中考数学复习指导：中考数学“网格”中的相似三角形问题

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相似三角形中考复习

相似三角形中考复习相似三角形是初中数学中的重要内容，在中考中占据着相当重要的地位。

为了帮助同学们更好地复习相似三角形，提高解题能力，我们来一起系统地梳理一下这部分知识。

一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

在实际解题中，我们要根据题目所给的条件，灵活选择合适的判定方法。

三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

这些性质在求解边长、角度、面积等问题时经常用到。

四、常见的相似三角形模型1、“A”字型在平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

2、“8”字型与“A”字型类似，只不过图形的形状像数字“8”。

3、母子相似型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4、一线三等角型在一条直线上有三个相等的角，往往可以通过角的相等关系证明三角形相似。

五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量建筑物的高度、河流的宽度等。

例如，要测量一座塔的高度，我们可以在塔的旁边立一根已知长度的标杆，然后分别测量出标杆的影长和塔的影长。

由于在同一时刻，太阳光线是平行的，所以标杆和塔与地面形成的三角形是相似的。

根据相似三角形的性质，我们就可以求出塔的高度。

六、中考真题解析例 1：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的点，且DE∥BC，如果 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4，那么 AC 的长是多少？解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。

所以 AD：AB ＝ AE：AC因为 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4所以 2：3 ＝ 4：AC解得 AC ＝ 6例 2：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，BD⊥AC 于点 D，若AB ＝ 3，BC ＝ 4，求 BD 的长。

中考数学解题技巧如何利用三角形的相似性解决几何题

中考数学解题技巧如何利用三角形的相似性解决几何题几何学是数学学科中的一项重要内容，也是中考数学的核心考点。

在解决几何题时，灵活应用数学知识和解题技巧可以帮助我们高效、准确地解决问题。

本文将重点介绍如何利用三角形的相似性解决中考数学中的几何题。

一、相似三角形的判定在几何题中，常常需要判断两个三角形是否是相似的。

判定两个三角形相似的条件有三种常见方法：AAA判定、AAA'判定和AA判定。

1. AAA判定：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则这两个三角形是相似的。

2. AAA'判定：如果两个三角形的两个内角对应相等，并且两个三角形的对边成比例，则这两个三角形是相似的。

3. AA判定：如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形是相似的。

根据相似三角形的判定条件，我们可以通过观察题目中的条件来判断是否可以应用相似性来解决问题。

二、利用相似三角形解决几何题的步骤1. 判断相似三角形：首先，我们需要观察题目给出的条件，判断是否能确定两个或多个三角形是相似的。

如果可以确定是相似三角形，那么我们就可以使用相似三角形的性质来推导解决问题。

2. 建立比例关系：在判断出两个相似三角形后，我们可以利用对应边的比例关系来建立等式或者不等式。

例如，假设两个相似三角形的对应边分别为a、b、c和a'、b'、c'，那么可以得到以下等式或者不等式：a/a' = b/b' = c/c'。

3. 运用性质解决问题：通过建立的比例关系，我们可以利用相似三角形的性质解决问题。

例如，已知一个直角三角形ABC，其中∠A=90°，BC是斜边，AD是高，D在BC上，要求证明AD²=BD×CD。

我们可以利用相似三角形的性质，观察到∠BDA和∠BDC都与∠C相似，从而得到∠BDA∼∠BDC。

然后利用“相似三角形的对应边成比例”这一性质，我们就可以通过建立等式 BD/AD = AD/CD 来解决问题。

中考数学复习指导：中考数学“网格”中的相似三角形问题

中考数学“网格”中的相似三角形问题所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下：例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（）分析先利用勾股定理求出△ABC2，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比.解由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三角形三边长为122，而与△ABC它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2ABC＝2，22，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B .例2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（）A.FB.GC.HD.OBA 图2 C D图1分析若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解.解因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形，所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C .例3在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.分析由于△OAB 是直角三角形，所以求得的格点△ABC 也一定是直角三角形，而在5×5的方格中以点O 为直角顶点的格点Rt △ABC 作不出来，只有分别以点A 或B 为直角的顶点可以作出Rt △ABC .解若以A 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(4，0)，若以B 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(3，2)，所以点C 的坐标是(4，0)或(3，2).例4 如图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.分析要解答第（1）小问，只要利用正方形的特性和勾股定理即可求解；而要判断△ABC 与△DEF 是否相似，可以利用“如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似”；或“如果一个图4 图2 图3三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似”来验证.解（1）利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC ＝180°－45°＝135°，由勾股定理得BC 22；（2）△DEF 中，∠DEF ＝135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB ＝2，BC ＝22；EF ＝2，DE ＝2.因为ABDE 2，BC EF ＝2＝2，所以AB DE ＝BC EF，且∠ABC ＝∠DEF ＝135°，所以△ABC ∽△DEF .透过网格去看相似网格型试题具有新颖性、直观性、可操作性和综合性，不仅能考查图形的对称、勾股定理、面积公式等数学知识，体现了分类讨论、数形结合等重要数学思想，而且能通过学生的识图、思考、动手操作、自主探究等过程，能较好地把数学知识与多种能力有效地整合在一起，符合新课程标准的要求．在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得；（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．利用这些特征就可以设计出很多有趣的、具有操作性的探究性的题目来，特别是在研究相似问题时具有独到上午效果．一、网格与相似三角形例1．如图1，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在（）A ．P 1处；B ．P 2处；C ．P 3处；D ．P 4处图1分析：本题根据网格的特征结合三角形相似的判定条件即可解决问题解：答案为C例2．如图2，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ ABC 相似的是( )。

中考相似三角形解题技巧

中考相似三角形解题技巧
嘿，同学们！中考里的相似三角形可是个大怪兽啊，但别怕，今天我就来给你们讲讲打败它的解题技巧！
比如说有这样一道题：已知在三角形 ABC 中，DE 平行 BC，AD=2，BD=3，AE=4，那我们怎么求 EC 的长呢？这时候相似三角形的技巧就派上用场啦！
咱先想想，相似三角形不就像是一对双胞胎嘛，它们有很多相似的地方！当看到平行的条件时，我们就得敏感起来啦！就像看到好吃的会流口水一样。

然后呢，我们根据相似三角形的对应边成比例来解题呀。

在这个例子里，我们可以得出 AD 与 AB 的比等于 AE 与 AC 的比呀，通过计算就能求出 EC
的值啦，是不是很神奇呀！
还有啊，如果看到两个三角形形状很像，那可别犹豫，赶紧找找它们的对应边和对应角。

就好像找宝藏一样，仔细去找那些关键的线索。

再比如有两个三角形，它们的角度都一样，那肯定就是相似啦！哎呀，这多明显呀！这时候我们就能愉快地运用相似的性质去解题咯。

总之呢，掌握了这些技巧，中考里的相似三角形就不再是难题啦！同学们加油呀！相信你们都能搞定它！。

中考之相似三角形方法总结

中考之相似三角形方法总结相似三角形是初中数学常见的重要知识点，掌握相似三角形的方法对于解题非常有帮助。

下面是关于相似三角形方法的总结。

一、相似三角形的定义和判定相似三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。

两个三角形相似的判定方法为：1.AA判定法：如果两个三角形中有两对相对角度相等，则这两个三角形相似。

2.AAA判定法：如果两个三角形的三个内角相对应相等，则这两个三角形相似。

3.SSS判定法：如果两个三角形的对应边长之比相等，则这两个三角形相似。

4.SAS判定法：如果两个三角形中，一对对应角相等，且两对对应边的比值相等，则这两个三角形相似。

二、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等。

2.相似三角形的对应边长比值相等。

3.相似三角形的高线、中线和角平分线所对应的长度之比相等。

4.相似三角形的周长比例等于它们的边长比例。

5.相似三角形的面积比例等于它们的边长比例平方。

三、相似三角形的计算方法1.已知两个相似三角形的边长比例，可以通过等比例关系来计算未知边长。

2.已知一个相似三角形的高线或者中线和相似比例，可以通过相似比例关系来计算另一个相似三角形的高线或者中线。

3.已知两个相似三角形的面积比例，可以通过面积比例关系来计算未知面积。

4.已知三个相似三角形的边长比例和一个相似三角形的面积，可以通过面积和边长的比例关系来计算未知面积。

四、相似三角形的应用1.根据相似三角形的性质，可以在不直接测量的情况下，计算远处的高度、长度等。

2.可以通过相似三角形的关系来解决各种几何问题，如平行线的证明、角度的计算、比例的求解等。

3.在实际生活中，相似三角形的知识经常用于建筑、测量、工程等领域的计算和设计中。

1.掌握相似三角形的定义和判定方法，能够准确判断两个三角形是否相似。

2.熟练应用AA、AAA、SSS和SAS判定法，能够根据题目给出的条件判定三角形的相似关系。

3.理解相似三角形的性质，能够应用性质计算未知边长、比例、面积等。

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。

初中数学相似三角形知识点、常见结论、解题技巧

初中数学相似三角形知识点、常见结论、解题技巧一、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

二、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成一个类似于原三角形的三角形。

三、三角形相似的判定1、三角形相似的判定方法①、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似2、直角三角形相似的判定方法①、以上各种判定方法均适用②、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③、垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

相似常见类型二、相似常见结论1若DE//AB，则DG/AF=GE/BF2若AD平分∠BAC，则AB/AC=BD/CD3若四边形ABCD是平行四边形，则AE⊃2;=EF·FG4若∠DAC=∠DBC，则△ADE~△BCE ,可推导出△AEB~△DEC即上下相似可得左右相似同理，左右相似可得上下相似相似三角形常见解题技巧1、三角形叉叉图这类题目经常考察寻找线段的比例或长度。

图中四对线段比AE/ED、AF/BF、CD/BD、CE/EF，知二求二。

常用辅助线做法：过点作三角形边的平行线遵循原则：所做辅助线不能破坏原有线段比例2、三角形的可解性一个三角形，必然有三角形、三边、三高、周长、面积等十一个量。

中考数学相似三角形一线三垂直型解题攻略

中考数学相似三角形一线三垂直型解题攻略相似三角形是中考数学中的重要知识点，在解题时经常会遇到一线三垂直型相似三角形的题目。

本文将介绍相似三角形一线三垂直型解题的攻略，帮助同学们更好地理解和应用该知识点，提高解题能力。

一、相似三角形基本理论回顾在开始解决相似三角形一线三垂直型解题之前，我们先回顾相似三角形的基本理论。

相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的两个三角形。

根据相似三角形的性质和比例关系，我们可以得出以下定理：1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应三条边长度成比例，则这两个三角形相似。

3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个角相等，另外两边依次成比例，则这两个三角形相似。

二、一线三垂直型相似三角形的特点一线三垂直型相似三角形是指两个相似三角形的对应边中，有一条边与另一个相似三角形的一条边重合，并且这两个三角形的另外两个边分别垂直。

通过观察一线三垂直型相似三角形的特点，我们可以得出以下结论：1. 在一线三垂直型相似三角形中，两个对应边的比例等于重合边的比例。

2. 在一线三垂直型相似三角形中，两个对应角的相等可以直接得出。

三、解题攻略在解决中考数学中的一线三垂直型相似三角形题目时，我们可以按照以下步骤进行：步骤一：观察题目，分析给出的已知条件和需求，确定使用相似三角形的理论和方法。

步骤二：根据题目中的已知条件，找出相似三角形的特点，确定相应的比例关系和相等角。

步骤三：根据相似三角形的特点，利用已知条件和相应的比例关系解题。

可以使用等式、比例式或类似三角形的性质进行推导和计算。

步骤四：根据题目要求，结合所得的结果进行计算、推导或判断，得出最终答案。

步骤五：检查答案，确保计算的准确性和合理性。

通过以上步骤的操作，我们可以较为系统地解决中考数学中的一线三垂直型相似三角形题目，提高解题的效率和准确性。

四、解题实例为了更好地了解如何应用相似三角形一线三垂直型解题攻略，我们来看一个具体的解题实例。

相似三角形中考考点归纳与典型例题

相似三角形中考考点归纳与典型例题相似三角形是初中数学中常出现的重要概念，它是几何学中研究两个三角形之间形状关系的一个重要内容。

掌握相似三角形的性质和应用是解决几何问题的基础。

相似三角形的重要性质：1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则它们是相似三角形。

记作ΔABC ~ ΔDEF。

其中A、B、C是ΔABC的顶点，D、E、F是ΔDEF的顶点。

2. 判定定理：(1) AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。

(2) AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，则它们是相似的。

3. 边比例关系：相似三角形的对应边成比例。

即对于ΔABC ~ΔDEF，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。

4. 高比例关系：相似三角形的高线成比例。

即对于ΔABC ~ΔDEF，有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。

5. 相似三角形的性质：(1) 对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

(2) 对应边成比例，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。

(3) 相似三角形的顶角相等，边比例相等，它们的面积比例也相等。

(4) 相似三角形的高线间成比例。

相似三角形的典型例题：例题1：如图，在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BM是AC的中线，求比值AB/BC。

解：由与直角三角形的垂直关系可知∠A = ∠CBM，∠C = ∠ABM。

所以∠ABC ~ ∠CBM。

根据相似三角形的性质可得AB/BC = CB/BM = 2/1，即AB/BC = 2。

例题2：如图，上底AE = 4cm，下底BC = 8cm，连结CD，且CD = AE，点F是AE的中点，连接BF，求比值∠AFB/∠ACD。

解：由AE = CD可得∠A = ∠C。

又由BF = FE可得∠B = ∠AFE。

所以∠AFB ~ ∠ACD。

根据相似三角形的性质可得∠AFB/∠ACD = AB/AD= BC/CD = 2。

初三数学相似三角形经典题型

初三数学相似三角形经典题型相似三角形是初中数学中常见的一个重要概念，也是一种经典的题型。

相似三角形的性质和应用在数学学习和实际问题中都具有很大的意义。

本文将介绍相似三角形的定义、判定方法以及相关的经典题型。

一、相似三角形的定义与判定相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

在数学中，我们可以通过以下两种方法判定两个三角形是否相似。

1. AAA（全等对应角）判定法:如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。

例如，如果三角形ABC和三角形DEF的角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，那么可以得出三角形ABC与三角形DEF是相似的。

2. AA（对应角）判定法:如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。

此时，我们还需要知道两个对应角的两边比例是否相等。

例如，如果角A等于角D，角B等于角E，而且边AB与边DE的比例等于边AC与边DF的比例，那么可以得出三角形ABC与三角形DEF是相似的。

以上两种判定法在实际解题中非常有用，也是帮助我们分析和解决问题的基础。

二、相似三角形的经典题型1. 求相似三角形的边长比例:已知两个相似三角形的某一个边长比例，求另一个边长的比例。

例如，已知相似三角形ABC与三角形DEF的边长比例为AB：DE = 2：3，BC：EF = 5：6，求AC：DF的比例。

解题思路：首先，我们可以假设AC：DF的比例为x：y。

根据相似三角形性质，我们可以列出一个等式：AB：DE = AC：DF2：3 = 5：6根据等式可以得出2y = 3x，5y = 6x。

进一步求解该等式，可以得到x：y的比例为2：5/3。

2. 利用相似三角形求解实际问题:有时候，我们需要利用相似三角形的性质来解决实际问题。

例如，一根高杆和一根矮杆在地面上的距离是30米，两杆的视角是60°和30°。

如果两根杆的高度之差是6米，求高杆的高度。

解题思路：我们可以设高杆的高度为h，矮杆的高度为h-6。

中考数学中如何运用相似三角形解决实际问题

中考数学中如何运用相似三角形解决实际问题关键信息项：1、相似三角形的定义和性质2、实际问题的类型和特点3、解决实际问题的步骤和方法4、常见错误和注意事项11 相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

其性质包括：对应边的比值相等；对应角相等；周长的比值等于相似比；面积的比值等于相似比的平方等。

111 相似三角形的判定方法判定两个三角形相似的方法主要有以下几种：（1）两角对应相等的两个三角形相似。

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（3）三边对应成比例的两个三角形相似。

112 相似三角形性质的应用在解决实际问题中，相似三角形的性质常用于计算线段的长度、角度的大小以及图形的面积等。

12 实际问题的类型和特点在中考数学中，运用相似三角形解决的实际问题类型多样，常见的包括测量问题（如测量物体的高度、宽度、距离等）、投影问题（如路灯下的人影长度、建筑物的影子长度等）、几何图形问题（如三角形、四边形等的相似关系）等。

这些实际问题的特点通常是给出部分已知条件，需要通过构建相似三角形来求解未知量。

121 测量问题例如，要测量一个旗杆的高度，但无法直接测量。

可以在旗杆旁边立一根已知长度的标杆，在同一时刻测量标杆的影子长度和旗杆的影子长度，利用相似三角形对应边成比例的性质，计算出旗杆的高度。

122 投影问题当光线照射物体时形成的影子与物体和光源构成相似三角形。

通过测量相关的长度和角度，可以运用相似三角形的知识求出物体的高度或距离。

123 几何图形问题在一些复杂的几何图形中，可能存在多个相似三角形，需要通过仔细分析图形的特点和条件，找出相似关系，进而求解问题。

13 解决实际问题的步骤和方法131 分析题目仔细阅读题目，理解问题的背景和所给条件，确定需要求解的未知量。

132 构建相似三角形根据题目中的实际情况，找出或构建出相似三角形。

这可能需要观察图形中的角度关系、边长比例等。

133 列出比例式根据相似三角形对应边成比例的性质，列出相应的比例式。

初三数学相似三角形解题技巧

初三数学相似三角形解题技巧摘要：1.相似三角形的判定方法2.相似三角形的性质应用3.解题步骤与实例分析正文：相似三角形在初中数学中占有重要地位，掌握相似三角形的判定方法和性质对解决各类题目有很大帮助。

本文将为大家介绍相似三角形的解题技巧，帮助大家更好地运用这一知识点。

一、相似三角形的判定方法1.两角法：如果两个三角形有两个对应角相等，则这两个三角形相似。

2.边比例法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。

3.面积比例法：如果两个三角形的面积成比例，则这两个三角形相似。

4.角-边-角法：如果两个三角形的一组对应角相等，且夹在这两个角之间的那组对应边成比例，则这两个三角形相似。

二、相似三角形的性质应用1.相似三角形的对应边成比例。

2.相似三角形的对应角相等。

3.相似三角形的面积比等于相似比的平方。

4.相似三角形的高成比例。

5.相似三角形的周长比等于相似比。

三、解题步骤与实例分析1.观察题目，找出已知条件和所求问题。

2.判断三角形是否相似，若相似，利用相似三角形的性质解题。

3.根据题目条件，运用相似三角形的判定方法，确定相似三角形的存在。

4.利用相似三角形的性质，将问题转化为简单的计算或几何问题。

5.进行计算或几何分析，得出最终答案。

实例：已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB/DE = 2，BC/EF = 3，求AC/DF。

解：由相似三角形的性质可知，三角形ABC与三角形DEF的对应边成比例。

因此，AC/DF = AB/DE × BC/EF = 2 × 3 = 6。

总之，掌握相似三角形的判定方法和性质，并能灵活运用这些知识解决实际问题，是提高初三数学解题能力的关键。

中考数学知识点相似三角形

中考数学知识点相似三角形
中考数学知识点相似三角形
新一轮中考复习备考周期正式开始，小编为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是小编分享的中考数学知识点相似三角形，欢迎大家学习！
相似三角形
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。

三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的`延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

中考数学复习指导：相似三角形的探索性问题

相似三角形的探索性问题探索性问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，要求学生通过自己的观察、分析、比较、概括，得出结论，形成方法和思路的数学问题，这类题是考查学生分析问题和解决问题的重要题型，它可以分为三类：一、条件探索性问题条件探索性问题是指所给问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目，这类问题大致分为两种类型：一是问题中的条件未知或不足需要探求，二是条件多余或有错，要求排除或修正.例1:如图1,已知△ABC ,P 是AB 边上的一点,连结CP .要使△APC ∽△ACB ,则应添加一个条件是_______.分析:⑴∠ACP =∠B (或∠APC =∠ACB )时,可得到△APC ∽△ACB ;⑵即△APC ∽△ACB方法探究:在△APC 和△ACB 中,已有一角对应相等,因此添加的条件应从“有两个角对应相等，两个三角形相似”和“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形形似”两个途径进行思考，本题是一个条件探究题，这类问题一般解法是把结论当作已知反溯条件.二、结论探索性问题它是指题目结论不确定,不唯一,或题目结论需要通过类比引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论.例2:已知:如图2, △ABC 中,点D.E 分别在边AB.AC 上,连结DE 并延长交BC 的延长线于点F ,连结DC.BE .若∠BDE +∠BCE =180°.(1)写出图中三对相似三角形(注意:不得加字母和线);(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对,说明他们相似的理由.分析: 先由角的关系入手,由∠BDE +∠BCE =180°和图形中∠BDE +∠ADE =∠BCE +∠ECF =180°, 可得∠BDE =∠ECF , ∠ADE =∠BCE , 易得△ADE ∽△ACB (∠A 为公共角)、 △ECF ∽△BDF (∠F 为公共角), 其次，由△ECF ∽△BDF 得可得△FDC ∽△FBE (∠F 为公共角).图2A图1PCB解：⑴△ADE ∽△ACB ，△ECF ∽△BDF ，△FDC ∽△FBE .⑵①△ADE ∽△ACB . 证明如下：∵∠BDE +∠BCE =180°.又∵∠BDE +∠ADE =180°，∴∠ADE =∠BCE . ∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB 。

中考数学相似知识点总结

中考数学相似知识点总结相似性是数学中一个重要的性质，它在几何学、代数学、物理学等多个领域都有着广泛的应用。

在中考数学中，相似性是一个重要的知识点，涉及到相似三角形、比例、相似比等内容。

本文将对中考数学中的相似知识点进行总结，希望对广大中学生的学习有所帮助。

1.相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

两个相似三角形的对应角相等，对应边的比值相等。

在中考数学中，相似三角形是一个重要的知识点，涉及到相似三角形的判定、性质和应用等内容。

（1）相似三角形的判定：两个三角形是相似三角形的条件有两种：a. 两个三角形的对应角相等。

即如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。

b. 两个三角形的对应边的比值相等。

即如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

（2）相似三角形的性质：相似三角形的性质有很多，其中比较重要的有：a. 相似三角形的对应角相等。

即两个相似三角形的对应角是相等的。

b. 相似三角形的对应边的比值相等。

即两个相似三角形的对应边的比值是相等的。

c. 相似三角形的周长和面积的性质。

如果两个三角形是相似的，那么它们的周长和面积的比值等于它们边长和面积的比值。

（3）相似三角形的应用：相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。

例如地图的绘制、建筑物的设计、影视摄影等领域都涉及到相似三角形的知识。

2.比例比例是指两个或多个量之间的相等关系。

在中考数学中，比例是一个常见的知识点，涉及到比例的意义、性质、计算和应用等内容。

（1）比例的意义：比例表示了两个或多个量之间的相等关系，反映了事物之间的数量关系。

比例常用于描述事物之间的大小关系、速度关系、长度关系、面积关系等。

（2）比例的性质：比例具有以下几个性质：a. 交叉乘积相等。

即如果a:b=c:d，那么ad=bc。

b. 反比例的意义。

即如果a:b=c:d，那么b:a=d:c。

c. 等比例线段的性质。

即如果a:b=b:c，那么a:c是等比例线段。

中考数学复习指导：三角形“两两相似”问题的五类基本模型.doc

三角形“两两相似”问题的五类基本模型模型一如图1,在Z\ABC中，AB=AC,点D, E在BC边上，且ZDAE=ZC.则△BEAsAAEDs/\CAD （证明略，下同）.例1如图2,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A 为公共顶点，ZBAC=ZACF = 90°,它们的斜边长为2.若Z\ABC固定不动，△ AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C 重合），设BE=m, CD=n.（1）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的収值范围.（2）在旋转过程中，试判断以线段BD, DE和CE为边构成的三角形的形状，并说明理分析（1）因为AABC和AAFG均为等腰直角三角形，ZBAC= ZAGF=90° , BC =・••厶B =厶C = Z.DAE = 45°,由模型一，可知厶BEA s \AED s MAD,当点D与点B重合时，n=2.当点E与点C重合时，D为BC的屮点，则n=l：故自变量n的収值范围为l<n<2.(2)以线段BD, DE和CE为边构成的三角形为直角三角形(过程略).点评在已知三角形三边的前提下，判断一个三角形是否为直角三角形，一般可采用以下两种方法：一是先确定三条边中的最长边，再根据勾股定理的逆定理来判断；二是可通过添加辅助线來构造直角三角形，如本例，利用旋转变换将线段BD, DE和CE集中到RtAHBD 中.模型二如图3,在AABC中，AB=AC,点D, E在直线BC上，且ZBAD=ZE, 则△ EACsAEDAs △ ADB.图3例2如图3,在厶ABC44, AB=AC=1,点D, E在直线BC上运动.设BD=x, CE=y.(1)如果ZBAC=30° , ZDAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式；(2)如果ZBAC=a, ZDAE = p,当a,卩满足怎样的关系吋，⑴中y与x之间的函数关系式仍然成立？试说明理由.分析(1)由已知可得ZABC=ZACB = 75° .ZDAB+ZCAE=75又ZCAE+ ZE= ZACB = 750, 故ZDAB=ZE.rti模型二，可知AEAC^AEDA^AADB,EC _ AC即y与X之间的函数关系式为y=丄；X（2）由 AB = AC, ZBAC=a,得ZABC=ZACB = 90° --a,2 故ZDBA=90° 4--a. 2耍使⑴中y 与x 之间的函数关系式仍然成立，则厶EDA^AADB, ・・・ZDAE=ZDBA,即 p=90° +|a.点评确定两条线段Z 间的数量关系，通常可利用线段成比例，找出相等关系，再转化为函数关系，本例中，设法证明BD 与CE 这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y 与x 之间的函数关系式.模型三如图4,在四边形ABCD 中，E 为AB 边中点, 且ZA=ZDEC=ZB,则厶ADE^AEDC^ABEC.例3 （2012年湖北天门中考题，有改动）如图 5,在AABC.中，AB=AC=10. BC=12,D 为BC 边中点，以D 为顶点作ZMDN=ZB, 射线DM, DN 分别交线段AC, AB 于E, F 点（点E 与点A 不重合）.当ADEF 的面积等于AABC 面积的丄时，求线段EF 的长. 4分析如图5,连结AD,过点D 作DG 丄AB 于点G, DH 丄EF 于点H. 由已知可得CA EB 图4例4如图7,在矩形ABCD44, AB = 5, BC=2,且A, B, C, D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上.试在AB 边上找一点E,分别连结CE 、DE,使得CE 、DE 分矩形ABCD 所成的3个三角形都相似.分析设AE=x,则BE=5—x.由模型四，可知△ADEs^BEC,解得 X1 = 1, X2 = 4.AD 丄 BC,BD == 6, A AD = J AB '-両=8, BD AD AB~S bDEF A4BC= -^-XyX12x8 = 12 ・由模型三，可知ABFD 5 6DFE,则乙DFB =乙 EFD,又DG 1. AB,DH 丄 EF,・・・ DH = DG = y,2$则 EF = x 5.点评木例屮rh ABFD<^ ADFE<^ACDE,可得DF, DE 分别平分ZBFE, ZCEF.若过点D 作DI 丄AC 于点I,贝ijDH = DG = DI=—• 5模型四如图6,在矩形ABCD 屮，点E 是BC 边上一点，且ZAED=90° ,则AABE ^ADEA^AECD.厂］…「丁丁匸AD AE BE BC 24图54 DB EC 图6即AE 的氏为1或4,点E 的位置如图8所示.图8点评解答此题后，我们不难得出，要使得AADE, ACDE 和ABCE 中的任意两个三角形均相似，只能ZDEC = 90° ,那么点E 须在以CD 为直径的圆上，且该圆与AB 相切或相交.故当竺＞丄时，满足要求的点E 不存在；AB 2当竺=丄时，满足要求的点E 仅有1个； AB 2当竺＜_L 时，满足要求的点E 有2个.AB 2模型五如图9,在RtAABC 屮,CD 是斜边AB 上的高，则△ CDB^AACB^AADC.交于点A 、B (点A 位于点B 的左侧)，与y 轴的正半轴交于点C.请你探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、AQOA 和AQAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.分析由y=」x?—丄(b+l)x+° 4 4 4=扣_1)(兀_6得 A(l, 0), B(b, 0), C (0,-). 4假设存在这样的点Q,使得△QCO 、AQOA 和AQAB 屮的任意两个三角形均相似,且b ＞2)与x 轴的正半轴分别由ZQAB = ZAOQ + ZAQO,得ZQAB>ZAOQ, ZQAB>ZAQO.所以，要使得△ QOA和厶QAB相似，只能ZOAQ=ZQAB = 90° ,即QA丄x轴.由OB>2, OA=1,得AB>OA,则ZQOA>ZQBA,故ZQOA=ZAQB,此时ZOQB = 90° ,rti模型五，可知AQ AR△BQA S&OQ S^O A'则即AQ2=OA. AB = b-l,所以b=AQ2+l.由QA丄x轴，知QA〃y轴，则ZCOQ=ZOQA・所以，要使得△ QOA和厶OQC相似，只能.ZOCQ=90°或ZOQC=90° .① 当乙OCQ = 90。

九年级数学相似三角形知识点

九年级数学相似三角形知识点相似三角形是九年级数学中的重要知识点之一，本文将详细介绍相似三角形的概念、判定方法及性质。

一、概念相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

两个三角形相似的条件为对应角相等，并且对应边成比例。

记作△ABC∽△DEF。

二、判定方法1.角-角-角（AA）判定法若两个三角形的三个角分别相等，则它们一定相似。

2.角-边-角（ARJ）判定法若两个三角形的一个角相等，另一个角相等，且夹在已知边之间的两边成比例，则它们一定相似。

3.边-角-边（SAS）判定法若两个三角形的两边分别成比例，夹角相等，则它们一定相似。

注意：边-边-边（SSS）判定法不能判断两个三角形是否相似，因为只有边成比例不能保证角相等。

三、性质1.对应角相等性质相似三角形的对应角相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

2.对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

其中，k为比例因子，代表两个相似三角形的对应边之比。

3.周长比例性质相似三角形的周长之比等于任意一条对应边之比。

4.面积比例性质相似三角形的面积之比等于任意一条对应边平方的比。

5.高比例性质相似三角形的高之比等于任意一条对应边之比。

四、相似三角形的应用1.测量难以直接获取的长度利用相似三角形的边比例性质，可以通过测量一些直接长度，求解难以直接获取的长度，如高度、距离等。

2.解决图像与实物的相似问题在制图中，根据相似三角形的比例性质，可以将实物缩小或放大绘制，保持图像与实物相似，从而达到简化和便于研究的目的。

3.解决间接测量问题利用相似三角形的性质，可以通过测量一些已知长度和角度，间接计算出难以直接测量的距离或高度。

4.解决图形的包含和相似问题通过相似三角形的判定方法，可以判断一个三角形是否包含在另外一个三角形中，以及两个图形是否相似。

总结：相似三角形是九年级数学中的重要知识点，通过角-角-角、角-边-角和边-角-边三种判定方法，我们可以判断两个三角形是否相似。

2023年中考数学相似三角形问题精讲

中考相似三角形问题【命题趋势】相似三角形问题是中考数学中的重点题型，也是难点所在．相似三角形问题的难度都比较大，所占分值也比较重，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动态问题、最值（范围）问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大．所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题．【满分技巧】一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似；②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似2、已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似3、已知可能的一个直角三角形①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；②找另一角，两角对应相等，两三角形相似③找两边对应成比例判定定理1或判定定理44、与等腰三角形有关的①找顶角对应相等判定定理1②找底角对应相等判定定理1③找底和腰对应成比例判定定理35、相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

中考数学知识点总结：相似三角形定理

2019中考数学知识点总结: 相似三角形定理
?1.相似三角形定义:
对应角相等, 对应边成比例的三角形, 叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示, 读作"相似于"。

3.相似三角形的相似比:
相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交, 所截成的三角形与原三角形相似。

初中数学相似三角形定理知识点总结
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的"对应边相等"的条件改为"对应边
成比例"就可得到相似三角形的判定定理, 这就是我们数学中的用类比的方法, 在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似:
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理:
(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比, 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性。

聚集中考中的格点相似三角形问题

聚集中考中的格点相似三角形问题江苏刘顿近年来，由于中考对同学们的动手能力的考查要求比较高，所以出现了不少有利于培养同学们的创新能力的试题，网格中的相似似三角形问题就是近年来中考命题的一个亮点，它要求同学们能从正方形网格中挖掘出诸多的求解问题的条件，是一种探究性较强的新题型.现以近年来中考题为说明如下：例1 如图1，小正方形的边长均为1，则如图2所示中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的为（）简析由于正方形边长均为1，所以在△ABC中，AC＝2，BC＝2，AB＝10；而图A中三角形三边长为1，所以与△ABC，显然它们不相等；图B中三角形三边长为1与△ABC的三边的比分别＝2，22，故对应边的比相等；用同样的方法可以得出在图C和图D中的两个三角形三边分别与△ABC三边的比不相等.故应选B.例2 如图3，若A、B、C、D、E、F、G、H、O都是5×7方格纸中的格点，为使△DME∽△ABC，则点M应是F、G、H、O四点中的（）A.FB.GC.HD.O简析由于△ABC是一个等腰直角三角形，故与△ABC相似的△DME也应是等腰直角三角形，观察图中F、G、H、O四点与D、E两点的位置关系，只有点H能与D、E两点构成等腰直角三角形.故应选C.例3 已知如图4中的每个小正方形的边长是1个单位.在图4中画出一个与格点△ABC 相似但相似比不等于1的格点三角形简析这是一道以网格为载体的创新作图题，要作与已知三角形相似的三角形，首先需要利用勾股定理计算出三角形的边长，再综合运用相似三角形的判定方法.在网格中画相似三角形的最简单的方法是将原图形放大若干倍（或缩小几分之一），通常可确定一个顶点，利用平移的方法将其一边放大（或缩小若干倍）得第二个顶点，依次类推得出第三个顶点，图 3图3图1A B C D图2图4CBFED最后顺次连结每相邻的两个顶点，就得到所要画的三角形，由此可见，本题的答案不唯一，如，如图4中的△DEF 就是所画的一个三角形.例4 如图5是一个10×10格点正方形组成的网格.△ABC 是格点三角形(顶点在网格交点处), 请你完成下面两个问题：（1）在图5中画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2, 且△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是2, △A 2B 2C 2与△ABC 的相似比是22. （2）在图18中用与△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次), 拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词.简析（1）观察图5可知△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要作出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，且△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是2，△A 2B 2C 2与△ABC 的相似比是22，所以如图5中的△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2即为所作.（2）若想到七巧板，我们就不难解决这个问题了，只答案不唯一，如图6就是其中的一例.解说词可以说成是“兔子”.图6 图52。

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