初二数学各类经典难题(含答案)

简单的极端原理

1 钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（）

A、4

B、5

C、6

D、7

2、

学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000张选票的结果是：甲350张，乙370张，丙280张，则甲在剩下的500张选票中至少再得票，才能保证以得票最多当选该校的学生会主席．

3 已知a、b、c为实数．证明：（a+b+c）2、（a+b-c）2、（b+c-a）2、（c+a-b）2这四个代数式的值中至少有一个不小于a2+b2+c2的值，也至少有一个不大于a2+b2+c2的值．

4

如果a，b，c是正实数且满足abc=1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（）

A、64

B、8 2

C、8

D、2

5

如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（）

A、13

B、14

C、15

D、16

6.正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2， …按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3， …和点C 1，C2，C 3，…分别在直线y=kx+b

(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，

B 2(3，2)，则Bn 的坐标是_________．

7（2005•烟台）（1）如图1，以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由． （2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方

米．

y

x

O C1 B2

A2

C3

B1

A3

B3

A1 C

8 已知，如图，等边三角形ABC中，AB=4，点P为AB边上的任意一点（点P可以与点A 重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．

（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．

9（2001•苏州）如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（）

A、k甲＞k乙

B、k甲=k乙

C、k甲＜k乙

D、不能确定

10 如图，在平面直角坐标系中，直线y=- x + 3 交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB 的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C顺时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC1∥OC，交AB与点C1，然后过C1点继续作直线D1C1∥OC，交x轴于点D1，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S1，△DC1D1的面积为S2，依次类推，后面的三角形面积分别是S3，S4…，那么S1= ，若

S=S1+S2+S3+…+S n，当n无限大时，S的值无限接近于

．

11 如图，正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），连接AE，取线段AE的中点M．

证明：FM⊥MD，且FM=MD．

解答：

证明：如图，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．

∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，

∴△AMD≌△EMN

∴DM=NM，AD=EN．

∵ABCD和CGEF是正方形，

∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，

∠5=∠6=90°-∠NEG=∠NEF，DC=AD=NE．

又∵∠H=90°，

∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°

∴∠DCF=∠5=∠NEF

∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．

∴FD=FN，∠DFC=∠NEF．

∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°，即△DFN为等腰直角三角形．

又DM=MN，∴FM⊥MD，MF=MD．

点评：本题考查了正方形各边相等且各内角为直角的性质，考查了全等三角形的判定和对应边、对应角相等的性质，本题中求证△DCF≌△NEF是解题的关键．