江苏省沛县～度第二学期期中考试高一数学试题苏教版必修五

2007～2008学年度第二学期期中考试高一数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上. 1.已知tan 1α=-，且[0,)απ∈，那么α的值等于____________.2.cos24cos36sin 24sin36-= .3. 化简____________.4. 已知(3,4),(2,3)=-=ab ，则2||3-⋅=a a b .5. 角075的弧度数为____________.6. 已知点A (1，1)，B (-2，2)，则向量→OA 与→BO 的夹角为___________(其中O 为坐标原点)7. 若()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=，则tan tan αβ= . 8. 函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 . 9. 已知向量a ＝（2，－1）与向量b 共线，且满足a ·b ＝－10，则向量b ＝_______________ 10. 已知33cos ,,tan 524πθπθπθ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭且则= . 11. 把函数sin(2)5y x π=-的图象上的所有点向右平移5π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），而后再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的4倍（横坐标不变），所得函数图象的解析式是___________.12. 已知=2e 1+k e 2,=e 1+3e 2,=2e 1-e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k =____________. 13. 在ABC ∆中，有命题：①=-； ②AB BC CA ++=0；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形； ④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.其中正确的命题序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上） 14. 给出下列四个命题：①存在实数α，使sin α·cos α=1；②)227cos(2)(x x f --=π是奇函数；③83π-=x 是函数)432sin(3π-=x y 的图象的一条对称轴； ④函数)cos(sin x y =的值域为]1cos ,0[.其中正确命题的序号是 .二、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）已知02πα<<,3cos 5α=. （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos 2sin()2παα+-的值.16. （本小题满分14分）函数)2sin(2ϕ+=x y （)20πϕ<<的一条对称轴为直线12π=x（1）求ϕ （2）在图上画出函数)2sin(2ϕ+=x y 在]65,6[ππ-上的简图。

17. （本小题满分15分）已知向量a ，b 满足︱a ︱=︱b ︱，a 与b 的夹角为0120， 求（1）︱a +b ︱及︱a -b ︱ （2）向量a +b 与a -b 的夹角。

18. （本小题满分15分） 已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β.19. （本小题满分16分）已知二次项系数为正数的二次函数)(x f ,对任意的R x ∈，都有)1()1(x f x f +=-，设向量)2,1(),1,(cos ),21,sin 2(),2,(sin ====d x c x b x a，当],0[π∈x ，求不等式)()(d c f b a f⋅>⋅的解集.20. （本小题满分16分）某港口的水深y (m)是时间t (0≤t ≤24,单位：h)的函数，下表是该港口某一天从0：经长时间的观察，水深y 与t 的关系可以用h x A y ++=)sin(ϕω拟合。

根据当天的数据，完成下面的问题：（1）求出当天的拟合函数h x A y ++=)sin(ϕω的表达式；（2）如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m 。

那么该船在什么时间段能够进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间。

（忽略离港所需时间）（3）若某船吃水深度为8m ，安全间隙（船底与海底的距离）为2.5.该船在3：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5m 的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，驶向较安全的水域？参考答案1.34π 2. 12 3. 2sin 4- 4.28 5. 125π 6. 090 7.5 8. [k π－83π，k π＋8π] (k ∈Z) 9. (－4，2) 10. 17 11. 34sin(4)5y x π=-12.-8 13. ②③ 14. ②③二、解答题:15. 解：（Ⅰ）因为02πα<<，3cos 5α=， 故4sin 5α=，所以34tan =α.……7分（Ⅱ）23238cos 2sin()12sin cos 1225525παααα+-=-+=-+=.…………14分16. （1）解：由22ππϕ+=+k x 得x k 22-+=ππϕ,k ∈Z∴),0(2ππππππϕ∈+=⨯-+=k k ∴πϕ= ……………………7分……………………………………………………………………………14分17. 解：（1）a ·b ＝︱a ︱·︱b ︱cos θ2120cos 220-=⨯⨯=……………………4分∴︱a +b ︱2＝(a+b )2+2ab 4)2(22222=-⨯++=∴︱a +b ︱=2,同理︱a -b ︱………………………8分 （2）由(a +b )·(a -b ) =a 2-b 2=22-22=0,∴(a +b ) ⊥(a -b )∴a +b 与a -b 的夹角为090 …………………………………………15分18. 解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得sin α==∴sin 7tan cos 1ααα===5分于是22tan tan 21tan 1ααα===--9分（Ⅱ）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵()13cos 14αβ-=， ∴()sin αβ-==11分 由()βααβ=--得： ()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317142=⨯=……13分所以3πβ=………………………15分19. 解：因为二次函数)(x f 对任意的R x ∈，都有)1()1(x f x f +=-， )(x f ∴的图象关于直线1=x 对称；又二次项系数为正数)(x f ∴在[)+∞,1上是增函数；……………………4分11sin 2)21,sin 2()2,(sin 2≥+=⋅=⋅x x x b a ，12cos )2,1()1,(cos ≥+=⋅=⋅x x d c，………………………8分不等式)()(d c f b a f⋅>⋅化为)2(cos )1sin 2(2+>+x f x f ，2cos 1)cos 1(2,2cos 1sin 222+>+-+>+x x x x ，……………12分1cos 21,01cos cos 22<<-<-+x x x ， ],0[π∈x ，320π<<∴x .………………………14分 所以)()(d c f b a f⋅>⋅的解集为}320|{π<<x x .……………………16分 20.解：（1）根据数据，画出散点图， 知A=3,h=10,T=12,62ππω==∴T ,0=ϕ…………………3分 )240(106sin3≤≤+=∴t t y π函数的表达式为………………………5分(2)由题意，水深y ≥4.5+7,即]24,0[,5.11106sin3∈≥+=t t y π，………………………7分216sin ≥∴t π，1,0],652,62[6=++∈k k k t πππππ，]5,1[∈∴t 或]17,13[∈t ；………………………9分所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港。

若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.……11分 （3）设在时刻x 船舶安全水深为y ，则)3(5.05.10--=x y （3≥x ）， 这时水深106sin3+=x y π，若使船舶安全，则106sin 3)3(5.05.10+≥--x x π，……………………13分即x x 6sin35.02π≥-，73≤≤∴x ，………………………15分即该船在7：00域。

………………………16分。