2015秋高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案设计 新人教A版必修4
高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案
高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；2.掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.【知识梳理】知识回顾：1．两个向量的数量积的性质：设与为两个非零向量(1)、  (2)、当与同向时，  = ，当与反向时， 特别的： =_____或，|  | ≤ | || |， =________新知探究：已知非零向量，，怎样用和的坐标表示 ？1、平面两向量数量积的坐标表示：即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2. 平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定：设，，则 4.两向量夹角的余弦（） = =思考感悟:向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有  0（0）？对点练习：1.已知a→=(—3,4),b→=(5,2), 则a→b→等于( )A. —14B. —D. 82.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),c→=(1,—1), 则(a→b→)c→等于 ( )A. —14B. —(7,—7) D. (—7,7)3.已知A(—1,1),B(1,2), 则|AB→|等于 ( )A. 5 B—1 D. 74. 已知a→=(3,4),b→=(5,12), 则a→,b→夹角的余弦为( )A. 6365 BD. 13【合作探究】典例精析：例1.已知向量，；（1）求，；（2）求的值；（3）求的值；变式1：已知向量，；（1）求向量与的夹角；（2）若向量与垂直，求的值；例2.设 = (5，7)， = (6，4)，求及、间的夹角θ的余弦值。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角--导学案
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、预习目标：预习教材P106—P107---平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
了解向量的模、夹角等公式。
二、相关知识：（同学们回忆以下内容并作出回答）1.平面向量的数量积（内积）是如何定义的？2.平面向量的数量积有什么几何意义？3.两个向量的数量积有什么性质？4、平面向量数量积的运算律为何？二、预习内容：1．向量数量积的坐标运算是如何推导出来的？2．如何用向量的坐标表示两个向量垂直的条件？3．如何用向量的坐标表示向量的长度？4.如何用向量的坐标表示两点间的距离公式？5.如何用向量的坐标表示两个向量的夹角？三、预习自测： 1.若(3,4),(5,2),ab →→==则a b →→∙=（ ）A. 23B.7C.-23D.-7 2.若(3,4),(5,12),ab →→==则a →与b →夹角的余弦值为（ ） A.6365 B. 3365 C. 3365- D. 6365- 3．已知平面向量(1,3),(4,2),a b →→=-=-，若a b λ→→+与a →垂直，λ= 。
四、我的疑惑：请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。
一、学习目标学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.学习重难点：平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用二、学习过程（一）创设问题情景，引出新课问题1：a →与b →的数量积 的定义？ 问题2：向量的运算有几种?应怎样计算？ （二）基础知识探究探究点 平面向量坐标表示的应用请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案或对设置的问题做出正确的回答问题1：向量数量积的坐标表示：已知两个向量1122(,),(,),ax y b x y →→==则a b →→∙= .问题2：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设1122(,),(,),ax y b x y →→==则a b →→⊥⇔ .问题3：向量的长度：设11(,),ax y →=，则||a →= . a →2= .问题4：两点间的距离公式：设1122(,),(,),A x y x y B ==则AB →= , ||AB →= .问题5：两向量的夹角：设1122(,),(,),a x y b x y →→==则cos ,a b →→<>= .（三）知识综合应用探究 例1：已知)3,1(-=，)1,3(-=，求⋅，||，||，与的夹角θ.同步训练：已知向量(4,3),(1,2),a b →→==-求（1）||a b →→-，（2）(2)()a b a b →→→→+∙-例2：已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3kab a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？例3．已知)2,1(A ，)3,2(B ，)5,2(-C ，试判断ABC ∆的形状，并给出证明.拓展提升1：在直角ABC ∆中，0∠A =90,(2,3)AB =，(1,)AB k =，求实数k 的值；拓展提升2：已知向量(2,1),(,1)a b λ→→=--=，若a →与b →的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?三、我的收获四、当堂检测1向量(2,4),(1,2)a b →→==-的夹角为（ ）A.零角° B .钝角° C.平角 D.直角° 2.已知向量(4,3),a →=向量b →是垂直于a →的单位向量，则b →等于（ ）A. 3443(,)(,)5555或 B . 3434(,-)(-,)5555或C. 3434(,)(-,-)5555或D. 3443(,-)(-,)5555或3.（2011北京理）已知向量(0,-1)(a b c k →→→===，若2a b c →→→-与共线，则k=636543(,)554355--（），433C.555-4（，）或（-，）5433)(,)5554（，或--5课后练习与提高1.已知(4,3),(5,6)a b=-=则23a4a b=-⋅（）A.23B.57C.63D.832.已知()()a3,4,b=5,12-则a b与夹角的余弦为（）A. B.3.()a=2,3,b=(2,4),-则()()a+b a-b=⋅__________。
高中数学 2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案 新人教A版必修4
【学习目标】学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【重点难点】平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用【学法指导】预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
了解向量的模、夹角等公式。
【知识链接】1.平面向量数量积（内积）的坐标表示2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1)向量模的坐标表示：能表示单位向量的模吗？(2)平面上两点间的距离公式：向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)AB=(3)两向量的夹角公式cos =3. 向量垂直的判定（坐标表示）4.向量平行的判定（坐标表示）三、提出疑惑疑惑点疑惑内容【学习过程】（一）创设问题情景，引出新课a与b的数量积的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？（二）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0探究二：探索发现向量的模的坐标表达式若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？若A(x1,x2),B(x2,y2)，如何计算向量AB的模两点A、B间的距离呢？例1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量AB的坐标.--则变式：已知a+b=2i-8j,a b=8i+16j,a b探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定a⊥b或计算a与b的夹角<a,b>呢？1、向量夹角的坐标表示2、a⊥b<=> <=>x1x2+y1y2=03、a∥b <=>X1y2-x2y1=01356365例2 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.变式：已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？【学习反思】【基础达标】1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ）A.2 B .23 C.6 D.123、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a 与b 的 数量积4、设a=(2,1),b=(1,3),求a ·b 及a 与b 的夹角5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a 与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?【拓展提升】 1.已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅（ ） A.23 B.57 C.63 D.832.已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（ ）A. B.65 C. D.133.()a=2,3,b=(2,4),-则()()a+b a-b =⋅__________。
数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案 最新!!
教学过程
主要内容及板书
摘要与反思
一．复习旧知，探究引入
1．判断下列命题真假：
（1）若 ，则 中至少有一个为 ；
（2）若 ，且 ，则 ；
（3） ；
（4）若 ，且 ；
（5）若 ，坐标表示 是怎样呢？
由于 分别是x轴，y轴方向的单位向量，则 ， ，
， ．
（下面的推导由学生完成）
( ) (两种方法)
三．小结：
1．平面向量数量积的坐标公式；
2．向量长度（模）的公式及两点间的距离公式；
3．夹角的余弦公式；
4．向量垂直的坐标表示的条件，复习向量平行的坐标表示的条件．
作业
Ｐ119习题2.4 /５、9、10、11
后记
教学内容：§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目标
1．掌握平面向量数量积的坐标表示及向量长度的坐标表示公式，能用两向量的坐标求两向量的夹角；
2．掌握平面向量垂直的坐标表示的条件．
本节重点
平面向量数量积的坐标表示，平面向量垂直的坐标表示的条件
本节难点
平面向量数量积的坐标表示，平面向量垂直的坐标表示的充要条件的灵活应用
二．新课教学
1．数量积的坐标表示
已知 则 ．
2．向量的长度、夹角、垂直的坐标表示
①设 ，则 ， ．
设 则
②
③
摘要与反思
主要内容及板书
3．例题选讲
例1．已知 试判断△ABC的形状，并给出证明．
（P118例5）
例2．设 求 及 间的夹角 （精确到 ）
（P118例6）
练习：Ｐ119练习1，2，3
例３．已知向量 当 垂直时，求实数x的值．
高中数学_2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(导学案) 学习目标：1.知识与技能：掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。
2.过程与方法：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的探究能力、创新精神。
3.情感态度价值观：引导学生探索归纳,感受、理解知识的产生和发展过程,激发学习数学的兴趣,注重培养学生的动手能力和探索能力。
【自主学习】探究:已知两个非零向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅,试着推导一下.总结：由此可得：（1）向量求模(长度)工具:（2）向量证明垂直工具:思考：如何使用两个工具解决几何问题？【合作学习】探究活动一：用向量证明垂直例5已知(1,2)A ,(2,3)B ,(2,5)C -,试判断ABC ∆的形状,并给出证明.归纳整理:实践应用: 先作图,观察以(1,4)A --,(5,2)B ,(3,4)C 为顶点的三角形的形状,然后给出证明.问题:如果继续求三角形的其他角,你如何解决?探究活动二：用向量求角向量求角工具:例6设(5,7),(6,4)a b ==--,求a b ⋅及,a b 间的夹角θ(精确到1)归纳整理:实践应用:试着把例5中的角C 求出来.探究活动三：用向量的数量积证明一个著名的不等式 证明:对任意的,,,a b c d R ∈,恒有不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++归纳整理:你还能不能想出更有创意的方法?试一试.本节课的收获:【创意展区】创意要求: 平面向量的数量积a b ⋅是一个非常重要的概念,带来了一系列解决平面几何问题的工具和方法,利用它可以容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线互相垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等,还可以推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质等,你证出了哪一个?把它记下来和同学交流.【随堂检测】1.已知向量(1,1)a =-,b = (2,x )．若1a b ⋅=,则x =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1 2.设向量11(1,0),(,)22a b ==,则下列结论中正确的是 ( )． A ．||||a b = B ．2a b ⋅= C ．a b ∥ D ．a b -与b 垂直 3. 已知向量(1,2)a =,向量b =(,2)x -,且a ⊥()a b -,则实数x 等于 ( )．A ．9B ．4C ．0D ．－44. 若向量(1,2),(1,1)a b ==-,则2a b +与a b -的夹角等于 ( )．A ．4π-B ．6πC ．4πD ．34π 5. 已知平面向量(2,4),(1,2)a b ==-,若2c a b =+,则||c ＝________．6. 已知向量(1,0)a =,(1,1)b =,则向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为________．7.已知(2,3),(2,4),(1,2)a b c ==-=--,求,()()a b a b a b ⋅+⋅-,()a b c ⋅+,2()a b +.8. 已知||||2a b ==|,(2)()2a b a b +⋅-=-,求a 与b 的夹角.2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后反思一直都在考虑到底要选哪一节课来开公开课，到最后时刻才决定选择2.4.2平面向量数量积这一节。
高中数学_2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角教学设计学情分析教材分析课后反思
【教学设计】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004一、教学任务分析前面已经学习了学习了平面向量数量积概念、运算以及平面向量的坐标表示,本节课是对平面向量数量积从坐标表示方面的进一步研究, 是对前面所学知识的延续.教科书以推导平面向量数量积的坐标表示入手，进而研究平面向量的模、两非零向量垂直的坐标表示和夹角的坐标表示.二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的坐标表示，模的坐标表示,垂直的坐标表示和夹角的坐标表示.难点：平面向量数量积的坐标表示的推导过程，平面向量数量积的坐标表示的应用.二、教学基本流程本节课是平面向量数量积的第二节课，与第一节课紧密联系，且主要以公式为主，因此我设计了以下顺序来安排本节课的教学：（一）复习回顾：主要复习上节课所学，并且本节课用到的知识；（二）引入新课：复习回顾向量加法、减法、数乘的坐标运算，从而引出数量积的坐标表示；（三）探究新知：探究平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示；（四）运用新知：运用所学知识解决相关问题；（五）课堂小结：回顾这节课主要学习了哪些知识，用到了哪些思想方法；（六）布置作业：课下巩固完善.三、学生课前准备因为本节课与上一节课紧密联系在一起，所以要求学生课前一定要复习好上一节课的内容：平面向量数量积的定义、运算律及性质.另外，本节课又是对坐标运算的继续加深，而且在推导平面向量数量积的坐标表示时用到了平面向量的坐标表示和运算，因此要求学生复习好平面向量的坐标表示和运算的内容.四、教学过程设计(一)复习回顾（课件上展示问题）1．平面向量数量积（内积）的定义；2.平面向量的数量积满足的运算律；3.设向量a 与b 都是非零向量，则________⊥⇔a b ；=a a 或=a . 学生活动：以上问题由学生回答，老师适当给以点评.(二)引入新课已知两个非零向量()()1122,,,x y x y =a =b ,则=+a b ；=-a b ；λ=a .提问学生回答，并给出问题：向量a 与b 的数量积⋅a b 能否也用坐标表示？这就是我们这节课要研究的问题：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【设计意图】通过回顾平面向量数量积的定义和对有关性质运算题目的掌握，为探究数量积的坐标表示做好准备．另外，通过对向量的加、减、数乘的坐标运算的回顾，很自然的联想到数量积的坐标表示，从而创设情境激发学生的学习兴趣．(三)探究新知探究1：平面向量数量积的坐标表示教师：已知两个非零向量()()1122,,,x y x y =a =b .试根据向量加法、减法的坐标运算的推导过程，写出向量a 与b 的数量积⋅a b 的坐标表示的推导过程.学生：学生回顾向量加法、减法的坐标运算的推导过程，自己独立推导平面向量数量积的坐标表示.学生推导完成后，用实物投影展示学生推导过程，并让学生讲解.解:因为()()1122x y x y ⋅++a b =i j i j 2212122112x x x y x y y y =+⋅+⋅+i i j i j j又1⋅=i i ，1⋅=j j ，0⋅=⋅=i j j i ，所以⋅a b 2121y y x x +=．教师：你能用文字表述上面的结论吗？学生：学生尝试表述，并同位间交流，最后得出结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即⋅a b 2121y y x x +=．【设计意图】问题引领，培养学生的探索研究能力,让学生体会成功的乐趣.探究2：向量的模的坐标表达式教师：若(),x y a =，如何计算2a 和a 呢？学生:222||x y =+a ， ||=a 教师：如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，那么向量a 的坐标如何表示？a 等于什么？学生: 2121(,)x x y y =--a ， =a .【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上，探索发现向量的模小试牛刀：已知()3,4=-a ，(5,2)=b ，求,,⋅a b a b .学生:学生计算,并提问学生回答: 5,7.==⋅=-a b a b【设计意图】熟练应用向量数量积的坐标公式．探究3：向量垂直的坐标表示教师:设a 与b 都是非零向量,()()1122,,,x y x y =a =b ,如何用向量a,b 的坐标来表示⊥a b ？提问一名同学到黑板上书写,其他同学在导学案上书写：1212=00x x y y ⊥⇔⋅⇔+=a b a b .【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直.此时,展示例1.让学生把答案写在导学案上.给学生4分钟的时间完成，并用投影展示学生的答案，在展示时可以多选取学生完成几种不同的方法.多媒体上展示变式1，让学生完成并口述答案.多媒体上展示变式2，提问一名同学到黑板上板书过程.【设计意图】此时展现例题，注重讲练结合，而且能够及时加深学生对两向量垂直的记忆和理解.两个变式题目的设计也注重梯度性，有利于各层次学生的学习.探究4：向量夹角的坐标表示教师:设a 与b 都是非零向量， ()()1122,,,x y x y =a =b ，θ是a 与b 的夹角，你能用a ，b 的坐标来表示cos θ？提问一名同学到黑板上书写,其他同学在导学案上书写：cos θ=接下来讲解例2.先给学生2分钟的思考时间,然后提问一名同学回答,教师板书，给学生起到示范作用.并引导学生总结求两向量夹角余弦值的方法.（四）应用新知例1.已知点(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断ABC ∆的形状，并给出证明.引导学生用不同的方法做这道题目,并展示学生的答案.变式：（1）已知ABC ∆为直角三角形，090A ∠=,(1,3),(2,)AB AC k ==，求k 的值.（2）若上式中090C ∠=，那么k 的值是多少? 答案：（1）23k =-；（2）k =1或2. 例2．已知向量()5,7=-a ，()6,4=--b ,求a b 及a 、b 的夹角θ的余弦值. 解：5(6)(7)(4)3028 2.⋅⨯-+-⨯-=-+=-a b ===，a ==b∴cos 0.03.96274θ===-≈-a b a b 教师:结合本题,总结一下求两向量夹角余弦值的步骤?学生：求两向量夹角的余弦值，先求|⋅、|、,a b a b 再代入公式计算.(五)课堂小结提问一名同学回答,通过本节课的学习,在知识方面和思想方法你有哪些收获?知识方面:1.平面向量数量积的坐标表示；2.向量模的坐标表示；3.向量垂直的坐标表示；4.向量夹角的坐标表示.思想方法：数形结合，类比.【设计意图】培养学生归纳整合知识能力，培养学生思维的灵活性与严谨性．(六)布置作业1.阅读课本P106-P107；2.必做:课本P108 A 组第9、10、11题；选做：课本P108 B 组第2题.【设计意图】学生养成先复习后做作业的学习习惯,另外分层布置作业,满足不同学生的需要．(七)板书设计x x+12【学情分析】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004在学习本节之前学生已经学习了平面向量数量积概念、运算以及平面向量的坐标表示，且大部分同学有了一定的推理计算能力和处理向量问题的方法，完全有能力推导出平面向量数量积的坐标表示，对于少数不能推导出平面向量数量积坐标表示的可以让他们看课本上的推导过程.有了数量积的坐标表示，在结合上一节中平面向量数量积的性质，那么平面向量的模、两非零向量的垂直关系以及两非零向量的夹角也就很容易用坐标来表示了，学生接受起来也会比较容易.为了更好的学习本节课，在课前需要学生提前预习并且复习好上一节的内容和平面向量的坐标表示，尤其是向量加法、减法运算的推导过程，以便能够顺利的推导出平面向量的数量积的坐标表示.【效果分析】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中__3704810004本节课是从坐标表示对平面向量数量积的进一步学习，本节课公式比较多，通过本节课的教学，基本上达到了预期的效果，可以通过以下几个方面来说明：1.课堂教学效率比较高，学生思维活跃，整堂课气氛比较热烈。
高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2教案(新人教A版必修4)
教材、教参、多媒体、尺规
课题
向量数量积的坐标运算和度量公式
教学目标
1、知识与技能
掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，度量公式的推导应用
（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．
（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直．
（3）掌握平面内两点间的距离公式
（1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角.
（2）两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如 与 总是垂直的。
2、平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用。
师生共同完成
使学生养成归纳总结的习惯，主动独立思考问题的能力
布置作业
练习A 1（3）（4）,2,3
练习B 1
学生独立完成
巩固新知
已知A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的值。
教师引导，师生共同完成。
应用夹角的坐标公式，揭示向量与三角的联系,训练学生的运算能力
已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量
教师讲解，学生归纳方法
课堂练习
练习A 1（1），（2）
学生独立完成，教师指导
巩固新知
归纳小结
1、向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
巩固向量数量积的坐标运算和度量公式的基本应用
已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，
求证：△ABC是直角三角形
（1）教师引导，师生共同完成。
(2)教师提问：该题还有其他证明方法吗？
（提示可计算 、 、 ，然后用勾股定理验证）
运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决问题；培养学生灵活运用所学公式解决问题的能力
高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案新人教A版必修4
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.（预习教材P106—P107） 复习：1.向量a r 与b r 的数量积a b ⋅r r = . 2.设a r 、b r 是非零向量，e r 是与b r 方向相同的单位向量，θ是a r 与b r 的夹角，则 ①a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；②a =r ；③cos θ= .二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，怎样用a r 与b r 的坐标表示a b ⋅r r 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅v v v v （坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =r ()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式 （1）设a=(x,y),v 则2a =v ________________或a v________________。
（2）若()11,A x y ，()22,B x y =___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==r r 的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a r 与b r 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,v v 则⇔⊥_________________※ 典型例题例1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明.（2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
2015秋高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案设计新人教A版必修4
第二章平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示.2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.3.能用所学知识解决有关综合问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:(1)设单位向量i,j分别与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同,O为坐标原点,若向量=3i+2j,则向量的坐标是,若向量a=(1,-2),则向量a可用i,j表示为;(2)已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a=3i+2j,b=i-j,则a·b=.二、信息交流,揭示规律问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标来表示a·b呢?问题3:如何用坐标表示向量的模、垂直的条件以及夹角的余弦?2.平面内两点间的距离公式(1)设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|= (平面内两点间的距离公式).3.向量垂直的判定设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔.4.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cosθ==.三、运用规律,解决问题【例1】已知a=(-1,),b=(,-1),求a·b,|a|,|b|,a与b的夹角θ.【例2】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.【例3】在Rt△OAB中,=(2,3),=(1,k),求实数k的值.四、变式演练,深化提高练习:已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足x·a=9与x·b=-4的向量x.五、反思小结,观点提炼本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业P108习题2.4A组第9,10,11题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)(3,2) a=i-2j(2)1二、信息交流,揭示规律问题2:设向量i,j分别为平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,则有a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)(x2i+y2j),x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y1j2=x1x2+y1y2,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.从而可得1.a·b=x1x2+y1y2.问题3:2.(1)|a|=(2)(3)x1x2+y1y2=04. .三、运用规律,解决问题【例1】解:a·b=(-1)××(-1)=-2,|a|==2,|b|==2,cosθ==-,因为0≤θ≤π,所以θ=.【例2】解:△ABC是直角三角形.证明如下:因为=(1,1),=(-3,3),=1×(-3)+1×3=0,所以,所以△ABC是直角三角形.【例3】解:(1)若∠AOB=90°,则,所以2+3k=0可得 k=-;(2)若∠OAB=90°,则,而=(-2,-3),=(-1,k-3),所以2-3(k-3)=0,从而 k=;(3)若∠OBA=90°,则,而=(-1,-k),=(1,3-k),因为-1-k(3-k)=0,所以k= .四、变式演练,深化提高练习:解:设x=(t,s),由所以x=(2,-3).五、反思小结,观点提炼1.掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;2.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式;3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系.。
高中数学必修4教案2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质：3．练习：（1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知||=2，||=1，与之间的夹角为3π，那么向量=-4的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，怎样用和的坐标表示∙？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即∙2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =22y x +=22y x +=. （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，221221)()(y y x x -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x =，则a ⊥b ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦 已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，与之间的夹角为θ（πθ≤≤0）co s θ222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2，5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.练习1、习题2.4 A 组第5题例2设= (5，-7)，= (-6，-4)，求∙，、间的夹角θ的余弦及│-4│。
2..4..2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教、教案)
2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
VU2OVWNFIq 二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。
VU2OVWNFIq2．<1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论<2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。
3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
VU2OVWNFIq五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
高中数学 2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1》教案人教版必修4
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积坐标运算及应用2.过程与方法：（1）通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性；（2）从具体应用体会向量数量积的作用3.情感、态度与价值观：学会对待不同问题用不同的方法分析的态度二、教学重点、难点重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式难点：条件和公式的应用三、教学方法用学过的知识带动学生探求新知识四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入平面向量基本定理及向量的坐标表示向量数量积的定义及性质、运算率学生思考回答上节课内容温故知新定义形成向量具有几何性和代数性，上节课根据向量的几何性定义出了数量积的运算，并掌握了运算率及性质。
那么这一定义如何由它的代数性反映出来？那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来？结论：已知两个非零向量),(11yxa=ρ，),(22yxb=ρ教师引导学生，从向量的坐标出发，根据数量积的定义推导出数量积的坐标运算。
从而很容易推导出三个公式和一个条件让学生自己联系旧知识推导新内容，体会自己创作的乐趣则ba ϖρ⋅2121yy x x +=从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及一个条件（向量垂直的充要条件）向量的长度、距离和夹角公式（1）设),(y x a =ϖ，则222||y x a +=ρ或22||y x a +=ρ(长度公式)（2）如果表示向量a ϖ的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=ρ(距离公式)(3) co s=||||b a b a ⋅⋅ρρρ222221212121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）(夹角公式) 向量垂直的充要条件设),(11y x a =ρ，),(22y x b =ρ， 则b a ϖρ⊥ ⇔02121=+y y x x定义深化对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识 向量在轴上的正射影： 作图学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题注意：射影是可正可负可为零的教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象定义：|br|cos叫做向量br在ar所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时正射影为|br|；当 = 180时正射影为|br|挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）练习：P108 例1应用举例例1.已知ar=（3，-1），br=（1，-2），求a br rg，|ar|，|br|，<ar,br>例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.练习.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证AB AC⊥u u u r u u u r例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求BAC∠的正弦值练习.已知ar=(3,4)，求：（1）ar的单位向量；（2）与ar垂直的单位向量；（3）与ar平行的单位向量主要体会向量代数运算的方便和简便，以及几何性质的直观熟练准确的运用向量数量积进行运算，并对某些结论性的内容有所了解课堂小结 1.数量积的定义、性质、运算率2.几种特殊情况的讨论（注意事项）教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？主要学生总结，教师不做过多引导让学生掌握最主要的内容；让大多数学生知道还有某些注意事项作业1、看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运算率、性质、与数乘的区别总结）2、总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）3、 P115练习B---2（1）（2）、3练习A---1（1）（2）习题A---2习题B---4注意：1、找向量夹角时，向量必须同起点；2、定义中注意垂直时数量积为0；3、两个向量的数量积称为内积，写成a b；符号“·”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”4、数量积不满足结合率和消去率：在实数中，若a0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但是a b = b c a = c在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)c a(b c)5、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4
第二章 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
2掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【学习重点】平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用。
【基础知识】探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅ （坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（1）设a=(x,y),则2a =________________或a ________________。
（2）若()11,A x y ，()22,B x y =___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________利用数量积求两向量夹角的步骤：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模．(3)由公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cos θ的值．(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ．注释：(1)利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量问题，进而通过向量的运算来研究几何元素间的关系．(2)已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角．此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．【例题讲解】例1：已知a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝例2：若a＝(－3,4)，b＝(2，－1)，且(a－x b)⊥(a－b)，求x的值．例3：设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于例4：已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且k a－b与a＋b的夹角为120°，则k＝________．【达标检测】1．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－32．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)3．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )A ． 3B ．135C ．655D ．654．若a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．【问题与收获】答案：例1：由已知2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，从而a ·(2a －b )＝(2,1)·(5，2－k )＝10＋2－k＝0，∴k ＝12．例2： 解：∵a －x b ＝(－3－2x,4＋x )，a －b ＝(－5,5)，(a －x b )⊥(a －b )，∴(－3－2x )×(－5)＋(4＋x )×5＝0，∴3x ＋7＝0，∴x ＝－73． 例3：(1)∵a ⊥b ，∴x －2＝0，∴x ＝2．∴a ＝(2,1)，∴a ＋b ＝(3，－1)．∴|a ＋b |＝10．例4：∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2，|a ＋b |＝12＋(－1)2＝2．又(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，而k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |， 即－12＝－22·k 2＋(k ＋2)2， 化简整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3．1．B 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即3x ＋1×(－3)＝0．解得x ＝1．故选B ．2．A 解析：设b ＝λ(1，－2)(λ＜0)，由|b |＝35可解出λ＝－3．故选A ．3．C 解析：a ·b |b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝655，故选C ． 4．44 解析：2a 2－3a ·b ＝2×(16＋9)－3×(－4＋6)＝50－6＝44．5．120° 解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52．又∵a ·c ＝x ＋2y ，设a 与c 的夹角为θ，cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525＝－12，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案(含解析)
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角［提出问题］已知两个向量a＝(x1,y1），b＝(x2，y2）．问题1：若i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正半轴同向的向量，则a，b如何用i,j表示？提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j。
问题2：|a｜，|b|分别用坐标怎样表示?提示：|a｜＝错误!＝错误!;|b｜＝错误!＝错误!.问题3：能用a，b的坐标表示a·b吗？提示：a·b＝（x1i＋y1j)·(x2i＋y2j）＝x1x2i2＋（x1y2＋x2y1）i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2。
问题4:垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？提示：能．［导入新知]1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2）,则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝（x1，y1)，b＝（x2,y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0。
3．三个重要公式(1）向量模的公式：设a＝(x1，y1）,则|a|＝错误!。
（2)两点间的距离公式:若A（x1，y1），B(x2，y2），则|AB｜＝错误!。
（3）向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x1,y1)，b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则cos θ＝错误!。
[化解疑难]向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y），则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y),使得OA＝a＝(x,y），故|OA｜＝|a|＝错误!,即|a｜为点A到原点的距离．同样若A（x1，y1),B（x2，y2），则AB＝(x2－x1，y2－y1),故｜AB｜＝错误!,即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．平面向量数量积的坐标运算［例1] （1）（广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB ＝(1，－2),AD＝(2，1），则AD·AC＝( ）A．5 B．4C．3 D．2（2)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5）,c＝(2,1），求:①2a·（b－a)；②（a＋2b）·c.［解] (1)A(2）①∵2a＝2（1，3）＝(2，6）,b－a＝(2,5）－（1，3）＝(1,2）,∴2a·(b－a)＝（2，6)·(1，2）＝2×1＋6×2＝14.②∵a＋2b＝（1,3）＋2(2,5)＝(1,3)＋（4，10）＝（5，13),∴(a＋2b)·c＝（5，13)·(2,1）＝5×2＋13×1＝23.［类题通法]数量积运算的途径及注意点（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．[活学活用]已知向量a与b同向,b＝（1，2)，a·b＝10。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案【学习目标】1. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算2. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直关系【重点、难点】重点：数量积的坐标表示；向量的模及向量夹角余弦值的坐标表示 难点：数量积的坐标表示【学习过程】一、复习引入:1．数量积的定义：a b ⋅ =2．设向量a 和b 都是非零向量a b ⊥⇔ 2a = = ︳a︳= 3．设向量i 、j分别是与x 轴、y 轴方向相同的单位向量。
2i = 2j = i j ⋅ = a =2i +3j=（ ， ）4．已知︱a ︱=5 ，︱b ︱= 3 ，a 与b 的夹角为60 ，求()(2)a b a b -⋅+二、探究新知1．平面向量数量积的坐标表示 探究1：已知两个非零向量a =11(,)x y ， b =22(,)x y ，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅呢？ a = b =a b ⋅ =数量积的坐标表示：语言叙述：两个向量的数量积等于2．向量的长度（模）探究2：(1)若a =(,)x y ，则a a ⋅ = 即︱a ︱2=︳a︳=(2)若设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，AB =_____________则︱AB ︱=_____________ 3．向量的垂直的坐标表示a b ⊥ ⇔a b ⋅=0⇔ 例1 已知a =(3,4)-，b =(5,2)，求︱a ︱，︱b ︱，a b ⋅ ，()a b + 2变式练习1：已知a =(2,3)，b =(2,4)-，求a b ⋅ ，()()a b a b ⋅+-例2. 已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明方法总结：4. 向量的夹角公式探究3：设a 、b 是两个非零向量，其夹角为θ，若a =11(,)x y ， b=22(,)x y ，那么cos θ如何用坐标表示？ cos θ= =例3设a =，b =(0,1)，求a b ⋅ 及a 、b间的夹角θ变式练习2：已知a =(-1,-3), b =(3+1, 3—1)，则a 、b的夹角是多少？课堂小结通过这节课的学习学习了哪些知识，掌握了哪些解决问题的方法？作业：课本108页6、7、8【达标检测】1.已知a =(2,1), b =(λ,3),且a ⊥b ,则λ=2. a =(-4,7), b =(5,2),则a ·b = , ︳a ︳=（2 a -3 b ）· (a +2 b )=3.已知︳a ︳=1，︱b ︱=(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°4.已知︳a ︳=2，︱b ︱=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ）A.2 B .23 C.6 D.125.设a =(2,1), b =(1,3),求a ·b 及a 与b 的夹角【课后反思】。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标
1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示.
2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.
3.能用所学知识解决有关综合问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)设单位向量i,j分别与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同,O为坐标原点,若向量=3i+2j,则向量的坐标是,若向量a=(1,-2),则向量a可用i,j表示为;
(2)已知|i|=|j|=1,i⊥j,且a=3i+2j,b=i-j,则a·b=.
二、信息交流,揭示规律
问题2:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标来表示a·b呢?
问题3:如何用坐标表示向量的模、垂直的条件以及夹角的余弦?
2.平面内两点间的距离公式
(1)设a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.
(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么|a|= (平面内两点间的距离公式).
3.向量垂直的判定
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔.
4.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)
cosθ==.
三、运用规律,解决问题
【例1】已知a=(-1,),b=(,-1),求a·b,|a|,|b|,a与b的夹角θ.
【例2】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.
【例3】在Rt△OAB中,=(2,3),=(1,k),求实数k的值.
四、变式演练,深化提高
练习:已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足x·a=9与x·b=-4的向量x.
五、反思小结,观点提炼
本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?
布置作业
P108习题2.4A组第9,10,11题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)(3,2) a=i-2j(2)1
二、信息交流,揭示规律
问题2:设向量i,j分别为平面直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,则有a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,
∴a·b=(x1i+y1j)(x2i+y2j),
x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y1j2
=x1x2+y1y2,
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
从而可得
1.a·b=x1x2+y1y
2.
问题3:2.(1)|a|=
(2)
(3)x1x2+y1y2=0
4. .
三、运用规律,解决问题
【例1】解:a·b=(-1)××(-1)=-2,
|a|==2,
|b|==2,
cosθ==-,
因为0≤θ≤π,所以θ=.
【例2】解:△ABC是直角三角形.证明如下:
因为=(1,1),=(-3,3),
=1×(-3)+1×3=0,
所以,
所以△ABC是直角三角形.
【例3】解:(1)若∠AOB=90°,则,
所以2+3k=0可得 k=-;
(2)若∠OAB=90°,则,
而=(-2,-3),=(-1,k-3),
所以2-3(k-3)=0,从而 k=;
(3)若∠OBA=90°,则,
而=(-1,-k),=(1,3-k),
因为-1-k(3-k)=0,所以k= .
四、变式演练,深化提高
练习:解:设x=(t,s),
由
所以x=(2,-3).
五、反思小结,观点提炼
1.掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
2.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式;
3.掌握两个平面向量的夹角的坐标公式;
4.能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系.。