自参数为λ 的指数分布总体 X 的样本，试求 X1, …, Xn 的联合密度函数．
⎧λ e − λ x , 解：总体 X 的密度函数 f ( x) = ⎨ ⎩0, x > 0, x ≤ 0,
+∞ ⎧5e −5 x , x > 0, +∞ 有 α = P{ X ≥ xα } = ∫ 5e −5 x dx = (−e −5 x ) = e −5 xα ， xα xα x ≤ 0, ⎩0,
1 1 1 故 xα = − ln α ， 当α = 0.15 时，x0.15 = − ln 0.15 = 0.3794 ； 当α = 0.95 时，x0.95 = − ln 0.95 = 0.0103 ． 5 5 5
（2） E ( X ) = E (
D( X ) = D(
∑ D( X i ) =
i =1
n
1 n2
∑ D( X ) = n 2 ⋅ nD( X ) = n D( X ) ．
i =1
n
1
1
3． 证明定理 5.3 中性质（1） ． 证： ∑ ( X i − X ) 2 = ∑ ( X i2 − 2 XX i + X 2 ) = ∑ X i2 − 2 X ∑ X i + nX 2 = ∑ X i2 − 2 X ⋅ nX + nX 2 = ∑ X i2 − nX 2 ．
，其中 x1, …, xn = 0, 1, 2, …，
n
令
d P{ X 1 = x1 , L , X n = x n } = dλ
i =1
∑ xi ⋅ λ
i =1
∑ xi −1
+λ
i =1
∑ xi −1
⋅e
− nλ
⋅ ( − n) =
x1! x 2 !L x n !
⋅e ⋅ ( i =1 − n) = 0 ， λ x1 ! x 2 !L x n !
xi i =1 n 1− xi
= p i =1 (1 − p)
∑ xi
n
n − ∑ xi
i =1
n
，其中 x1, …, xn = 0, 1．
2． 设 X1, …, Xn 为来自参数为λ 的泊松分布总体 X 的样本，样本值为 x1, …, xn ．试求λ 为何值时，
P{ X 1 = x1 , L , X n = x n } 最大？
=∫
+∞ 4 x −∞
⋅
1 2π ⋅
e
−
x2 2 dx
=∫
+∞ 3 x −∞
⋅
1 2π
d ( −e
−
x2 2
)=−
x3 2π
e
−
x2 2
+∞
+ ∫−∞
−∞
+∞
1 2π
e
−
x2 2
⋅ 3 x 2 dx
= 0 + 3∫
+∞ 2 x −∞
1 2π
e
−
x2 2 dx
= 3E ( X 12 ) = 3 ，
3
故 D( X 12 ) = E ( X 14 ) − [E ( X 12 )]2 = 3 − 1 = 2 ，即 D (χ 2 ) = 2n． 5． 求第一自由度为 4，第二自由度为 7 的 F 分布的上侧α 分位数： （1）α = 0.95； （2）α = 0.99； （3）α = 0.05； （4）α = 0.01． 解：因 Fα (n, m) =
因 X1 ~ N (0, 1)，有 E (X1 ) = 0，D (X1 ) = 1， 故 E( X 12 ) = D( X 1 ) + [E( X 1 )]2 = 1 ，即 E (χ 2 ) = n； 而 D( X 12 ) = E( X 14 ) − [ E( X 12 )]2 ， 且 E( X 14 )
解：因
2 解： （1） χ 0 .05 (18) = 28.869 ； 2 （2） χ 0 .99 (18) = 7.015 ．
4． 设χ 2 ~ χ 2 (n)，证明：E (χ 2) = n，D (χ 2) = 2n．
2 2 证：因χ 2 ~ χ 2 (n)，存在 X1 , X2 , …, X n 相互独立且都服从 N (0, 1)，使得 χ 2 = X 12 + X 2 +L+ Xn ， 2 2 2 2 则 E( χ 2 ) = E ( X 12 ) + E( X 2 ) + L + E( X n ) = nE ( X 12 ) ， D( χ 2 ) = D( X 12 ) + D( X 2 ) + L + D( X n ) = nD( X 12 ) ，
得 Φ(
a − 593.2 2883.22
) = 0.375 ，即
a − 593.2 2883.22
= −0.32 ，且
d 2 E (Y ) = −0.4 f (a ) < 0 ， da 2
故每天批发 a = 593.2 − 0.32 × 2883.22 = 576 份报纸时，可使平均收益最大． 5． 从一大批次品率为 p 的产品中，有放回地抽取 n 个，其中次品 nA 个． （1）nA 是否为统计量？（2）计 算 E (nA)、D (nA)．
解：总体 X 的分布律为 P{ X = x} =
λx
x!
⋅ e −λ ，x = 0, 1, 2, …，
∑ xi
n
则 P{ X 1 = x1 , L , X n = x n } = ∏
i =1
n
λ
xi
xi !
n
⋅ e −λ =
n
λi =1 ⋅ e − nλ
x1 ! x 2 !L x n !
⋅e
− nλ
−∞
= 0.4∫−∞ xf ( x)dx − 0.4aF (a) + 0.15a ，
令
aBaidu Nhomakorabea
dE (Y ) a − 593.2 = 0.4af ( a ) − 0.4 F ( a ) − 0.4af ( a ) + 0.15 = −0.4 F ( a ) + 0.15 = −0.4Φ ( ) + 0.15 = 0 ， da 2883.22
1 (658 + 571 + L + 641) = 593.2 ， 20 1 s 2 = [(658 − 593.2) 2 + (571 − 593.2) 2 + L + (641 − 593.2) 2 ] = 2883.22 ； 19 （2）由假设得 X ~ N (593.2, 2883.22)，设每天批发 a 份报纸，收益为 Y， 当 X ≥ a 时，实际售出 a 份报纸，收益 Y = 0.15a 元， 当 X < a 时，实际售出 X 份报纸，退回 a − X 份，收益 Y = 0.15X − 0.25 (a − X ) = 0.4 X − 0.25 a，
1 n 1 n 1 n 1 n Yi = ∑ ( aX i + b) = ( a ∑ X i + nb) = a ⋅ ∑ X i + b = aX + b ； ∑ n i =1 n i =1 n i =1 n i =1 1 n 1 n 1 n 1 X i ) = ∑ E ( X i ) = ∑ E ( X ) = ⋅ nE ( X ) = E ( X ) ， ∑ n i =1 n i =1 n i =1 n 1 n 1 Xi) = 2 ∑ n i =1 n
得 i =1
∑ xi
n
− n = 0 ，即 λ =
1 n ∑ xi = x ，且当 0 < λ < x 时，此导数为正，当 λ > x 时，此导数为负， n i =1
n ⎧ ⎧n − λ xi ⎪∏ λ e −λ xi , x1 , L , x n > 0, ⎪ n i∑ = ⎨λ e =1 , x1 , L , x n > 0, 故 f ( x1 , L , x n ) = ⎨ i =1 ⎪ ⎪0, 其他 其他 . ⎩0, ⎩
4． 设总体 X 的样本值为 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 2，求 X 的经验分布函数 Fn (x)，并画出其图形． 解：将样本观测值按由小到大顺序排列：1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3， 即 x (1) = x (2) = x (3) = x (4) = 1，x (5) = x (6) = x (7) = 2，x (8) = x (9) = x (10) = 3， y x < 1, ⎧0, ⎪0.4, 1 ≤ x < 2, 1 ⎪ 0.7 故 Fn ( x) = ⎨ 0.4 ⎪0.7, 2 ≤ x < 3, ⎪ 2 0 1 3 x ≥ 3. ⎩1,