高中数学 4_3 向量与实数相乘第一课时同步练习湘教版必修21

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湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第2章第1课时空间向量的概念及其运算

解析 ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它
们不一定相等;
②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同,故1 与1 相等;
④错误,空间四边形 ABCD 中,与的模不一定相等,方向也不相反;
⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向量是
课程标准
1.理解空间向量的有关概念.
2.掌握数乘向量的运算意义及运算法则.
3.理解向量共线定理,并能够解决实际问题.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点1
空间向量的基本概念
1.空间向量的定义:在空间中,把既有大小又有方向
变式训练1(多选题)下列说法正确的是( CD )
A.两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
C.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有 = 1 1
D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
解析当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两
2
所以 = 5 .
因为与有公共点 E,所以 E,F,B 三点共线.
规律方法证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.
(1)存在实数 λ,使=λ成立;
(2)对空间任一点 O,有 = +t (t∈R);
(3)对空间任一点 O,有=x+y(x+y=1).
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必修一第1章集合与函数1.1集合1.1.1 集合的含义和表示习题11.1.2 集合的包含关系习题21。

1.3 集合的交与并习题31。

2 函数的概念与性质1。

2。

1 对应、映射与函数习题4阅读与思考计算机编程语言中的函数1。

2。

2 表示函数的方法习题5数学实验用计算机做函数图象和列函数表1.2。

3 从图象看函数的性质习题61。

2。

4 从解析式看函数的性质习题71。

2.5 函数的定义域和值域习题81。

2.6 分段函数习题91.2。

7 二次函数的图象与性质——增减性和最值习题101.2.8 二次函数的图象与性质——对称性习题11数学实验用计算机研究二次函数的图象小结与复习复习题一第2章指数函数、对数函数和幂函数问题探索射线在介质中的衰减阅读与思考放射性元素的衰变2.1 指数函数2.1。

1 指数概念的推广习题12.1.2 指数函数的图象与性质习题2阅读与思考指数爆炸和指数衰减2。

2 对数函数2.2。

1 对数的概念与运算律习题32。

2.2 换底公式习题4阅读与思考对数小史2.2。

3 对数函数的图像与性质习题52.3 幂函数2。

3。

1 幂函数的概念习题62。

3.2 幂函数的图像与性质习题72.4 函数与方程2。

4.1 方程的根与函数的零点2.4。

2 计算函数零点的二分法数学实验用二分法就方程的近似解2.5 函数模型及其应用2。

5.1 几种函数增长快慢的比较习题102.5.2 形形色色的函数模型习题11小结与复习复习题二数学文化函数概念小史多知道一点用计算机给区域填色(集合)表示函数的其他方法(函数)用概念解决问题（换底公式）负数有时也有有理指数幂（幂函数）必修二第3章三角函数数学建模怎样度量平面上的转动3.1 弧度制与任意角3。

1。

1 角的概念的推广3.1.2 弧度制习题1问题探索用方向与距离表示点的位置3.2 任意角的三角函数3。

2.1 任意角三角函数的定义3。

2。

2 同角三角函数之间的关系3。

重点中学高考数学复习第4课时实数与向量的积(1)学案湘教版

重点中学高考数学复习第4课时实数与向量的积（1）学案湘教版教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：a +b =b +a 9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量二、讲解新课：1．示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a )OC =BC AB OA ++=a +a +a=3a=++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a（1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2）-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a | 2．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =3．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a =至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a ||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |∴|λ(μa )|=|(λμ)a| 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a =至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠当λ、μ同号时，则λa 和μa同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a 同向即 |(λ+μ)a |=|λa +μa| 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa 同向；当λ<μ时②两边向量的方向都与μa 同向，且|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a =0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时（1）当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a =AB b =1OA λa =11B A λb则=OB a +b =1OB λa +λb由作法知，AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A |∴==||||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1 ∴=||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同∴λ(a +b )=λa +λb当λ<0时可类似证明：λ(a +b )=λa +λb∴ ③式成立4．向量共线的充要条件若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa ，则a 与b 为共线向量若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa ；当a 与b 反向时b =-μa 从而得向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa三、讲解范例：例1若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ.解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ① ｍ－３ｎ＝ｂ②3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ. ∴ｎ＝111ａ－113ｂ④ 将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝113ａ＋112ｂ评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致. 例2凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证EF ＝21(AB +DC ). 解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决. 过点C 在平面内作CG ＝AB ，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点. ∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF =DG 21, ∴EF ＝21DG . 而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ，∴EF ＝21（AB ＋DC ）. 解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB ，EC ，则有EB ＝EA ＋AB ，EC ＝ED ＋DC ，又∵E 是AD 之中点，∴有EA ＋ED ＝0.即有EB ＋EC ＝AB ＋DC ；以EB 与EC 为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点.∴EF ＝21EG ＝21（EB ＋EC ）＝21（AB ＋DC ）四、课堂练习：1.错例分析判断向量ａ＝－２e 与ｂ＝２e 是否共线?对此题，有同学解答如下：解：∵ａ＝－２e ，ｂ＝２e ，∴ｂ＝－ａ，∴ａ与ｂ共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然ａ＝0，ｂ＝0，此时，ａ不符合定理中的条件，且使ｂ＝λａ成立的λ值也不惟一(如λ＝－１，λ＝１，λ＝２等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e ＝0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e ＝0时，则ａ＝－２e ＝0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时ａ与ｂ共线.(2)当e ≠0时，则ａ＝－２e ≠0，ｂ＝２e ≠0∴ｂ＝－ａ(这时满足定理中的ａ≠0，及有且只有一个实数λ（λ＝－１），使得ｂ＝λａ成立)∴ａ与ｂ共线.综合(1)、(2)可知，ａ与ｂ共线.2.用向量法解决几何问题向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.如图，MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC ，且MN ∥BC . 证明：∵M 、N 分别是AB 、AC 边上的中点，所以AM =21AB ，AN =21AC ，MN =AN －AM =21AC -21AB =21（AC -AB ）=21BC . 因此，ＮＭ＝21ＢＣ且ＭＮ∥BC . 五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.六、课后作业：1．当λ Z 时，验证：λ(a +b )=λa +λb证：当λ=0时，左边=0•(a +b )=0 右边=0•a +0•b =0 分配律成立当λ为正整数时，令λ=n, 则有：n(a +b )=(a +b )+(a +b )+…+(a +b )=a +a +…+a +b +b +b +…+b =n a +n b即λ为正整数时，分配律成立当为负整数时，令λ=-n （n 为正整数），有-n(a +b )=n[-(a +b )]=n[(-a )+(-b )]=n(-a )+n(-b )=-n a +(-n b )=-n a-n b分配律仍成立综上所述，当λ为整数时，λ(a +b )=λa +λb 恒成立2．如图，在△ABC 中，AB =a , BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG 解法一：∵AB =a , BC =b 则BD =21BC =21b ∴AD =AB +BD =a +21b 而AG =32AD ∴AG =32a +31b 解法二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F∵△AEF ∽△ABC ，AE =32AB =32a EF =32BC =32b EG =21EF =31b ∴AG =AE +EG =32a +31b 3．在 ABCD 中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a , b 表示AB ，BC解法一：AO =OC =21a BO =21BD =21b ∴AB =AO +OB =AO -BO =21a -21b BC =BO +OC =OC +BO =21a +21b D A B Cab D AEC a b B F G解二：设=，= 则AB += ，即 +=a ；AD -AB =BD ，即-=b∴ =21(a -b )， =21(a +b ) 即 AB =21(a -b ) =21(a +b ) 4．设1e , 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e , =1e +32e , =21e -2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值解：BD =-=(21e -2e )-(1e +32e )=1e -42e∵A, B, D 共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ 即21e +k 2e =λ(1e -42e ) ∴⎩⎨⎧-==λλ42k ∴k=-8 七、板书设计（略）八、课后记：实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用.。

2022秋新教材高中数学课时跟踪检测四向量的数乘运算新人教A版必修第二册

向量的数乘运算层级(一)　“四基”落实练1．(多选)下列各式计算正确的是( ) A．(－7)×6a＝－42aB．a－2b＋2(a＋b)＝3aC．a＋b－(a＋b)＝0D．(a－b)－3(a＋b)＝－2a－4b解析：选ABD　根据向量数乘的运算律可验证A、B正确；C错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数；D正确，(a－b)－3(a＋b)＝a－b－3a－3b＝－2a－4b.2．点C在直线AB上，且AC＝3AB，则BC等于 ( ) A．－2AB B.ABC．－AB D．2AB解析：选D　如图，AC＝3AB，所以BC＝2AB.3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则( ) A．AO＝2OD B．AO＝ODC．AO＝3OD D．2AO＝OD解析：选B　因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD，所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量m a－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m 的值为 ( ) A．－1或3 B.C．－1或4 D．3或4解析：选A　因为向量m a－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是( )A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．x a＋y b＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b解析：选AB　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa ＝μb，又λ≠μ，故B可以；当x＝y＝0时，有x a＋y b＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．故选A、B.6．已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋2b，AC＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________.解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使AB＝k AC.因为AB＝λa＋2b，AC ＝a＋(λ－1)b，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．因为a与b不共线，所以解得λ＝2或λ＝－1.答案：－1或27．已知点C在线段AB上，且＝，则AC＝________AB，BC＝________AB.解析：因为C在线段AB上，且＝，所以AC与AB方向相同，BC与AB方向相反，且＝，＝，所以AC＝AB，BC＝－AB.答案：　－8．化简：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．解：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.层级(二)　能力提升练1.如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，DC＝3BD，AE＝ 2EC，则AB＝( )A．－a＋b B.a－bC.a＋b D．－a＋b解析：选D　由平面向量的三角形法则，可知DE＝DC＋CE＝BC＋＝(AC－AB)－AC＝－AB＋AC＝－a＋b.故选D. 2．设a，b是两个不共线的向量．若向量k a＋2b与8a＋k b的方向相反，则k＝________.解析：因为向量k a＋2b与8a＋k b的方向相反，所以k a＋2b＝λ(8a＋k b)⇒⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ<0⇒k<0)．答案：－43.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若AC＝m AB＋n AD (m，n∈R)，则m－n＝________.解析：由题意得BC＝3DC，则AC＝AB＋BC＝AB＋3DC＝AB＋3(AC－AD)＝AB＋3AC－3AD，AC＝－AB＋AD，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.答案：－24．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB和AD.解：如图，设AB＝a，AD＝b.∵M，N分别是DC，BC的中点，∴BN＝b，DM―→＝a.∵在△ADM和△ABN中，①×2－②，得b＝(2c－d)，②×2－①，得a＝(2d－c)．∴AB＝d－c，AD＝c－d.5.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)如图，延长AD到G，使AG＝2AD，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.则AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，BF＝AF －AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)知，BE＝BF，∴BE，BF共线．又∵BE，BF有公共点B，∴B，E，F三点共线．6．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD ＝－5e－3f.(1)用e，f表示AD；(2)求证：四边形ABCD为梯形．解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD的长度为BC的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．层级(三)　素养培优练1.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若AE＝λAB＋μAC，则t＝λ－μ的最大值是_________．解析：设AE＝k AD,0≤k≤1，则AE＝k(AC＋2CB)＝k[AC＋2(AB－AC)]＝2k AB－k AC.∵AE＝λAB＋μAC，且AB与AC不共线，∴∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.故t＝λ－μ的最大值是3.答案：32.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若DB＝x DC＋y DA，求x，y的值．解：如图，先过B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，再过点A作AF⊥BE交BE于点F，由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，则CE＝BE，设CE＝BE＝mCD，则AF＝(m＋1)CD，BF＝(m－1)DA，AB＝2AD.在Rt△AFB中，AF2＋BF2＝AB2，所以[(m＋1)CD]2＋[(m－1)DA]2＝(2 DA)2，解得m＝，故DB＝DC＋CE＋EB＝DC＋ DC＋DA＝(1＋)DC＋DA，故x＝1＋，y＝.。

湘教版高一数学下册《向量与实数相乘》同步训练-word文档

湘教版高一数学下册《向量与实数相乘》同步训练知识需要不断地积累，通过做练习才能让知识掌握的更加扎实，查字典大学网高中频道为大家提供了向量与实数相乘同步训练，欢迎阅读。

向量的数乘运算计算下列各式：(1)4(a+b)-3(a-b);(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).思路分析：利用向量的线性运算律计算.解：(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=a-b-a-b+a+b=a+b=0·a+0·b=0+0=0.计算：(1)3(6a+b)-9;(2)-2;(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.解：(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.(2)原式=-a-b=a+b-a-b=0.(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并.二、向量共线条件的应用已知向量e1和e2不共线.(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值.思路分析：(1)要证A，B，D三点共线，可证，共线(或与共线等);(2)当ke1+e2与e1+ke2共线时，由向量共线的条件知必有ke1+e2=λ(e1+ke2)，从而求得k的值.(1)证明：∵=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5，∴∥.又∵AB∩BD=B，∴A，B，D三点共线.(2)解：∵ke1+e2与e1+ke2共线，∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)，则(k-λ)e1=(λk-1)e2.由于e1与e2不共线，则k=±1.已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使d=λa+μb 与c共线?解：∵d=λa+μb=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，要使d与c共线，则应存在实数k，使d=kc，即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2，∴∴λ=-2μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共线.1.若b=λa(λ∈R)，则b与a共线.由此可以判断向量共线问题.若b与a(a≠0)共线，则必存在唯一实数λ，使b=λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题.2.用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得a=λb(a，b为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线.三、向量线性运算的应用=a，=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a，b表思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a，b表示.===(-)=(a-b)，∴=+=b+a-b=a+b，=(+)=(a+b)=a+b.=-=(a+b)-a-b=a-b.1.已知在△ABC中，D是BC边的中点，用向量，表示向量为________.答案：+解析：∵=，∴-=-，2=+.2.如图所示，点E在△ABC的边BC上，且CE=3EB，设=a，=b，用a，b表示.解：∵CE=3EB，又∵=-，=a+(b-a)=a+b.在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一些定理的应用.1.下列计算正确的数目是( )①(-3)·2a=-6a ②2(a+b)-(2b-a)=3a ③(a+2b)-(2b+a)=0A.0B.1C.2D.3答案：C解析：①②正确，③错误，应有(a+2b)-(2b+a)=0.2.化简为( )A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b答案：C解析：原式=a+b+a-a+b=a+b.3.下面向量a，b共线的有( )①a=2e1，b=-2e2;②a=e1-e2，b=-2e1+2e2;③a=4e1-e2，b=e1-e2;④a=e1+e2，b=2e1-2e2.(e1，e2不共线)A.②③B.②③④C.①③④D.①②③④答案：A解析：①中a与e1共线，b与e2共线，而e1，e2不共线，所以a与b不共线;②中b=-2a，故a与b共线;③中b=a，故a与b共线;④中a与b不共线，因为若a与b共线，则必存在实数λ，使e1+e2=λ(2e1-2e2)，于是λ无解.故a与b不可能共线.4.已知平行四边形ABCD中，=a，=b，其对角线交点为O，则等于( )A.a+bB.a+bC.(a+b)D.a+b答案：C解析：+=+==2，所以=(a+b)，故选C.5.已知向量a与b不共线，m=a-b，n=xa+3b，若m与n共线，则x的值等于__________.答案：-6解析：依题意存在实数λ，使m=λn，即=λ(xa+3b)，即于是λ=-，x=-6.查字典大学网为大家提供的向量与实数相乘同步训练，大家感觉是不是很有用呢?更多资料尽在查字典大学网。

苏教版高中数学必修4高一同步测试(9)—向量的加减法、实数与向量的乘积.doc

高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，答题时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．下列各量中不是向量的是（）A BC ．位移D2．下列命题正确的是（）A ．向量AB 与BA 是两平B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、DD ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（）A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CBC ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3B ．－3C ．0D ．27．已知正方形ABCD 的边长为1, AB =a , BC =b , AC =c ,则|a +b +c |等于（）A ．0B ．3C ．2D ．22 8．下列各式计算正确的有（）(1)(－7)6a =-42a (2)7(a +b )－8b =7a +15b(3)a －2b +a +2b =2a (4)若a =m +n ,b =4m +4n ,则a ∥b A ．1个 B ．2个 C ．3 D ．4个9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列各式叙述不正确的是（） A ．若a ≠λb ,则a 、b 不共线(λ∈R ) B ．b =3a (a 为非零向量),则a 、bC ．若m =3a +4b ,n =23a +2b ,则m ∥n D ．若a +b +c =0,则a +b =-c11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于（）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．已知|AB |=1,| AC |=2,若∠BAC =60°,则|BC |= . 14．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上.: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ．19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．i 、j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ，CB =i +λj , CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 AC AB AP 21λλ+=.22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行的方向和B 、C 两地的距离．高一数学同步测试（9）参考答案一、选择题1．D 2．A3．C 4．C 5．B ．A 7．D 8．C9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题13．3 14．(5,4) 15．菱形 16．2 km/h 三、解答题17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB令λ=1-t ,μ=t∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD ,即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j ∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.21．解析：如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，则||||,||||21BC BP BC PC ==λλ，AP AE AD DP EP AC AB =+=+=+∴21λλ． 22．解析：（1）3000千米；（2）正东方向．。

高中数学 4_3 向量与实数相乘第二课时同步练习湘教版必修21

高中数学 4.3 向量与实数相乘第二课时同步练习湘教版必修2 1．已知实数m，n和向量a，b，有下列说法：①m(a－b)＝m a－m b；②(m－n)a＝m a－n a；③若m a＝m b，则a＝b；④若m a＝n a(a≠0)，则m＝n.其中，正确的说法是( )A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．若2x－3(x－2a)＝0，则向量x等于( )A．65a B．－6a C．6a D．65-a3．已知向量a，b不共线，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A．λ1＝λ2＝1 B．λ1＝λ2＝－1C．λ1λ2＝1 D．λ1＋λ2＝14．已知D，E，F为△ABC的边BC，CA，AB的中点，设BC＝a，CA＝b，则下列各式中正确的个数为( )①AB＝12-a－b②BE＝a＋12b③CF＝12-a＋12b④AD＋BE＋CF＝0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在( )A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上6．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝__________，a－b＝__________，2a－3b＝__________.7．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且CD＝4BD＝r AB－s AC，则s＋r等于________．8．在ABCD中，E，F分别在DC和AB上，且DE＝113DC，AF＝1213AB，则AE与CF的关系是__________．9．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于E点，O是任意一点，如图所示，求证：OA＋OB＋OC＋OD＝4OE.10．如图所示，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD，求证：M，N，C三点共线．参考答案1. 答案：B解析：容易判断①②正确；对于③，由m a ＝m b 可得m (a －b )＝0，因此a ＝b 或m ＝0，故③错误；对于④，由m a ＝n a 得(m －n )a ＝0，而a ≠0，所以m －n ＝0，即m ＝n ，故④正确．2. 答案：C解析：∵2x －3(x －2a )＝0，∴2x －3x ＋6a ＝0.∴－x ＝－6a .∴x ＝6a .3. 答案：C解析：由A ，B ，C 三点共线知AB 与AC 共线，因此存在实数k ，使λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )，于是12,1,k k λλ=⎧⎨=⎩解得λ1λ2＝1.4. 答案：C解析：由图形可知AB ＝－BA ＝－(a ＋b )，故①错； BE ＝BC ＋CE ＝a ＋12b ，故②正确；CF ＝CA ＋AF ＝b －12(a ＋b )＝12-a ＋12b ，故③正确；AD ＋BE ＋CF ＝12(AB ＋AC ＋BA ＋BC ＋CA ＋CB )＝0，故④正确．5. 答案：B解析：由CB ＝λPA ＋PB ，得CB －PB ＝λPA ，CP ＝λPA ，故A ，P ，C 三点共线，故选B ．6. 答案：3e 1－e 2 e 1＋3e 2 e 1＋8e 2解析：a ＋b ＝(2e 1＋e 2)＋(e 1－2e 2)＝3e 1－e 2，a －b ＝e 1＋3e 2,2a －3b ＝4e 1＋2e 2－3e 1＋6e 2＝e 1＋8e 2.7. 答案：83解析：如图所示，由题意，得CD =4BD ，∴CD =43CB.又∵CB =AB －AC ，∴CD =43(AB －AC )=43AB －43AC .∴r=s=43.∴s+r=83.8.答案：AE＝－CF解析：设AB＝a，AD＝b，则AE＝AD＋DE＝b＋113a；而CF＝CB＋BF＝－b＋113BA＝－b－113a，因此AE＝－CF.9. 证明：方法一：因为E为平行四边形两对角线的交点，所以2OE＝OA＋OC，2OE＝OB＋OD，即4OE＝OA＋OB＋OC＋OD.方法二：因为OE＝OA＋AE，OE＝OB＋BE，OE＝OC＋CE，OE＝OD＋DE，而AE＋CE＝0，BE＋DE＝0，所以4OE＝OA＋OB＋OC＋OD.10. 证明：MN＝BN－BM.因为BM＝12BA，BA＝13BD＝13(BA＋BC)，所以MN＝13BA＋13BC－12BA.所以MN＝13BC－16BA.由于MC＝BC－BM＝BC－12BA，可知MC＝3MN，即MC∥MN.又因为MC，MN有公共点M，所以M，N，C三点共线．。

高中数学 231 数乘向量习题必修4 试题(共3页)

湾里区第一(dìyī)中学2021年高中数学数乘向量习题北师大版必修4【知识预览】1.一般地，实数与向量的积是一个________，记作，它的长度和方向规定如下：(1)_________；(2)时，aλ与a方向__________；时，aλ与a方向__________；当时，，方向任意。

实数λ与向量a相乘，叫作向量的数乘，向量的数乘与向量的加法、减法统称为向量的_____________.2.数乘的运算律：; ;.3.向量一共线定理：假如有一个实数λ，使__________，那么与a一共线；反之假如b与a()0≠a一共线，那么_____________实数λ，使。

【课时练习】1. 四边形ABCD中，，那么四边形ABCD为〔〕(A) 平行四边形 (B) 矩形 (C) 梯形(D) 菱形2.假设是未知向量，满足方程，那么向量x等于〔 )(A) (B) (C) (D)3.等于〔〕(A) (B) a (C) (D)4.不一共(yīgòng)线，向量与一共线，那么。

【拓展练习】一、选择题1. 将化简成最简式为〔〕A． B． C．D．2. 设是不一共线的向量，那么与一共线时，的值是〔〕A．0 B．－2 C． D．－43. 以下选响中，a与b不一共线的是〔〕A．B．C． D. 且不一共线4.设，那么成立的条件是〔〕A. B. C. D.5. 假设，,且，那么四边形ABCD为〔〕A. 等腰梯形B. 平行四边形C. 菱形D. 不等腰矩形二、填空题6.计算:(1) ; (2) ;7. (3);8.点C在线段(xiànduàn)AB上，且,那么_________；_________；9.给出以下命题：①假如，那么；②假设为单位向量，a平行，那么；③设，那么当与一a与e也一共线，其中正确是_______ .共线时，a与1三、解答题9.如下图，梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AD、BC边长的中点，且BC=3AD，，，试以a、b为基底表示、、。

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第1课时)教学设计

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。

本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。

教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。

但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。

三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。

2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。

2.实数与向量相乘的方法和应用。

五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。

2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。

3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材和教学参考书。

2.教学PPT或者黑板。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。

2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。

3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。

2019年数学新同步湘教版必修2第4章 4.3 向量与实数相乘

4．3向量与实数相乘以下是生活中我们常见的实例．1．在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速，经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍．2．一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式v t＝gt可知，它在1 s末和2 s 末的速度，大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下．以上两个问题反映了向量的何种运算呢？实数与向量相乘的法则1．将向量v乘以一个正数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相同，长度|λv|是|v|的λ倍．2．将向量v乘以一个负数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相反，长度|λv|是|v|的|λ|倍．3．向量v乘以0得到的0v是零向量．1．已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题有()①λ＜0，a≠0，λa与a的方向一定相反；②λ＞0，a≠0，λa与a的方向一定相同；③λ≠0，a≠0，λa与a是共线向量；④λμ＞0，a≠0，λa与μa的方向一定相同；⑤λμ＜0，a≠0，λa与μa的方向一定相反．A．2个B．3个C．4个D．5个[提示]由λa方向的规定易知，命题①②③正确；对于命题④与⑤，当λμ＞0时，λ与μ同为正或同为负，所以λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，因而λa与μa同向，故命题④正确；当λμ＜0时，λ与μ异号，则λa 与μa 中，一个与a 同向，一个与a 反向，因而λa 与μa 反向，故命题⑤正确．故选D.2．化简：4(a －b )－3(a ＋b )－b . [提示] a －8b .1．当非零向量a ，b 方向相同或相反时，我们既称a ，b 共线，也称a ，b 平行． 2．零向量与所有的向量平行．3．两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．由向量AB ―→＝λAC ―→可否得出A ，B ，C 三点共线？反过来成立吗？[提示] 由AB ―→＝λAC ―→，又AB ―→，AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，反之也成立，这是证明三点共线的常用方法．1．向量与实数的乘法满足以下运算律 (1)设a 是任意向量，x ，y 是任意两个实数，则 (x ＋y )a ＝xa ＋ya ，x (ya )＝(xy )a .(2)设a ，b 是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 2．单位向量：长度为1的向量称为单位向量．[例1] 计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )； (3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．[思路点拨] 利用数乘向量的运算可化简．[边听边记] (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b .(2)原式＝13[](a ＋4b )－(4a －2b )＝13(－3a ＋6b )＝2b －a . (3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .1．(1)化简23⎣⎡⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )； (2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝⎛⎭⎫13a －b －⎝⎛⎭⎫a －23b ＋(2b －a )．解：(1)原式＝23⎣⎡⎦⎤4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4－32a ＋⎝⎛⎭⎫－3＋13＋74b ＝23⎝⎛⎭⎫52a －1112b ＝53a －1118b . (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝⎛⎭⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝⎝⎛⎭⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎫－103－53j ＝－53i －5j .[例2] 两个不共线的向量e 1，e 2，若向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与向量c 共线？[思路点拨] 根据向量共线定理，若存在实数k ，使d ＝kc ，则d ，c 共线．反之，则不共线．[边听边记] d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2.要使d 与c 共线，则存在实数k ，使d ＝kc ，即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝2ke 1－9ke 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，3μ－3λ＝－9k . 解得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d 与c 共线.2．如图，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC上，且BN ＝13BC .求证：M ，N ，D 三点共线．证明：设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，则BC ―→＝AD ―→＝e 2. ∵BN ―→＝13BC ―→＝13e 2，BM ―→＝12AB ―→＝12e 1，∴MN ―→＝BN ―→－BM ―→＝13e 2－12e 1.又∵MD ―→＝AD ―→－AM ―→＝e 2－32e 1＝3⎝⎛⎭⎫13e 2－12e 1＝3MN ―→， ∴向量MN ―→与MD ―→共线．又M 是公共点，∴M ，N ，D 三点共线．[例3] 在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于点G ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AG ―→.[思路点拨] 在△ABG 中用a ，b 表示AG ―→在△AGC 中用a ，b 表示AG ―→的两个表达式相等→参数值→AG ―→的表达式．[边听边记] 在△ABG 中，AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋λBE ―→＝AB ―→＋λ2(BA ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋λ2(－AB ―→＋AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λ2AC ―→＝(1－λ)a ＋λ2b ，在△AGC 中，AG ―→＝AC ―→＋CG ―→＝AC ―→＋m CF ―→＝AC ―→＋m 2(CA ―→＋CB ―→)＝AC ―→＋m 2(－AC ―→＋AB ―→－AC ―→)＝(1－m )AC ―→＋m 2AB ―→＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG ―→＝13a ＋13b .3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ―→＝13AB ―→＋25AC ―→，BQ ―→＝15AB ―→＋25AC ―→. 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BQ ―→＝－13AB ―→－25AC ―→＋AB ―→＋15AB ―→＋25AC ―→＝1315AB ―→，所以PQ ―→∥AB ―→.又|AB ―→|＝15，所以|PQ ―→|＝13，故|PQ ―→|≠|AB ―→|，于是四边形APQB 为梯形．1．已知m ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．若ma ＝0，则必有a ＝0B ．若m ≠0，a ≠0，则ma 与a 方向相同C ．若m ≠0，a ≠0，则|ma |＝m |a |D ．若m ≠0，a ≠0，则ma 与a 共线解析：若ma ＝0，则a ＝0或m ＝0，故A 错误；若m ≠0，a ≠0，则|ma |＝|m ||a |，ma 与a 共线，方向相同或相反，故B ，C 错误，D 正确．答案：D2．已知a ，b 是不共线的非零向量，实数x ，y 满足(xa ＋2b )－(a －yb )＝0，则( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2解析：∵a ，b 为不共线的非零向量，(xa ＋2b )－(a －yb )＝(x －1)a ＋(2＋y )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.答案：C3．已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实m 使得AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心．设点D 为底边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，故m ＝3. 答案：B4．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________.解析：原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0. 答案：05.如图，在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：MN ―→＝CN ―→－CM ―→＝14CA ―→－12CB ―→＝12BC ―→－14AC ―→＝12AD ―→－14(AB ―→＋AD ―→)＝14AD ―→－14AB ―→＝14(b －a )．答案：14(b －a )6．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.通过这节课的学习，谈谈你对向量共线定理的认识？由a ＝λb ⇒a ∥b 中，若λ＝0，则a ＝0，零向量与任一向量都平行；若λ>0，则a 与b 同向；若λ<0，则a 与b 反向．由a ∥b ⇒a ＝λb 中，由λ的唯一性，得b ≠0.该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判定图形的形状等；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是坐标轴上向量坐标化的依据．一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BE ―→＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .答案：A2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP ―→＝ 13⎝⎛⎭⎫12OA ―→＋12 OB ―→＋2OC ―→ ，则点P 一定为( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．BC 边中线的中点D ．AB 边的中点解析：∵O 是△ABC 的重心，∴OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴OP ―→＝13⎝⎛⎭⎫－12 OC ―→＋2OC ―→ ＝12OC ―→，∴点P 是线段OC 的中点，即AB 边中线的三等分点(非重心)．故选B. 答案：B3.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，则BN ―→＝( )A.14a －34b B ．34a －14bC.14b －34a D ．34b －14a解析：BN ―→＝BA ―→＋AN ―→＝BA ―→＋34AC ―→＝－AB ―→＋34(AB ―→＋AD ―→)＝－14AB ―→＋34AD ―→＝－14a ＋34b .答案：D4．在△ABC 中，点P 是BC 上的一点，BP ―→＝2PC ―→，AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则( ) A ．λ＝2，μ＝1 B ．λ＝1，μ＝2 C ．λ＝13，μ＝23D ．λ＝23，μ＝13解析：∵BP ―→＝2PC ―→，∴AP ―→－AB ―→＝2(AC ―→－AP ―→)， ∴AP ―→＝13AB ―→＋23AC ―→，∴λ＝13，μ＝23.答案：C二、填空题5．已知AM ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析：根据AM ―→＝14AB ―→＋34AC ―→可知，M 是BC 边上的一点．设BM ∶CM ＝λ，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λλ＋1BC ―→＝AB ―→＋λλ＋1(AC ―→－AB ―→)＝1λ＋1AB ―→＋λλ＋1AC ―→，∴⎩⎨⎧14＝1λ＋1，34＝λλ＋1，解得λ＝3，∴BM ∶CM ＝3，即BM ∶BC ＝3∶4.∵两个三角形等高，∴两个三角形面积比为3∶4.答案：3∶46.如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD上移动时，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则t ＝λ－μ的最大值是________．解析：设AE ―→＝k AD ―→,0≤k ≤1，则AE ―→＝k (AC ―→＋2CB ―→)＝k [AC ―→＋2(AB ―→－AC ―→)]＝2k AB ―→－k AC ―→，∵AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k .又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取得最大值3. 故t ＝λ－μ的最大值为3. 答案：3 三、解答题7．已知向量e 1，e 2不共线，判断下列向量a ，b 是否共线． (1)a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2；(2)a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1－2e 2.解：(1)设a ＝λb ，则12e 1－13e 2＝λ(3e 1－2e 2)＝3λe 1－2λe 2，∴⎩⎨⎧12＝3λ，－13＝－2λ，解得λ＝16，故a 与b 共线．(2)设a ＝λb ，则2e 1－e 2＝λ(e 1－2e 2)＝λe 1－2λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，－1＝－2λ，λ无解，故a 与b 不共线． 8.如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，求实数m 的值．解：AP ―→＝AN ―→＋NP ―→＝14AC ―→＋NP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，∴NP ―→＝m AB ―→－344AC ―→.又NB ―→＝NC ―→＋CB ―→＝34AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→－14AC ―→，设NP ―→＝λNB ―→(0≤λ≤1)，则λAB ―→－14λAC ―→＝m AB ―→－344AC ―→，∴m ＝λ＝311.。

高中数学4-3向量与实数相乘课件湘教版必修2

2. 如右图所示，平行四边形 ABCD 两条对角线相交于点 M，且A→B＝a，A→D＝b.试用 a， b 表示M→A、M→B、M→C和M→D. 解在▱ABCD 中， ∵A→C＝A→B＋A→D＝a＋b，D→B＝A→B－A→D＝a－b，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴M→A＝－12A→C＝－12(a＋b)＝－12a－12b， M→B＝12D→B＝12(a－b)＝12a－12b， M→C＝12A→C＝12a＋12b， M→D＝－M→B＝－12D→B＝－12a＋12b.
预习测评
1．下列计算正确的个数为
( )．
①(－7)×6a＝－42a; ②|－2 010a|＝2 010|a|；
③a＋b－(a＋b)＝0; ④a－2b＋(2a＋2b)＝3a.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案 C 2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝___b( )．
5 A.7
B．－57
(1)|λa|＝___|λ_|_|a_|__．
(2)λa(a≠0)的方向
当__λ_>_0__时，与a方向相同 ;
当__λ_<_0__时，与a方向相反
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝___0_或λ0 ＝__0__．
2．平行向量
(1)平行向量：方向相___同__或__相__反_的_非__零_向量叫做平行向量．
－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B，
∴A→B、B→D共线，它们有公共点 B.
∴A、B、D 三点共线．
(2)解 ∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有kλk－－λ＝1＝0，0，则 k＝±1. 点评本题以正反两方面考查了向量共线，即若b与非零向量a共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa；若b＝ λa(λ∈R)，则b与a共线．

第四章向量

重庆市茄子溪中学高中数学学科导学案
湘教版
第四章
班级课题
姓名
第
组层次第 1 课时
4.1 什么是向量
1.先精读一遍教材 P74 P78 ,用红色笔进行勾画，再针对导学案问题导学，二次使用说阅读并回答问题。明及学 2.若预习完可对合作探究部分进行研究，认真审题，规范书写。拓展提升 B、C 法指导层次学生可不作。 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论，质疑。 4.必须记住的内容：向量概念、相等向量、向量的几何表示. 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示. 学习 2.了解模及相等向量的概念，学会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量目标相等的向量。重难点向量概念、相等向量、向量的几何表示. 课前预习一、预习导学： 1.如图，在同一时刻，老鼠由 A 向西北方向的 C 处逃窜，猫在 B 处向正东方向追去，猫能否追到老鼠呢？如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？
A（起点）思考 4：用有向线段 AB 表示向量，向量 AB 的大小和方向是如何反映出来的？思考 5：有向线段 AB 的长度就是指线段 AB 的长度，也称为向量 AB 的它表示向量 AB 的大小，记作。，
问：两个不同的向量可以比较大小吗？思考 6：如果表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可以用黑体字母 a，b，c，„，或 a ， b ， c „表示，如图：此时向量的模怎样表示？ 5.相等向量思考 7：满足什么条件的两个向量是相等向量？两个相等向量的起点相同吗？思考 8：向量的平移指的是。
2.如果 a 表示“向东走 2 km ” ，b 表示“向西走 2 km ” ， c 表示“向南走 2 km ” ，d 表示“向北走 2 km ” 。试说明某人经过下列位移之后，他在出发点的什么方向上，离出发点多远。（1） a b （2） b c （3） a c d （4） a b c d

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6
[键入文字]
C.|a|=|b| D.|a|≠|b| 解析：f(x)=(xa+b)•(a-xb)的图象是一条直线，即 f(x)的表达式是关于 x 的一次函数. 而(xa+b)•(a-xb)=x|a|2-x2a•b+a•b-x|b|2，故 a•b=0，又∵a，b 为非零向量， &there4;a&perp;b，故应选 A. 答案：A 3.向量 a=(-1,1)，且 a 与 a+2b 方向相同，则 a•b 的范围是( ) A.(1，+∞) B.(-1,1) C.(-1，+∞) D.(-∞，1) 解析：∵a 与 a+2b 同向， &there4;可设 a+2b=λa(λ0)，则有 b=λ-12a，又∵|a|=12+12=2，
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1.若 b=λa(λ∈R)，则 b 与 a 共线.由此可以判断向量共线问题.若 b 与 a(a≠0)共线，则必存在唯一实数λ，使 b=λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题. 2.用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得 a=λb(a，b 为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线. 三、向量线性运算的应用 =a，=b 为边的平行四边形.又 BM=BC，CN=CD，试用 a，b 表示，，. 思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用 a，b 表示.===(-)=(a-b)，在考试中能否取得好成绩不仅需要好的心态，还需要在考试中对于各种题型都能熟练应对，下面由为大家整理了向量的数量积达标测试，供大家参考。一、选择题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.设 i，j 是互相垂直的单位向量，向量 a=(m+1)i-3j，b=i+(m-1)j，(a+b)&perp;(a-b)，则实数 m 的值为( ) A.-2 B.2

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1.若 b=λa(λ∈R)，则 b 与 a 共线.由此可以判断向量共线问题.若 b 与 a(a≠0)共线，则必存在唯一实数λ，使 b=λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题. 2.用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得 a=λb(a，b 为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线. 三、向量线性运算的应用 =a，=b 为边的平行四边形.又 BM=BC，CN=CD，试用 a，b 表示，，. 思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用 a，b 表示.===(-)=(a-b)， &there4;=+=b+a-b=a+b， ==. &there4;=+=+= =(+)=(a+b)=a+b. =-=(a+b)-a-b=a-b. 要想让自己在考试时取得好成绩，除了上课要认真听讲外还需要课后多做练习，接
1
[键入文字]
=a-b-a-b+a+b =a+b =0-a+0-b=0+0=0. 计算：(1)3(6a+b)-9; (2)-2; (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 解：(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. (2)原式=-a-b =a+b-a-b=0. (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. 向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并. 二、向量共线条件的应用

1.3.1向量的实数倍与共线向量(教学课件)-高中数学湘教版(2019)必修第二册

B
A. B. C. D.
[解析] 与反向，，，即，解得， .故选B.
3.如图，在正方形中，是的中点，是上靠近点的一个三等分点，那么 ( ) .
D
A. B. C. D.
[解析] ．
新知生成
1.向量的数乘一般地，实数与向量的乘积是一个______，记作____，称为的倍，它的长度 ______.当且时，的方向：当时，与的方向______；当时，与的方向______；当或时，或 .求向量的实数倍的运算称为向量的数乘.
向量
相同
相反
2.向量的线性运算把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量.
[答案] 类比数的运算，前进3秒钟的位移是，反向运动3秒钟的位移是 .
问题2：向量，与从长度和方向上分析具有怎样的关系？
[答案] 的长度是的长度的3倍，它的方向与向量的方向相同.的长度是的长度的3倍，它的方向与向量的方向相反.
问题3：的几何意义是什么？
[答案] 的几何意义就是将表示向量的有向线段伸长或压缩.当时，表示的有向线段在原方向或反方向上伸长为原来的倍.
新知运用
例1 已知点在线段上，且，则等于( ) .
D
A. B. C. D.
[解析] ，， .故选D.
（1）数乘向量中，实数称为向量的系数.
（2）实数与向量积的运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数积的定义的推广，但不能进行加减运算，如，均无意义.
[答案] 图中向量与向量不共线，向量和向量不相等，因为，所以向量和向量垂直，特殊之处在于向量和向量所成的角是 .
问题2：平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？

湘教版高中数学必修2课件 4.3 向量与实数相乘课件1

课堂讲义
解由三角形中位线定理，
知 DE 平行且等于12BC，故 D→E ＝12B→C，即D→E＝12a.
C→E＝C→B＋B→D＋D→E＝－a＋b＋12a＝－12a＋b. M→N＝M→D＋D→B＋B→N＝12E→D＋D→B＋12B→C＝－14a－b＋12a＝14a－b.
课堂讲义
要点三平行向量的应用例3 已知非零向量e1，e2不共线．
答案解析
－16i＋332j 13a－b－3a＋23b＋(2b－a)
＝13a－b－3a－2b＋2b－a＝－131a－b
＝－131(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋434j－5i－4j
＝－16i＋332j.
课堂讲义
要点二用已知向量表示未知向量例2 如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，
课堂讲义
法二设B→C＝x，C→D＝y，则B→K＝12x，D→L＝－12y. 由A→B＋B→K＝A→K，A→D＋D→L＝A→L，
得－y＋12x＝e1，
①
x－12y＝e2，
②
课堂讲义
－2×②＋①得12x－2x＝e1－2e2，x＝23(2e2－e1)，同法得y＝23(－2e1＋e2)，即B→C＝43e2－23e1，C→D＝－43e1＋23e2.
当堂检测
2．如图，A→M＝13A→B，A→N＝13A→C. 求证：M→N＝13B→C. 证明 ∵A→M＝13A→B，A→N＝13A→C， ∴M→N＝A→N－A→M＝13A→C－13A→B ＝13(A→C－A→B)＝13B→C.
当堂检测
3. 如图，四边形ABCD的边AD，BC的中点分别为E，F，试问， E→F与A→B＋D→C平行吗？
5．单位向量：长度为1的向量称为单位向量，已知a，则a0＝|a1|a.

高中数学基础预习课堂探讨达标训练4.3向量与实数相乘第一课时精品导学案湘教版必修2

向量与实数相乘第一课时向量与实数相乘及向量的平行学习目标重点难点1．能记住向量与实数相乘的运算法则； 2．会进行向量与实数的相乘运算； 3．知道什么是两个向量平行或共线； 4．会判断两个向量是否是共线向量.重点：记住向量与实数相乘的运算法则，知道什么是共线向量；难点：共线向量的判断；疑点：向量平行与直线平行的区别.1．向量与实数相乘一般地，实数与向量按下面的法则相乘：将向量v 乘以一个正数λ，取得一个向量λv ，它的方向与v 相同，长度|λv |是|v |的λ倍．将向量v 乘以一个负数λ，取得一个向量λv ，它的方向与v 相反，长度|λv |是|v |的|λ|倍．向量v 乘以0取得的0v 是零向量．预习交流1向量与实数相乘和实数与实数相乘有何不同？提示：向量与实数相乘的结果仍然是一个向量，而实数与实数相乘的结果是一个实数．预习交流2向量与实数可以进行加法、减法运算吗？提示：向量与实数不能进行加减运算．预习交流3向量与实数相乘的几何意义是什么？提示：向量数乘的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小．当λ＞0时，沿着a 的方向扩大(λ＞1)或缩小(0＜λ＜1)为原来的λ倍；当λ＜0时，沿着a 的反方向扩大(|λ|＞1)或缩小(|λ|＜1)为原来的|λ|倍．2．向量的平行(1)当非零向量a ，b 方向相同或相反时，咱们既称a ，b 共线，也称a ，b 平行． (2)零向量的方向可以任意规定．咱们规定：零向量与所有的向量平行．(3)依照向量与实数乘法的法则，任一贯量a 与它的任一实数倍的方向相同或相反，因此a 与λa 平行．(4)若向量a 为非零向量，则两个向量a 与b 平行⇔存在λ∈R ，b ＝λa .即其中一个向量是另一个向量的实数倍．预习交流4向量平行与直线平行有何区别？提示：向量平行是指它们所在的直线重合或平行，而两直线平行时，它们不能重合．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、向量数乘运算的理解已知a 是非零向量，判断下列说法是不是正确，并说明理由： (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍；(2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的25；(3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)若m ∈R ，且m a ＝0，则必有m ＝0.思路分析：按照向量数乘的概念进行分析判断．解：(1)正确．∵2＞0，∴2a 与a 方向相同，且|2a |＝2|a |；(2)正确．∵－2＜0，∴－2a 与a 方向相反，且|－2a |＝2|a |；又5＞0，∴5a 与a 方向相同，且|5a |＝5|a |.故－2a 与5a 方向相反，且|－2a |＝25|5a |；(3)正确．由于－2a 与2a 的方向相反，且|－2a |＝|2a |，故－2a 与2a 是相反向量； (4)正确．由于m a ＝0，而a 是非零向量，因此只能有m ＝0.已知λ，μ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( ) (1)当λ＜0，a ≠0时，λa 与a 的方向必然相反； (2)当λ＞0，a ≠0时，λa 与a 的方向必然相同； (3)当λμ＞0，a ≠0时，λa 与μa 的方向必然相同； (4)当λμ＜0，a ≠0时，λa 与μa 的方向必然相反． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：D 解析：命题(1)(2)(3)(4)均正确，因为由λ与向量a 的积λa 的方向规定，易知(1)(2)正确，对于命题(3)(4)，当λμ＞0时，λ与μ同正或同负，所以λa 与μa 都与a 同向或都与a 反向，所以λa 与μa 同向．当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa 与μa 中，一个与a 同向，一个与a 反向，所以λa 与μa 方向相反，故(3)(4)也正确，故选D ．1．一个向量有两个要素：方向和模，对于向量与实数相乘λa ，其方向取决于λ的正负，其模的大小取决于|λ|.2．注意实数与向量的积的特殊情况，当λ＝0时，λa ＝0；而λ≠0，若a ＝0时，也有λa ＝0.二、向量的共线问题有以下说法：①方向不相同的两个向量必然不平行；②共线的向量，若始点不同，则终点必然不同；③若AB ，CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；④若向量a 与向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；⑤相等向量必然是共线向量．其中正确说法的序号是__________．思路分析：依照共线向量、相等向量等概念进行判断，注意零向量的特殊性．答案：⑤解析：①错，方向不相同，但方向相反的两个向量也是平行向量；②错，共线的向量，当始点不同时，终点可以相同，因为它们的模可以不同；③错，当AB与CD是共线向量时，A，B，C，D可能不在同一直线上；④错，当b是零向量时，任意a与c都与b共线，但a 与c不必然共线；⑤正确，相等向量方向相同，必然共线．下列说法中正确的是( )A．若向量a与向量b不共线，则a与b方向必然不相同B．由于零向量方向不肯定，故它不与任何向量平行C．若向量a与b平行，则a＝bD．在梯形ABCD中，AC与BD是共线向量答案：A平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为如下四种情况：(1)方向相同、模相等；(2)方向相同、模不等；(3)方向相反、模相等；(4)方向相反、模不等．在正六边形ABCDEF中，AB＝a，AF＝b，求AC，AD，AE.思路分析：用向量a，b表示AC，AD，AE，要利用正六边形的性质，用平行向量、相等向量的知识和向量加法的运算法则求解．解：如图所示，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF和四边形ABCO均为平行四边形．按照向量的三角形法则，有AC＝AF＋FC＝AF＋2FO＝b＋2a＝2a＋b.按照向量的平行四边形法则，有AO＝AB＋AF＝a＋b，故有AD＝2AO＝2a＋2b.在平行四边形ABCO中，AC＝AB＋AO＝a＋a＋b＝2a＋b.而BC＝AO＝FE＝a＋b.由三角形法则得AE＝AF＋FE＝b＋a＋b＝a＋2b.如图所示，四边形ABCD，CEFG，DCGH都是全等的菱形，则下列关系不必然成立的是( )A．|AB|=|EF|B．AB与FH共线C．BD=EHD．DC与EC共线答案：C解析：依题意，|BD |不必然等于|EH |，故不必然有BD =EH ，选C ．肯定一个向量的要素有两个：方向和模，要从这两个方面对向量之间的关系作出判断．1．两个非零向量a ，b ，若知足b ＝－2a ，则有( ) A ．a 与b 方向相同 B ．a 与b 方向相反 C ．|a |＝2|b | D ．|a |＝|b | 答案：B解析：因为－2＜0，所以－2a 与a 方向相反，且|－2a |＝2|a |，即|b |＝2|a |，选B ． 2．m ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．若m a ＝0，则必需m ＝0B ．若m ≠0，a ≠0，则m a 与a 方向相同C ．若m ≠0，a ≠0，则|m a |＝m |a |D ．若m ≠0，a ≠0，则m a 与a 共线答案：D解析：由m a ＝0可得m ＝0或a ＝0，故A 错；当m ≠0时，m a 与a 方向相同或相反，故B 错；当m ≠0时，|m a |＝|m ||a |，故C 错，只有D 正确．3．在正方形ABCD 中，下列说法正确的是( )A ．AB ＝CD B ．AC ＝2AB C ．AD 与BC 共线 D ．AC 与BD 共线答案：C解析：结合图形知只有C 项正确．4．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个答案：D解析：由正六边形的性质可知，与OA 共线的向量共有AO ，AD ，DA ，OD ，DO ，FE ，EF ，BC ，CB ，共9个．5．四边形ABCD 中，AB ＝13DC ，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形答案：B解析：由AB ＝13DC 得AB ∥DC 且|AB |＝13|DC |，所以|AB |≠|DC |.所以四边形ABCD 是梯形．用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．知识精华技能要领。

湘教版高中数学必修二基础知识突破训练向量与实数相乘第二课时精品导学案

第二课时数乘向量的应用以及单位向量量共线、点共线问题.1．向量数乘的运算律(1)设a 是任意向量，x ，y 是任意两个实数，则(x ＋y )a ＝x a ＋y a ，x (y a )＝(xy )a . (2)设a ，b 是任意两个向量，λ是任意实数，则 λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 预习交流1下列两式：①(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )；②λ(a －b )＝λa －λb 成立吗？提示：成立，可由向量数乘的运算律推得． 2．向量共线的条件预习交流2若向量a 是一个非零向量，那么向量b 与a 共线的条件是什么？提示：当b ＝λa 时，由数乘向量的几何意义知b 与a 共线，b 与a 共线，必存在唯一的实数λ，使得b ＝λa .3．单位向量长度为1的向量称为单位向量．我们知道，向量有两个要素：大小和方向．向量a 的大小由|a |表示，而它的方向就由该方向上的单位向量1|a|a 代表．一、向量的数乘运算计算下列各式：(1)4(a ＋b )－3(a －b )；(2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c )； (3)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )．思路分析：利用向量的线性运算律计算．解：(1)4(a ＋b )－3(a －b )＝4a －3a ＋4b ＋3b ＝a ＋7b . (2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c )＝3a －6b ＋3c －2a －b ＋3c ＝a －7b ＋6c . (3)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b ) ＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－23＋415a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25－43＋2615b ＝0·a ＋0·b ＝0＋0＝0.计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b＝a ＋34b －a －34b ＝0.(3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并．二、向量共线条件的应用已知向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB u u u r＝e 1＋e 2，BC u u u r ＝2e 1＋8e 2，CD u u u r ＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．思路分析：(1)要证A ，B ，D 三点共线，可证AB u u u r ，AD u u u r 共线(或AB u u u r 与BD u u ur 共线等)；(2)当k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线时，由向量共线的条件知必有k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，从而求得k 的值．(1)证明：∵AB u u u r＝e 1＋e 2，BD u u u r ＝BC u u ur ＋CD u u u r ＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB u u u r，∴AB u u u r ∥BD u u ur .又∵AB ∩BD ＝B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解：∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. 由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，则k ＝±1.已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：∵d ＝λa ＋μb＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，∴λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．1．若b ＝λa (λ∈R )，则b 与a 共线．由此可以判断向量共线问题．若b与a (a ≠0)共线，则必存在唯一实数λ，使b ＝λa .据此可以求两个共线向量中的系数问题．2．用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得a ＝λb (a ，b 为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线．三、向量线性运算的应用如图所示，OADB 是以向量OA u u u r =a ，OB u u u r =b 为边的平行四边形．又BM=13BC ，CN=13CD ，试用a ，b 表示OM u u u u r ，ON u u u r ，MN u u u u r.思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a ，b 表示．解：BM u u u u r =13BC u u u r =16BA u u u r =16(OA u u ur －OB u u u r )=16(a －b )，∴OM u u u u r =OB u u u r +BM u u u u r =b +16a －16b =16a +56b ，CN u u u r =13CD u u u r =16OD u u u r .∴ON u u u r =OC u u u r +CN u u u r =12OD u u u r +16OD u u u r =23OD u u u r=23(OA u u u r +OB u u u r )=23(a +b )=23a +23b . MN u u u u r =ON u u u r －OM u u u u r =23(a +b )－16a －56b =12a －16b .1．已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，用向量AB u u u r ，AC u u u r 表示向量AD u u u r为________．答案：12AB u u ur ＋12AC u u u r解析：∵BD u u u r ＝DC u u ur ，∴AD u u u r －AB u u u r ＝AC u u u r －AD u u u r ，2AD u u u r ＝AB u u u r ＋AC u u ur .∴AD u u u r ＝12AB u u u r ＋12AC u u ur .2．如图所示，点E 在△ABC 的边BC 上，且CE ＝3EB ，设AB u u u r＝a ，AC u u u r ＝b ，用a ，b 表示AE u u u r .解：∵CE ＝3EB ，∴BE u u u r ＝14BC u u ur .又∵BC u u u r ＝AC u u u r －AB u u u r ，∴AE u u u r ＝AB u u u r ＋BE u u u r ＝AB u u u r ＋14BC u u ur＝a ＋14(b －a )＝34a ＋14b .在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一些定理的应用．1．下列计算正确的数目是( )①(－3)·2a ＝－6a ②2(a ＋b )－(2b －a )＝3a ③(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C解析：①②正确，③错误，应有(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0.2．化简14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )为( ) A ．12a ＋b B ．a ＋32b C ．12a ＋32b D ．a ＋b 答案：C解析：原式＝14a ＋12b ＋34a －12a ＋b ＝12a ＋32b .3．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.(e 1，e 2不共线)A ．②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 答案：A解析：①中a 与e 1共线，b 与e 2共线，而e 1，e 2不共线，所以a 与b 不共线； ②中b ＝－2a ，故a 与b 共线；③中b ＝14a ，故a 与b 共线；④中a 与b 不共线，因为若a 与b 共线，则必存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，于是⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，－2λ＝1，λ无解．故a 与b 不可能共线． 4．已知平行四边形ABCD 中，DA u u u r＝a ，DC u u u r ＝b ，其对角线交点为O ，则OB u u u r 等于( )A ．12a ＋bB ．a ＋12bC ．12(a ＋b ) D ．a ＋b 答案：C解析：DA u u u r ＋DC u u u r ＝DA u u u r ＋AB u u u r ＝DB u u u r＝2OB u u u r ，所以OB u u u r ＝12(a ＋b )，故选C ．5．已知向量a 与b 不共线，m ＝a －12b ，n ＝x a ＋3b ，若m 与n 共线，则x 的值等于__________．答案：－6解析：依题意存在实数λ，使m ＝λn ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝λ(x a ＋3b )，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－12＝3λ，于是λ＝－16，x ＝－6.。