江苏专用版高考数学专题复习专题10计数原理概率与统计第69练抽样方法练习理

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2019年高考真题理科数学分类汇编专题10 概率与统计和计数原理(解析版)

专题10 概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ，A 正确； ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查．【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）a =0.35，b =0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35． b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．（1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，()2E X ；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333kkkP X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====．由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立，从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=． 10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====．所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 127p =，解释见解析．【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即114()i i i i p p p p +--=-．又因为1010p p p -=≠，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-，所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．专题计数原理1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)rr r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故答案为：5．【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．3．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值．【答案】（1）5n =；（2）32-．【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-．【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．。

(江苏专用)2020版高考数学复习第十章算法、统计与概率10.2抽样方法教案

§10.2 抽样方法考情考向分析在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以填空题为主，属于中低档题．1．简单随机抽样(1)定义：一般地，从个体数为N 的总体中逐个不放回地取出n 个个体作为样本(n <N )，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． (1)采用随机的方式将总体中的N 个个体编号；(2)将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时取k ＝N ′n，并将剩下的总体重新编号； (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出． 3．分层抽样(1)定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”． (2)分层抽样的应用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．概念方法微思考三种抽样方法有什么共同点和联系？提示 (1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( √)(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( ×)(3)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．( √)(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( ×)(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( ×)题组二教材改编2．[P52习题T1]某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．答案分层抽样法解析从全体学生中抽取100名宜用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．3．[P52习题T4]某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_____名学生．答案15解析从高二年级中抽取的学生数与抽取学生总数的比为310，所以应从高二年级抽取学生人数为50×310＝15.4．[P52习题T2]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是________．答案16解析从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16.题组三易错自纠5．在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则________．答案p1＝p2＝p3解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等．6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．答案 1800解析分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件．题型一简单随机抽样1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是________．(填序号) ①这次抽样中可能采用的是简单随机抽样； ②这次抽样一定没有采用系统抽样；③这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率； ④这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率．答案 ①解析利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，①正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，②错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，③和④均错误．2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.答案 01解析由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.3．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为________．答案514解析由题意知9n －1＝13，得n ＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝514. 思维升华应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．题型二系统抽样例1(1)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．答案 4解析由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．答案 12解析由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12. 引申探究1．若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．(填“能”或“不能”) 答案不能解析若55被抽到，则55＝5＋20n ，n ＝2.5，n 不是整数．故不能被抽到．2．若本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________．答案 28解析因为在编号[481,720]中共有720－480＝240(人)，又在[481,720]中抽取8人，所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为84030＝28.思维升华(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．跟踪训练1将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为________．答案 25,17,8解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.题型三分层抽样命题点1 求总体或样本容量例2(1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝________. 答案 13解析 ∵360＝n120＋80＋60，∴n ＝13.(2)(2018·江苏省南京金陵中学模拟)某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么n 的值为________．答案 120解析因为共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，所以女学生占的比例为10002400＝512，女学生中抽取的人数为50人，所以n ×512＝50，所以n ＝120.命题点2 求某层入样的个体数例3(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为________.答案 180解析由题意，得抽样比为3201600＝15， ∴该样本中的老年教师的人数为900×15＝180.(2)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣________人．答案 108解析由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×81008100＋7488＋6912＝300×810022500＝108.思维升华分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．跟踪训练2 (1)某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人，高二1 200人，高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝________. 答案 1040解析分层抽样是按比例抽样的，所以81×12001000＋1200＋n＝30，解得n ＝1040.(2)(2018·如东模拟)下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如下表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．答案 30解析参与调查的总人数为150，由8∶n ＝40∶150，得n ＝30.1．(2018·盐城调研)某单位有老年人20人，中年人120人，青年人100人，现用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n 的样本，已知从青年人中抽取的人数为10，则n ＝________. 答案 24解析由分层抽样可得10n＝10020＋120＋100＝1024，故n ＝24.2．打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是________．答案系统抽样解析符合系统抽样的特点．3．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是________．答案110，110解析在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110.4．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为________．答案 695解析由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，分段间隔数k ＝N n ＝100050＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋(35－1)×20＝695.5．某工厂的一、二、三车间在某月份共生产了3600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则二车间生产的产品数为________．答案 1200解析因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的13，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的13，所以二车间生产的产品数为3600×13＝1200.6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为________．答案 10解析由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 7．某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4300人中抽取一个样本，这4300人中青年人1600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为________．答案 180解析设老年人有x 人，从中抽取y 人，则1 600＋3x ＝4 300，得x ＝900，即老年人有900人，则9001600＝y320，得y ＝180.8．某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k ＝20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是_____．答案 157解析根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋(8－1)×20＝157.9．(2017·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．答案 18解析 ∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350，∴应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．10．某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________．答案 36解析根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.11.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．答案 37 20解析将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x 人，则40200＝x100，解得x ＝20.12．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________．答案 76解析由题意知，m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.13．某市教育主管部门为了全面了解2018届高三学生的学习情况，决定对该市参加2018年高三第一次全省统一考试(后称统考)的32所学校进行抽样调查．将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是________．答案 3解析根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为328＝4，若抽到的最大编号为31，则最小编号是3.14．某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.答案 16解析由题意，知二年级女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×28＝16.15．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多13人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人中有6人对户外运动持“喜欢”态度，有2人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有________人．答案 78解析设持“喜欢”、“不喜欢”、“一般”态度的人数分别为6x,2x,3x ，由题意可得3x －2x ＝13，x ＝13，∴持“喜欢”态度的有6x ＝78(人)．16．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，求n . 解总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ；分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n 2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n －1)时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为34n －1，因为34n －1必须是整数，所以n 只能取18，即样本容量n ＝18.。

抽样方法练习题

抽样方法练习题一、选择题1. 在统计学中，抽样是指从总体中选择一部分样本进行调查和研究。

下列哪个选项描述了抽样的特点？A. 抽样可以完全代替全面调查。

B. 抽样是一种精确的方法，能够保证结果的准确性。

C. 抽样是一种经济高效的方法，可以节省时间和资源。

D. 抽样只适用于小样本的研究，不适用于大规模的调查。

2. 下列哪种抽样方法可以保证每个样本有相等的概率被选中？A. 简单随机抽样。

B. 系统抽样。

C. 分层抽样。

D. 方便抽样。

3. 小明想调查一所高中的学生对食堂饭菜质量的满意度。

他通过从班级名单上随机选择了10个班级，并在每个班级中随机选择了5名学生进行调查。

此调查属于以下哪种抽样方法？A. 简单随机抽样。

B. 分层抽样。

C. 系统抽样。

D. 整群抽样。

二、解答题1. 描述以下抽样方法的特点和适用场景：简单随机抽样、分层抽样、整群抽样和方便抽样。

简单随机抽样是指从总体中随机选择样本，确保每个样本被选中的概率相等。

其特点是简单、公正，适用于总体较小，样本容量较大的情况，可以较好地减小抽样误差。

分层抽样是根据总体的不同层次进行分层，然后从各层中进行简单随机抽样。

其特点是能够保证各层的代表性，适用于总体中有明显层次差异的情况，可以减小总体误差。

整群抽样是将总体按照一定的规则划分为若干个群，然后从群中随机选择一个或多个群进行抽样调查。

其特点是简便、高效，适用于总体中群体差异明显的情况，可以减小部分误差。

方便抽样是指从总体中选择容易接触到的个体作为样本。

其特点是简单、快捷，但对样本的代表性无法保证，适用于无法进行其他方法的情况，如紧急情况或资源有限的情况。

2. 在实际调查中，我们常常需要根据样本数据进行总体的估计。

以下哪种估计方法是基于抽样理论的？A. 点估计。

B. 区间估计。

C. 回归估计。

D. 统计估计。

3. 在一次产品质量抽样检验中，选取了100个产品进行检验，发现其中有5个不合格品。

根据这次抽样调查的结果，估计该产品总体中不合格品的比例。

高考总复习优化设计二轮用书数学考点突破练10 概率与统计的综合问题

的分布列和数学期望;
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,求中奖
次数Y的分布列和数学期望.
1 2 3 4 5 6
解 (1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,则每次中奖的概
C25 +C25
率为
C210
4
X~B(2,9),X
则
=
4
.因为两次抽奖相互独立,所以中奖次数
4
4 1
1
所以 P(X=5)=5,P(X=7)=5 × 5 = 25,
4 3
16
1
4 2
P(X=9)= 5 × 5 = 125,P(X=12)= 5
=
64
,
125
所以 X 的分布列为
X
P
所以
5
1
5
7
4
25
64
16
4
1
E(X)=5×5+7×25+9×125+12×125
1 2 3 4 5 6
9
=
16
125
评是C等级的概率.
1 2 3 4 5 6
解 (1)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,
1 4
4
4
3 4 4
1
1
4
14
1
P(ξ=0)= × × = ,P(ξ=1)= × × + × C2 × × = ,
4 5
5
25
4 5 5
4
5
5
25
3
1
4
1
1 1
1
3 1
1
3
1
P(ξ=2)=4 × C2 × 5 × 5 + 4 × 5 × 5 = 4,P(ξ=3)=4 × 5 × 5 = 100,

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题10 计数原理、概率与统计第76练含解析

1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的概率分布，均值和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，V(η)＝11，试求a，b的值．2．(2016·威海模拟)三人参加某娱乐闯关节目，假设甲闯关成功的概率是35，乙、丙两人同时闯关成功的概率是310，甲、丙两人同时闯关失败的概率是625，且三人各自能否闯关成功相互独立．(1)求乙、丙两人各自闯关成功的概率；(2)设ξ表示三人中最终闯关成功的人数，求ξ的概率分布和均值．3．甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布和均值．4．(2016·徐州模拟)某市公安局为加强安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.(1)求A(2)求ξ的概率分布，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．答案精析1．解 (1)ξ的概率分布为∴E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32，V (ξ)＝(0－32)2×12＋(1－32)2×120＋(2－32)2×110＋(3－32)2×320＋(4－32)2×15＝114.(2)由题意可知V (η)＝a 2V (ξ)＝a 2×114＝11，∴a ＝±2. 又E (η)＝aE (ξ)＋b ，∴当a ＝2时，1＝2×32＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，1＝－2×32＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4.2．解 (1)记甲、乙、丙各自闯关成功的事件分别为A 1、A 2、A 3，由已知A 1、A 2、A 3相互独立，且满足⎩⎪⎨⎪⎧P (A 1)＝35，[1－P (A 1)][1－P (A 3)]＝625，P (A 2)P (A 3)＝310，解得P (A 2)＝34，P (A 3)＝25.所以乙、丙各自闯关成功的概率分别为34、25. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝25×14×35＝6100＝350，P (ξ＝1)＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25 ＋25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝31100，P(ξ＝2)＝35×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＋35×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋25×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝45100＝920，P(ξ＝3)＝35×34×25＝18100＝950.所以随机变量ξ的概率分布为所以随机变量ξ的均值E(ξ)＝0×350＋1×31100＋2×920＋3×950＝175100＝74.3．解(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.则P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝1 4.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”，则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝1 8，P(X＝2)＝P(B1·B3)＝14，则P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－18－14＝58.∴X的概率分布为∴E(X)＝0×18＋1×58＋2×14＝98.4．解(1)记“A队最后所得总分为1”为事件A0，∴P(A0)＝23×35×47＋13×25×47＋13×35×37＝41105.(2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0，P(ξ＝3)＝23×25×37＝12105＝435，P(ξ＝2)＝23×25×47＋13×25×37＋23×35×37＝40105＝821，P(ξ＝1)＝41 105，P(ξ＝0)＝13×35×47＝12105＝435，∴ξ的概率分布为E(ξ)＝0×435＋1×41105＋2×821＋3×435＝157105.∵ξ＋η＝3，∴E(η)＝－E(ξ)＋3＝158 105.由于E(η)＞E(ξ)，故B队的实力较强．。

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题10 计数原理、概率与统计第71练含解析

2．(2016·山西四校联考)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个，则取出的两个数之和为偶数的概率是________．3．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么甲是乙的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事件中，是对立事件的是________．5．(2016·无锡模拟)一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．6．(2016·泰州一模)甲乙两人下棋，若甲获胜的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为________．7．(2016·苏、锡、常、镇一模)在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：从该班学生中随机抽取一名学生，则该学生在这次考试中成绩不少于120分的概率为________．8．(2017·沈阳四校联考)任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是________．9．(2016·连云港模拟)在数字1,2,3,4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________．10．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．11．在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示．从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为________．12．(2016·南通三模)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为________．13．将一枚骰子(一种六个面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m，n，则点P(m，n)落在区域|x－2|＋|y－2|≤2内的概率是________．14．(2016·镇江模拟)设m，n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a＝(m，n)，b＝(1，－1)，则向量a，b的夹角为锐角的概率是________．答案精析1．0.45 2.13 3.必要不充分 4.③5.8151415解析(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－115＝1415.6.4 5解析“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜”，P(乙不输棋)＝1－P(甲获胜)＝4 5.7．0.3解析成绩不少于120分的学生有12人，所以抽取的这名学生在这次考试中的成绩不少于120分的概率为1240＝0.38.1 300解析三位正整数共有900个，使log2N为正整数，N为29,28,27共三个，概率为3 900＝1 300.9.1 2解析从1,2,3,4中任取两数可能为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个可能的基本事件，其中和大于积的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，故概率为1 2.10.2 5解析如图为正六边形ABCDEF，从6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF、BCDE、ABCF、CDEF、ABCD、ADEF，共6种选法，故构成的四边形是梯形的概率为P＝615＝25.11.310解析从得分超过10分的队员中任取2名，一共有以下10种不同的取法：(12,14)，(12,15)，(12,20)，(12,22)，(14,15)，(14,20)，(14,22)，(15,20)，(15,22)，(20,22)，其中这2名队员的得分之和超过35分的取法有以下3种：(14,22)，(15,22)，(20,22)，故所求概率 P ＝310. 12.49解析能使log 2x 为整数的x 有1,2,4,8，所以P ＝49. 13.1136解析由题意可得所有可能的基本事件共36个．当m ＝1时，1≤n ≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m ＝2时，1≤n ≤4，故符合条件的基本事件有4个；当m ＝3时，1≤n ≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m ＝4时，n ＝2，故符合条件的基本事件有1个．故共有11个符合条件的基本事件，即所求概率为1136. 14.512解析向量a ，b 的夹角为锐角，所以a ·b ＞0，所以m －n ＞0，即m ＞n . 所以P ＝5＋4＋3＋2＋16×6＝1536＝512.。

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题10 计数原理、概率与统计第68练含解析

1．(2016·丹东一模)(x 2－1x )6的展开式中的常数项为________．2．(2016·扬州模拟)若C 1n ＋3C 2n ＋32C 3n ＋…＋3n －2C n －1n ＋3n －1＝85，则n 的值为________．3．(2016·贵阳一模)设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则a 8＋a 7＋…＋a 1＝________.4．(2016·苏州质检)(x 2－2)(1＋2x )5的展开式中x －1的系数为________．5．(2016·苏北联考)设二项式(x －12)n (n ∈N *)的展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ，b n ，则a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n＝________. 6．(2016·广州五校联考)若(ax 2＋b x )6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b＝________.7．(2016·北京东城区期末)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．8．设x 6＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 6(1＋x )6，则a 1＋a 2＋…＋a 6＝________.9．(2016·镇江模拟)已知(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x )n (1＋x )的展开式中含x 2项的系数为________．10．(2016·枣庄二模)若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy ＜0，则x 的取值范围是______________．11．(2016·银川质检)若(2x＋1)11＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a11(x＋1)11，则a0＋a12＋a23＋…＋a1112＝________.12．(2016·海门中学月考)若等比数列{a n}的第5项是(x－13x)6展开式的常数项，则a3a7＝________.13．(2016·盐城模拟)若(x6＋1x x)n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为________．14．(2016·盐城三模)设F(n)＝a1－a2C1n＋a3C2n－a4C3n＋…＋(－1)n a n＋1C n n(n≥2，n∈N*)．若数列{a n}的各项均为1，则F(n)＝________.答案精析1．15 2.4 3.255 4.605．2n ＋1解析依题意，a n ＝2n ，b n ＝(12)n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2， b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n ＝2n －12n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝2(2n －1)2n －1·2n ＝2n ＋1.6．0解析 (ax 2＋b x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6a6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，∴(ax 2＋b x )6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝log 21＝0.7．6解析由二项式定理可知a n ＝C 11－n 10(n ＝1,2,3，…，11)，由C 510为C 11－n 10中的最大值知，a n 的最大值为a 6，即k 的最大值为6.8．－1解析令x ＝－1，可得a 0＝1，再令x ＝0可得1＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a 6＝－1.9．70解析由于展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，所以2n －1＝64，n ＝7，则(1－2x )7·(1＋x )的展开式中含x 2项的系数为C 27(－2)2＋C 17(－2)×1＝70.10．(1，＋∞)解析二项式(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r ，依题意，有⎩⎨⎧ C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy ＜0，由此得⎩⎨⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )＜0，解得x ＞1，即x 的取值范围为(1，＋∞)．11．0解析令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，从而(2t －1)11＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 11t 11，即(2t －1)1224]′＝(a 0t ＋a 12t 2＋a 23t 3＋…＋a 1112t 12＋c )′，即(2t －1)1224＝a 0t ＋a 12t 2＋a 23t 3＋…＋a 1112t 12＋c ，令t ＝0，得c ＝124，令t ＝1，得a 0＋a 12＋a 23＋…＋a 1112＝0. 12.259解析 (x －13x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(x )6－r ·(－13x )r ＝(－13)r C r 6·x 6－3r 2，其常数项(－13)2·C 26＝159＝53，即a 5＝53，所以a 3a 7＝a 25＝259. 13．5解析 T r ＋1＝C r n (x 6)n －r (1x x)r ＝C r n x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r ＝0，即n ＝54r ，又n ∈N *，故n 的最小值为5.14．0解析因为数列{a n }的各项均为1，所以F (n )＝C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ，而(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋C 3n x 3＋…＋C n n x n ，令x ＝－1，得0＝C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ，即F (n )＝0.。

苏教版高考总复习数学精品课件主题四概率与统计第十章第一节抽样方法、统计图表、用样本估计总体

题型二统计图表
角度1 频率分布直方图
典例3 （多选题）为征求个人所得税法修改建议, 某机构调查了10 000名当地职工的月收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图,如图. 下列说法正确的是( ACD )
（2）若上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,则该校600名新生中估计有__7_2_名学生可以申请住宿.
A.163.0
C B.164.0
C.163.5
D.164.5
规律方法计算百分位数时,一是注意是第多少百分位数；二是注意是否按从小到大的顺序排序；三是注意是否有相同的数据.
题型四总体特征数估计
角度1 总体集中趋势的估计
典例6 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生, 其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. （1）求这次测试数学成绩的众数；
②从100部手机中一次抽取5部进行检测；
③某班有45名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球比赛；
④一彩民买彩票选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地依次抽
取6个号签.
A.1
B.2
C.3
D.4
[解析] ①总体个数无限,不是简单随机抽样；②不是逐个抽取,不是简单随机抽样；③ 指定了5名同学参赛,不满足每个个体被抽到的可能性相同,不是简单随机抽样；④满足简单随机抽样的定义.故选A.
（2）求这次测试数学成绩的中位数；（3）求这次测试数学成绩的平均数.
B
角度2 总体离散程度的估计
典例7（1）已知某6个数据的平均数为4,方差为8,现加入2和6两个新数据,此时8个数
据的方差为( B )
A.8
B.7
C.6

新编高考数学(江苏专用理科)专题复习专题10 计数原理、概率与统计第72练 Word版含解析

中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是________． 2．(20xx·徐州质检)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间1,2]上有零点的概率为________．3．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM ＜1的概率为________．4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作A 1A 2的垂线交椭圆的于点P ，则使得PF 1→·PF 2→＜0的点M 的概率为________． 5．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(3,6)，则向量p 与q 共线的概率为________． 6．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为________．7．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线x a ＋yb ＝1的斜率k ≥－12的概率为________．8．(20xx·昆明一模)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机排并摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是_______．9．(20xx·徐州模拟)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．10．(20xx·扬州二模)设a，b均随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的频率是________．11．(20xx·苏北四市质检)在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是________．12．(20xx·徐州、连云港、宿迁三检)甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏，甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是________．13．已知平面区域D1＝{(x，y)||x|＜2，|y|＜2}，D2＝{(x，y)|kx－y＋2＜0}．在区域D1内随机选取一点M，若点M恰好取自区域D2的概率为p，且0＜p≤18，则k的取值范围是______________．14．(20xx·辽宁锦州中学期中)△ABC的三边长度分别是2,3，x，由所有满足该条件的x构成集合M，现从集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是钝角三角形的概率为________．答案精析1.142.11163.254.63解析设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＜0⇒(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＜0⇒x 2－3＋y 2＜0⇒x 2－3＋1－x 24＜0⇒|x |＜263，故所求的概率为4634＝63. 5.112解析由题意可得基本事件(m ，n )(m ，n ＝1,2，…，6)的个数为6×6＝36. 若p ∥q ，则6m －3n ＝0，得n ＝2m .满足此条件的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个基本事件．因此向量p 与q 共线的概率为P ＝336＝112. 6.710解析用a i 表示男性，其中i ＝1,2,3，b j 表示女性，其中j ＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A ，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B ，“选出的2名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3个基本事件，事件B 包含(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6个基本事件，事件C 包含(b 1，b 2)，共1个基本事件．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B 和C ，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.7.14解析记a ，b 的取值为数对(a ，b )，由题意知(a ，b )的所有可能的取值有36种．由直线x a ＋y b ＝1的斜率k ＝－b a ≥－12，知b a ≤12，那么满足题意的(a ，b )可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共9种，所以所求概率为936＝14. 8.25解析语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22A 23＝48(种)摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24(种)摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A 55＝120(种)摆放方法．故所求概率为1－48＋24 120＝25.9.1 6解析十个数中任取七个不同的数共有C710种情况，七个数的中位数为6，那么6只能处在中间位置，有C36种情况，于是所求概率P＝C36C710＝16.10.5 9解析由题意知，直线与圆有公共点时a，b应满足|3|a2＋b2≤1，即a2＋b2≥9，所以a，b中有一个要取3，取法有5种(可得5条不同直线)，而a，b均随机取自集合{1,2,3}，共有9种不同的取法(可得9条不同直线)，故所求概率为5 9.11.1 3解析如图，点D在△ABC的边AB上，且满足AD＝2DB，那么当且仅当点P在线段DB(不包括端点)上时，S1＞2S2，所以所求的概率为1 3.12.1 4解析如图所示，甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”，一共有8个不同的结果，在一次游戏中甲胜出一共有2个不同的结果，所以在一次游戏中甲胜出的概率P＝28＝14.13.－1,0)∪(0,1]解析如图所示，平面区域D1是由边长等于4的正方形内部的点构成的，其面积为16，直线kx－y＋2＝0恒过定点P(0,2)．由于原点必在区域D2外，且图中每个阴影三角形的面积与大正方形的面积之比均为18，故当k ＞0时，k ∈(0,1]；当k ＜0时，k ∈－1,0)．从而k 的取值范围为－1,0)∪(0,1]．14.4－13＋54解析由题意，△ABC 的三边长度分别是2,3，x ，⎩⎨⎧2＋3＞x ，2＋x ＞3，∴1＜x ＜5，区间长度为4.若△ABC 恰好是钝角三角形，则⎩⎨⎧ 4＋x 2－9＜0，2＋x ＞3或⎩⎨⎧2＋3＞x ，4＋9－x 2＜0，∴x 的取值范围是(1，5)∪(13，5)，区间长度为4－13＋5，∴从集合M 中任取一个x 值，所得△ABC 恰好是钝角三角形的概率为4－13＋54。

高考数学复习资料88专题10 计数原理、概率与统计含答案

1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3,4,5)，则P (2<X ≤4)＝________.2．若随机变量X 的概率分布如下表所示，则表中a 的值为________.3．(2015·泰州二模改编)5名幸运之星，这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种．规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品，设X ，Y 分别为获得A ，B 两种奖品的人数，记ξ＝|X －Y |，则随机变量ξ的均值是________． 4．已知随机抛掷一枚质地均匀的骰子，其中该骰子有3个面上的标号为0,1个面上的标号为1,2个面上的标号为2，用ξ表示随机抛掷一次骰子后所得的标号．若η＝mξ－2，E (η)＝3，则m ＝________.5．下列表达式中是离散型随机变量X 的分布列的是________． ①P (X ＝i)＝0.1，i ＝0,1,2,3,4； ②P (X ＝i)＝i 2＋550，i ＝1,2,3,4,5；③P (X ＝i)＝i10，i ＝1,2,3,4,5；④P (X ＝i)＝0.2，i ＝1,2,3,4,5.6．某次国际象棋比赛规定，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平的概率为b ，负的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知该队员比赛一局得分的均值为1，则ab 的最大值为________．7．(2015·乌鲁木齐二诊)一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了，设放对的个数为ξ，则ξ的均值为________．8．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)＝________.9．在某公司举办的某次春游活动中，员工之间举行了一次猜谜游戏，已知共有A ，B 两类谜语供员工竞猜，其中A 类谜语共8个，猜对1个可得2元奖金，B 类谜语共2个，猜对1个可得5元奖金，猜不对均无奖金．游戏规定：每次竞猜时，先从这10个谜语中随机选出3个，再进行猜谜，所得奖金为3次猜谜的奖金之和．已知某员工能够完全猜对A 类谜语，而猜对B 类谜语的概率为12，则该员工竞猜一次获得的奖金数额的均值是________．10．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 为常数，则P (12<X <52)＝________.11．设离散型随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k ·(13)n －k，k ＝0，1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则V (ξ)的值为________．12．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)，则选出的3名同学中女同学的人数X 的概率分布为________．13．若一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件然后放回，则直至取到正品时所需次数X的分布列为P (X ＝k )＝________________________________________________________________________. 14．离散型随机变量X 的概率分布如下表，且E (X )＝2，则V (2X －3)＝________.答案解析1.715解析由分布列的性质得，12a ＋22a ＋32a ＋42a ＋52a＝1，解得a ＝7.5， ∴P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝315＋415＝715.2.16解析 ∵12＋16＋16＋a ＝1，∴a ＝16.3.18581解析这5名幸运之星中，每人获得A 奖品的概率为26＝13，获得B 奖品的概率为46＝23，ξ的可能取值为1,3,5，且P (ξ＝1)＝C 35(13)3(23)2＋C 25(13)2(23)3＝4081. P (ξ＝3)＝C 45(13)4×23＋C 15(13)(23)4＝1027， P (ξ＝5)＝C 05(13)0(23)5＋C 55(13)5(23)0＝1181，故随机变量ξ的均值E (ξ)＝1×4081＋3×1027＋5×1181＝18581.4．6解析由E (η)＝mE (ξ)－2＝3，可得mE (ξ)＝5，由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2，且P (ξ＝0)＝36＝12，P (ξ＝1)＝16，P (ξ＝2)＝26＝13，所以E (ξ)＝16＋23＝56，所以56×m ＝5，即m ＝6.5．④ 6.18解析由题意可知，2×a ＋1×b ＋0×c ＝1，即2a ＋b ＝1，所以ab ＝12(2a )·b ≤12·(2a ＋b 2)2＝18，当且仅当2a ＝b ＝12，即a ＝14，b ＝12时取等号．7．1解析将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38，P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1.8.316解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝123＋124＝316. 9.6310解析设该员工竞猜一次获得的奖金数额为ξ，由题意可知，当选出的3个谜语均为A 类谜语时，ξ＝6；当选出的3个谜语中有2个A 类谜语，1个B 类谜语时，ξ＝4或9；当选出的3个谜语中有1个A 类谜语，2个B 类谜语时， ξ＝2或7或12.所以P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715，P (ξ＝4)＝C 28C 12C 310×(1－12)＝730，P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310×12＝730，P (ξ＝2)＝C 18C 22C 310×(1－12)2＝160，P (ξ＝7)＝C 18C 22C 310×C 12×12×(1－12)＝130， P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310×(12)2＝160，故均值E (ξ)＝6×715＋4×730＋9×730＋2×160＋7×130＋12×160＝6310.10.56解析由题意可知，P (X ＝n )＝a n (n ＋1)＝a (1n －1n ＋1)，又因为∑i ＝1nP i ＝1，所以P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝1，即a (1－15)＝1，解得a ＝54，所以P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×(1－12)＋54×(12－13)＝56. 11．8解析由题意可知，ξ～B (n ，23)，∴23n ＝E (ξ)＝24.∴n ＝36. 又V (ξ)＝n ×23×(1－23)＝29×36＝8.12.解析随机变量X P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3)，所以随机变量X 的概率分布是13.(310)k －1710，k ＝1,2,3，…解析由于每次取出的产品仍放回，每次取时完全相同，所以，X 的可能取值是1,2，…，k ，…，相应的取值概率： P (X ＝1)＝710，P (X ＝2)＝310×710＝21100，P (X ＝3)＝310×310×710＝631 000，…P (X ＝k )＝(310)k －1710，… 14．4解析 p ＝1－16－13＝12，∴E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2，解得a ＝3，∴V (X )＝16×(0－2)2＋12×(2－2)2＋13×(3－2)2＝1，∴V (2X －3)＝22V (X )＝4.。

江苏专用2020版高考数学专题复习专题10计数原理概率与统计第70练用样本估计总体练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题10计数原理、概率与统计第70练用样本估计总体练习理1,2,3,…，n）,其中30,则下列结论正确的是 _______________ .①平均数与方差均不变；②平均数变，方差保持不变；③平均数不变，方差变：④平均数与方差均发生变化.2.（2016 •苏州期末）若一组样本数据9,8,為10,11的平均数为10,则该组样本数据的方差为_______ •3.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50）, [50,60）, [60, 70）, [70,80）, [80, 90）, [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为4.（2016 •全国丙卷改编）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最髙气温和平均最低气温的雷达图.图中月点表示十月的平均最髙气温约为15 °C,万点表示四月的平均最低气温约为5 °C.下而叙述不正确的是________________ .①各月的平均最低气温都在0 'C以上：②七月的平均温差比一月的平均温差大；③三月和十一月的平均最高气温基本相同：④平均最髙气温髙于20 °C的月份有5个.5.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了苴中60株树木的底部周长（单位：cm）,所得数拯均在区间[80,130]上，苴频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.6.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13）, [13,14）, [14,15）, [15, 16）, [16, 17],将其按从左到右顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为•7.（2016 •苏北四市调研）交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50 km/h与90 km/h之间的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示, 则速度在70 km/h以下的汽车有_____________ 辆.8.（2016 •扬州期末）某学校从髙三年级800各男生中随机抽取50餌测量身高.被测学生身髙全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155,160）, 第二组［160,165）,…，第八组［190,195］.按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上（含180 cm）的人数为9.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名教师中抽取20爼教师，调査了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下图.拯此估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在［15,30］内的人数为•10.（2016 •揭阳一模）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_________________ .11.某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2. 5万元，则11时至12时的销售额为__________ 万元.12.（2016 •丽水一模）为了了解某校髙三学生的视力情况，随机抽査了该校100名髙三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62,设视力在4. 6到4. 8之间的学生人数为a,最大频率为0.32,则a的值为13.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的也+n= _________ ■14.抽样统计甲、乙两个城市连续5天的空气质量指数（AQI）,数据如下:答案精析1•② 2.2 3.480 4•④ 5.246. 12解析依据频率分布直方图及频率公式求解.= 50,所以第三组人数为50X0. 36 = 18,有疗效的人数为18-6 = 12.7. 75解析由频率分布直方图得，速度在70 km/h 以下的汽车的频率为（0. 02+0. 03） X 10 = 0. 5, 故速度在70 km/h 以下的汽车有150X0. 5=75（辆）・8. 144解析由题图得,身高在180 cm 以上(含180 cm)的频率为1-5X (0. 008+0. 016+0. 04X2+0. 06) =0. 18,则相应人数为 800X0. 18 = 144.9. 100解析在茎叶图中，多媒体教学次数在［15, 30］内的人数为10,从而总体个数为200X^= 100.10. 10解析不妨设样本数据儿，北，及，卫，及，且则由样本方差为4,知（岛 — 7）：+ （卫_7）'+ （及一7）=+（xi —7）：+ （益一7）"=20.若5个整数的平方和为20,则这5个整数的平方只能在0, 1, 4, 9, 16中选取（每个数最多出现2次），当这5个整数的平方中最大的数为16时，分析可知,总不满足和为20：当这5个整数的平方中最大的数为9时,0,1, 1,9, 9 这组数满足要求，此时对应的样本数据为x i =4,疋=6,及=7, x=8, A -S = 10：当这5个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足要求，因此不存在满足条件的另一组数据.11. 10解析依题意，注意到9时至10时与11时至12时相应的频率之比为0. 10： 0. 40 = 1 : 4, 因此11时至12时的销售额为2.5X4 = 10（万元）.12. 54志愿者的总人数为 20解析前三组人数为100—62 = 38,第三组人数为38 —（1.1+0. 5）X0. 1X100=22，则22+0. 32X100=54・13.920+22解析根据茎叶图，可得甲组数据的中位数为纟于==21，根据甲、乙两组数据的中位数相等，得乙组数据的中位数为21=20 + ”，解得”=1.又甲组数据的平均数为10+卄20+22+28 80+山4 = 4 f乙组数据的平均数为19+? + 26=22,所以斗卫=22,解得加=8,所以zzr4~c=9・14.乙解析因为m=v/. = 116,所以s2甲=£[(109 —116^+(111 —116)：+(132 —116)'+(118 —116)’+(110—116)：]= 74,s2 乙=£[(110 —116广+(111 —116)=+(115 —116)'+(132 —116)=+(112 —116)’]=66. 8・所以s2乙＜s2甲.。

江苏专用2020版高考数学专题复习专题10计数原理概率与统计第67练计数原理排列组合练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题10计数原理、概率与统计第67练计数原理、排列、组合练习理1. （2016 •无锡五校模拟）5人站成一排，则甲不站在排头的排法有_________ 种.2. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为___________ •3. （2016 •南京模拟）数字1,2, 3, 4, 5, 6按如图形式随机排列,设第一行的数为皿，其中必, 民分别表示第二，三行中的最大数，则满足AIV用的所有排列的个数是______________ .4. （2016 •汉口一模）某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有__________ 种.5. （2016 •西安二模）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有_________ 种.6. （2016 •徳阳诊断）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一廿，则不同的安排方法共有 _________ 种.7. （2016 •泉州质检）已知a,狂｛一1, 0,1,2｝,则关于x的方程d+2x+b=0有实数解的有序数对（a, b）的个数为_______ .8. （2016 •常州模拟）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位垃，则不同的站法种数是__________ .（用数字作答）9. （2016 •衡水二模）已知数列｛&｝共有5项，a：=0,金=2,且打“一厶=1, 7=1,2, 3,4,则满足条件的数列的个数为____________ •10. 某亲子节目的热播引发了一阵热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，英中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是 ________ .11. 已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A, B, C, D, E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有__________ 种.12. 从甲、乙等6划运动员中选出4名参加4X100米接力赛.如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方法共有________ 种.13. 现有12种商品摆放在货架上，摆成上层4件、下层8件的形式，现要从下层的8件中取2件调整到上层，若貝他商品的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数是__________ •14. 公安部新修订的《机动车登记规左》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排.某人欲选由£、B、C、D、f中的两个不同字母，和1、2、3、4、5 中的三个不同数字（三个数字都相邻）组成一个号牌，则此人选择号牌的不同的方法种数为答案精析1. 962.243.2404.245. 10解析1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同的放球方法有C：C：+g=10（种）.6. 30解析由于每科一节课，每节课至少有一科，必有两科在同一节课，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共C：A；种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节课的情形，共£种方法，故不同的安排方法种数为C況一£=36-6=30.7. 13解析因为a, EG { — 1, 0,1, 2},可分为两类：①当a=0时，b可能为一1或1或0或2, 即Z,有4种不同的选法：②当aHO时，依题意得4=4一4必鼻0,所以ab^l.当a=-l时，&有4种不同的选法，当时，b可能为一1或0或1,即b有3种不同的选法，当尸2时，b可能为一1或0, 即&有2种不同的选法.根据分类计数原理，有序数对（a, 3的个数为4 + 4 + 3 + 2=13.8. 336解析甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，共有75 = 343（种）站法，当三个人同时站到同一个台阶的站法有7科故若每级台阶最多站2人，有343-7=336（种）站法.9. 4解析方法一因为冷宀一6 =1,所以”’一去=1或尸一1,即数列&}从前往后，相邻两项之间增加1或减少1，因为业=0,念=2,所以从/到比有3次增加1,有1次减少1,故数列G,}的个数为G=4.方法二设bi=a^i—ai, /=1,2, 3, 4,因为a»—a； =1,所以亦=1,即®=1 或—1. a s = <25 —ai+ai —as+aj—a^ + a：：—a： + ai = £>i + 2>5 + b+Z>i=2,故b2{i—l, 2, 3, 4）中有 3 个1, 1 个一1，故满足条件的数列的个数为C；=4.10. 1 080c：c二解析先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有晋种不同的分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有-^XA： = 1 080（^）不同的分配方案. 11. 18解析先在月，B, Q三个区域种植3个不同的植物，共有£=6（种）种法，若£•与戏种植的植物相同，最后种刀，有1种种法：若疋与C种植的植物相同，最后种2?，有2种种法，很拯分类计数原理和分步计数原理知共有6X （1+2） =18（种）不同的种法.12. 240解析方法一（从元素考虑）从6名运动员中，选出4人有三种情况：（1）甲、乙都被选岀，有C；种选法；（2）甲、乙恰有1人被选出，有X：种选法：（3）甲、乙都未被选岀，有C：种选法.再将4人按要求安排位巻：甲、乙都参加，有怎皿种排法：甲、乙中有一人参加，有皿兀种排法：甲、乙都不参加，有A：种排法.故不同的参赛方法共有C：A葢+（±恋A；+CjA：== 240 （种）.方法二（从位宜考虑）第一棒从甲、乙以外的4人中选取，再排其他各棒，有A；A；=240（种）不同的参赛方法.方法三（间接法）从总数中减去甲、乙跑第一棒的情况，有A1-A黑=240（种）不同的参赛方法.13. 840解析首先从下层中抽取2件商品，共有C；=28（种）不同的结果，把抽岀的2件商品放到上层有两种情况：一种是2件商品相邻，放在上层4件商品形成的5个空中，有5疋=10（种）不同的调整方法；另一种是2件商品不相邻，把抽岀的2件商品插入上层4件商品形成的5 个空中，有£=20（种）不同的调整方法，所以共有28X（10+20）=840（种）不同的调整方法. 14. 3 600解析三个数字相邻，则共有A；种情况，在月、B、C、D、厅中选两个不同的字母，共有盂种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C；种情况.综上所述，此人选择号牌的不同的方法种数为AXC；=60X20X3 = 3 600.。

高考数学压轴专题淮安备战高考《计数原理与概率统计》分类汇编含解析

【高中数学】数学复习题《计数原理与概率统计》知识点练习(1)一、选择题1．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++L L 的值为（）A ．0B ．1-C ．1D ．101)【答案】C 【解析】【分析】令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得；【详解】解：因为)102101210xa a x a x a x =++++L ，令1x =得)10123101a a a a a =++++L ，令1x =-得)10123101a a a a a =-+-++L ，所以()(220210139)a a a a a a +++-+++L L()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L))101011=⋅))1011⋅⎡⎤⎣⎦=1011== 故选：C 【点睛】本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．2．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．12B ．13C D 【答案】C 【解析】【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.3．下列等式不正确的是（）A ．111m mnn m C C n ++=+ B ．12111m m m n n n A A n A +-+--= C ．11m m n n A nA --=D ．1(1)k k kn n n nC k C kC +=++【答案】A 【解析】【分析】根据排列和组合公式求解即可. 【详解】根据组合公式得11!1(1)!1!()!1(1)!()!1mm n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；根据排列公式得122111(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!m mm n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=-=+-=⋅=----，则B 正确；根据排列公式得11!(1)!()!()!mm n n n n A n nA n m n m ---==⋅=--，则C 正确；根据组合公式得()()1!!(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦[]!!()!()!!(1)!k kn n n n nC kC n k k n k k n k -⋅=--+-=即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；故选:A 【点睛】本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.4．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( ) A ．35B ．925C ．1625D ．25【答案】B 【解析】PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π-16π925π25=,故选B.5．已知()1nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，()20121n n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则()0121nn a a a a -+-+-L 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【解析】【分析】由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】Q ()1nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，∴23n n C C =，∴5n =，令0x =，则051a =，令1x =，则()0155212422431a a a a λ+=++=+=++L ，∴2λ=，令1x =-，则()05251112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.6．如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（） A ．54 B ．50 C ．60D ．58【解析】【分析】利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况，即可得答案. 【详解】利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况：（1）无重复数字：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，（2）有重复数字：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，424，244，550，505，共14个. 故选：A. 【点睛】本题考查分类计数原理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不重不漏.7．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（） A ．5108B ．113C ．17D ．710【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.8．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（） A ．35B ．13C ．415D ．15【答案】C 【解析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案.【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615CpC==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115CpC==；故12415p p p=+=.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.9．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.【答案】D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选D．本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．10．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．11．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A⨯=种．故选D.12．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，()221331321222228D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.【详解】由题意可知：()()221210p p p p -+-+= ，且()2011p <-<，()0211p p <-<，201p <<解得：01p <<，()()()2211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，()()()()()()22222141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦288p p =-+，设()411,3E p t ξ=-=∈-，221113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪⎝⎭ ()21122t =--+，当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小，所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加；设()2880,2D p p t ξ=-+=∈，21822p t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，21228t p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当102p <<时，12p =，此时1412E ξ⎛=- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，当112p ≤<时，12p =+1412E ξ⎛=+- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ减小，所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.13．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14．已知()929012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1【答案】B 【解析】【分析】求出二项式()913x -展开式的通项为()193rrr T C x +=⋅-，可知当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++⋯+的值.【详解】二项式()913x -展开式的通项()193rr r T C x +=⋅-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，因此，()990191314a a a ⎡⎤++⋯+=-⨯-=⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A 【解析】【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A. 【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.16．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（）ξ1 2 3P13 12 16η1 2 3P16 12 13A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη= D ．E E ξη=，D D ξη=【答案】C 【解析】【分析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η．【详解】由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116，D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η．故选：C ．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．17．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为（）A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，【答案】D【解析】【分析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.【详解】A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.故答案为D.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.18．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为()A．280 B．320 C．400 D．1000【答案】C【解析】【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，Q青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：1020080 1087⨯=++Q每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有80400 0.2=故选C【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。

2021年高考数学复习之专题突破训练10计数原理概率与统计含解析

计数原理概率与统计1．分层抽样方法【知识点的认识】1．定义：当总体由差异明显的几局部组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比拟清楚的几局部，然后按各局部在总体中所占的比例进展抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各局部叫“层〞．2．三种抽样方法比拟类别共同点各自特点相互联系适用X围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是一样的从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几个局部，按事先确定的规如此在各局部抽取在起始局部抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进展抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几局部组成【解题方法点拨】分层抽样方法操作步骤：〔1〕分层：将总体按某种特征分成假如干局部；〔2〕确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；〔3〕确定各层应抽取的样本容量；〔4〕在每一层进展抽样〔各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取〕，综合每层抽样，组成样本．【命题方向】〔1〕区分分层抽样方法例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进展调查．这种抽样方法是〔〕A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法分析：假如总体由差异明显的几局部组成时，经常采用分层抽样的方法进展抽样解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．应当选D点评：本小题主要考查抽样方法，属基此题．〔2〕求抽取样本数例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，如此一班和二班分别被抽取的人数是〔〕A.8，8B.10，6C.9，7D.12，4分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．解答：每个个体被抽到的概率等于＝，54×＝9，42×＝7．故从一班抽出9人，从二班抽出7人，应当选C．点评：此题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，假如样本中的青年职工为7人，如此样本容量为〔〕A.35B.25C.15D.7分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为＝15．应当选C．点评：此题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．2．系统抽样方法【知识点的认识】1．定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的假如干局部，然后按照预先制定的规如此，从每一局部抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．2．系统抽样的特征：〔1〕当总体容量N较大时，适宜采用系统抽样；〔2〕将总体分成均衡的假如干局部指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此系统抽样又称等距抽样，这里的间隔一般为k＝〔3〕在第一局部的抽样采用简单随机抽样；〔4〕每个个体被抽到的可能性相等3．系统抽样与简单随机抽样的关系：〔1〕系统抽样是建立在简单随机抽样的根底之上的，当将总体均分后对每一局部进展抽样时，采用的是简单随机抽样；〔2〕系统抽样和简单随机抽样都是等概率抽样，它是公平的．4．系统抽样与简单随机抽样的优缺点：〔1〕当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样更易实施，更节约本钱；〔2〕系统抽样比简单随机抽样应用X围更广；〔3〕系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所得到的样本的代表性与编号无关，如果编号的特征随编号的变化呈一定的周期性，可能造成系统抽样的代表性很差．【解题方法点拨】系统抽样的一般步骤：〔1〕编号：采用随机的方式将总体中的个体编号；〔2〕分段：确定分段间隔k，对编号进展分段〔N为总体个数，n为样本容量〕：①当时，k＝，②当时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体数N′能被n整除，这时k＝〔注意这时要重新编号1﹣N′后，才能再分段〕〔3〕确定起始编号：在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l〔l∈N，l≤k〕；〔4〕抽样：按事先确定的规如此抽取样本，即l，l+k，l+2k，…，l+〔n﹣1〕k．【命题方向】1．考查系统抽样的定义例：某小礼堂有25排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，讲座后为了了解有关情况，留下了座位号是15的25名学生进展测试，这里运用的抽样方法是〔〕A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法分析：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，符合系统抽样的定义．解答：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，故属于系统抽样，应当选C．点评：此题考查系统抽样的定义和方法，属于容易题．2．考查系统抽样的应用例：将参加夏令营的100名学生编号为001，002，…，100．先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，假如随机抽得的为003，那么从048号到081号被抽中的人数是分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论．解答：∵样本容量为20，首个为003，∴样本组距为100÷20＝5∴对应的数为3+5〔x﹣1〕＝5x﹣2，由48≤5x﹣2≤81，得10≤x≤16.6，即x＝10，11，12，13，14，15，16，共7个，故答案为：7．点评：此题主要考查系统抽样的应用，利用系统抽样的定义建立关系是解决此题的关键，比拟根底．3．频率分布直方图【知识点的认识】1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．2．频率分布直方图的特征①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．3．频率分布直方图求数据①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等局部的平行于y轴的直线横坐标．【解题方法点拨】绘制频率分布直方图的步骤：4．茎叶图【知识点的认识】1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50得分表示成茎叶图如下：2．茎叶图的优缺点：优点：〔1〕所有信息都可以从茎叶图上得到〔2〕茎叶图便于记录和表示缺点：分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．【解题方法点拨】茎叶图的制作步骤：〔1〕将每个数据分为“茎〞〔高位〕和“叶〞〔低位〕两局部〔2〕将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列〔3〕将各个数据的叶按大小次序写在茎右〔左〕侧第1步中，①如果是两位数字，如此茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．②如果是三位数字，如此茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中表现几次．5．众数、中位数、平均数【知识点的认识】1．众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．〔1〕众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；〔2〕中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据〔或最中间两个数据的平均数〕叫做这组数据的中位数；〔3〕平均数：一组数据的算术平均数，即．2．众数、中位数、平均数的优缺点【解题方法点拨】众数、中位数、平均数的选取：〔1〕平均数能较好地反映一组数据的总体情况；〔2〕中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平〔或一般水平〕；〔3〕众数能反映一组数据的集中情况〔即多数水平〕．根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：〔1〕众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．〔2〕中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．〔3〕平均数：是频率分布直方图的“重心〞，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积〔即落在该组中的频率〕乘以小矩形底边中点的横坐标〔组中值〕之和．6．极差、方差与标准差【概念】用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化X围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．【例题解析】例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．解：极差是：102﹣98＝4；平均数＝〔98+100+101+102+99〕＝100，如此方差是：S2＝[〔98﹣100〕2+〔100﹣100〕2+〔101﹣100〕2+〔102﹣100〕2+〔99﹣100〕2]＝2；标准差S＝．可以看出这类题考查的根本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．【考点分析】这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．7．线性回归方程【概念】线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，如此称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，如此由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．【实例解析】例：对于线性回归方程，如此＝解：，因为回归直线必过样本中心〔〕，所以．故答案为：58.5．方法就是根据线性回归直线必过样本中心〔〕，求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比拟套路化，需要熟记公式．【考点点评】这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比拟重要的点．8．独立性检验【知识点的知识】1、分类变量：如果某种变量的不同“值〞表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2、原理：假设性检验〔类似反证法原理〕．一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为〔1﹣P〕，也就是“X和Y有关系〞．〔表中的k就是K2的观测值，即k＝K2〕．其中n＝a+b+c+d〔考试给出〕3、2×2列联表：4、X围：K2∈〔0，+∞〕；性质：K2越大，说明变量间越有关系．5、解题步骤：〔1〕认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；〔2〕根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；〔3〕通过观测值k与临界值k0比拟，得出事件有关的可能性大小．9．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件〔1〕定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，如此这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，A n中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…A n彼此互斥．〔2〕互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，如此有：P〔A+B〕＝P〔A〕+P〔B〕注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件发生〔即A1，A2，…，A n 中有一个发生〕的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P〔A1+A2+…+A n〕＝P〔A1〕+P〔A2〕+…+P〔A n〕2．对立事件〔1〕定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一．〔2〕对立事件的概率公式：P〔〕＝1﹣P〔A〕3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥〞是“对立〞的必要但不充分条件，而“对立〞如此是“互斥〞的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是〔〕A．“至少有一个红球〞与“都是黑球〞B．“至少有一个黑球〞与“都是黑球〞C．“至少有一个黑球〞与“至少有1个红球〞D．“恰有1个黑球〞与“恰有2个黑球〞分析：列举每个事件所包含的根本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球〞与事件：“都是黑球〞，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球〞与事件：“都是黑球〞可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球〞与事件：“至少有1个红球〞可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球〞与“恰有2个黑球〞不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球〞与“恰有2个黑球〞以与“恰有2个红球〞三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确应当选D点评：此题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的根本事件．属简单题．例2：如下说法正确的答案是〔〕A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，应当选B．点评：此题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．2．互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，如此乙不输的概率是分析：记“两人下成和棋〞为事件A，“乙获胜〞为事件B，如此A，B互斥，且，，如此乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P〔A+B〕＝P〔A〕+P〔B〕可求．解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋〞为事件A，“乙获胜〞为事件B，如此A，B 互斥，如此，，如此乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P〔A+B〕＝P〔A〕+P〔B〕＝故答案为：点评：此题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．3．对立事件概率公式的应用例：假如事件A与B是互为对立事件，且P〔A〕＝0.4，如此P〔B〕＝〔〕A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根据对立事件的概率公式p〔〕＝1﹣P〔A〕，解得即可．解答：因为对立事件的概率公式p〔〕＝1﹣P〔A〕＝0.6，应当选C．点评：此题主要考查对立事件的定义，属于根底题．10．互斥事件的概率加法公式【知识点的知识】互斥事件的概率加法公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，如此有：P〔A+B〕＝P〔A〕+P〔B〕注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件发生〔即A1，A2，…，A n 中有一个发生〕的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P〔A1+A2+…+A n〕＝P〔A1〕+P〔A2〕+…+P〔A n〕11．等可能事件和等可能事件的概率【知识点的认识】等可能事件：如果一个事件中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，这种事件叫等可能事件．比方说买彩票，那么你每买一X彩票，在没看之前它们中奖的概率是相等的，也就是说每X彩票中奖的概率是等可能事件．【实例解析】例：判断如下事件是否为等可能事件：〔1〕买一X体育彩票，有中奖和没中奖两种可能；〔2〕小丽被选为班长与没有被选为班长；〔3〕投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上解：〔1〕买一X体育彩票，没中奖的可能较大，不是等可能事件；〔2〕小丽没有被选为班长的可能较大，不是等可能事件；〔3〕投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上的可能相等，是等可能事件．这里面的第一问是不是感觉不对呢？其实它问的是中奖和不中奖的概率是不是相等的，并不是说每一X彩票中奖的概率是否相等，所以解答是正确的．通过这个例题，可以用一句话来概括：概率相等的两个事件就是等可能事件．例：甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是〔〕A：先抽的概率大些B：三人的概率相等C：无法确定谁的概率大D：．以上都不对解：∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，应当选：B．比拟常见的等概率事件一般为购置彩票、抽签等等．这个例题可以看出等概率事件并不会因为顺序的改变而改变其发生的概率，同时也通过这个例题我们也知道了如何求这个概率〔〕．【考点分析】等可能事件应该说初中就已经学过了，我们只要知道它的概念就可以了．12．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A〔或B〕是否发生，对事件B〔或A〕发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，假如两个相互独立事件A、B同时发生，如此事件A•B发生的概率为：P〔A•B〕＝P〔A〕•P〔B〕推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P〔A1•A2…A n〕＝P〔A1〕•P〔A2〕…P〔A n〕3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：〔1〕互斥事件：两个事件不可能同时发生；〔2〕相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．13．n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【概念】一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，如此不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P〔ξ＝K〕＝〔K＝1，2，3，…n〕那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B〔n，p〕，期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．【实例解析】例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，如此随机事件A在一次试验中发生的概率的X围是．解：由题设知C31p〔1﹣p〕2≤C32p2〔1﹣p〕，解≤p≤1，故答案为：[，1]．此题是典型的对本知识点进展考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比拟简单的题型一般出现在选择填空题中．【考点点评】这个知识点非常的重要，但相对来说也比拟简单，所以大家要多花点时间把它吃透．14．古典概型与其概率计算公式【考点归纳】1．定义：如果一个试验具有如下特征：〔1〕有限性：每次试验可能出现的结果〔即根本事件〕只有有限个；〔2〕等可能性：每次试验中，各根本事件的发生都是等可能的．如此称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足根本事件的有限性和根本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进展分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个根本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P〔A〕＝＝．【解题技巧】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清根本事件个数n与事件A中所包含的根本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：〔1〕本试验是否具有等可能性；〔2〕本试验的根本事件有多少个；〔3〕事件A是什么．2．解题实现步骤：〔1〕仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；〔2〕判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；〔3〕分别求出根本事件的个数n与所求事件A中所包含的根本事件个数m；〔4〕利用公式P〔A〕＝求出事件A的概率．3．解题方法技巧：〔1〕利用对立事件、加法公式求古典概型的概率〔2〕利用分析法求解古典概型．15．列举法计算根本事件数与事件发生的概率【知识点的知识】1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P〔A〕＝．等可能条件下概率的特征：〔1〕对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；〔2〕每一个结果出现的可能性相等．2、概率的计算方法：〔1〕列举法〔列表或画树状图〕，〔2〕公式法；列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．列表法〔1〕定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．〔2〕列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．树状图法〔1〕定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．。

高考数学压轴专题苏州备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习有答案解析

数学《计数原理与概率统计》期末复习知识要点一、选择题1．36ax ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式36ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】【分析】根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确；该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确；回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据，故D 正确；C 错误. 故选：C ．【点睛】本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.3．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（） A ．78B ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤，家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，则相当于565.56.5x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率，如图所示：约束条件对应的可行域面积为：1，则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228-⨯⨯=，所以对应的概率为：77818=，即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78. 故选：A.【点睛】本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【答案】B 【解析】【分析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程5．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（） A ．13B ．14C ．15D ．12【答案】A 【解析】【分析】根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率113333155C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率1333255C A 3A 20P ==,所以所求概率为2113P P P ==. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.6．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144【答案】D 【解析】【分析】按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生的情况去掉，录取方案数为2263C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为24C 、22C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。

抽样技术练习题及答案

习题一1.请列举一些你所了解的以及被接受的抽样调查。

2.抽样调查基础理论及其意义；3.抽样调查的特点。

4.样本可能数目及其意义；5.影响抽样误差的因素；6.某个总体抽取一个n=50的独立同分布样本，样本数据如下：567 601 665 732 366 937 462 619 279 287690 520 502 312 452 562 557 574 350 875834 203 593 980 172 287 753 259 276 876692 371 887 641 399 442 927 442 918 11178 416 405 210 58 797 746 153 644 4761）计算样本均值y与样本方差s2;2）若用y估计总体均值，按数理统计结果，ｙ是否无偏，并写出它的方差表达式；3）根据上述样本数据，如何估计v(y)？4）假定y的分布是近似正态的，试分别给出总体均值μ的置信度为80％，90％，95％，99％的（近似）置信区间。

习题二一判断题1 普查是对总体的所有单元进行调查，而抽样调查仅对总体的部分单元进行调查。

2 概率抽样就是随机抽样，即要求按一定的概率以随机原则抽取样本，同时每个单元被抽中的概率是可以计算出来的。

3 抽样单元与总体单元是一致的。

4 偏倚是由于系统性因素产生的。

5 在没有偏倚的情况下，用样本统计量对目标量进行估计，要求估计量的方差越小越好。

6 偏倚与抽样误差一样都是由于抽样的随机性产生的。

7 偏倚与抽样误差一样都随样本量的增大而减小。

8 抽样单元是构成抽样框的基本要素，抽样单元只包含一个个体。

9 抽样单元可以分级，但在抽样调查中却没有与之相对应的不同级的抽样框。

10 总体目标量与样本统计量有不同的意义，但样本统计量它是样本的函数，是随机变量。

11 一个抽样设计方案比另一个抽样设计方案好，是因为它的估计量方差小。

12 抽样误差在概率抽样中可以对其进行计量并加以控制，随着样本量的增大抽样误差会越来越小，随着n越来越接近N，抽样误差几乎可以消除。