江苏省淮阴中学第一学期高二数学期中考试试卷
江苏省淮阴中学第一学期期中考试高二数学试题
江苏省淮阴中学2008-2009学年度第一学期期中考试高二数学试题命题 刘彩虹 沈毅 审定 俞光军一、填空题：（每题5分，共70分）1．已知命题p:01x x ,R x 2≥+-∈∀，则⌝p 2．将下列三段论形式的演绎推理补充完整： ___________ ★ ____________，0.33 是无限循环小数， 所以0.33 是有理数。
3．根据上面的流程图，当输入的值为3时，输出的结果是____★ ___4．在∆ABC 中，3,4,5为其三边长，且随机地向∆ABC 内丢一粒豆子，则豆子落入此三角形内切圆内的概率是____★___ 5．P ：03x 1<-,q ：x 2-4x-5<0，若p 且q 为假命题，则x 的取值范围是____★ ___ 6．某小卖部为了了解热茶销量y （杯）与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天卖出 的热茶杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程a bx yˆ+=中2b -=，预测当气温为C 50-时，热茶销量约为____★__ _杯7．已知22cos )4sin(=απ-α，则α2sin =____★ ____ 8．高二（1）班有65名学生，某次数学考试的平均分是120分，标准差为S ，后来发现录分有误，甲同学的130分误记为150分，乙同学的120分误记为100分，更正后重新计算得标准差为S 1，则S 1与S 的大小关系是__★ ___9．函数)x sin(2)x (f θ+=是奇函数的充要条件是___ ★ ____ 10．下列命题中，真命题的序号是___ ★ ____ ①命题“若a>b ，则b1a 1<”的逆命题； ②“m>0”是“方程0m 2x 4x 2=--有实根”的充分不必要条件； ③甲、乙两人下棋，两人和棋的概率为,21乙获胜的概率为31，则65是乙不输的概率。
11．甲、乙、丙、丁四位女生玩传手绢游戏，拿到手绢的人立即传给其他3人中的一个，现从甲开始传手绢，经过三次传递后，手绢仍回到甲手中的概率是___ ★ ____ 12．下面伪代码输出的结果是___ ★ ____ S ←1For i Form 1 TO 2009 S ←2S+3If S>20 Then S ←S-20 End For Print S13．等差数列{n a }中，S n 是数列{n a }的前n 项和，则数列}nS {n为等差数列。
2022-2023学年江苏省淮安市五校高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省淮安市五校高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．点P （2，5）关于直线x +y ＝1的对称点的坐标是（ ） A ．（﹣5，﹣2）B ．（﹣4，﹣1）C ．（﹣6，﹣3）D ．（﹣4，﹣2）2．已知方程x 2+y 2﹣2x +2k +3＝0表示圆，则k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（3，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D ．（−32，+∞）3．求经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ） A ．x +y ﹣5＝0B ．2x ﹣3y ＝0C ．2x ﹣3y ＝0或x +y ﹣5＝0D ．以上都不对4．圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝2上的点P 到点Q （4，﹣2）的距离可能为（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．95．双曲线x 2−y 2b2=1(b ＞0)的渐近线方程是y ＝±2√2x ，则双曲线的焦距为（ ）A ．3B ．6C ．2√7D ．32√26．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1．若{1a n}为等差数列，则a 5＝（ ） A ．23B ．32C ．43D ．347．设A 1，A 2分别为椭圆C ：y 2+x 2n =1(0＜n ＜1)的上、下顶点，若在椭圆C 上存在点P ，满足∠A 1P A 2＝120°，则实数n 的取值范围为（ ） A ．(0，13]B ．(0，14]C ．[14，1)D ．[13，1)8．已知抛物线y 2＝4x 在点(2，2√2)处的切线与双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行，则C 的离心率为（ ） A ．2√2B ．2C ．√3D ．√62二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n +1﹣a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }（n ∈N *），其中是“差递减数列”的有（ ）A ．a n ＝3nB ．a n ＝n 2+1C ．a n =√nD ．a n ＝lnnn+110．当α∈(π4，3π4)时，方程x 2sin α+y 2cos α＝1表示的轨迹可以是（ ） A ．两条直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线11．关于圆锥曲线下列叙述中正确的有（ ） A ．过双曲线x 225−y 29=1的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条B ．设A ，B 是两个定点，k 是非零常数，若|P A |﹣|PB |＝k ，则动点P 的轨迹是双曲线的一支C ．双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点D ．以过抛物线的焦点的一条弦PQ 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切 12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右两焦点分别是F 1，F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．直线l ：y ＝k （x +c ）（k ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．则下列说法中正确的有（ ） A ．若k ≠0，则△ABF 2的周长为4aB ．若AF 1→⋅AF 2→=3c 2，则椭圆的离心率的取值范围是[√55，12]C ．若AB 的中点为M ，则k OM ⋅k =a 2b2D ．弦AB 长的取值范围是(2b2a ，2a]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．以双曲线y 216−x 29=1的下焦点为焦点的抛物线的标准方程为 ．14．设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 23+y 2=1的左，右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→⋅PF 2→=m 成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为 ．15．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{a n }，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{b n }，把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排列组成数列{c n }，则数列{c n }的第10项是数列{b n }的第 项．16．已知P 为|x |+|y |＝m 上的点，过点P 作圆O ：x 2+y 2＝1的切线，切点为M 、N ，若使得∠MPN ＝60°的点P 有8个，则m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）过点M （0，1）作直线，使它被两直线l 1：x ﹣3y +10＝0，l 2：2x +y ﹣8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝（n +1）a n +2n （n +1），设b n =a nn． （1）判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由； （2）若a n 是数列{c n }的前n 项和，求{c n }的通项公式． 19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +3＝0．（1）若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）从圆C 外一点P （x ，y ）向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程．20．（12分）给出下列条件：①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；④抛物线的准线方程是x ＝﹣2．（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是y 2＝4x ，并说明理由；（2）过点（4，0）的任意一条直线l 与C ：y 2＝4x 交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA →⊥OB →？请说明理由．21．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），直线l ：x +y ﹣2＝0，F 1，F 2为双曲线Γ的两个焦点，l 与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点． （1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l 的交点为P ，求∠F 1PF 2的角平分线所在直线的方程．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）右焦点为F 2，A （2，1）是C 上一点，点B 与A 关于原点O 对称，△ABF 2的面积为√6． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ∥AB ，且交椭圆C 于点D ，E ，证明：直线AD 与BE 的斜率乘积为定值．2022-2023学年江苏省淮安市五校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．点P（2，5）关于直线x+y＝1的对称点的坐标是（）A．（﹣5，﹣2）B．（﹣4，﹣1）C．（﹣6，﹣3）D．（﹣4，﹣2）解：设点P（2，5）关于直线x+y＝1的对称点Q的坐标为（m，n），则由题意可得n−5m−2⋅(−1)=−1，且m+22+n+52=1，求得{m=−4n=−1，故选：B．2．已知方程x2+y2﹣2x+2k+3＝0表示圆，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（−32，+∞）解：方程x2+y2﹣2x+2k+3＝0，即为（x﹣1）2+y2＝﹣2﹣2k，由方程表示圆，可得﹣2﹣2k＞0，解得k＜﹣1．即k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．故选：A．3．求经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x﹣3y＝0C．2x﹣3y＝0或x+y﹣5＝0D．以上都不对解：当直线经过原点时，设方程为y＝kx，∵直线经过点P（3，2），∴2＝3k，解之得k=2 3，此时的直线方程为y=23x，即2x﹣3y＝0；当直线不经过原点时，设方程为x+y+c＝0，将点P（3，2）代入，得3+2+c＝0，解之得c＝﹣5，此时的直线方程为x+y﹣5＝0．综上所述，满足条件的直线方程为：2x﹣3y＝0或x+y﹣5＝0．故选：C．4．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2上的点P到点Q（4，﹣2）的距离可能为（）A ．3B ．5C ．7D ．9解：由题意，圆心与P 的距离为：√(4−1)2+(−2−2)2=5，∴点Q （4，﹣2）到点P 的距离的最小值为：5−√2，最大值为：5+√2， 故选：B ． 5．双曲线x 2−y 2b2=1(b ＞0)的渐近线方程是y ＝±2√2x ，则双曲线的焦距为（ ）A ．3B ．6C ．2√7D ．32√2解：双曲线x 2−y 2b2=1(b ＞0)的渐近线方程是y =±2√2x ，可得b ＝2√2，所以c =√a 2+b 2=3， 所以双曲线的焦距为6． 故选：B ．6．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1．若{1a n}为等差数列，则a 5＝（ ） A ．23B ．32C ．43D ．34解：设等差数列{1a n}的公差为d ，则1a 7=1a 3+4d ，即1=12+4d ，解得d =18． 则1a 5=1a 3+2d =12+14=34，解得a 5=43．故选：C ．7．设A 1，A 2分别为椭圆C ：y 2+x 2n=1(0＜n ＜1)的上、下顶点，若在椭圆C 上存在点P ，满足∠A 1P A 2＝120°，则实数n 的取值范围为（ ） A ．(0，13]B ．(0，14]C ．[14，1)D ．[13，1)解：由椭圆的性质可得：当点P 在B 1或B 2时，∠A 1P A 2最大， 又在椭圆C 上存在点P ，满足∠A 1P A 2＝120°， 则∠A 1B 2A 2≥120°， 即∠A 1B 2O ≥60°， 即tan ∠A 1B 2O ≥√3， 即A 1O B 2O ≥√3，即√n≥√3，即n ≤13， 又0＜n ＜1，即实数n 的取值范围为(0，13]， 故选：A ．8．已知抛物线y 2＝4x 在点(2，2√2)处的切线与双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行，则C 的离心率为（ ） A ．2√2B ．2C ．√3D ．√62解：在y 2＝4x 的两边同时对x 求导，可得2yy ′＝4， 即y ′=2y ，所求抛物线在点(2，2√2)处的切线的斜率为2√2=√22，因为切线与双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行，可得ab=√22， 则e =c a =√1+b2a2=√1+2=√3．故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n +1﹣a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }（n ∈N *），其中是“差递减数列”的有（ ） A ．a n ＝3nB ．a n ＝n 2+1C ．a n =√nD ．a n ＝lnnn+1解：A ∵a n +1﹣a n ＝3（n +1）﹣3n ＝3，∴数列{a n }不为“差递减数列”． 同理可得：B 不为“差递减数列”． C ∵a n +1﹣a n =√n +1−√n =1√n+1+√n，∴数列{a n }为“差递减数列”．同理可得：D 为“差递减数列”． 故选：CD ．10．当α∈(π4，3π4)时，方程x 2sin α+y 2cos α＝1表示的轨迹可以是（ ） A ．两条直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解：当α∈(π4，3π4)时，sin α∈（√22，1]，cos α∈（−√22，√22），可得方程x 2sin α+y 2cos α＝1表示的曲线可以是椭圆（sin α＞0，cos α＞0）． 也可以是双曲线（sin α＞0，cos α＜0），也可能是两条直线（sin α＝1，cos α＝0）． 故选：ACD ．11．关于圆锥曲线下列叙述中正确的有（ ） A ．过双曲线x 225−y 29=1的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条B ．设A ，B 是两个定点，k 是非零常数，若|P A |﹣|PB |＝k ，则动点P 的轨迹是双曲线的一支C ．双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点D ．以过抛物线的焦点的一条弦PQ 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切 解：对于A ，在双曲线x 225−y 29=1中，a ＝5，b ＝3，c =√34，实轴长为2a ＝10，则过该双曲线的右焦点与两支相交的直线被双曲线所截弦长为10的直线只有1条， 双曲线x 225−y 29=1的通径长为2b 2a=185＜10，则过该双曲线的右焦点与一支相交的直线被双曲线所截弦长为10的直线有2条， 因此过双曲线x 225−y 29=1的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，A 正确；对于B ，当|k |＝|AB |时，动点P 的轨迹是一条射线，当|k |＜|AB |时，动点P 的轨迹是双曲线的一支，B 错误；对于C ，双曲线x 225−y 29=1的焦点坐标为(±√34，0)，而椭圆x 235+y 2=1的焦点坐标也为(±√34，0)，C 正确；对于D ，设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ， 过点P ，Q 作准线1的垂线，垂足分别为P ′，Q ′，如图，设线段PQ 的中点为M ，过点M 作MM ′⊥l 于M ′， 因此线段MM ′是直角梯形PQQP ′的中位线， 则|MM ′|=|PP′|+|QQ′|2=|PF|+|FQ|2=12|PQ|，即以线段PQ 为直径的圆与抛物线的准线相切，D 正确． 故选：ACD ． 12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右两焦点分别是F 1，F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．直线l ：y ＝k （x +c ）（k ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．则下列说法中正确的有（ ） A ．若k ≠0，则△ABF 2的周长为4aB ．若AF 1→⋅AF 2→=3c 2，则椭圆的离心率的取值范围是[√55，12]C ．若AB 的中点为M ，则k OM ⋅k =a 2b2D ．弦AB 长的取值范围是(2b2a ，2a]解：对于选项A ，由直线l ：y ＝k （x +c ）的方程可知：直线l 过点F 1，则△ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|＝|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|＝4a ，即选项A 正确；对于选项B ，设A （x ，y ），由AF 1→⋅AF 2→=3c 2，即（x ﹣c ）（x +c ）+y 2＝3c 2，即x 2+y 2＝4c 2，即点P 的轨迹为以（0，0）为圆心，2c 为半径的圆，即此圆与椭圆有交点，即b ≤2c ≤a ，即{a 2−c 2≤4c 22c ≤a，即√55≤e ≤12，即选项B 正确；对于选项C ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减可得：y 12−y 22x 12−x 22=−b 2a2，又AB 的中点为M ，则M (x 1+x 22，y 1+y 22)，则k OM =y 1+y 2x 1+x 2，又k AB =y 1−y 2x 1−x 2，则k OM •k AB =y 12−y 22x 12−x 22=−b2a2，即选项C 错误；对于选项D ，由椭圆的性质可得：过焦点的弦中通径长最短，长轴长最长，又椭圆的通径长为2b 2a，长轴长为2a ，则弦AB 长的取值范围是(2b2a ，2a]，即选项D 正确，故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．以双曲线y 216−x 29=1的下焦点为焦点的抛物线的标准方程为 x 2＝﹣20y ．解：双曲线y 216−x 29=1的下焦点为（0，﹣5），则抛物线的焦点坐标（0，﹣5），则p ＝10，抛物线的标准方程为：x 2＝﹣20y ． 故答案为：x 2＝﹣20y ． 14．设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 23+y 2=1的左，右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→⋅PF 2→=m 成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为 0 ． 解：设P （x ，y ），已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 23+y 2=1的左，右焦点，则a =√3，b ＝1，c =√2， 即F 1(−√2，0)，F 2(√2，0)，则PF 1→=(−√2−x ，−y)，PF 2→=(√2−x ，y)， 则PF 1→⋅PF 2→=x 2+y 2−2， 又点P 在椭圆C 上， 则x 23+y 2=1，即x 2+y 2−2=2x 23−1，又PF 1→⋅PF 2→=m ， 则x 2=3(m+1)2， 又使得PF 1→⋅PF 2→=m 成立的点恰好是4个， 则0＜3(m+1)2＜3， 即﹣1＜m ＜1，即实数m 的一个取值可以为0， 故答案为：0．15．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{a n }，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{b n }，把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排列组成数列{c n }，则数列{c n }的第10项是数列{b n }的第 28 项． 解：根据题意，数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列， 所以a n ＝2+3（n ﹣1）＝3n ﹣1；数列{b n }是首项为2，公差为5的等差数列， 所以b n ＝2+5（n ﹣1）＝5n ﹣3；把数列{a n }与{b n }的公共项从小到大得到数列{c n }， 所以数列{c n }是首项为2，公差为15的等差数列， 所以c n ＝2+15（n ﹣1）＝15n ﹣13；所以数列{c n }的第10项是c 10＝15×10﹣13＝137， 令b n ＝5n ﹣3＝137，解得n ＝28，所以数列{c n }的第10项是数列{b n }的第28项． 故答案为：28．16．已知P 为|x |+|y |＝m 上的点，过点P 作圆O ：x 2+y 2＝1的切线，切点为M 、N ，若使得∠MPN ＝60°的点P 有8个，则m 的取值范围是 （2，2√2） ．解：如图，由题意可得：P 点的轨迹是横纵截距均为±m 对应的4个点形成的正方形， 设∠MPN ＝2θ，设该正方形的一个顶点P 1（m ，0），（m ，0）与（0，m ）的中点P 2（m2，m2），过P 1，P 2分别作圆O 的两条切线，切点分别为F ，E ， 则∠OP 1F ≤θ≤∠OP 2E ，∴sin ∠OP 1F ≤sin θ≤sin ∠OP 2E ，又∠MPN ＝60°的点P 有8个， ∴sin ∠OP 1F ＜sin30°＜sin ∠OP 2E ， ∴r |P 1O|＜12＜r|P 2O|，∴1m＜12√22m，（m ＞0），解得2＜m ＜2√2， 故答案为：（2，2√2）．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）过点M （0，1）作直线，使它被两直线l 1：x ﹣3y +10＝0，l 2：2x +y ﹣8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．解：设所求直线与已知直线l 1，l 2分别交于A 、B 两点．∵点B 在直线l 2：2x +y ﹣8＝0上，故可设B （t ，8﹣2t ）．又M （0，1）是AB 的中点，由中点坐标公式得A （﹣t ，2t ﹣6）．∵A 点在直线l 1：x ﹣3y +10＝0上，∴（﹣t ）﹣3（2t ﹣6）+10＝0，解得t ＝4．∴B （4，0），A （﹣4，2），故所求直线方程为：x +4y ﹣4＝0．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1＝（n +1）a n +2n （n +1），设b n =a n n ． （1）判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由；（2）若a n 是数列{c n }的前n 项和，求{c n }的通项公式．解：（1）由na n +1＝（n +1）a n +2n （n +1），得a n+1n+1−a n n =2，∵b n =an n ， ∴b n +1﹣b n ＝2，即数列{b n }是公差为2的等差数列；（2）由（1）知，b n ＝b 1+2（n ﹣1）＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，∴a n n =2n −1，即a n =2n 2−n ．∵a n 是数列{c n }的前n 项和，∴c 1＝a 1＝2﹣1＝1；当n ≥2时，c n =a n −a n−1=2n 2−n −[2(n −1)2−(n −1)]=4n ﹣3．验证c 1＝1不适合上式，∴c n ={1，n =14n −3，n ≥2． 19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +3＝0．（1）若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）从圆C 外一点P （x ，y ）向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程．解：（1）将圆C 配方得（x +1）2+（y ﹣2）2＝2．由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x +y ﹣a ＝0， 由√2=√2，得|a ﹣1|＝2，即a ＝﹣1，或a ＝3．∴直线方程为x +y +1＝0，或x +y ﹣3＝0；…（6分）（2）由于|PC |2＝|PM |2+|CM |2＝|PM |2+r 2，∴|PM |2＝|PC |2﹣r 2．又∵|PM |＝|PO |，∴|PC |2﹣r 2＝|PO |2，∴（x +1）2+（y ﹣2）2﹣2＝x 2+y 2．∴2x ﹣4y +3＝0即为所求．…（12分）20．（12分）给出下列条件：①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；④抛物线的准线方程是x ＝﹣2．（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是y 2＝4x ，并说明理由；（2）过点（4，0）的任意一条直线l 与C ：y 2＝4x 交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA →⊥OB →？请说明理由．解：（1）因为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0）在x 轴上，所以条件①适合，条件②不适合． 又因为抛物线C ：y 2＝4x 的准线方程为：x ＝﹣1，所以条件④不适合题意．当选择条件③时，|AF |＝x A +1＝1+1＝2，此时适合题意．故选择条件①③时，可得抛物线C 的方程是y 2＝4x ．（2）假设总有OA →⊥OB →，由题意得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝ty +4，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{y 2=4x x =ty +4，消去x ，整理得y 2﹣4ty ﹣16＝0， 所以Δ＞0恒成立，y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣16，则x 1x 2＝（ty 1+4）（ty 2+4）＝t 2y 1y 2+4t （y 1+y 2）+16＝﹣16t 2+16t 2+16＝16，所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=16−16=0，所以OA →⊥OB →，综上所述，无论l 如何变化，总有OA →⊥OB →．21．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），直线l ：x +y ﹣2＝0，F 1，F 2为双曲线Γ的两个焦点，l 与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l 的交点为P ，求∠F 1PF 2的角平分线所在直线的方程．解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，焦点坐标为F 1（﹣2，0），F 2（2，0）， ∴双曲线方程为x 2﹣y 2＝2；（2）{x 2−y 2=2x +y −2=0⇒P(32，12)，显然∠F 1PF 2的角平分线所在直线斜率k 存在，且k ＞0，k PF 1=17，k PF 2=−1，于是|k PF 1−k 1+k PF 1k |=|k PF 2−k 1+k PF 2k |⇒k =3．∴y −12=3(x −32)⇒3x −y −4=0为所求． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）右焦点为F 2，A （2，1）是C 上一点，点B 与A 关于原点O 对称，△ABF 2的面积为√6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ∥AB ，且交椭圆C 于点D ，E ，证明：直线AD 与BE 的斜率乘积为定值． 解：（1）设右焦点F 2（c ，0），其中c =√a 2−b 2，根据椭圆的对称性，有S △ABF 2=2S △OAF 2=2×12×1×c =√6，即c =√6，又点A （2，1）在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上， 所以4a 2+1b 2=1，又a 2＝b 2+c 2＝b 2+6，将b 2＝a 2﹣6代入，整理得a 4﹣11a 2+24＝0，解得a 2＝8，或a 2＝3（舍），所以b 2＝2， 所以椭圆的标准方程为：x 28+y 22=1；（2）证明：由题意，点B 与A 关于原点O 对称，所以B （﹣2，﹣1），k AB =12，因为DE ∥AB ，所以k DE =12，设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 方程为：y =12x +m ，m ≠0，联立直线DE 与椭圆方程，{y =12x +m x 28+y 22=1，消去y 得，x 2+2mx +2m 2﹣4＝0， 当Δ＝4m 2﹣4（2m 2﹣4）＞0，即﹣2＜m ＜2且m ≠0时， x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4，k AD=y 1−1x 1−2=12x 1+m−1x 1−2=12+m x 1−2，k BE =y 2+1x 2+2=12x 2+m+1x 2+2=12+m x 2+2， 所以k AD ⋅k BE =(12+m x 1−2)⋅(12+m x 2+2)=14+12(m x 1−2+m x 2+2)+m 2(x 1−2)(x 2+2)=14+m(x 1+x 2)+2m 22(x 1−2)(x 2+2)=14+−2m 2+2m 22(x 1−2)(x 2+2)=14， 即k AD ⋅k BE =14是定值．。
2019学年江苏省淮安市高二上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】
2019学年江苏省淮安市高二上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 直线的倾斜角为___________ ．2. 设E、F、G分别为四面体ABCD的棱BC、CD、DA的中点，则此四面体中与过E、F、G的截面平行的棱有____________________ 条．3. 若两直线与互相平行，则常数___________ ．4. 已知圆与圆相内切，则实数m的值为___________ ．5. 已知直线和圆相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是___________ ．6. 若一个正三棱锥的高为5，底面边长为6，则这个正三棱锥的体积为______________ ．7. 圆上的点到直线的距离的最小值是______________ ．8. 已知是两条不同直线，、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是______________ ．（1）．若⊥ γ，β ⊥ γ，则 // β（2）．若⊥ ，⊥ ，则 //（3）．若 // ， // ，则 //（4）．若 // ， // β，则 // β9. 三条直线：；：；：不能围成一个三角形，则实数的值为______________ ．10. 直线与圆相交于两点，若| |，则的取值范围是____________________ ．11. 如果实数x，y满足（ x－2 ） 2 ＋y 2 ＝ 4 ，那么的最大值为______________________________ ．12. 如图，正方体ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为1 ，E 为线段B 1 C 上的一点，则三棱锥 A－DED 1 的体积为____ ______ ．13. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，则的最大值是________ ．14. 曲线C：与直线：有一个交点，则实数的取值范围是 ____________________ ．二、解答题15. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M （ 3，5 ），AB边所在直线的方程为，点N （ 0，6 ）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求对角线AC所在直线的方程．16. 已知以点C为圆心的圆经过点A （ 3 ，1 ）和B （ 1 ，3 ），且圆自身关于直线对称．设直线：．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上，若到直线：的距离等于1的点恰有4个，求的取值范围．17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点．（Ⅰ ）求证：直线∥ 平面；（Ⅱ ）求证：直线平面．18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x 2 －6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA ⊥ OB，求a的值．19. 如图所示，已知ABCD为梯形，，且，为线段PC上一点．（1）当时，证明：；（2）设平面，证明：（3）在棱PC上是否存在点，使得，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆 M 的切线、，切点为、．（Ⅰ ）当切线PA的长度为时，求点的坐标；（Ⅱ ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ ）求线段长度的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
江苏省淮安市高二上学期期中数学试卷(理创班)
江苏省淮安市高二上学期期中数学试卷（理创班）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）根据工作需要，现从4名女医生，a名男医生中选3名医生组成一个救援团队，其中a= xdx，则团队中男、女医生都有的概率为（）A .B .C .D .2. （2分）已知为实数，若，则（）A . 1B .C .D .3. （2分） (2016高三上·武邑期中) 如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二上·红桥期末) i是虚数单位，若z（2+i）=1+3i，则复数z=（）A .B .C . 1+iD .5. （2分）已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（）A .B .C .D .6. （2分）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中真命题的个数是A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个7. （2分） (2017高二下·孝感期末) 函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（）A .B .C .D .8. （2分）在右图的程序中所有的输出结果之和为（）A . 30B . 16C . 14D . 99. （2分）设集合则（）A . {x|x<－2或x>2}B . {x|x>2}C . {x|x>1}D . {x|x<1}10. （2分）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应该写成（）A . 假设当n=k（k∈N*）时，xk+yk能被x+y整除B . 假设当n=2k（k∈N*）时，xk+yk能被x+y整除C . 假设当n=2k+1（k∈N*）时，xk+yk能被x+y整除D . 假设当n=2k﹣1（k∈N*）时，x2k﹣1+y2k﹣1能被x+y整除11. （2分）对任意的x，有f′（x）=4x3 ， f（1）=﹣1，则此函数解析式（）A . f（x）=x3B . f（x）=x4﹣2C . f（x）=x3+1D . f（x）=x4﹣112. （2分） (2015高二下·哈密期中) 一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A . 7米/秒B . 6米/秒C . 5米/秒D . 8米/秒二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高一下·盐城期末) 设a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是________．（填写所有正确命题的序号）①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥b，a⊂α，b⊥β，则α⊥β；③若α∥β，a⊥α，则a⊥β；④若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥β．14. （1分）(2017·和平模拟) 若不等式3x2+y2≥mx（x+y）对于∀x，y∈R恒成立，则实数m的取值范围是________．15. （2分）光由一点向外散射形成的投影叫做________；在一束平行光线照射下形成的投影叫做________．16. （1分）(2016·新课标Ⅰ卷理) α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n ，m⊥α ，n∥β ，那么α⊥β.②如果m⊥α ，n∥α ，那么m⊥n.③如果α∥β ， m α ，那么m∥β.④如果m∥n ，α∥β ，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）三、解答题 (共5题；共40分)17. （5分）(2018·肇庆模拟) 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，且， .（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值.18. （10分）已知曲线 .求：（1）曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；（2）（1）中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？19. （10分）已知f（x）=xlnx．（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；（2）设实数a＞0，求函数F（x）= 在[a，2a]上的最大值．20. （10分） (2016高二下·宜春期末) 已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．21. （5分）(2017·齐河模拟) 已知函数f（x）= ﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜0时，讨论函数f（x）单调性；（3）是否存在实数a，对任意的m，n∈（0，+∞），且m≠n，有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。
高二数学上学期期中模拟试卷(空间向量与立体几何、直线与圆、椭圆)(解析版)
高二数学上学期期中模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·福建福州·高二期中）直线20x y --=的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B【解析】直线20x y --=的斜率为1，倾斜角为45°，故选：B．2．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期中）已知圆22:68100C x y x y +---=，则（）A．圆C 的圆心坐标为()3,4--B．圆C 的圆心坐标为()4,3C．圆C D．圆C 的半径为35【答案】C【解析】圆C 的方程可化为()()223435x y -+-=，则圆心坐标为()3,4C.3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知椭圆221259x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，若1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（）A．3B．9C．D．【答案】C【解析】根据椭圆的定义有1210,4PF PF c +==，①根据余弦定理得221212642cos 60PF PF PF PF =+-︒，②结合①②解得1212PF PF =，所以12F PF △的面积12113sin 6012222S PF PF =︒=⨯⨯=4．（2022·福建·柘荣县第一中学高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）A．1122a b c-++B．1122++a b cC．1122--+a b c D．1122-+a b c【答案】A【解析】11BM BB B M =+，()1111112=+-AA A D A B ()112=+-AA AD AB ，1122a b c =-++，故选；A5．10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（）A．1B．54C．3D．4【答案】B10y +-=与直线30my ++=平行，可得0=，解之得2m =10y +-=与直线230y ++=54=，故选：B 6．（2022·江苏常州·高二期中）直三棱柱111ABC A B C -中，11111π,,,2BCA AC BC CC A M MB A N NC ∠=====，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A．10B．22C．110D．25【答案】A【解析】如图所示，以C 为原点，以1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设12AC BC CC ===，可得()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,2M ，()1,0,2N .()1,0,2AN ∴=-，()1,1,2BM =-cos ,10AN BM AN BM AN BM⋅∴==故BM 与AN7．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）若直线y x b =+与曲线x =有一个公共点，则b 的取值范围是（）A．⎡⎣B．⎡-⎣C．(-D．(]{1,1-⋃【答案】D【解析】由曲线x =2210x y x +=≥（），表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =一个公共点有两种情况：①直线与半圆相切，根据d r =，所以1d ==，结合图象可得b =②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤.综上可知：11b -<≤或b =.故选：D.8．（2022·福建泉州·高二期中）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22224:5b C x y +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】D【解析】由题意，如图，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直则只需90APB ∠≤︒，即45APO α=∠≤︒，sin sin 45α=≤︒，即2285b a ≤，因为222a b c =+，解得：2238a c ≤．238e ∴≥，即e ≥，而01e <<，1e <，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（）A．若直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭r b ，则l 与m 垂直B．若直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--r，则l α⊥C．若平面α，β的法向量分别为()10,1,3=u r n ，()21,0,2=u u rn ，则αβ⊥D．若存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面【答案】AD【解析】对于A：因为直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭r b ，且()12,1,21101,1,22a b ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭⋅=-⋅，所以a b ⊥，所以l 与m 垂直.故A 正确；对于B：因为直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--r，且a n λ≠，所以l α⊥不成立.故B 不正确；对于C：因为平面α，β的法向量分别为()10,1,3=u r n ，()21,0,2=u u rn ，且2100660n n =++≠⋅=，所以12,n n 不垂直，所以αβ⊥不成立.故C 不正确；对于D：若,MA MB 不共线，则可以取,MA MB 为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面；若,MA MB 共线，则存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 所以,,,P M A B 共线，则点,,,P M A B 共面也成立.综上所述：点,,,P M A B 共面.故D 正确.故选：AD10．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线:0l x y +=与圆22:(1)(1)4C x y -++=，则（）A．直线l 与圆C 相离B．直线l 与圆C 相交C．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆22:(1)(1)4C x y -++=，可知其圆心坐标为(1,1)-，半径为2，圆心(1,1)-到直线:0l x y +=的距离1d =，所以可知选项B，D 正确，选项A，C 错误.故选：BD11．（2022·湖北恩施·高二期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 的中点，则下列结论正确的有（）A．AM 与D B ''所成角的余弦值为10B．C 到平面DA C ''C．过点A ，M ，D ¢的平面截正方体ABCD A B C D ''''-所得截面的面积为92D．四面体A C BD ''内切球的表面积为π3【答案】ABD【解析】对于A，构建如图①所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)A ，1(,1,1)2M ，(0,1,0)B '，(1,0,0)D '，1(,1,0)2AM ∴=，(1,1,0)D B ''=-，112cos ,10AM D B AM D B AM D B -+''⋅''∴==''，故A 正确；对于B，方法1：如图②，连接AC ，由正方体几何特征得：//AC A C ''，又AC ⊄面A C D ''，A C ''⊂面A C D ''，//AC ∴面A C D ''，设C 到平面DA C ''的距离为d ，即点A 到平面A DC ''的距离，C A DC A DA C V V ''''--=，即11131113234⨯⨯⨯⨯=，求得33d =.方法2：根据图①，()1,0,1D ,()1,1,0C '，()1,0,1A D '∴=，()1,1,0A C ''=，设平面DA C ''的法向量(,,)m x y z =，则00A D m A C m '''⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1z =-得：11x y =⎧⎨=-⎩，∴平面DA C ''的一个法向量为(1,1,1)m =--，(1,0,0)AD =，设C 到平面''DA C 的距离为d，则||AD m d m ⋅=B 正确；对于C，取CC '的中点N ，连接MN ，D N '，AD '，则MN //AD '，如图②所示，则梯形AMND '为过点A ，M ，D ¢的平面截正方体ABCD A B C D ''''-所得的截面，易知2MN =，AD '=2AM D N '==，可得梯形AMND '则梯形AMND '的面积1928S ==，故C 错误；对于D，易知四面体A C BD ''的体积111141323V =-⨯⨯⨯=，因为四面体A C BD ''1π4sin 23S =⨯=设四面体A C BD ''内切球的半径为r，则1133⨯=，解得r =所以四面体AMND '内切球的表面积为2π4π3r =，故D 正确.故选：ABD.12．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B．12F PF △C．12PF PF -的最大值为D．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个【答案】ABC【解析】在椭圆M 中，2a =，1b =，c =12F F =对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠=，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为122c b bc ⨯⨯==对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即222PF ≤+所以，()12222222PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()100F P x y =+，()200F P x y =-，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-=，所以，0y =，03x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·全国·高二期中）已知直线1:20l ax y +=，直线()2:10l a x y --=，若12l l ⊥，则实数a 的值为______．【答案】2a =或1a =-【解析】因为12l l ⊥，所以(1)2(1)0a a -+⨯-=，解得2a =或1a =-，故答案为：2a =或1a =-14．（2022·江苏常州·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，2=PM MC ，且BM x AB y AC z AP =++，则实数x y z ++的值为____________.【答案】0【解析】因为2=PM MC ，则()2BM BP BC BM -=-，所以，()()121221333333BM BP BC AP AB AC AB AB AC AP =+=-+-=-++，所以，1x =-，23y =，13z =，因此，0x y z ++=.故答案为：0.15．（2022·上海金山·高二期中）求过点()13M -，的圆224x y +=的切线方程__________.【答案】y =+y =+【解析】过点()13M -，的斜率不存在的直线为：1x =-，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线；当斜率存在，设其为k ，则切线可设为()31y k x -=+.2=，解得：33k +=或33k -=.所以切线方程为：y =+y =+故答案为：y =+y =+.16．（2022·湖北恩施·高二期中）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O为坐标原点，若||OA =，则该椭圆的离心率为______.【答案】63【解析】如图所示：延长2F A ，交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||QF OA ==.又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=，2a ∴=，222233()a b a c ∴==-，∴离心率为c a四、解答题：本小题共6小题，共70分。
高二数学试题解析版-2022-2023学年江苏省淮安市淮安区高二(上)期中数学试卷
2022-2023学年江苏省淮安市淮安区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．（5分）经过两点A（4x﹣2，1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则x＝（）A．﹣1B．﹣3C．1D．2．（5分）已知直线l1：ax﹣2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为（）A．1B．C．D．23．（5分）当圆C：x2+y2﹣2y﹣80＝0截直线l：mx﹣2y﹣m+6＝0所得的弦长最短时，实数m＝（）A．B．﹣1C．D．14．（5分）若抛物线C：y2＝4px（p＞0）上的一点到它的焦点的距离为10，则p＝（）A．6B．8C．10D．125．（5分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知圆与圆，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于（）A．﹣7B．9C．﹣7或9D．7或﹣97．（5分）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则（）A．e1＜e3＜e2B．e2＜e3＜e1C．e1＜e2＜e3D．e2＜e1＜e38．（5分）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，点P，Q均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
）（多选）9．（5分）下列四个命题中真命题有（）A．直线y＝x﹣2在y轴上的截距为2B．经过定点A（0，2）的直线都可以用方程y＝kx+2表示C．直线6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）必过定点D．已知直线3x+4y﹣1＝0与直线6x+my﹣12＝0平行，则平行线间的距离是1（多选）10．（5分）已知过点P（4，﹣2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9交于A，B两点，O为坐标原点，则（）A．|AB|的最大值为6B．|AB|的最小值为C．点O到直线l的距离的最大值为D．△POC的面积为3（多选）11．（5分）对于曲线C：+＝1，下面四个说法正确的是（）A．曲线C不可能是椭圆B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件（多选）12．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C交于A，B两点，则（）A．△ABF2的周长为4B．△ABF2的周长为8C．椭圆C上的点到焦点的最短距离为1D．椭圆C上的点到焦点的最短距离为3三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知平面上点P（3，3）和直线l：2y+3＝0，点P到直线l的距离为d，则d ＝．14．（5分）已知抛物线的准线方程为y＝3，则抛物线的标准方程为．15．（5分）已知两条直线a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都过点A（2，3），则过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为，三角形PAB面积的最小值为．四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
江苏省淮安市高二上学期期中数学试卷
江苏省淮安市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC 与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A .B .C .D .2. （2分）(2019高一下·乌鲁木齐期末) 如图所示，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·万州期中) 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A . 6B . 8C . 2+3D . 2+24. （2分） (2019高二上·晋江月考) 已知空间三点坐标分别为A（4,1,3），B(2,3,1），C（3,7，-5），又点P（x,-1,3) 在平面ABC内，则x的值（）A . -4B . 1C . 10D . 115. （2分）已知φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=sin（2x+φ）为奇函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高三上·四川月考) 命题“若，则”的否命题是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则7. （2分） (2019高二下·舟山期末) 若直线l不平行于平面，且，则（）A . 内所有直线与l异面B . 内只存在有限条直线与l共面C . 内存在唯一的直线与l平行D . 内存在无数条直线与l相交8. （2分）(2020·合肥模拟) 己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（）A .B .C .D .9. （2分）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（）A . 1:2B . 1:4C . 1:8D . 1:1610. （2分） (2016高二上·秀山期中) 如图正方体中，O，O1为底面中心，以OO1所在直线为旋转轴，线段BC1形成的几何体的正视图为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)11. （1分） (2017高二上·苏州月考) 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则 ________.12. （1分） (2018高一下·北京期中) 下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，若一模考试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交。
江苏省淮阴师院附中2020年高二第一学期期中考试数学试卷及答案
淮阴师范学院附属中学2020-2021学年第一学期期中考试高二年级数学试卷一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.)1、已知数列{}n a通项公式为,则6a=( )A. B. C.35 D.112、已知m,n∈R,则“”是“m－n＝0”成立的( )A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.充分不必要条件3、已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为6,则点到另一个焦点的距离为( )A. B.3 C. D.4、若－1＜α＜β＜1,则下列各式中恒成立的是( )A.－2＜α－β＜－1B.－2＜α－β＜0C.－1＜α－β＜0D.－1＜α－β＜15、《周髀算经》中一个问题:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺,芒种的日影子长为尺,则冬至的日影子长为:( )A.尺B.尺C.尺D.尺6、已知点P是椭圆上的一点,,分别是椭圆的左、右焦点,点P到原点的距离为焦距的一半,且,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.7、阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式,设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,则椭圆的面积公式为.若椭圆C的离心率为,面积为,则椭圆C 的标准方程为( )8、设,,且,则A.有最小值为B.有最小值为C.有最小值为D.有最小值为4二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)9、下列结论中正确的是( )A.“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分条件B.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件C.若a,b ∈R,则“a 2＋b 2≠0”是“a ,b 不全为0”的充要条件D.在△ABC 中,“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件10、二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12,则下列结论成立的是( ) A.a 2＋b 2＝5 B.a ＋b ＝－3 C.ab ＝2 D.ab ＝-2 11、下列命题正确的是( )A.给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B.若等差数列{}n a 的公差0d >,则{}n a 是递增数列C.若a,b,c 成等差数列,则111,,a b c可能成等差数列D.若数列{}n a 是等差数列,则数列{}12n n a a ++不一定是等差数列12、已知A 、B 两点的坐标分别是,直线AP 、BP 相交于点P,且两直线的斜率之积为m,则下列结论正确的是( )A.当1m =-时,点P 的轨迹圆(除去与x 轴的交点)B.当10m -<<时,点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C.当01m <<时,点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D.当1m 时,点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点) 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,多空题,第一空2分,第二空3分,共20分.)13、过点(3,-1)且与双曲线有公共渐近线的双曲线标准方程是_________. 14、不等式≤0的解集为_________.15、若数列满足,则称数列{}n a 为调和数列.已知数列为调和数列,且378b b +=则16b =______. 16、已知命题p :x ∀[0,]4π∈,tan x m ≤, 命题q : []0,3x ∃∈,使得不等式220x x m -+≥成立,若命题p 为真命题,则实数m 的最小值为 ; 若命题p 和命题q 有且仅有一个是真命题,则实数m 的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题,共70分。
2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高二上学期期中考试数学试卷
江苏省淮安市高中校协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1.在平面直角坐标系中，直线10x +=的倾斜角是( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．135°2.抛物线22x y =-的准线方程为（ ）A ．12x =B ．12x =-C ．12yD ．12y =3.已知直线1l 经过点(2,)A m -和点(,4)B m ，直线2:210l x y +-=，直线3:10l x ny ++=. 若12// l l ，23 l l ⊥，则m n +的值为（ ）A ．10-B ．2-C ．0D ．84.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535,9a a =则95S S =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．125.若直线10x y -+=与圆22()(1)2x a y -+-=没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A．(,2,)-∞+∞(B ．)+∞C ．(,22,)-∞-+∞)(D ．2,)+∞(6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已经(0,0)O ,(3,0)A ,动点(,)P x y 满足2PA PO =,则动点P 轨迹与圆()2221x y -+=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切7. 斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,…,数列{}n a 满足121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，设357920211k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=，则k =（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．20228. 过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 过椭圆C 的左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与直线l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦ B．,15⎫⎪⎪⎣⎭ C．0,2⎛ ⎝⎦ D．2⎫⎪⎪⎣⎭二､多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 请把答案填涂在答题卡相应位置上9.椭圆22116x y m +=的焦距为，则m 的值为（ ）A ．9B ．23C．16D．1610.若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中正确的是（ ）A ．若13t <<，则曲线C 为椭圆B ．若曲线C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则23t << C ．若曲线C 为双曲线，则3t >或1t <D ．曲线C 可能是圆.11.以直线210x y --=与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A. 22y x =B. 24y x =-C. 24x y =- D.22x y =-12. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．F 为AD 中点C ．2BD BF = D ．2BF=三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13. ①在数列}{n a 中，若d d a a n n (1=-+是常数，*),N n ∈则数列}{n a 是等差数列； ②设数列}{n a 是等差数列，若,(,m l k n m +=+*),,,N l k n ∈则;l k n m a a a a +=+ ③数列}{n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有;221+++=n n n a a a ④若数列}{n a 是等差数列，则12963,,,a a a a ，…)3*,(3≥∈k N k a k 也成等差数列． 上述命题中，其中正确的命题的序号为14. 过抛物线28x y =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若128y y +=，则线段AB 的长为________．15. 已知直线:0l x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值是________．16. 已知12,F F 分别为椭圆2221(010)100x y b b +=<<的左、右焦点，P 是椭圆上一点． （1）12PF PF +的值为________；（2）若1260F PF ∠=︒，且12F PF∆的面积为，求b 的值为________．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分) . 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求nS 的最大值及相应的n 的值.18.(本小题满分12分)已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的离心率为，抛物线2:2D y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，MNF ∆的面积为8. （1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）求抛物线D 的方程.19.(本小题满分12分) 在①02PF x =+，②0024y x ==，③PF x ⊥轴时，4PF =这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． 问题：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()00,P x y 在抛物线C 上，且______．（1）求抛物线C 的标准方程．（2）若直线:10l x y --=与抛物线C 交于,A B 两点，求ABF ∆的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =-与圆C 相切于点(2,1)-, 圆心C 在直线2y x =-上. 求圆C 的方程；（2）已知圆1O 22:(0)x y m m +=>与圆2:O 226890x y x y +-++=相交，求实数m 的取值范围．21. (本小题满分12分)已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>过点(2,，长轴长为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,1)P 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当P 为线段AB 中点时，求直线l 的方程．如图，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,1)A -，且离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、单项选择题 1-8.CDAAC DDA 二、多项选择题 9.AB10.BCD11.AC12.ABC三、填空题 13. ①②③④14.1215.1±16.20 8四、解答题17.(本小题满分10分) . 解：（1）在等差数列{}n a 中，∵1646,2a a a +==,∴1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩，………………………………………………………………………2分 解得182a d =⎧⎨=-⎩，…………………………………………………………………………4分 ∴1(1)102n a a n d n=+-=-；………………………………………………………6分（2）∵18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+∴1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ，……………………8分 ∴当4n =或5n =时，nS 有最大值是20…………………………………………10分18.(本小题满分12分)解:（1）由题意，双曲线2222:1y x C a b -=的离心率为，可得c e a ===，解得14b a =，可得4a b =，…………4分所以双曲线C 的渐近线方程为4y x =±.…………6分 （2）由抛物线2:2D y px =，可得其准线方程为:2pl x =-，…………7分代入双曲线渐近线方程4y x =±得,22p M p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,22p N p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，………9分 所以4MN p =，…………10分则1482MFN S p p =⨯⨯=△，解得2p =，所以抛物线D 的方程为24y x =.…………12分 19.(本小题满分12分) 解:方案一 选择条件①． （1）由抛物线的定义可得02pPF x =+．…………………………………2分因为02PF x =+，所以0022px x +=+，解得4p =．故抛物线C 的标准方程为28y x =． ……………………………4分 （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，，由（1）可知()2,0F ． …………………5分由2108x y y x --=⎧⎨=⎩，消去y 得21010x x -+=，……………………………7分则1210x x +=，121x x =，所以12x x -===…………………………9分 又111y x =-，221y x =-，所以1212y y x x -=-，故12|AB x x ===-= …………11分因为点()2,0F 到直线:10l x y --=的距离d ==，所以ABF ∆的面积为11222S AB d =⋅=⨯=…………12分方案二 选择条件②． （1）因为0024y x ==，所以02x =，04y =，……………………………2分因为点()00,P x y 在抛物线C 上，所以2002y px =，即164p =，解得4p =，所以抛物线C 的标准方程为28y x =． …………………………………4分 （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）可知()2,0F ． ………………………5分由2108x y y x --=⎧⎨=⎩，得2880y y --=，………………………………7分则128y y +=，128y y =-，所以12y y -===…………………………9分 又111y x =-，221y x =-，所以1212y y x x -=-，故12|AB y y ===-=………11分因为点()2,0F 到直线:10l x y --=的距离2d ==，所以ABF ∆的面积为1122AB d ⋅=⨯=．………12分方案三 选择条件③．（1）当PF x ⊥轴时，422p pPF =+=，所以4p =． …………………2分故抛物线C 的标准方程为28y x =． …………………4分 （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，解法同上 .20.(本小题满分12分) 解：（1）（方法一）设圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则圆心C (,)a b ，半径是r ，………1分 因为圆心C 在直线2y x =-上，所以2b a =-，……①…………………………2分 因为圆C 与直线1y x =-相切，所以线心距d r ==，……②………3分又切点(2,1)A -在圆C 上，所以222(2)(1)a b r -+--=……③………………4分r =，22(1)2a r +=，………④①代入③得222(2)(12)a a r -+-+=，22585a a r -+=………⑤ 由④和⑤得22(1)2(585)a a a +=-+，整理得2210,1a a a -+==所以22,2b r =-=，…………………………………5分 所求圆的方程是22(1)(2)2x y -++=………………………6分 方法二：设圆心(,2)C a a -，半径是r ，则圆C 方程是222()(2)x a y a r -++=……………………2分 因为圆C 与直线1y x =-相切于点(2,1)A -, 所以CA 与直线1y x =-垂直，所以1CA k =,211,12a a a -+==-………4分 所以圆心(1,2)C -，所以r CA ===………………………5分所求圆的方程是22(1)(2)2x y -++=。
江苏省淮阴中学第一学期高二数学期中考试试卷
江苏省淮阴中学2006年第一学期高二数学期中考试试卷命题：蒋行彪 审校：朱益明一、选择题（每题5分，共60分）1．已知函数y f (x)=在0x x =处的导数为'0f (x )，若0f(x )为函数f (x)的极大值，则必有 （ C ）A ．'0f (x )0>B ．'0f (x )0<C ．'0f (x )0=D ．'0f (x )0>或'0f (x )0<2．关于频率分布直方图，下列有关说法正确的是 （ D ）A ．直方图的高表示取某数的频率B ．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率C ．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值D ．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值3．若样本123a ,a ,a 的方差是2，则样本1232a 3,2a 3,2a 3+++的标准差为（ C ）A ．2B ．4C ．．84．函数1y x cos x,x [,]222ππ=-∈-的最大值为 （ A ）A ．4πB ．3πCD ．25．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，至少有1名女生当选的概率为 （ C ） A ．34 B ．14 C ．57 D ．276．双曲线的渐近线方程为3y x 4=±，则双曲线的离心率为 （ D ）A ．53B ．54CD ．5534或7．在等腰三角形ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM < AC 的概率为 （ B ）A ．14B ．34 C8．过双曲线22y x 12-=的右焦点F 作直线L 交双曲线于A 、B 两点，若|AB| = 4，则这样的直线有 （ C ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．国家机关用监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现了30 min 长的磁带上，从开始30s 处起，有10s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率为（ D ）A ．1180B ．160C ．190D ．14510．椭圆22x y 1259+=上点P 到右焦点距离为3.6，则点P 到左准线距离为 （ B ） A ．4.5 B ．8 C ．4 D ．12.511．抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 （ B ） A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 12．已知命题P ：若a b ≥，则c>d ，命题Q ：若e f ≤，则a b <。
江苏省淮安中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
江苏省淮安中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．关于直线:0l ax y a ++=，以下结论正确的有（ ）A ．1a =时，直线l在两坐标轴上的截距相等B ．直线l 必过第二象限C ．a<0时，直线l 不过第四象限D ．0a >时，直线l 过第二、三、四象限10．已知221:1C x y +=e 与222:(5)16C x y -+=e ，以下结论正确的有（ ）A ．1C e 与2C e 有且仅有2条公切线五、解答题17．已知在ABC V 中，点(2,1)C -，角A 的角平分线为1:1,l x AC =边上的中线所在直线(1)求双曲线E 的标准方程；(2)设双曲线E 的右顶点为,B P 为直线=1x -上的动点，连接,PA PB 交双曲线于,M N 两点（异于,A B ），记直线MN 与x 轴的交点为Q ．①求证：Q 为定点；②直线MN 交直线=1x -于点D ，记,QD QM QD QN l m ==uuu r uuuu r uuu r uuu r ．求证：l m +为定值．．B【分析】联立方程求出点M 的坐标，再由向量共线的坐标表示可得点P 的坐标，代入方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值.【详解】设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点(,0)A a ，上顶点(0,)B b ，则AB b k a =-，且直线AB 为b y x b a=-+，由OP AB ^可得OP a k b =，所以直线OP 为a y x b=，对于D ，0a >时，直线l 的斜率0a -<，令0x =得直线l 的纵截距为0a -<，直线l 恒过定点(1,0)-，所以直线l 过第二、三、四象限，正确.故选：ACD 10．BCD【分析】分别求两圆的圆心和半径，对于C ：根据圆的性质分析求解；对于A ：根据两圆位置关系分析求解；对于BD ：根据公切线的性质结合图形分析求解.。
2022年-有答案-江苏省淮安市某校高二(上)期中考试数学试卷
2022学年江苏省淮安市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 抛物线y=2x2的准线方程是（）A.x=−1B.x=−12C.y=−12D.y=−182. 已知方程x2m−2+y2m=1表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A.(−∞,2)B.(0,2)C.(−∞,0)D.(−∞,0)∪(0,2)3. 已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2+S3=4,a3+S3=12，则a4+S7=（）A.20B.24C.28D.324. 已知直线l：ax+by=r2，圆C:x2+y2=r2，其中r>0．若点P(a,b)在圆C上，则直线l与圆C的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.相交或相切5. 给出下列公式：①a n=√22[1−(−1)n]；②a n=√1−(−1)n；③a n={√2,n为偶数0,n为奇数，其中可以作为数列√2,0,√2,0,√2,0,…通项公式的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③6. 已知F1(−3,0),F2(3,0)，若圆C:x2+y2=r2(r>0)上存在点P，使得|PF1|+|PF2|=10.则实数r的取值范围是（）A.[3,5]B.(0,5]C.[4,5]D.[16,25]7. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，过底面圆周上一点作与圆锥底面成30∘角的平面，截这个圆锥得到一个椭圆，则该椭圆的长轴长是（）A.4√3B.8C.16D.8√38. 已知F1(−3,0),F2(3,0)，动点M满足|MF1|=2|MF2|，P为直线3x−4y+6=0上一点，则|PM|的最小值是（）A.15B.215C.415D.4二、多选题已知双曲线x216−y29=1上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离可能是（）A.2B.18C.20D.42已知P为椭圆C:x2+y24=1上一点，F1F2为椭圆C的上焦点和下焦点，若△PF1F2为直角三角形，则P点坐标可能是（）A.(12,√3) B.(−13,4√23) C.(2√23,23) D.(−√33,2√63)已知点A是直线l:x+y−√2=0上一个定点，点P、Q是圆x2+y2=1的动点，若∠PAQ的最大值为90∘，则点A的坐标可以是（）A.(0,√2)B.(1,√2−1)C.(√2,0)D.(√2−1,1)月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0)，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线y= t(t>0)与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（）A.椭圆的离心率是√22B.线段AB长度的取值范围是(0,3+3√2)C.△ABF面积的最大值是94(√2+1)D.△OAB的周长存在最大值三、填空题圆C1:x2+y2−10y=0与圆C2:x2+y2=10的公共弦长为________.以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线．已知双曲线C的焦距为10，一个顶点坐标为(3,0)，则其共轭双曲线的离心率为________.已知数列{a n}满足a1=14,a n+1=a n−23(n∈N∗)，则使a n⋅a n+2<0成立的n的值是________.)(t∈R,t≠0)为圆心的圆交x轴于O，A两点，交y轴于O，B两点，其已知以点(t,9t中O为坐标原点，则△OAB的面积为________；若直线l:9x+y−1=0与圆T交于M，N两点，且|OM|=|ON|，则圆T的标准方程为________.四、解答题已知△ABC的顶点A(−2,1),B(4,3),C(2,−2)，试求：(1)AB边的中线所在直线；(2)AC边上的高所在的直线．已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点F的距离为2．(1)求抛物线方程；(2)直线2x−3y+4=0与抛物线相交于A，B两点，求|AB|的长．滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为√2千米．一“直角型”公路A−B−C（即AB⊥BC）关于OB对称且与滴水湖圆O相切，如图建立平面直角坐标系．(1)求直线BC的方程；(2)现欲在湖边和“直角型”公路A −B −C 围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最大？求出此时圆心O 1到湖中心O 的距离．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=12，a n =−2S n ⋅S n−1 (n ≥2)．（1）求证：数列{1S n}是等差数列；（2）求S n 和a n ． 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，右焦点到右准线的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y =x −√3与椭圆交于M ，N 两点，椭圆上存在点P ，使得OP →=λ(OM →+ON →)(λ>0)，求实数λ的值．设圆C 与两圆C 1:(x +2)2+y 2=1,C 2:(x −2)2+y 2=1中的一个内切，另一个外切． (1)求圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过曲线E 上一点M (2,3)作斜率为34的直线l ，与曲线E 交于另外一点N ．试求△C 2MN 的周长．参考答案与试题解析2022学年江苏省淮安市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】抛物线的标准方程抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】D2.【答案】B【考点】双曲线的标准方程双曲线的定义【解析】此题暂无解析【解答】B3.【答案】B【考点】等差数列的性质等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】B4.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】B5.【答案】D【考点】数列递推式数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】D6.【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】C7.【答案】A【考点】椭圆的定义和性质棱锥的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】A8.【答案】A【考点】两点间的距离公式直线与抛物线结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】A二、多选题【答案】A,B【考点】双曲线的特性双曲线的定义【解析】此题暂无解析【解答】AB【答案】A,D【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】AD【答案】A,C【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：设点A坐标为(t,√2−t)，当AP、AQ均为圆切线时，∠PAQ=90∘，此时四边形PAQO为正方形，则|OA|=√2，即t2+(√2−t)2=2，解得t=0,t=√2. 故A(0,√2)B(√2,0). 故选AC.【答案】A,B,C【考点】椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】ABC三、填空题【答案】6【考点】圆的公共弦圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】6【答案】54【考点】双曲线的离心率圆锥曲线的共同特征【解析】此题暂无解析【解答】54【答案】21【考点】数列递推式数列的函数特性【解析】此题暂无解析【解答】21【答案】18,(x−9)2+(y−1)2=82【考点】直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】18;(x−9)2+(y−1)2=82四、解答题【答案】解：（1）线段AB的中点坐标为(1,2)，所以AB边上的中线所在直线方程为：y−2−2−2=x−12−1，化简为：4x+y−6=0.（2）由已知k AC =1−(−2)−2−2=−34，则AC 边上的高的斜率是43，AC 边上的高所在直线方程是y −3=43(x −4)， 化简为： 4x +3y −7=0. 【考点】直线的一般式方程 直线的点斜式方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）线段AB 的中点坐标为(1,2)， 所以AB 边上的中线所在直线方程为： y−2−2−2=x−12−1，化简为： 4x +y −6=0.（2）由已知k AC =1−(−2)−2−2=−34，则AC 边上的高的斜率是43，AC 边上的高所在直线方程是y −3=43(x −4)， 化简为： 4x +3y −7=0. 【答案】解：（1）因为抛物线y 2=2px (p >0)上一点M (1,m )到其焦点F 的距离为2， 所以M (1,m )到其准线x =−p2的距离为2，所以1+p2=2，解得p =2， 所以抛物线的方程为y 2=4x ．（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{y 2=4x2x −3y +4=0，整理得y 2−6y +8=0， 解得{y 1=2y 2=4或{y 1=4y 2=2，所以{x 1=1y 1=2，{x 2=4y 2=4或{x 1=4y 1=4,{x 2=1y 2=2．所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1−4)2+(2−4)2=√13， 所以所求线段AB 的长为√13．【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线结合的最值问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）因为抛物线y 2=2px (p >0)上一点M (1,m )到其焦点F 的距离为2， 所以M (1,m )到其准线x =−p2的距离为2，所以1+p2=2，解得p =2， 所以抛物线的方程为y 2=4x ．（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{y 2=4x2x −3y +4=0，整理得y 2−6y +8=0， 解得{y 1=2y 2=4或{y 1=4y 2=2，所以{x 1=1y 1=2，{x 2=4y 2=4或{x 1=4y 1=4,{x 2=1y 2=2．所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1−4)2+(2−4)2=√13， 所以所求线段AB 的长为√13． 【答案】解：如图，建立平面直角坐标系．（1）因为“直角型”公路A −B −C 关于OB 对称， 所以直线的斜率为−1．设直线BC 的方程为： x +y +c =0(c <0)，因为直角形公路A −B −C 与滴水湖圆O 相切，且圆O 半径约为√2， 所以圆心O 到直线BC 的距离d =|c|√2=√2，解得|c|=2，因为c <0，所以c =−2，所以直线BC 的方程为x +y −2=0．（2）要使得旅游集散中心面积最大，圆O 1与圆O 相外切，与直线BC 和直线AB 相切， 所以圆心O 1在x 轴上，设圆O 1的圆心坐标为(a,0)(0<a <2)，半径为r (r >0)，则OO1=a=r+√2√2=r,解得a=4(√2−1)．所以圆心O1到湖中心O的距离约为4(√2−1)千米时，旅游集散中心面积最大．【考点】点到直线的距离公式直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，建立平面直角坐标系．（1）因为“直角型”公路A−B−C关于OB对称，所以直线的斜率为−1．设直线BC的方程为：x+y+c=0(c<0)，因为直角形公路A−B−C与滴水湖圆O相切，且圆O半径约为√2，所以圆心O到直线BC的距离d=|c|√2=√2，解得|c|=2，因为c<0，所以c=−2，所以直线BC的方程为x+y−2=0．（2）要使得旅游集散中心面积最大，圆O1与圆O相外切，与直线BC和直线AB相切，所以圆心O1在x轴上，设圆O1的圆心坐标为(a,0)(0<a<2)，半径为r(r>0)，则OO1=a=r+√2√2=r,解得a=4(√2−1)．所以圆心O1到湖中心O的距离约为4(√2−1)千米时，旅游集散中心面积最大．（1）证明：当n≥2时，a n=S n−S n−1=−2S n S n−1，①∴S n(1+2S n−1)=S n−1，由上式知若S n−1≠0，则S n≠0．∵S1=a1≠0，由递推关系知S n≠0(n∈N∗)，∴由①式可得：当n≥2时，1S n −1S n−1=2．∴{1S n }是等差数列，其中首项为1S1=1a1=2，公差为2；（2）解：∵1S n =1S1+2(n−1)=1a1+2(n−1)，∴S n=12n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=−12n(n−1)，当n=1时，a1=S1=12不适合上式，∴a n={12，(n=1,)−12n(n−1)，(n≥2).【考点】数列递推式等差关系的确定【解析】（1）由数列递推式结合a n=S n−S n−1可得1S n −1S n−1=2，即可说明数列{1S n}是等差数列；（2）由数列{1S n }是等差数列求其通项公式，进一步得到S n=12n．然后由当n≥2时，a n=S n−S n−1=−12n(n−1)求得数列的通项公式．【解答】（1）证明：当n≥2时，a n=S n−S n−1=−2S n S n−1，①∴S n(1+2S n−1)=S n−1，由上式知若S n−1≠0，则S n≠0．∵S1=a1≠0，由递推关系知S n≠0(n∈N∗)，∴由①式可得：当n≥2时，1S n −1S n−1=2．∴{1S n }是等差数列，其中首项为1S1=1a1=2，公差为2；（2）解：∵1S n =1S1+2(n−1)=1a1+2(n−1)，∴S n=12n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=−12n(n−1)，当n=1时，a1=S1=12不适合上式，∴a n={12，(n=1,)−12n(n−1)，(n≥2).解：（1）设椭圆的焦距为2c (c >0)，因为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，所以2a =4，解得a =2．因为椭圆的右焦点到右准线的距离为3， 所以a 2c−c =4c−c =3，化简得c 2+3c −4=0，解得c =1．所以b 2=a 2−c 2=4−1=3， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1 .（2）设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则OM →=(x 1,y 1),ON →=(x 2,y 2) ，OM →+ON →=(x 1+x 2,y 1+y 2)，{x 24+y 23=1y =x −√3 ，即3x 2+4(x −√3)2−12=0，化简得7x 2−8√3x =0， 解得 x 1=0,x 2=8√37或x 1=8√37,x 2=0 ．所以x 1+x 2=8√37，y 1+y 2=x 1+x 2−2√3=8√37−2√3=−6√37.因为OP →=λ(OM →+ON →)(λ>0)， 所以 {x P =8√37λy P =−6√37λ ．因为点P 在椭圆上， 所以(8√37λ)24+(−6√37λ)23=1 ，又λ>0，解得λ=√216， 所以实数λ的值为√216． 【考点】椭圆的标准方程 圆锥曲线的综合问题与椭圆有关的中点弦及弦长问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c (c >0)，因为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，所以2a =4，解得a =2．因为椭圆的右焦点到右准线的距离为3，所以a 2c −c =4c −c =3，化简得c 2+3c −4=0，解得c =1． 所以b 2=a 2−c 2=4−1=3， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1 .（2）设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则OM →=(x 1,y 1),ON →=(x 2,y 2) ，OM →+ON →=(x 1+x 2,y 1+y 2)，{x 24+y 23=1y =x −√3 ，即3x 2+4(x −√3)2−12=0，化简得7x 2−8√3x =0， 解得 x 1=0,x 2=8√37或x 1=8√37,x 2=0 ．所以x 1+x 2=8√37，y 1+y 2=x 1+x 2−2√3=8√37−2√3=−6√37.因为OP →=λ(OM →+ON →)(λ>0)， 所以 {x P =8√37λy P =−6√37λ ．因为点P 在椭圆上， 所以(8√37λ)24+(−6√37λ)23=1 ，又λ>0，解得λ=√216， 所以实数λ的值为√216． 【答案】解：（1）因为圆C 与两圆C 1:(x +2)2+y 2=1,C 2:(x −2)2+y 2=1中的一个内切，另一个外切，所以|CC 1−CC 2|=2<C 1C 2=4，所以圆心C 的轨迹E 为以C 1,C 2为焦点的双曲线，设其方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 焦距为2c (c >0)，所以{2a =22c =4，解得{a =1c =2，所以b 2=c 2−a 2=4−1=3, 所以圆心C 的轨迹E 的方程为x 2−y 23=1．（2）因为直线l 过点M (2,3)且斜率为34，所以直线l 的方程为3x −4y +6=0 .因为直线l 过点C 1，且与双曲线左右两支各一个交点， 所以|MC 2|=|MC 1|+2a,|NC 2|=|NC 1|−2a ， 所以△C 2MN 的周长为|MC 2|+|NC 2|+|MN|=|MC 1|−2a +|NC 1|+2a +|MN|=2|MC 1|=2√16+9=10. 【考点】 圆的标准方程 轨迹方程圆锥曲线的综合问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）因为圆C 与两圆C 1:(x +2)2+y 2=1,C 2:(x −2)2+y 2=1中的一个内切，另一个外切，所以|CC 1−CC 2|=2<C 1C 2=4，所以圆心C 的轨迹E 为以C 1,C 2为焦点的双曲线，设其方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 焦距为2c (c >0)，所以{2a =22c =4，解得{a =1c =2，所以b 2=c 2−a 2=4−1=3, 所以圆心C 的轨迹E 的方程为x 2−y 23=1．（2）因为直线l 过点M (2,3)且斜率为34，所以直线l 的方程为3x −4y +6=0 .因为直线l 过点C 1，且与双曲线左右两支各一个交点， 所以|MC 2|=|MC 1|+2a,|NC 2|=|NC 1|−2a ， 所以△C 2MN 的周长为|MC 2|+|NC 2|+|MN|=|MC 1|−2a +|NC 1|+2a +|MN|=2|MC 1|=2√16+9=10.。
江苏淮安中学21-22学度高二上期中考试-数学
江苏淮安中学21-22学度高二上期中考试-数学数 学 学 科一．填空题（本题共14小题，每题5分，合计70分，请将答案写在答题纸上） 1．在平面直角坐标系中，直线01=+y 的倾斜角α的大小是____▲_______ 2. 已知直线⊥a 平面α，直线//b 平面α，则直线b a ,的位置关系是 ▲_ 3. 两个相交平面能把空间分成 ▲ 个部分 4.下列四个条件中，能确定一个平面的只有 ▲ ．（填序号）①空间中的三点 ②空间中两条直线 ③一条直线和一个点 ④两条平行直线5．已知直线3430x y +-=与直线340x y m ++= 之间的距离是1，则m= ▲_6.如图，在边长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AB 上一点，M 是棱D 1C 1上一点，则三棱锥M-DEC 的体积是 ▲7.已知A ，B 两点都在直线21y x =-上，且A ，B，则A ，B 之间的距离为 ▲8．点(4,5)A 关于直线的对称点为(2,7)B - 则直线的方程为_____▲_____．9.三条直线053,082,01=-+=+-=++y ax y x y x 不能围成三角形，则a 的取值集合 是 ▲_10. 设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若γα⊥，γβ⊥，则//αβ； ②若//αβ，α⊂l ，则//l β；③若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβ；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，//l γ，则//m n 。
其中命题正确的是 ▲ ．（填序号）11.直线sin 10x y θ-+=（R θ∈）的倾斜角范畴是 ▲ .12.在平面直角坐标系xOy 中，已知射线 :0(0),:20(0)OA x y x OB x y x -=≥+=≥，过DC1A 1B 1C 1D .EBAM.（第6题图）ADCBFEP点(2,0)P 作直线分别交射线OA 、OB 于点E 、F ，若EP PF =，则直线EF 的斜率为 ▲ _13．如图，矩形ABCD 与矩形ADEF 所在的平面互相垂直，将DEF ∆沿FD 翻折，翻折后的点E 恰与BC 上的点P 重合．设1=AB ，)1(>=x x FA ，y AD =，则当x =_____▲_____时，y 有最小值．14.平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点的坐标为A(a ，0)，B(0，b),C(0，c),点D （d,0）在线段OA 上（异于端点），设a,b,c,d 均为非零实数，直线BD 交AC 于点E ，则OE 所在的直线方程为 ▲_ 二．解答题（本题共6题，合计90分，请将答案写在答题纸上）15.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （－2，1），直线032:=--y x l 。
淮阴中学高二年级第一次综合考试数学试题附答案
淮阴中学⾼⼆年级第⼀次综合考试数学试题附答案江苏省淮阴中学⾼⼆上第⼀次调查测试数学试卷命题沈毅审定薛林⽣⼀、填空题：（每⼩题5分，共70分）1.将两个数a=3,b=65交换,使a=65,b=3,下⾯语句中正确的是（填序号）▲（1）ab ba ←←（2）ca ab bc ←←←（3）a b b c c a ←←←（4）ya xb b y ax ←←←←2.抛掷⼀枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2次，那么两次出现正⾯朝上的概率是▲3.在某样本的频率分布直⽅图中，共有11个⼩长⽅形，若中间⼀个⼩长⽅形的⾯积等于其他10个⼩长⽅形的⾯积的和的41，且样本容量为160，则中间⼀组的频数为▲ 4.已知,x y 的取值如下表所⽰，从散点图分析y 与x 线性相关，且回归⽅程为0.95y x a =+，则a = ▲5.某篮球学校的甲、⼄两名运动员练习罚球，每⼈练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右上．则罚球命中率较⾼的是▲6.已知等腰直⾓三⾓形ABC 中，⾓C 为直⾓，在∠CAB 内作射线AM ，则事件“030CAM <∠”的概率为▲7.在ABC ?中，A=1200，AB=5，BC=7，则其⾯积为▲ 8.若函数f(x)=sinx+cos(x+t)为偶函数，则t= ▲甲⼄0 1 2 398 1 3 4 8 92 3 0 1 1 30 2 4 5 6 7 7 第5题9.如果执⾏下⾯的程序框图,那么输出的S 等于▲10.已知总体的各个体的值由⼩到⼤依次为2,3,3,7,a ,b ,12，14.7，18.3，20，且总体的中位数为10，若要使该总体的⽅差最⼩，则a 、b 的取值分别是▲ 11.函数∑=--=91i |)1i 2(x |)x (f 的最⼩值是▲12.已知函数f(x)=x 2cos 3)x 4(sin 22++π,在],0[π上任取⼀点x 0，则事件f(x 0)>0的概率为▲13.给出n 个数：1，2，4，7，……，其规律是：第1个数是1，第2个数⽐第1个数⼤1, 第3个数⽐第2个数⼤2，第4个数⽐第3个数⼤3，依此类推要计算这n 个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图，则在图中执⾏框中的(1)处应填上的语句是▲14.若**N n ,N m ∈∈，Int(x)表⽰不超过x 的最⼤整数，则下⾯⼀段伪代码的⽬的是▲请将填空题的答案填⼊下⼀页Read m,nWhile )nm(Int n m ≠ c )nm(Int n m ?-←m n ← n c ← End While Print n第14题江苏省淮阴中学2008-2009学年⾼⼆第⼀次调查测试数学试卷答题纸⼀、填空题：1、_____________________2、_____________________3、___________________4、_____________________5、_____________________6、___________________7、_____________________8、_____________________9、___________________ 10、____________________ 11、_____________________ 12、__________________ 13、____________________ 14、_____________________⼆、解答题：（本⼤题共6⼩题，共90分。
江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年度高二第一学期期中试题 数学【含解析】
江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年度高二第一学期期中试题 数学【含解析】一、选择题（每小题只有一个正确选项.）1.顶点在原点，焦点是()0,2F 的抛物线方程（ ） A. 28y x = B. 28x y =C. 218y x =D. 218x y =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求得答案． 【详解】由题意设抛物线的方程为22x py=()0p >，因焦点坐标为()0,2F ，则22p=， 4p ∴=，∴抛物线的方程为28x y =.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，由焦点位置确定方程类型以及p 的值是关键，属于基础题． 2.圆锥的母线为2、底面半径为1，则此圆锥的体积．．是（ ） 3π B.33πC. 2πD.23π 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的母线以及底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】由圆锥的母线为2，底面半径为1，得圆锥的高22213h =-， 所以此圆锥的体积21131333V S h ππ=⋅=⨯⨯故选：B.【点睛】本题考查圆锥的体积公式，求出圆锥的高是关键，属于基础题.3.如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于A. ADB. FAC. AFD. EF 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算的法则计算． 【详解】BC -BD ＝DC ，11()22BC BD DC DF -==， ∴AD +12（BC -BD ）AD DF AF =+=． 故选C ．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础． 4.已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A. –4 B. –2 C. 4 D. 2【答案】D 【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D. 【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.5.如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是边1AA 和AB 的中点，则EF 和1BC 所成的角是（ ）A. 30B. 60︒C. 45︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线1BC 平移和直线EF 相交，找到异面直线EF 与1BC 所成的角，解三角形即可求得结果．【详解】如图，取11A D 的中点G ，连接EG ，FG ，在正方体1111ABCD A BC D -中，设正方体边长为2， 易证GEF ∠（或补角）为异面直线EF 与1BC 所成的角， 在GEF ∆中，2EF =，2EG 6FG 由余弦定理得2261cos 42GEF +-∠==-，即120GEF ︒∠=， 所以异面直线EF 与1BC 所成的角为60︒. 故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题．6.将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，则折后的直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值（ ） A.12B.3 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，即可得到答案.【详解】将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，如图所示：在等腰直角三角形ABC 中，AD BC ⊥，易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，又BD DC =，60BDC ︒∠=， 所以DBC ∆为正三角形，故60DBC ︒∠=， 所以直线BC 与平面ABD 3故选：D.【点睛】本题考查学生的翻折问题，立体几何的空间想象能力，属于基础题.7.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A BC D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.8.椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a 的值为（ ） A. 1 B. 1或2-C. 1或12D.12【答案】A 【解析】 【分析】先判断焦点位置，再依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系，列出方程，即可求出．【详解】由双曲线2212x y a -=知，0a >，焦点在x 轴上，所以依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系可得，242a a -=+，解得1a =，故选A ． 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质应用．9.如图，在四面体ABCD 中，已知,AB AC BD AC ⊥⊥那么D 在面ABC 内的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. ABC ∆内部【答案】A 【解析】由,,AB AC BD AC ⊥⊥可得AC ABD ⊥平面，即平面ABC 内的射影H 必在平面ABC 与平面ABD 的交线AB 上，故选A10.已知圆C 的方程为22220x x y ay ++-=，其中a 为常数，过圆C 内一点()1,2的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为20x y -=，则a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直，再由斜率的关系列式求解．【详解】将圆C ：22220x x y ay ++-=化为()()22211x y a a ++-=+，圆心坐标为()1,C a -，半径21r a =+，如图：由题意可得，过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直时，ACB ∠最小， 此时21112a -=---，即3a =. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）A. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦B. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦ C. ()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ D. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导得出()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而根据1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出2x x <，从而得出()()()21f x f x f <<，从而得出选项．【详解】∵()f x xlnx =，∴()1ln f x x '=+，由于1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，由于112x <<，故2x x <，所以()()()210f x f x f <<=， 而()20f x ⎡⎤>⎣⎦，所以()()()22f x f x f x <<，故选D.【点睛】本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.12.过双曲线M ：()22210y x b b-=>左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且32OB OA OC =+，则双曲线的离心率是（ ）10 5510【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程，得渐近线方程为y bx =或y bx =-，设过左顶点的直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立解得B ，C 的横坐标关于b 的式子，由32OB OA OC =+得B 为AC 的三等分点，利用向量坐标运算建立关于b 的方程并解之可得2b =，由此算出5c =. 【详解】由题可知()1,0A -，所以直线l 的方程为1y x =+，因双曲线M 的方程为()22210y x b b-=>，则两条渐近线方程为y bx =或y bx =-，由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1,11b B b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得1,11b C b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因32OB OA OC =+，又()1,0OA =-，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴311b bb b =+-，解得2b =， 在双曲线中，225c a b += 所以双曲线的离心率5ce a==. 故选：B.【点睛】本题给出双曲线的渐近线与过左顶点A 的直线相交于B ，C 两点且B 为AC 的三等分点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题． 二、填空题13.曲线x y e =在点()0,1处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______. 【答案】12【解析】 【分析】求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在0x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决． 【详解】依题意得e x y '=，因此曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率01k e ==， 所以相应的切线方程为1y x =+，当0x =时，1y =；当0y =时，1x =-； 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为111122S =⨯⨯-=.故答案为：12. 【点睛】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知(),P x y 是椭圆C ：2214x y +=上一点，若不等式20x y a -+≥恒成立，则a 的取值范围是______.【答案】)17,+∞ 【解析】 【分析】根据椭圆方程表示出椭圆的参数方程，即设()2cos ,sin P θθ，代入不等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出a 的取值范围. 【详解】根据题意设()2cos ,sin P θθ，即2cos x θ=，sin y θ=，代入不等式得：()124cos sin 170tan 4x y a a a θθθϕϕ⎛⎫-+=-+=++≥=⎪⎝⎭恒成立， 即()17a θϕ-≤+恒成立，又()1cos 1θϕ-≤+≤，17a -≤-，即17a ≥故a 的取值范围为)17,+∞. 故答案为：)17,+∞.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，解题的关键是利用参数正确设点，属于基础题.15.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱．．．．称之为“堑堵”，2的等腰三角形，面积最大的侧面是正方形，则该“堑堵”的外接球．．．的表面积为______. 【答案】8π 【解析】 【分析】由题意可知该直三棱柱是底面为直角三角形，又面积最大的侧面是正方形，则直三棱柱的高为2，进而可得外接球的半径2R =.2柱的高为2，所以该“堑堵”的外接球的半径22112R =+248S R ππ==. 故答案为：8π.【点睛】本题考查了空间几何体的外接球的表面积的计算问题，属于基础题.16.设()()2222,44mn n D m e n m n R ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭，则D 的最小值为______.21 【解析】 【分析】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中m x e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，则()()()()221212211D x x f x g x g x +=-+-+⎡⎤⎣⎦，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即1D +的最小值是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值.【详解】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中m x e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，由ln y x =的导数为1y x'=，11k x ∴=，点2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线24x y =上，又2x y '=，22x k ∴=令()ln f x x =，()24x g x =，则()()()()221212211D x x f x g x g x +=-+-+⎡⎤⎣⎦，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，即抛物线24x y =上的点到焦点()0,1F的距离， 从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即AF AB +，如图所示：由两点之间线段最短，得1D +的最小值是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，则1D +就最小，即D 最小，设()00,ln B x x ，则000ln 1110x x x -⋅=--，即200ln 10x x +-=，解得01x =，即()10B , ∴点()0,1F 到()10B ,的距离就是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值，故1D +的最小值为2，即D 的最小值为21-. 故答案为：21-.【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查导数、抛物线、两点间距离、点到直线距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥.（1）求证：AD CE ⊥；（2）求证：平面//ABF 平面DCE . 【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得DE AD ⊥，AD DC ⊥，从而AD ⊥平面DCE ，由此即可得证AD CE ⊥；（2）由题意可得//AB DC ，进而可得//AB 平面CDE ，又//AF DE ，即可得//AF 平面CDE ，由此即可得证平面//ABF 平面DCE .【详解】证明：（1）∵矩形ABCD ，∴AD CD ⊥， 又∵DE AD ⊥，且CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，∴AD ⊥平面CDE ，又∵CE ⊂平面CDE ，∴AD CE ⊥.（2）∵矩形ABCD ，∴//AB CD ，又CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，∴//AB 平面CDE .又∵//AF DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE .∴//AF 平面CDE ，又AB AF A =，,AB AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面CDE .【点睛】本题考查线线垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.已知圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，圆心C 在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线210x y -+=上，过P 点作圆C 的两条切线，分别与圆切于M 、N 两点，求四边形PMCN 周长的最小值.【答案】(1) ()()22122x y -+=+ (2) 2322【解析】 【分析】（1）由题意设(),2C a a -，半径为()0r r >，则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=，由题意圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，得到关于a ，r 的方程解得即可； （2）由题意得：四边形PMCN 周长2c PM PN r =++，其中22PM PN PC =-的距离即可求得答案.【详解】（1）因为圆心C 在直线2y x =-上，所以可设(),2C a a -，半径为()0r r >，则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=；又圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，所以()()2222122111a a r a a r ⎧-+-+=⎪⎨--=⎪+⎩，解得12a r =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以圆C 的方程为()()22122x y -+=+.（2）由题意：四边形PMCN 周长2c PM PN r =++，其中22PM PN PC ==-，即PC 取最小值时，此时周长最小，又因P 在直线210x y -+=上，即圆心C 到直线210x y -+=的距离时，PC ∴的最小值为22221512PC ++==+，所以周长252222322c ≥-+=+， 故四边形PMCN 周长的最小值为2322+.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题.19.2019年11月2日，中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病（老年痴呆症）新药GV-971的上市申请，这款新药由我国科研人员研发，我国拥有完全知识产权.据悉，该款药品为胶囊，从外观上看是两个半球和一个圆柱组成，其中上半球是胶囊的盖子，粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD ，其周长为50毫米，药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD 的长为2x 毫米.（注：343V R =π球，V Sh =柱，其中R 为球半径，S 为圆柱底面积，h为圆柱的高）（1）求胶囊中药物体积y 关于x 的函数关系式； （2）如何设计AD 与AB 的长度，使得y 最大？ 【答案】(1) 2322253y x x πππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (2) AD 为10032π-毫米，AB 为255032ππ--毫米 【解析】 【分析】（1）利用已知条件结合体积公式求出胶囊中药物的体积y 关于x 的函数关系式； （2）通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可得到答案. 【详解】解：（1）由2250AB x π+=得25AB x π=-，0AB >，所以250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以药物体积()322321422525233y x x x x x ππππππ⎛⎫=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭，250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）求导得2222350'x y x x πππ=-+，令'0y =，得5032x π=-或0x =（舍），当500,32x π⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，'0y >，y 在区间500,32π⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调增， 当5025,32x ππ⎛⎫∈⎪-⎝⎭，'0y <，y 在区间5025,32ππ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调减，所以当5032x π=-时，y 有最大值，此时100232AD x π==-，255032AB ππ-=-，答：当AD 为10032π-毫米，AB 为255032ππ--毫米时，药物的体积有最大值.【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的数据应用，考查计算能力，属于基础题． 20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AB ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11AAC C ；（2）若11CC CB =，2CA CB ==，3AB =，平面11CC B B ⊥平面ABC ，求二面角1B NC M --的余弦值.【答案】(1)证明见解析7【解析】 【分析】（1）利用已知条件证四边形AMNP 为平行四边形即可得//MN 平面11AAC C ； （2）利用几何关系作出二面角1B NC M --的平面角，利用解三角形即可得到答案.【详解】证明：（1）取11AC 的中点，连接AP ，NP ， ∵11C N NB =，11C P PA =，∴11//NP A B ，1112NP A B =.在三棱柱111ABC A B C -中，∵11//A B AB ，11A B AB =. ∴//NP AB ，且12NP AB =.∵M 为AB 的中点，∴12AM AB =. ∴NP AM =，且//NP AM .∴四边形AMNP 为平行四边形.∴//MN AP ，∵AP ⊂平面11AAC C ，MN ⊄平面11AAC C ，∴//MN 平面11AAC C .其他方法：（2）∵11CC CB =，N 是11B C 中点，∴11CN B C ⊥.又∵三棱柱， ∴11//BC B C ，∴CN BC ⊥，又∵平面11CC B B ⊥平面ABC ， 平面11CC B B平面ABC BC =，CN ⊂平面11CC B B ，∴CN ⊥平面ABC ，又,CB CA ⊂平面ABC ，∴CN CB ⊥，CN CA ⊥，BCM ∠为二面角1B NC M --的平面角，如图：在三角形CAB 中，2CA CB ==，3AB =，∴中线7CM =22273227cos 722BCM ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴∠==⨯⨯，故二面角1B NC M --7. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 21.已知函数()()21ln 2f x x a b x =+-，,a b ∈R . （1）当0a =，2b =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值； （2）设1b =-，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21f x x 的取值范围. 【答案】(1) 1ln 2-. (2) 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）当0a =，2b =时，求出函数的导数，通过函数()f x 在区间(2上单调递减；在)2,+∞上单调递增，求得最小值；（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，得到1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，从而12x x a +=-，121x x ⋅=，推出()21f x x 的表达式，记()()1ln 12x g x x x x =+>，利用函数的导数求得单调性，即可得到答案.【详解】（1）当0a =，2b =时，()212ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2'220x x x x f x x-=-=>，∴当(2x ∈时，()'0f x <；当()2,x ∈+∞时，()'0f x >，∴()f x 在(2上单调递减；在)2,+∞上单调递增，∴()(min21ln 2f x f==-.（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，∴1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，∴12x x a +=-，121=x x ， ∵12x x <且1>0x ，20x >，∴21>x ，221a x x =--， ∴()()2222221221ln 12ln 12x a x f x x x x x x ++==+， 令()()1ln 12x g x x x x =+>，则()2'1ln 102x xg x =-++>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()112g x g >=，即：()211,2f x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.22.如图，A 为椭圆22142x y +=的左顶点，过A 的直线l 交抛物线()220y px p =>于B 、C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m 过C 点，且倾斜角和直线l 的倾斜角互补，交椭圆于M 、N 两点，求p 的值，使得BMN ∆的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) 928p = 【解析】 【分析】（1）由题意可求()2,0A -，设()11,B x y 、()22,C x y ，l ：2x my =-，联立直线与抛物线，利用C 是AB 的中点得122y y =，计算可得点C 的横坐标是定值； （2）由题意设直线m 的方程为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，联立方程，利用C 是AB 的中点，可得BMN AMN S S ∆∆=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN ∆的面积最大值，由取等条件解得p 的值.【详解】（1）()2,0A -，过A 的直线l 和抛物线交于两点，所以l 的斜率存在且不为0，设l ：2x my =-，其中m 是斜率的倒数，设()11,B x y 、()22,C x y ，满足222x my y px=-⎧⎨=⎩，即2240y pmy p -+=，>0∆且121224y y pm y y p+=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 中点，所以122y y =，所以223pm y =，292m p =， 所以222222133pm p x m m =⋅-=-=，即C 点的横坐标为定值1. （2）直线m 的倾斜角和直线l 的倾斜角互补，所以m 的斜率和l 的斜率互为相反数.设直线m 为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即4x my =-+，联列方程224240x my x y =-+⎧⎨+-=⎩得()2228120m y my +-+=， ()()222848216960m m m ∆=-+=->，所以26m >；且12212282122m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=， 设()2,0A -到MN 的距离2241d m --=+2121MN m y =+-，()21222163322AMNm S MN d y y m∆-=⋅⋅=-=+26t m =-，213364166416AMN t S t t t t∆==++++13281642≤=⨯+当且仅当8t =，214m =时取到， 所以9142p =，928p =. 法二：因为B 点在抛物线()220y px p =>上，不妨设2,2t B t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又C 是AB 中点，则24,42t p t C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：224224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：28t p =，∴8414C p p x p -==为定值.（2）∵直线l 的斜率()02126t t k -==--，直线m 斜率'6t k =-， ∴直线m 的方程：()126t t y x -=--，即64x y t =-+，令6m t=代入椭圆方程整理得： ()2228120my my +-+=，设()11,B x y 、()22,C x y ，下同法一.【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．。
2021-2022学年江苏省淮安市淮安区高二上学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省淮安市淮安区高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知直线l 过点(A -，(2,B -两点，则直线l 的斜率为（ ）A ．B C ．12D ．12-【答案】A【分析】由直线斜率的坐标公式，即得解【详解】设直线l 的斜率为k ，则k =故选：A2．抛物线22y x =的准线方程为（ ） A ．12x =B ．12y =-C ．18y =-D ．18x【答案】C【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.【详解】抛物线的方程可变为212x y =故128p = 其准线方程为18y =-故选：C3．已知圆的一条直径的端点分别是()1,0A -，()3,4B -，则该圆的方程为（ ） A ．()()22128x y ++-= B ．()()22128x y -++= C ．()()221232x y ++-= D ．()()221232x y -++=【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】解：由题意可知，()1,0A -，()3,4B -的中点为()1,2-，又圆的半径为12r AB == 故圆的方程为()()22128x y -++=． 故选：B ．4．已知椭圆22127x y k +=+的一个焦点坐标为()0,2，则k 的值为（ ）A ．1B ．3C ．9D ．81【答案】A【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a ，短半轴长b ，半焦距c 的关系列式计算即得.【详解】由椭圆22127x y k +=+的一个焦点坐标为()0,2，则半焦距c =2， 于是得2(2)27k ++=，解得1k =， 所以k 的值为1. 故选：A5．已知双曲线2221y x b-=的虚轴长是实轴长的2倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ）A B C D 【答案】B【分析】根据条件求出a ，b 的大小，求出顶点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】由双曲线的方程得1a =，双曲线2221y x b-=的虚轴长是实轴长的2倍，244b a ∴==，可得2b =，则双曲线的顶点为1,0A ，双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±，不妨取渐近线2y x =，即20x y -=，则顶点到渐近线的距离d =故选：B.6．过点()02，作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（ ） A ．3480x y -+= B ．3480x y +-= C ．0x =或3480x y +-= D ．0x =或3480x y --=【答案】C【解析】先求得圆的圆心和半径，根据直线与圆相切，分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，由d r =求解.【详解】圆2220x y x +-=即为()2211x y -+=， 圆心是()1,0,1r =，当直线斜率不存在时，直线方程为0x =， 而1d r ==，直线与圆相切，当直线斜率存在时，设直线方程为20kx y -+=，圆心到直线的距离为；1d ==，解得34k =-，所以直线l 的方程为3480x y +-=，综上：直线l 的方程为0x =或3480x y +-=， 故选：C7．已知直线1110a x b y ++=和直线2210a x b y ++=都过点(3,1)A ，则过点()111,P a b 和点()222,P a b 的直线方程是（ ）A ．310x y ++=B ．310x y -+=C ．310x y +-=D ．310x y ++=【答案】A【分析】把点(3,1)A 分别代入两直线方程，得到11310a b ++=且22310a b ++=，根据两个式子，即可求得所求的直线方程.【详解】因为直线1110a x b y ++=和直线2210a x b y ++=都过点(3,1)A ， 可得11310a b ++=且22310a b ++=，即点()111,P a b 和点()222,P a b 适合直线310x y ++=， 所以过点()111,P a b 和点()222,P a b 的直线方程是310x y ++=. 故选：A.8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,0A 处出发，河岸线所在直线的方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）AB ．5C D【答案】D【分析】设()2,0B -关于3x y +=的对称点为(,)x y ，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.【详解】由()2,0B -关于3x y +=的对称点为(,)x y ，所以232212x yy x -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，可得35x y =⎧⎨=⎩，即对称点为(3,5)，又1,0A所以“将军饮马”故选：D 二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B ．点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】AD【分析】A 注意垂直于x 轴的直线；B 由对称点所在直线的斜率与1y x =+斜率关系，及其中点在对称直线上判断正误；C 求直线与数轴交点即可求面积；D 注意直线y x =也符合要求即可判断.【详解】A ：垂直于x 轴的直线不存在斜率，错误；B ：由()0,2、()1,1中点为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭且31122=+，两点所在直线的斜率为1k =-，故与1y x =+垂直，正确；C ：令0x =有2y =-，令0y =有2x =，所以围成的三角形的面积是12|2|22⨯⨯-=，正确；D ：由y x =也过()1,1且在x 轴和y 轴上截距都为0，错误. 故选：AD10．已知双曲线C 的方程为221169x y -=，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的渐近线方程为34y x B ．双曲线C 的实轴长为8C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点的距离的最小值为94【答案】ABC【分析】由双曲线方程221169x y -=求出,,a b c ，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离，即可求解【详解】由双曲线C 的方程为221169x y -=，得：2216,9a b ==，4,3,5a b c ∴====，对于A ：双曲线C 的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故A 正确； 对于B ：双曲线C 的实轴长为28a =，故B 正确；对于C ：取焦点()5,0F ，则焦点()5,0F 到渐近线34y x 的距离3d =，故C 正确；对于D ：双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故D 错误； 故选：ABC.11．已知点P 是直线3450x y -+=上的动点，定点()1,1Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．线段PQ 的长度的最小值为45B ．当PQ 最短时，直线PQ 的方程是3470x y +-=C ．当PQ 最短时P 的坐标为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭D ．线段PQ 的长度可能是23【答案】AC【分析】当PQ 垂直直线3450x y -+=时，PQ 最短，即可判断A 、D ，设出P 坐标，根据最短使PQ 与直线垂直求解P 坐标，即可判断C ，由两点式求出直线方程，即可判断B ．【详解】解：当PQ 垂直直线3450x y -+=时，PQ 最短，Q 45=，故A 正确；故PQ 的长度范围为4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，2435<，故D 错误；设35,4m P m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3514413PQm k m +-==--，解得1325m =， 故P 为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确；此时直线PQ 的方程是114113112525y x --=--，即4370x y +-=，故B 错误， 故选：AC ．12．已知ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是()()5,0,5,0-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠且斜率之差等于n ，则正确的是（ ） A ．当0m >时，点C 的轨迹是双曲线. B ．当1m =-时，点C 在圆2225x y +=上运动.C ．当1m <-时，点C 所在的椭圆的离心率随着m 的增大而增大.D ．无论n 如何变化，点C 的运动轨迹是轴对称图形. 【答案】BD【分析】设(),C x y ，进而根据题意得()22152525x y x m-=≠±，()2102505nx y n x +-=≠±，进而依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：设(),C x y ，则(),555AC BC y y k k x x x ==≠±+- ， 所以()22525AC BCy k k m x x ==≠±-，()21055525AC BC y y y k k n x x x x --=-==≠±+--， 整理得()22152525x y x m-=≠±，()2102505nx y n x +-=≠± 所以对于A 选项，0m >时，点C 的轨迹是去除了两个点()()5,0,5,0-的双曲线上，故A 选项错误；对于B 选项，当1m =-时，点C 的轨迹为圆()22255x y x +=≠±，故在圆2225x y +=上运动，故B 选项正确；对于C 选项，当1m <-时，点C 的轨迹为()22152525x y x m+=≠±-表示焦点在y 轴上的椭圆，离心率为c e a ===1m <-时，椭圆的离心率随着m 的增大而减小，故C 选项错误；对于D 选项，由于，点C 的运动轨迹()2102505nx y n x +-=≠±，对任意的点(),x y -与()(),5x y x ≠±均在()2102505nx y n x +-=≠±，故曲线()2102505nx y n x +-=≠±关于y轴对称，点C 的运动轨迹为()22152525x y x m-=≠±，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D 选项正确. 故选：BD 三、填空题13．两条平行直线210x y --=和243x y -=-之间的距离是_________.【分析】利用两平行直线之间的距离公式即可计算. 【详解】2102420x y x y --=⇒--=，2432430x y x y -=-⇒-+=，=14．已知圆22(6)(8)4x y -+-=的圆心为,C O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的标准方程为____________. 【答案】22(3)(4)25x y -+-=【分析】求出圆心的坐标(3,4)和半径5r =，即可得出圆的方程.【详解】圆心C 的坐标为(6,8)，则OC 的中点坐标为(3,4)，半径5r =， 所以以OC 为直径的圆的方程为22(3)(4)25x y -+-=. 故答案为：22(3)(4)25x y -+-=【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了运算求解能力，属于基础题目.15．若圆1C ：()2211x y -+=与圆2C ：()()22244x y r -++=（0r >）相交，则正数r 的取值范围为______. 【答案】()4,6【分析】由圆心距离小于半径之和，大于半径之差的绝对值可得． 【详解】∵两圆()2211x y -+=和()()22244x y r -++=（0r >）相交， 圆1C ：()2211x y -+=的半径和圆心分别是1，()1,0，圆2C ：()()22244x y r -++=（0r >）的半径和圆心分别是r ，()4,4-，∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差，小于两个圆的半径之和， 即()()22114041r r -<-+--<+⎡⎤⎣⎦.∴151r r -<<+， ∴46r <<，∴正数r 的取值范围是()4,6. 故答案为：()4,6.16．在直角平面坐标系xOy 中，12,F F 分别是双曲线()22210y x b b -=>的左、右焦点，过点1F 作圆221x y +=的切线，与双曲线左、右两支分别交于点,A B ，若2||||F B AB =，则b 的值是_________．【答案】13+31+【分析】根据双曲线的定义可得2||4AF =，在△12AF F 中应用余弦定理可得2123cos 2c AF F c -∠=，注意其符号判断c 的范围，再根据直线与圆相切可得2121cos c AF F c-∠=，构造方程求参数c ，进而求b . 【详解】由题设，1211||||||||||2BF BF BF AB AF -=-==，又21||||2AF AF -=，则2||4AF =，在△12AF F 中12||2F F c =，则221244163cos 082c c AF F c c+--∠==>，即23c >，又直线1BF 与221x y +=相切，则2121cos c AF F -∠22132c c c--=，解得2523c =±221c a >=，则2523c =+， 所以22243b c a =-=+13b =故答案为：13【点睛】关键点点睛：注意应用余弦定理求12cos AF F ∠关于椭圆参数的表达式，再由直线与圆的相切关系得到另一个12cos AF F ∠关于椭圆参数的表达式，联立求参数. 四、解答题17．已知两条直线()1:3453l m x y m ++=-，()2:258l x m y ++=；求m 为何值时，1l 与2l （1）平行； （2）垂直.【答案】（1）7m =-；（2）133m =-. 【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数m 的等式，求出m 的值，并代入两直线方程检验即可得解；（2）根据两直线垂直可得出关于实数m 的等式，即可解出m 的值. 【详解】（1）因为12//l l ，可得()()3580m m ++-=，即2870m m ++=， 解得1m =-或7m =-，当1m =-时，直线1l 的方程为24x y +=，直线2l 的方程为24x y +=，两直线重合，不合题意，舍去.当7m =-时，直线1l 的方程为22130x y -+=，直线2l 的方程为40x y --=，两直线平行，合乎题意.综上所述，7m =-；（2）因为12l l ⊥，则()()23456260m m m +++=+=，解得133m =-. 18．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线4350x y -+=垂直；②过点(5,5)-；③与直线3420x y ++=平行. 问题：已知直线l 过点(1,2)P -，且___________. （1）求直线l 的一般式方程；（2）若直线l 与圆225x y +=相交于点P ，Q ，求弦PQ 的长. 【答案】条件选择见解析；（1）3450x y ++=；（2）4.【分析】选①：（1）求出直线4350x y -+=的斜率，可求得直线l 的斜率，利用点斜式可求得直线l 的方程即可；（2）求出圆心到直线l 的距离，利用勾股定理可求得弦长PQ ；选②：（1）根据直线上两点求出直线l 的斜率，利用点斜式可求得直线l 的方程； （2）求出圆心到直线l 的距离，利用勾股定理可求得弦长PQ ；选③：（1）由直线平行求得直线l 的斜率，利用点斜式可求得直线l 的方程即可；（2）求出圆心到直线l 的距离，利用勾股定理可求得弦长PQ . 【详解】方案一选条件①.（1）因为直线4350x y -+=的斜率为43，又直线4350x y -+=与直线l 垂直，所以直线l 的斜率为34k =-，依题意，直线l 的方程为32(1)4y x +=--，即3450x y ++=.（2）圆225x y +=的圆心(0,0)到直线3450x y ++=的距离为1d ==.又圆225x y +=的半径为r =4PQ ==. 方案二选条件②.（1）因为直线l 过点()5,5-及()1,2-， 所以直线l 的方程为551525x y -+=--+，即3450x y ++=. （2）圆225x y +=的圆心(0,0)到直线3450x y ++=的距离为1d ==.又圆225x y +=的半径为r =4PQ ==. 方案三选条件③.（1）因为直线3420x y ++=的斜率为34-，直线l 与直线3420x y ++=平行， 所以直线l 的斜率为34k =-依题意，直线l 的方程为32(1)4y x +=--，即3450x y ++=.（2）圆225x y +=的圆心(0,0)到直线3450x y ++=的距离为1d ==.又圆225x y +=的半径为r =4PQ ==.19．在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点坐标分别为()30A -,，()2,0B ，()0,4C -，经过这三个点的圆记为M ．(1)求BC 边的中线所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的一般方程． 【答案】(1)230x y ++=； (2)225602x y x y +++-=. 【分析】（1）首先利用中点坐标求出BC 的中点D 的坐标，进一步利用点斜式求出直线的方程．（2）直接利用圆的一般式，建立三元一次方程组，进一步解方程组求出圆的方程．【详解】(1)解：（1）在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点坐标分别为()30A -,，(2,0)B ，(0,4)C -，设BC 的中点为(,)D x y 所以2012x +==，4022y -+==-，则(1,2)D - 所以直线AD 的斜率()201132k --==---， 则直线AD 的方程为：1(3)2y x =-+，整理成一般式为：230x y ++=．(2)解：已知ABC 三个顶点坐标分别为(3,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C -，经过这三个点的圆记为M ，设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则：9304201640D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得：1526D E F =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩， 所以圆M 的方程为225602x y x y +++-=． 20．已知椭圆1C 的中心在原点，离心率为45，焦点在x 轴上且长轴长为10．过双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线2C 于,M N 两点． （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）若双曲线2C 与椭圆1C 有公共的焦点，且以MN 为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A ，求双曲线2C 的标准方程．【答案】（1）221259x y +=；（2）221412x y -=. 【分析】（1）设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，根据椭圆的几何性质列出方程即可求出各个系数，从而得出椭圆1C 的标准；（2）设双曲线的右焦点2(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程求得||MN ，又以MN 为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A ，且2AF a c =+，从而建立等式求出离心率，最后即得双曲线2C 的标准方程．【详解】解：（1）设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>， 根据题意得1210a =，则15a =． 又111114,4,35c e c b a ====， ∴椭圆1C 的标准方程为221259x y +=． （2）设双曲线的右焦点2(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得222,b b y MN a a=±∴=． ∵以MN 为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A ，且2AF a c =+，2b ac a∴+=，即2222a ac b c a +==-， 整理得2220a ac c +-=，即有220e e --=．又1,2e e >∴=．又双曲线2C 与椭圆1C 有公共的焦点，224,4,12c a b ∴=∴==，∴双曲线2C 的标准方程为221412x y -=． 21．直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相较于A ，B 两点.(1)若2a =，求线段AB 长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？【答案】(1)(2)1a =±.【分析】（1）联立直线与双曲线可得2420x x ++=，应用韦达定理及弦长公式即可求线段AB 长；（2）联立直线与双曲线可得22(3)220a x ax ---=，注意由判别式求a 的范围，应用韦达定理求A B x x 、A B y y 关于参数a 的表达式，再由AB 为直径的圆经过坐标原点，推出0A B A B x x y y +=，即可求出参数a .【详解】(1)由题设，21y x =+联立双曲线并整理得：2420x x ++=，所以164280∆=-⨯=>，则4A B x x +=-，2A B x x =，所以||AB ==(2)联立直线与双曲线得：223(1)1x ax -+=，整理有22(3)220a x ax ---=，由题意，22248(3)2440a a a ∆=+-=->，即a <， 所以223A B a x x a +=-，223A B x x a =--，则2222222()11133A B A B A B a a y y a x x a x x a a =+++=-++=--， 若AB 为直径的圆经过坐标原点，则0OA OB ⋅=，即22103A B A B x x y y a+=-=-， 所以1a =±，满足要求. 22．已知抛物线2*:2(N )C y px p =∈与直线:+l y x b =相交于,A B 两点，线段AB 中点E 的横坐标为5，且抛物线C 的焦点到直线l(1)求p ，b 的值；(2)已知点Q 为抛物线C 上一动点，点(,0)M m 为x 轴上一点，求线段QM 长最小值.【答案】(1)2,3p b ==-；(2)答案见解析.【分析】（1）由点线距离公式及中点坐标公式有5||22p b p b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，结合已知求p ，b 的值； （2）设2(,)4y Q y ，利用两点距离公式有2221||[4(2)]4416QM y m m =+-+-，根据二次函数的性质及抛物线的有界性20y ≥，讨论1m 、1m 求对应线段QM 长最小值.【详解】(1)由题设，抛物线焦点为(,0)2p||p b += 联立直线与抛物线可得：222()0x b p x b +-+=，则2()10A B x x p b +=-=， 综上，5||22p b p b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得14313p b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或23p b =⎧⎨=-⎩，又*N p ∈， 所以23p b =⎧⎨=-⎩. (2)由（1）知：2:4C y x =，设2(,)4y Q y ， 所以2222221||()[4(2)]44416y QM m y y m m =-+=+-+-，又20y ≥， 要使线段QM 长最小，即2||QM 最小即可，当440m -≤，即1m 时4(2)0m -<，则20y =时2||QM 最小值为2m ；当440m ->，即1m 时，则若12m <≤，则4(2)0m -<，则20y =时2||QM 最小值为2m ；若2m >，则4(2)0m ->，则24(2)y m =-时2||QM 最小值为44m -；综上，2m ≤时线段QM 长最小值为||m ；2m >时线段QM 长最小值为【点睛】关键点点睛：第二问，利用两点距离公式构造2||QM 关于m 的二次函数，分类讨论函数对称轴的位置，求对应的最小值.。
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江苏省淮阴中学2006年第一学期高二数学期中考试试卷
命题：蒋行彪 审校：朱益明
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知函数y f (x)=在0x x =处的导数为'0f (x )，若0f(x )为函数f (x)的极大值，则必有 （ C ）
A ．'0f (x )0>
B ．'0f (x )0<
C ．'0f (x )0=
D ．'0f (x )0>或'0f (x )0<
2．关于频率分布直方图，下列有关说法正确的是 （ D ）
A ．直方图的高表示取某数的频率
B ．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率
C ．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值
D ．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
3．若样本123a ,a ,a 的方差是2，则样本1232a 3,2a 3,2a 3+++的标准差为（ C ）
A ．2
B ．4
C ．．8
4．函数1y x cos x,x [,]222
ππ=-∈-的最大值为 （ A ）
A ．4π
B ．3π
C
D ．2
5．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，至少有1名女生当选的概率为 （ C ） A ．
34 B ．14 C ．57 D ．27
6．双曲线的渐近线方程为3y x 4=±，则双曲线的离心率为 （ D ）
A ．53
B ．54
C
D ．5534或
7．在等腰三角形ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM < AC 的概率为 （ B ）
A ．14
B ．34 C
8．过双曲线2
2
y x 12-=的右焦点F 作直线L 交双曲线于A 、B 两点，若|AB| = 4，则这样的直线有 （ C ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
9．国家机关用监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现了30 min 长的磁带上，从开始30s 处起，有10s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率为（ D ）
A ．1180
B ．160
C ．190
D ．145
10．椭圆22
x y 1259
+=上点P 到右焦点距离为3.6，则点P 到左准线距离为 （ B ） A ．4.5 B ．8 C ．4 D ．12.5
11．抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 （ B ） A ．
1716 B ．1516 C ．78
D ．0 12．已知命题P ：若a b ≥，则c>d ，命题Q ：若e f ≤，则a b <。
若P 为真且Q 的否命题为真，则“c d ≤”是“e f ≤的” （ A ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
二、填空题（每题5分，共30分）
13．已知曲线C ：32y x 2x x 3=-+-，则曲线C 在点P （2，a ）处的切线方程为 5x y 110--=
14．函数2x y xe =的单调增区间为 1
(,)2
-+∞ 15．已知点A （1，2），F （2，0），点P 为椭圆22
x y 11612
+=上一点，则 |PA| + 2|PF| 的最小值为 7
16．已知命题P ：方程2
x m x 10++=有两个不等的负实根。
命题Q ：方程24x 4(m 2)x +1=0
+-无实根。
若“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，则实数m 的取值范围
是 1m 2m 3<≤≥或
17．已知12F ,F 为椭圆22
22x y 1(a b 0)a b
+=>>的两个焦点，过2F 作椭圆的弦AB ，若△1AFB
的周长为16，椭圆的离心率为e = 22x y 1164+= 18．已知抛物线2y ax (a 0)=<，焦点为F ，过F 作直线L 交抛物线于A 、B 两点，则11AF BF
+= －4a 三、解答题（共70分）
19．（本题满分12分）
已知长、宽分别为16，10的矩形纸板，在其四个角处分别截去相同的小正方形做出一个无盖的盒子，求盒子的最大容积。
解：设小正方形边长为x ，则
32V=(16-2x)10-2x x 4x 52x 160x -+()=
'2x (0,5),V 12x 104x 160∈=-+
令 212x 104x 1600-+= 得 20x 2x 3==
或 而 20(0,5)3
∉ 又 'x (0,2)V 0∈>当时， V 02∴在（，
）上单调增 'x (25)V <0∈当，时， V 2,5∴在（）上单调减
V ∴当x ＝2时，取最大值为144
答： 盒子的最大容积为 144 。
20．（本题满分14分）
一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为及格。
（1）现有某位考生会答8道题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？
（2）如果一位考生及格的概率小于50％，则他最多只会几道题？
解：（1）8道题中任抽2道题的方法有28种，其中两道题都在不会答的3道题中抽出的方
法有3种，故及格的概率为 32512828
－＝ 。
（2）如果他会3道题，则两题都不会答的方法有10种，及格概率仍 > 50%，当他只会2道题时，抽到2题都不会的方法数为15种。
此时他及格的概率为
1328 < 50%，即他最多会2题。
21．（本题满分14分）
已知两定点A 、B 距离为6，动点M 满足MBA 2MAB ∠=∠，求动点M 的轨迹方程。
解：直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，
则 A （－3，0），B （3，0），设M （x,y ） 则tan ,tan 33
MA y y MAB K MBA x x ∠==
∠=-+- 依题意得： 2
2331()3y y x y x x ⋅+-=--+ 化简得： 220,(33)3690y x x y x =-<<-+-=或
所以动点M 的轨迹方程为220,(33)3690y x x y x =-<<-+-=或
22．（本题满分14分）
一顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线2x y 40--=
所得的弦长为抛物线的方程。
解：设抛物线方程为 22(0)y px p =≠
将直线方程24y x =-代入抛物线方程，并整理得：22(8)80x p x -++=
设方程的两个根为 12,x x ， 则根据韦达定理有12128,42p x x x x ++=
= 由弦长公式得：
222121212[()4]x x x x =++- 即：289()162
p +=-
216360218p p p p ∴+-===-得：或
故所求抛物线的方程 22436y x y x ==-或
23．（本题满分16分） 椭圆22
2x y 1(b 0)4b
+=>的焦点在x 轴上，其右顶点关于直线x y 40-+=的对称点在椭圆的左准线上。
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左焦点F 的直线L 交椭圆于A 、B 两点，交椭圆左准线于C 点，设O 为坐标原点，且OA OC 2O B +=，求△OAB 的面积。
解：（1）椭圆的右顶点为（2，0），设（2，0）关于直线40x y -+=的对称点为00(,)x y
则 0000024022412x y x y x +⎧-+=⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩
解得： 所以
244,1,a c b c c
==∴===则 2
13
y ∴+=2x 所求椭圆方程为4 （2） 设 11223(,),(,),(4,)A x y B x y C y -
由 223412(1)
x y y k x ⎧+=⎨=+⎩得：2222(34)84120k x k x k +++-=
所以 21228(1)34k x x k -+=+ 2122412(2)34k x x k
-=+ 由 2OA OC OB +=11322得：(x ,y )+(-4,y )=2(x ,y )2124(3)x x ∴-=-
由（1）（3）得：2
1222448,3434k x x k k
+==-++，代入（2）得： 22222484412343434k k k k k
+--⋅=+++整理得：42450k k --= 212517,,424
k x x ∴===-故
由于对称性，只需求出 2k OAB =∆的面积，此时1248y y ==-
121||||2OAB S OF y y ∆∴=
⋅-=。