不定方程
第二章不定方程
3、无穷递降法 1659年，法国数学家费马写信给他的一位朋友卡
尔卡维，称自己创造了一种新的数学方法. 由于费马的 信并没有发表，人们一直无从了解他的这一方法.直到 1879年，人们在荷兰莱顿大学图书馆惠更斯的手稿中发 现了一篇论文，才知道这种方法就是无穷递降法.无穷 递降法是证明某些不定方程无解时常用的一种方法.其 证明模式大致是:先假设方程存在一个最小正整数解，
证：（必要条件）若方程(1)有解x1, x2 , , xn 则a1x1 a2x2 an xn N，
因为d （a1, a2, , an），所以d a1x1 a2x2 an xn N
充分条件：若d N ,用数学归纳法证（1）有解。 当n 2时，已证成立；假定以上条件对n 1元一 次不定方程是充分的。
第二章 不定方程
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有 一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。是数论中 最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就 开始研究不定方程， 因此常称不定方程为丢番图方程。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共 井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘
x 3t 8t1，y t 3t1， t1 Z t 2000 5t2，z 1000 3t2， t2 Z
将t 2000 5t2代入x, y消去t得
x 6000 15t2 8t1,
y 2000 5t2 3t1,
tZ
z 1000 3t2
就为所求的方程的解。
例2 用整数分离法求解15x 10y 6z 61。
对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。 另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、 代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论
和最优设计中也常常提出不定方程的问题， 这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数 学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。
小学奥数知识点：不定方程
小学奥数知识点：不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;常规方法：观察法、试验法、枚举法;多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数;小学奥数经典题1．两辆汽车从A，B两地同时出发相向而行，客车行完全程要8小时，货车行完全程要10小时，两车相遇后又各自往前驶去，已知出发5小时后两车相距50千米，问A，B两地相距多少千米？2．有一个箱子里放着一些黄色乒乓球，为了估计球的数量，我们把20个白色乒乓球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球．你估计箱子里原来大约有多少个黄色乒乓球？3．工程队挖一条水渠，第一天挖了全长的多28米，第二天挖了全长的少20米，这时剩下22米没挖完．这条水渠全长多少米？4．如图，一个边长为40厘米的正方形ABCD的场地，蚂蚁和蜗牛同时从A 点出发，蚂蚁以5厘米/分钟的速度沿线路A→B→C→D行走，蜗牛以2厘米/分钟的速度沿线路A→D行走．出发18分钟时，蚂蚁走到E点，蜗牛走到F点，求三角形AEF的面积是多少平方厘米？5．运来一批水果．第一天卖出总数的15%，第二天卖出160千克，剩下的与卖出的重量的比是1：3．这批水果共有多少千克？。
不定方程
不定未知数的个数多于方程的个数的方程叫做不定方程。
不定方程是数论中一个十分重要的课题。
在通常情况下，只讨论不定方程的整数解或者正整数解。
不定方程的问题可分为三个层次：是否有解？有多少解，是有限解，还是无限解？求出全部解。
一、 基本理论1． 不定方程Z a c c x a x a x a i n n ∈=+++,(2211 且i a 都不为0）有解c a a a n ),,(21 ⇔。
2． 不定方程有整数解⇒（1）它必有实数解；（2）+∈∀Z m ，方程modm 后有解。
3． 不定方程222z y x =+满足（x,y ）=1，x>0，y>0，z>0，2∣x ，其全部整数解可表示为：x=2ab ，2222,b a z b a y +=-=其中a 、b 满足a>b>0，a 与b 奇偶性不同，(a,b)=1。
4． 中国剩余定理（孙子定理）：设正整数n m m m ,,21两两互质，则Z a a a n ∈∀ ,,21，同余方程组：)(mod 11m a x ≡)(mod 22m a x ≡ 〈1〉)(mod n n m a x ≡一定有解，且其全部解可写成：n n n n n n m m lm m m b a m m m b a m m m b a x 211131223211++++=-其中i b 满足n i m b m m m m i i in ,2,1),(mod 121=≡⋅，l 为任意整数。
注：（1）当n m m m ,,21不两两互质时，当且仅当（j i m m ,）∣（j i a a -）时方程组〈1〉有解。
（2）常常将i m 分解为质因数的积，化方程组〈1〉为i i p αmod 的同余方程组，然后再处理。
二、 常用方法1． 代数式的恒等变形，特别是代数式的因式分解；2． 估计（解的范围、解的奇偶性）；3． 同余（包括奇偶分析）；4． 整除；5． 构造6． 无穷递降7． 用中国剩余定理等不定方程理论；8． 其他。
不定方程
不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。
定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
不定方程定义
不定方程定义不定方程定义及相关定义1. 不定方程定义不定方程是指含有未知数的方程，其解可能是整数或有理数，并且方程的系数是已知的。
不定方程的一般形式为：A1x1 + A2x2 + … + Anxn = B其中，A1, A2, …, An 是方程中的系数，x1, x2, …, xn 是未知数，B 是已知的常数。
2. 二元一次不定方程二元一次不定方程是指只含有两个未知数的一次方程。
一般形式为：A1x + A2y = B其中，A1、A2 和 B 是已知的常数。
解二元一次不定方程可以用到数论的知识，如贝祖等式、扩展欧几里得算法等。
3. 举例及理由例1：解二元一次不定方程 3x + 5y = 7。
•理由：这是一个经典的二元一次不定方程，解之可以帮助我们理解贝祖等式的应用。
例2：解二元一次不定方程 2x + 4y = 10。
•理由：这是一个特殊的二元一次不定方程，通过求解该方程，我们可以讨论贝祖等式的无解情况。
例3：解二元一次不定方程 4x + 3y = 2。
•理由：这是另一个特殊的二元一次不定方程，解之可以为我们提供扩展欧几里得算法的实际应用。
4. 相关书籍推荐•“Elementary Number Theory” by David M.Burton: 这本书是数论的经典教材，涵盖了不定方程以及其他数论概念的详细内容。
适合对数论感兴趣的读者，提供了丰富的例题和练习题。
•“An Introduction to the Theory of Numbers”by Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, and Hugh L.Montgomery: 这是另一本优秀的数论教材，对不定方程及其解法进行了深入讲解。
书中提供了大量的例题和习题，适合进一步深入学习不定方程的读者。
以上是关于不定方程定义及相关定义的简要介绍和举例说明。
对于想要深入了解和研究不定方程的读者，推荐阅读上述书籍以获取更详细的知识。
不定方程—解答
不定⽅程—解答不定⽅程不定⽅程是指未知数的个数多于⽅程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的⽅程.不定⽅程是数论的⼀个重要课题，也是⼀个⾮常困难和复杂的课题.1．⼏类不定⽅程(1) ⼀次不定⽅程在不定⽅程和不定⽅程组中，最简单的不定⽅程是整系数⽅程)0,0(,0≠>=++b a c by ax ①通常称之为⼆元⼀次不定⽅程。
⼀次不定⽅程解的情况有如下定理。
定理1．⼆元⼀次不定⽅程ax by c +=(,,a b c 为整数)有整数解的充分必要条件是c b a |),(。
定理2．若(,)1a b =，且00,x y 为①之⼀解，则⽅程①全部解为0x x bt =+， 0y y at =-，其中t 为整数。
(2) 佩尔)(pell ⽅程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平⽅数）的⽅程称为佩尔⽅程。
能够证明它⼀定有⽆穷多组正整数解；⼜设),(11y x 为该⽅程的正整数解),(y x 中使d y x +最⼩的解，则其全部正整数解如下：111111111[()()]2)()]n n n n n n x x x y x x ?=++=+-??(1,2,3,)n =。
①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出⽅程的⽆穷多组解。
②n n y x ,满⾜的关系：1(nn x y x y +=+；11211222n n n n n n x x x x y x y y ----=-??=-? 。
(3) 勾股⽅程222z y x =+这⾥只讨论勾股⽅程的正整数解，只需讨论满⾜1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素。
这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为⽅程的本原解，也称为本原的勾股数。
容易看出y x ,⼀奇⼀偶，⽆妨设y 为偶数，下⾯的结果勾股⽅程的全部本原解通解公式。
定理3．⽅程222z y x =+满⾜1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满⾜b a b a ,,0>>⼀奇⼀偶，且1),(=b a 的任意整数。
不定方程
例2:证明
2 是无理数
证：假设 2 是有理数，则 x 2 2 y 2有正整数解.
设自然数 (a,b) 所有解中使得 a 最小一组解 . 即有 a 2 2b 2 容易知道a是偶数，设a=2a1， 代入又得到b为偶数，设 b 2b1 2 2 a 2 b 1 ,即 a1 , b1 也是方程的解, 则 1 这里 a b a1 b 1 这与a的最小性矛盾. ∴
z y 2
x 2 2
)
z y 2
z y 2
z y z y ( 且 2 , 2 ) 1
y 则有d|z，d|y，因而有d|x，所以d=1 , z 2 )d
y 2 x a2 , z b , 2 ab, a0, b0, (a, b) 1 2
于是由引理令
于是有x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>0,b>0,(a,b)=1 由y>0,知a>b>0 , 又y单，所以a ,b一奇一偶。
a1 x1 a2 x2 d 2t 2 , d 2t 2 a3 x3 d 3t3 , d n 1t n 1 an xn c
先解最后一个方程的解，得 tn1, xn 然后把其代入倒数第二个方程求得一 切解，如此向上重复进行，求 得所有 方程的解。
例1：求不定方程 25x 13y 7 z 4的整数解.
所以有
X 2 Y 2 1 即为单位圆的方程
y z
而有理点的坐标都是有理数，即为可约分数的形式，分数 的分子正好为x2+y2=z2的x和y分母为z，且正负都可，又可 交换即有
2ab a 2 b2 a 2 b2 2ab , 及 , 2 2 2 2 2 2 a 2 b2 a b a b a b
不定方程概念
不定方程概念
不定方程是一个含有未知数的方程，通常是一个非线性方程，其中未知数的数量大于方程中的已知系数的数量。
一个不定方程可能有多个解，而且通常没有一般的解析解。
不定方程的目标是找到满足方程的未知数的所有可能的取值。
不定方程的求解可以通过代数、数论、几何等方法进行。
代数方法通常包括代数运算和方程变形，以便将方程化简为已知数和未知数的关系。
数论方法通常使用数学的数论理论和性质，将方程的解限制在某些整数范围内。
几何方法通常使用几何图形和性质，将方程的解转化为几何问题的解。
不定方程在数学和工程领域中广泛应用，例如在密码学中的离散对数问题、模线性方程问题；在控制理论中的状态估计和参数辨识问题；在经济学中的最优化和均衡问题等等。
不定方程的求解方法和技巧因问题的不同而各异，需要灵活运用数学知识和解题技巧。
不定方程解
不定方程解
不定方程是数学中一种求解特定问题的最有效的方法，它的特点是没有唯一的解，学习这一概念及其解题方法对学生的学习有莫大的益处。
本文就不定方程的定义及其解题步骤进行详细的介绍。
一、什么是不定方程
不定方程是一种不能确定解的方程，由任意的未知量写成，只要满足方程的条件，任意的未知量都可以拿来求解，这种方程属于一元一次方程，即只有一个未知量，就可以求出解。
二、不定方程的解法
1、不定方程解法的第一步是把方程化为等价形式，即将不定方程式化简到有一个变量，例如y，这样就变成了一个可以求解的方程。
2、第二步，将上述方程重新分解成等价的形式，即将未知量归一化成已知量的形式，例如将y=x/2的形式换成2y=x，这时只要知道x的值，就可以求出y的值。
3、第三步，将解析出来的结果赋值给未知量，例如将上面的2y=x赋值，就可以得到y的解析解。
4、最后，将未知量和已知量分开，这样就可以求出未知量的值。
三、应用
1、不定方程可以用来解决某些数学问题，例如可以求出某一物体在一定时间内的位移、速度和加速度等；
2、不定方程还可以帮助我们快速的求解几何图形的参数，例如圆的半径等；
3、不定方程也可以用来求解代数问题，如多项式的根和系数等。
四、结论
不定方程在数学中有着广泛的应用，可以帮助解决很多实际问题，因此，学习不定方程的解题过程是很有必要的。
不定式方程
不定式方程一：不定方程知识精讲一．不定方程的定义1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程．2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可．3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．三．解不定方程的步骤1．列方程．2．消元．3．写出表达式．4．确定范围．5．确定特征．6．确定答案．四．技巧总结1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数．2．消元技巧：消掉范围大的未知数．三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用．题模精讲题模一?不定方程的计算例、判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解．（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）（2）（3）（4）无整数解解析：（1），，所以，即得，（2），，所以，．（3），，所以，．（4），，所以．无整数解．?例、已知△和☆分别表示两个自然数，并且，则△+☆=__________．答案：5解析：依题意得11△+5☆=37，易知其自然数解为△=2，☆=3．所以△+☆=5．?例、有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为．已知a，b，c都小于10，a，b，c依次为__________，__________， __________．答案：7，3，2解析：由题意有．解这个不定方程，得．?例、已知代表两位整数，求方程的解．题模二?不定方程的应用例、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个，才能恰好把这些球装完．答案：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个解析：设需要x个大盒子，y个小盒子，依题意得：，解得，．所以需要大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个．?例、某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有__________名男职工．答案：12名解析：设有x名男职工，y名女职工，则孩子有名，依题意得：，整理得：，化简得，解得，，，其中只有时才是整数，所以有12名男职工．?例、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：设购买甲一件要x元，乙一件要y元，丙一件要z元，丁一件要w元，依题意得：注意到题目要求的是，所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少，想办法整体求出．观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易，一个比较明显的是可以求出，可以用来调整x和z的系数．接着可以让y和w的系数变的一样，得，得，所以．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元．（当然本题可以直接看出得到）?例、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长厘米．由，得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而的自然数解是存在的，如，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．?例、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？答案：不能解析：设1分的有x张，1角的有y张，1元的有z张，10元的有w张，依题意得，得，很明显等号左边是9的倍数，而等号右边不是9的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好是100元．?例、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）答案：191解析：设用了x个13克的砝码，y个17克的砝码，要称的重量为c克，依题意，就是求使无自然数解的c的最大值．利用拓展14解法二中提到的结论，c最大取时，无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量是191克．?例、现有升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次解析：依题意，模拟的倒几次后会发现，本题和不定方程：和的解有关系．先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中，这个解明显要小，下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1、倒满升；2、升倒入4升；3、倒满升；4、升倒入4升；5、倒满升；6、升倒入4升中，还剩升；7、4升的倒入大桶里；8、升倒入4升；9、倒满升；10、升倒入4升；11、倒满升；12、升倒入4升，还剩升；13、4升的倒入大桶里；14、升倒入4升；15、倒满升；16、升倒入4升；17、倒满升；18、升倒入4升；19、倒满升；20、倒入4升，还剩升．21、4升的倒入大桶里；22、升倒入4升；23、倒满升；24、倒入4升；25、倒满升；26、倒入4升，还剩1升．可以看出，每次从大桶中倒入两个小桶的都是升，每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升，所以两个小桶中量出的1升可以看做是，倒进的减去倒出的4y的差．那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．?例、某校开学时，七年级新生人数在500～1000范围内，男、女生的比例为．到八年级时，由于收40名转学生，男、女生的比例变为．请问，该年级入学时，男、女生各有多少人？答案：男生320人，女生280人解析：设开始时共人，后来变为人，则，．易知a为8的倍数，b为5的倍数，故可设，，方程化简为，且．解得，，入学时总人数为人，男生320人，女生280人．?例、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练、下列方程的自然数解：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则．答案：（1）（2）（3）无解（4）解析：枚举法．?随练、小高有若干张8分的邮票，墨莫有若干张15分的邮票，两人的邮票总面值是99分，那么小高的8分邮票有__________张．答案：3张解析：设小高有8分邮票x张，15分邮票y张，依题意得：，解得，所以小高有3张8分邮票．?随练、将426个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个．现共装了24盒，则用了__________个大盒．随练、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了____________________张．答案：20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张解析：设买了x张20分的邮票，y张40分的邮票，z张50分的邮票，依题意得：，消y得，解得，，……，同时还要满足y为整数，经验证当时，符合题意，所以买了20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张．?课后作业作业1、方程有________组自然数解．答案：11解析：易知y可为0至的所有自然数，即方程有11组自然数解．?作业2、求的所有整数解．答案：??为任意整数）解析：先找出一组基本的解，然后写出所有解即可．?作业3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解．答案：解析：先确定z的值，把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程，再进行计算．正整数解如下：?．?作业4、设A和B都是自然数，并且满足．那么__________．答案：3解析：，又因为A、B为自然数得，．?作业5、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大油桶__________个，小油桶__________个．答案：大油桶3个，小油桶4个解析：设有x个大油桶，y个小邮桶，依题意得，解得，所以有3个大油桶，4个小邮桶．?作业6、新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每名老师能搬12本，每名男生能搬8本，每名女生能搬5本，恰好一次搬完．问：搬书的老师__________名、男生__________名、女生__________名．答案：老师3名，男生2名，女生8名解析：设搬书的老师有x名，男生有y名，女生有z名，依题意得：，消去z得，解得，所以，所以搬书的老师有3名，男生2名，女生8名．?作业7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒解析：设圆珠笔买了x盒，铅笔买了y盒，钢笔买了z盒，依题意得：，消去x得，解得，，……将y、z代入原方程组，发现只有时，x有自然数解．所以买了圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒．?作业8、卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖元一包，酥糖元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包，则．把系数都化成整数，得：．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数分为一组，其余未知数分为另一组：．也就是．令，则．它的自然数解只有，所以卡莉娅共买了12包奶糖．?作业9、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？答案：二人桌24张；三人桌19张；四人桌12张解析：设图书馆有三人桌x张，四人桌y张，则两人桌有2y张，依题意得：，化简得，解得，，……为符合三种桌子共五十多张，发现只有这组解符合，图书馆两人桌有24张，三人桌19张，四人桌12张．。
六年级知识点不定方程
六年级知识点不定方程不定方程是数学中的一个重要概念，对于六年级的学生来说，掌握不定方程的解法对于提高数学解题能力至关重要。
本文将为大家介绍六年级知识点不定方程的概念、解法及应用。
一、不定方程的概念不定方程是指方程中含有未知数的数值不确定，通常表示为形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知的系数，x、y为未知数。
不定方程中，我们需要找到满足方程的整数解。
二、不定方程的解法1. 列举法列举法是最常用的解不定方程的方法。
具体步骤是：（1）将方程中的系数a、b与结果c分别取不同的整数值，列出方程的多组解；（2）逐个验证所列出的解是否满足原方程，验证通过即为方程的解。
2. 辗转相除法当方程中的系数a、b较大时，使用列举法效率较低，这时可以尝试使用辗转相除法。
具体步骤是：（1）先令a、b互换，使得a > b；（2）用b去除以a，得到余数r；（3）如果r为0，则a为原方程的最大公约数，b为原方程的解之一；（4）如果r不为0，则继续用r去除以b；（5）重复以上步骤，直到余数为0为止，最后一个余数不为0的除数即为原方程的最大公约数。
三、不定方程的应用不定方程在实际生活中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 整数约分在分数的运算中，我们需要进行整数的约分操作。
不定方程的解法可以帮助我们快速找到分数的最大公约数，从而进行有效地约分操作。
2. 货币找零问题在日常购物中，我们经常遇到需要找零的情况。
不定方程的解法可以帮助我们计算出最少需要的货币张数，从而进行合理的找零操作。
3. 奥数问题奥数中有很多涉及不定方程的问题，掌握不定方程的解法可以帮助我们更好地解决这类问题，提高奥数竞赛的成绩。
四、总结六年级的学生通过掌握不定方程的概念、解法及应用，可以提高数学解题的能力，为提高数学成绩打下坚实基础。
在实际生活中，不定方程的应用也随处可见，能够帮助我们解决各种问题。
以上是关于六年级知识点不定方程的相关介绍。
通过学习和掌握，相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩！。
【数论第四讲】不定方程
不定方程一、定义：把未知数的个数多于方程的个数的方程（组）称为不定方程．这里的“不定”指的是方程的解不定．二、基本思路与方法：1．因式分解法，对方程的一边进行因式分解，另一边作质因数分解，对比两边，转化为若干个方程构成的方程组，进而求解。
2．配方法，将方程的一边变为平方和的形式，另一边为常数，再用不等式予以处理。
3．不等式估计，利用不等式工具确定不定方程中某元的范围，再利用整数性“夹逼”出该元的取值。
4．运用整除性把“大数”化为“小数”，使方程的解明朗化。
5．同余方法，如果不定方程12(,,,)0n F x x x =L 有整数解，则对任意*m N ∈，其整数解12(,,,)n x x x L 满足12(,,,)0(mod )n F x x x m ≡L 。
利用这一条件，同余可以作为探求不定方程整数解的一块试金石。
6．构造法，在不易得出方程的全部解时，通过构造法可以提供其部分解，从而证明该方程有解或者有无穷多个解，适合于处理存在性问题。
7．无穷递降法，适合证明不定方程没有正整数解。
三、例题选讲：例1.求所有满足方程222511(11)x y xy +=-的正整数解(,)x y 。
解：法1（因式分解）：方程即2(2)(5)11x y x y --=-，可得解得(,)(14,27)x y =。
法2（配方法）：方程即22211812()1148y x y -+=，即222(411)81181x y y -+⨯= 例2．将113表示成k 个连续正整数之和，求项数k 的最大值。
解：设这k 个连续正整数中最小的数为a ，则1113(1)2ka k k =+-，即112(1)23ka k k +-=⋅，作因式分解可得11(21)23k a k +-=⋅。
显然，为了让k 尽量大，则需a 尽量小，故需k 与21a k +-的取值尽量接近，因此令523k =⋅，6213a k +-=，可得122a =，486k =。
第20讲 不定方程-数学大赛六年级培训教程
短
氌
{ 为不定方程(或不定方程组)。比如:4x-3y=8是不定 方 程,2a+b=30是 不 定 方 b-c=4
氭 吕 氏 春
程组。
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为纪念古希腊数学家丢番图,不定方 程 也 称 为 丢 番 图 方 程。之 所 以 把 它 们 叫
不定方程,是因为它们的解不确定(不 唯 一)。一 般 情 况 下,如 果 不 加 以 限 制,不 定
虚
乙 用 户 用 电 量 少 于 50 度 。
心 万
详 解暋设甲用户用电x 度,乙用户用电y 度,依题意列方程得:
事 能
成
0.8暳(x-50)+0.45暳50-0.45暳y=3.3,
氋 自
整 理 得 16x-9y=416,
满 十
则x=26+91y6,
事 九 空
因为x、y 均为整数,所以y 为16的倍数且小于50,
善
学
第二十讲暋不定方程
者 氋 假
人
之
不定方程是数论中一个古老的分支,我国 对 不 定 方 程 的 研 究 已 有 数 千 年 的 历
长 以
史 ,“百 鸡 问 题 暠、“中 国 剩 余 定 理 暠等 一 直 流 传 至 今 。
补
其
当方程的个数比方程中未知数的个数 少 时,我 们 就 称 这 样 的 方 程(或 方 程 组)
所以y 可取4、11、18、25,则x 为12、8、4、0,
将x、y 的值分别代入栚式,得z的值为84、81、78、75,
经
检验
:ìîíïïïïzyx===72055或
ìïïx=4 îíïïzy==7188或
ìïïx=8 îíïïzy==8111或
不定方程的所有解法
不定方程的所有解法
不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的个数多于方程的个数，因此方程无法唯一确定未知数的值。
不定方程的所有解法取决于方程的具体形式和条件。
以下是解决不定方程的常见方法：
一、列举法：对于简单的不定方程，可以通过列举所有可能的解来确定方程的解。
例如，对于一元一次方程ax = b，其中a和b为已知常数，可以通过计算x = b/a 来确定方程的解。
二、参数法：对于形如ax + by = c的不定方程，可以引入参数t，将方程转化为x = at + x0，y = bt + y0的形式，其中x0和y0为常数，然后通过选择合适的t值来确定方程的解。
三、降维法：对于高维的不定方程，可以通过将方程进行降维处理，转化为更简单的形式来求解。
例如，对于二元二次方程ax^2 + by^2 = c，可以通过代换u = x^2 和v = y^2来将方程转化为线性方程的形式，然后求解。
四、递归法：对于某些特殊形式的不定方程，可以通过递归的方式求解。
例如，对于费马大定理中的不定方程x^n + y^n = z^n，可以利用递归方法求解。
五、数学工具：对于一些复杂的不定方程，可以利用数学工具如数值方法、图形法、线性规划等来求解。
需要注意的是，不定方程的解并不总是存在或唯一的，有时候可能存在无穷多个解，有时候可能不存在解。
因此，在求解不定方程时，需要根据具体的问题和条件来选择合适的解法和策略。
初中数学自招系列(6)：不定方程
自主招生：不定方程【知识梳理】形如x +y =4，x +y +z =3，yx 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。
这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解。
对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ）c ，则原方程无整数解；（2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形。
如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解。
定理2．若不定方程ax +by =1有整数解⎩⎨⎧==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00cy y cx x ，此解称为特解。
方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为⎩⎨⎧−=+=ak cy y bk cx x 00（k 为整数）。
对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解；（2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解；（3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解。
【例题精讲】题型一：二元一次不定方程例1．求方程4x +5y =21的整数解。
例2．求方程63x +8y =－23的整数解。
题型二：多元一次不定方程（组）的整数解例3．求方程12x +8y +36z =100的所有整数解。
题型三：其他不定方程例4．求不定方程2111=+y x 的正整数解。
例5．求方程y 2+3x 2y 2=30x 2+517的所有正整数解。
例6．求方程x +y =x 2－xy +y 2的全部整数解。
例7．求方程x 6+3x 3+1=y 4的整数解。
九、不定方程
二
二元一次不定方程及解法
1 二元一次不定方程的整数解 定理1：二元一次不定方程 ax+by=c (a,b,c为整数,且a,b都不为零) 有整数解的充分必要条件是(a,b)|c. 推论1：如果(a,b)=d,那么ax+by=d一定 有整数解. 推论2：如果(a,b)=1,那么ax+by=c一定 有整数解. 定理2：设方程ax+by=c(a,b,c为整 数,(a,b)=1)有一组整数解(x0,y0),则它的一 切解可表示为x=x0+bt,y=y0-at(叫做通解 公式).
一百马，一百瓦。大马驮三瓦， 中马驮二瓦，两小马驮一瓦，最 后不剩马和瓦，问大马、中马、 小马各几何？
三 其它类型的不定方程(组)的 解法举例
例3 求不定方程3x+7y+16z=40 的整数解. 例4 求不定方程3x2+5y2=345的 正整数解. 例5 求证x3+113=y3无正整数解.
百鸡问题
鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱 三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡， 问鸡翁、母、雏各程（组）的概念及分类
不定方程(组)：如果方程(组)中方程的 个数少于未知数的个数，称此方程(组) 为不定方程(组). 对于含有n个未知数的不定方程(组),若 存在n个不全为零的数x1,x2 ,· · · ,xn满足 这个方程(组),那么称(x1,x2 ,· · · ,xn)是这 个方程(组)的一个非零解. 不定方程的类型：按未知数的个数划 分，可分为二元、三元· · · · · ；按未知 数的次数划分，可分为一次、二次、 三次· · · · · · .
五年级不定方程知识点
五年级不定方程知识点不定方程是数学中的一个重要概念，它是指方程中含有未知数的系数为任意整数的代数方程。
在五年级的数学学习中，我们将接触到一些简单的不定方程，本文将通过逐步思考的方式，帮助同学们掌握不定方程的知识点。
1.引入概念不定方程通常可以表示为：ax + by = c，其中a、b和c是整数，x和y是未知数。
在解决不定方程的过程中，我们的目标是找到使该方程成立的整数解。
2.探索方法为了寻找不定方程的整数解，我们可以使用穷举法。
我们可以从一个整数开始，逐渐增加或减少，看是否存在满足方程的整数解。
3.一元不定方程在一元不定方程中，我们只有一个未知数。
例如，2x+ 3 = 7就是一个一元不定方程。
我们可以通过运算来求解这样的方程，将已知的数字进行运算，找到符合题目要求的未知数的值。
4.二元不定方程在二元不定方程中，我们有两个未知数。
例如，3x +4y = 10就是一个二元不定方程。
对于这样的方程，我们可以使用类似的方法来求解。
通过穷举法，我们可以找到一组整数解，使得方程成立。
5.穷举法举例假设我们要解决方程2x + 3y = 10，我们可以从一个整数开始，逐渐增加或减少。
通过尝试不同的x和y的值，我们可以找到满足方程的整数解。
例如，当x = 2时，我们可以得出y = 2的解。
当x = 4时，我们可以得出y = 1的解。
这样，我们找到了一组整数解（2, 2）和（4, 1），使得方程成立。
6.实际问题的应用不定方程在实际问题中有广泛的应用。
例如，在购买商品时，我们常常会遇到价格折扣的情况。
假设某件商品原价为x元，经过折扣后的价格为y元，我们可以用不定方程来表示折扣前后的价格关系。
通过求解不定方程，我们可以找到商品原价和折扣后的价格。
7.总结通过逐步思考，我们了解了五年级数学中的不定方程知识点。
不定方程是一个重要的概念，在实际问题中有广泛的应用。
通过穷举法，我们可以找到使方程成立的整数解。
希望同学们通过阅读本文的内容，对不定方程有更深入的理解，并能够运用到实际问题的解决中。
不定方程
不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6………y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后在一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
例1．求3x+4y＝23的自然数解。
练习一求3x+2y＝25的自然数解。
例2求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2求下面方程组的自然数解。
1、4x+3y－2z＝72、7x+9y+11z＝683x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52例3一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？练习3.某校6（1）班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。
那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）例题4买三种水果30千克，共用去80元。
其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克？练习4有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？某次数学竞赛准备22枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。
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数列问题
姓名：
例1、求下列方程的整数解(X＞0，Y＞0)
(1)、5X+10Y=14
(2)、11X+3Y=89
例2、邮局买了助动车和自行车若干辆，共付了11700元，已知每辆助动车2500元，每辆自行车350元，邮局买了这两种车各多少辆？
练习：
1、不定方程12X+21Y=17的整数解有多少个？
2、不定方程8X+7Y=111的整数解有多少个？
3、把164分成两个整数的和，一个数是11的倍数，另一个数是17的倍数，这例3、有一根长5.8米的木料，现在要把它分割成每根长0.9米和0.4米的两种规格，试写出把木料分割成两种规格，恰好没有剩余的所有分割方法？
例4、装热水器的盒子有大小两种，小盒子能装5个，大盒子能8个，要把68个热水器恰好装入盒子里，需要这两种盒子各多少个？
练习：
1、大客车有42个座位，小客车有25个座位，现有310位乘客，要使每位乘客都有座位，而且没有空位，需大、小客车各多少辆？
2、已知A和B分别表示两个自然数，并且
5
A
+
11
B
=
35
37
，A+B的和是几？。