2014-2015学年福建省莆田六中高三(上)12月月考数学试卷(理科) Word版含解析

2014-2015学年福建省莆田六中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，把答案填写在答题卷的相应位置．1．集合A={x|y=ln（﹣x2+2x+3）}，B={y|y=e x}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|0＜x＜3} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x＜3}2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．m∥n，n⊂α，则m∥αC．m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．m∥α，n⊂a，则m∥n3．若a+1、a+2、a+6依次成等比数列，则该等比数列的公比为（）A．1 B．2 C．3 D．44．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．△ABC，A、B、C依次成等差数列，且a、c是﹣x2+6x﹣8=0的两根，则△ABC面积为（）A．4B．3C．2D．6．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．78．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（）A．40种B．70种C．80种D．100种9．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，且在△ABC所在的平面内存在一点O，使得（+）•=（+）•=（+）•=0成立，则•的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象是一段弧（如图所示），若0＜x1＜x2＜1，则（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1f（x1）＜x2f（x2）C．x2f（x1）＞x1f（x2）D．x1f（x1）＞x2f（x2）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置．11．已知向量=（2m，3），=（m﹣1，1），若，共线，则实数m的值为．12．已知等差数列{a n}中，a1+a5+a9=，则sin（a4+a6）=．13．{（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}中任取一点，恰好在y2=x和x=1围成区域的概率．14．数列{a n}满足（a n+1）（1﹣a n+1）=2，则a2013a2015=．15．f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，若函数g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M和最小值m，则M+m=．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填写在答题卷的相应位置．16．如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB=∠FAB=90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA=AB=BE=2，BC=1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．17．已知向量=（cosax，sinax），=（cosax，﹣cosax），其中a＞0，若f（x）=•的图象与y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列．（Ⅰ）求a和m的值；（Ⅱ）在△ABC中，若f（）=，且BC=4，求△ABC面积的最大值．18．如图，点A，B分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x﹣2）2+y2=9，经过椭圆E的左焦点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．求•的取值范围．19．自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示：堵车时间（小时）频数[0，1]8（1，2] 6（2，3]38（3，4]24（4，5]24经调查发现堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的状况下，走甲路线需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到如表数据．路段CD EF GH堵车概率xy平均堵车时间（小时）a 2 1（Ⅰ）根据右表数据画出CD段堵车时间频率分布直方图并求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．20．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）（Ⅰ）求f（x）在（0，f（0））处切线方程；（Ⅱ）当x∈[0，+∞），f（x）上的点均在表示的区域内，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：＜，n∈N*．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．【选修4-2：矩阵与变换】21．已知是矩阵A=的一个特征向量．（Ⅰ）求m的值和向量相应的特征值；（Ⅱ）若矩阵B=，求矩阵B﹣1A．【选修4-5：不等式选讲】22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．【选修4-5：不等式选讲】2014•泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．2014-2015学年福建省莆田六中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，把答案填写在答题卷的相应位置．1．集合A={x|y=ln（﹣x2+2x+3）}，B={y|y=e x}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|0＜x＜3} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x＜3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用函数的定义域、值域和交集的定义求解．解答：解：∵集合A={x|y=ln（﹣x2+2x+3）}={x|﹣x2+2x+3＞0}={x|﹣1＜x＜3}，B={y|y=e x}={y|y＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜3}．故选：B．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意函数的定义域、值域的合理运用．2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．α⊥β，m⊂α，则m⊥βB．m∥n，n⊂α，则m∥αC．m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．m∥α，n⊂a，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据面面垂直的几何特征及性质可判断A；根据线面平行的判定定理，可判断B；根据面面垂直的判定定理，可判断C；根据线面平行的几何特征，及空间线线关系的定义，可判断D．解答：解：若α⊥β，m⊂α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故A错误；若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故B错误；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，n⊂a，则m与n可能平行也可能异面，故D错误；故选：C点评：本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系，面面关系，线线关系的定义，几何特征及性质和判定方法是解答的关键．3．若a+1、a+2、a+6依次成等比数列，则该等比数列的公比为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得（a+2）2=（a+1）（a+6），由此求出a，进而能求出该等比数列的公比．解答：解：∵a+1、a+2、a+6依次成等比数列，∴（a+2）2=（a+1）（a+6），解得a=﹣，∴该等比数列的公比q===4．故选：D．点评：本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab ＞0”，所以∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．解答：解：∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”．“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab＞0”，∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意椭圆的定义和性质的灵活运用．5．△ABC，A、B、C依次成等差数列，且a、c是﹣x2+6x﹣8=0的两根，则△ABC面积为（）A．4B．3C．2D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的性质，可得B=60°，由a和c是﹣x2+6x﹣8=0的两根，求出a，c，再利用三角形面积公式，可得结论．解答：解：∵内角A、B、C依次成等差数列，∴B=60°，∵a和c是﹣x2+6x﹣8=0的两根，∴a=2，c=4，∴S△ABC=acsinB=×2×4×=2，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质，考查三角形面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．6．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．解答：解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===．故选：A．点评：本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知该几何体是一棱长为2的正方体切去两个三棱锥，其底面为俯视图中的两个直角三角形，高为2．利用柱体、锥体的体积公式计算即可．解答：解：由三视图可知该几何体是一棱长为2的正方体切去两个三棱锥，其两个三棱锥的底面为俯视图中的两个直角三角形，高为2，所以V=2×2×2﹣=7．故选：D．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．8．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（）A．40种B．70种C．80种D．100种考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；推理和证明．分析：G race不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，即可得出结论．解答：解：Grace不参与该项任务，则有=30种；Grace参与该项任务，则有=10种，故共有30+10=40种故选：A．点评：本题考查进行简单的合情推理，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，且在△ABC所在的平面内存在一点O，使得（+）•=（+）•=（+）•=0成立，则•的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，可得||=||=||．即O为△ABC的外心．再由•=•（﹣）=﹣，运用向量的数量积的定义和几何意义，结合等腰三角形的性质，即可计算得到．解答：解：由于（+）•=（+）•=（+）•=0，则（+）•（﹣）=（+）•（﹣）=（+）•（﹣）=0，即有﹣=﹣=﹣=0，即==，即||=||=||．即O为△ABC的外心．由于O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线．•=||（||cos∠DAO）=||•||=||2=，同样地，•=||2=，则•=•（﹣）=﹣=﹣=8．故选：B．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，同时考查向量的三角形法则和外心的性质，运用等腰三角形的性质是解题的关键．10．已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象是一段弧（如图所示），若0＜x1＜x2＜1，则（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1f（x1）＜x2f（x2）C．x2f（x1）＞x1f（x2）D．x1f（x1）＞x2f（x2）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：方法一，根据已知中函数y=f（x）（0≤x≤1）的图象，分析其凸凹性，进而可得y=f′（x）（0≤x≤1）的单调性，及函数y=（0≤x≤1）的单调性，根据单调性可得的大小．方法二根据直线的斜率．解答：解：方法一，由已知中函数y=f（x）（0≤x≤1）的图象可得函数为凸函数，故y=f′（x）（0≤x≤1）为减函数，故函数y=（0≤x≤1）为减函数．∵0＜x1＜x2＜1，∴＞，∴x2f（x1）＞x1f（x2）；方法二：如图所示，∵0＜x1＜x2＜1，∴，∴＞，∴＞，∴x2f（x1）＞x1f（x2）故选：C．点评：本题考查的知识点是直线的斜率，函数的图象，其中根据函数的图象分析出函数y=（（0≤x≤1）的单调性，是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置．11．已知向量=（2m，3），=（m﹣1，1），若，共线，则实数m的值为3．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量共线的坐标表示可得关于m的方程，解出可得．解答：解：∵，共线，∴2m×1﹣3（m﹣1）=0，解得m=3，故答案为：3．点评：本题考查向量共线的坐标表示，属基础题，注意不要与向量数量积运算的坐标形式混淆．12．已知等差数列{a n}中，a1+a5+a9=，则sin（a4+a6）=．考点：数列与三角函数的综合．专题：计算题．分析：根据等差数列的性质，知道a5是a1与a9的等差中项，得到第五项的值，根据a5是a4与a6的等差中项，得到这两项的和，从而求出角的正弦值．解答：解：∵等差数列{a n}中，a1+a5+a9=，∴3a5=，∴a5=∴a4+a6=2a5=，∴sin（a4+a6）=sin，故答案为：．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的应用，考查特殊角的三角函数值，解题的关键是利用等差数列通项的性质．13．{（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}中任取一点，恰好在y2=x和x=1围成区域的概率．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}的面积为2，y2=x和x=1围成区域的面积为2dx==，即可求出概率．解答：解：{（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}的面积为2，y2=x和x=1围成区域的面积为2dx==，∴所求的概率为=．故答案为：．点评：本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定y2=x和x=1围成区域的面积是关键．14．数列{a n}满足（a n+1）（1﹣a n+1）=2，则a2013a2015=﹣1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由（a n+1）（1﹣a n+1）=2，可得，进而得到a n+2=，即可得出．解答：解：∵（a n+1）（1﹣a n+1）=2，∴a n+1﹣a n a n+1﹣a n+1=2，化为，∴=，∴a n+2•a n=﹣1．∴a2013a2015=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了递推式的应用、数列的周期性，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，若函数g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M和最小值m，则M+m=﹣4030．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f （y）+2015成立，∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2015，f（0）=﹣2015，取y=﹣x，得到：f（0）=f（x）+f（﹣x）+2015，∴f（x）+f（﹣x）=﹣4030．记h（x）=f（x）+sin2015x+2015，则h（﹣x）+h（x）=[f（﹣x）+sin（﹣x）+2015]+f（x）+sin2015x+2015=f（x）+f（﹣x）+4030=﹣4030+4030=0，故y=h（x）为奇函数．记h（x）的最大值为A，则最小值为﹣A．∴g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M=A﹣2015和最小值m=﹣A﹣2015，则M+m=A﹣2015+（﹣A﹣2015）=﹣4030，故答案为：﹣4030．点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，根据条件构造奇函数是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填写在答题卷的相应位置．16．如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB=∠FAB=90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA=AB=BE=2，BC=1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出DA⊥AB，从而得到DA⊥平面ABEF，由此能求出DA⊥EF．（Ⅱ）以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面DCE所成角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵∠DAB=90°，∴DA⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴DA⊥平面ABEF，∵EF⊂平面ABEF，∴DA⊥EF．（Ⅱ）DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（0，2，0），E（2，2，0），D（0，0，2），C（0，2，1），∴，设平面DCE的法向量，则，令x=1，得平面DCE的一个法向量，又，cos＜＞=，∴直线BE与平面DCE所成角的正弦值为．点评：本题考查立体几何中的线面关系、空间角、空间向量等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．17．已知向量=（cosax，sinax），=（cosax，﹣cosax），其中a＞0，若f（x）=•的图象与y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列．（Ⅰ）求a和m的值；（Ⅱ）在△ABC中，若f（）=，且BC=4，求△ABC面积的最大值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：等差数列与等比数列；解三角形；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的余弦公式，化简f（x），再由相切可得m为f（x）的最大值，再由等差数列的通项公式可得a=1；（Ⅱ）由f（x）的解析式，可得A，再由余弦定理和基本不等式，可得bc的最大值为16，运用三角形的面积公式计算即可得到所求最大值．解答：解：（Ⅰ）由于向量=（cosax，sinax），=（cosax，﹣cosax），其中a＞0，则f（x）=•=cos2ax﹣sinaxcosax=（1+cos2ax）﹣sin2ax=+cos（2ax+），若f（x）图象与y=m（m＞0）相切，则m为f（x）的最大值，即为1+；又切点横坐标成公差为π的等差数列，由2ax+=2kπ，即有x=，k∈Z，即有a=1．（Ⅱ）在△ABC中，若f（）=，则+cos（A+）=，即有cos（A+）=0，由A为三角形的内角，则A+=，即A=，且BC=4，由余弦定理可得42=b2+c2﹣2bccosA，即有16=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即有bc≤16，则△ABC面积S=bcsinA=bc≤4．当且仅当b=c=4，三角形的面积取得最大值4．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算和三角恒等变换、三角函数的性质等基础知识，同时考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，运用基本不等式求最值是解题的关键．18．如图，点A，B分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x﹣2）2+y2=9，经过椭圆E的左焦点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．求•的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过圆B的圆心坐标可得a=2，在圆B方程中令y=0得c=1，进而可得结论；（Ⅱ）①当直线l为x轴时，显然有•=0；②设直线AP：x=ty﹣2，并与椭圆E的方程联立，利用韦达定理可得y P=，x P=，通过向量数量积的坐标形式计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵以椭圆E的右顶点B为圆心的圆B方程为：（x﹣2）2+y2=9，∴圆B的圆心坐标的横坐标即为a的值，∴a=2，在圆B：（x﹣2）2+y2=9中令y=0，得F（﹣1，0），∴b2=4﹣1=3，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）①当直线l为x轴时，显然有•=0；②设直线AP：x=ty﹣2，并与椭圆E的方程联立，消去x可得：（4+3t2）y2﹣12ty=0，由椭圆E的方程可知：A（﹣2，0），由韦达定理可得：y P=，x P=，在直线AP：x=ty﹣2中令x=0，得：y Q=，∴•=（1，）•（﹣2，）=∈（0，2）；综上所述，•的取值范围为[0，2）．点评：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、探索求解能力，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题．19．自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示：堵车时间（小时）频数[0，1]8（1，2] 6（2，3]38（3，4]24（4，5]24经调查发现堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的状况下，走甲路线需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到如表数据．路段CD EF GH堵车概率xy平均堵车时间（小时）a 2 1（Ⅰ）根据右表数据画出CD段堵车时间频率分布直方图并求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由已知数据能画出CD段堵车时间频率分布直方图，用总的堵车时间除以总人数100人，即得到平均堵车时间；（2）利用独立事件求出每种情况的概率，选择甲路线说明甲需汽油费少，利用线性规划化画出区域图，再利用几何概型求概率．解答：解：（1）由CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到数据统计表，作出CD段堵车时间频率分布直方图，如右图．a=0.5×+=3．（2）设走甲线路所花汽油费为X元，则EX=500（1﹣x）+（500+60）x=500+60x．设走乙线路多花的汽油费为Y元，∵EF段与CH段堵车与否相互独立，∴P（Y=0）=（1﹣y）（1﹣），P（Y=20）=（1﹣y），P（Y=40）=y（1﹣），P（Y=60）=，∴EY=+60=40y+5．∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为E（545+Y）=545+E（Y）=550+40y，依题意，选择走甲线路应满足（550+40y）﹣（500+60x）≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，又，∴P（选择走甲线路）==．点评：本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力，考查数形结合数学思想方法．20．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）（Ⅰ）求f（x）在（0，f（0））处切线方程；（Ⅱ）当x∈[0，+∞），f（x）上的点均在表示的区域内，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：＜，n∈N*．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（I）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程；（II）由题意可得当x∈[0，+∞）时，ax2+ln（x+1）≤x，构造g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，求得导数，判断单调性，对a讨论，得到g（x）≤0恒成立的a的范围；（Ⅲ）令g（x）=ln（x+1）﹣2x（x≥0），求出导数，判断单调性，再令x=，则ln（1+）＜=﹣，再由裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证．解答：（I）解：f′（x）=2ax+，则切线的斜率为f′（0）=1，又f（0）=0，∴f（x）在（0，f（0））处切线方程为y=x；（II）解：∵当x∈[0，+∞），f（x）上的点均在表示的区域内，∴当x∈[0，+∞）时，ax2+ln（x+1）≤x，即g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x≤0，g′（x）=2ax+﹣1=2ax﹣．当a≤0时，g′（x）≤0，∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（0）=0，满足题意，因此a≤0适合条件；当a＞0时，g′（x）=．当a≥时，g′（x）≥0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）≥0，不满足题意，舍去；当时，令g′（x）＞0，解得，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得，此时函数g（x）单调递减．∴＜g（0）=0，不满足题意，舍去．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（Ⅲ）证明：令h（x）=ln（x+1）﹣2x（x≥0），则h′（x）=﹣2=＜0，h（x）在[0，+∞）递减，即有h（x）≤h（0）=0，则ln（x+1）≤2x，令x=，则ln（1+）＜=﹣，即有=（1+）＜（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）=1+﹣﹣＜．故原不等式成立．点评：此题主要考查利用导数研究切线方程和函数的单调区间和最值问题，解题过程中多次用到了转化的思想，函数的恒成立问题转化为求最值问题，同时考查不等式的证明，注意运用函数的单调性和裂项相消求和，本题难度比较大，是一道综合题．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．【选修4-2：矩阵与变换】21．已知是矩阵A=的一个特征向量．（Ⅰ）求m的值和向量相应的特征值；（Ⅱ）若矩阵B=，求矩阵B﹣1A．考点：逆矩阵的意义；矩阵特征值的定义．专题：矩阵和变换．分析：（Ⅰ）设出特征值，根据矩阵与列向量的乘积，列出方程组求解即可；（Ⅱ）首先求出|B|，然后求出B﹣1，最后根据矩阵相乘的方法，求出阵B﹣1A即可．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可知存在实数λ（λ≠0），使得=λ，即，又因为k≠0，所以，所以m=0，特征向量相应的特征值为1；（Ⅱ）因为|B|=3×1﹣2×2=﹣1，所以B﹣1=，因此阵B﹣1A==．点评：本题主要考查矩阵的性质和应用、特征值的计算，考查了矩阵的乘法、逆矩阵的求法，解题时要特别注意特征值与特征向量的计算公式的灵活运用．【选修4-5：不等式选讲】22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程；消去参数t即可得到直线l的方程；（2）利用弦长|PQ|=2和圆的内接矩形，得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形的面积．解答：解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；对于l：由（t为参数），得，即．（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分）点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等．【选修4-5：不等式选讲】2014•泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用绝对值三角不等式求得|t+3|﹣|t﹣2|的最大值，可得6m﹣m2≥5，由此求得实数m的取值范围（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5，再根据（x2+y2+z2）（32+42+52）≥25，求得x2+y2+z2的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵|t+3|﹣|t﹣2|≤|（t+3）﹣（t﹣2）|=5，不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立，可得6m﹣m2≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}．（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5．∵（x2+y2+z2）（32+42+52）≥（3x+4y+5z）2=25，当期仅当==时，等号成立，即x=，y=，z=时，取等号．∴50（x2+y2+z2）≥25，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为，点评：本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．。