高二精选题库数学 课堂训练3-4北师大版
高二精选题库数学 课堂训练_1-3北师大版
第1章 第3节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·广东汕头质量测评一]如果命题“綈(p 或q )”为假命题，则( ) A. p 、q 均为真命题 B. p 、q 均为假命题C. p 、q 中至少有一个为真命题D. p 、q 中至多有一个为真命题 答案：C解析：因为“綈(p 或q )”为假命题，所以p 或q 为真命题，即p 、q 中至少有一个为真命题． 2. 已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.下列结论中正确的是( )A. 命题“p ∧q ”是真命题B. 命题“p ∧綈q ”是真命题C. 命题“綈p ∧q ”是真命题D. 命题“綈p ∨綈q ”是假命题 答案：C解析：解答此类问题的关键是对命题p 与q 的真假判断，然后再确定相应命题的真假． ∵|sin x |≤1，∴命题p 是假命题，綈p 是真命题． 又x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴命题q 是真命题，綈q 是假命题， 故“綈p ∧q ”是真命题．3. [2012·潍坊市摸底考试]命题p ：∃x ∈R ，x 2－5x ＋6<0，则( ) A. 綈p ：∃x ∈R ，x 2－5x ＋6≥0 B. 綈p ：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6<0 C. 綈p ：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6>0D. 綈p ：∀x ∈R ，x 2－5x ＋6≥0 答案：D解析：存在性命题的否定是全称命题．4. [2012·河南省辉县一中质检]下列命题中是假命题的是( ) A. ∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减B. ∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C. ∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD. ∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案：D解析：∃φ＝π2，使f (x )为偶函数，故选D.5. [改编题]设命题p ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，命题q ：函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，若命题p 、q 有且仅有一个为真，则c 的取值范围为( )A. ØB. (－∞，－1)C. [－1，＋∞)D. R答案：D解析：若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的定义域为R ，则不等式x 2＋2x －c >0对任意x ∈R 恒成立，则有Δ＝4＋4c <0，解得c <－1；若函数y ＝lg(x 2＋2x －c )的值域为R ，则g (x )＝x 2＋2x －c 应该能够取到所有的正实数，因此Δ＝4＋4c ≥0，解得c ≥－1.当p 为真、q 为假时，有c <－1；当p 为假、q 为真时，有c ≥－1. 综上，当命题p 、q 有且仅有一个为真时，c 的取值范围为R .故选D. 6. 下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题为( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④ 答案：A解析：由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a <1b，又c <0，可得c a >cb ，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧綈q 为假命题．所以选A.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·北京丰台]命题“∃x ∈R ，x ≤1或x 2>4”的否定是__________． 答案：∀x ∈R ，x >1且x 2≤4解析：已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．8. [2012·龙岩质检]若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －3)x ＋4<0”为假命题，则实数a 的取值范围是__________．答案：[－1,7]解析：依题意得，对任意x ∈R ，都有x 2＋(a －3)x ＋4≥0，则Δ＝(a －3)2－4×4≤0，解得－1≤a ≤7.9. [2012·山西省忻州一中月考]若命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：若对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，则Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；若对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假． (1)所有的实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0恰有惟一解． (2)存在实数x 0，使得1x 20－2x 0＋3＝34.解：(1)∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有惟一解． 当a ＝0，b ＝0时方程有无数解，故该命题为假命题． (2)∃x 0∈R ，使得1x 20－2x 0＋3＝34.∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2， ∴1x 2－2x ＋3≤12<34.故该命题是假命题．11．[2012·湖南湘西州联考]已知命题p ：曲线x 2a －2－y 26－a ＝1为双曲线；命题q ：函数f (x )＝(4－a )x 在R 上是增函数；若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．解：p 真时，(a －2)(6－a )>0，解得2<a <6. q 真时，4－a >1，解得a <3.由命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，可知命题p ，q 中一真一假． 当p 真，q 假时，得3≤a <6. 当p 假，q 真时，得a ≤2.因此实数a 的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．12．[2012·山东日照调研]设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，当a ＝1时，解得1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，且p ⇒/ q ， 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A B ， 又B ＝(2,3]，当a >0时，A ＝(a,3a )； a <0时，A ＝(3a ，a )．所以当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2；当a <0时，显然A ∩B ＝Ø，不合题意． 所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.。
高二精选题库数学 课堂训练_2-1北师大版
第2章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江嘉兴一中模拟]设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )答案：B解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中(0,2]没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2. 已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个答案：B解析：A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素.3. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (3)的值为( )A. －1B. －2C. 1D. 2答案：B解析：f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1) ＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.4. [2012·天津模拟]若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( )A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个答案：C解析：先确定定义域的构成元素，再分类计数得到满足条件的定义域. 由已知x 2＝1，得x ＝±1； x 2＝4，得x ＝±2.∴“同族函数”的定义域必须是由±1，±2两组数中至少各取一个构成的集合. 当定义域中有两个元素时有{－1，－2}，{－1,2}，{1，－2}，{1,2}共4个. 有三个元素时有{－1，－2,2}，{－1，－2,1}，{－1,2,1}，{－2,2,1}共4个. 有四个元素时有{－2，－1,1,2}1个. 综上共有：4＋4＋1＝9个.5. [2012·福建省宁德市模拟]若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，34)C. [0，34]D. [0，34)答案：D解析：∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，当m ＝0，∴mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意. 当m >0时，Δ＝16m 2－12m <0， 解得0<m <34，当m <0时，Δ＝16m 2－12m <0，无解. 综上，0≤m <34，即m ∈[0，34).6. [2012·宁波市“十校联考”]设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A 2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A. (0，14]B. (14，12)C. (14，12]D. [0，38]答案：B解析：因为f [f (x 0)]＝f (x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0，所以0≤1－2x 0<12，故14<x 0≤12，又x 0∈A ，所以14<x 0<12.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于__________.答案：2解析：f [1f (3)]＝f (1)＝2.8. (1)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，则f (x )＝__________；(2)若函数f (x )＝xax ＋b ，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.答案：(1)x 3＋1 (2)2xx ＋2解析：(1)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.(2)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，又∵方程有唯一解，∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.9. [2012·南通六校联考(一)]定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为__________.答案：[－4,6]解析：由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]，当x∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6].三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. (1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域； (2)已知f (x 2－3)＝lg x 2x 2－6，求f (x )的定义域.解：(1)依题意，0≤x ＋1<1，∴－1≤x <0， ∴f (x ＋1)的定义域为[－1,0).由0≤x 2<1得－1<x <1，∴f (x 2)的定义域为(－1，1). (2)令u ＝x 2－3，则f (x )的定义域就是u 的值域. 要使lg x 2x 2－6有意义，只需x 2>6，即x 2－3>3，∴u >3， 即f (x )的定义域是(3，＋∞).11.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动.设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图像.解：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.所以S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3).32(x >3)函数图像如图所示.12. 定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)取m ＝1，则有f (n ＋1)－f (n )＝f (1)＋4(1＋n )－2＝4n ＋3，当n ≥2时，f (n )＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋…＋[f (n )－f (n －1)]＝2n 2＋n －2， 又f (1)＝1，∴f (x )＝2x 2＋x －2(x ∈N *). (2)f (x )＝2(x ＋14)2－178，∴x ＝1时f (x )min ＝1，由条件得m 2－tm －1≤1在m ∈[－1,1]上恒成立，即m 2－tm －2≤0， 若m ＝0，则t ∈R ，若0<m ≤1，则t ≥m －2m ，即t ≥－1，若－1≤m <0，则t ≤m －2m ，即t ≤1，综上－1≤t ≤1.。
北师大版数学高二选修4-4练习第二讲参数方程2.32.4
一、选择题1.下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2tC.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析 注意参数范围，可利用排除去.普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cos 2t ＝1tan 2t＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.答案 D2.下列在曲线⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12 C.(2，3) D.(1，3)解析 转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A 、B 、C 、D 代入验证得，选B.答案 B3.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A.2B.3C.4D.5解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.答案 C4.已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ＋1，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的倾斜角α为( )A.π3B.π6C.2π3D.5π6解析 M 点的坐标为(2，23)，∴k ＝3，tan α＝3，α＝π3.答案 A二、填空题5.曲线⎩⎨⎧x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是______________. 解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1或x ＝－5.答案 (1，0)，(－5，0)6.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3tan φ，y ＝1cos φ(φ为参数)的渐近线方程是________. 解析 将参数方程化为普通方程是y 2－（x －3）29＝1， a ＝1，b ＝3，渐近线的斜率k ＝±13，双曲线的中心为(3，0)，∴渐近线方程为y＝±13(x －3).答案 y ＝±13(x －3)7.二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________. 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4，0).答案 (－4，0)8.过双曲线x 2－y 2＝4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P ，Q 两点，则|FP |·|FQ |的值为________.解析 因双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1，∴a ＝b ＝2.∴c ＝a 2＋b 2＝4＋4＝2 2.故右焦点为F (22，0).∴可设过F (22，0)，倾斜角为105°的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋t cos 105°，y ＝t sin 105°(t 为参数).代入双曲线方程x 2－y 2＝4，整理得32t 2＋(23－2)t －4＝0，∴|FP |·|FQ |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－432＝833. 答案 833三、解答题9.已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值.解 圆心O 1坐标为(0，2)，Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ， |QO 1|2＝1cos 2φ＋(tan φ－2)2＝1cos 2φ＋tan 2φ－4tan φ＋4＝2tan 2φ－4tan φ＋5.设t ＝tan φ，|QO 1|2＝2t 2－4t ＋5＝2(t －1)2＋3≥3，∴|QO 1|min ＝3，∴PQ 两点间的距离的最小值为3－1.10.已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值， 最小值为255.11.已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值.证明 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1).则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|. MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ. ∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4. 即|OP |·|OQ |＝4为定值.12.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过动点M (a ，0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A ，B ，|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值. 解 设直线l 的方程为y ＝x －a 代入y 2＝2px 中，得：x 2－2(a ＋p )x ＋a 2＝0.(1)设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(a ＋p )，x 1x 2＝a 2.∴|AB |＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝24（a ＋p ）2－4a 2＝28ap ＋4p 2≤2p ，∴2(8ap ＋4p 2)≤4p 2，解得a ≤－p 4.(2)A ，B 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即为(a ＋p ，p )，斜率为－1，垂直平分线方程为y －p ＝－(x －a －p )＝－x ＋a ＋p .y ＝0时，x ＝a ＋2p ，∴点N 的坐标为(a ＋2p ，0)，∴点N (a ＋2p ，0)到直线AB 的距离为|2p |2＝2p ， 则S △NAB ＝12·2p ·28ap ＋4p 2＝p 8ap ＋4p 2＝2p ·p 2＋2ap ＝2p 2pa ＋p 2，当a 最大时，S △NAB 取最大值，故a ＝－p 4时，S 取最大值为2p 2.。
北师大版高二数学练习册试题及答案
北师大版高二数学练习册试题及答案【导语】当一个小小的心念变成成为行为时，便能成了习惯；从而形成性格，而性格就决定你一生的成败。
成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前几步。
xx高二频道为莘莘学子整理了《北师大版高二数学练习册试题及答案》，希望对你有所帮助！【一】1．下列说法中不正确的是()A．数列a，a，a，…是无穷数列B．1，－3，45，－7，－8，10不是一个数列C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列解析：选B.A，D显然正确；对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B.2．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋（－1）n＋12，则该数列的前4项依次为()A．1，0，1，0B．0，1，0，1C.12，0，12，0D．2，0，2，0解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么()A．30是数列{an}的一项B．44是数列{an}的一项C．66是数列{an}的一项D．90是数列{an}的一项解析：选C.分别令2n2－n的值为30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66时，n＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项．4．已知数列的通项公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，则该数列的前两项分别是()A．2，4B．2，2C．2，0D．1，2解析：选B.当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝n（n－1）2C．an＝n（n＋1）2D．an＝n（n＋2）2解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜想an＝n（n＋1）2，故选C.6．若数列{an}的通项满足ann＝n－2，那么15是这个数列的第________项．解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.令n2－2n＝15，得n＝5.答案：57．已知数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，则它的一个通项公式为________．解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.答案：an＝10n＋n8．已知数列{an}的通项公式为an＝2021－3n，则使an>0成立的正整数n的值为________．解析：由an＝2021－3n>0，得n76，n 当且仅当n＝2时，上式成立，故区间13，23内有数列中的项，且只有一项为a2＝47.【二】1．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50B．40C．25D．20解析：选C.根据系统抽样的特点，可知分段间隔为100040＝25.2．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民家庭1800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有()①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A．②③B．①③C．③D．①②③解析：选D.由于各类家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出若干户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．3．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会()A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定解析：选C.系统抽样是等可能的，每人入样的机率均为502004.4．总体容量为524，若采用系统抽样，当抽样的间距为下列哪一个数时，不需要剔除个体()A．3B．4C．5D．6解析：选B.由于只有524÷4没有余数，故选B.5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为()A．11B．12C．13D．14解析：选B.法一：分段间隔为84042＝20.设在1，2，…，20中抽取的号码为x0，在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36.因为x020∈120，1，所以k＝24，25，26， (35)所以k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.法二：使用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在区间[481，720]抽取的人数为720－48020＝12.6．为了了解1203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，则抽样间隔k＝________．解析：由于120340不是整数，所以从1203名学生中随机剔除3名，则抽样间隔k＝120040＝30.答案：307．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01，02，03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为06，34，48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为564＝14，所以样本编号应为06，20，34，48.答案：208．为了了解学生对某网络游戏的态度，高三(11)班计划在全班60人中展开调查．根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号：01，02，03，…，60.已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽样距为k＝9－3＝6，而总体容量N＝60，所以样本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同学，的编号为第10组抽取的个体的编号，故编号为3＋9×6＝57.答案：579．某批产品共有1564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1564，检测员要从中抽取15件产品做检测，请你给出一个系统抽样方案．解：(1)先从1564件产品中，用简单随机抽样的方法抽出4件产品，将其剔除．(2)将余下的1560件产品编号：1，2，3， (1560)(3)取k＝156015＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体．(4)从第一组，即1号到104号利用简单随机抽样法抽取一个编号s.(5)按编号把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15个编号选出，这15个编号所对应的产品组成样本．10．下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：120030＝40；确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户；…(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题？试修改；(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：从标有1～10的号码中随机抽取一张，为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户．(3)确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.[B能力提升]11．为了检测125个电子元件的质量，欲利用系统抽样的方法从中抽取容量为1Δ(Δ中的数字被墨水污染，无法分辨)的样本进行检测，若在抽样时首先利用简单随机抽样剔除了5个个体，则Δ中的数字有()A．1种可能B．2种可能C．3种可能D．4种可能解析：选C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3种可能，分别为0，2，5.12．已知某种型号的产品共有N件，且40＜N＜50，现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测，若样本容量为7，则不需要剔除；若样本容量为8，则需要剔除1个个体，则N＝________．解析：因为样本容量为7时，不需要剔除，所以总体的容量N为7的倍数，又40＜N＜50，所以N＝42或49.若N＝42，因为42除以8的余数为2，所以当样本容量为8时，需要剔除2个个体，不符合题意；若N＝49，因为49除以8的余数为1，所以当样本容量为8时，需要剔除1个个体，满足题意，故N＝49. 答案：4913．为了调查某路口一个月的车流量情况，*采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为*这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解：*所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.14．(选做题)一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0，1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．解：(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第1组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第2组抽取的号码是290，…故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能为21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.。
高二精选题库数学 课堂训练5-4北师大版
第5章 第4节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A. 13B. 512C. 12D. 712答案：B解析：b n ＝1a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512. 2．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n，…的前n 项和为( ) A.2n2n ＋1 B.2nn ＋1 C.n ＋2n ＋1D.n2n ＋1 答案：B 解析：a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2n －2n ＋1，∴S n ＝(21－22)＋(22－23)＋(23－24)＋…＋(2n －2n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1.3. [原创题]已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项的和为( )A. 32(3n －1)B. 92(3n －1) C. 38(9n －1) D. 98(9n －1)答案：C解析：当n ＝1时，a 1＝T 1＝3，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝3n 23(n －1)2＝32n －1，当n ＝1时也适合上式，所以当n ∈N *时，a n ＝32n －1，于是前n 项的和S n ＝3(1－9n )1－9＝38(9n－1)，故选C.4. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A. 13B. 10C. 9D. 6答案：D解析：∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝(1－12)＋(1－14)＋(1－18)＋…＋(1－12n )＝n －(12＋14＋18＋…＋12n )＝n －12[1－(12)n ]1－12＝n －1＋12n ，令n －1＋12n ＝32164，可得n ＝6.5．[2012·皖南联考]今年“十一”迎来祖国62周年华诞，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )A ．211－47 B ．212－57 C ．213－68 D ．214－80答案：B解析：由题意可知，从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n 个30分钟内进入公园的人数为a n ，第n 个30分钟内出来的人数为b n ，则a n ＝4×2n －1，b n＝n ，则上午11时30分公园内的人数为S ＝2＋4(1－210)1－2－10(1＋10)2212－57，所以答案为B.6. 设f (x )是定义在R 上恒不为0的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n 为常数)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A. [12，2)B. [12，2]C. [12，1]D. [12，1)答案：D解析：f (2)＝f 2(1)，f (3)＝f (1)f (2)＝f 3(1)， f (4)＝f (1)f (3)＝f 4(1)，a 1＝f (1)＝12，∴f (n )＝(12)n ，S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n ∈[12，1)．二、填空题(每小题7分，共21分)7. 若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋ann ＋1＝__________.答案：2n 2＋6n解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)．于是a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋an n ＋1＝2n 2＋6n .8. 对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.答案：2n ＋1－2解析：由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.9．等差数列{a n }的公差不为零，a 4＝7，a 1，a 2，a 5成等比数列，数列{T n }满足条件T n＝a 2＋a 4＋a 8＋…＋a 2n ，则T n ＝________.答案：2n ＋2－n －4解析：设{a n }的公差为d ≠0，由a 1，a 2，a 5成等比数列， 得a 22＝a 1a 5，即(7－2d )2＝(7－3d )(7＋d ) ∴d ＝2或d ＝0(舍去)． ∴a n ＝7＋(n －4)×2＝2n －1. 又a 2n ＝2·2n －1＝2n ＋1－1，∴T n ＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n ＋1－1) ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－n ＝2n ＋2－n －4.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．[2012·福建质检一]在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.(1)求a 2及{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，即a 1＋a 2－2a 1＝1.又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1. ∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n)＝n (n ＋1)2＋q (1－q n )1－q.若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝n ·(b 1＋b n )2＝n (n ＋3)2.11. 等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数， a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝8或⎩⎨⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)， 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)12. 已知函数f (x )对任意实数p ，q 都满足：f (p ＋q )＝f (p )·f (q )，且f (1)＝13.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝nf (n )(n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项的和，求证：S n <34(3)设b n ＝nf (n ＋1)f (n )(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n与6的大小．解：(1)由题意知，f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，f (1)＝13，∴f (n ＋1)＝13f (n )(n ∈N *)，∴数列{f (n )}(n ∈N *)是以f (1)＝13为首项，13为公比的等比数列，∴f (n )＝13×(13)n －1，即f (n )＝(13)n (n ∈N *)．(2)由(1)知，a n ＝n (13)n ，则S n ＝1×13＋2×(132＋3×(13)3＋…＋(n －1)(13)n －1＋n (13)n ，①13S n ＝1×(13)2＋2×(13)3＋3×(13)4＋…＋(n －1)(13)n ＋n (13)n ＋1，② ①－②得：23S n ＝13＋(13)2＋(13)3＋…＋(13)n －n (13)n ＋1 ＝13[1－(13)n]1－13－n (13)n ＋1＝12[1－(13)n ]－n (13)n ＋1， ∴S n ＝34－34(13)n －n 2(13)n .∵n ∈N *，∴S n <34.(3)由题意知，b n ＝nf (n ＋1)f (n )＝13n ，则T n ＝13×n (n ＋1)2＝n (n ＋1)6，∴1T n ＝6(1n －1n ＋1)．∴1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ＝6(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝6(1－1n ＋1)． ∵n ∈N *，∴1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n<6.。
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第7章第4节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．下列命题中正确的是()A．过平面外一点作此平面的垂面是唯一的B．过直线外一点作此直线的垂线是唯一的C．过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的D．过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的答案：C解析：A、D中满足条件的平面是无数个，B中满足条件的直线也有无数条，故选C.2. 如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案：C解析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.3. [2011·浙江卷]下列命题中错误的是()A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，，α∩β＝l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D解析： 不妨取一个长方体，面ABB 1A 1⊥面A 1B 1C 1D 1，而 C 1D 1 平面A 1B 1C 1D 1，C 1D 1∥面ABB 1A 1，从而D 错误，故选D.4．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，则( )A ．α>β>γB ．α>γ>βC ．β>α>γD ．γ>β>α答案：B解析：如图，取底面BCD 的中心为点O ，连接AO ，BO ，易知∠ABO ＝β，取BC 的中点E ，连接AE 、OE ，易知∠AEO ＝γ，易知0<β<γ<π2，延长BO 交CD 于F ，则BF ⊥CD ，又AO ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AB ，即α＝π2，∴α>γ>β，故选B.5. m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．下列命题中，①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ.正确的命题是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④答案：C解析：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AA 1⊥平面ABCD ，A 1B 1∥平面ABCD ，则AA 1⊥A 1B 1，故①正确；平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面BB 1C 1C ⊥平面ABCD ，而平面ABB 1A 1∩平面BB 1C 1C ＝BB 1，故②错误；A 1B 1∥平面ABCD ，B 1C 1∥平面ABCD ，而A 1B 1∩B 1C 1＝B 1，故③错误；由α∥β，β∥γ，则α∥γ，如AA 1⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，则AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，故若m ⊥α，则m ⊥γ，故①④正确．选C.6. [2012·海淀模拟]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是 ( )A. {2}B. {255}C. {t |2≤t ≤22}D. {t |255≤t ≤2}答案：C解析：由下图可知，点F 在线段C 1D 1，C 1C 中点的连线段MP 上，不妨设正方体棱长为2，线面角为α，则tan α＝B 1C 1C 1F ＝2C 1F ，∵C 1F ∈[22，1]，∴tan α∈[2,22]．二、填空题(每小题7分，共21分)7．已知平面α，β和直线m ，n ，给出条件： ①m ∥α；②m ⊥α；③m α；④α⊥β；⑤α∥β. (1)当满足条件________时，有m ∥β； (2)当满足条件________时，有m ⊥β.(填所选条件的序号) 答案：(1)③⑤ (2)②⑤解析：若m α，α∥β，则m ∥β；若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β.8. 如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别为B ，D ，若增加一个条件，就能推出BD ⊥EF .现有①AC ⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF .那么上述几个条件中能成为增加条件的是______． 答案：①②③解析：①AC ⊥β可以得到AC ⊥EF ，又CD ⊥EF ，可得EF ⊥面ABDC ，推得BD ⊥EF .②③也可以推得BD ⊥EF ；④若AC ∥EF ，则AC 与BD 异面垂直才能推出BD ⊥EF ，又因为AB ∥CD ，故不可能成立．9. [2011·全国]已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于__________．答案：23解析：延长FE 、CB 相交于点G ，连结AG ，设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于H ，连结EH ，则∠EHB 为所求二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2011·广东]如图，在锥体P －ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB ＝60°，P A ＝PD ＝2，PB ＝2，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(1)证明：AD ⊥平面DEF ； (2)求二面角P －AD －B 的余弦值．解：(1)证明：取AD 的中点O ，连结OP ，OB . ∵四边形ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB ＝60°， ∴△ABD 是边长为1的正三角形，得OB ⊥AD ，且OB ＝32. ∵P A ＝PD ＝2，∴PO ⊥AD ，且OP ＝72，∴AD ⊥面POB ，∵E ，F 分别是BC ，PC 的中点，∴EF ∥PB ，BE 綊DO ，即四边形DEBO 为平行四边形，得DE ∥BO ， ∴面DEF ∥面POB ，∴AD ⊥面DEF .(2)由(1)知：∠POB 为二面角P －AD －B 的平面角，又PB ＝2， ∴cos ∠POB ＝OP 2＋OB 2－PB 22OP ·OB＝74＋34－42×72×32＝－217，即二面角P －AD －B 的余弦值为－217. 11. [2011·全国]如图，四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.(1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值．解：(1)证明：取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE ＝CB ＝2， 连结SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝ 3. 又SD ＝1，故ED 2＝SE 2＋SD 2， 所以∠DSE 为直角，由AB ⊥DE ，AB ⊥SE ，DE ∩SE ＝E ，得 AB ⊥平面SDE ，所以AB ⊥SD . SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直． 所以SD ⊥平面SAB .(2)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .作SF ⊥DE ，垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，SF ＝SD ×SE DE ＝32，作FG ⊥BC ，垂足为G ，则FG ＝DC ＝1， 连结SG ，则SG ⊥BC .又BC ⊥FG ，SG ∩FG ＝G ，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG . 作FH ⊥SG ，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC . FH ＝SF ×FG SG ＝37，即F 到平面SBC 的距离为217.由于ED ∥BC ，所以ED ∥平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也为217. 设AB 与平面SBC 所成的角为α， 则sin α＝d EB ＝217.12．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ＝2，平面PBC ⊥平面ABCD ，O 是BC 的中点，AO 交BD 于点E .(1)试探求直线P A 与BD 的位置关系；(2)点M 为直线P A 上的一点，当点M 在何位置时有P A ⊥平面BDM?(3)判定平面P AD 与平面P AB 的位置关系． 解：(1)P A ⊥BD .下面给出证明：∵PB ＝PC ，且O 是BC 的中点，∴PO ⊥BC ，又∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，∴PO ⊥平面ABCD .∵BD 平面ABCD ，∴PO ⊥BD .在梯形ABCD 中，可得Rt △ABO ≌Rt △BCD ，∵∠BEO ＝∠OAB ＋∠DBA ＝∠DBC ＋∠DBA ＝90°，即AO ⊥BD . ∵PO ∩AO ＝O ，∴BD ⊥平面P AO . 又P A 平面P AO ，∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接BM 、DM ，由于AB ＝PB ，则P A ⊥BM .又P A ⊥BD ，所以P A ⊥平面BDM .故当点M 为P A 的中点时，P A ⊥平面BDM . (3)平面P AD ⊥平面P AB .下面给出证明：取PB 的中点N ，连接CN .∵PC ＝BC ，∴CN ⊥PB ， ① ∵AB ⊥BC ，且平面PBC ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PBC .∵AB 平面P AB ，∴平面PBC ⊥平面P AB . ② 由①、②可知CN ⊥平面P AB . 连接MN ，则由MN ∥AB ∥CD ，MN ＝12AB ＝CD ，得四边形MNCD 为平行四边形．∴CN ∥DM ，∴DM ⊥平面P AB .∵DM 平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .。
高二精选题库 数学检测4.北师大版
单元质量检测(四)一、选择题1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0a －1≠0，解得a ＝3.答案：B2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A.15i B.15 C ．－15iD ．－15解析：∵1－2＋i ＋11－2i＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i(1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ， ∴虚部为15.答案：B3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nm b ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0. 答案：D4．如下图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋13e 1解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →]＝12[2(－12e 1＋e 2)＋13e 1]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1. 答案：C5．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1，|b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)． 答案：C6．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：∵DC →＝2BD →，∴BC →－BD →＝2BD →，∴BD →＝13BC →.∵CE →＝2EA →，∴BE →－BC →＝2BA →－2BE →， ∴BE →＝23BA →＋13BC →.∵AF →＝2FB →，∴BF →－BA →＝－2BF →，∴BF →＝13BA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝BD →－BA →＋BE →＋BF →－BC → ＝13BC →－BA →＋23BA →＋13BC →＋13BA →－BC → ＝－13BC →.∴AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行． 答案：A7．已知非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则|a －2b ||a ＋2b |等于( )A.14 B ．2 C.12D ．1解析：|a －2b ||a ＋2b |＝(a －2b )2(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2a 2＋4b 2＝1.答案：D8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：因为AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA → ＝BC →·(AB →－CA →＋BA →)＝BC →·AC →，故BC →2－BC →·AC →＝BC →·(BC →－AC →)＝BC →·BA →＝0， 即∠B ＝π2.答案：B9．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：如图，F 3的大小等于F 1、F 2的合力的大小．由平面向量加法的三角形法则知，在△OAB 中OB 的长就是F 1、F 2的合力的大小，且在△OAB 中，∠OAB ＝120°，OB ＝F 21＋F 22－2F 1·F 2cos120°＝28＝27，即F 3为27.答案：D10．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如下图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：函数y ＝tan(π4x －π2)的图象是由y ＝tan x 的图象向右平移π2个单位，再将图象的横坐标扩大为原来的4π倍得到，所以点A 的坐标为(2,0)，令tan(π4x －π2)＝1得π4x －π2＝π4，故可得B 点坐标为(3,1)，所以(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.答案：D11．设点P 为△ABC 的外心(三条边垂直平分线的交点)，若AB ＝2，AC ＝4，则AP →·BC →＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：我们可以采用特殊方法解答，设A (－1,0)，B (1,0)，C (－1,4)，则外心P 为(0,2)，故AP →＝(1,2)，BC →＝(－2,4)，故AP →·BC →＝6.答案：B12．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →(其中λ∈R )，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析：CB →＝PB →－PC →＝λP A →＋PB →化简即得－PC →＝λP A →，由共线向量的充要条件可知，点P ，A ，C 三点共线，所以答案选B.答案：B 二、填空题13．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋65＋3－2a5i ，∴⎩⎨⎧a ＋65＝03－2a 5≠0，∴a ＝－6.答案：－614．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 解析：|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－4(cos10°cos70°＋sin10°sin70°) ＝5－4cos60°＝ 3. 答案： 315．已知AD 是△ABC 的中线，AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，那么λ＋μ＝________；若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________．解析：若AD 为△ABC 的中线，则有AD →＝12(AB →＋AC →)，∴λ＋μ＝1.|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)，∵|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝2AB →·AC →cos120°＝8，所以|AD →|≥1.答案：1 116．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.答案：2 三、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解法一：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则a ＝AN →＋NB →＝d ＋(－12b )①b ＝AM →＋MD →＝c ＋(－12a )②将②代入①得a ＝d ＋(－12)[c ＋(－12a )]⇒a ＝43d －23c ，代入②得b ＝c ＋(－12)(43d －23c )＝43c －23d .解法二：设AB →＝a ，AD →＝b . 因M ，N 分别为CD ，BC 中点， 所以BN →＝12b ，DM →＝12a .因而⎩⎨⎧c ＝b ＋12ad ＝a ＋12b ⇒⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．18．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线． 又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210.(2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72＝－72 2.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得⎩⎨⎧λ1＝－237λ2＝37.19．设△ABC 的外心为O ，则圆O 为△ABC 的外接圆，垂心为H .求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：延长BO 交圆O 于D 点，连AD 、DC ， 则BD 为圆O 的直径，故∠BCD ＝∠BAD ＝90°. 又∵AE ⊥BC ，DC ⊥BC ， 得AH ∥DC ，同理DA ∥CH . ∴四边形AHCD 为平行四边形， ∴AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →， ∴AH →＝OB →＋OC →. 又∵OH →＝OA →＋AH →， ∴OH →＝OA →＋OB →＋OC →.20．(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并判断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系；(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝23a ＋13b .同理OQ →＝13a ＋23b ，∴OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)OA 1→＋OA n －1 ＝OA 2→＋OA n －2 ＝…＝OA →＋OB →. 证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n (OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，∴OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1＝1n a ＋n －1nb ，OA 2→＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2＝2n a ＋n －2n b ，…因此有OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →.21．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ. (1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值． 解：(1)由题意知： AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝6① S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ) ＝12|AB →|·|BC →|·sin θ② ②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .由3≤S ≤3，得3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. ∵θ为AB →与BC →的夹角，∴θ∈(0，π)，∴θ∈[π6，π4]．(2)f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ ＝1＋sin2θ＋2cos 2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋2sin(2θ＋π4)．∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4]．∴当2θ＋π4＝3π4，即θ＝π4时，f (θ)有最小值为3.22．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .。
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第6章第6节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”假设内容应是()A. 3a＝3b B.3a<3bC. 3a＝3b且3a<3b D.3a＝3b或3a<3b答案：D解析：因为3a>3b的否定是3a≤3b，即3a＝3b或3a<3b.2. [2012·潍坊质检]设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A. 恒为负值B. 恒等于零C. 恒为正值D. 无法确定正负答案：A解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0，故选A.3. a，b，c为互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是()A. a>b>cB. b>c>aC. b>a>cD. a>c>b答案：C解析：由a2＋c2>2ac⇒2bc>2ac⇒b>a，可排除A、D，令a＝2，b＝52c＝1或4，可知C可能成立．4. 设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三数()A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 答案：C解析：a＋b＋c＝x＋1y＋y＋1z＋z＋1x≥6，因此a，b，c至少有一个不小于2.5. [2012·济南调研]若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是( ) A. 0<t ≤2 B. 0<t ≤4 C. 2<t ≤4 D. t ≥4答案：C解析：由题意得，2(2x＋2y)＝4x＋4y＝(2x＋2y )2－2·2x·2y， ∵2x ·2y ≤14(2x ＋2y )2，令t ＝2x ＋2y ，于是原式可化为2t ≥t 2－12t 2，解得0≤t ≤4.结合函数y 1＝2x ，y 2＝4x 的图像间的关系，由实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1可知，x ，y 至少有一个为非负数，故t >2.综上可知2<t ≤4.6. 设定义域为R 的函数f (x )满足下列条件：①对任意x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0；②对任意x 1，x 2∈[1，a ]，当x 1>x 2时，有f (x 1)>f (x 2)>0，则下列不等式不一定成立的是( )A. f (a )>f (0)B. f (1＋a2)>f (a )C. f (1－3a 1＋a )>f (－3)D. f (1－3a 1＋a)>f (－a )答案：C解析：由题意易知，f (x )为奇函数，且f (x )在(1，a ]和[－a ，－1]内单调递增，f (0)＝0，f (a )>0，故A 正确；因为a >1＋a 2>a >1，所以选项B 正确；因为1－3a 1＋a －(－a )＝(a －1)21＋a >0，故－a <1－3a 1＋a <－1，所以D 也正确，排除A 、B 、D ，故选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的反设应该是________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥12”8. [2012·湛江模拟]命题：“若空间两条直线a ，b 分别垂直平面α，则a ∥b .”学生小夏这样证明：设a ，b 与面α分别相交于A 、B ，连接A 、B .∵a ⊥α，b ⊥α，AB α① ∴a ⊥AB ，b ⊥AB, ② ∴a ∥b .③这里的证明有两个推理，即：①⇒②和②⇒③.老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是__________．答案：②⇒③解析：空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行，可能相交，还可能异面，因此推理②⇒③不正确．9. 如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b解析：∵a a ＋b b >a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.证明：要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc ＝1，而A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°，∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋a 2＋c 2＋bc＝1.从而原式得证． 11. 已知三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，其中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．解：若三个方程都无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0Δ3＝4a 2＋4×2a <0，解得－32<a <－1，故当三个方程至少有一个方程有实根时，实数a 的取值范围为{a |a ≤－32或a ≥－1}．12. (1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．(1)证明：x 是正实数，由均值不等式知 x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)解：若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 由(1)知，当x >0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．。
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第7章第2节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·四川]l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A. l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B. l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C. l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D. l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案：B解析：举反例．由教室内共点的三条墙角线可知A、D是错误的；由三棱柱的三条侧棱可知C是错误的．故选B.2. [2012·济宁一模]已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交答案：D解析：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC 与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案：C解析：∵D∈l，l β，∴D∈β，又∵D∈BA，AB 面ABC，∴D∈面ABC，即D在平面ABC与面β的交线上，又∵C∈面ABC，C∈β，∴C在面β与面ABC的交线上．从而有面ABC∩面β＝CD.4．[2012·南昌调研]已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在平面α上的射影不可能是( )A ．两条平行直线或两条互相垂直的直线或一条直线及其外一点B ．两条平行直线或两条互相垂直的直线C ．同一条直线D ．两条互相垂直的直线或一条直线及其外一点 答案：C解析：可结合正方体与各选项知，满足题意的两条异面直线a ，b 在平面α上的射影对于A 、B 、D 中的情形均有可能，因此选C.5. [2011·广东]正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．10答案：D解析：如图，在正五棱柱ABCDE —A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1、AD 1，同理从B 、C 、D 、E 点出发的对角线也有两条，共2×5＝10条．6．如图：四面体P －ABC 为正四面体，M 为PC 的中点，则BM 与AC 所成的角的余弦值为( )A.32B.36C.12 D ．0答案：B解析：取AP 中点N ，连接MN ，BN ， ∵M 为PC 的中点， ∴MN ∥AC .∴∠BMN 或其补角为BM 与AC 所成的角．∵四面体P －ABC 为正四面体，设棱长为2. 则BM ＝3，MN ＝1，BN ＝3， 在△BMN 中，cos ∠BMN ＝(3)2＋12－(3)22×3×1＝123＝36.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 已知线段AB 、CD 分别在两条异面直线上，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，则MN __________12(AC ＋BD )(填“>”，“<”或“＝”)．答案：<解析：如图所示，四边形ABCD 是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN 与AB 、CD 的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD ，取AD 的中点为G ，再连接MG 、NG ，在△ABD 中，M 、G 分别是线段AB 、AD 的中点，则MG ∥BD ，且MG ＝12BD ，同理，在△ADC 中，NG ∥AC ，且NG ＝12AC ，又根据三角形的三边关系知，MN <MG ＋NG ，即MN <12BD ＋12AC ＝12(AC ＋BD )．8．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．答案：1或4解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．9．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为黄金异面直线对，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，连接正方体各顶点的所有直线中，与AC 构成黄金异面直线对的直线共有__________条．答案：4解析：如图，几何体ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体，与AC 构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，A ′D ，C ′D .三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体下底面相交于直线l .(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长．解：(1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点P ′，连接NP ′，则直线NP ′即为所求直线l .由于P ′＝DM ∩D 1A 1且DM 面DMN ，D 1A 1 面A 1B 1C 1D 1.∴P ′∈面DMN ∩面A 1B 1C 1D 1.又N ∈面DMN ∩面A 1B 1C 1D 1， ∴由公理3知直线NP ′为面DMN 与面A 1B 1C 1D 1的交线． (2)由DD 1MA 1＝D 1N A 1P ＝2得B 1P ＝34A 1B 1＝34a . 11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1A 、C 1C 的中点，求证：四边形BED 1F 是菱形．证明：如图所示，取B 1B 的中点G ，连接GC 1，EG ，∵GB 綊C 1F ，∴四边形C 1FBG 是平行四边形， ∴FB 綊C 1G . ∵D 1C 1綊EG ，∴四边形D 1C 1GE 为平行四边形． ∴GC 1綊D 1E ，∴FB 綊D 1E ， ∴四边形BED 1F 为平行四边形． 又∵FB ＝FD 1，∴四边形BED 1F 为菱形．12. [2011·重庆]如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AD ＝CD ，∠CAD ＝30°.(1)若AD ＝2，AB ＝2BC ，求四面体ABCD 的体积；(2)若二面角C —AB —D 为60°，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值． 解：(1)如图，设F 为AC 的中点，连接DF .∵AD ＝CD ，∴DF ⊥AC .故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，且DF ＝AD sin30°＝1，AF ＝AD cos30°＝ 3. 在Rt △ABC 中，∵AC ＝2AF ＝23，AB ＝2BC ， 由勾股定理易知BC ＝2155，AB ＝4155.故四面体ABCD 的体积V ＝13·S △ABC ·DF ＝13×12×4155×2155＝45.(2)如图，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，连接FG ，GH ，FH .则FG ∥AD ，GH ∥BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角．设E 为边AB 的中点，连接EF ，DE .则EF ∥BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB .又由(1)有DF ⊥平面ABC ，故由三垂线定理知DE ⊥AB .∴∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角．由题设知∠DEF ＝60°.设AD ＝a ，则DF ＝AD ·sin ∠CAD ＝a2.在Rt △DEF 中，EF ＝DF tan ∠DEF ＝a 2·33＝36a ，从而GH ＝12BC ＝EF ＝36a .∵Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD ＝AD ＝a ，从而，在Rt △BDF 中，FH ＝12BD ＝a2.又FG ＝12AD ＝a2，则在△FGH 中，由余弦定理得cos ∠FGH ＝FG 2＋GH 2－FH 22FG ·GH ＝GH 2FG ＝36.因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为36. 点评：立体几何问题条件中若出现了面面垂直，一般需转化为线面垂直，再进行有关推论．求角问题即可利用相关定义进行转化求解，又可建立空间直角坐标系利用向量法求解．。
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答案：等边三角形
15．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
如下图所示，则k的取值范围是1<k<3.
答案：1<k<3
16．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
C．2cos5D．2sin5
解析：＋
＝＋
＝|sin5＋cos5|＋|sin5－cos5|
＝－(sin5＋cos5)－(sin5－cos5)
＝－2sin5.
答案：A
3．设点P是函数f(x)＝29sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是
()
A．2πB．π
()
解析：根据题意，可得f(x)＝|π－x－x|＝|π－2x|，图象即为选项A.
答案：A
9．如下图所示，函数y＝2sin(ωx＋θ)(|θ|<)的图象，那么
()
A．ω＝，θ＝B．ω＝，θ＝－
C．ω＝2，θ＝D．ω＝2，θ＝－
解析：由图知周期T＝π－(－)＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝2sin(2x＋θ)，
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象；
⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是________．
解析：①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，故最小正周期为π，①正确．
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第6章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 证明1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时，左边式子等于( )A. 1B. 1＋12C. 1＋12＋13D. 1＋12＋13＋14答案：D解析：当n ＝2时，左边的式子为 1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.2．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案：C3. [2012·辽宁沈阳质检]用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：左边＝1＋12＋14…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案：A解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．5. [2012·怀化模拟]用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 答案：D解析：A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数． 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，则猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1答案：B解析：由S n ＝n 2a n 知，S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， 所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 所以a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 所以a n ＋1＝nn ＋2a n(n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，所以a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的所有正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取______．答案：5解析：当n ＝1时，2>2不成立；当n ＝2时，4>5不成立；当n ＝3时，8>10不成立；当n ＝4时，16>17不成立；当n ＝5时，32>26成立；当n ＝6时，64>37成立，由此猜测n 0应取5.8. [2012·淮南调研]若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2， ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.9．如下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，则第n 个图中所含化学键的个数为________．答案：5n ＋1解析：每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n 个结构简图有(5n ＋1)个化学键．可用数学归纳法验证该结论是否正确．三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1， n ＝2，左边＝54，右边＝65，∴左≥右，即命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k2k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1， 只要证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3. ∵3(k ＋1)2k ＋3－3k 2k ＋1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1] ＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)<0，∴3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)、(2)知，不等式对一切n ∈N *均成立．11. [2012·浙江宁波]是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．解：假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1； 当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6； 当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)；当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]． 即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N *都成立．12. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝(2－1)(a n ＋2)，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }中，b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3n ＝1,2,3，…，证明：2<b n ≤a 4n －3，n ＝1,2,3，….解：(1)因为a n ＋1＝(2－1)(a n ＋2)＝(2－1)(a n －2)＋(2－1)(2＋2)＝(2－1)(a n －2)＋2，所以a n ＋1－2＝(2－1)(a n －2)．所以数列{a n －2}是首项为2－2，公比为 2－1的等比数列， 所以a n －2＝2(2－1)n，即{a n }的通项公式a n ＝2[(2－1)n ＋1]，n ＝1,2,3，…. (2)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，因为2<2＝b 1＝a 1＝2，所以2<b 1≤a 1，结论成立；(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即2<b k ≤a 4k －3，即0<b k －2≤a 4k －3－ 2. 当n ＝k ＋1时，b k ＋1－2＝3b k ＋42b k ＋3－ 2＝(3－22)b k ＋(4－32)2b k ＋3＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3>0，又12b k ＋3<122＋3＝3－22，所以b k ＋1－2＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3<(3－22)2(b k －2)≤(2－1)4(a 4k －3－2)＝a 4k ＋1－2.也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立． 根据(ⅰ)和(ⅱ)知，2<b n ≤a 4n －3，n ＝1,2,3，….。
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第2章 第5节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江百校联考]已知0<a <1，log a (1－x )<log a x ，则( ) A. 0<x <1 B. x <12C. 0<x <12D. 12<x <1 答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x >01－x >x，解得：0<x <12.2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，2x (x ≤0)，若f (a )＝12，则a 的值为( )A.－1B. 2C.－1或12D.－1或 2答案：D解析：由题知，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a ＝12，可得a ＝2或－1.故选D. 3.已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是( )答案：B解析：由题知，a ＝1b ，则f (x )＝(1b )x ＝b －x ，g (x )＝－log b x ，当0<b <1时，f (x )单增，g (x )单增，B 正确；当b >1时，f (x )单减，g (x )单减.故选B.4. 函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A. 2 B. 23 C. 13 D. 1答案：B解析：由题知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[13，1]，所以b －a 的最小值为23.故选B.5. 若不等式x 2－log a x <0对x ∈(0，12)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. {a |0<a <1}B. {a |116≤a <1}C. {a |a >1}D. {a |0<a ≤116}答案：B解析：由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈(0，12)时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在(0，12)上的图像在f 2(x )＝log a x 图像的下方即可.当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图，要使x 2<log a x 在x ∈(0，12)上恒成立，需f 1(12)≤f 2(12). 所以有(12)2≤log a 12，解得a ≥116，∴116≤a <1. 6. [2012·东北师大附中摸底考试]若实数a 满足a >|y －1|－|y －2|(y ∈R )恒成立，则函数f (x )＝log a (x 2－5x ＋6)的单调减区间为( )A. (52，＋∞)B. (3，＋∞)C. (－∞，52)D. (－∞，2)答案： D解析：由于a >|y －1|－|y －2|(y ∈R )恒成立，又|y －1|－|y －2|的最大值是1，故a >1.设g (x )＝x 2－5x ＋6，则函数f (x )的定义域是(－∞，2)∪(3，＋∞).又函数g (x )＝x 2－5x ＋6的单调递减区间是(－∞，52)，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log a (x 2－5x ＋6)的单调递减区间是(－∞，2).二、填空题(每小题7分，共21分)7. [变式题]函数f (x )＝log 2(2x ＋6)的定义域为________. 答案：[－52，＋∞)解析：由题知log 2(2x ＋6)≥0，即2x ＋6≥1，解得x ≥－52，所以函数f (x )＝log 2(2x ＋6)的定义域为[－52，＋∞).8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________.答案：－1<x ≤0或x >2解析：当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2. 综上所述：－1<x ≤0或x >2.9.设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m －2,2m )内有定义且不是单调函数的充要条件是________.答案：2≤m ＜3解析：由题意知，只需1∈(m －2,2m )，且m －2≥0即可.于是0≤m －2<1，且2m >1，于是2≤m <3.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 已知y ＝log 4(2x ＋3－x 2). (1)求定义域； (2)求f (x )的单调区间；(3)求y 的最大值，并求取得最大值的x 值. 解：(1)由真数2x ＋3－x 2>0，解得－1<x <3. ∴定义域是{x |－1<x <3}.(2)令u ＝2x ＋3－x 2，则u >0，y ＝log 4u . 由于u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4，考虑到定义域，其增区间是(－1,1]，减区间是[1,3). 又y ＝log 4u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数， 故该函数的增区间是(－1,1]，减区间是[1,3). (3)∵u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4≤4，∴y ＝log 4(2x ＋3－x 2)≤log 44＝1.∴当x ＝1，u 取得最大值4时，y 就取得最大值1.11. [2012·辽宁抚顺]已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图像上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图像.(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围. 解：(1)设P (x ，y )为g (x )图像上任意一点，则 Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图像上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝g (x )＝－log a (1－x )(a >1). (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可.∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求.12. 定义在R 上的函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )>0.(1)求证：f (x )为奇函数； (2)判断f (x )的单调性并证明；(3)解不等式：f [log 2(x ＋1x＋6)]＋f (－3)≤0.解：(1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0. ∴f (x )为奇函数.(2)f (x )为R 上的单调增函数，设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2－x 1)>0，∴f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)>f (x 1)，∴f (x )为R 上的单调增函数.(3)∵f (0)＝0且f (x )在R 上单调递增，∴原不等式等价于f [log 2(x ＋1x ＋6)＋(－3)]≤f (0)⇔log 2(x ＋1x ＋6)≤3⇔0<x ＋1x ＋6≤8⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x 2＋6x ＋1>0x 2－2x ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0x 2＋6x ＋1<0，x 2－2x ＋1≥0∴原不等式的解集为{x |x ＝1或－3－22<x <－3＋22}.。
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第4章 第3节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 已知两个单位向量a 与b 的夹角为135°，则|a ＋λb |>1的充要条件是( ) A. λ∈(0，2) B. λ∈(－2，0)C. λ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D. λ∈(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案：D解析：由|a ＋λb |>1，得a 2＋2λa ·b ＋λ2b 2>1， 化简得λ2－2λ>0， 解得λ<0或λ>2，故选D.2. [2012·潍坊模考]已知非零向量a ·b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·bx ＋1在x ∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( )A. [0，π6]B. (0，π3]C. (π6，π2]D. (π6，π]答案：D解析：∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·bx ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有不相等的实根．∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a ·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a ·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a ·b >0，即a ·b <12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，|a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉<12|a |2|a ||b |＝32，∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴π6<〈a ，b 〉≤π，故选D. 3. [2012·湖北联考]已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a ·b ＝0，若向量c 与a －b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A. 2B. 1C.22D. 12 答案：A解析：∵c 与a －b 共线，设c ＝λ(a －b )＝λa －λb (λ≠0)，则|a ＋c |＝|a ＋λa －λb |＝|(1＋λ)a－λb |，∴|a ＋c |2＝(1＋λ)2|a |2－2λ(1＋λ)a ·b ＋λ2|b |2＝4(2λ2＋2λ＋1)，当λ＝－12时，|a ＋c |的最小值是 2.4. 已知平面向量a ，b ，c 满足：a ⊥c ，b ·c ＝－2，|c |＝2，若存在实数λ使得c ＝a ＋λb ，则λ的值为( )A. －4B. －2C. 2D. 4答案：B解析：由已知a ⊥c 得a ·c ＝0，又c ·c ＝(a ＋λb )·c ，即|c |2＝a ·c ＋λb ·c .又|c |＝2，a ·c ＝0，b ·c ＝－2，所以－2λ＝4，即λ＝－2.5. 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，若O 为△ABC 内部的一点，且满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则AO →·BC →＝( )A. 12 B. 25 C. 13 D. 14答案：C解析：由题意知O 为△ABC 的重心，取BC 的中点D ，∴AO →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝13(AB →＋AC →)(AC →－AB →)＝13(AC →2－AB →2)＝13.6. [2011·福建]设V 是全体平面向量构成的集合．若映射f ：V →R 满足： 对任意向量a ＝(x 1，y 1)∈V ，b ＝(x 2，y 2)∈V ，以及任意λ∈R ，均有 f (λa ＋(1－λ)b )＝λf (a )＋(1－λ)f (b )， 则称映射f 具有性质P . 现给出如下映射：①f 1：V →R ，f 1(m )＝x －y ，m ＝(x ，y )∈V ； ②f 2：V →R ，f 2(m )＝x 2＋y ，m ＝(x ，y )∈V ； ③f 3：V →R ，f 3(m )＝x ＋y ＋1，m ＝(x ，y )∈V .其中，具有性质P 的映射的序号为__________．(写出所有具有性质P 的映射的序号) 答案：①③解析：由题意知λa ＋(1－λ)b ＝λ(x 1，y 1)＋(1－λ)(x 2，y 2)＝(λx 1＋(1－λ)x 2，λy 1＋(1－λ)y 2)，对于①：f 1(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2－λy 1－(1－λ)y 2，而λf 1(a )＋(1－λ)f 1(b )＝λ(x 1－y 1)＋(1－λ)(x 2－y 2)＝λx 1＋(1－λ)x 2－λy 1－(1－λ)y 2，∴f 1(λa ＋(1－λ)b )＝λf 1(a )＋(1－λ)f 1(b )，故①中映射具有性质P ；对于②：f 2(λa ＋(1－λ)b )＝[λx 1＋(1－λ)x 2]2＋λy 1＋(1－λ)y 2，而λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )＝λ(x 21＋y 1)＋(1－λ)(x 22＋y 2)＝λx 21＋(1－λ)x 22＋λy 1＋(1－λ)y 2，∴f 2(λa ＋(1－λ)b )≠λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )，故②中映射不具有性质P ；对于③：f 3(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2＋λy 1＋(1－λ)y 2＋1，而λf 3(a )＋(1－λ)f 3(b )＝λ(x 1＋y 1＋1)＋(1－λ)(x 2＋y 2＋1)＝λx 1＋(1－λ)x 2＋λy 1＋(1－λ)y 2＋1.∴f 3(λa ＋(1－λ)b )＝λf 3(a )＋(1－λ)f 3(b )，故③中映射具有性质P ，综上可知具有性质P 的映射的序号为①③.二、填空题(每小题7分，共21分)7.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．答案：(－53，0)∪(0，＋∞)解析：∵a 与a ＋λb 均不是零向量，且其夹角为锐角，∴a ·(a ＋λb )>0，即5＋3λ>0，∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，可设a ＋λb ＝ma (m ∈R)，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m 2＋λ＝2m ，解得λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，∴λ≠0. ∴λ的取值范围为(－53，0)∪(0，＋∞)．8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.答案： 2解析：由题意知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝(AB →)2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2.9. [2011·湖南]在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2B D →，CA →＝3C E →，则AD →·B E →＝__________.答案：－14解析：如图，由题意得D 为BC 中点，E 为AC 三等分点，∴AD →·B E →＝12(AB →＋AC →)·(AE →－AB →)＝(12AB →＋12AC →)·(23AC →－AB →) ＝－12AB →2＋13AC →2＋13AB →·AC →－12AB →·AC →＝－12AB →2＋13AC →2－16AB →·AC →＝－12＋13－16×12＝－312＝－14.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4， ∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.11．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数m 的取值范围．解：(1)∵向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )， ∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，由三点共线知3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )， ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，解得m >－34.又由(1)可知，当m ＝12时，∠ABC ＝0°，故m ∈(－34，12)∪(12，＋∞)．12. 已知函数f (x )＝a ·b －1，其中a ＝(3sin2x ，cos x )，b ＝(1,2cos x )(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝2，a ＝3，b ＝3，求边长c 的值．解：(1)依题意得f (x )＝a ·b －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得函数f (x )的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k ∈Z .(2)∵f (A )＝2，∴2sin(2A ＋π6)＝2，即sin(2A ＋π6)＝1，∴A ＝kπ＋π6，k ∈Z.又∵A 为三角形的内角，∴A ＝π6.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即c 2－33c ＋6＝0，∴c ＝3或2 3.。
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第8章 第4节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·江西联考]方程x 2sin2＋cos2－y 2cos2－sin2＝1所表示的曲线是( )A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线 答案：B解析：∵π2<2<3π4，∴sin2>0，cos2<0且|sin2|>|cos2|，∴sin2＋cos2>0，cos2－sin2<0且sin2－cos2>sin2＋cos2，故表示焦点在y 轴上的椭圆．2. [2012·广东联考]椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A. 14B. 12C. 2D. 4答案：A解析：将原方程变形为x 2＋y 21m＝1，由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m ，b ＝1，∴1m ＝2，∴m ＝14，故选A.3. [2012·河北唐山]P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A. 3B. 3C. 2 3D. 2答案：D解析：由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4， PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.4. [2012·辽宁协作体]已知椭圆x 236＋y29＝1上有两个动点P 、Q ，E (3,0)，EP ⊥EQ ，则E P →·Q P →的最小值为( )A. 6B. 3－ 3C. 9D. 12－6 3答案：A解析：设P (x 0，y 0)，则EP →·Q P →＝|E P →|·|QP →|cos 〈EP →，Q P →〉＝|E P →|2＝(x 0－3)2＋y 20＝(x 0－3)2＋9－1420＝34x 20－6x 0＋18＝34[(x 0－4)2－16]＋18≥6，当x 0＝4时取“＝”，故选A. 5．[2012·抚顺一模]已知椭圆x 24y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3答案：B解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ①.又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24 ②.将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.6. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是 ( )A.32B.22C. 2－1D. 2答案：C解析：∵△ABF 2是等腰直角三角形，设点A (x 0，y 0)在x 轴上方，∴|AF 1|＝|F 1F 2|.将x 0＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得A (－c ，b 2a )，从而b2a ＝2c ，即a 2－c 2＝2ac ，整理得e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2.由e ∈(0,1)得e ＝2－1.故选C. 二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·长春调研]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为__________．答案：2－1解析：依题意c ＝p 2，b2a ＝p ，∴b 2＝2ac ，∴c 2＋2ac －a 2＝0， ∴e 2＋2e －1＝0，又∵e >0，∴解得e ＝2－1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________.答案：54解析：利用椭圆定义得a ＋c ＝2×5＝10，b ＝2×4＝8，利用正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b ＝108＝54.9. [2011·江西]若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．答案：x 25＋y 24＝1解析：由图知切点A (1,0)，设另一切线y －12＝k (x －1)，即kx －y －k ＋12＝0，圆心(0,0)到切线距离d ＝|－k ＋12|k 2＋1＝1，∴k ＝－34，则OB 的直线方程为y ＝43x ，∴y ＝43x 与x 2＋y 2＝1联立得B (35，45)，∴AB 方程为y ＝－2(x －1)，得椭圆右焦点(1,0)、上顶点(0,2)， ∴c ＝1，b ＝2，a 2＝5， ∴椭圆方程x 25＋y241.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．[2012·山东东营]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点M (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为M 1(x 1，y 1)，求 3x 1－4y 1的取值范围． 解：(1)由已知点P (－2，1)在椭圆上， ∴2a 2＋1b2＝1.① 又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点． ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2.②由①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点M (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为M 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎨⎧ y 0－y1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x12，解得⎩⎨⎧x 1＝4y 0－3x5，y 1＝3y 0＋4x5∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点M (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y221上，∴－2≤x 0≤2， ∴－10≤－5x 0≤10.即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．11. [2011·辽宁]如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设 C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x2a2＝1(a >b >0)，设直线l ：x ＝t (|t |<a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得 A (t ，a b a 2－t 2)，B (t ，baa 2－t 2)．当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)当t ＝0时的l 不符合题意，当t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a . 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a . 因为|t |<a ，又0<e <1，所以1－e 2e 2<1，解得22<e <1. 所以当0<e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22<e <1时，存在直线l ，使得BO ∥AN . 12. [2012·北京东城]已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，且椭圆的左顶点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (0，m )的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且AP →＝3PB →，求实数m 的取值范围． 解：(1)设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.所以所求椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2)若过点P (0，m )的斜率不存在，则m ＝±32.若过点P (0，m )的直线斜率存在， 设直线l 的方程为y －m ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. Δ＝64m 2k 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)． 因为直线l 与椭圆C 交于不同两点， 所以Δ>0，整理得4k 2－m 2＋3>0. 即4k 2>m 2－3，① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.②由已知AP →＝3P B →，因为AP →＝(－x 1，m －y 1)，P B →＝(x 2，y 2－m )． 所以－x 1＝3x 2.③将③代入②得－3(4km 3＋4k 2)2＝4m 2－123＋4k 2，整理得16m 2k 2－12k 2＋3m 2－9＝0，将k 2＝9－3m 216m 2－12代入①式得4k 2＝9－3m 24m 2－3>m 2－3. 4m 2(m 2－3)4m 2－3<0，解得34<m 2<3. 所以－3<m <－32或32<m < 3. 综上可得，实数m 的取值范围为(－3，－32]∪[32，3)．。
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第10章 第8节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1．随机变量ξ的分布列为，则E (5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 答案：A 解析：由已知得E (ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E (5ξ＋4)＝5E (ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 2. [2012·荆州质检]随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值是( )A. 13B. 23 C. 59 D. 79答案：C解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，且E (ξ)＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13，∴a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.3. 设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A. 53B. 73C. 3D.113答案：C解析：由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得：⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝43(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解得：⎩⎨⎧x 1＝53x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2，由于x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.4. [2012·浙江嘉兴]甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A. 43B.119C. 1D. 89答案：A解析：依题意，ξ的取值为0,1,2. 且P (ξ＝0)＝(1－23×(1－23)＝19，P (ξ＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.5．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie－(x －μi )22σ2i(x ∈R，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 答案：D解析：正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图像一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1E (ξ)的最大值为( )A. 2＋2 2B. 2 2C. 2－ 2D. 2－2 2答案：D解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，∴E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (ξ)＝(0－p )2·(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2，∴2D (ξ)－1E (ξ)＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥ 22，当且仅当2p ＝1p p ＝22时等号成立，因此当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取最大值2－2 2. 二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2011·上海]马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝__________.答案：2解析：设P (ξ＝1)＝x ，则P (ξ＝2)＝1－2x ，P (ξ＝3)＝x ， ∴E (ξ)＝1·x ＋2·(1－2x )＋3·x ＝2.8．[2012·广东江门]已知X ～N (μ，σ2)，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N (100,100)，则本次考试120分以上的学生约有__________．答案：500解析：依题意可知μ＝100，σ＝10， 由于P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95， 所以P (80<X ≤120)＝0.95，因此本次考试120分以上的学生约有 20000×(1－0.95)2＝500.9．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 答案：乙解析：甲、乙的均值分别为Eξ＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， Eη＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以Eξ>Eη， 故乙的技术较好．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 的值，并求E (ξ)，D(ξ)的值.解：(1)0≤P i ≤1 i ＝1,2，...； (2)p 1＋p 2＋ (1)所以有⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－12. 故ξ的分布列应为：所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，D (ξ)＝[－1－(1－2)]2×12＋[0－(1－2)]2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.11. [2011·天津]学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )． 解：(1)设A i ＝“在1次游戏中摸出i 个白球”(i ＝0,1,2,3)，则①P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15，②P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12.又A 2与A 3互斥，∴P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.即获奖的概率为710.(2)X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12·710·(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝C 22(710)2＝49100.所以X 的分布列是∴X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.12. [2011·福建]某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P 22222＝7)＋8P (X 2＝8) ＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．现由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．。
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第2章 第2节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 函数f (x )＝ln (4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A. (－∞，32]B. [32，＋∞) C. (－1，32]D. [32，4)答案：D解析：函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－(x －32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4).2. [2012·安徽省“江南十校”联考]已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，则f (1)的值( )A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负答案：A解析：∵定义在R 上的奇函数有f (0)＝0，f (x )在R 上递增， ∴f (1)>f (0)＝0，故选A.3. [2012·安庆一模]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ， x <0a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,1)B. [13，1) C. (0，13]D. (0，23]答案：B解析：据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 4. [2012·山东济宁一模]定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足f (log18x )>0的x 的取值范围是( )A. (0，＋∞)B. (0，12)∪(2，＋∞)C. (0，18)∪(12，2)D. (0，12)答案：B解析：由f (x )＝f (－x )＝f (|x |)得 f (|log 18x |)>f (13)，于是|log 18x |>13，解得选B.5. [2012·广东省江门市调研]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x ·2x ，则当x >0时，f (x )等于( )A. x ·2－xB. －x ·2xC. －x ·2－xD. x ·log 2x答案：A解析：∵x >0，∴－x <0，∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x )·2－x ＝x ·2－x .6. [2011·湖南]已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A. [2－2，2＋2]B. (2－2，2＋2)C. [1,3]D. (1,3)答案：B解析：根据条件可得e a －1＝－b 2＋4b －3， ∵e a >0，∴－b 2＋4b －2>0， 即b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b <2＋ 2. 故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·浙江省金华十校高考模拟]已知函数f (x )为奇函数，函数f (x ＋1)为偶函数，f (1)＝1，则f (3)＝__________.答案：－1解析：法一：根据条件可得f (3)＝f (2＋1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.法二：使用特殊值法，寻求函数模型，令f (x )＝sin π2x ，则f (x ＋1)＝sin (π2x ＋π2)＝cos π2x ，满足以上条件，所以f (3)＝sin3π2＝－1.8. 若在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________.答案：3解析：对于g (x )＝x ＋1x 在x ＝1时，g (x )的最小值为2，则f (x )在x ＝1时取最小值2， ∴－p2＝1，4q －p 24＝2.∴p ＝－2，q ＝3. ∴f (x )＝x 2－2x ＋3，∴f (x )在该区间上的最大值为3.9. [2012·安徽省淮南市第一次模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，(x ≤0)2ax －1，(x >0)(a 是常数且a >0).对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在[12，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.其中正确命题的序号是__________.答案：①③④解析：如图，①正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；若f (x )>0在[12，＋∞)上恒成立，则2a ×12－1>0，a >1，③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2成立，④正确.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25. (1)求函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0f (12)＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0a 2＋b 1＋14＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，∴f (x )＝x1＋x 2(－1<x <1).(2)设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1＋x 21>0,1＋x 22>0，又∵－1<x 1x 2<1，∴1－x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x )在(－1,1)上是增函数.(3)f (t －1)＋f (t )<0，即f (t －1)<－f (t )＝f (－t )，∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12.∴不等式的解集为{t |0<t <12}.11. [2012·南昌调研]设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(t ∈R ，t >0). (1)求f (x )的最小值s (t )；(2)若s (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)时恒成立，求实数m 的取值范围. 解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(t ∈R ，t >0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取得最小值f (－t )＝－t 3＋t －1. 即s (t )＝－t 3＋t －1.(2)令h (t )＝s (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m . 由h ′(t )＝－3t 2＋3＝0，得t ＝1或t ＝－1(舍去). 则有∴h (t )在(0,2)∴s (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)时恒成立等价于h (t )<0恒成立，即1－m <0，∴m >1. 12. 已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①∀x ，y ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )>0，且f (2)＝1.(1)试判断函数f (x )的奇偶性；(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (3)求函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集.解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1×1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0； 再令x ＝y ＝－1，则f [(－1)·(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，得f (－1)＝0. 对于条件f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－1， 则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，所以f (－x )＝f (x ).又函数f (x )的定义域关于原点对称，所以函数f (x )为偶函数. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则有x 2x 1>1.又∵当x >1时，f (x )>0，∴f (x 2x 1)>0.而f (x 2)＝f (x 1·x 2x 1)＝f (x 1)＋f (x 2x 1)>f (x 1)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(3)∵f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，又f (2)＝1，∴f (4)＝2.又由(1)(2)知函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f (4)＝f (－4)＝2.(4)∵f (3x －2)＋f (x )＝f [x (3x －2)]，4＝2＋2＝f (4)＋f (4)＝f (16)，∴原不等式等价于f [x (3x －2)]≥f (16)，又函数f (x )为偶函数，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x (3x －2)|≥16，即x (3x －2)≥16或x (3x －2)≤－16，解得x ≥83或x ≤－2.∴不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集为{x |x ≤－2或x ≥83}.。
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第4模块 第1节[知能演练]一、选择题1．判断下列各命题的真假：(1)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；(2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； (6)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：(1)真命题；(2)假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合、可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．答案：C2．若四边形ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b ＋12aB ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE →＝BC →＋CE →＝b ＋(－12a )＝b －12a .答案：B3．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，若CD →＝ rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A.23B ．0C.43D ．－3解析：在△ABC 中，CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，故r ＋s ＝0. 答案：B4．平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，点E 在BC 上，且BE →＝2EC →，设AB →＝a ，AD →＝b ，则OE →为( )A.32a ＋76b B.12a ＋16 C.12a －16bD.12a ＋23b 解析：如右图．由向量的运算法则得OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13DA →＝12(a ＋b )－13b ＝12＋16b ，故选B.答案：B 二、填空题5．△ABC 中，BD →＝12→，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →＝________.解析：依题意有BE →＝BD →＋DE →＝BD →＋14→＝BD →＋14(BA →－BD →)＝34BD →＋14BA →＝34×13BC →＋14BA →＝14(b －a )＋14(－a )＝－12a ＋14b .答案：－12a ＋14b6．如下图所示，两块斜边长相等的直角三角板并在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设AB →＝(1,0)，AC →＝(0,1)，则|BC →|＝2，∴|BD →|＝2×sin60°＝62.由题意有AD →＝(x ，y )，∴x ＝1＋62cos45°＝1＋32，y ＝62sin45°＝32.故x ＝1＋32，y＝32. 答案：1＋32，32三、解答题7．在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC CA ＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)当λ＝1时，用a ，b 表示OC →； (2)用a ，b 表示OC →.解：(1)当λ＝1时，OC →＝12(OA →＋OB →)＝12a ＋12b .(2)OC →＝OB →＋BC →，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， 因为BCCAλ，BC ＝λCA ，BA ＝BC ＋CA ， BA ＝(λ＋1)·CA ，BC ＝λ1＋λBA .所以BC →＝λ1＋λBA →， 即OC →＝OB →＋λ1＋λBA →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λa ＋b 1＋λ.8．如下图，点O 是梯形ABCD 对角线的交点，|AD |＝4，|BC |＝6，|AB |＝2. 设与BC →同向的单位向量为a 0，与BA →同向的单位向量为b 0.(1)用a 0和b 0表示AC →，CD →和OA →；(2)若点P 在梯形ABCD 所在的平面上运动，且|CP →|＝2，求|BP →|的最大值和最小值． 解：(1)由题意知BC →＝6a 0，BA →＝2b 0，∴AC →＝BC →－BA →＝6a 0－2b 0； ∵AD →∥BC →，∴AD →＝4a 0，则CD →＝CA →＋AD →＝2b 0－6a 0＋4a 0＝2b 0－2a 0； 过C 点作CM ∥BD ，易知四边形BCMD 是平行四边形．则|AO ||AD |＝|AC ||AM |，即|AO |4＝|6a 0－2b 0|10， 得OA →＝450－125a 0.(2)BP →＝BC →＋CP →，BP →2＝(BC →＋CP →)2＝BC →·BC →＋CP →·CP →＋2BC →·CP →，即|BP →|2＝|BC →|2＋|CP →|2＋2|BC →|·|CP →|·cos 〈BC →，CP →〉＝62＋22＋2·6·2cos 〈BC →，CP →〉＝40＋24cos 〈BC →，CP →〉．∵cos 〈BC →，CP →〉∈[－1,1]，∴当cos 〈BC →，CP →〉＝1时，|BP →|max ＝8. 当cos 〈BC →，CP →〉＝－1时，|BP →|min ＝4.[高考·模拟·预测]1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ， ∴(k －1)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线， ∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D. 答案：D2．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是 ( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠BAC 的平分线垂直于BC . ∴AB ＝AC .而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D. 答案：D3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD的面积为________．解析：由于AB →＝DC →＝(1,1)，则四边形ABCD 是平行四边形且|AB →|＝2，又由1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，得BC 、CD (BA )与BD 三者之间的边长之比为1∶1∶3，那么可知∠DAB ＝120°，所以AB 边上的高为62.所以四边形ABCD 的面积为2×62＝ 3. 答案： 34．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝________.解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝0，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．答案：{(－2，－2)}5． O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12时，则PA →·(PB →＋PC →)的值为________． 解析：由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12AP →＝12(AB →＋AC →)，即P 为△ABC 中BC 边的中点．∴PB →＋PC →＝0.∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·0＝0. 答案：06．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 解：(1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23－1)a ＝(m3t )b ，∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧ 23m －1＝0m3－t ＝0⇒⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2 ＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60° ＝(1＋t 2－t )|a |2.∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.。
高中数学北师大版 4.3 百分位数 课后练习、课时练习
一、单选题1. 甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用表示，方差分别为表示，则（）A．B．C．D．2. 四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据下列四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为2，方差为4 B．平均数为3，众数为2C．平均数为3，中位数为2 D．中位数为3，方差为0.163. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（）A．最高成绩是环B．平均成绩是环C．这组成绩的众数是环D．这组成绩的方差是4. 已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（）A．甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5. 已知样本数据的平均数为4，则该样本的标准差是（）B．C．2 D．A．6. 某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（）A．110分B．115分C．116分D．120分二、多选题7. 根据下列数据：16，20，22，25，24，25，下列说法正确的是（）A．这些数据的平均数为22 B．这些数据的平均数为23C．这些数据的中位数为22 D．这些数据的中位数为238. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B．若甲，乙两组数据的平均数分别为，则C．若甲，乙两组数据的方差分别为，则D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数三、填空题9. 由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则________．10. 若一组数据x1，x2，x3，…，x n的总体方差为3，则另一组数据2x1，2x2，2x3，…，2x n的总体方差为_____．11. 某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是___________.12. 数据、、、、的方差为___________四、解答题13. 甲、乙、丙三家电子厂商在广告中都声称，他们的某型电子产品在正常情况下的待机时间都是12h，质量检测部门对这三家销售产品的待机时间进行了抽样调查，统计结果（单位：h）如下：甲：8，9，9，9，9，11，13，16，17，19；乙：10，10，12，12，12，13，14，16，18，19；丙：8，8，8，10，11，13，17，19，20，20．(1)分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数．(2)这三个厂商的推销广告分别利用了上述哪一种数据来表示待机时间？(3)如果你是顾客，宜选择哪个厂商的产品？为什么？14. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用户编号评分用户编号评分用户编号评分用户编号评分01 78 11 88 21 79 31 9302 73 12 86 22 83 32 7803 81 13 95 23 72 33 7504 92 14 76 24 74 34 8105 95 15 97 25 91 35 8406 85 16 78 26 66 36 7707 79 17 88 27 80 37 8108 84 18 82 28 83 38 7609 63 19 76 29 74 39 8510 86 20 89 30 82 40 89现用随机数法读取用户编号，且从第2行第6列的数开始向右读，从40名用户中抽取容量为10的样本.（下面是随机数表第1行第至第5行）95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 3281 76 80 16 92 04 80 44 25 39 91 03 69 79 8354 31 62 27 32 94 07 53 89 35 96 35 23 79 1805 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”.试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？（参考数据：）15. 某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织的“环保知识竞赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班7人）进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85．（1）求的值；（2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲班还是乙班参赛．注：一组数据的方差公式：，其中平均数为：16. 为调查高一、高二学生心理健康达标情况，某学校采用分层随机抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分：10分）.经初步统计，参加测试的高学生成绩的平均分，方差，高二学生的成绩的统计表如下：成绩 4 5 6 7 8 9频数 3 7 11 9 6 4(1)计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差；(2)估计该学校高一、高二全体学生的平均分和方差.。
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第3章 第4节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·辽宁]设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A. －79B. －19C. 19D. 79答案：A解析：由sin(π4＋θ)＝13，得22sin θ＋22cos θ＝13，即sin θ＋cos θ＝23，两边平方，得1＋sin2θ＝29，所以sin2θ＝－79.2. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋76π)的值是( )A. －25 3B.235C. －45D. 45答案：C解析：cos(α－π6)＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin(α＋π6)＝45 3.∴sin(α＋π6)＝45，而sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.3. [2012·太原部分重点中学联考]已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝( )A. －255B. －3510C. －31010D. 255答案：A解析：由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.4. [2012·江南十校一模]若将函数y ＝A cos(x －π6)·sin(ωx ＋π6)(A >0，ω>0)的图像向左平移π6个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的值可能为( )A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D解析：f (x )＝A cos(x －π6)sin(ωx ＋π6)，则f (x ＋π6)＝A cos x sin(ωx ＋πω6＋π6)，即ω·π6＋π6＝kπ，则ω的值可能为5，故选D.5. [2012·广州六校联考]已知f (x )＝cos(π2－x )＋3sin(π2＋x )(x ∈R )，则函数f (x )的最大值为( )A. 2 3B. 2C. 3D. 1 答案：B解析：∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2(12sin x ＋32cos x )＝2(sin x cos π3＋cos x sin π3)＝2sin(x ＋π3)．∴当sin(x ＋π3)＝1，其中x ＝2kπ＋π6，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，其最大值为2，故选B.6. 若α，β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )A. －32B. －12C. 12D.32 答案：B解析：∵α，β∈(0，π2)，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos(α－β2)＝32和sin(α2－β)＝－12可得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈(0，π2)矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos(α＋β)＝－12，选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·浙江杭州月考]已知sin(x ＋π6)＝33，则sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝__________.答案：2＋33解析：sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝sin[π－(5π6－x )]＋cos 2[π2－(π3－x )]＝sin(x ＋π6)＋cos 2(x ＋π6)＝sin(x ＋π6)＋1－sin 2(x ＋π6)＝33＋1－13＝2＋33.8. [2012·广东惠州模拟]方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >0)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈(－π2，π2)，则A ＋B ＝__________. 答案：－3π4解析：由韦达定理得tan A ＋tan B ＝－3a ，tan A tan B ＝3a ＋1， 则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a1－(3a ＋1)＝1.又A ，B ∈(－π2，π2)，A ＋B ∈(－π，π)，tan A ＋tan B ＝－3a <0，tan A tan B ＝3a ＋1>0，所以tan A <0，tan B <0，A ∈(－π2，0)，B ∈(－π2，0)，A ＋B ∈(－π，0)，所以A ＋B ＝－3π4.9. [2012·镇江模拟]已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________．答案：13解析：∵f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx＝12＋sin(2ωx －π6)， 由题意知f (x )的14个周期为34π，∴14×2π2ω＝34π，∴ω＝13.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，求sin α的值．解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×(－1213) ＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，∵α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130.11. [2011·广东]已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解析：(1)化简f (54π)＝2sin π4＝2，可直接求出．(2)化简f (3α＋π2)＝2sin α＝1013，得sin α＝513，同理f (3β＋2π)＝2sin(β＋π2)＝2cos β＝65，∴cos β＝35.由α、β都为锐角，可求得cos α、sin β值，再用两角和的余弦公式可求得cos(α＋β)．解：(1)f (5π4)＝2sin(5π12－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)f (3α＋π2)＝2sin α＝1013，∴sin α＝513.又α∈[0，π2]，∴cos α＝1213.f (3β＋2π)＝2sin(β＋π2)＝2cos β＝65，∴cos β＝35.又β∈[0，π2]，∴sin β＝45，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1665.12. [2012·深圳调研]已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)sin(ωx ＋π3)(其中ω为正常数，x ∈R )的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若A <B ，且f (A )＝f (B )＝12，求BCAB 的值．解：(1)∵f (x )＝2sin(ωx －π6)sin(ωx ＋π3)＝2sin(ωx －π6)cos[(ωx ＋π3)－π2]＝2sin(ωx －π6)cos(ωx －π6)＝sin(2ωx －π3)，而f (x )的最小正周期为π，ω为正常数， ∴2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π3)，若x 是三角形的内角，则0<x <π. ∴－π3<2x －π3<5π3.令f (x )＝12，得sin(2x －π3)＝12.∴2x －π3＝π6或2x －π3＝5π6.解得x ＝π4或x ＝7π12.∵A ，B 是△ABC 的内角，A <B ，且f (A )＝f (B )＝12，∴A ＝π4，B ＝7π12，∴C ＝π－A －B ＝π6，由正弦定理，得BC AB ＝sin Asin C ＝sinπ4sin π6＝2212＝ 2.。